Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel.
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- Mathieu Lachapelle
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1 I Colinéarité de deux vecteurs Définition 1: Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si l un est le produit de l autre par un réel. Exemples : Les vecteurs u -5 3 et v 15-9 sont colinéaires car v = -3 u. Le vecteur nul 0 est colinéaire à tout vecteur u car 0 = 0 u Propriété 1 : condition de colinéarité : Dans un repère du plan, les vecteurs u x y et v x y sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles : xy x y = 0 Exemples : Les vecteurs u et v ( 5 1)( 5 + 1) (-1)(-4) = = 0. Propriété sont colinéaires car : Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB et CD sont colinéaires. Propriété 3 Trois points A, B, C sont alignés si et seulement si les vecteurs AB et AC sont colinéaires. II Vecteurs directeurs d une droite Définition 2 : Un vecteur u est un vecteur directeur d une droite d s il existe deux points distincts A et B tels que AB = u. Remarque : un vecteur directeur d une droite ne peut pas être nul car les points A et B sont distincts. Propriété 4 Une droite de vecteur directeur u et une droite de vecteur directeur v sont parallèles si et seulement si le vecteur v est non nul et colinéaire à u. 1
2 Propriété 5 Soit u un vecteur directeur d une droite d. Le vecteur v est un vecteur directeur de la droite d si et seulement si le vecteur v est non nul et colinéaire à u. Propriété caractéristique 6 Soit A un point du plan, u un vecteur non nul et d la droite passant par A de vecteur directeur u. Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. Propriété 7 Dans un plan muni d un repère, le vecteur u 1 m est un vecteur directeur de la droite d d équation y = mx + p. III Equations cartésiennes de droites Propriété 8 Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme ax + by + c = 0 Dire que d admet pour équation ax + by + c = 0 signifie que un point M(x ;y) appartient à la droite d si et seulement si ses coordonnées vérifient cette équation. Propriété 9 Dans un repère du plan, toute équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ;b) (0 ;0) est l équation d une droite. Cette droite a pour vecteur directeur u -b a. Exemple : Dans un repère du plan, soit E l ensemble des points M de coordonnées (x ;y) tels que -2x + 4y 5 = 0. E est une droite du plan de vecteur directeur u
3 Les vecteurs v 4 2 et w 2 1 sont aussi des vecteurs directeurs de E puisqu ils sont colinéaires à u. Remarque : La droite E de l exemple précédent a aussi pour équation 2x 4y + 5 = 0 ou x 2y + 2,5 = 0. Une droite admet une infinité d équations cartésiennes. 3
4 s Propriété 1 : condition de colinéarité Dans un repère du plan, les vecteurs u x y et v x y sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles : xy x y = 0 Les vecteurs u et v sont colinéaires : si et seulement si il existe un réel k tel que u = k v ou si il existe un réel k tel que v = k u ; x = kx si et seulement si il existe un réel k tel que y = ky ou si il existe un réel k tel que x'= k'x y' = k'y ; si et seulement si les coordonnées x y de u et x y de v sont proportionnelles ; si et seulement si xy = x y (les produits en crois sont égaux) ; si et seulement si xy - x y = 0. Propriété 4 Une droite de vecteur directeur u et une droite de vecteur directeur u sont parallèles si et seulement si le vecteur v est non nul et colinéaire à u. C est une conséquence immédiate de la définition d un vecteur directeur et de la propriété 2. Propriété 5 Soit u un vecteur directeur d une droite d. Le vecteur v est un vecteur directeur de la droite d si et seulement si le vecteur v est non nul et colinéaire à u. Le vecteur u est un vecteur directeur de d donc il existe deux points distincts A et B de d tels que u = AB. Si v est un vecteur directeur de d, il existe deux points distincts C et D de d tels que v = CD. Les points A, B, C et D sont alignés sur d, donc les vecteurs AB et CD sont colinéaires, donc le vecteur v est colinéaire au vecteur u. Réciproquement, si v est non nul et colinéaire à u, il existe un point C distinct de A tel que AC = v et un réel k tel que v = k u. Alors AC = k AB donc A, B et C sont alignés, autrement dit le point C appartient à la droite d. Par suite, v est un vecteur directeur de la droite d. 4
5 s Propriété caractéristique 6 Soit A un point du plan, u un vecteur non nul et d la droite passant par A de vecteur directeur u. Un point M appartient à la droite d si et seulement si les vecteurs AM et u sont colinéaires. C est une conséquence immédiate de la définition 2 et de la propriété 3. Propriété 7 Dans un plan muni d un repère, le vecteur u 1 m est un vecteur directeur de la droite d d équation y = mx + p. A(0 ;p) et B(1 ;m + p) appartiennent à d ; donc u = AB est un vecteur directeur de d. Propriété 8 Dans un repère du plan, toute droite d admet une équation de la forme ax + by + c = 0 Soit A un point de d et u un vecteur directeur de d. M(x ;y) d AM x y - u ya sont colinéaires. (x xa) - (y ya) = 0 Cette équation est de la forme ax + by + c = avec a =, b = -, c = -xa + ya. Comme u 0, on a () (0 ;0) et donc (a ;b) (0 ;0). Propriété 9 Dans un repère du plan, toute équation de la forme ax + by + c = 0 avec (a ;b) (0 ;0) est l équation d une droite. Cette droite a pour vecteur directeur u -b a. Soit (E) : ax + by + c = 0 avec (a ;b) (0 ;0). On a (E) by = -ax c. Si b 0, (E) y = -ax c. b En posant m = - a b et p = - c, on obtient une équation de droite de la forme y = mx + p, b qui est une équation de droite séacante à l axe des ordonnées et de vecteur directeur u 1 m. Comme b 0, un autre vecteur directeur de cette droite est -b u -b a. Si b = 0, alors a 0 puisque (a ;b) (0 ;0) et ax + c = 0 x = - c a. C est une équation de la forme x = k qui est une équation de droite parallèle à l axe des ordonnées. 5
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