Complément sur les suites. Suites adjacentes

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1 DERNIÈRE IMPRESSION LE 27 février 2017 à 16:33 Complément sur les suites. Suites adjacentes Table des matières 1 Le procédé 2 2 Suites adjacentes Définition Le théorème Exemple 3 PAUL MILAN 1 VERS LE SUPÉRIEUR

2 1. LE PROCÉDÉ 1 Le procédé Dans un texte intitulé «De la mesure du cercle», Archimède imagine la première méthode jamais proposée permettant, en théorie, le calcul de π avec une précision aussi grande qu on le souhaite. L exposé suivant suit les idées d Archimède avec des méthodes modernes. Soit C un cercle de rayon 1 : on construit, pour tout n 1 deux polygones réguliers P n, et Q n, ayant 3 2 n côtés, P n étant inscrit dans C, et Q n, exinscrit à C (voir la figure ci-contre). Q 1 C Nous admettons que le périmètre du cercle (égal à 2π) est encadré par ceux des deux polygones. Dans la suite, on note p n et q n, les demi-périmètres respectifs de P n et Q n. Ainsi, p n < π < q n P 1 n = 1 (6 côtés) Ce procédé permet d encadrer la valeur de π par des intervalles emboîtées de plus en plus fins. On dit que ces deux suites (p n ) et (q n ) ainsi définies sont adjacentes. Ces deux suites (p n ) et (q n ) sont initialisées par : p 1 = 3 et q 1 = 2 3. Puis définies par les relations de récurrence : q n+1 = 2p nq n q n + p n et p n+1 = p n q n+1 Pour l étude de ces suites adjacentes voir le document sur la méthode d Archimède. π 3, n p n q n q n p n 1 3 3, 6 0, 6 2 3, 106 3, 215 0, , 132 3, 160 0, 027 3, 139 3, 16 0, 007 p 1 p 2 p 3 p p n q n... π... q q 3 q 2 q 1 2 Suites adjacentes 2.1 Définition Définition 1 : Soit deux suites réelles(u n ) et(v n ). On dit que(u n ) et(v n ) sont adjacentes si, et seulement si, (u n ) est croissante, (v n ) est décroissante et lim (v n u n ) = 0 Exemple : u n = 1 et v n = 1 sont deux suites adjacentes, car la première est croissante, la seconde est décroissante et leur différence est n n nulle. PAUL MILAN 2 VERS LE SUPÉRIEUR

3 2.2 Le théorème Théorème 1 : Soit(u n ) et(v n ) deux suites réelles. Si(u n ) et(v n ) sont adjacentes alors elles convergent en une même limite l telle que : n N, u n l v n Démonstration : Soit (u n ) et (v n ) deux suites adjacentes telles que (u n ) est croissante et (v n ) décroissante. Montrons que n N, u n v n. Soit la suite n = v n u n. Étudions les variations de ( n ). n+1 n = v n+1 u n+1 (v n u n ) = (v n+1 v n ) (u n+1 u n ) Or les suites (v n ) et u n sont respectivement décroissante et croissante donc n N, v n+1 v n 0 et u n+1 u n > 0 (v n+1 v n ) (u n+1 u n ) < 0 En conséquence n N, n+1 n < 0, la suite ( n ) est décroissante. lim (v n u n ) = lim n = 0, donc n N, n 0 u n v n. Montrons que (u n ) et (v n ) convergent. On sait que les suites(u n ) et(v n ) sont respectivement croissante et décroissante et n N, u n v n donc n N, u n u 0 v 0 v n donc la suite (u n ) est croissante et majorée par v 0 et la suite (v n ) est décroissante et minorée par u 0, d après le théorème des suites monotones,(u n ) et(v n ) convergent respectivement vers l et l. Montrons que (u n ) et (v n ) ont même limite. Par somme or lim (v n u n ) = lim v n lim u n = l l lim (v n u n ) = 0 donc l = l 3 Exemple Soit la fonction f définie sur l intervalle [0 ; 2] par : f(x) = 2x+1 x+1. 1) On dit qu un intervalle I est stable par la fonction f si, et seulement si, x I, f(x) I. Montrer que [1 ; 2] est stable par f. 2) (u n ) et (v n ) sont deux suites définies sur N par : { u0 = 1 u n+1 = f(u n ) et { v0 = 2 v n+1 = f(v n ) a) Représenter la fonction f sur l intervalle [0 ; 2]. Construire sur l axe des abscisses les trois premiers termes de chacune des suites (u n ) et (v n ) en laissant apparents tous les traits de construction. À partir de ce graphique, que peut-on conjecturer concernant le sens de variation et la convergence des suites (u n ) et (v n )? PAUL MILAN 3 VERS LE SUPÉRIEUR

4 b) Montrer à l aide d un raisonnement par récurrence que les suites (u n ) et (v n ) sont bornées et respectivement croissante et décroissante. c) Calculer v n+1 u n+1. En déduire que n N, v n+1 u n+1 1 v n u n. d) Montrer que n N, v n u n. e) Montrer que les suites (u n ) et (v n ) convergent vers un même réel α. Déterminer la valeur exacte de α. 1) f est une fonction rationnelle définie sur [0 ; 2] donc dérivable sur [0 ; 2] : f (x) = 2(x+1) (2x+1 (x+1) 2 = 1 (x+1) 2 > 0 La fonction f est croissante sur [0 ; 2]. De la continuité de f sur [1 ; 2], on a [ ] 3 f([1 ; 2]) = [ f(1) ; f(2)] = 2 ; 5 [1 ; 2] 3 L intervalle [1 ; 2] est donc stable par f. 2) a) On obtient la représentation suivante : 2 y = x C f 1 O u 0 u 1 u 2 v 2 v 1 v Les suites(u n ) et(v n ) semblent converger et être respectivement croissante et décroissante. b) Montrons par récurrence que les suites(u n ) est(v n ) sont bornées par [1 ; 2] et qu elles sont respectivement croissante et décroissante. Initialisation : L intervalle [1 ; 2] est stable par f et comme u 0 et v 0 appartiennent à cet intervalle, il en est de même pour u 1 et v 1. De plus u 1 = f(u 0 ) = 3 2 donc u 1 u 0 et v 1 = f(v 0 ) = 5 3 donc v 1 v 0 La proposition est initialisée. PAUL MILAN VERS LE SUPÉRIEUR

5 Hérédité : Soit n un entier naturel, supposons que(u n ) et v n appartiennent à [1 ; 2] et que u n+1 u n et v n+1 v n. L intervalle [1 ; 2] est stable par f, comme u n et v n appartiennent à cet intervalle, il en est de même pour u n+1 et v n+1. La fonction f est croissante sur [1 ; 2] : u n+1 u n f(u n+1 ) f(u n ) u n+2 u n+1 v n+1 v n f(v n+1 ) f(v n ) v n+2 v n+1 La proposition est héréditaire. Par initialisation et hérédité, les suite (u n ) et (v n ) sont bornée par [1 ; 2] et sont respectivement croissante et décroissante. c) Calculons la différence : v n+1 u n+1. v n+1 u n+1 = 2v n+ 1 v n + 1 2u n+ 1 u n + 1 = (2v n+ 1)(u n + 1) (2u n + 1)(v n + 1) (v n + 1)(u n + 1) = 2u nv n + 2v n + u n + 1 5u n v n 2u n v n 1 (v n + 1)(u n + 1) = v n u n (v n + 1)(u n + 1) 1 u n 2 2 u n u n De même v n par produit (v n + 1)(u n + 1) 1 On en déduit donc que v n u n (v n + 1)(u n + 1) v n u n Conclusion n N, v n+1 u n+1 1 v n u n d) On pose n = v n u n. On a montré à la question précédente que n N, n 1 n 1 k+1 1 k=0 k n 1 ( ) k=0 k+1 1 n k=0 k or n 1 k+1 k=0 k = n 0 (produit télescopique) donc On en déduit donc : n 0 v n u n = 0 car 1 < 1 < 1 e) lim D après la question précédente, on a d après le théorème des gendarmes n+1 n 1, donc : n 0 v 0 u 0 v n u n v n u n lim (v n u n ) = 0., donc PAUL MILAN 5 VERS LE SUPÉRIEUR

6 Les suites (u n ) et (v n ) sont respectivement croissante et décroissante et lim (v n u n ) = 0, elles sont donc adjacentes. D après le théorème des suites adjacentes (u n ) et (v n ) convergent vers la même limite α telle que : u 0 α v 0 1 α 2. La fonction f est continue sur l intervalle [1 ; 2] et les suites (u n ) et (v n ) convergent vers la même limite α, d après le théorème du point fixe, la limite α vérifie l équation f(α) = α f(α) = α 2α+1 α+1 = α 2α+1 = α2 + x α 2 α 1 = 0 = 5, on ne retient que la solution positive α = Cette limite α n est autre que le nombre d or φ 1, Remarque : Ces suites convergent très vite vers φ, en effet u 6 et v 6 donne une approximation à 10 5 de φ n u n v n v n u n ,5 1,667 0, ,625 0, , , ,00 1, , , , , , , , , PAUL MILAN 6 VERS LE SUPÉRIEUR

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