Fractions rationnelles

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1 Fractions rationnelles Décomposition en éléments simples Exercice Éléments de ère espèce x 5 x + x 6 3 x3 + x + x 4 x 3 4 x x + x x 5 x x 6 x n 7 x + n 8 n! x + x + n Exercice x + x x + x x 4 3 x x x + 4 x 6 x + x + 5 x 6 x + x 3 6 x n x + n Exercice 3 x + x + x x 4 + x + x 4 + x 4 + x + 3 x 4 + x x + x + 4 3x5 5x 4 + 4x x + x + x + 6 Exercice 4 autres éléments de ème espèce x 8 x 6 x x x x x x 4 x, α 0 mod π cos α + 6 x + x + x 3 Exercice 5 racines de l unité Décomposer en éléments simples les fractions suivantes xn + x n x n nxn 3 x n 4 d nx n dx x n Exercice 6 polynômes de Tchebychev tann arctan x cosn arccos x Exercice 7 Calcul de dérivées Calculer les dérivées p-èmes des fractions suivantes : XX + X + n X X cos α + α 0 mod π 3 X X sh α Exercice 8 Sommation de séries A l aide de décomposition en éléments simples, calculer : n= nn + n= nn + n + 3 n n= n 4 + n + α R Exercice 9 Partie polaire pour un pôle d ordre Soit F X = RX = X a avec Qa 0 Chercher la partie polaire de F en a en fonction QX de Q puis en fonction de R fractiontex vendredi 30 juillet 00

2 Exercice 0 Soient a,, a n K distincts et P = X a X a n Décomposer en éléments simples la fraction + X n P Montrer que les coefficients des X a i sont tous nuls si et seulement si : + X P nxp + nn + P = 0 Exercice P à racines x i simples x k i /P x i = 0 Soit P C n [X] n ayant n racines distinctes : x,, x n Démontrer que n P x i = 0 Calculer n x k i P pour 0 k n x i Exercice Les racines de P sont des barycentres des racines de P Soit P C[X] de racines x, x,, x n avec les multiplicités m, m,, m n Décomposer en éléments simples P P En déduire que les racines de P sont dans l enveloppe convexe de x,, x n Exercice 3 F X/F X = Soient a,, a n K distincts et α,, α n K Existe-t-il F KX telle que : F X F X = Exercice 4 F X + F X = Trouver les fractions F RX telles que : F X + F X = X + 3 XX X + n k= α k X a k? Exercice 5 Inversion de la matrice /a i b j Soient a,, a n, b,, b n, et c des scalaires distincts On note A la matrice carrée de coefficient général /a i b j et B la matrice colonne de coefficient général /a i c Montrer que l équation AX = B possède une solution unique en considérant une fraction rationnelle bien choisie Exercice 6 Racines de X + P P + XP + P Soit P R[X] ayant n racines distinctes, positives Factoriser le polynôme Q = X +P P +XP +P en deux termes, faire apparaître P, et démontrer P que Q admet au moins n racines positives Exercice 7 Inégalité Soit P R[X] unitaire de degré n et QX = XX X n n P k Calculer et en déduire l existence de k [[0, n]] tel que P k n! k i n i k Propriétés algébriques Exercice 8 Substitution de fractions Soit F KX non constante et P K[X], P 0 Montrer que P F 0 { KX KX Montrer que l application : est un morphisme injectif d algèbre G G F 3 A quelle condition est-il surjectif? 4 Montrer que tous les isomorphismes de corps de KX sont de cette forme fractiontex page

3 Exercice 9 Multiplicité des pôles Soient F, G 0,, G n KX telles que F n + G n F n + + G 0 = 0 Montrer que l ensemble des pôles de F est inclus dans la réunion des ensembles des pôles des G i Exercice 0 Ensemble image d une fonction rationelle Soit F CX Étudier F C \ {pôles} Exercice F G est un polynôme Trouver tous les couples F, G CX tels que F G C[X] utiliser l exercice 0 Exercice Fractions invariantes Soit F CX telle que F e iπ/n X = F X Montrer qu il existe une unique fraction G CX telle que F X = GX n Application : Simplifier n X + eikπ/n X e ikπ/n Exercice 3 Fractions invariantes Soit H = {F KX tel que F X = F /X} Montrer que : F H G KX tel que F X = GX + /X Montrer que H est un sous-corps de KX 3 Que vaut dim H KX? Donner une base de KX sur H Exercice 4 Formule de Taylor Soit F KX définie en a K et n N Démontrer que il existe une fraction G n définie en a telle que : F X = F a + X af a + + X a n F n a n! Exercice 5 Dérivée de /x + Soit F = X + Montrer qu il existe un polynôme P n Z n [X] tel que F n = Montrer que les racines de P n sont réelles et simples + X a n G n X P n X + n Exercice 6 Fractions de degré négatif Soit A = {F KX tels que deg F 0} Démontrer que A est une sous-algèbre de KX Chercher ses idéaux fractiontex page 3

4 solutions Exercice /3 x 5 5/64 x 4 + 5/8 x 3 35/56 x + 35/56 x /3 x + 5 5/64 x + 4 5/8 x /56 x + 35/56 x + 4 x x x x 3 + x 3 x 4 4 x 3 9 x 7 x + 3 x 3 8 x + 7 x 4 + x + x /4 5 x + /4 x + /4 x + /4 x + 6 n+k n k k n n+k n k + x x + n k 7 n n n+k k i n+k in+k n+k n k + x i x + i n k 8 n k= k k n k x + k Exercice x + + x + /6 x /8 x /6 x + /8 x + + x/4 x + + x/4 3 /4 x + x x + x + 4x /4 x + x + + x/ x + x + /4 x + 5 x x 4x + + / x 3 + 5/ x 5 + 9/4 x 6 n k n k x + k Exercice 3 / x x + / x + x + x/ + x + x + x/ x x + 3 x x x + x + + x + x + x + 4 3x + 6 x 6 + 3x x + x + x x x + x + 4 x + fractiontex page 4

5 Exercice 4 x + 6 x x + + x + x + x + x x x + x + x + x + x x x + 3 x x + x + x x + αx x αx + βx x avec α = + 5 et β = 5 βx + 5 x 4 cosα/ x x cosα/ + x x + x cosα/ + / 6 x + + 3/4 x + + / x + /3 x j + /3 x j = / x + + 3/4 x + + / x + x + 3x + x + Exercice 5 + n ω k nx ω k, ω = eiπ/n x cos α k k n nx x cos α k + + nx 3 n x ω k, ω = eiπ/n 4 n x ω k, ω = eiπ/n Exercice 6 n n n k n k sin β k x cos β k cos β k tan β k x, β k = k + π/n n pair? nx +, α k = kπ/n + n pair? x n, β k = k + π/n Exercice 7 n k+p p! k! n k! X + k p+ p p+ p p! i sin α X e iα p+ k p! k sinp + kα X k sin α X e iα p+ = X X cos α + p+ p+ k pair k p! p+ sh kα ch α Xp+ k + p+ k impair k p! p ch kα ch α Xp+ k 3 X X sh α p+ Exercice 8 /4 3 / Exercice 9 QaX a Exercice 0 n Q a Q ax a = R ax a + a i n P a i X a i + na i P a i + a i /P a i P a i X a i R a 3R ax a Exercice Décomposer /P en éléments simples, et prendre x Idem avec X k /P = 0 si 0 k < n, si k = n fractiontex page 5

6 Exercice P = n P z = 0 n m i P P X x i P = n z x i m i m i X x i z x i = 0 z = Barx i, m i / z x i Exercice 4 F X + F X = X 3 X + X + F X = X X + cste Exercice 5 F = n x j j= X X b j X c = λ ai X c X bj où λ = c b i c a i Exercice 6 Q = XP + P XP + P = XP X + P P X + P P P P =, donc les expressions : x + P x X a i P x et x + P x P x changent de signe entre a i et a i+ Cela fait au moins n 3 racines distinctes n si n est pas racine, plus encore une racine pour x + P x P x entre 0 et a Exercice 7 P Q = n P k X k i k k i donc n Si l on suppose P k < n! n pour tout k [[0, n]] alors contradiction P k i k k i = lim xp x x n i k Qx = P k k i < n n n! k! n k =, Exercice 8 3 ssi G KX tel que G F = X P F = XQ F F = A B, A B = A p 0 Xq 0 et B p n Xq n F est homographique 4 F = ϕx Exercice 0 F = P Si P = λq : Im F = {λ} Si P = λq + µ : Im F = C \ {λ} Sinon, Im F = C Q Exercice G = cste F a un seul pôle a F = P X a k et G = a + Q 3 F C[X] G C[X] Exercice n Xn + X n Exercice 3 P X QX = P /X P X + P /X = Q/X QX + Q/X Exercice 6 I k = {F tels que deg F k} avec deg P k fractiontex page 6