SERIE D EXERCICES N 10 : MECANIQUE : CINEMATIQUE DU POINT (début).

Transcription

1 SERIE D EXERCICES N 10 : MECANIQUE : CINEMATIQUE DU POINT (début). 1 Les grandeurs en caractère gras sont des grandeurs ectorielles. Mouement rectiligne. Exercice 1. On considère deux milieux séparés par une surface plane, dans lesquels une particule se déplace aec des itesses différentes 1 et, 1 et étant tous deux des ecteurs constants. Quelle relation les angles i 1 et i doient-ils érifier pour que le trajet A 1 IA ait une durée minimale, A 1 et A étant fixes? Que ous rappelle ce résultat? Figure dans le plan d incidence : plan défini par le «rayon incident» A 1 I et la normale IN à la surface de séparation au point d incidence I : A 1 i 1 I N i A Note : on pourra introduire H 1 et H les projetés de A 1 et A sur la surface de séparation et poser A 1 H 1 = a 1, A H = a ; on exprimera alors la durée du trajet en fonction de a 1, a, 1,, i 1, i puis on dériera par rapport à i 1 compte tenu de la relation H 1 I + IH = constante. Exercice. Un naire N est animé d un mouement rectiligne et uniforme de itesse, le long d une droite D. Un sous-marin immobile S tire une torpille T à l instant où l angle ( NS, ) a la aleur α. T étant animée d un mouement rectiligne et uniforme de itesse u. 1. Quelle doit être la aleur de l angle de tir θ = ( u, SN ) si l on eut couler N?. Si l on eut que T atteigne N en un temps minimum, à quel instant, c est à dire pour quelle aleur de α, conient-il de tirer? (on donnera la relation entre α et θ ). Calculer la aleur de l angle de tir θ correspondante. N D α θ u S 1. Dans un plan (Ox, Oy) deux particules se déplacent en mouement rectiligne uniforme. A un instant donné, elles se trouent en M 1 et M et leurs itesses sont 1 et. A quelle condition les ecteurs M 1 M, 1 et doient-ils satisfaire pour que les particules entrent en collision? Que peut-on en déduire pour leur itesse relatie?. Application. M 1 est un faisan qui ole horizontalement à la itesse de 0 m.s -1 et M est la charge tirée par un chasseur à la itesse moyenne de 300 m.s -1. a) Le chasseur tire un premier coup lorsqu il oit le faisan dans une direction faisant l angle θ 1 = 30 aec sa trajectoire ; quelle correction de tir, définie par l angle θ, derait-il effectuer? b) La correction ayant été mal faite, le chasseur tire un deuxième coup qui abat le faisan lorsqu il passe au plus près du chasseur (il est alors à 30 m du chasseur). A combien de mètres le chasseur a-t-il tiré «deant» le faisan? Un mobile animé d une itesse 0 = 0 i constante, pénètre dans un milieu résistant dans lequel il est soumis à une accélération a = -k i ; k est une constante et la itesse instantanée. 1. En prenant pour origine des temps et des espaces le moment où le mobile pénètre dans le milieu, établir la loi donnant (t).. En déduire l équation du mouement. 3. Montrer qu après un parcours x, la itesse est = 0 e -kx.

2 Mouement circulaire. Préciser l accélération subie par un mobile se déplaçant à la itesse constante sur une trajectoire formée de deux segments rectilignes parallèles, raccordés par deux quarts de cercle de même rayon R : aant A, entre A et B, entre B et C, après C. A.N. : = 7 km.h -1 et R = 0 m. A O 1 B O C Dans le plan xoy d un repère ( O, i, j, k ), un point P se déplace sur un cercle de rayon R et de centre I ( R, 0,0 ). A l instant t = 0, P se troue en A ( R, 0, 0 ) et possède la itesse positie 0 ( 0, 0, 0 ). On désigne par r et θ les coordonnées polaires de P. 1. Former l équation polaire du cercle, en déduire son équation cartésienne.. Représenter sur la figure la base polaire ( u r, u q ) de P. Calculer en fonction de θ et de ses dériées successies par rapport au temps les composantes polaires des ecteurs itesse et a de P dans le repère ( O, u r, u q, k ). 3. Soit s l abscisse curiligne de P (l origine est en A). Donner l expression de s en fonction de θ. Représenter sur la figure la base intrinsèque ( T, N ) de P. Calculer en fonction de θ et de ses dériées successies par rapport au temps les composantes de et de a dans cette base. Calculer les composantes polaires de T et de N. Retrouer dans ces conditions les composantes polaires de et de a. 4. On désigne par ω la itesse angulaire de P, dont on suppose dans tout ce qui suit qu elle est constante. Donner en fonction de t, les expressions de θ puis de r. En déduire les expressions en fonction de t de et a dans les bases polaire et de Frenet. Détermination de la trajectoire. Les coordonnées d une particule sont données par les fonctions du temps : x = t et y = 4 t ( t - 1 ). Déterminer l équation de la trajectoire. Calculer la itesse à l instant t. Montrer que le mouement a une accélération constante dont on déterminera les composantes tangentielle et normale. y A i ϕ j ϕ i B x Soit un système constitué de deux barres identiques OA et AB, de longeur b, articulées en A et assujetties à rester dans le plan ( O, i, j ). B glisse le long de l axe Ox et l angle ϕ = ( i, OA ) érifie ϕ = ω t aec ω constant. Déterminer l équation cartésienne de la trajectoire du milieu M de AB. Déterminer l accélération de M. Mouement hélicoï dal. Exercice 9. Un point M décrit une hélice circulaire d axe Oz. Ses équations horaires sont : x = a cos θ ; y = a sin θ ; z = h θ. a est le rayon du cylindre de réolution sur lequel est tracé l hélice, h est une constante et θ est l angle que fait aec Ox la projection OM de OM sur Oxy. 1. Donner en coordonnées cylindriques les exp ressions de la itesse et de l accélération.. Montrer que le ecteur itesse fait aec le plan Oxy un angle constant. 3. Montrer que si le mouement de rotation est uniforme, le ecteur accélération passe par l axe du cylindre et est parallèle au plan Oxy. Calculer le rayon de courbure.

3 3 Poursuites. Exercice 10. Les quatre mouches Adèle, Berthe, Célestine et Dorothée sont initialement aux quatre sommets A,B, C, D d un carré de côté l 0. Adèle ole ers Berthe, Berthe ers Célestine, Célestine ers Dorothée et Dorothée ers Adèle aec des itesses de même module. Au bout de combien de temps les quatre mouches atteindront-elles le centre du carré? Note. Il est bon de remarquer que l axe Oz passant par le centre du carré et perpendiculaire au plan ABCD est un axe de répétition pour le problème : les quatre mouches resteront continuellement aux quatre sommets d un carré de centre O (de côté et d orientation ariables). On étudiera alors l éolution de la situation entre les instants t et t + dt et on fera un déeloppement limité au premier ordre.

4 4 Réponses. Exercice 1. sin i1 sin i = (loi de Descartes pour la réfraction). 1 Exercice. 1) sin θ = sin α. ) α = π/ - θ et tan θ =. u u 1) M 1 M = ( 1 ) t ; itesse relatie colinéaire à M 1 M..a) sin θ = 1 sin θ1..b) l 1 = 1 l. 0 1) = 1+ k 0 t. ) x = k 1 ln ( 1 + k 0 t ). 3) = 0 e - k x. Aant A et après C : a = 0 ; entre A et b et entre B et C : a = R = 0 m.s -, a étant dirigé ers le centre de courbure. 1) r = R cos θ et x + y R x = 0. ) = R θ & ( - sinθ u r + cosθ u q ) et a = - R [ u r ( cosθ θ & + sinθ θ && ) + u q ( sinθ θ & - cosθ θ & ) ]. θ & N ) ; aec T = - sinθ u r + cosθ u q et N = - cosθ u r - sinθ u q on retroue les 3) s = R θ ; = R θ & T et a = R ( θ && T + ω0 t expressions précédentes. 4) θ = que l on reporte dans r, et a ; = R ω 0 T et a = R ω 0 N. 1) y = x x. ) = 16 t 16 t ) a = 8 j = cte aec a T = t t 1 16 t + 5 et a N = 16 t 8 16 t + 5. x 9 b y + = 1 (ellipse) et a = - ω OM. b Exercice 9. 1) = a θ & u q + h θ & u z et a = a θ && u q - a θ & u r + h θ & h a h u z. ) Soit ϕ = ( u q, ) : tanϕ = = cte. 3) ρ = a a +. Exercice 10. t = l 0 /.

5 Série d exercices 11 SERIE D EXERCICES N 11 : MECANIQUE : CINEMATIQUE DU POINT (fin). 1 Les ecteurs sont notés en caractères gras. Changement de référentiel, composition des mouements. Exercice1. Les coordonnées d une particule mobile dans le référentiel (R) muni du repère (O,i,j,k) sont données en fonction du temps par : x = t - 4 t + 1 ; y = - t 4 ; z = 3 t. Dans un deuxième référentiel (R ) muni du repère (O,i,j,k ), aec i=i, j=j, k=k, elles ont pour expression : x = t + t + ; y = - t ; z = 3 t - 7. Exprimer la itesse de M dans (R) en fonction de sa itesse dans (R ). Procéder de même pour les accélérations. Définir le mouement d entraînement de (R ) par rapport à (R). Exercice. z z _ a=g h u puis a e O O x (x ) On laisse tomber d un immeuble de hauteur h une bille sans itesse initiale. La chute de celle-ci s effectue à la erticale selon un mouement uniformément accéléré d accélération g. 1. Quelle est la trajectoire de la bille dans un référentiel lié à une oiture se déplaçant suiant un mouement rectiligne et uniforme de itesse u et passant à la erticale de chute au moment du lâcher?. Quelle est la trajectoire de la bille dans le même référentiel si on admet que la oiture entame au moment du lâcher et à partir de la erticale de chute un mouement rectiligne uniformément accéléré d accélération a e? (Représenter dans chaque cas la trajectoire demandée.) y y u Un gland tombe à la itesse erticale sur le pare-brise incliné à 45 d une oiture roulant à la itesse u. Comment s effectue la réflexion du gland sur le pare-brise, ue par un piéton immobile? On peut admettre raisonnablement que dans le référentiel lié à la oiture, la itesse réfléchie est égale et orientée symétriquement à la itesse incidente par rapport à la normale au pare-brise. O O x (x ) O y x M A y θ O θ x Dans le plan Oxy, un cercle de rayon R, de diamètre OA, tourne à la itesse angulaire constante ω autour du point O. On lie à son centre mobile O deux axes rectangulaires O x y (l axe O x est dirigé suiant OA ). A l instant t = 0, A est sur Ox, Ox et O x étant alors colinéaires. Un point M, initialement en A, parcourt la circonférence dans le sens positif aec la même itesse angulaire ω. 1. Calculer directement les composantes des ecteurs itesse et accélération de M dans le repère Oxy (en dériant les composantes de OM ).. Calculer les composantes de la itesse et de l accélération relaties de M dans le repère O x y puis dans Oxy. 3.a) Calculer les composantes de la itesse d entraînement dans le repère Oxy en utilisant la notion de point coïncidant, retrouer le résultat par la loi de composition des itesses. b) Calculer de même les composantes de l accélération d entraînement dans le repère Oxy ; en déduire l accélération complémentaire. 4. Vérifier les expressions des composantes de la itesse d entraînement et celle de l accélération complémentaire en utilisant les expressions faisant interenir le ecteur rotation w..

6 Série d exercices 11 Deux bateaux traersent une riière de largeur l ; leur itesse par rapport à l eau est = cte, la itesse du courant est V = cte. Le premier met le temps le plus court, le second emprunte le chemin le plus court. Comparer les durées mises par les deux bateaux pour traerser la riière. y A l a V A x Soit un plateau de manège tournant à la itesse angulaire ω constante. Un obserateur assimilé à un point matériel M part du centre O et marche uniformément le long d un rayon du plateau. Déterminer l équation de sa trajectoire en coordonnées polaires planes dans le référentiel lié au sol. Dans le plan xoy, une droite Ox tourne autour de Oz aec une itesse angulaire constante ω = d θ. dt Un mobile M (OM = r) se déplace sur la droite Ox suiant la loi : r = r 0 ( cos ωt + sin ωt ) aec r 0 = cte. 1. Déterminer à l instant t en fonction de r 0 et ω, la itesse relatie et la itesse d entraînement de M par leurs projections dans le repère mobile x Oy. En déduire la itesse absolue exprimée dans cette même base de projection, et montrer que le module de celle-ci est constant.. Déterminer à l instant t en fonction de r 0 et ω, l accélération relatie, l accélération d entraînement et l accélération complémentaire de M par leurs projections dans le repère mobile x Oy. En déduire l accélération absolue exprimée dans cette même base de projection, et montrer que le module de celle-ci est constant. z u z O u q θ u r R x O 1 y N T M M ϕ u z u q a u r Une roue de rayon a, de centre O 1, d axe OO 1 horizontal roule sans glisser sur un plan horizontal fixe : O est fixe et OO 1 tourne aec une itesse angulaire constante ω = d θ autour d un axe ertical Oz. dt On considère à l instant t le point M le plus haut de la roue. dϕ dθ 1. Ecrire la condition de roulement sans glissement qui lie,, a et R = OO1 si ϕ repère la position de O 1 M par rapport à dt dt l axe O 1 z (oir la figure).. Etude du mouement relatif de M (mouement dans le référentiel (R ) lié au repère (O, u r, u q, u z ) ) : exprimer la itesse relatie et l accélération relatie de M en fonction de R, a, ω, T et N ecteur unitaire directement perpendiculaire à T. 3. Etude du mouement d entraînement de M ( mouement du référentiel (R ) lié au repère (O, u r, u q, u z ) par rapport au référentiel (R) lié au repère (O, u x, u y, u z ) ) : exprimer la itesse d entraînement et l accélération d entraînement de M en fonction de R, ω, T, OO Calculer l accélération complémentaire de M en fonction de ω et OO En déduire les expressions de la itesse absolue et de l accélération absolue en fonction des données précédentes.

7 Série d exercices 11 3 Réponses. Exercice 1. = 5 i et a = a : translation rectiligne et uniforme. Exercice. g 1) z = - u x + h (parabole). ) z = g x + h (droite). ae après = ( + u ) i + u j. 1) a = [ - R ω ( sinθ + sinθ ) i + R ω ( cosθ + cosθ ) j ] et a a = [ - R ω ( cosθ + 4 cosθ ) i - R ω ( sinθ + 4 sinθ ) j ]. ) r = R ω ( - sinθ i + cosθ j ) et a r = - R ω (cosθ i + sinθ j ). 3) e = [ - R ω ( sinθ + sinθ ) i + R ω ( cosθ + cosθ ) j ] et a e = [ - R ω ( cosθ + cosθ ) i - R ω ( sinθ + sinθ ) j ] ; d où a c = - R ω (cosθ i + sinθ j ). t 1 = l et t = l V > t 1. θ θ0 r =. ω 1) r = r 0 ω ( cos(ωt) - sin(ωt) ) u r et e = r 0 ω ( cos(ωt) + sin(ωt) ) u q et a = r + e donneaec a = r 0 ω. ) a r = - r 0 ω ( cos(ωt) + sin(ωt) ) u r et a e = - r 0 ω ( cos(ωt) + sin(ωt) ) u r et a c = r 0 ω ( cos(ωt) - sin(ωt) ) u q et a a = a r + a e + a c donne a a = r 0 ω. 1) a ϕ & = R θ&. ) r = R ω T et a r = - a a = - ω ( R N + 3 OO 1 ). a R a ω N. 3) e = R ω T et a e = - ω OO 1. 4) a c = - ω OO 1. 5) a = R ω T et