Analyse pour l Ingénieur

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1 Analyse pour l Ingénieur p 2 Analyse pour l Ingénieur Georges KOEPFLER UFR de Mathématiques et Informatique Université Paris Descartes 45 rue des Saints-Pères PARIS cedex 06, France Analyse pour l Ingénieur p 1 Plan Comparaison locale de fonctions Fonctions à plusieurs variables réelles Intégrales multiples Séries de FOURIER

2 Analyse pour l Ingénieur p 4 Comparaison locale de fonctions Analyse pour l Ingénieur p 3 Comparaison locale de fonctions On va présenter trois types de relations locales entre deux fonctions f et g en un point x 0 de R : (E) f et g sont équivalentes quand x tend vers x 0 ; (N) f est négligeable devant g quand x tend vers x 0 ; (D) f est dominée par g quand x tend vers x 0 Pour x 0 R on va définir un voisinage de x 0 V (x 0 ) : si x 0 R, alors V (x 0 ) = {x R / x x 0 < ε} =]x 0 ε, x 0 + ε[, pour ε > 0 donné (suffisamment petit) ; si x 0 est +, alors V (x 0 ) = {x R /x > A} =]A, + [, pour A > 0 donné (suffisamment grand) ; si x 0 est, alors V (x 0 ) = {x R /x < A} =], A[, pour A > 0 donné (suffisamment grand) ;

3 Analyse pour l Ingénieur p 6 Comparaison locale de fonctions : équivalence Définition Soit D R, x 0 R et f, g : D R On dit que f(x) est équivalent à g(x) quand x tend vers x 0, s il existe un voisinage de x 0, V (x 0 ), et une fonction k : D V (x 0 ) R telle que f(x) = g(x)k(x) pour tout x D V (x 0 ) et lim x x 0 k(x) = 1 On note f(x) g(x) pour x x 0 Proposition Soit D R, x 0 R et f, g, f 1, g 1 : D R avec f(x) g(x) pour x x 0 et f 1 (x) g 1 (x) pour x x 0 Alors f(x)f 1 (x) g(x)g 1 (x) pour x x 0 ; si 0 f 1 (D), 0 g 1 (D) : f(x) f 1 (x) g(x) g 1 (x) pour x x 0 ; mais, en général : f(x) + f 1 (x) g(x) + g 1 (x) pour x x 0 Analyse pour l Ingénieur p 5 Comparaison locale de fonctions : négligeable Définition Soit D R, x 0 R et f, g : D R On dit que f(x) est négligeable devant g(x) quand x tend vers x 0, s il existe un voisinage de x 0, V (x 0 ), et une fonction k : D V (x 0 ) R telle que f(x) = g(x)k(x) pour tout x D V (x 0 ) et lim x x 0 k(x) = 0 On note f(x) = o(g(x)) pour x x 0 Proposition f(x) g(x) pour x x 0 f(x) g(x) = o(g(x)) pour x x 0 Exemples : si et seulement si ) ( ) (f(x) = o(1) pour x x 0 lim f(x) = 0 x x 0 ln(x) = o(x α ) quand x + et x α = o(e x ) quand x + pour tout α R +

4 Analyse pour l Ingénieur p 8 Comparaison locale de fonctions : dominé Définition Soit D R, x 0 R et f, g : D R On dit que f(x) est dominé par g(x) quand x tend vers x 0, s il existe un voisinage de x 0, V (x 0 ), et M R + telle que f(x) M g(x) pour tout x D V (x 0 ) On note f(x) = O(g(x)) pour x x 0 Exemple : ) ) (f(x) = O(1) pour x x 0 (f(x) reste borné pour x x 0 Remarques o(g(x)), resp O(g(x)), désigne une fonction négligeable devant, resp dominée par, g(x) quand x tend vers x 0 Écrire uniquement o(g(x)) ou O(g(x)) (sans indiquer x 0 ) n a pas de sens Analyse pour l Ingénieur p 7 Comparaison locale de fonctions O(f) ± O(f) = O(f), O(O(f)) = O(f), O(f)O(g) = O(fg), o(f) ± o(f) = o(f), o(o(f)) = o(f), o(f)o(g) = o(fg), O(f) ± o(f) = O(f), O(o(f)) = o(f), o(o(f)) = o(f) Exemples : sin(x) = o( x) quand x 0 et sin(x) = O(x) quand x 0 3N 2 + N 1 + N 2 N + N ln(n) = O(N 2 ) quand N +

5 Analyse pour l Ingénieur p 10 Fonctions de plusieurs variables réelles Analyse pour l Ingénieur p 9 Introduction On se propose d étudier des fonctions qui dépendent de plus que d un seul paramètre réel et qui sont à valeurs réelles : x = (x 1,, x d ) D R d f(x 1,, x d ) R où D R d est le domaine de définition de la fonction f Le graphe de f est un sous-ensemble de R d+1 : (x 1,, x d, f(x 1,, x d )) R d+1 Les domaines D inclus dans R 2 (ou R 3, ) peuvent avoir des formes très diverses et pour aller d un point a D à un point b D il existe en général une infinité de chemins, en opposition avec la situation sur la droite réelle R! D 1 D D 3 D

6 Analyse pour l Ingénieur p 12 Introduction : exemple Exemple : La fonction f(x, y) = x 2 y 2 est définie pour tout (x, y) Domf = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 1} Son graphe est une surface incluse dans R 3 : z y Domf Dans la suite on va se demander si cette fonction est : continue, régulière, intégrable x f 15 Analyse pour l Ingénieur p 11 Norme, suites On définit la norme euclidienne d un point x = (x 1,, x d ) R d par : x = x x2 d Ceci permet de calculer la distance entre deux points x et y de R d : x y = (x 1 y 1 ) (x d y d ) 2 On dira qu une suite de points de R d, (x (n) ) n N tend vers un point x R d ssi : lim n + x(n) x = 0 où x (n) = (x (n) 1,, x(n) d ) et x = (x 1,, x d )

7 Analyse pour l Ingénieur p 14 Norme, suites (suite) Comme en dimension 1, on écrit la définition de la limite : lim n + x(n) x = 0 ε > 0, N N, n N : x (n) x < ε Exemples : Trouver les limites des suites suivantes ( ρ > 0) x (n) = ρ n e i n et y (n) = (ρ n, ρ 2n ) Tracer les chemins Analyse pour l Ingénieur p 13 Ensembles ouverts dans R d Soit x R d, un voisinage ouvert de x dans R d est donné par la boule ouverte de centre x R d et de rayon ε B o (x, ε) = { y R d / } (y 1 x 1 ) (y d x d ) 2 <ε Un ensemble Ω est un ouvert de R d si pour tout point x Ω il existe un voisinage ouvert inclus dans Ω Grâce au produit cartésien, on obtient des ouverts de R d à partir d ouverts de R : ]0, 1[ ]0, 1[=]0, 1[ 2 est la carré unité ouvert de R 2 ; ]0, 1[ ]0, 1[ ]0, 1[=]0, 1[ 3 est la cube unité ouvert de R 3

8 Analyse pour l Ingénieur p 16 Limite de fonctions Soit f : D R d R, a D R d, alors lim f(x) = l x a ε > 0, η > 0, x : x a < η f(x) l < ε ou, de façon équivalente, si pour toute suite (x (n) ) n N D qui tend vers a : lim n + f(x(n) ) = l Attention, le calcul des limites dans R d, d 2 est plus difficile que dans x R, calculer : lim 1 (x 1,x 2 ) (0,0) x x 2 2 Analyse pour l Ingénieur p 15 Limite de fonctions, exemple En utilisant les coordonnées polaires : f(x 1, x 2 ) = x 1 x 2 1 +x 2 2 = cos(θ) = f(r, θ) z = f(r, θ) = cos(θ) z x 2 1 x

9 Analyse pour l Ingénieur p 18 Continuité Une fonction f : x D R d f(x) est continue en a D ssi lim f(x) = f x a ε > 0, η > 0, x : x a < η f(x) f < ε La somme, la différence, le produit, la division et la composition d un nombre fini de fonctions continues est une fonction continue (sur le domaine de définition adéquat!) Analyse pour l Ingénieur p 17 Dérivée directionnelle Soit Ω un ouvert de R d et f : Ω R On veut étudier la variation de f au voisinage de a Ω : on va d abord se restreindre à un problème 1D, ie un segment passant par le point a Soit v R d, la dérivée de f au point a, dans la direction v, est définie par 1 ( ) D v f = lim f(a + h v) f h 0 h (h R) Si v = e i, on obtient la dérivée partielle de f par rapport à la i e variable, notée, D i f = f x i

10 Analyse pour l Ingénieur p 20 Fonctions dérivées partielles On a D i f = f 1 ( ) = lim f(a 1,, a i + h,, a d ) f x i h 0 h (h R) La dérivée partielle de f en a par rapport à la i e -variable s obtient en laissant fixe toutes les variables, sauf la i e On définit les fonctions dérivées partielles Ce sont des fonctions de d variables! f x i : R d R a f x i Pour calculer f x i on dérive f par rapport à sa i e -variable, en considérant que les autres variables sont des constantes Exemple : f(x, y) = x 2 y, alors D 1 f = 2a 1 a 2 et D 2 f = a 2 1 où a = (a 1, a 2 ) Analyse pour l Ingénieur p 19 Dérivée directionnelle (suite) R d+1 f Π(a; v, af) R d f v a

11 Analyse pour l Ingénieur p 22 Différentielle Pour étudier la variation de f au voisinage de a Ω on peut aussi approximer f par une fonction plus simple au voisinage de a Soit Ω un ouvert de R d et f : Ω R m On dit que f est différentiable en a Ω s il existe une application linéaire L L(R d, R m ) qui vérifie f(a + u) f L(u) = o( u ) (u R d ) On note L = df a la différentielle de f en a et Df M(m, d) la matrice associée est appelée matrice jacobienne Pour m = 1, la matrice jacobienne est un vecteur ligne Quel est le lien entre les dérivées directionnelles de f en a, pour toute direction v, et la matrice jacobienne de f en a? Analyse pour l Ingénieur p 21 Dérivée directionnelle et différentielle Proposition Soit Ω un ouvert de R d et f : Ω R différentiable au point a Ω, alors pour tout v R d : La matrice jacobienne s écrit Df = D v f = df a (v) = Df v ( f x 1 ) f x d D v f = d i=1 où f = (Df) t = v i f x i = < f, v > = f t v f x 1 f x d est le gradient de f au point a Attention : la réciproque est fausse, il existe des fonctions pour lesquelles toutes les dérivées directionnelles existent et qui ne sont pas différentiables

12 Analyse pour l Ingénieur p 24 Matrice jacobienne pour f : Ω R d R m Proposition Soit Ω un ouvert de R d et f : Ω R m différentiable, c-à-d qu il existe une application linéaire de R d dans R m qui approxime f et dont la matrice jacobienne est Df M(m, d) Si on note f 1,, f m, les fonctions coordonnées de f : f = (f 1,, f m ) où f i : R d R, 1 i m La matrice jacobienne s écrit Df = f 1 x 1 f 2 x 1 f m x 1 f 1 x 2 f 2 x 2 f m x 2 f 1 x d f 2 x d f m x d Analyse pour l Ingénieur p 23 Dérivée directionnelle et différentielle (suite) Proposition Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω Si au point a toutes les dérivées partielles D i f, 1 i d, existent et si les fonctions x D i f(x) 1 i d, sont continues dans un voisinage de a, alors f est différentiable en a On dit que f est continûment différentiable, f C 1 (Ω, R), si on a continuité des dp en tout point de l ouvert Ω On dit que f est de classe C p, f C p (Ω, R), si on a existence et continuité des dp jusqu à l ordre p en tout point de l ouvert Ω Dans la suite, on va considérer des fonctions suffisamment régulières, c-à-d de classe C 1 ou C 2, ainsi ne se posera plus la question de différentiabilité

13 Analyse pour l Ingénieur p 26 Différentielle de fonctions composées Proposition Soient g : R d R m, f : R m R p des fonctions différentiables On pose h = f g, alors h : R d R p est différentiable et, pour tout a R d : dh a = df g dg a Pour les matrices jacobiennes : Dh = Df(g) Dg ou D 1 h 1 D d h 1 D 1 h p D d h p D 1 f 1 (g) D m f 1 (g) D 1 g 1 D d g 1 = D 1 f p (g) D m f p (g) D 1 g m D d g m Analyse pour l Ingénieur p 25 Différentielle de fonctions composées, exemple 1 Si d = p = 1, m quelconque : g : R R m et f : R m R, donc h : R R et h = f(g 1,, g m ) R, pour a R et h = Df(g) Dg = = ( D 1 f(g) D m f(g) m D i f(g) g i i=1 ) g 1 g m

14 Analyse pour l Ingénieur p 28 Différentielle de fonctions composées, exemple 2 Si d = m, p = 1 : g : R d R d et f : R d R, donc h : R d R et h = f(g 1,, g d ) R, pour a R d d On a D j h = D i f(g) D j g i, pour 1 j d i=1 et ( ) Dh = D 1 h D d h = ( D 1 f(g) D d f(g) ) D 1 g 1 D d g 1 D 1 g d D d g d Analyse pour l Ingénieur p 27 Bijections et continuité Soit f : A R m B R n, (m n) On dit que f est un homéomorphisme de A sur B ssi f est continue et bijective et si la réciproque f 1 est continue Exemples : f : B(O, 1) R 2 R 2 1 avec f(x 1, x 2 ) = (x 1, x 2 ) est un 1 x 2 1 +x2 2 homéomorphisme ; g : [0, 2π[ R C(O, 1) R 2 avec g(θ) = (cos θ, sin θ) n est pas un homémorphisme ; h : R R 2 avec h(t) = (t, at + b) et = h(r) est un homéomorphisme Proposition : L homémorphisme f transforme un ensemble ouvert de A en un ensemble ouvert de B

15 Analyse pour l Ingénieur p 30 Bijections et différentiabilité Soit f : Ω R n f(ω) R n, on suppose ici m = n! On dit que f est un C 1 -difféomorphisme de Ω sur f(ω) ssi f est de classe C 1 et bijective et si la réciproque f 1 est de classe C 1 Exemples : f : R R avec f(x) = x 3 n est pas un difféomorphisme ; g : R + ]0, 2π[ R 2 \ {(x, 0)/x R + } avec g(r, θ) = (r cos θ, r sin θ) est un difféomorphisme Proposition : Pour le difféomorphisme f et si y = f(x) f(ω), les matrices jacobiennes Df(x) et Df 1 (y) sont inverses l une de l autre : Df(x)Df 1 (y) = Df 1 (y)df(x) = I n ; Df 1 (y) = ( Df(x)) 1 Analyse pour l Ingénieur p 29 Dérivées partielles d ordre deux Proposition Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω On suppose que f C 2 (Ω, R) La différentielle d ordre 2, d 2 f a est une forme bilinéaire symétrique, dont la matrice s écrit H f = D 11 f D 12 f D 1d f D 21 f D 22 f D 2d f = D n1 f D n2 f D dd f ( 2 ) f x i x j 1,i,j d C est la matrice hessienne de f en a, pour h, k R d : d 2 f a (h, k) = h t H f k Note : grâce à la régularité C 2 de f on a identité des fonctions dp : 2 f = 2 f, 1 i, j n x i x j x j x i

16 Analyse pour l Ingénieur p 32 Formule de TAYLOR à l ordre 2 Proposition (Formule de TAYLOR à l ordre 2) Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω On suppose que f C 2 (Ω, R), alors f(a + h) = f + df a (h) d2 f a (h, h) + o( h 2 ) = f + ( f) t h ht H f h + o( h 2 ) (h R d ) Cas particulier : f : R 2 R, a = (a 1, a 2 ) et h = (h 1, h 2 ) : f(a 1 + h 1, a 2 + h 2 ) = f(a 1, a 2 ) + f h 1 + f h 2 x 1 x f 2 x 2 h f 1 2 x 2 h f h 1 h 2 + o(h h 2 2 x 1 x 2) 2 Analyse pour l Ingénieur p 31 Extrémas locaux Définition Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω Alors a est un minimum local (strict) de f sur Ω si pour tout x V : f f(x), (resp f < f(x)) Alors a est un maximum local (strict) de f sur Ω si pour tout x V : f f(x), (resp f > f(x)) Dans les deux cas on parle d extrémum local Définition Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R et a Ω On dit que a est un point critique de f si f = O Proposition (CN d ordre 1) Soit Ω un ouvert de R d, f : Ω R de classe C 1 et a Ω Si a est un extrémum local, alors a est un point critique, càd f = O Attention, c est une CN : f(x, y) = x 2 y 2 admet comme point critique a = (0, 0) qui n est pas un extrémum local!

17 Analyse pour l Ingénieur p 34 Extrémas locaux : fonctions de deux variables Définition Soit q une forme quadratique sur R 2 et H la matrice symétrique associée : q(h) = h t H h pour tout h R 2 On dit que q, resp H, est dégénérée, s il existe h R 2 non nul, tel que q(h) = 0 ; définie positive si pour tout h R 2 non nul, q(h) > 0 ; définie négative si pour tout h R 2 non nul, q(h) < 0 Soit Ω un ouvert de R 2, f : Ω R de classe C 2 et a Ω fixé La matrice hessienne de f en a est symétrique et définit une forme quadratique sur ( R 2 ) h1 Pour tout h = R 2 : h 2 q(h) = h t H f h = ( h 1 h 2 ) 2 f x f x 1 x 2 2 f x 1 x 2 2 f x 2 2 ( h1 h 2 = 2 f x 2 h f h 1 h f 1 x 1 x 2 x 2 h2 2 2 ) Analyse pour l Ingénieur p 33 Extrémas locaux : fonctions de deux variables (suite) Proposition (CS d ordre 2) Soit Ω un ouvert de R 2, f : Ω R de classe C 2 et a Ω un point critique de f On note q la forme quadratique définie par H f : si q est définie positive, alors a est un minimum local strict; (b) si q est définie négative, alors a est un maximum local strict; (c) s il existe h, h R 2 non nuls, tel que q(h) > 0 et q(h) < 0, alors a est un point selle; (d) si q est dégénérée positive ou dégénérée négative, on ne peut pas conclure directement Note : ces résultats concernent les extrémas locaux, pour savoir si un point est un extrémum global il faut faire une analyse appropriée

18 Analyse pour l Ingénieur p 36 Extrémas locaux : fonctions de deux variables, exemples f(x, y) = x 2 + y 2, (0, 0) est un minimum strict ; (b) f(x, y) = 1 x 2 y 2, (0, 0) est un maximum strict ; (c) f(x, y) = x 2 y 2, (0, 0) est un point selle ; (d) f(x, y) = x 2, pour tout β R, (0, β) est point critique et c est un minimum ; (d ) f(x, y) = x 2 + y 3, (0, 0) est point critique unique, c est un point selle Analyse pour l Ingénieur p 35 Intégrales multiples

19 Analyse pour l Ingénieur p 38 Intégrales multiples : introduction On veut étendre le calcul d intégrales à des fonctions de plusieurs variables, c est-à-dire dont le domaine de définition est inclus dans R d où d = 2, 3, et le graphe dans R d+1 Exemple : f(x, y) = x 2 y 2 est définie et continue pour tout (x, y) Domf = {(x, y) R 2 /x 2 + y 2 1} Problème : Comment définir et calculer f(x, y) dxdy? z y Domf 00 Domf x f 15 Analyse pour l Ingénieur p 37 Intégrales multiples : introduction L intégrale d une fonction positive f : [a, b] R R + est l aire compris entre le graphe (x, f(x)) R 2 et l axe des abscisses R L intégrale d une fonction positive f : D R 2 R + est le volume entre le graphe (x, y, f(x, y)) R 3 et le plan R 2 Soit f : D R d R +, alors le graphe (x 1,, x d, f(x 1,, x d )) R d+1 : on doit donc mesurer des domaines dans R d+1

20 Analyse pour l Ingénieur p 40 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Définitions On dit qu une partie D R d est bornée, si il existe R R + tel que D est inclus dans l ensemble { } B f (O, R) = x = (x 1,, x d ) R d / x x2d R, la boule fermée de centre O = (0,, 0) R d et de rayon R Un pavé fermé P de R d est défini par P = { x = (x 1,, x d ) R d / a i x i b i, 1 i d } = [a 1, b 1 ] [a d, b d ], où les a i, b i R ; a i b i, pour i = 1,, d Analyse pour l Ingénieur p 39 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Définitions La mesure d un pavé fermé P = [a 1, b 1 ] [a d, b d ] d est définie par m(p ) = (b i a i ) i=1 Une partie N R d est négligeable dans R d, si pour tout ε R +, il existe un nombre fini de pavés fermés P k (1 k n) de R d tels que N n P k et n m(p k ) < ε k=1 k=1 Note : pour x N négligeable, il n existe aucune boule ouverte de centre x incluse dans N

21 Analyse pour l Ingénieur p 42 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Exemples : Dans R les pavés fermés sont les segments [a, b] ; tout ensemble fini de points {x 1,, x n } est négligeable dans R Dans R 2 les pavés fermés sont les rectangles [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] ; toute union finie de segments est négligeable dans R 2, p ex le bord d un carré Dans R 3 les pavés fermés sont [a 1, b 1 ] [a 2, b 2 ] [a 3, b 3 ] ; toute union finie de rectangles est négligeable dans R 3, p ex le bord d un cube R 2 R 3 ε ε ε R 1 l l h Analyse pour l Ingénieur p 41 Intégrales multiples : Courbe de VON KOCH K L ensemble de R 2, délimité par la courbe VON KOCH, est : borné, de périmètre infini, d aire finie et n admet de tangente en aucun point 1 1/3 1/3 1/9 n=0 n=1 n=2 La courbe K n (n 0) est composée de s n = 3 4 n segments de longueur l n = 1/3 n Le périmètre vaut p n = 3 ( 4 n 3) et l aire vérifie a n = a n 1 + s n 1 ln (n 1) avec a 0 = 3 4 K n K : lim p n = + et lim n + a n = 2 3 n + 5

22 Analyse pour l Ingénieur p 44 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Définitions Le bord d un { domaine D R d est l ensemble D = x R d / ε R + : B o (x, ε) D et B o (x, ε) (R d \ D) } où B o (x, ε) = { y R d / } (y 1 x 1 ) (y d x d ) 2 <ε, est la boule ouverte de centre x R d et de rayon ε On dit qu un ensemble borné D R d est quarrable si son bord est négligeable dans R d d L intérieur du pavé fermé P, défini par Int(P ) = ]a i, b i [ i=1 a comme mesure ou volume m(int(p )) = m(p ) Analyse pour l Ingénieur p 43 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Pour D R d quarrable, la mesure m(d) est définie grâce à des recouvrements de D par des pavés de R d Propriétés fondamentales : 1 m( ) = 0 ; 2 m(d 1 D 2 ) = m(d 1 ) + m(d 2 ) si D 1 D 2 est négligeable ; 3 Si D 1 D 2, alors m(d 1 ) m(d 2 ) ; Des ensembles «exotiques», comme la courbe de VON KOCH, ne seront pas considérés Tous les domaines considérés dans la suite sont quarrables On va souvent utiliser des domaines D dont les bords D sont composés de courbes régulières Ceci est motivé par la proposition suivante

23 Analyse pour l Ingénieur p 46 Intégrales multiples : mesurer des volumes dans R d Proposition (admise) Soit f : B o (0, R) R d R de classe C 1 Alors, pour tout pavé fermé P B o (0, R), l ensemble { / } (x 1,, x d, f(x 1,, x d )) R d+1 (x 1,, x d ) P est négligeable dans R d+1 C-à-d : toute partie bornée du graphe de f est négligeable dans R d+1 Proposition Soit D R d un ensemble borné dont le bord est une réunion finie de graphes de fonctions régulières Alors D est quarrable Exemple : D(A, r), le disque de centre A et de rayon r est quarrable Analyse pour l Ingénieur p 45 Intégrales multiples : définition Définitions Soit P un pavé fermé de R d, la fonction caractéristique I P, associée à P est { 1 si x P définie par : I P (x) = 0 si x P Une fonction h : R d R est une fonction en escalier si et seulement si h s écrit comme combinaison linéaire finie de fonctions caractéristiques de pavés P i, 1 i n, dont les intérieurs sont disjoints : x R d : h(x) = n α i I Pi (x), α i R, 1 i n i=1 On définit l intégrale d une fonction en escalier h par R d h(x) dx = n α i m(p i ) i=1

24 Analyse pour l Ingénieur p 48 Intégrales multiples : définition Soit f : R d R une fonction bornée qui s annule en dehors d un pavé fermé Q R d Soit P = {P 1,, P n } une partition de Q, n ie Q = P i et Int(P i ) Int(P j ) =, 1 i<j n i=1 La somme de RIEMANN associée à f et P est définie par n R(f, P) = f(x i ) m(p i ) où x i est le barycentre de P i i=1 Soit d(p) = max 1 i n diam(p i), alors f est intégrable si et seulement si On note alors f(x) dx = R d lim R(f, P) existe d(p) 0 lim R(f, P) d(p) 0 Analyse pour l Ingénieur p 47 Intégrales multiples : définition R d f(x) dx = lim d(p) 0 n f(x i ) m(p i ) L intégrale est définie comme une limite d intégrales de fonctions en escalier, définies sur des partitions de plus en plus fines Si cette limite existe, elle est indépendante des partitions choisies i=1 f(x i ) f x i Q

25 Analyse pour l Ingénieur p 50 Intégrales multiples : caractérisations f est intégrable si et seulement si, pour tout ε > 0, il existe des fonctions en escalier h et k telles que x R d : h(x) f(x) k(x) et k(x) dx h(x) dx < ε R d R d k f h Une fonction définie et bornée sur un domaine quarrable borné et qui est continue en dehors d un ensemble négligeable, est intégrable Analyse pour l Ingénieur p 49 Intégrales multiples : propriétés Soient f, g intégrables, a, b R : (af(x) + bg(x)) dx = a f(x) dx + b g(x) dx R d R d R d Soit f intégrable vérifiant, pour tout x R d, f(x) 0, alors R d f(x) dx 0 Si l ensemble A R d est quarrable, alors I A est intégrable et R d I A (x) dx = m(a) Si f est intégrable et A R d est quarrable, alors f I A est intégrable et on note f(x) dx = f(x)i A (x) dx A R d

26 Analyse pour l Ingénieur p 52 Intégrales multiples : propriétés Soit f et g intégrables, A R d quarrable, avec f g, alors f(x) dx g(x) dx A A Soit f intégrable, A R d quarrable, et f(x) M, alors f(x) dx M m(a) A Soit f intégrable, A et B des ensembles quarrables avec A B négligeable, alors f(x) dx = f(x) dx + A B Soit A quarrable, f, g intégrables et {x R d /f(x) g(x)} négligeable, alors f(x) dx = g(x) dx A A A B f(x) dx Analyse pour l Ingénieur p 51 Calcul d intégrales multiples Théorème (FUBINI) On considère f : R d 1+d 2 R une fonction intégrable, A 1 R d 1,A 2 R d 2 des ensembles quarrables, et l on pose pour tout x A 1 : F 1 (x) = f(x, y) dy et A 2 pour tout y A 2 : F 2 (y) = f(x, y) dx A 1 Alors, les fonctions F 1 et F 2 sont définies, intégrables et f(z) dz = F 1 (x) dx = F 2 (y) dy A 1 A 2 A 1 A 2 On note F 1 (x) dx = A 1 A 1 ( ) f(x, y) dy dx A 2

27 Analyse pour l Ingénieur p 54 Calcul d intégrales multiples On pose, pour tout (x, y) R 2, y 2 si 0 < x < y < 1 f(x, y) = x 2 si 0 < y < x < 1 0 sinon 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) Alors f(x, y) dx dy = 1 et f(x, y) dy dx = La fonction f n est pas intégrable! Soient A R d 1 et B R d 2 quarrables, f : R d 1 R et g : R d 2 R intégrables On pose, pour z = (x, y), h(z) = f(x)g(y), alors la fonction h : R d 1 R d 2 R est intégrable et ( ) ( h(z) dz = f(x) dx A B A 0 0 B g(y) dy ) Analyse pour l Ingénieur p 53 Calcul d intégrales multiples Proposition (Principe de CAVALIERI) Soit A R d+1 quarrable tel que A P [a, b], où P est un pavé fermé de R d et [a, b] R Pour t [a, b], on pose A t = {x R d / (x, t) A} R d On pose α(t) = m d (A t ) la mesure dans R d du quarrable A t, et on a b R m d+1 (A) = b a α(t) dt A t a A t P R d

28 Analyse pour l Ingénieur p 56 Calcul d intégrales multiples Proposition Soit A R d quarrable, Φ, Ψ : A R continues et vérifiant Φ Ψ, alors l ensemble C = { (x, y) R d+1 / x A et Φ(x) y Ψ(x) ) est quarrable Si f : C R est continue, alors, ( ) Ψ(x) f(z) dz = f(x, y) dy dx C A Φ(x) R Ψ y C Φ A x R d Analyse pour l Ingénieur p 55 Calcul d intégrales multiples Volume d un corps de révolution dans R 3 Soit f : [a, b] R + positive et continue, appelons A le corps engendré par la rotation du graphe de f autour de l axe des abscisses On a α(t) = aire(a t ) = π f(t) 2, d où vol(a) = π y z a A t t b a f A b x f(x) 2 dx

29 Analyse pour l Ingénieur p 58 Calcul d intégrales multiples d Soit f intégrable sur R d et P = [a i, b i ] R d, alors P f(x) dx = bd a d i=1 f(x) dx 1 ( ( bd 1 ( b1 ) ) a 1 a d 1 dx d 1 ) dx d Le théorème de FUBINI permet de ramener le calcul d une intégrale multiple sur un pavé de R d à une succession de d intégrales simples Si le domaine d intégration n est pas simple (pex un pavé) on peut souvent le transformer grâce à un changement de variables Analyse pour l Ingénieur p 57 Changement de variables dans les intégrales multiples Coordonnées polaires sur R 2 \ {(0, 0)} : } { x = r cos(θ) r = x 2 + y 2 y = r sin(θ) θ = arctan(y/x) θ β α a b Aire=(b a)(β α) r Φ y α Aire= b + a β 01 a b (b a)(β α) x

30 Analyse pour l Ingénieur p 60 Changement de variables dans les intégrales multiples Il faut donc tenir compte de l influence d un changement de variables sur la mesure des volumes! Comme dans le cas 1D, la correction est donnée par les variations d ordre 1 du changement de variables Φ : R d R d De façon précise, c est la valeur absolue du déterminant de la matrice jacobienne qui intervient dans la formule du changement de variables pour les intégrales multiples Analyse pour l Ingénieur p 59 Changement de variables dans les intégrales multiples Soit Φ : R d R d x y = Φ(x) Or x = (x 1,, x d ) R d et y = Φ(x) = (Φ 1 (x),, Φ d (x)) R d, où Φ i : R d R, y i = Φ i (x 1,, x d ) La matrice jacobienne de Φ, au point a R d, est définie par Φ 1 Φ x 1 1 x d Φ 2 Φ J(Φ) = x 1 2 x d Φ d Φ x 1 d x d

31 Analyse pour l Ingénieur p 62 Changement de variables dans les intégrales multiples Le jacobien de Φ, au point a R d, est défini par Φ 1 x det(j(φ)) = D(Φ 1 Φ 1,, Φ d ) D(x 1,, x d ) = 2 x 1 Φ d x 1 Φ 1 x d Φ 2 x d Φ d x d Analyse pour l Ingénieur p 61 Changement de variables dans les intégrales multiples Théorème Soit A un pavé fermé, borné quarrable de R d et soit Φ : R d R d On suppose que Φ est bijective sur A, que les dérivées partielles de Φ existent et sont continues et que le jacobien ne s annule pas sur A Alors, Φ(A) est quarrable et si f : R d R est continue sur Φ(A) alors f(y) dy = f(φ(x)) D(Φ 1,, Φ d ) D(x 1,, x d ) (x) dx Φ(A) A R d Φ(A) Φ 1 R d y x A Φ

32 Analyse pour l Ingénieur p 64 Changement de variables dans les intégrales multiples Transformation affine, Φ(x) = M x + b, où M est une matrice carrée inversible (d, d) et b R d d On a Φ i (x) = M ik x k + b i et m(φ(a)) = k=1 Φ(A) 1 dy = A 1 det(m) dx = det(m) m(a) Coordonnées polaires dans R 2 : (x, y) = Φ(r, θ) = (Φ 1 (r, θ), Φ 2 (r, θ)) = (r cos(θ), r sin(θ)) D(Φ 1, Φ 2 ) cos(θ) r sin(θ) (r, θ) = D(r, θ) sin(θ) r cos(θ) = r Sur R 2 \ {(0, 0)}, Φ est bijective, ses dérivées partielles sont continues et le jacobien est non nul Analyse pour l Ingénieur p 63 Changement de variables dans les intégrales multiples Coordonnées sphériques dans R 3 : (x, y, z) = Φ(r, θ, ψ) avec x = Φ 1 (r, θ, ψ) = r cos(ψ) cos(θ) y = Φ 2 (r, θ, ψ) = r cos(ψ) sin(θ) z = Φ 3 (r, θ, ψ) = r sin(ψ) où r R +, θ [0, 2π] et ψ [ π/2, +π/2] et D(Φ 1, Φ 2, Φ 3 ) (r, θ, ψ) = r 2 cos(ψ) D(r, θ, ψ) z y θ ψ r x

33 Analyse pour l Ingénieur p 66 Changement de variables dans les intégrales multiples Coordonnées cylindriques dans R 3 : (x, y, z) = Φ(r, θ, z) avec x = Φ 1 (r, θ, z) = r cos(θ) y = Φ 2 (r, θ, z) = r sin(θ) z = Φ 3 (r, θ, z) = z où r R +, θ [0, 2π] et z R et D(Φ 1, Φ 2, Φ 3 ) (r, θ, ψ) = r D(r, θ, ψ) z y θ r x Analyse pour l Ingénieur p 65 Changement de variables dans les intégrales multiples Coordonnées sphériques dans R d : (x 1,, x d ) = Φ(r, θ 1,, θ d 1 ) où x 1 = r cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) cos(θ d3 ) cos(θ d 2 ) cos(θ d 1 ) x 2 = r cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) cos(θ d3 ) cos(θ d 2 ) sin(θ d 1 ) x 3 = r cos(θ 1 ) cos(θ 2 ) cos(θ d3 ) sin(θ d 2 ) x d 1 = r cos(θ 1 ) sin(θ 2 ) x d = r sin(θ 1 ) où r R +, θ d 1 [0, 2π] et θ p [ π/2, +π/2], 1 p d 2, et D(Φ 1,, Φ d ) D(r, θ 1,, θ d 1 ) (r, θ 1,, θ d 1 ) = r d 1 cos d 2 (θ 1 ) cos d 3 (θ 2 ) cos(θ d 2 )

34 Analyse pour l Ingénieur p 68 Intégrales multiples impropres Comme pour le cas de fonctions à une variable, on veut étendre le calcul d intégrales multiples à des domaines non bornés dans R d et à des fonctions ayant une singularité, c est-à-dire non bornées au voisinage d un point du domaine d intégration Remarquons tout de suite que la convergence des intégrales multiples ne peut être que absolue : f est intégrable sur A R d si et seulement si f est intégrable sur A R d Analyse pour l Ingénieur p 67 Intégrales multiples impropres Démarche pratique pour intégrales doubles Soit A R 2, on dit qu une suite d ensembles fermés bornés (K n ) n N épuise A, si la suite est croissante, K n K n+1, et si pour tout fermé borné K A, il existe N N tel que K K N Exemple : A = (R + ) 2 alors K n = [0, n] 2 et L n = {(x, y) (R + ) 2 / 1/n x 2 + y 2 n} sont des suites de fermés bornés qui épuisent A Soit f une fonction localement intégrable sur A, alors l intégrale de f sur A est convergente si et seulement si il existe g : A R + dont l intégrale converge sur A et telle que f g sur A

35 Intégrales multiples impropres Démarche pratique pour intégrales doubles (suite) L intégrale sur A d une fonction positive g est convergente si et seulement si la suite positive α n = g(x) dx est majorée K n L intégrale de f sur A est convergente si et seulement si l intégrale de f sur A est convergente On a alors f(x) dx = lim f(x) dx A n + K n Le résultat étant indépendant du choix de la suite K n Analyse pour l Ingénieur p 69