FILTRAGE LINEAIRE OPTIMAL

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1 Chapître I FILTRAGE LINEAIRE OPTIMAL Systèmes Linéaires et Processus Gaussiens Markoviens

2 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Plan I.0 Introduction I.1. Systèmes discrets I.1.1. Espérance mathématique I.1.2. Matrice de covariance I.1.3. Nature du processus stochastique I.1.4. Stationnarité I.1.5. Fonction densité de probabilité I.2. Systèmes continus I.2.1. Espérance mathématique I.2.2. Matrice de covariance I.2.3. Nature du processus stochastique I.2.4. Stationnarité

3 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.0) Introduction Le problème du filtrage a pour but la mise en forme d un signal donné, c est á dire l élimination ou l atténuation de bruits superposés à un signal utile. Réception et discrimination de signaux radios Détection de signaux radios Utilisation du GPS (Global Positionning System) Transmission de données numériques...

4 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Plusieurs méthodes Approche fréquentielle déterministe reposant sur des méthodes numériques ou analogiques spécifiques (Butterworth, Bessel,...) Approche déterministe optimale (moindres carrés, Identification de filtre) Approche statistique optimale : Observateurs ou filtres optimaux (méthode de Wiener dont la généralisation est due à Kalman). Dans le cas des systèmes á temps discret on parle de filtre de Kalman et dans le cas continu, on parle de filtre de Kalman/Bucy).

5 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Dans ce chapitre, il est fait l étude du processus stochastique défini comme l état d un système dynamique perturbé par des entrées aléatoires ou processus stochastiques. On s intéressera exclusivement à établir les équations d évolution des deux premiers moments (moyenne et covariance). Une attention toute particulière sera portée au cas où les entrées aléatoires perturbatrices sont des bruits blancs Gaussiens.

6 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Soit le système récurrent I.1) Systèmes discrets (1) où est le vecteur d état du système à un instant repéré par l indice. sont les matrices respectivement de dynamique et d entrée du système. est la condition initiale, vecteur aléatoire de moyenne et de covariance. Enfin, est une séquence de bruits stochastiques dont les deux premiers moments sont définis par :

7 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Il est fait l hypothèse que et sont indépendants. La solution du système (1) s écrit (2) où la matrice est la matrice de transition entre les instants et ; Muni de l expression de qui apparait comme une combinaison linéaire des variables aléatoires et, il est relativement aisé de déterminer les moments de ce vecteur aléatoire.

8 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.1.1) Espérance mathématique A partir de (2), les matrices et étant à éléments déterministes et du fait de la linéarité de l opérateur espérance, il vient (3) Formellement équivalente à (2), cette expression montre que la moyenne du processus stochastique discret généré par (1) obéit à l équation dynamique récurrente équivalente à (1). Son obtention peut être effectuée directement à partir de (1), en appliquant l opérateur espérance mathématique à cette expression. (4)

9 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.1.2) Matrice de covariance Soit (5) Portant les expressions (2) et (3) dans (5), développant et utilisant le fait que et sont indépendants (annulation des termes croisés car ), il vient : (6) qui est l expression, dans le cas général, de la matrice de covariance, expression à partir de laquelle il est illusoire de vouloir rechercher une équation d évolution récurrente simple. La raison se trouve dans le second terme du second membre de (6) et notamment le fait qu il y a un couplage dans le temps au niveau de la perturbation, a priori ( ).

10 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Pour poursuivre, on introduit l hypothèse supplémentaire de bruit blanc pour, c est à dire, (7) est le symbole de Kronecker Avec cette hypothèse (importante et intéressante du point de vue pratique), (6) se transforme en (8) et considérant la matrice de covariance

11 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal On vérifie aisément qu elle obéit à l équation récurrente d évolution suivante (9) On pourra vérifier que l expression (9) peut être obtenue bien plus simplement à partir de (1) et (4). La dérivation faite ici a fait apparaitre la nécéssité de l hypothèse de bruit blanc (7), nécessité qui peut passer inaperçue en utilisant l approche directe. Avec l hypothèse bruit blanc, avec (9) et sachant que

12 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal il est facile d établir que (10)

13 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.1.3) Nature du processus stochastique Hypothèse 1 - bruit blanc (indépendance de et ) - et ) indépendants Le processus stochastique est un processsus Markovien. En effet, à partir de (1), pour donné, ne dépend que de qui étant indépendant de et, est donc indépendant de, donc

14 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Notons qu un tel raisonnement peut être étendu au cas non-linéaire qui, sous l hypothèse 1, est également un processus de Markov. Dans le cas linéaire, les équations récurrentes (4) et (9) permettent de déterminer les deux premiers moments du processus stochastique. Bien que permettant de répondre à nombre de questions pratiques, ces éléments ne suffisent pas seuls à caractériser complètement le processus stochastique, ce qui est le cas si on rajoute en plus l hypothèse Gaussienne dont on a dit tout l intérêt pratique, (théorème de la limite centrale).

15 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Hypothèse 2 - bruit blanc Gaussien - variable aléatoire Gaussienne Le processus stochastique est un processus Gaussien-Markovien. Pour la propriété Markovienne, elle est établie ci-dessus. Pour la propriété Gaussienne, elle découle très simplement du fait que toute combinaison linéaire de variables aléatoires Gaussiennes est elle-même Gaussienne. En effet, dépend linéairement des vecteurs Gaussiens et, est donc un vecteur Gaussien. Par induction, il est établi que est Gaussien. Pour ce cas, la connaissance des deux premiers moments définis avec (4) et (9) revêt une importance toute particulière car elle permet de caractériser entièrement le processus stochastique du fait de son caractère Gaussien. Noter que la propriété de linéarité est essentielle pour l établissement du caractère Gaussien du processus stochastique.

16 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.1.4) Stationnarité Dans le cas d un système dynamique invariant dans le temps, les équations (1) sont écrites (11) Deux hypothèses, intéressantes en pratique, sont faites : - Le système (11) est asymptotiquement stable, - le bruit blanc Gaussien est stationnaire, ce qui signifie que moyenne et covariance sont indépendantes du temps

17 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Les équations d évolution de la moyenne et de la covariance du processus stochastique s écrivent (12) Alors, lorsque croit indéfiniment, le processus stochastique tend vers un processus Gaussien de distribution stationnaire. solution de l équation matricielle algébrique L hypothèse de stabilité asymptotique sur assure l unicité de la solution et son caractère non-négatif. Ainsi, est uniquement fonction de la durée.

18 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.1.5) Fonction densité de probabilité de transition Pour un processus Markovien, sa loi de distribution est entièrement caractérisée par, (la distribution initiale) et, (la distribution conditionnelle dite de transition). Supposant donnée, la fonction densité de probabilité de transition est définie à partir de la distribution du bruit. En effet, considérant (1), il est clair que pour donné, ne dépend que de. Ainsi, Le fait que l on ne puisse exprimer cette fonction densité de probabilité de transition directement à partir de est dû au fait que, en général, n est pas inversible. Dans le cas Gaussien, ( conjointement Gaussiens), définit également une distribution Gaussienne.

19 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Pour sa caractérisation complète, il suffit de déterminer les deux premiers moments associés, à savoir : - la moyenne conditionnelle - la covariance conditionnelle

20 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal A partir de (1), il vient car et donc, d où Dans le cas où cette matrice de covariance conditionnelle est inversible, l expression analytique de la fonction densité de probabilité de transition peut être fournie

21 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.2) Systèmes continus Est adoptée la même procédure que pour les systèmes discrets en omettant certains approfondissements théoriques hors de propos avec le but recherché. Soit le système dynamique à temps continu décrit par (13) où respectivement). (état, matrice dynamique et d entrée - condition initiale est un vecteur aléatoire de moyenne et de matrice de covariance. - est un bruit, processus stochastique tel que - et sont indépendants.

22 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Pour une réalisation du bruit, la solution de (13) s écrit (14) où différentielle matricielle est la matrice de transition du système, solution de l équation

23 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.2.1) Espérance mathématique Appliquant l opérateur espérance mathématique à (14), permuttant les opérateurs espérance et intégration, et étant des matrices à éléments déterministes, il vient (15) (15) est formellement identique à (14) montrant à l évidence que la moyenne obéit au système différentiel ordinaire (16) Cette expression peut être immédiatement obtenue à partir de (13) par application de l opérateur espérance mathématique en admettant que.

24 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.2.2) Matrice de covariance Utilisant la solution (14) et du fait que et sont indépendants, il vient Expression générale complexe qui, comme dans le cas des systèmes discrets, est développée sous l hypothèse alors (17)

25 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal Considérons tout d abord la matrice de covariance de dérivant par rapport à il vient

26 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal soit (18) On établit de façon similaire au cas discret

27 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.2.3) Nature du processus stochastique On énonce sans les démontrer, les résultats similaires au cas discret : Hypothèse 1 : bruit blanc indépendant de. Sous cette hypothèse, le processus stochastique généré par l équation différentielle linéaire (13), est un processus Markovien. Hypothèse 2 : - bruit blanc Gaussien - variable aléatoire Gaussienne - et indépendants Le processus stochastique généré par (13), est un processus Gaussien - Markovien.

28 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal I.2.4) Stationnarité On se place ici dans le cas de systèmes dynamiques invariants ( et matrices constantes, stable asymptotiquement). est un bruit blanc stationnaire Les équations dynamiques des deux premiers moments deviennent : ainsi

29 Département de Génie Electrique et Informatique - Filtrage Linéaire Optimal solution de l équation algébrique matricielle de Lyapunov De plus Donc, tend asymptotiquement vers un processus stationnaire.