ETAT PLAN DE CONTRAINTES

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1 DINSIONNNT DS STUTUS FTIONNNT SU LS BASS DU OOTNT LASTIU res-etat-plan-contraintes.doc/version du 0//00/JG TAT LAN D ONTAINTS. OBJTIF Il s agit d une sensibilisation à l état plan de contraintes volontairement mis sous une forme très snthétique et sans aucune démonstration afin de permettre d élaborer un modèle éléments finis membranes d une structure plane sollicitée dans ce plan et d en eploiter les résultats Un complément est fourni sur les représentations de öhr ( de nombreu utilitaires peuvent être utilisés) et de Lamé. DFINITION D L TAT LAN D ONTAINTS Structure et chargement bidimensionnels : e z (, - e ) d d (, ) (, ) omposantes d'un état plan de contraintes : (, - ) faces latérales d d d d traction simple suivant traction simple suivant (ou éventuellement compression) (ou éventuellement compression) tat plan de contraintes complet : superposition de ces trois états simples. c) cisaillement pur dans le plan () d d représentation "spatiale" représentation plane On peut rassembler les composantes caractéristiques de cet état plan de contraintes autour d un point dans une matrice colonne ou sous la forme d une matrice carrée et smétrique (appelé "tenseur des contraintes") Attention : les termes de cette matrice colonne ne sont pas les trois composantes d'un même vecteur contrainte. On rappelle en effet que = + et = (,) (,) + ontraintes et directions principales ( = 0 )

2 direction principale n direction principale n α α 0 0 = α 0 + α 0 elation entre l état de contraintes principales connu en un point et les composantes du vecteur contrainte en ce même point pour une facette ( t,n) de la section droite considérée. L angle α donne l orientation de normale ( n) de la facette par rapport à la direction principale ( ). t,n c = cs s cs, c = cos α avec s = sin α elation entre l état de contraintes quelconque connu en un point et les contraintes principales en ce même point = elation entre l état quelconque de contraintes connu en un point et les composantes du vecteur contrainte en ce même point pour une facette ( t,n) de la section droite considérée. L angle α donne l orientation de normale ( n) de la facette par rapport à la direction ( ). c s cs c = cos α = ) avec t,n cs cs ( c s ) s = sin α, Détermination des angles des directions principales : tan α 0 = α 0 = arctan + = + α 0 = α 0 + elations de comportement en contraintes planes etit élément isolé et représenté dans le plan () soumis à trois chargements successifs, puis, puis, - traction simple suivant d On montre : allongement du d - traction simple suivant v+dv v d dv u u +du dv ν = ε = et contraction = ε = ν ε = d d d superposé au domaine déformé du superposé v +dv dv au domaine déformé d On montre : allongement - cisaillement pur du d dv du ν = ε = et contraction = ε = ν ε = d d v u u +du

3 superposé au domaine déformé d d du 3 γ γ d " γ On montre : γ = G - superposition des effets γ u 3 γ v 3 dv 3 ' γ γ d γ γ = γ +γ c) Distorsions angulaires = G γ u u + d d d d v v+dv γ v v + d u d u+du On en déduit trois relations de comportement ν ν ε = ε + ε = ; ε = ε + ε = + ; γ = G Soit sous forme matricielle les relations de comportement s écrivent : déformations-contraintes contraintes-déformations ε ν ν ε 0 0 Ε Ε ν ν ν ε = 0 ν ε Ε Ε = 0 ν ν 0 0 γ G γ 0 0 G On montre aussi : G = ( + ν) 3

4 3. THODOLOGI D LA ONSTUTION DU L D ÖH données - état de contraintes autour du point dans un repère local () du - état de contraintes sur deu facettes perpendiculaires de domaine élémentaire d d (domaine en équilibre) normales n et n et vecteurs contraintes correspondants. n d d = + 00 = = 00 = t t, n n, n construction du cercle de öhr des contraintes : à partir de l état plan de contraintes quelconque autour du point connu, positionner le point ( = + 00, = 00 ) et A ( = + 500, = + 00 ) dans le sstème d aes ( ) contraintes sont celles eprimées dans les deu repères locau ( n, t ) et ( ) n, t,. es valeurs de. Tracer un cercle de centre et de raon (cercle de öhr), ses intersections avec l ae donnent les valeurs des contraintes principales et pour le point (absences de contraintes tangentielles sur ces facettes). Les directions principales et portant ces deu contraintes principales sont identifiées angulairement par l angle α sur le cercle de öhr. Les normales et orientant les facettes réelles sont positionnées angulairement par l angle α (compte tenu du sens descendant de l ae sur le cercle de öhr, les angles α et α entre les aes et, respectivement sur le cercle de öhr et sur les facettes, doivent être décrits dans les mêmes sens). tracé du cercle de öhr directions et facettes principales -00 O 00 ( α 350 ' ( (70 α =+73 (530 repère principal (,) les résultats obtenus par le tracé du cercle de öhr (α=+73 {modulo /}) peuvent être vérifiés en utilisant les epressions analtiques précédentes. 4. INTTATION HYSIU représentations du vecteur contrainte globale dans les aes fies relatifs à l Si l état de contraintes principales est connu, on montre que l etrémité du vecteur contrainte totale pour une facette de normale d angle au point, 0 < α < par rapport à la direction principale, décrit une ellipse de demi-aes et aant pour équation + = avec = cos sin + = α + α. ette ellipse s appelle l ellipse des contraintes (ou de Lamé) relative au plan principal (, ). roblème : autour du point, pour l état de contraintes principales donné et pour la facette de normale, ici d angle α 0 = (,) = + 73, on souhaite connaître : 4

5 - le vecteur contrainte globale, - les deu composantes normale et tangentielle du vecteur contrainte globale = + onstruction géométrique d un point de l ellipse : au point on trace le repère principal (, ) et deu cercles concentriques, ici de raons = + 530a et + 70a. La normale coupe les deu cercles en et. Du point (sur cercle ) on mène une perpendiculaire à et du point (sur cercle ) une perpendiculaire à. L intersection de ces deu droites donne le point, c est un point de l et l etrémité de donne ses deu composantes :,,,. Ses deu projections dans le repère (, ) lié à la facette, = + = (on retrouve des valeurs conformes à celles utilisées pour tracer le cercle de öhr précédent). A partir de milieu de on peut tracer le de raon ( ), l intersection de ce cercle et de l ellipse donne naturellement le point (analogie avec la représentation de öhr déjà vue). On peut remarquer que ces deu représentations l angle α 0 = (, ) et l angle α 0 = (, ) sont décrits en sens opposés, alors que sur la représentation de öhr seule les deu angles sont décrits par le même sens pour plus de commodité,n, -α Ο α Ο =+73 =+70a,t, =+00a F, = -00a =+530a = +70 a =+00 a α o =+73 = -00 a = +530 a ompléments sur l utilisation de la représentation de Lamé Les figures suivantes donnent pour une facette de normale orientée par un angle 0 < α 0 < par rapport à l ae principal les différentes configurations de la représentation de Lamé en fonction des valeurs des contraintes principales. n fonction de ces valeurs de contraintes, on remarquera principales : - les localisations des secteurs angulaires, lieu de et - les portions d ellipse utilisées (lieu de ) - le sens du vecteur contrainte globale dirigé «vers la matière» ou «hors la matière» de la facette de normale sortante - les diamètres différents des cercles principau - le changement d orientation de l ellipse pour la dernière figure - le vecteur contrainte globale sur une facette perpendiculaire à la précédente se déduit des constructions géométriques à réaliser dans le (cf. cercle de öhr) 5

6 >0 >0 <0 α, >0 <0, >0 α <0 <0 <0 <0 >0, α >0 <0 <0, >0 >0 α >0, <0 α >0 >0 6