MODELES DE LA COURBE DES TAUX Université d Evry Séance 8. Moez Mrad / Philippe Priaulet

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1 MODEES DE A COURE DES AUX Unveré Evry Séance 8 Moez Mra / Phlppe Prale

2 PA Rappel r le moèle Heah-Jarrow-Moron Changemen e nmérare. Généralé. Mere orwar 3 Evalaon e coverre e pro e ax 3. Opon r n zéro-copon 3. Opon r ne oblgaon 3.3 orwar Rae Agreemen 3.4 Cap 3.5 loor 3.6 Swapon 4 Moèle e marché GM o

3 3 Rappel r le moèle Heah-Jarrow-Moron Réérence : Darrell De «Moèle ynamqe évalaon» P 994 onel Marelln & Phlppe Prale «xe-income Secre» Wley 3 onel Marelln & Phlppe Prale «Pro e ax Inérê» Economca 4 Mare Mela & Mare Row «Marngale Meho n nancal Moellng» Sprnger 997

4 4 oaon e prx en zéro-copon e maré : e prx en zéro-copon orwar enre e : / e ax zéro-copon enre e : R ln e ax zéro-copon orwar enre e emé en : R ln e ax nanané orwar e maré : ln e ax cor o le ax nanané : r ac non rqé : β exp r

5 5 HJM99 Conéron n epace lré P P Ω o w n movemen brownen e menon ne r ce epace la lraon e la lraon narellemen engenrée P par w. Por o la on ax nanané orwar e onnée par α ob σ w P Où por o α e σ on ex proce aapé.e -merable

6 6 Dynamqe o ne mere marngale rqe-nere Sppoon qe AOA-HJM e vérée o onc ne mere elle qe a ené par rappor à P e onné par : P exp λ λ w P a ynamqe ax nanané orwar e onnée par : σ σ ob σ w P Remarqe : a ynamqe ax nanané orwar épen nqemen e la corbe po ob e e la rcre e volalé σ

7 7 Corbe e ax en oncon e conon nale Prx zéro-copon Dynamqe e ZC o w r w w w r exp..exp exp

8 8 ax zéro-copon w R R ax nanané orwar ob w σ σ σ 3 ax cor ob w r σ σ σ

9 9 Changemen e nmérare. Généralé Un marché nancer pa nécearemen n marché e ax Conenan n ac non rqé β ne mere marngale rqe-nere aocée à ce ac non rqé Por o ac S e ce marché e prx e non-arbrage acalé : e ne marngale o Z S β

10 So ne mere marngale rqe-nere onnée e o S n proce rcemen po el qe S / β e ne -marngale. On cherche * elle qe por o proce e prx e non-arbrage Π le proce Π / S e ne *-marngale. Conéron n ac conngen q vere X à l nan on prx e non-arbrage à l nan e onné par : Π X X E Sppoon qe * exe e qe a ené par rappor à e onnée par : β * On a Π S X E Π S * X * X E S E X S e Π X E S S β X β

11 Propoon : So * ne mere on la ené e Raon-oym par rappor à e onnée par : * S S β So Π n proce el qe Π / β e ne -marngale. Alor le proce Π / S e ne *-marngale Propoon : Conéron n ac conngen q vere X à l nan on prx e non-arbrage à l nan e onné par : Π X S E * X S

12 .3 Mere orwar On conère n marché e ax onné mn ne mere marngale rqe nere po. On conère ne maré xée On e propoe e prenre comme novea nmérare On én la mere marngale rqe nere orwar aocée à la maré par :. β Propoon 3 : Conéron n ac conngen q vere X à l nan on prx e non-arbrage à l nan e onné par : Π X E [ X ]

13 3 Remarqe : e ax nanané orwar e lé a ax cor par : E [ r ] a ené e par rappor à e égale à :. β exp w 3 e len enre le ex movemen brownen e onné par w w

14 4 Soen U e V ex maré pérere à. On poe : U V V U e prx orwar en zéro-copon enre U e V e onné par : So : So : U V U Vexp U V w V U U V U V exp U V w V U Por U on a : V V exp V w V Remarqe : V e ne marngale o Réla aen

15 5 3 Evalaon e coverre an n care HJM gaen 3. Opon r n zéro-copon Prme en n call eropéen e maré r n zéro-copon e maré : K r E C exp En prenan comme novea nmérare on a : K E C E on a : K Call e ln K

16 6 3. Opon r ne oblgaon Echéancer Copon C Copon C 3 4 Prme en n call e maré r oblgaon e maré : CO exp r K E C On poe A C K

17 7 e prx e alor onné par: CO C A K A Solon praqe: Approxmaon: C e log-normale ormle poble è qe le moèle e maroven e le prx zéro-copon e monoone en oncon e varable éa c l exemple évalaon an n care vace généralé an MP Remarqe : e prx pe égalemen écrre : β CO C β K A C cov A

18 8 3.3 orwar Rae Agreemen a valer en n RA échéance r erbor 6 mo xng en e onnée par : [ ] e E e E RA r r 6m Erbor 6m ax lnéare xe

19 9 Ce q onne E RA On oben nalemen RA exp RA exp

20 3.4 Cap Echéancer n cap Erbor 6m 3 4 x lnéare xe Caple prépayé Erbor 6m m Prme n cap Prme caple ax lnéare xe

21 a valer en n caple échéance r erbor 6 mo xng en - e onnée par :. r r e E e E C Ce q onne [ ] E C nalemen on oben : C - e ln

22 3.5 loor Echéancer enqe à cel n cap loorle Prme n loor Prme On e covre conre ne bae e l erbor a valer en n loorle échéance r erbor 6 mo xng en - e onnée par :. r r e E e E

23 3 Relaon e paré : Swaple loorle Caple SWAP OOR CAP Prx n loorle : - e ln

24 4 3.6 Swapon Echéancer Erbor 3m Erbor 3m 3 4 K K Pare oponelle Swap Pay-o en

25 5 Swap K a valer wap payer e re K à l nan e alor onnée par : Swap K Jambe _ Varable Jambe _ xe δ K Une wapon pe êre ve comme ne opon r oblgaon Remarqe On én le ax wap à l nan e onnée par : XS a valer wap payer e re K à l nan e alor onnée par : δ

26 6 Swap K δ [ XS K] 4 Moèle e marché GM o Réérence : Damano rgo & abo Mercro «Inere Rae Moel heory an Pracce» Sprnger Marco Avellanea & Peer arence «anave Moellng o Dervave Secre» CHAPMA & HA/CRC

27 7 3 Mare Mela & Mare Row «Marngale Meho n nancal Moellng» Sprnger 997 Moèle e marché GM o a ynamqe ax bor e onnée par : w w Por o on poe : σ

28 8 Dan le care GM σ... e ppoée éermne GM HJM Paage e GM à HJM * On poe ne corbe e prx ZC nale On ppoe qe nore horzon e n mlple e la péroe bor On ravalle onc avec ne gamme crèe δ... On connaî égalemen le volalé e lbor e onc ler ynamqe On e onne égalemen

29 9 a ynamqe lbor ermnal e onnée par : * * w δ σ On connaî onc l e égal à o nan à :. σ ε Comme on connaî égalemen on pe rover la volalé : σ δ δ

30 3 On répèe l opéraon por -... Prncng e cap e loor an le care GM a valer en n caple échéance r erbor 6 mo xng en - e onnée par :. r e E C Ce q onne [ ] E C nalemen on oben : [ ] C δ Avec

31 3 ln / σ σ e - σ e prx e cap e loor on ao-calé par rappor a marché : Moèle e lac 976 a ynamqe ax bor e onnée par : σ M w M M σ e ne conane rcemen pove

32 3 M e la probablé e marché e prx n caple e alor onné par : [ ] [ ] M M E C M δ δ Avec - e / ln M M M σ σ σ On vo onc qe por paer ne ormla à ne are l e prenre M σ σ

33 33

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