Chapitre 1 : Diviseurs et multiples.

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1 Chapitre 1 : Diviseurs et multiples. 1. Chiffre et nombre : a. Chiffre : Ce sont les symboles utilisés pour écrire les nombres. Dans notre système (système décimal), il y a 10 chiffres distincts qui permettent de former un ensemble infini de nombres. Il s agit de 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. b. Nombre : Réunion de plusieurs chiffres. C est le rapport entre deux quantités prises comme terme de comparaison, c'est-à-dire comme unité. 2. Diviseurs d un nombre : a. Notation : L ensemble des diviseurs d un nombre n se note div n. div 24 1,2,3,4,6,8,12,24 Exemples : div 16 1,2,4,8,16 b. Propriétés : Le nombre un divise tout nombre naturel. 1 divise 8 car 8 = 1.8. Tout nombre naturel non nul n est son plus grand diviseur. 9 est le plus grand diviseur de 9 car 9 = Nombres particuliers : a. Nombres carrés : Définition : Un nombre carré est un nombre naturel qui possède un nombre impair de diviseurs. 16 est un nombre carré car il possède 5 diviseurs. Propriété : Un nombre carré peut s écrire sous la forme d un produit de deux facteurs égaux. On peut écrire que 16 = 4.4 = 4 2.

2 b. Nombres rectangles : Un nombre rectangle est un nombre naturel qui possède un nombre pair de diviseurs. 24 est un nombre rectangle car il possède 8 diviseurs. c. Nombres premiers : Un nombre premier est un nombre naturel qui n admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. 5 est un nombre premier car il ne possède que deux diviseurs distincts : 1 et 5. Contre-exemple : 8 n est pas un nombre premier car 8 est divisible par 1, 2, 4 et Multiples-Diviseurs : Si a, b et c sont des nombres naturels non nuls, alors a = b. c signifie que : b et c divisent a. b et c sont des diviseurs de a. a est divisible par b et c. a est un multiple de b et de c. 5. Propriétés de la divisibilité : a. Propriétés liant la divisibilité et les opérations : Si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur somme. Formulation mathématique : a, b et c étant des nombres naturels : si a b et a c, alors a b+c. Si un nombre en divise deux autres, alors il divise leur différence. Formulation mathématique : a, b et c étant des nombres naturels : si a b et a c, alors a b-c. Si un nombre en divise un autre, alors il divise tous les multiples de cet autre. Formulation mathématique : a, b et c étant des nombres naturels : si a b, alors a b.n. b. Caractères de divisibilité : Un naturel est divisible par : 2 si le dernier chiffre est pair. 5 si le dernier chiffre est 0 ou si le dernier chiffre est 0. 4 si les deux derniers chiffres forment un multiple de si les deux derniers chiffres forment un multiple de si les deux derniers chiffres sont si les trois derniers chiffres forment un multiple de si les trois derniers chiffres forment un multiple de si les trois derniers chiffres sont si la somme des chiffres est un multiple de 3. 9 si la somme des chiffres est un multiple de 9.

3 6. Nombres figurés : a. Les nombres triangulaires : Les nombres triangulaires correspondent à la somme des nombres naturels successifs. ( Pour trouver le n ième nombre triangulaire, il faut utiliser la formule : T n = n+1 ) n T b. Les nombres carrés : Un nombre carré est égal à la somme de deux nombres impairs consécutifs. Pour trouver le n ième nombre carré, il faut utiliser la formule : C c. Les nombres impairs : Un nombre impair est un nombre qui n est pas divisible par 2. Cn 2 n. Pour trouver le n ième nombre impair, il faut utiliser la formule : I n = 2n-1. I

4 Chapitre 3 : Les entiers. 1. Valeur absolue et nombres opposés : - Sur la droite graduée, les nombres négatifs sont toujours placés à gauche du zéro, et les nombres positifs à droite du zéro. - La distance qui sépare un nombre entier du zéro sur la droite graduée est appelée valeur absolue. La valeur absolue de l entier x se code x. Exemples : -4 = 4-3 = 3 3 = 3 2 = 2 La valeur absolue d un entier est toujours positive. - Deux nombres sont opposés s ils ont la même valeur absolue et des signes contraires. Exemples : 2 et et et -100 La somme de deux nombres opposés est nulle. Exemples : = = = 0 2. Comparer des entiers : a. Comment comparer un entier négatif et un entier positif? L entier négatif est plus petit que l entier positif. -12 < 25. b. Comment comparer deux entiers positifs? Le plus grand est celui qui a la plus grande valeur absolue. 12 < 25. c. Comment comparer deux entiers négatifs? Le plus grand est celui qui a la plus petite valeur absolue. -25 < -12.

5 3. Addition et soustraction dans : a. Comment faire pour additionner et soustraire des entiers? - Pour additionner deux entiers de même signe, on additionne leurs valeurs absolues et on recopie le signe commun. Exemples : = (-3) = -7 - Pour additionner deux entiers de signes différents, on soustrait leurs valeurs absolues et on recopie le signe de l entier qui a la plus grande valeur absolue. Exemples : = = 1 - Pour soustraire un nombre, il suffit d ajouter son opposé. 2 5 = 2 + (-5) = -3 b. Propriétés de l addition dans : - L addition est commutative ce qui signifie que dans une somme d entiers, l ordre n a pas d importance. 2 ( 3) 1 ( 3) 2. Codage : si a et b sont deux entiers, a + b = b + a. - L addition est associative ce qui signifie que dans une somme de plus de deux termes entiers, la manière de les grouper n influence pas le résultat. (2 + (-3)) + (-4) = -5 = 2 + ((-3) + (-4)) = (2 + (-4)) + (-3). Codage : si a, b et c sont trois entiers, (a + b) + c = a + (b + c) = (a + c) + b. - 0 est le neutre pour l addition ce qui signifie qu additionner 0 à un nombre entier donne une somme égale à ce nombre = 2. Codage: a + 0 = a. - L addition est symétrisable ce qui signifie que tout nombre entier admet un opposé. si a = 2, -a = -2. Codage: si a est un entier, -a.

6 4. Multiplication dans : Le produit de deux entiers positifs est positif. Le produit de deux entiers négatifs est positif. Le produit d un entier positif et d un entier négatif est négatif. Le produit de n facteurs positifs est toujours positif. Le produit de n facteurs négatifs est positif si n est pair et négatif si n est impair. a. Comment faire? Pour multiplier des entiers, on regarde d abord quel sera le signe et ensuite on multiplie leur valeur absolue. Lorsqu il y a plusieurs opérations dans un même calcul, on effectue les calculs entre parenthèses puis on effectue dans l ordre les produits et puis les sommes. b. Propriétés de la multiplication : - La multiplication est commutative ce qui signifie que dans un produit d entiers, l ordre n a pas d importance. 2 (-3) = -6 = Codage : si a et b sont deux entiers, a.b = b.a - La multiplication est associative ce qui signifie que dans un produit de plus de deux facteurs, la manière de les grouper n influence pas le résultat. (2 (-3)) (-4) = 24 = 2 ((-3) (-4)) = (2 (-4)) (-3). Codage : si a, b et c sont trois entiers, (a.b).c = a.(b.c) = (a.c).b - 1 est le neutre pour la multiplication ce qui signifie que multiplier un nombre par 1 donne un produit égal à ce nombre. 1 (-2) = -2. Codage : si a est un entier, a.1 = a - 0 est absorbant pour la multiplication ce qui signifie que multiplier un nombre par 0 donne un produit égal à 0. 0 (-2) = 0. Codage : si a est un entier, a.0 = 0

7 Chapitre 5 : Les fractions. 1. Notation, définition : Une fraction représente un partage et un quotient. La forme générale d'une fraction est a b où a est le numérateur et b est le dénominateur. Le dénominateur détermine le nombre de parts égales par lequel l unité choisie est partagée. Le numérateur détermine le nombre de parts égales prélevées. Une fraction est le quotient d un entier par un entier non nul est une fraction dont le numérateur est 4 et dont le dénominateur est 11 4 et 11 sont les termes de la fraction. 2. Représentation de fractions : Une fraction est un nombre représentant l abscisse d'un point d'une droite. 3. Comparaison de fractions : Si deux fractions positives ont le même numérateur, la plus petite est celle qui a le plus grand dénominateur Si deux fractions positives ont le même dénominateur, la plus petite est celle qui a le plus petit numérateur Si deux fractions positives ont des numérateurs et des dénominateurs différents, il faut les réduire au même dénominateur. La fraction qui a le plus grand numérateur est alors la fraction la plus grande > 2 3 car et

8 4. Fractions égales : Pour trouver une fraction égale à une autre fraction donnée, il suffit de diviser (ou de multiplier) le numérateur et le dénominateur de la fraction par un même nombre non nul (différent de 0). a a. n Si a et sib, n 0, alors. b b. n Une fraction est nulle si le numérateur est nul Une fraction est égale à 1 si ses deux termes sont identiques. Exemples : Une fraction est égale à son numérateur si son dénominateur est Une fraction n existe pas si son dénominateur est nul Simplification de fractions : Pour simplifier une fraction, il suffit de diviser le numérateur et le dénominateur de la fraction par un même nombre non nul Une fraction qui ne peut pas (plus) être simplifiée est dite irréductible. 6. Les fractions décimales : Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10. Exemples : 0, /100 63, /1000

9 7. Opérations sur les fractions : a. L'addition et la soustraction de fractions : Pour additionner (ou soustraire) deux fractions, il faut : - Les simplifier si possible. - Les réduire au même dénominateur. - Additionner (ou soustraire) les nouveaux numérateurs en conservant le dénominateur. - Simplifier, si possible, la fraction ainsi obtenue. Quels que soient les nombres a, b et d ( d 0 ) on a : a b a b et a b a b d d d d d d b. La multiplication de fractions : Pour multiplier deux fractions, il faut : - Multiplier les numérateurs et les dénominateurs entre eux. - Simplifier, si possible, avant d effectuer les produits. Quels que soient les nombres a, b, c et d ( b 0 d 0 ) on a : a c a. c b d b. d

10 Chapitre 6 : Le calcul littéral. 1. Produit algébrique : Pour réduire un produit algébrique, il faut : - Multiplier les facteurs numériques entre eux. - Ecrire les facteurs littéraux dans l ordre alphabétique. 4 a.2 a.3b 24 2 a b 2. Somme algébrique : On appelle termes semblables des termes qui ont la même partie littérale. Pour réduire une somme algébrique de termes semblables, il faut : - Conserver la partie littérale. - Additionner les parties numériques (coefficients) a b a a b 3. La distributivité simple : Pour multiplier une somme par un nombre, il faut multiplier chaque terme de la somme par ce nombre et additionner les résultats obtenus. 2 a. 3y z 2 a.3y 2 a. z 6ay 2az 4. Double distributivité : Pour multiplier une somme par une autre somme, il faut multiplier chaque terme de la première somme par chaque terme de la deuxième somme et additionner les résultats a 5 b. 3a 2b 2 a.3a 2 a. 2b 5 b.3a 5 b. 2b 6a 4ab 15ab 10b 6a 11ab 10b 5. La mise en évidence : Lorsque tous les termes d une somme possèdent un (des) facteur(s) commun(s), on peut transformer cette somme en un produit de facteurs en mettant ce(s) facteur(s) commun(s) en évidence. On dit qu on a factorisé par la mise en évidence. 25 a a a 7

11 6. Suppression des parenthèses : Dans une somme algébrique, on peut supprimer des parenthèses et le signe + qui les précède sans rien changer. 4a 2b 3c 4a 2b 3c Dans une somme algébrique, on peut supprimer des parenthèses et le signe - qui les précède à condition de changer le signe de tous les termes compris dans les parenthèses. 5x 4y 2z 5x 4y 2z 5x 4y 2z

12 Chapitre 8 : Les équations. Une équation est une égalité qui peut être soit vraie soit fausse en fonction de la valeur donnée à l inconnue. Résoudre une équation, c'est trouver la ou les valeurs pour lesquelles l'égalité est vraie. Ces valeurs s'appellent les solutions de l'équation. Une équation du premier degré est une équation dans laquelle les puissances de l'inconnue sont de degré 0 et 1 uniquement. Pour résoudre un problème par mise en équation, il faut : - Poser l inconnue. - Coder le problème par une équation. - Résoudre l équation. - Répondre en français à la question posée.

13 Chapitre 9 : Repérage. 1. Lire les coordonnées d un point : Pour repérer un point dans le plan, il faut : - Tracer deux droites sécantes (souvent perpendiculaires). - Les repérer à partir de leur point d intersection : l origine O(0 ;0). Les deux droites ainsi graduées forment un repère cartésien du plan. La position d un point est connue grâce à un couple de nombres. Ces deux nombres sont appelés les coordonnées du point. La première coordonnée est appelée l abscisse du point ; elle se repère sur l axe horizontal (x). La seconde coordonnée est appelée l ordonnée du point ; elle se repère sur l autre axe (y). 2. Effets des transformations du plan sur les coordonnées d un point : La symétrie orthogonale d axe x remplace l ordonnée de tout point par son opposé. La symétrie orthogonale d axe y remplace l abscisse de tout point par son opposé. La symétrie centrale de centre O remplace les cordonnées de tout point par leurs opposés. La translation ajoute (retire) un même nombre à (de) l abscisse et un même nombre à (de) l ordonnée de tout point. 3. Milieu d un segment : Les coordonnées du milieu d un segment s obtiennent en calculant la moyenne arithmétique des abscisses et la moyenne arithmétique des ordonnées des extrémités du segment. xa xb ya yb Si A(X A ; Y A ) et B(X B ; Y B ) et M le milieu du segment [AB], alors M ; 2 2.

14 Chapitre 10 : Les proportions et les pourcentages. Deux grandeurs directement proportionnelles (x et y) sont deux grandeurs telles que le quotient d une valeur de y par la valeur correspondante de x est constant ; ce nombre est le coefficient de proportionnalité (k = y : x ou y = x.k). Lorsque deux grandeurs (x et y) sont directement proportionnelles, si l une d elle est multipliée (divisée) par un nombre, alors l autre est multipliée (divisée) par le même nombre. Une valeur de la deuxième grandeur (y) peut être calculée en multipliant la valeur correspondante de la première grandeur (x) par le coefficient de proportionnalité ou en utilisant un rapport interne. Une valeur de la première grandeur (x) peut être calculée en divisant la valeur correspondante de la deuxième grandeur (y) par le coefficient de proportionnalité ou en utilisant un rapport interne. Les points du graphique qui représentent une relation de proportionnalité directe sont sur une droite passant par l origine.1 L échelle est le rapport entre la longueur sur le plan et la longueur réelle, exprimées toutes deux dans les mêmes unités. L échelle est donc le coefficient de proportionnalité entre les deux grandeurs.