FACULTE DES SCIENCES DE TUNIS. Département de Géologie

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1 FACULTE DES SCIENCES DE TUNIS Département de Géologie Section : 3 ème Année Géosciences Module : Cristallographie Géométrique Année Universitaire : 200 / 200 Enseignant : M me DARRAGI F. M me DARRAGI F. 1

2 RESEAUX BIDIMENSIONNELS 1) Calculer les aires des différents parallélogrammes OACB; OCFG; OHEG; OBDH et OCEB. 2) Construire les rangées[01]; [10]; [12]; [13]; [21]; [11]. 3) Chercher la multiplicité des mailles formées par les rangées [01] et [10]; [13] et [01]; [12] et [21]; [10] et [11]; [10] et [12] 4) Calculer le paramètre de la rangée [21]. Application numérique: = 90 et a = b 5) Déterminer l'angle formé par les rangées [21] et [13]. RESEAUX TRIDIMENSIONNELS 1) Les rangées [1-10], [100] et [-101] forment-elles une maille élémentaire? Même question pour les rangées [100][410][30-1] et [100][110][-101]. 2) Démontrer que les rangées [100][111] et [011] sont coplanaires. 3) Soit une substance orthorhombique dont les paramètres cristallins sont: a = 7,4A ; b = 14,8A et c = 24A. Quels sont les paramètres des rangées [120] et [123]. Dessiner ces rangées. Quel est l'angle formé par ces deux rangées? Exercice 1 INDICES DE MILLER 1) Mesurer les segments interceptés sur les axes par une famille de plans réticulaires (hkl), compte tenu des paramètres respectifs a, b et c. 2) Trouver les indices de Miller des plans réticulaires A, B, C, D, F et G présentés sur la figure suivante. 3) Dessiner les plans (123), (321) et (001). 4) Parmi tous ces exemples, quels sont les plans qui ne sont pas les premiers après l'origine? M me DARRAGI F. 2

3 Exercice 2 I- La calcite cristallise dans le système trigonal; sa maille élémentaire a comme paramètres a = b = c = 6,36A et = 46 10'. Les cristaux de calcite se clivent facilement en donnant des rhomboèdres de clivage définissant une maille multiple de paramètres a' et '. Le vecteur a' est lié aux vecteurs de définition de la maille élémentaire par la relation a' = 3a - b - c. 1) Quelle est la multipilicité de cette maille (a', ')? 2) Calculer a'et '. 3) Quels sont, dans le repère (a, b, c) les indices des faces du rhomboèdre de clivage. II- 1) Dans un repère orthonormé avec a = b = c a) Construire le parallélépipède formé par ces trois vecteurs. On donne les points suivants : A (1, 0, 0); B (1, 1, 1); C (1, 1, 0) et D (1, 1, -1). b) Calculer les modules des vecteurs OA, OB, OC et OD en fonction de a. c) Calculer 1 = (OA OB); 2 = (OB OC); 3 = (OA OC); 4 = (OB OD) II- 2) Dans un repère orthonormé avec a b c a) Construire la maille. On donne A (1, 1, 0) et B (1, -1, 0) et a/b = 3 1/2 b) Calculer OA, OB et = (OA OB) II- 3) Dans un repère défini par a = 2A, b = 1A et c = 3A. = = /2; = 120 ; A (1, 1, 0); B(1, 1, 1) et D (0, 0, 1). Calculer AB et AD. M me DARRAGI F. 3

4 notation Hermann- Mauguin Axes A 1 A 2 A 3 A 4 A angle de rotation symbole représentation stéréographique Axes A 1 A 2 A 3 A 4 A 6 notation Hermann- Mauguin -1 i ou C -2 m C /m angle de rotation symbole représentation stéréographique PROJECTION STEREOGRAPHIQUE I- Montrer par la projection stéréographique l'effet des axes -1; -2; -3; -4; -6 sur une direction quelconque. II- A l'aide de la projection stéréographique, montrer que: 1) Lorsqu'un axe d'ordre n est contenu dans un miroir, il existe n miroirs formant entre eux des angles /n. 2) L'association d'un axe pair et d'un centre de symétrie entraîne la présence d'un miroir perpendiculaire à cet axe et contenant ce centre de symétrie. 3) L'association d'un centre de symétrie et d'un miroir entraîne la présence d'un axe d'ordre 2 perpendiculaire au miroir passant par ce centre. 4) L'association d'un axe d'ordre n et d'un axe d'ordre 2 perpendiculaire entraîne la présence de n axes d'ordre 2 perpendiculaires à An et faisant entre eux un angle /n. III- On considère une molécule plane de benzène C 6 H 6 où les atomes de carbone occupent les sommets d'un hexagone régulier. Les liaisons C i H i Ont toutes la même longueur et deux liaisons voisines C i C i+1 font entre elles un angle de ) Déterminer les éléments de symétrie de la molécule. Faire la projection stéréographique de ces éléments et nommer sa classe de symétrie. M me DARRAGI F. 4

5 2) On substitue un atome d'hydrogène par un atome de chlore. Reprendre la question précédente pour cette nouvelle molécule. 3) On effectue une seconde substitution sur la molécule précédente. Reprendre la question (1) pour une molécule di-substituée. Considérer tous les cas possibles. 4) On effectue une troisième substitution sur la molécule précédente. Reprendre la question (1) pour une molécule tri-substituée. Là aussi considérer tous les cas possibles. 5) Obtient-on de nouvelles classes de symétrie en augmentant encore le nombre de chlores substitués sur la molécule de benzène? Pourquoi? Système Symétrie Maille Orientation des minimale axes Triclinique 1 ou -1 a, b, c,,, quelconque Représentation Monoclinique 2 ou -2 m, celuici pouvant être à glissement a, b, c, = = 90, (ou = = 90, ) c // à 2 ou b // à 2 Orthorhombique trois axes 2 ou -2 (21 ou a a, b, c, = = = 90 a, b, c, // aux trois axes 2 Tétragonal ou quadratique un axe A 4 ou -4 a = b, c, = = = 90 c // à 4 Trigonal ou rhomboédrique un axe A 3 ou -3 1) maille rhomboédrique : a = b = c; = = = 1) a 1, a 2 et a 3 inclinés par rapport à 3 2) maille héxagonale : a = b c; = = 90, = 120 2) c // à 3 M me DARRAGI F. 5

6 Hexagonal un axe 6 ou -6 a = b c; = = 90, = 120 c // à 6 Cubique quatre axes 3 ou -3 a = b = c; = = = 90 a 1, a 2 et a 3 // aux axes 2 ou 4 les 4 axes sont dans les diagonales du cube Les 14 réseaux de Bravais Système simple (P) centré (I) à 2 faces centrées (C) à faces centrées (F) structure rhomboédique (R) cubique hexagonal tétragonal (quadratique) trigonal (rhomboédrique) M me DARRAGI F. 6

7 orthorhombique monoclinique triclinique RESEAUX DE BRAVAIS ET STRUCTURE I- On considère différents cristaux orthorhombiques dont les mailles sont décrites ci-après. Déterminer, en justifiant votre réponse le réseau de Bravais de chaque cristal: 1) Deux atomes de même type, par maille, situés à 0 1/2 0 et 1/2 0 1/2 2) Quatre atomes de même type, par maille, situés à 00z, 0 1/2 z, 0 1/2 (1/2 + z) et 00 (1/2 + z) 3) Quatre atomes de même type, par maille, situés à x y -z, -x -y -z, (1/2 + x)(1/2 - y) -z, (1/2 - x) (1/2 + y) -z 4) Deux atomes de type A situés à 1/2 0 0 et 0 1/2 1/2 et deux atomes de type B situés à 0 0 1/2 et 1/2 1/2 0. RESEAUX RECIPROQUES I- Le zircon ZrSiO4 appartient au système quadratique. Les paramètres cristallins sont a = 6,604A et c = 5,979A. Calculer l'angle que font entre elles les faces (100) et (101)? On utilisera le réseau réciproque. II- Quel est le réseau réciproque du réseau cubique simple, du réseau cubique centré et du réseau cubique à faces centrées. III- Monterer géométriquement que la direction [hkl] est perpendiculaire au plan (hkl) dans le système cubique; traiter le cas de [111] et (111). Cela est-il vrai pour un système tétragonal? Justifier votre réponse. IV- Trouver les vecteurs de base a*, b*, c* du réseau réciproque associé au réseau direct monoclinique a, b, c avec = = 90 et 90. V- Même question dans le cas d'un réseau direct hexagonal a = b c et = = 90, = 120. Applications: 1) Calculer l'équidistance d hkl des familles des plans réticulaires (hkl). M me DARRAGI F. 7

8 2) Dans le cas d'une structure hexagonale compacte de sphères, le rapport c/a = 1,63. Calculer numériquement les distances d hkl pour les familles de plans (001), (100), (110), (101) et (111). 3) Calculer l'angle dièdre défini par deux familles de plans (hkl) et (h'k'l'). 4) On appelle axe de zone, une direction de rangée parallèle à deux ou plusieurs plans réticulaires. Trouver l'axe de zone de (001), (100) et (101) en démontrant, au préalable qu'il existe. VI- La chalcopyrite FeCuS 2 cristallise dans le système tétragonal avec les paramètres a = 5,24A ; c = 10,3A. La notation Hermann-Mauguin de la classe est -42m. 1) Donner l'écriture complète de la classe, avec le nombre d'éléments de symétrie de chaque espèce et le degrè de symétrie. 2) Représenter la projection stéréographique des éléments de symétrie, en prenant le plan (xoy) comme plan de projection. 3) Un cristal est formé par la superposition des deux formes simples suivantes: {112} et {1-12}. a) Représenter ces formes par projection stéréographique en indexant toutes les faces. b) Si les formes {112} et {1-12} avaient exactement le même développement, quelle serait la forme simple ainsi simulée et sa symétrie? 4) Calculer l'angle entre les faces (112) et (-1-12) en expliquant le calcul. 5) Calculer l'équidistance des plans de la famille (112) M me DARRAGI F. 8

9 M me DARRAGI F. 9