Modélisation et prévision. F. Sur - ENSMN. Box-Jenkins Rappels. 1 Box-Jenkins. Transformation et prévision. Rappels. Processus SARIMA.

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Denis Chaput
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1 Cours GIMAS8AD Séries chronologiques - Compléments sur ARIMA, processus 1 2 Frédéric Sur École des Mines de Nancy /26 2/26 Modélisation des chroniques par (S)ARIMA Méthode de proc arima soit la chronique est stationnaire (propriétés statistiques invariantes au cours du temps) modélisation AR / MA / ARMA. 1 Transformation (éventuelle) de la chronique (généralement log) pour stabiliser la variance. 2 Identification des paramètres p, d, q. identify : identification des ordres p et q avec ACF et PACF de la chronique, éventuellement différentiée à l ordre d au préalable. soit elle ne l est pas (tendance stochastique / marche aléatoire, ou tendance déterministe) on commence par dériver pour stationnariser. 3 Estimation des θ j, φ i, µ (ou constant) et σ. estimate : estimation des paramètres. 4 Validation du modèle. estimate : significativité, ACF, PACF et graphe des résidus, Portmanteau, AIC, SBC, σ. 5 du futur. forecast : s. 3/26 4/26

2 avec modèle ARIMA(p,d,q) (1) avec modèle ARIMA(p,d,q) (2) Rappel : processus ARIMA ( ) Φ(B) (1 B) d X t µ = Θ(B)ε t ou : Ψ(B)X t = θ 0 + Θ(B)ε t c est-à-dire (pour simplifier, on suppose θ 0 = 0) : X t = Ψ 1 X t Ψ X t p d +ε t θ 1 ε t 1... θ q ε t q On écrit X T +h sous la forme : X T +h = ψ i X T +h i + ε T +h θ j ε T +h j ( ) j=1 On définit h, XT (h) = E(X T +h (X t ) t T ). ( meilleure approximation de X T +h par comb. lin. des (X t ) t T ) : on connaît (X t ) jusque la date t = T, on cherche une X T (h) de X à un horizon de h après l instant T. On remarque : X T (h) = X T +h si h 0. (heureusement...) 5/26 6/26 avec modèle ARIMA(p,d,q) (3) X T +h = ψ i X T +h i + ε T +h Donc : X T (h) = ψ i XT (h i) θ j ε T +h j j=1 θ j ε T +h j j=h ( ) ( ) car E(ε T +h j (X t ) t T ) = ε T +h j si j h et = 0 sinon. (ε T +h j Vect(X t ) t T si j h et (ε t ) non corrélés). Remarque : transformation de (X t )... Exemple : chronique airline Conséquence 1 : avec ( ) et ( ), t, X t+1 X t (1) = ε t+1. Conséquence 2 : formules d actualisation avec les ψ i, θ j, ε t (estimés) : X T (1) = ψ i X T +1 i θ j ε T +1 j j=1 X T (2) = ψ 1 XT (1) + ψ i X T +2 i θ j ε T +2 j... i=2 j=2 passage au log... SAS : I.C. pour X T +h sous hypothèse de normalité des ε t. 7/26 8/26

3 Passage au log Étude de Y t = log(x t ) Exemple : logarithme de la chronique airline Hypothèse : Y τ N (Ŷτ, σ 2 τ ) (τ > T ) forecast : Ŷτ + int. de conf. [L τ, U τ ] à 95% (centré sur Ŷτ ). Question : intervalle et pour X τ = exp(y τ )? Comme exp est croissante : Pr(exp(Y τ ) [exp(l τ ), exp(u τ )]) 95%. Donc intervalle de confiance à 95% : [exp(l τ ), exp(u τ )]). modèle additif avec tendance, variance de la composante aléatoire stabilisée. Question : quid de la sur airline?? Naïf : X τ = exp(ŷτ ) ( = exp(e(y τ )) E(exp(Y τ )) ) Mieux : X τ = E (X τ ) = exp(ŷτ + σ 2 τ /2) car X τ suit une loi log-normale. Remarque : intervalle de confiance non centré sur E (X τ )... 9/26 10/26 Illustration : Y t = log(x t ) Ŷ τ = 0, σ τ = loi de Y τ (normale) loi de X τ (log-normale) 3 11/26 Ici : Ŷτ = 0, I.C. 95% : [ 1.96, 1.96]. sur X τ : I.C. 95% : [0.14, 7.1] exp(ŷτ ) = 1 X τ = exp(ŷτ + σ 2 τ /2) = 1.6 Remarque : bien sûr, correction négligeable si σ 2 τ /2 << Ŷτ 12/26 4

4 Cas des chroniques périodiques (période π) Remarque 1 : X t peut ne pas être stationnaire à cause d un comportement du type : X t = S t + u t (S t déterministe π-périodique) Les processus Définition : processus (p, d, q)(p, D, Q) π Ce sont les processus (X t ) du type : ou X t = X t π + u t (cf marche aléatoire) on peut stationnariser en étudiant (1 B π )X t. Φ p (B)Φ P (B π )(1 B) d (1 B π ) D X t = θ 0 + Θ q (B)Θ Q (B π )ε t où p, d, q, P, D, Q 0, π est la période de la saisonnalité et (ε t ) est un bruit blanc gaussien. Remarque 2 : des corrélations saisonnières (période π) peuvent être présentes dans la chronique X t (corrélations / corrélations partielles aux décalages de π, 2π, 3π...) Intérêt : traiter les chroniques non-stationnaires, avec tendance et saisonnalité ou comportement style marche aléatoire. ARMA saisonnier : φ(b π )X t = θ(b π )ε t Remarque : = ARIMA particulier, mais la factorisation limite le nombre de coefficients à estimer. (cf parcimonie, rasoir d Ockham) 13/26 14/26 Exemples Identification des modèles 1 processus (1, 0, 2)(1, 1, 0) 4 : (chronique trimestrielle, période annuelle) (1 φ 1 B)(1 φ 1B 4 )(1 B 4 )X t = θ 0 +(1 θ 1 B θ 2 B 2 )ε t ou TP précédent : identification des ordres des processus ARIMA selon ACF et PACF. TP aujourd hui : identification des ordres des processus : regarder aussi les pics 12 et 24 de l ACF et du PACF (pour saisonnalité de période π = 12). (1 φ 1 B)(1 φ 1B 4 ) ( (1 B 4 )X t µ ) = (1 θ 1 B θ 2 B 2 )ε t Important : on cherche des modèles simples... 2 processus (0, 1, 1)(1, 0, 0) 12 : (chronique mensuelle, période annuelle) (1 φ 1B 12 )(1 B)X t = θ 0 + (1 θ 1 B)ε t Remarque : on commence par regarder ACF/PACF pour petits décalages (h 6), puis pour h = 12, 24, 36. (pour se débarrasser de l influence des corrélations court termes sur la composante saisonnière) ou (1 φ 1B 12 ) ((1 B)X t µ) = (1 θ 1 B)ε t En effet : si par exemple X t = (1 θ 1 B)(1 θ 1 B12 )ε t alors : X t = ε t θ 1 ε t 1 θ 1 ε t 12 + θ 1 θ 1 ε t 13 (influence des corrélations court termes sur le long terme ) 15/26 16/26

5 ACF et PACF pour (S)AR(1) et (S)MA(1) Modèle AR(1) Corrélogramme s 2s 3s 4s Corrélogramme partiel s 1 2 MA(1) /26 18/26 complémentaires : différentiation (1) complémentaires : différentiation (2) ordre de différentiation saisonnière : 0 ou 1. ordre de différentiation totale (saisonnière & non saisonnière) : d + D 2. si ACF pour décalage 1 est négatif ( 0.5 ), la chronique est trop différentiée. enlever un ordre de dérivation plutôt qu introduire un MA. si la décroissance de l ACF est lente, penser à différentier plutôt qu introduire un AR. (cf chronique magnesium) si l ACF est périodique (effet pont suspendu ), alors différentiation saisonnière. Justification : si X t déjà stationnaire et Y t = (1 B)X t, alors : γ Y (1) = 2γ X (1) γ X (0) γ X (2) γ Y (0) = 2γ X (0) 2γ X (1) donc ρ Y (1) = 1 2 ( 1 2ρX (1)+ρ X (2) 1 ρ X (1) ) 19/26 20/26

6 Pourquoi éviter de trop différentier? Cf intervalles de confiance de la... Exemple : chronique Y 1 (exercice 1 séance 2) complémentaires : la constante Φ p (B)Φ P (B π )(1 B) d (1 B π ) D X t = θ 0 + Θ q (B)Θ Q (B π )ε t chronique différentiée à l ordre 1 : constante = pente de la tendance. On peut avoir une constante nulle (ex : marche aléatoire) ou pas (ex : ax + b) ( B)Y t = ε t (1 B)Y t = ε t (σ = 1.002) (σ = 1.052) chronique différentiée à l ordre 2 (la pente varie ) : constante = coef du terme quadratique. (tendance quadratique rare, donc constante nulle) 21/26 22/26 complémentaires : divers éviter de mélanger SAR et SMA. les termes en AR et MA peuvent se compenser. 1 Ex : si ARIMA(2,d,1) identifié, on peut essayer ARIMA(1,d,0) (cas où les racines de AR et MA se compensent ) /26 24/26

7 Tous les modèles sont faux... mais certains sont utiles! Exemple : chronique SNCF Remember that all models are wrong ; the practical question is how wrong do they have to be to not be useful. Exemple du polycopié, sous SAS... George E. P. Box, Norman R. Draper Empirical Model-Building and Response Surface, Wiley, /26 26/26

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