Chapitre 3 : Limites de fonctions Terminale ES 2, , Y. Angeli

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1 Chapitre 3 : Limites de fonctions Terminale ES 2, , Y. Angeli. Notion de ite : les différentes situations. Le plan est muni d un repère orthogonal (; ı, j). Dans ces illustrations, a et l sont des réels. f() = l f() = f() = l f() f() f() a a a f() = l f() = f() = f() f() l f() f() = l f() = f() = f() f() l f() La notation f() = l se lit : la ite de f() lorsque tend vers a est l. Les symboles l et a peuvent être des nombres réels ou moins l infini () ou plus l infini ().

2 2. Les fonctions usuelles : rappels et ites Fonction constante c (où c R, fié) Variations : constante! Dérivée : 0. Limites : c = c c = c c = c 0 Fonction identité Variations : strictement croissante sur R Dérivée :. Limites : = = = 0 0 Fonction carré 2 Variations : strictement décroissante sur ],0] strictement croissante sur [0; [. Dérivée : 2. Limites : 2 = 2 = 2 = Fonction cube 3 Variations : strictement croissante sur R. Dérivée : 3 2. Limites : 3 = 3 = 3 = Fonction inverse Définie, continue et dérivable sur R {0. Variations : strictement décroissante sur ];0[. strictement décroissante sur ]0 : [. Dérivée : 2. Limites : = 0 = 0 0 = 0 0,<0 = 0,>0 =. Fonction racine carrée Définie, continue sur [0;[ et dérivable sur ]0;[. Variations : strictement croissante sur [0; [. Dérivée : 2. Limites : = = 0 0

3 3. Somme et produits de ites Les résultats qui suivent sont valables pour a R {,. Somme de ites u() l R l R l R u() l R u()+v() l+l? Eemple. 2 = Eemple. + 0,<0 = car { 2 = = car 0,<0 0,<0 = = Remarque. La dernière colonne est une forme indéterminée, tout peut arriver : = mais = = 7 = = mais = = = = mais = = = Produit de ites u() l R l > 0 l < 0 l > 0 l < 0 0 v() l R ± u() v() l l Eemple. ( ) =? car = et = Eemple. (+ ) 0,>0 = car ds 0,>0+ = et 0,>0 = Remarque. La dernière colonne du tableau des produits est une forme indeterminée : = mais = = 7 = 0 = mais = = = 0 = mais = = 0 = 0 Remarque. Lorsque la forme indeterminée, ( ; 0; 0 0 ; ) il faut changer l écriture de la suite pour lever l indetermination. n n écrit jamais de calcul faisant intervenir,, 0 +, 0,...

4 4. Limites de quotients Limite de l inverse d une fonction Les résultats qui suivent sont valables pour a R {,. v() l 0 ± 0+ (0, v() > 0) 0 (0, v() < 0) 0 l v() si la ite de v() est nulle (deu derniers cas), il faut étudier le signe de v() au voisinage de a pour obtenir la ite de v(). Eemple. La ite 2,<2 2 r Eemple. = Limite de quotients dépend du signe de 2 car 2 = 0. 2 donc si < 2, on a 2 > 0, d où 2,<2 2 =. car = Méthode. La situation 0 est une forme indéterminée. Pour traiter les ites de quotients u 0 v lorsque la ite du numérateur u est non nulle, on remarque u = u, on utilise le tableau v v de l inverse pour puis le tableau des produits pour conclure. v 2 2 Eemple. Calculer,>. 5. Limite de fonctions composées Soient a,b,l R {,. Si u() = b et X b v(x) = l alors v(u()) = l. Eemple. 2 + =

5 6. Traiter les formes indéterminées Théorème du plus haut degré Théorème. La ite d un polynôme en ou est la même que la ite de son terme de plus haut degré. De même, la ite du quotient de deu polynômes en ou est la même que celle du quotient de leurs termes de plus haut degré. Preuve. Dans le cas d un polynôme en : soit P() = a n n +a n n +...+a +a 0 un polynôme avec ( a n 0. Alors pour tout 0, on a : P() = a n n + a n a a n a n + a n 0 a n ). r n = =... = 2 = 0 n donc la ite du facteur entre paranthèses est. Par produit on a bien : P() = a n n. Eemple =... 3 Eemple. 2+ = 2 = 2 = 2 par théorème. + Eemple Le théorème du plus haut degré ne s applique que pour les ites en ou, et que pour les polynômes ou leurs quotients. L utilisation du théorème pour les quotients de deu polynômes se fait en trois temps :. Application du théorème 2. Simplification 3. Conclusion. Forme indéterminée 0 0 Pour les ites qui présentent une forme indéterminée du type 0, essayer de simplifier 0 l écriture de la fonction : 3 +2 Eemple = Théorème d encadrement Soient u, v, et f trois fonctions définies sur un intervalle de la forme [a,[. Si u() = v() = l R et pour tout [a,[, on a u() f() v(), alors f() = l Remarque. il eiste des théorèmes analogues lorsque tend vers, vers a, a + ou a. Si la ite l est, il suffit d avoir une minoration de f : u() f(). Si la ite l est, il suffit d avoir une majoration de f : f() f(). Eemple. Montrer que pour tout > 0, 2 +. En déduire

6 8. Interprétation géométrique des ites Asymptote verticale n dit que la courbe représentative de f admet la droite d équation = a comme asymptote verticale si f() = ou Eemple. Illustration graphique : page, les deu dernières ites de la première ligne. Quelle asymptote verticale admet l hyperbole qui représente la fonction inverse? Pourquoi? Asymptote horizontale n dit que la courbe représentative de f admet la droite d équation y = l comme asymptote horizontale en si = f() = l R Remarque. n définit de manière analogue l asymptote horizontale en. Eemple. Illustration graphique : page, les deu dernières ites de la première colonne. Quelle asymptote horizontale admet l hyperbole qui représente la fonction inverse? Pourquoi? Différence de deu courbes Soient f et g définies sur un intervalle I et C f et C g leurs courbes représentatives. Pour tout I, le nombre f() g() représente, ausigneprès, l écart entrelepoint dec f d abscisse et le point de C g d abscisse. Méthode. Ainsi, pour rechercher les points d intersection de deu courbes, on résout l équation f() g() = 0. L ensemble des solutions est l ensemble des abscisses des points appartenant au deu courbes. n détermine leurs ordonnées en utilisant indifféremment y = f() ou y = g(). f() g() Méthode. De même, pour déterminer la position relative de deu courbes, on étudie le signe de f() g() en fonction des valeurs de, et on l interprère ainsi : sur les intervalles où f() g() > 0, C f est au dessus de C g. sur les intervalles où f() g() < 0, C f est en dessous de C g. Asymptote oblique n dit que la courbe représentative d une fonction f admet la droite d équation y = a + b comme asymptote oblique en si l écart entre la courbe et la droite tend vers 0 lorsque tend vers : f() (a+b) = 0. n définit de même l asymptote oblique en. Eemple. Soit f :]0,[ R, Montrer que la droite d équation y = 3+2 est asymptote oblique à la courbe représentative de f en :... f() j + + g() ı C f + C g