MEC-1415 Statique et résistance des matériaux appliquées Page 1 de 10 Examen final Lundi, le 24 avril 2006 de 13 h 30 à 16 h

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1 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 1 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h QUESTION 1 : Une poutre ABCDE, fiée en A par un pivot et supportée en D par un appui rouleau, est soumise au chargement indiqué sur la figure (a) ci-dessous. La section droite de la poutre est montrée à la figure (b). Pour ces conditions, déterminez : (a) les diagrammes de l effort tranchant V et du moment fléchissant M, en y indiquant les valeurs importantes; (b) la contrainte de compression maimale ; (c) la contrainte de tension maimale ; (d) la contrainte de cisaillement maimale. Présentez la résolution à l aide de la MRP en fournissant la définition du problème, la stratégie et la résolution mm 1.8 mm E Z 7.7 mm 03.3 mm y c = 46.0 mm (c= centroïde) I Z = mm 4 I Y = mm 4 (a) (b)

2 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h QUESTION : Une poutre ABCD, encastrée en A, est soumise à une charge de w dans les sections AB et CD de la poutre. Sachant que pour ces conditions la flèche maimale permise est de 4 mm, déterminez la charge w maimale qui peut être appliquée sur la poutre. Présentez la résolution à l aide de la MRP en fournissant la définition du problème, la stratégie et la résolution. y 0 mm z 0 mm 50 mm L = 1000 mm 100 mm E = 00 GPa

3 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 3 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h QUESTION 3 : Un barreau d aluminium (G = 7 GPa) est composé de deu éléments, soit l élément AB de section cylindrique pleine (d 1 ) et l élément BC de section cylindrique creuse (d 1, d ). Le barreau, solidement fié à son etrémité A, est soumis à un moment de torsion de 400 Nm en B et de 400 Nm en C selon le sens montré sur la figure ci-dessous. Déterminez d, sachant que : o la contrainte de cisaillement maimale permise est 35 MPa ; o la rotation maimale permise à l etrémité C est 0.08 radians. Présentez la résolution à l aide de la MRP en fournissant la définition du problème, la stratégie et la résolution. d

4 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 4 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h QUESTION 4 : La membrure cylindrique creuse AB est solidement fiée en A et est sollicitée en B par un moment de torsion de 350 knm, par une charge aiale de 1500 kn et par un moment de fleion de 100 knm (selon les sens indiqués sur la figure). Pour un point situé sur la surface etérieure supérieure de la membrure, déterminez et illustrez dans le plan physique: (a) l état de contraintes selon le système d aes cylindriques (θ,, r) ; (b) l état de contraintes principales (magnitudes et orientations des contraintes) ; (c) l état de contraintes de cisaillement maimal (magnitudes et orientations des contraintes). Présentez la résolution à l aide de la MRP en fournissant la définition du problème, la stratégie et la résolution. Illustrez les conditions (a), (b) et (c) à l aide d un cercle de Mohr. r θ A P = 1500 kn B M = 100 kn m Utilisez ce graphique pour la représentation sur le cercle de Mohr : θ (MPa) 50 τ θ (MPa)

5 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 5 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h QUESTION 5 : (a) Sur une poutre chargée quelconque, quelle particularité peut-on observer sur le diagramme de V() à la section de poutre où il y a une charge ponctuelle? Quelle particularité peut-on observer sur le diagramme de M() à cette même section de poutre? Justifiez votre réponse. (b) Dans le treillis suivant, la membrure AC est sollicitée en compression. Quelle condition d appui utiliseriez-vous pour évaluer la charge critique de flambement de cette membrure? Précisez le facteur K associé à cette condition et justifiez votre réponse. (c) Dans le cercle de Mohr, quelle est la différence angulaire Δθ entre l orientation du plan de cisaillement maimal τ ma et l orientation du plan de la contrainte principale maimale 1? Justifiez votre réponse à l aide d un schéma de cercle de Mohr.

6 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 6 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h FORMULAIRE Trigonométrie Angles directeurs d un vecteur Vecteur unitaire Produit vectoriel V = PQ sin θ Produit scalaire Produit mite P Q = PQ cos θ P Q = P Q + P y Q y + P z Q z

7 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 7 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h FORMULAIRE

8 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 8 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h FORMULAIRE Chargement uniaial : F = A δ ε = L =Eε FL δ = +αlδt EA pr θ = t pr F = + t πrt r 0 pr δ = te +αrδt Fleion : dv() = - q() d My =- I y dm() = - V() d VQ ' τ = Q = A y = A'y' Ib z,a' i i Fonctions de singularité pour n 0 si < a: -a = 0 si a: -a = ( a) n n n

9 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 9 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h FORMULAIRE Torsion : Tr TL τ θ = Δ ϕ = J GJ Contraintes : J= 4 4 π(de - d i ) y y ' = + cosθ + τysinθ - y τ 'y' =- sinθ + τycosθ + - y y y' = - cosθ - τysinθ + y - y τy 1, = ± + ( τy ) tan θ 1 = - y - y - - y ± (1- ) τ ma,min =± + ( τ y ) = tan θ = ( + y) d, e = τy

10 MEC-1415 Statique et résistance des matériau appliquées Page 10 de 10 Eamen final Lundi, le 4 avril 006 de 13 h 30 à 16 h FORMULAIRE Flambement : π EI cr P = (KL) π E cr = I = Ar KL r