Terminale S Problème de synthèse n 5 Fonctions trigonométriques - Suites géométriques - Suites adjacentes - Intégrales

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1 Partie A a est un nombre réel appartenant à l intervalle [0 ;π]. On considère la suite géométrique (u n ) de premier terme u 0 cos a et de raison sin a. 1) Exprimer u n en fonction de n et déterminer la limite de la suite (u n ) lorsque n tend vers +. ) (s n ) est la suite de terme général s n u 0 + u u n. Partie B Exprimer s n en fonction de n et déterminer la limite de la suite (s n ). Toutes les courbes seront tracées dans le même repère orthogonal (O; i ; j ), unité graphique : 4 cm. 1) Tracer, sans justification, la courbe C 0 représentative de la fonction S 0 définie sur 3π, π par S 0(x) cos x. ) S 1 est la fonction définie sur 3π, π par : S 1 (x) cos x + cos x sin x. S 1 est la dérivée de S 1. Exprimer S 1 (x) en fonction de sin x. En déduire le signe de S 1 (x) et les variations de S 1 sur l intervalle 3π, π. 3) S est la fonction définie sur 3π, π par : cos x S(x) 1 sin x. Calculer la dérivée de S et en déduire les variations de S sur l intervalle 3π, π. 4) Prouver pour x appartenant à 3π, π, les inégalités S 1(x) S(x) S 0 (x), et tracer les courbes C 1 et C représentatives respectivement des fonctions S 1 et S. Partie C Pour tout entier naturel n, on considère la fonction S n définie sur [0 ;π] par : et on pose : S n (x) (cos x) (1 + sin x+ sin² x + + sin n x) π I n 3π Sn (x)dx. 1

2 1) Calculer I 0, I 1 ainsi que I 3π π S(x)dx. Vérifier que I 1 I I 0. Comment ces inégalités peuvent-elles être illustrées graphiquement? ) Prouver que pour tout entier naturel n : En déduire, par récurrence, que : I n+1 I n (-1)n+1 n +. I n (-1)n n ) Les suites (A n ) et (B n ) sont définies pour tout entier naturel n par A n I n et B n I n+1. Prouver que : a) (A n ) est décroissante et (B n ) est croissante. b) la suite de terme général A n B n converge vers 0. Que peut-on en déduire pour les suites (A n ) et (B n )? 4) Prouver que, pour tout entier naturel n et pour tout réel x appartenant à 3π, π : S(x) S n (x) (sin x) n+1 S(x), puis que : S n+1 (x) S(x) S n (x). En déduire la limite des suites (A n ) et (B n ).

3 CORRECTION Partie A 1) u n cos a (sin a) n -1 < sin a < 1 Donc lim u n 0 ) Si a π ou a 3π alors u 0 0 et par suite s n 0 Si a π, s n u 0 1 qn 1 (sin a)n cos a 1 - q 1 sin a cos a lim s n 1 sin a Partie B 1) ) S 1 (x) - sin x sin²x + cos²x - sin x sin² x + 1 sin²x - sin²x sinx + 1 (1 sin x)(1 + sin x), π alors -1 sinx 0 Donc 1 sin x 0 et 1 + sin x 0 3

4 Donc S 1 (x) 0. S 1 est donc croissante sur 3π, π. 3) S (x) -sin x(1 sin x) (cos x) (-cos x) (1 sin x)², π alors 0 -sinx 1 Donc S (x) 0 S est croissante sur 3π, π. 4) S 1 (x) S(x) cos x(1 + sin x)(1 sin x) cos x 1 sin x - sinx + sin² x + cos² x (1 sin x)², π alors cos x 0 ; sin ² x 0 et 1 sin x 0 donc S 1 (x) S(x) 0 S(x) S 0 (x) cos x sin x, π alors cos x 0 ; sin x 0 Donc S(x) S 0 (x) 0 - sin x (1 sin x)² cos x(1 sin² x 1) - cos x sin² x 1 sin x 1 sinx On en déduit que : S 1 (x) S(x) S 0 (x) si x appartient à 3π, π. S 0 S S 1 4

5 Partie C π π 1) I 0 3π S0 (x)dx 3π 3π cos xdx sin(π) - sin( ) 1 π π I 1 3π S1 (x)dx 3π (cos x + cos x sin x)dx cos x sin x 1 sin x Une primitive de cos + cos x sin x est donc : sin x 1 cos x 4 I 1 sin(π) 1 4 cos(4π) - sin(3π ) cos(3π) π I 3π S(x)dx π cos x 3π 1 - sin x dx - ln 1 sin π + ln 1 - sin3π ln 0,69 On a bien I 1 I I 0 Les aires sous les courbes C 1, C et C 0 sont bien rangées dans cet ordre. π ) I n+1 I n 3π cos x sin n+1 1 x dx n+ (sinn+ (π)- sin n+ ( 3π (-1)n+ )) - n + (-1)n+1 n + Soit P n la propriété :«I n (-1)n pour tout entier naturel n» n + 1 P 0 est vraie car I 0 1 Supposons P n vraie. Alors I n+1 I n + (-1)n+1 n+ I n (-1)n n (-1)n+1 n+ Donc P n+1 est vraie. Selon le principe de récurrence, P n est vraie pour tout n. 3) a) A n+1 A n I n+ I n (-1)n+ n (-1)n+1 n + 1 n n + n 3 n + (n + )(n + 3) -1 (n + )(n + 3) < 0 Donc la suite (A n ) est décroissante. B n+1 B n I n+3 I n+1 (-1)n+3 n (-1)n+ n n n n + 4 n + 3 (n + 3)(n + 4) 1 (n + 3)(n + 4) > 0 Donc la suite (B n ) est croissante. b) A n B n I n I n+1 - (-1)n+1 n + 1 n + lim A n - B n + On en déduit que les suites (A n ) et (B n ) sont adjacentes. Elles convergent donc vers la même limite. 5

6 4) S(x) S n (x) cos x 1 sin x - cos x 1 sinn+1 x 1 sin x sinn+1 x 1 sin x cos x (sin x)n+1 S(x) S(x) - S n+1 (x) (sin x) n+ S(x) 0 car S(x) 0 si x 3π, π. S(x) - S n (x) (sin x) n+1 S(x) 0 car S(x) 0 et (sin x) n+1 0 si x 3π, π. On a bien : S n+1 (x) S(x) S n (x) En intégrant sur l intervalle 3π, π, on obtient : I n+1 I I n Soit B n I A n En passant à la limite (n tendant vers + ), on obtient : lim A n lim B n I ln 6