TES 1 : DEVOIR SURVEILLÉ N 1 (2 heures)

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1 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N ( hurs) Ercic (4 points) Soit g la fonction défini sur par : g() = ( + ) 3 +. Calculr la dérivé g' d g t précisr son sign. En déduir l sns d variation d g sur.. Démontrr qu l'équation g() = 0 admt un uniqu solution α dans l'intrvall [ ; 0]. 3. Donnr un ncadrmnt d α d'amplitud 0. Ercic ( points) Soit ƒ la fonction défini sur \ {3} par : ƒ() = On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthogonal (O, i, j ).. Étudir ls limits d ƒ n t n +. La courb C ƒ admt-ll un asymptot horizontal?. Étudir ls limits d ƒ n 3 t n 3 +. La courb C ƒ admt-ll un asymptot vrtical? 3. Démontrr qu la droit d'équation y = + st un asymptot obliqu à la courb C ƒ n + t n. 4. Calculr la dérivé ƒ' d ƒ. Démontrr qu : ƒ'() = ( 5 )( ) ( 3). 5. En déduir l tablau d variation d ƒ.. Détrminr un équation d la tangnt T à la courb C ƒ au point d'absciss 0 =. 7. Tracr soignusmnt, sur un fuill séparé,, T t C ƒ. Unités graphiqus : A ds abscisss : gradué d à 7 avc cm par unité. A ds ordonnés : gradué d 4 à avc cm pour 4 unités. Ercic 3 (4 points) On dispos d'un courb C ƒ rprésntant un fonction ƒ t d du d ss tangnts T t T. (Voir graphiqu ci-contr) On sait qu la fonction ƒ st d la form : ƒ() = a + b + c. (C ƒ st un parabol). Par lctur graphiqu, donnr la valur d ƒ(0). En déduir la valur d c.. Eprimr ƒ'() n fonction d a t b. 3. Par lctur graphiqu, donnr la valur ds nombrs ƒ'() t ƒ'( ). En déduir la valur d a t b. 4. Par lctur graphiqu, résoudr l'équation ƒ() = 0. Rtrouvr c résultat par calcul.

2 y T T j O i C ƒ C ƒ

3 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N : CORRIGÉ Ercic (4 points) Soit g la fonction défini sur par : g() = ( + ) 3 +. La fonction g st d la form : g = u n + v avc : u() = + ; n = 3 t v() =. Donc g' = nu' u n + v'. C qui donn : g'() = 3( + ) +. Inutil d dévloppr, on a immédiatmnt : g'() > 0 pour tout. (Un carré auqul on ajout donn un quantité strictmnt positiv) La fonction g st donc strictmnt croissant sur.. C'st un qustion classiqu. Vérifions ls trois conditions du théorèm d bijction : La fonction g st dérivabl sur donc a fortiori g st dérivabl sur [ ; 0]. La fonction g st strictmnt croissant sur donc a fortiori g st strictmnt croissant sur [ ; 0]. On a : g( ) = < 0 t g(0) = > 0. L rél λ = 0 st donc bin compris ntr g( ) t g(0). D'après l théorèm d bijction, on n déduit qu l'équation g() = 0 admt un uniqu solution α dans l'intrvall [ ; 0] : α 0 + sign d la dérivé g' + 0 variations d g 3. Encadrmnt d α d'amplitud 0 à l'aid d'un ptit tablau d valurs : 0,9 0,8 0,7 0, 0,5 0,4 0,3 0, 0, g() 0,899 0,79 0,73 0,53 0,375 0,84 0,043 0,3 0,9 On n déduit : 0,4 < α < 0,3 Ls valurs d g() sont arrondis à 0 3. Ercic ( points) Soit ƒ la fonction défini sur \ {3} par : ƒ() = Limit d ƒ n. On a : lim ( + ) = + lim 8 = 0 puisqu lim ( 3) =. 3 Donc, par somm, lim ƒ() = +. Limit d ƒ n +. On a : lim ( + ) = + lim 8 = 0 puisqu lim ( 3) = Donc, par somm, lim ƒ() =. + Comm ls limits d ƒ n + t n n sont pas finis, la courb C ƒ n'admt donc pas d'asymptot horizontal n +, ni n.

4 . Limit d ƒ n 3. On a : lim ( + ) = 5 3 lim = + puisqu lim 3 Donc, par somm, lim ƒ() = +. 3 Limit d ƒ n 3 +. On a : lim ( + ) = lim = puisqu lim 3 + Donc, par somm, lim ƒ() =. 3 + ( 3) = 0. ( 3) = 0 +. Comm ls limits d ƒ n 3 + t 3 sont infinis, on n déduit qu la courb C ƒ admt un asymptot vrtical D d'équation = Étudions la différnc ƒ() ( + ). ("Écart vrtical" ntr la courb C ƒ t la droit n l'absciss ). ƒ() ( + ) = ( + ) = 8 3 Ct "écart vrtical" tnd vrs 0 quand tnd vrs + : lim [ƒ() ( + )] = lim La courb C ƒ admt donc un asymptot obliqu d'équation y = + n +. On a l mêm résultat n : lim [ƒ() ( + )] = lim 8 3 La courb C ƒ admt donc égalmnt un asymptot obliqu d'équation y = + n. 4. Calcul d la dérivé ƒ' d la fonction ƒ : La fonction ƒ st d la form : ƒ = u 8 v où u t v sont ls fonctions définis par u( ) = +. v( ) = 3 v' Donc ƒ'= u' 8 = u' + 8 v ' v v, c qui donn : ƒ'() = + 8 ( 3). Rmarqu : on put aussi réduir ƒ() au mêm dénominatur puis utilisr la formul En réduisant au mêm dénominatur : d la dérivé d'un quotint... ƒ'() = ( ) ( 3) 8 3 ( 3) = 0 8 ( + 9) + 0 = = ( 3) Par aillurs, on a : ( 5)( ) = (0 )( ) = + 0. Donc : ƒ'() = ( 5 )( ) ( 3) 5. On n déduit l tablau d variation d ƒ : = sign d sign d ( 5) 0 + sign d ( ) sign d ( 3) sign d la dérivé ƒ' variations d ƒ 3 La fonction ƒ admt un maimum rlatif n 5 : ƒ(5) = 3. Justification ds signs : Un carré st positif ou nul N pas oublir d complétr l tablau d variation avc ls valurs ds limits t ds évntuls trmums

5 La fonction ƒ admt un minimum rlatif n : ƒ() = 3.. L'équation d la tangnt T au point d'absciss st donné par la formul : T : y = ƒ() + ƒ'()( ) Or, ƒ() = 5 t ƒ'() =. D'où : T : y = 7 La formul général st : y = ƒ( 0 ) + ƒ'( 0 )( 0 ) 7. Vuillz rfair soignusmnt l graphiqu chz vous puis m l rndr pour l Judi 4 Octobr 00 En tnant compt ds consils suivants : Rspctr ls unités graphiqus. Tracr ls du asymptots (l'obliqu t la vrtical) Tracr la tangnt T. Pour tracr C ƒ, soyz généru t calculz d nombruss valurs avc la calcultt (Vous pouvz utilisr l mnu "TABLE"). Marquz d'un croi légèr au crayon tous ls points calculés. Lorsqu vous dssinz C ƒ, villz à bin rprésntr l comportmnt asymptotiqu (C ƒ doit s'approchr d ss asymptots). Villz égalmnt à c qu la droit T soit bin tangnt à C ƒ au point d'absciss. Rprésntr par un doubl flèch ls tangnts horizontals à C ƒ. (Ls coordonnés ds points corrspondants sont visibls dans l tablau d variation) Enfin, utilisz ds coulurs différnts! Ercic 3 (4 points) On dispos d'un courb C ƒ rprésntant un fonction ƒ t d du d ss tangnts T t T. (Voir graphiqu ci-contr) On sait qu la fonction ƒ st d la form : ƒ() = a + b + c. (C ƒ st un parabol). ƒ(0) =. Par aillurs, ƒ(0) = c. Donc c =.. ƒ'() = a + b. 3. ƒ'() = cofficint dirctur d la tangnt T = 3. ƒ'( ) = cofficint dirctur d la tangnt T =. Par aillurs, d'après la qustion, on a : ƒ'() = a + b t ƒ'( ) = a + b. a + b = 3 En résolvant l ptit systèm, on trouv facilmnt a = t b =. a + b = On a donc détrminé la fonction ƒ : ƒ() = Ls solutions d l'équation ƒ() = 0 sont ls abscisss ds points d'intrsction d C ƒ avc l'a (O). Graphiqumnt, on trouv du solutions : = 3 t =. Donc S = { 3 ; }. Pour rtrouvr c résultat par calcul, on résout l'équation + = 0. Allz, tout l mond sait l fair, j vais m couchr!

6 TES : DEVOIR SURVEILLÉ (spécialité) Ercic (3 points) Dans un rpèr orthonormé (O, i, j, k ) d l'spac, on considèr ls points : A(0 ; ; 5), B(3 ; 0 ; 5) t C(3 ; ; 0). Placr ls points dans l rpèr. (On dssinra l rpèr avc ds unités au choi). Détrminr un équation du plan (ABC). 3. Détrminr un équation du plan (P) passant par C t d vctur normal AB. Dans ct rcic, on évalu votr capacité à placr ds points dans un rpèr d l'spac. On évalu égalmnt votr capacité à détrminr un équation d'un plan connaissant trois d ss points ou connaissant un d ss points t un vctur normal. Ls méthods ont été vus n cours. Ct rcic n doit posr aucun difficulté. Ercic (7 points) On considèr ls du plans (P) t (Q) dont ls équations sont donnés ci-dssous : (P) : + 3y z + = 0 (Q) : + y + αz + 5 = 0. Donnr un vctur normal n au plan (P) t un vctur normal m au plan (Q).. Commnt choisir α pour avoir (P) t (Q) prpndiculairs? 3. Commnt choisir α pour avoir (P) t (Q) parallèls? Ls plans (P) t (Q) sont-ils alors confondus? Ct rcic étudi la position rlativ d du plans suivant différnts valurs d'un paramètr α. Ls différnts cas ont été étudiés n T.D. Ls élèvs qui ont rpris cs rcics chz u n doivnt pas rncontrr d difficultés particulièrs. Ct rcic st d nivau BAC 4. Dans ctt qustion, on suppos qu α =. Ls plans (P) t (Q) sont donc sécants suivant un droit (D). + 3y z + = 0 Résoudr l systèm + y + z + 5 = 0. Détrminr du points A t B d la droit (D). En déduir un vctur dirctur v d la droit (D). Ercic 3 (4 points) On considèr trois plans (P), (Q) t (R) dont ls équations sont donnés ci-dssous : (P) : y + 3z = 0 (Q) : 3 + y z + = 0 (R) : 3y + z 3 = 0 On admt qu cs trois plans s coupnt n uniqu point A. Détrminr ls coordonnés d A. Ercic 4 ( points) Dans ct rcic, on vous dmand d résoudr un systèm d trois équations à trois inconnus. L'énoncé précis qu'il y a un sul triplt solution ("ls trois plans s coupnt n un uniqu point A"). Vous avz l libr choi d la méthod (substitution, combinaison,...). Aucun difficulté à prévoir, si c n'st ls rrurs d calculs! Pnsz à vérifir votr solution! Soit (P) un plan d vctur normal n t (D) un droit d vctur dirctur v.. Dans ctt qustion, on suppos qu la droit (D) st parallèl au plan (P). Qu vaut n. v? Illustrr.. On suppos maintnant qu n. v 0. Qu put-on n déduir sur la position rlativ d la droit (D) t du plan (P)? Illustrr. Ct rcic évalu vos connaissancs sur ls notions d vctur normal à un plan t d vctur dirctur d'un droit. Il tst égalmnt votr aptitud à illustrr d façon prtinnt un situation donné.

7 Ercic 5 (4 points) L but d ct rcic st d'étudir ls différnts positions rlativs d trois plans dans l'spac. On not S l systèm constitué ds équations ds trois plans (P), (Q) t (R). Eaminr chacun ds quatr situations ci-dssous t indiqur (par un brèv plication) si l systèm S admt aucun, un sul ou un infinité d triplt(s) solution(s). Ct rcic, n princip très facil, tst votr vision dans l'spac. Il n'y a aucun calcul à fair mais simplmnt pliqur d la façon la plus convaincant possibl votr point d vu. SITUATION A Plan (R) sécant à du plans (P) t (Q) strictmnt parallèls SITUATION B : Du plans (Q) t (R) sécants suivant un droit (D) ll-mêm sécant à un plan (P) (R) (Q) (R) (Q) (P) A (P) (D) SITUATION C Trois plans sécants suivant un mêm droit (D) SITUATION D Trois plans sécants du à du suivant trois droits strictmnt parallèls (Q) (R) (Q) (R) (D) (P) (P)

8 TES : DEVOIR SURVEILLÉ (spécialité) Corrigé Ercic (3 points) Dans un rpèr orthonormé (O, i, j, k ) d l'spac, on considèr ls points :. Ctt qustion n'a pas posé d problèm. A(0 ; ; 5), B(3 ; 0 ; 5) t C(3 ; ; 0). Un équation (cartésinn) du plan (ABC) st d la form : a + by + cz + d = 0 Comm A(0 ; ; 5) st dans l plan (ABC), ss coordonnés vérifint l'équation : a A + by A + cz A + d = 0 b + 5c + d = 0 En ploitant ls conditions B (ABC) t C (ABC), on obtint d mêm : 3a + 5c + d = 0 t 3a + b + d = 0 (avc a, b t c non tous nuls) Par aillurs, nous savons qu ls cofficints a, b, c t d sont définis à un factur près. Nous pouvons donc fir arbitrairmnt a =. Il nous rst alors trois équations à trois inconnus : b + 5c + d = c + d = b + d = 0 ( E ) ( E ) ( E ) 3 Résolvons c systèm. En ffctuant (E ) (E ), nous obtnons : b 3 = 0 d'où b = 3. Rmplaçons b par 3 dans (E 3) : d = 0 d'où d =. Rmplaçons d par ( ) dans (E ) : 3 + 5c = 0 d'où c = 3 5. Un équation du plan (ABC) st donc : + 3 y z = 0 Et n multipliant tous ls cofficints par 0, nous obtnons : (ABC) : 0 + 5y + z 0 = 0 3. On sait qu : AB B y y z B B z A A A. C qui donn : AB 3. 0 Nous savons qu l vctur n a b st normal au plan d'équation a + by + cz + d = 0. c Donc tout plan (P) d'équation 3 y + d = 0 admt bin AB comm vctur normal. Pour détrminr d, on ploit la condition C (P) : 3 C y C + d = d = 0 d = 5

9 D'où un équation du plan (P) : 3 y 5 = 0 Ercic (7 points) On considèr ls du plans (P) t (Q) dont ls équations sont donnés ci-dssous : (P) : + 3y z + = 0 (Q) : + y + αz + 5 = 0. Un vctur normal n au plan (P) st n 3 t un vctur normal m au plan (Q) st m. α. Nous savons qu ls plans (P) t (Q) sont prpndiculairs si t sulmnt si lurs vcturs normau sont orthogonau, c'st-à-dir si t sulmnt si n. m = 0. Or : n. m = + 8 α = 0 α. On a donc n. m = 0 si t sulmnt si α = 0. Conclusion : pour qu ls plans (P) t (Q) soint prpndiculairs, nous dvons choisir α = Nous savons qu (P) t (Q) sont parallèls si t sulmnt si lurs vcturs normau sont colinéairs. Soit k un rél tl qu m = k n (s'il ist). C'st à dir, tl qu : = k = 3k α = k D'après ls du prmièrs ligns, on a nécssairmnt k =. D'où α =. Conclusion : pour qu ls plans (P) t (Q) soint parallèls, nous dvons choisir α =. Eaminons maintnant si (P) t (Q) sont confondus. (Dans l cas α = ) Pour cla, on détrmin un point A du plan (P) t on tst si A st dans (Q). Soit A(0 ; 0 ; λ) un point d P, on a alors : λ + = 0, d'où λ =. Ainsi, l point A(0 ; 0 ; ) st dans (P). Or, = 3 0, donc A (Q). L plan (P) st parallèl à (Q) t contint un point A n'appartnant pas à (Q) donc : (P) t (Q) sont strictmnt parallèls 4. Dans ctt qustion, on suppos qu α =. Ls plans (P) t (Q) sont donc sécants suivant un droit (D). Résolvons l systèm + 3y z + = 0 + y + z + 5 = 0 ( E) ( E ). En ffctuant (E ) + (E ) : 3 + 9y + = 0 d'où = 3y. En rmplaçant par ( 3y ) dans (E ) : 3y + 3y z + = 0 d'où z =. (z st donc constant) On n déduit : S = {( 3y ; y ; ) ; y } (infinité d triplts solutions) On obtint ls coordonnés ds points d la droit (D) n attribuant un valur à y dans S. Avc y = 0, on obtint : A( ; 0 ; ) Avc y =, on obtint : B( 5 ; ; ). D'où AB 3 3. Un vctur dirctur v d la droit (D) st donc : v. 0 0

10 Ercic 3 (4 points) On résout l systèm : y + 3z = 0 ( E) 3 + y z + = 0 ( E ) 3y + z 3 = 0 ( E ) 3 Procédons par substitution. Avc (E ), primons y n fonction d t z : En rmplaçant dans (E ) t (E 3 ), on obtint : y = + 3z (E 4 ) 7 + 5z = z = 0 ( E ) 5 ( E ) C systèm a un solution uniqu (c'st l'énoncé qui l'affirm). Ctt solution st trivial : ( ; z) = (0 ; 0). En rmplaçant dans (E 4 ), on obtint : y = D'où : S = {(0 ; ; 0)} Ls coordonnés du point A sont : A(0 ; ; 0) Ercic 4 ( points) Soit (P) un plan d vctur normal n t (D) un droit d vctur dirctur v.. Si la droit (D) st parallèl au plan (P) alors ls vcturs n t v sont orthogonau. Donc n. v = 0. v (D) n (P). Si n. v 0 alors la droit (D) t l plan (P) sont sécants (n un point). v (D) n A (P)

11 Ercic 5 (4 points) SITUATION A : comm ls plans (P) t (Q) sont strictmnt parallèls, ils n'ont aucun point n commun. Il n'y a donc, a fortiori, aucun point n commun au trois plans (P), (Q) t (R). L systèm S n'admt donc aucun triplt solution. SITUATION B : il n'y a qu'un sul point n commun au trois plans (à savoir l point A). Donc l systèm S admt un sul triplt solution (corrspondant au coordonnés d A) SITUATION C : il y a un infinité d points communs au trois plans (à savoir, tous ls points d la droit (D)). L systèm S admt donc un infinité d triplts solutions (qui corrspondnt au coordonnés ds points d (D)). SITUATION D : il n'y a aucun point n commun au trois plans, donc S n'admt aucun triplt solution.

12 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N ( hurs) Ercic (4 points) Résoudr l'inéquation : ln( + ) + ln( 3) ln( + 5) Ercic (8 points) On considèr la fonction ƒ défini sur ]0 ; + [ par : On not C ƒ sa rprésntation graphiqu. ƒ() = ln. Étud ds limits d ƒ t du comportmnt asymptotiqu d C ƒ. a) Étudir la limit d ƒ n 0 +. La courb C ƒ admt-ll un asymptot vrtical? b) Étudir la limit d ƒ n +. La courb C ƒ admt-ll un asymptot horizontal?. Étud du sns d variation d ƒ a) Calculr la dérivé ƒ' d la fonction ƒ. b) En déduir qu : ƒ'() = c) Drssr l tablau d variation d la fonction ƒ. 3. Rprésntation graphiqu. pour tout ]0 ; + [ a) Tracr, très soignusmnt C ƒ ainsi qu la droit D d'équation y =. Unités graphiqus : cm par unité sur chaqu a b) Résoudr l'équation ƒ() =. Rprésntr sa (ou ss) solution(s) sur l graphiqu. Ercic 3 (8 points) Comparaison d du ajustmnts affins : droit d Mayr t droit d régrssion Un ntrpris fabriqu huit typs d produits. Pour chaqu produit, ll dépns ds somms différnts n publicité. L tablau ci-dssous donn, pour chaqu produit, l budgt mnsul alloué à la publicité (n qu l nombr d commands faits n un mois à l'ntrpris. Produit P P P 3 P 4 P 5 P P 7 P 8 X = budgt mnsul alloué à la publicité (n Y = nombr d commands n un mois Sauf mntion contrair, tous ls calculs pourront êtr ffctué à la calculatric (ls arrondis évntuls sront précisés à chaqu qustion). Rprésntr l nuag d points associé à la séri statistiqu (X, Y). Unités graphiqus : En abscisss : cm pour 000 uros. En ordonnés : cm pour 00 commands. On prndra pour origin l point (5000 ; 00).

13 . Détrminr ls coordonnés du point moyn G d c nuag d points. Placr G sur l graphiqu. 3. Détrminr l cofficint d corrélation linéair ntr X t Y. (On arrondira à 0 3 ). Un ajustmnt affin st-il justifié? 4. Un prmir ajustmnt affin : la droit d Mayr Dans ctt qustion, on considèr du sous-nuags : clui constitué ds points corrspondants au produits P, P, P 3 t P 4 t clui constitué ds points corrspondants au produits P 5, P, P 7 t P 8. a) Calculr ls coordonnés ds points moyns G t G ds du sous-nuags. Placr ls points G t G sur l graphiqu. b) Démontrr qu'un équation d la droit (G G ) sous la form y = m + p st : y = 0, 95 (On détaillra ls calculs). (On arrondira m à 0 près t p à l'unité près) La droit (G G ) s'appll la "droit d Mayr". Rprésntr ctt droit sur l graphiqu. c) Rcopir t complétr l tablau suivant : X Y ,X 95 Y (0,X 95) [Y (0,X 95)] En déduir la somm ds résidus quadratiqus S associé à la droit Mayr (G G ). 5. Un duièm ajustmnt affin : la droit d régrssion a) Détrminr un équation d la droit d régrssion d y n par la méthod ds moindrs carrés. On notra D ctt droit t y = a + b son équation. Rprésntr D sur l graphiqu. (On arrondira a à 0 3 près t b à l'unité près) b) La somm ds résidus quadratiqus S' associé à la droit d régrssion D st S' 798. Laqull ds du droits (G G ) t D réalis-t-ll l millur ajustmnt affin?. Estimations. À l'aid d l'équation d la droit (D) (ou à défaut cll d (G G )), t n détaillant ls calculs, répondr au du qustions suivants : a) L'ntrpris souhait commrcialisr un produit P 9 pour lqul ll nvisag un budgt mnsul publicitair d on fair du nombr commands pour c produit? (On arrondira à l'unité par défaut) b) L'ntrpris souhait vndr 800 mplairs par mois d'un produit P 0. Qul budgt mnsul doit-ll prévoir pour la publicité d c produit? (On arrondira à l'uro près par cès)

14 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N CORRIGÉ Ercic (4 points) On considèr l'inéquation : ln( + ) + ln( 3) ln( + 5) Détrminons ls contraints d ctt inéquation. (C'st à dir l'nsmbl ds réls pour lsquls l'inéquation st défini). Nous savons qu la fonction logarithm st défini sur ]0 ; + [. Nous dvons donc avoir : + > 0 t 3 > 0 t + 5 > 0 C'st-à-dir : > t > 3 t > 5 C qui s'écrit plus simplmnt : > 3 Ls logarithms intrvnant dans l'inéquation sont donc définis lorsqu > 3. Résolution d l'inéquation : on suppos désormais > 3. D'après la rlation fondamntal du logarithm : ln A + ln B = ln(ab), pour tous réls A t B d ]0 ; + [ appliqué avc A = + t B = 3 (quantités strictmnt positivs puisqu > 3), nous avons : ln( + ) + ln( 3) = ln[( + )( 3)] Notr inéquation put donc s'écrir : ln[( + )( 3)] ln( + 5) D'après la propriété : ln A ln B A B, pour tous A t B d ]0 ; + [ appliqué avc A = ( + )( 3) t B = + 5 (quantités strictmnt positivs puisqu > 3), nous avons : En dévloppant l mmbr d gauch : ( + )( 3) + 5 L'équivalnc : ln A ln B A B, pour tous A t B d ]0 ; + [ traduit la croissanc d la fonction logarithm sur ]0 ; + [ D'où : 8 0 En divisant ls du mmbrs par : L trinôm du scond dgré 3 4 admt du racins : = t = 4. D'où la factorisation : ( + )( 4) 0 Résolvons ctt drnièr inéquation (à l'aid d'un tablau d signs) : Bilan : 4 + Justification ds signs sign d sign d sign du produit ( + )( 4) L'nsmbl ds solutions d l'inéquation ( + )( 4) 0 st [ ; 4]. L'nsmbl S ds solutions d l'inéquation ln( + ) + ln( 3) ln( + 5) st donc, n tnant compt d la condition > 3 : S = ]3 ; 4]

15 Ercic (8 points) On considèr la fonction ƒ défini sur ]0 ; + [ par : On not C ƒ sa rprésntation graphiqu. ƒ() = ln. Étud ds limits d ƒ t du comportmnt asymptotiqu d C ƒ. a) Nous savons qu : lim = lim ln = 0 + Donc, par différnc : lim ƒ() = Comm ƒ admt un limit infini n 0, C ƒ admt donc un asymptot vrtical d'équation = 0. b) En raisonnant sur l'écritur " ln ", nous avons, n +, un indétrmination du typ " ". Pour lvr ctt indétrmination, on put s ramnr à un produit, n écrivant : ln ln = Nous savons qu : lim = + + lim + ln = puisqu lim + Donc, par produit : lim + ln ln = 0 (limit d référnc) = +, c'st-à-dir lim ƒ() = +. + Comm la limit d ƒ n + n'st pas fini, C ƒ n'admt pas d'asymptot horizontal n +.. Étud du sns d variation d ƒ a) On a immédiatmnt : ƒ'() =. b) En réduisant au mêm dénominatur : ƒ'() = pour tout ]0 ; + [ c) Tablau d variation d la fonction ƒ : 0 + sign d 0 + sign d Sign d ƒ ' 0 + Variations d ƒ + + Minimum n : ƒ() = ln = 3. Rprésntation graphiqu. a)

16 D C ƒ 3 O b) L'équation ƒ() = s'écrit : ln = C'st-à-dir : ln = La contraint d ctt équation st > 0. En rmplaçant par ln, on obtint : ln = ln D'après la propriété : ln A = ln B A = B, pour tous A t B dans ]0 ; + [, on a : = Comm > 0, on a : S = {} Ercic 3 (8 points) Comparaison d du ajustmnts affins : droit d Mayr t droit d régrssion. Point moyn du nuag : G(700 ; 455) 3. Cofficint d corrélation linéair : r 0,997 (à 0 3 près). On a : r 0,993 (à 0 3 près). Comm r >> 0,75, un ajustmnt affin st largmnt justifié. 4. a) G (9975 ; 300) t G (445 ; 30) b) Équation d la droit (G G ). Cofficint dirctur : m = y y G G G G = = , (à 0 près) Ordonné à l'origin : p = yg m G = (à l'unité près) 445 D'où : (G G ) : y = 0, 95

17 c) X Y 0,X 95 Y (0,X 95) [Y (0,X 95)] D'où S = = a) Droit d régrssion d y n : y = a + b avc a 0,54 (à 0 3 près) t b 95 (à l'unité près) y = 0,54 95 b) On sait qu la droit d régrssion D minimis la somm ds résidus quadratiqus. C'st donc la droit D qui réalis l millur ajustmnt affin.. a) Avc = 3400, on trouv : y = 0, = 3408, 3408 (à l'unité près par défaut) On put donc stimr qu'il y aura 3408 commands chaqu mois pour c produit. b) Avc y = 800, on a : 800 = 0,54 95 d'où 955 (à l'uro près par cès) On put donc prévoir un budgt mnsul d 955

18 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N 3 ( hur) Élèvs qui suivnt just l'nsignmnt obligatoir Parti PROBABILITÉS (0 points) Ercic (4 points) A, B t C sont ds événmnts. On sait qu : p(a) = 0,3 ; p(b) = 0,5 ; p(a B) = 0, ; p( C ) = 0,4. On sait égalmnt qu A t C sont incompatibls.. Ls événmnts A t B sont-ils incompatibls?. Calculr : p(c) ; p(a B) ; p(a C) Ercic ( points) Du jouurs d tnnis J t J s'affrontnt dans un match n du sts gagnants. (Rappl ds règls : pour gagnr l match, un jouur doit gagnr du sts. Il y a, au plus, trois sts.) On suppos qu : la probabilité qu l jouur J gagn l r st st 0, la probabilité qu l jouur J gagn l èm st st 0,5 la probabilité qu l jouur J gagn l 3 èm st (si il y n a un) st 0,4.. Fair un arbr décrivant ls différnts cas d figur.. Calculr la probabilité ds événmnts suivants : A = "l jouur J gagn l match n sts" B = "l jouur J prd l match n sts" C = "l jouur J gagn au moins un st" D = "l jouur J gagn l match" Parti LOGARITHMES (0 points) Ercic 3 (4 points) Simplifir au maimum : ln( ) + ln( + ) ln( 00 ) ln( 8 ) On précisra, à chaqu étap, la formul utilisé. Ercic 4 (4 points) Résoudr l'équation : ln(4 3) = ln( + ) Ercic 5 ( points) Dérivr la fonction ƒ défini par : ƒ() = ln( + )

19 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N 3 ( hur) Élèvs qui suivnt l'nsignmnt d spécialité Parti PROBABILITÉS (0 points) (not comptant pour l'nsignmnt obligatoir) Ercic (8 points) A, B t C sont ds événmnts. On sait qu : p(a) = 0,3 ; p(b) = 0,5 ; p(a B) = 0, ; p( C ) = 0,4. On sait égalmnt qu A t C sont incompatibls.. Ls événmnts A t B sont-ils incompatibls?. Calculr : p(c) ; p(a B) ; p(a C) Ercic ( points) Du jouurs d tnnis J t J s'affrontnt dans un match n du sts gagnants. (Rappl ds règls : pour gagnr l match, un jouur doit gagnr du sts. Il y a, au plus, trois sts.) On suppos qu : la probabilité qu l jouur J gagn l r st st 0, la probabilité qu l jouur J gagn l èm st st 0,5 la probabilité qu l jouur J gagn l 3 èm st (si il y n a un) st 0,4.. Fair un arbr décrivant ls différnts cas d figur.. Calculr la probabilité ds événmnts suivants : A = "l jouur J gagn l match n sts" B = "l jouur J prd l match n sts" C = "l jouur J gagn au moins un st" D = "l jouur J gagn l match" Parti SUITES (0 points) (not comptant pour l'nsignmnt d spécialité) Ercic 3 (0 points) Un clint d'un banqu dispos, au r janvir 000, d'un capital d 000 La banqu rémunèr à 5% d'intérêts annuls touts ls somms déposés t vrs cs intérêts sur l compt tous ls 3 décmbr d chaqu anné. D plus, l clint décid d rajoutr 950 On désign par u n (n ntir positif ou nul) l capital disponibl après n annés écoulés dpuis l r janvir 000, ainsi u 0 = Calculr u t u. Donnr ls résultats arrondis au cntim d'uro près.. Pour la suit, on considèr qu l'on a la rlation : u n+ =,05 u n On considèr la suit (v n ) défini pour tout ntir n positif ou nul par : v n = u n Montrr qu la suit (v n ) st un suit géométriqu dont on détrminra l prmir trm v 0 t la raison q. 3. En déduir l'prssion d v n, puis cll d u n, n fonction d n. Qul sra l capital du clint après 0 annés écoulés dpuis l r janvir 000? 4. Au bout d combin d'annés son capital dépassra-t-il 0000

20 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N 4 ( hurs) Ercic (5 points) On lanc n dés (n ). On not A l'événmnt "obtnir au moins un (sur l'nsmbl ds n lancrs)".. Décrir l'événmnt A à l'aid d'un phras.. Fair un arbr t calculr p(a) dans l cas où n = Dans ctt qustion, on suppos n qulconqu. Eprimr p(a) n fonction d n. 4. Combin d dés faut-il lancr pour qu la probabilité d'obtnir au moins un si soit supériur à 3 4? Ercic (3 points) Un urn U contint trois bouls noirs t spt bouls blanchs. Un urn U contint cinq bouls noirs t cinq bouls blanchs. On choisit un urn au hasard (équiprobablmnt) t on tir succssivmnt du bouls, avc rmis, dans l'urn choisi. On not B l'événmnt "obtnir un boul blanch au prmir tirag" t B l'événmnt "obtnir un boul blanch au scond tirag". Fair un arbr illustrant ctt périnc aléatoir.. Ls événmnts B t B sont-ils indépndants? Ercic 3 (5 points) L tirs d'un population a été vacciné contr un maladi. Au cours d'un épidémi, on constat qu, sur quinz malads, il y a du prsonns vaccinés. On suppos d plus qu sur cnt prsonns vaccinés, huit sont malads. On choisit un individu au hasard dans ctt population t on not : M = "l'individu st malad" t V = "l'individu st vacciné". On a donc : p(v) = 3 ; p(v M) = 5 t p(m V) = 8 00 = 5.. Calculr p(m V) puis p(m). En déduir la proportion d malads dans la population.. Calculr la probabilité qu l'individu soit malad sachant qu'il n'st pas vacciné. 3. Un vaccin st dit "fficac" lorsqu : p(m V ) > p(m V). Qu'n st-il ici? Ercic 4 (3 points) Soit ƒ la fonction défini sur par ƒ() = Détrminr la primitiv F d ƒ tll qu F( ) = 0.. Calculr l'intégral : I() = ƒ( t) dt. Ercic 5 (4 points) On considèr la fonction ƒ défini sur ]0 ; + [ par : ƒ() =. On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans un rpèr orthonormé. Tracr C ƒ. (Unités graphiqus : cm sur chaqu a). Hachurr, sur l graphiqu, l domain D défini par : {M( ; y) avc 4 t 0 y ƒ()} 3. Calculr l'air du domain D, n cm.

21 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N 4 CORRIGÉ ds rcics d PROBABILITÉS Ercic (5 points). A = "n'obtnir aucun (sur l'nsmbl ds n lancrs)". Cas n = 3 : 5 Dé n 5 5 L'événmnt A corrspond au chmin Dé n Dé n 3 p( A ) = 5 3 d'où : p(a) = 5 3. En raisonnant d mêm qu ci-dssus avc n dés, on a : p( A ) = 3. n 5 d'où : p(a) = 5 n. n Rappl : p(a) + p( A ) = 4. Il s'agit d détrminr l plus ptit ntir n tl qu : p(a) 3 4. C'st-à-dir : Isolons l trm n 5 : n 4 5 Utilisons maintnant ls logarithms : ln n 4 ln 5 Rappl : A B ln A ln B pour tous A t B d ]0 ; + [ On chang l sns d l'inégalité si on multipli (ou divis) par un nombr négatif! Or, ln n 4 = ln 4 t ln 5 = n ln 5 d'où : ln 4 n ln 5 Comm 5 ]0 ; [, on a ln 5 < 0. d'où : Et comm ln 4 5 ln ln 4 5 ln 7, t qu n st un ntir, on déduit : n 8 Conclusion : il faut lancr au moins 8 dés pour êtr sûr à 75% d'obtnir au moins un. n Rappl : ln(a n ) = n ln A pour tout A d ]0 ; + [ Rappl : (Rappl ln < 0 ]0 ; [) Ercic (3 points). Arbr U U 0,7 0,3 Prmir tirag B N B N 0,7 0,3 0,7 0,3 Scond tirag B N B N B N B N

22 . Comparons p(b )p(b ) t P(B B ) p(b ) = 0,5 0,7 + 0,5 0,5 = 0,35 + 0,5 = 0, p(b ) = 0,5 0,7 0,7 + 0,5 0,3 0,7 + 0,5 0,5 0,5 + 0,5 0,5 0,5 = 0, Donc p(b )p(b ) = 0,3. p(b B ) = 0,5 0,7 0,7 + 0,5 0,5 0,5 = 0,37. Comm p(b )p(b ) p(b B ), on déduit : B t B n sont pas indépndants. L'événmnt B corrspond au chmin U B ou au chmin U B Rmarqu : c résultat put paraîtr surprnant. Il st dû à la composition différnt ntr bouls blanchs t noirs dans ls du urns t qu'on n sait pas, a priori, dans qull urn sront ffctués ls tirags. L'événmnt B corrspond au chmins U BB ; U NB ; U BB ; U NB L'événmnt B B corrspond au chmins : U BB ; U BB Ercic 3 (5 points) Donnés : p(v) = 3 ; p(v M) = 5 t p(m V) = 8 00 = 5 = 0,08. Rmarqu : p(m V) n'st pas nul. Mêm vacciné, on put tombr malad! L'fficacité à 00% n'ist pas! p(v) = 3 V V p(m V) =0,08 M M M M. D'un part : p(m V) = p(m V) p(v) = 5 3 = 75. D'autr part : p(m V) = p(v M) p(m) d'où p(m) = p ( M V ) p( V M) = 75 5 = 5. Puisqu l'individu choisi a un "chanc" sur 5 d'êtr malad, on put stimr qu'il y a 0% d malads dans la population.. Il s'agit d calculr p(m V ). D'après la formul ds probabilités totals appliqué à la partition V V où d'après un raisonnmnt obtnu à l'aid d'un arbr, on a : p(m) = p(m V)p(V) + p(m V )p(v ) D'où : p(m V ) = p ( M ) p ( M V ) p ( V ) = 5 5 p( V ) 3 3 = 3 50 = 0,. 3. Bilan : p(m V ) = 0, t p(m V) = 0,08. Donc p(m V ) > p(m V). La probabilité d'êtr malad si on n'st pas vacciné st supériur à la probabilité d'êtr malad si on st vacciné. C vaccin st donc fficac. (On put mêm "msurr" ctt fficacité n calculant l rapport p ( M V ) = 3,5 qui s'intrprèt ainsi : l risqu d p( M V ) tombr malad sans êtr vacciné st plus qu 3 fois plus grand qu si on st vacciné) Cci étant dit, n tombz pas malads pndant cs vacancs. L vaccin contr la cris d foi n'ist pas ncor! ***** JOYEUSES FÊTES ***** (Et n laissz pas vos cahirs frmés!)

23 TES : DS spécialité ( hurs) Ercic (4 points) Ls cods d cart bancair sont constitués d 4 chiffrs. (D 0000 à 9999). Combin d cods ist-t-il au total?. Combin d cods n comportnt pas d 0? 3. Combin d cods sont constitués d 4 chiffrs distincts? 4. Combin d cods sont constitués d 4 chiffrs pairs distincts? Ercic (5 points) Un urn contint 49 bouls numérotés d à 49. On tir succssivmnt bouls, sans rmis. On appll "tirag" ct nsmbl d numéros obtnus (sans tnir compt d l'ordr).. Combin y a-t-il d tirags au total?. Combin y a-t-il d tirags qui continnnt 3 numéros pairs t 3 numéros impairs? 3. Combin y a-t-il d tirags qui continnnt au moins 5 numéros pairs? (C'st-à-dir 5 numéros pairs ou numéros pairs) Ercic 3 (4 points). Dénombrr ls mots d 3 lttrs qui continnnt 9 fois la lttr D t 4 fois la lttr B.. Dans l quadrillag ci-contr (9 4), combin y a-t-il d chmins allant d A à B (on s déplac uniqumnt vrs la Droit ou vrs l Bas)? 3. Combin d cs chmins passnt par l point C? A C B Ercic 4 (4 points) Dans un class, on souhait élir un comité. (Un comité st un ptit group d'élèvs auqul on confira un mission particulièr). On suppos qu chaqu élèv d la class put êtr élu.. Combin d comités d 3 prsonns put-on élir dans un class d 3 élèvs?. Dans un class d n élèvs, il y a 35 façons d'élir un comité d prsonns. Qul st l nombr n d'élèvs d ctt class? Ercic 5 (3 points). Écrir l dévloppmnt d (a + b) 5.. Écrir l dévloppmnt d ( + ) Écrir l dévloppmnt d ( ) 5 sous la form p + q où p t q sont ds ntirs rlatifs.

24 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N 5 ( hur) Ercic ( points) Un urn contint jton numéroté ➀, jtons numérotés ➁ t 3 jtons numérotés ➂. On tir, au hasard, succssivmnt du jtons sans rmis.. Fair un arbr (avc probabilités).. Qull st la probabilité d'obtnir du jtons idntiqus? 3. On not X la somm ds chiffrs ds du jtons tirés. a) Qulls sont ls différnts valurs possibls pour X? b) Donnr la loi d probabilité d X. c) Calculr l'spéranc E(X) t l'écart typ σ(x). Ercic (0 points) Dans ct rcic, n st un ntir vérifiant n 4. On plac n jtons dans un urn : un jaun t ds blancs. À chaqu fois qu l'on choisit, au hasard, un jton d l'urn on not : J = "l jton obtnu st jaun" B = "l jton obtnu st blanc" ) On suppos qu l'on choisit just un jton (au hasard). Eprimr n fonction d n ls probabilités p(j) t p(b). ) On considèr maintnant l ju suivant : on choisit succssivmnt du jtons avc rmis. On gagn l'on obtint du fois l jton jaun ; on gagn! "#$&%' ( On not X l gain algébriqu n uros (+ ; + ou 5) a) Rprésntr ctt situation à l'aid d'un arbr. b) Détrminr la loi d probabilité d X (n fonction d n) c) Eprimr E(X) n fonction d n. (Répons : E(X) = n n + 7 ) n d) Commnt choisir n pour avoir E(X) = 0? Ercic 3 (4 points) On considèr un dé, non truqué, à si facs non numérotés mais coloriés : Il y a du facs rougs, du facs vrts t du facs orangs. On lanc l dé un fois. On gagn à tous ls coups, sauf si la fac obtnu st roug.. Epliqur brièvmnt pourquoi on a chanc sur 3 d prdr.. On suppos qu l'on rçoit 5 #$ ) *+*, +- )! fois plus lorsqu'on prd (c'st-à-dir 0. C ju st-il équitabl?

25 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N ( hurs) L'rcic t l problèm (sur ctt fuill) sont communs à tous ls élèvs. Sur la fuill suivant, vous dvz fair l'rcic qui vous corrspond (nsignmnt obligatoir ou spécialité). Ercic (4 points) Soit h la fonction défini sur ]0 ; + [ par : h() = ( ) ln. Calculr la dérivé h d la fonction h.. Calculr l intégral : I = ln d Problèm (0 points) Parti A On considèr un fonction ƒ défini, sur, par : ƒ() = (a + b + c) (a, b t c sont ds réls) On not C sa rprésntation graphiqu dans un rpèr (O, i, j ). On sait qu la courb C pass par l point A(0 ; ) t qu'll admt un tangnt parallèl à (O) au point d'absciss. On sait aussi qu ƒ'(0) =.. Eprimr, n fonction d a, b t c la dérivé ƒ d ƒ.. Détrminr ls cofficints a, b t c. Parti B On considèr la fonction ƒ défini, sur, par : ƒ() = ( 5 + ) On not C sa rprésntation graphiqu dans un rpèr (O, i, j ).. Calculr ƒ(0).. Étudir ls limits d ƒ n t n +. Intrprétr graphiqumnt. 3. Calculr la dérivé ƒ d ƒ puis la factorisr. 4. En déduir l tablau d variation (complt) d la fonction ƒ. 5. Détrminr un équation d la tangnt T à C au point d absciss 0.

26 Ercic ( points) Ensignmnt obligatoir uniqumnt Un industril fabriqu ds tabltts d chocolat. Pour promouvoir la vnt d cs tabltt, il décid d offrir ds placs d cinéma dans la moitié ds tabltts miss n vnt. Parmi ls tabltts gagnants, 0% prmttnt d gagnr actmnt un plac d cinéma t 40% actmnt du placs d cinéma. On not p(a B) la probabilité conditionnll d l événmnt A sachant qu l événmnt B st réalisé.. Un clint achèt un tabltt d chocolat. On considèr ls événmnts suivants : G = "l clint achèt un tabltt gagnant" U = "l clint gagn actmnt un plac d cinéma" D = "l clint gagn actmnt du placs d cinéma" a) Donnr p(g), p(u G) t p(d G) b) Montrr qu la probabilité d gagnr actmnt un plac d cinéma st égal à 0,3. c) Soit X la variabl aléatoir égal au nombr d placs d cinéma gagnés par l clint. Détrminr la loi d probabilité d X. Calculr l'spéranc mathématiqu d X.. Un autr clint achèt du jours d suit un tabltt d chocolat. a) Détrminr la probabilité qu'il n gagn aucun plac d cinéma. b) Détrminr la probabilité qu'il gagn au moins un plac d cinéma. c) Montrr qu la probabilité qu'il gagn actmnt du placs d cinéma st égal à 0,9. Ercic ( points) Ensignmnt d spécialité Dans un lycé d 80 élèvs, ls ffctifs par nivau sont : 80 élèvs n scond 40 élèvs n prmièr 0 élèvs n trminal 70 élèvs n BTS. On a décidé d'intrrogr, chaqu jour, un group d 5 élèvs choisis au hasard pour connaîtr lur opinion concrnant ls mnus à la cantin. Parti A - Pour un journé Dans ctt parti, on n dmand aucun calcul approché t on n chrchra pas à simplifir ls résultats obtnus.. Calculr la probabilité qu ls 5 élèvs intrrogés soint ds élèvs d scond.. Calculr la probabilité qu parmi ls 5 élèvs intrrogés, un, actmnt, soit un élèv d prmièr. 3. Calculr la probabilité p pour qu'au moins un élèv d BTS soit intrrogé. Parti B - On répèt l'opération pndant jours d manièr indépndant Dans ctt parti, ls résultats sront arrondis à 0 5 près. Soit X la variabl aléatoir corrspondant au nombr d jours où au moins un élèv d BTS st intrrogé. Dans tous ls calculs, on prndra 0,343 comm valur d la probabilité qu' au moins un élèv d BTS soit intrrogé.. Calculr la probabilité pour qu l'événmnt "au moins un élèv d BTS st intrrogé" s produis 4 fois actmnt au cours d cs jours.. Calculr la probabilité pour qu, au cours d cs jours, aucun élèv d BTS n soit intrrogé.

27 TES : DEVOIR SURVEILLÉ N : CORRIGÉ Ercic (4 points) Soit h la fonction défini sur ]0 ; + [ par : h() = ( ) ln. La fonction h st du typ : h = u avc u() = ln Donc : h' = u'u On obtint : h'() = ln = ln. I = ln d = h '( ) d = [ h () ] = [h() h()] = Problèm (0 points) Parti A. La fonction ƒ st du typ : ƒ = uv avc u( ) = a v( ) = + b + c Donc : ƒ' = u'v + uv' On obtint : ƒ'() = (a + b) + (a + b + c)( ) ƒ'() = ( a + (a b) + (b c)). La condition "C pass par A(0 ; )", c'st-à-dir ƒ(0) = s traduit par : (a b 0 + c) = c = La condition "C admt un tangnt parallèl à l'a (O) au point d'absciss " s traduit par : ƒ'() = 0 ( a + (a b) + (b c)) a c = 0 ou La condition "ƒ'(0) = " s traduit par : (a c) = 0 = 0 = (c qui st impossibl) a = c = b c = b = 5 Conclusion : l'prssion d la fonction ƒ st : ƒ() = ( 5 + ) Parti B. ƒ(0) =.. Limit d ƒ n : La limit d'un fonction polynôm n st égal à la limit d son trm d plus haut dgré, donc : lim ( 5 + ) = lim = +

28 Par aillurs : lim = + (car n posant X =, on obtint : lim X + X = + ) Donc, par produit, on obtint : lim ƒ() = +. Limit d ƒ n + : On st n présnc d'un produit indétrminé (du typ "+ 0") Pour lvr ctt indétrmination, on put dévloppr (afin d s ramnr à un somm) : D'après l formulair, on sait qu : lim + ƒ() = 5 + α = 0 pour tout rél α > 0. En particulir pour α = : D mêm avc α = : lim + = 0 lim + = 0 t donc lim 5 + = 0 Enfin, on a : lim + = 0 (car n posant X =, on obtint : lim X X = 0) Donc, par somm, on obtint finalmnt : Intrprétation graphiqu : lim ƒ() = 0 + La limit d ƒ n n'st pas fini, donc la courb C n'admt pas d'asymptot horizontal n. La limit d ƒ n + st fini, donc la courb C admt un asymptot horizontal n + d'équation y = D'après la qustion [A] avc a =, b = 5 t c =, on obtint : ƒ'() = ( + 7 ) Étudions l trinôm + 7. Son discriminant vaut 5. Comm st strictmnt positif, notr trinôm admt du racins distincts : =... = t =... =. En utilisant la rlation : a + b + c = a( )( ), on obtint la factorisation suivant : 4. Tablau d variation d ƒ : ƒ'() = ( )( ) = ( )( ) + Calculs t justifications ds signs Sign d ( ) Sign d ( ) Sign d Un ponntill st toujours strictmnt positiv Sign d la dérivé ƒ'() Variations + d la fonction ƒ Maimum rlatif n : ƒ() = ( 30 + ) = 7 Minimum rlatif n : ƒ() = ( 5 + ) = 3 5. Un équation d la tangnt T à C au point d absciss 0 st donné par : Avc 0 = 0, cla donn : Or, ƒ(0) = t ƒ'(0) =. y = ƒ( 0 ) + ƒ'( 0 )( 0 ) y = ƒ'(0) + ƒ(0) D'où : T : y = +

29 Ercic ( points) Ensignmnt obligatoir uniqumnt. a) L'arbr ci-contr décrit ls différnts situations possibls. Soit la tabltt st gagnant, soit ll n l'st pas. Si ll st gagnant, ll contint soit un, soit du plac(s) d cinéma. G G On a immédiatmnt : p(g) = 0, 0,4 p(u G) = 0, U D p(d G) = 0,4 b) L'événmnt "gagnr actmnt un plac d cinéma" st G U. D'après ls formuls d cours (ou à l'aid d l'arbr), on a : p(g U) = p(u G) = p(u G) p(g) = 0, 0,5 = 0,3 c) Calculons la probabilité d gagnr rspctivmnt 0, t plac(s) d cinéma. p(x = 0) = p( G ) = 0,5 p(x = ) = p(g U) = 0,3 p(x = ) = p(g D) = p(d G) p(g) = 0,4 0,5 = 0, X 0 Total Probabilités 0,5 0,3 0, On résum la loi d probabilité d X dans l tablau suivant : L'spéranc mathématiqu E(X) d la variabl aléatoir X st donné par la formul : E(X) = i p i i = 0, ,3 + 0, = 0,7. Notons Y la variabl aléatoir corrspondant au nombr d tabltts gagnés par c clint. Ls différnts valurs possibls d Y sont : 0 ou ou ou 3 ou 4. L'arbr ci-dssous illustr touts ls situations possibls : (On a noté Z l'événmnt "la tabltt rapport zéro plac d cinéma". En fait, Z = G ) 0,5 0,3 0, Tabltt Z U D 0,5 0,3 0, 0,5 0,3 0, 0,5 0,3 0, Tabltt Z U D Z U D Z U D Valurs d Y a) Probabilité qu'il n gagn aucun plac d cinéma : p(y = 0) = 0,5 0,5 = 0,5 (Chmin Z-Z sur l'arbr) b) L'événmnt "il gagn au moins un plac d cinéma" st l contrair d l'événmnt "il n gagn aucun plac d cinéma" : p(y ) = p(y = 0) = 0,5 = 0,75. c) Probabilité qu'il gagn actmnt du placs d cinéma : p(y = ) = 0,5 0, + 0,3 0,3 + 0, 0,5 = 0,9 (Chmins D-Z ou U-U ou Z-D)

30 Ercic ( points) Ensignmnt d spécialité Dans un lycé d 80 élèvs, ls ffctifs par nivau sont : 80 élèvs n scond 40 élèvs n prmièr 0 élèvs n trminal 70 élèvs n BTS. On a décidé d'intrrogr, chaqu jour, un group d 5 élèvs choisis au hasard pour connaîtr lur opinion concrnant ls mnus à la cantin. Parti A - Pour un journé Dans ctt parti, on n dmand aucun calcul approché t on n chrchra pas à simplifir ls résultats obtnus.. Calculr la probabilité qu ls 5 élèvs intrrogés soint ds élèvs d scond.. Calculr la probabilité qu parmi ls 5 élèvs intrrogés, un, actmnt, soit un élèv d prmièr. 3. Calculr la probabilité p pour qu'au moins un élèv d BTS soit intrrogé. Parti B - On répèt l'opération pndant jours d manièr indépndant Dans ctt parti, ls résultats sront arrondis à 0 5 près. Soit X la variabl aléatoir corrspondant au nombr d jours où au moins un élèv d BTS st intrrogé. Dans tous ls calculs, on prndra 0,343 comm valur d la probabilité qu'au moins un élèv d BTS soit intrrogé.. Calculr la probabilité pour qu l'événmnt "au moins un élèv d BTS st intrrogé" s produis 4 fois actmnt au cours d cs jours.. Calculr la probabilité pour qu, au cours d cs jours, aucun élèv d BTS n soit intrrogé.

31 TES : DEVOIR SURVEILLÉ Spécialité Ercic Un marchand d glacs propos di parfums au choi pour ds glacs n cornt. Trois élèvs choisissnt, au hasard t indépndammnt l'un d l'autr, un ds parfums proposés.. Calculr la probabilité d l'événmnt A : "ls trois élèvs choisissnt ds parfums du à du distincts". Soit X la variabl aléatoir égal au nombr d parfums choisis par ls trois élèvs. Détrminr la loi d probabilité d X. Calculr son spéranc mathématiqu. Intrprétr. Ercic. Un grand nvlopp contint ls douz "figurs" d'un ju d cart : ls quatr rois, ls quatr dams t ls quatr valts. On tir, simultanémnt t au hasard, cinq carts d l'nvlopp. Soit X la variabl aléatoir qui, à chaqu tirag, associ l nombr d rois obtnus. Détrminr la loi d probabilité d X t calculr son spéranc mathématiqu. Intrprétr.. Dans la mêm nvlopp contnant ls mêms douz carts, on ffctu succssivmnt cinq fois l tirag d'un cart qu l'on rmt à chaqu fois dans l'nvlopp. Soit Y la variabl aléatoir dont la valur st égal au nombr d rois obtnus au cours ds cinq tirags. Détrminr la loi d probabilité d Y t calculr son spéranc mathématiqu. Intrprétr. Problèm Parti A Soit ƒ la fonction défini sur par : ƒ() = + On not C ƒ sa rprésntation graphiqu dans l plan muni d'un rpèr orthonormé (O, i, j ). (Unités graphiqs : cm). a. Étudir ls limits d ƒ n + t n. b. Montrr qu la droit D d'équation y = + st asymptot obliqu à la courb C ƒ n +. c. Étudir la position d C ƒ par rapport à D.. a. Calculr la dérivé ƒ' d ƒ puis étudir son sign. b. En déduir l tablau d variation d ƒ sur. 3. Tracr, dans l rpèr (O, i, j ) la courb C ƒ t la droit D. Parti B Soit n un ntir naturl non nul. On désign par A n l'air, n unités d'air, d la parti du plan délimité par la droit D, la courb C ƒ t ls droits d'équation = n t = n +.. Hachurr, sur l graphiqu l domain défini ci-dssus pour n =.. Eprimr A n n fonction d n. 3. En déduir qu la suit (A n ) st géométriqu. On précisra sa raison q t son prmir trm A. 4. Eprimr la somm S n = A + A A n n fonction d n. Qu rprésnt S n graphiqumnt? 5. Calculr la limit d la suit (S n ).

32 TES : DEVOIR SURVEILLÉ Spécialité CORRIGÉ Not : cs du rcics t c problèm sont issus ds anals d BAC. Ils vous ont été donnés "tto"... Ercic. Pour calculr la probabilité d A, on utilis la formul : p(a) = Prmièr méthod : (simpl t naturll) Calcul du nombr d cas possibls : L prmir élèv a 0 choi d parfums. L scond élèv a 0 choi d parfums. L troisièm élèv a 0 choi d parfums. Au total, nous obtnons : = 0 3 = 000 cas possibls. Calcul du nombr d cas favorabls : L prmir élèv a 0 choi d parfums. nombr d cas favorabls nombr d cas possibls L scond élèv a 9 choi d parfums. (Car on souhait qu'il ait un parfum différnt du prmir) L troisièm élèv a 8 choi d parfums. (Car on souhait qu'il ait un parfum différnt ds du prmirs) Au total, nous obtnons : = 70 cas favorabls Bilan : p(a) = = = 0, Duièm méthod : (utilisant ds notions d dénombrmnt) Notons E l'nsmbl {a ; b ; c ; d ; ; f ; g ; h ; i ; j} où chaqu lttr désign un parfum. À chaqu choi d parfum ds trois élèvs, on put associr un list. Par mpl, la list gag signifi qu l prmir élèv a choisi l parfum g, l scond l parfum a t l troisièm l parfum g. L nombr d cas possibls st égal au nombr d 3-lists d l'nsmbl E. Il y n a 0 3 = 000. L nombr d cas favorabls st égal au nombr d 3-lists d'élémnts distincts d l'nsmbl E, c'st-à-dir au nombr d 3-arrangmnts d E. Il y n a 70 8 On rtrouv p(a) = = = 0, A 0 = 70.. Ls différnts valurs possibls d X sont ou ou 3. 8 On sait déjà, d'après la qustion qu : p(x = 3) = p(a) =. 5 Calcul d p(x = ) : Nombr d cas favorabls : 0. (L prmir élèv a 0 choi, ls du suivants sont contraints d prndr l mêm parfum). 0 D'où : p(x = ) = = Par aillurs, ls événmnts "X = ", "X = " t "X = 3" formnt un partition d l'univrs. On a donc : p(x = ) + p(x = ) + p(x = 3) = 8 7 D'où : p(x = ) = p(x = ) p(x = 3) = = Rmarqu : on put aussi calculr p(x = ) dirctmnt :

33 nombr d cas favorabls : nombr d 3-lists d E qui continnnt lttrs distincts (t donc un lttr répété du fois) : choi d la lttr répété : 0 choi. (Empl g) choi d l'autr lttr (distinct d la lttr répété) : 9 choi (Empl a) choi d la position d la lttr non répété : 3 choi (agg ou gag ou gga) Au total : = 70 cas favorabls On rtrouv bin : p(x = ) = = On résum maintnant la loi d probabilité d X sous form d tablau : Calcul d l'spéranc mathématiqu d X : X 3 Total Probabilités 0,0 0,7 0,7 E(X) = i p i i = 0,0 + 0,7 + 0,7 3 =,7 En moynn, l nombr d parfums distincts choisis par ls trois élèvs st,7. Ercic. L nombr d façons d choisir 5 carts parmi st : 5 C L nombr d façons d choisir k rois (k {0 ; ; ; 3 ; 4}) parmi 4 st : k C 4 L nombr d façons d choisir 5 k autrs carts (non rois) parmi ls 8 rstants st : C8 5 k k 5 k C4 C8 On a donc : p(x = k) = 8 C pour tout k {0 ; ; ; 3 ; 4} À l'aid d la calculatric, on obtint : X Total Probabilités Calcul d l'spéranc mathématiqu d X : E(X) = i p i i = 5 5 = 99 3 En moynn, l nombr d rois obtnus, par ctt méthod d tirag, st 3 5 (,7).. Soit l'périnc : "on tir, au hasard t avc rmis, un cart d l'nvlopp t on rgard si c'st un roi" Ctt périnc aléatoir possèd du issus : obtnir un roi (Succès) ou non (Echc). C'st donc un épruv d Brnoulli d paramètr p = p(succès) = 4 = 3. On répèt, d manièr indépndant, n = 5 fois ctt épruv d Brnoulli. La variabl aléatoir Y (nombr d rois obtnus) rprésnt l nombr d succès obtnus (0 Y 5) On put donc affirmr qu la variabl aléatoir Y st binomial d paramètr n = 5 t p = 3 : Dans c cas, on sait alors qu : Y B(5 ; 3 ).

34 p(y = k) = k C 5 3 k 5 3 k pour tout k {0 ; ; ; 3 ; 4 ; 5} À l'aid d la calculatric, on obtint (à 0 3 près) : Y Total Probabilités 0,3 0,39 0,39 0,5 0,04 0,004 Calcul d l'spéranc mathématiqu d Y : E(Y) = np = 5 3 = 5 3 En moynn, l nombr d rois obtnus, par ctt méthod d tirag, st 3 5 (,7). Problèm Parti A. a. Limit d ƒ n + : lim ( + ) = + + lim + = 0 (car lim + = t lim X X = 0) Donc, par soustraction, on obtint : lim ƒ() = +. + Rmarqu : la limit d ƒ n + n'étant pas fini, on put affirmr qu la courb C ƒ n'a pas d'asymptot horizontal n +. Limit d ƒ n : lim ( + ) = lim = + (car lim = + t lim X + X = + ) Donc, par soustraction, on obtint : lim ƒ() =. Rmarqu : la limit d ƒ n n'étant pas fini, on put affirmr qu la courb C ƒ n'a pas d'asymptot horizontal n. b. Pour montrr qu la droit D d'équation y = + st asymptot obliqu à la courb C ƒ n +, on montr qu la limit n + d ƒ() ( + ) st null. On a : ƒ() ( + ) = Or, on a vu à la qustion [Aa] qu : Donc, on a bin : lim + = 0 lim [ƒ() ( + )] = 0 + La droit D d'équation y = + st donc asymptot obliqu à la courb C ƒ n +.

35 c. Pour étudir la position d C ƒ par rapport à D, on étudi l sign d la différnc ƒ() ( + ). On a déjà vu qu : ƒ() ( + ) = Comm un ponntill st strictmnt positiv, on a ici : ƒ() ( + ) < 0 pour tout. C'st-à-dir : On n déduit : ƒ() < + pour tout C ƒ st n dssous d D sur. a. On rappll ici qu : ( u )' = u' En particulir, avc u() = : ( )' = u D'où : ƒ'() = + Comm l'ponntill st strictmnt positiv sur : ƒ'() > 0 pour tout. La fonction ƒ st donc strictmnt croissant sur. b. Tablau d variation d ƒ sur : 3. Rprésntation graphiqu : + Sign d ƒ'() + Variations + d ƒ y 5 D C ƒ 4 A 3 O 3 4

36 Parti B. Voir graphiqu.. Pour tout n, on a : A n = Or, = n+ n ( + ƒ( ))d = n+ d n =. On put donc écrir : An = n+ n n n+ = n n = 3. D'après la qustion [B], pour tout n on a : A n+ = n + = Cci prouv donc qu la suit (A n ) st géométriqu d raison q = Et toujours d'après ma qustion [B] : A = An. C qu l'on put écrir : A = q( q) (où q = ) 4. S n st la somm n trms succssifs d'un suit géométriqu d raison q =. A ( q ) On a donc : S n = q q( q)( q ) Et d'après la qustion [B3] : S n = = q( q n ) = q n n n Graphiqumnt S n corrspond à l'air délimité par D, C ƒ t ls droits vrticals d'équation = t = n Comm [0 ; [, on a : lim n + n = 0. On n déduit : lim S n = n +