CHAPITRE 3 PRIMITIVES ET INTEGRALES FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES

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1 CHAPITRE 3 PRIMITIVES ET INTEGRALES FONCTIONS LOGARITHMES ET EXPONENTIELLES 3--PRIMITIVES ET INTEGRALES 3---Primitives Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle fonction primitive de f ou simplement primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I telle que : I, F () = f(). On notera par la suite la primitive de f par : f() d Eemples 3.: Remarque : La fonction F() = / est une primitive de f() = car en dérivant F(), on trouve f(). La fonction F() = / est une primitive de la fonction f() = - / La fonction F() = / + 3 est également une primitive de f() = D une manière générale, la fonction F() = / + K où K est une constante, est également une dérivée de f() =. Théorème : Si f admet une primitive sur un intervalle I, elle en admet une infinité de primitives qui différent toutes entre elles d une constante. f() d = F() + K ( où K est une constante quelconque) 3--- Eistence d une primitive Théorème : Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive sur I. Cette condition est suffisante mais non nécessaire. Remarque : Sauf indication contraire, on considérera dans toute la suite que la condition d eistence des primitives est satisfaite.

2 3--3-Valeur d une primitive en un point donné : Parmi toutes les primitives de f sur un intervalle I, Il eiste une primitive F de f sur I, et une seule telle que F(a) = b où a et b sont deu nombres réels ( a I). Eemple 3. : Considérons la fonction f() =. La primitive de f() qui vaut 3 pour = se détermine comme suit : F() = est une primitive de f() =. Les autres primitives sont données par + K où K est une constante quelconque. La primitive de f qui vaut 3 lorsque = est alors + K = 3 soit K = c est à dire la seule primitive F() = Primitives usuelles Fonctions f() Primitives F() + K A ( constante) A / 3 /3 m, m R-{} m+ /(m+) / - / / / Ln e e sin -cos cos Sin /cos Tg Arcsin Arccos Arctg

3 Ch Sh Th Ch Sh Ch Th ArgSh ArgCh ArgTh Et pour des fonctions composées : Fonctions f() Primitives F() + K A ( constante) A / 3 /3 U U m, m R-{} U m+ /(m+) U / U - /U U / U U U /U U e U U sinu U cosu U /cos U U' U' U U U' U U ChU LnU e U -cosu SinU TgU ArcsinU ArccosU ArctgU ShU 3

4 U ShU ' Th Ch U U' U U U' U U' U U ChU ThU ArgShU ArgChU ArgThU Eemple 3.3 : La fonction ( +3) 3 est de la forme U U 3 avec U()=( +3). Les primitives de f s écrivent F() = 4 ( +3) 4 + K 3 La fonction ( 3 ) alors : f() = ( 3 ) est de la forme U ' U + K. Les primitives de F s écrivent Intégration par parties : Cette méthode est basée sur la règle de dérivation d un produit. On a ( U V ) = U V + U V soit U V = ( UV ) - U V La formule d intégration par parties s écrit alors : U() V () d = U() V() - V() U () d (nous reviendrons sur cette formule dans le chapitre des logarithmes) 3-- INTEGRALE Soit f une fonction admettant une primitive F sur un intervalle I. Soient a et b deu nombres réels appartenant à I. On appelle intégrale de f sur [a, b] le nombre réel F(b) F(a) ( F est une primitive quelconque de f sur I) 4

5 On notera par la suite cette intégrale par : b a f F b ( )d ( ) F(b) F( a) a On lit «intégrale de a à b de f() d» Eemple 3.4 : d 3 3 F( 3) F( ) = (8/3) (/3) = 7/ Propriétés des primitives et des intégrales a a. f( )d = F(a) F(a) = 0 a b. b f( )d = F(b) F(a) = - [ F(a) F(b)] = - a f( )d a b b b c. 0.5 f( )d = f( )d ( réel ) a a b b b d. [ f( ) g( )]d = f( )d + g( )d a a a b c b e. f( )d = f( )d + f( )d ( relation de Chasles) a a c Eemple 3.5 : d après les propriétés précédentes, on peut écrire ( )d = = (/ + - 5)-(0) = -7/ 3 0 5

6 3--- Applications des primitives : calcul d aires Qu est ce qu une unité d aire? Considérons un repère orthogonal ( O, i, ; j ). On appelle unité d aire, l aire du rectangle OABC. Eemple 3.6: Si l on prend cm comme unités sur l ae des abscisses et cm sur l ae des ordonnées, l unité d aire sera de * = cm Cas où f est positive sur [a, b] Soit f une fonction positive sur [a, b] admettant une primitive F. L aire de la portion de plan limitée par la courbe représentative de f, l ae des abscisses et les b droites verticales =a et =b, est égale à : S= f( )d a Eemple 3.7 : L aire de la portion de plan limitée par la courbe représentative de la fonction f() = 3, l ae des abscisses, les droites verticales = et = s écrit : S = 3 4 d = = (6/4) ( / 4) = 5/4 unités d aires ( u.a) 4 6

7 Cas où f est négative sur [a,b] Si f est négative, la courbe représentative de f est au dessous de l ae des abscisses. L aire du domaine limité par la courbe, l ae des abscisses et les droites b verticales =a et =b est égale à S = - f( )d = - [ F(b) F(a) ] a Eemple 3.8 : f() = 3 3 d = 4 4 = (/4) ( 6/4) = - 5/4 u.a. 7

8 Remarque : Lorsque l on affecte un signe à une aire, il s agit d une aire algébrique. L aire géométrique, elle est toujours positive et égale à la valeur absolue de l aire algébrique. Cas où f est change de signe sur [a,b] Supposons la courbe est symétrique par rapport au point C. Les aires S et S sont égales et de signes contraires. Algébriquement la somme de ces deu aires est nulle. Géométriquement, elles s ajoutent. L aire algébrique du domaine limité par la courbe, l ae des abscisses et les droites verticales =a et =b est nulle. L aire géométrique S = S + S Eemple 3.9: Considérons la fonction f() = 5 qui est impaire donc symétrique par rapport à l origine et intéressons nous à l aire entre et. 5 d = 6 6 = (/6) ( /6) = 0 ( Aire algébrique) Sachant que la courbe coupe l ae des abscisses en (0,0), divise la portion de plan limitée par la courbe, l ae des abscisses, les droites verticales =- et =, en deu intégrales de à 0 et de 0 à. 0 5 d = = 0 ( /6) = -/6 L aire géométrique est alors égale à /6 u.a. 8

9 5 d = = (/6) (0) = /6 Aire géométrique d une portion comprise entre deu courbes. Cas : Les deu courbes n ont pas de points communs sur [a, b] a d a Cas : Les deu courbes ont des points communs sur [a, b] L aire géométrique S est donnée par : f( ) g( ) L aire géométrique S de la portion de plan comprise entre les deu courbes est donnée par S = S + S + S3 où S, S, S3 sont les aires géométriques ( valeurs absolues des mesures des aires algébriques)des portions entre les deu courbes sur les intervalles respectifs [a, p], [p, q], [q, b]. 9

10 Eemple 3.0 : Considérons les fonctions f() = et g() = Ces deu fonctions sont représentées ci dessous : Etudions la position des deu courbes f() = g() = soit : = 0 qui admet deu solutions = et = -/3 Cf et Cg ont donc deu points communs. Cf est au dessus de Cg pour ]-, -/3 [ ], +[ Cf est au dessous de Cg pour ] -/3, [ L aire géométrique comprise entre f et g dans l intervalle [0, ] est alors : [ g( ) f( )]d = [ ]d = = u.a

11 3-3- FONCTION LOGARITHME NEPERIEN Dans le chapitre sur les primitives, nous avons vu que le fonction m m admettait pour primitive la fonction sauf pour m = -. m Nous allons nous intéresser dans ce chapitre au cas m= - c est à la dire à la la primitive de la fonction f() = /. Cette fonction f() = / est dérivable sur l intervalle ]0, +[, elle admet donc sur cet intervalle une primitive et une seule qui s annule pour =. (chapitre primitive ) 3-3--Fonction logarithme népérien On appelle fonction logarithme népérien, la primitive définie sur l intervalle ]0, +[ à valeurs dans R, qui s annule pour = de la fonction f() =/. On notera cette fonction logarithme népérien par Ln Ln dt t Graphiquement cette fonction Ln représente l aire algébrique S() ci -dessous : S() = t dt est positive lorsque > et négative lorsque 0 < < et elle évidemment nulle pour =.

12 3-3-- Conséquences directes de cette définition De la définition de la fonction logarithme népérien, découlent : Ln est défini sur ]0, +[ Ln = 0 Ln > 0 lorsque > et Ln < 0 lorsque 0 < <. La fonction logarithme népérien est dérivable et donc continue sur l intervalle ]0, +[ et admet pour dérivée / : (Ln ) = / La fonction logarithme népérien strictement croissante sur ]0, +[ puisque sa dérivée / est strictement positive sur cet intervalle. Par conséquent : a et b étant strictement positifs : a=b ln a = Ln b a > b ln a > Ln b a < b ln a < Ln b Propriétés de la fonction logarithme népérien Ln ( a b ) = Ln a + Ln b a, b > 0 On peut montrer cette propriété fondamentale en considérant, sur l intervalle ]0, +[ la fonction suivante : f() = Ln (a ) ( Ln a + Ln ) ( a>0, b>0) Cette fonction est dérivable est a pour dérivée f () = a(/a) (/) = 0. Si la dérivée est nulle, cela signifie que f() est une constante sur ]0, +[. Comme f() = Ln a (Ln a + Ln ) = 0, on a, pour tout > 0, f() = f() =0 donc Ln(a ) = Ln a + Ln d où Ln ( a b ) = Ln a + Ln b. De cette propriété fondamentale, on déduit : Ln ( a m ) = m Ln a a > 0 ( m réel) Ln ( a/b ) = Ln a - Ln b a, b > 0 Ln ( /b) = - Ln b b > 0

13 Ces propriétés précédentes des logarithmes sont nécessaires pour la résolution d équations et d inéquations logarithmiques Limites de la fonction logarithme népérien De la représentation graphique précédente de la fonction logarithme en tant qu aire algébrique S() de la portion de plan limitée entre la courbe de la fonction /, l ae des abscisses, les droites verticales en et, on peut déduire que lorsque tend vers +, l aire S() positive augmente et tend également vers +. Lim Ln = + lorsque + Par un changement de variable X = /, on déduit la Lim Ln lorsque 0 Ln = - Ln (/) = - Ln X. Lorsque +, Ln + c est à dire lorsque X 0, - Ln X + soit : Lim Ln = - lorsque Représentation graphique de la fonction Ln A partir de la définition et des propriétés citées précédemment, on peut tracer la courbe représentative de la fonction Ln sur ]0, +[. 3

14 On notera e le nombre réel tel que Ln e = Comme Ln ( a m ) = m Ln a a > 0 ( m réel), on a Ln ( e m ) = m Ln e = m m réel Calcul de Lim Ln lorsque + De la représentation graphique de Ln, on peut observer que la courbe représentative de Ln admet une branche parabolique de direction asymptotique l ae des abscisses, ce qui peut laisser supposer que Ln = 0 lorsque +. On utilisera, pour déterminer la valeur de cette limite, la relation Ln < sur l intervalle ]0, +[ que nous allons vérifier en étudiant la fonction h()= - Ln h () = - = Sur ]0, +[ : h () = 0 pour = 4 et h ( ) > 0 pour > 4 4

15 La courbe de h() est située au dessus de l ae des abscisses, on a donc h()> 0 ]0, [. Ainsi - Ln > 0 c est à dire Ln < ]0, + [. Partant de cette inégalité Ln <, on divise les deu termes par le nombre positif Sur ]0, + [, on obtient : Ln < soit Ln < On a alors : Lim Ln = 0 lorsque + Cette limite peut d ailleurs être généralisée : (Ln ) p 0 lorsque + m, p réels positifs non nuls m Calcul de Lim Ln lorsque 0 La limite de Ln lorsque tend vers 0, se présentant sous forme indéterminée 0*, peut être déduire de Lim Ln en faisant le changement de variables en posant X = /. Lorsque tend vers 0+, X tend vers + Ainsi la limite de Ln lorsque 0 est égale à la limite de X+ soit 0. Donc Ln 0 0 LnX lorsque X Cette limite peut être généralisée comme suit : Lim m (Ln) p = 0 lorsque 0 m réel positif non nul et p réel 5

16 Calcul de Lim Ln lorsque Cette limite se présente sous forme indéterminée 0/0 lorsque. On peut lever cette indétermination en utilisant la définition de la dérivabilité de Ln en. Ln ' et pour = cette dérivée ( nombre dérivé ) est égal à 0. Ln Ln Or par définition, le nombre dérivé de f()=ln en s écrit : ou Ln encore puisque Ln=0 Ln On déduit donc que : tend vers lorsque Calcul de Lim Ln ( ) lorsque 0 Ln On vient de voir que, lorsque, Lim = En faisant le changement de variable X = -, cette limite s écrit : Ln( ) lorsque FONCTION LN(U(X)) Fonction composée Soit U() une fonction dérivable sur un intervalle I et strictement positive sur cet intervalle. D après la définition et les propriétés des fonctions composées, la fonction Ln( U() ) définie sur I est dérivable sur I et I. Ln U() ' U'() U() 6

17 Remarque : U ()/U(). On peut vérifier que la dérivée de Ln U() est également Ln U() ' U'() U() Eemple 3. : La dérivée de la fonction f() = Ln ( -3) définie sur ]-, 0[ ]3, +[ 3 est f'() 3 / La dérivée de la fonction f() = Ln (/) est f'() / Primitive de U () / U() On vient de voir que [ Ln U() ] = U '( ) U( ) Par définition même d une primitive, si U() est une fonction dérivable sur un intervalle I, strictement positive sur I, alors une primitive la fonction U () / U() est la fonction LnU() ( logarithme de la valeur absolue de U()). Eemple 3. : Une primitive de la fonction définie sur R par est la fonction F() Ln f() Dérivée logarithmique Si u() 0, la dérivée logarithmique de f est la dérivée de Ln u() donc égale à Eemple 3.3 u'() u() 3 Ln f() 4 ( ). Elle est 7

18 La dérivée par la méthode classique est un calcul fastidieu. On utilise alors la dérivée logarithmique. Lnf() 3 Ln( Ln) 4Ln( ) f') 4 En dérivant les deu membres : 6 f() ( Ln) On déduit alors : 3 4 Ln f') 6 ( Ln) 4 ( ) 3-5- EQUATIONS ET INEQUATIONS LOGARITHMIQUES Equations ou inéquations utilisant les propriétés de la fonction logarithme Pour résoudre ce type d équations ou d inéquations : - Déterminer le domaine d eistence de ces équations ( sachant que Ln U() est définie lorsque U() >0 ) - Faire apparaître, en utilisant les propriétés da la fonction logarithme, une epression de la forme Ln A = Ln B ou Ln A > Ln B (ou autre type d inéquations ) afin de revenir à une équation ou inéquation numérique A=B ou A > B ( ou autres ) Eemple 3.4 : Résoudre l équation Ln (-) + Ln (3 ) = Ln ( ) - Domaine d eistence de cette équation : soit D = ], 3[ 0 - Résolution Ln (-)+Ln (3 ) = Ln[ (-)(3-)] = Ln( ) car Ln a+ln b=ln (a b) L équation s écrit alors : Ln(( ) = Ln (-) = = 0 = 9-4 =5 d où : 8

19 = 3 5 et = 3 5 Comme n appartient pas au domaine, la seule solution de l équation proposée est = 3 5 Eemple 3.5 : Résoudre Ln(5-) Ln3 + Ln(-) > Ln ( 3-) - Domaine d eistence de l équation : soit D = ]-, [ - Résolution L inéquation peut s écrire : Ln(5-) + Ln(-) > Ln ( 3-) + Ln3 ou encore Ln [(5-) (-)] > Ln[( 3-) 3] (5-) (-) > ( 3-) > > 0 Le trinôme 3 4 admet racines - et 4. L inéquation 3 4 > 0 a pour solution ]-, -[ ]4, + [ Comme le domaine d eistence est ]-, [ alors l inéquation logarithme a pour solution : S = ]-, -[ Eemple 3.6 : Résoudre le système y 9 Ln Lny Ln0 - Domaine d eistence de se système : > 0 et y > 0 - Résolution : La deuième équation du système s écrit Ln ( y) = Ln 0 soit y = 0. y 9 Le système se traduit alors par : y 0 La résolution de ce système consiste à trouver deu nombres et y connaissant leur somme 9 et leur produit 0. Or, on sait que ces nombres vérifient l équation suivante : X 9X + 0 = 0 9

20 On trouve alors comme solutions les couples (4, 5) et (5,4) Equations ou inéquations se ramenant à des équations ou inéquations classiques du second degré ou plus. Eemple 3.7 : Résoudre l équation (Ln ) + Ln 6 = 0 - Domaine d eistence de l équation : > 0 soit ]0, +[ - Résolution : On pose X = Ln. L équation se transforme alors sous la forme X + X 6 = 0, équation admettant solutions = - et = 6/4= 3/. L équation logarithmique proposée admet alors pour solutions les valeur de telles que Ln = 3/ soit = e 3/ et Ln = - soit = e - Ces deu valeurs appartiennent au domaine d eistence de l équation ETUDE COMPETE D UNE FONCTION LN U(X) Eemple 3.8 : f() Ln Domaine de définition > 0 soit D = ]-, [ ], + [ Limites On pose X 0

21 Dérivée et signe f () = ' = ( ) = ( ) ( )( ) f () > 0 D car (-)(-) > 0 sur D. Tableau de variations Asymptote On a vu que la courbe représentative de f admet asymptotes verticales = et = ainsi qu une asymptote horizontale y = 0. Points particuliers f(0) = Ln 0.69 La courbe coupe l ae des ordonnées en Ln f() = 0 Ln = 0 Ln = Ln impossible

22 La courbe ne coupe pas l ae des abscisses. Courbe représentative Eemple 3.9 : f() = + Ln Domaine Ln est défini pour > 0. D = ]0, + [ Limites En 0 + : + et Ln - (- ) = + ( la droite =0 est une asymptote verticale) f() + En + : En mettant en facteur dans la fonction, on obtient f() = Ln [ + ] qui tend vers + car + et Ln 0 ( Il n eiste pas d asymptote horizontale) Dérivée et signe

23 f () = (/) = ( ) f () = 0 pour = - et = + ( sachant que = - n appartient pas à D) f () > 0 pour ]-, -[ ], +[ c est à dire dans ]0, [ ], +[ f () < 0 pour ]0, [ Tableau de variations Asymptote Recherche de l asymptote oblique éventuelle : Il n eiste pas d asymptote oblique mais une branche parabolique de direction asymptotique l ae des ordonnées. Courbe Eemple 3.0 : f() Ln Domaine de définition 3

24 Ln est défini lorsque > 0. D = ]0, + [ Limites Lorsque 0 + : Ln - et + donc f() - ( la droite verticale =0 est asymptote à la courbe de f ) Lorsque + : Ln 0 et + + donc f() + ( Il n eiste pas d asymptote horizontale) Dérivée et signe f () = ( ) Ln( ) = Ln = Ln Cette dérivée a le même signe que la fonction + Ln qui n est autre que la fonction g() étudiée dans l eemple qui est positive sur l intervalle ]0, +[. Tableau de variations Asymptotes On a vu qu il eiste une asymptote verticale = 0 et qu il n eiste pas d asymptote horizontale en +. On étudie alors l eistence de l asymptote oblique. f() = Ln se présente sous la forme d une somme d une équation de droite et d une fonction E() = Ln qui tend vers 0 lorsque +. La droite d équation y = est alors l équation de l asymptote oblique. 4

25 La différence f() ( ) = Ln donne la position de la courbe ( c ) représentative de f par rapport à l asymptote oblique. Ainsi, Ln = 0 pour = donc la courbe coupe l asymptote oblique en (, 5/) Ln > 0 pour > dans cet intervalle, la courbe ( C ) est au dessus de l asymptote oblique Ln < 0 pour 0< < dans cet intervalle, la courbe ( C ) est au dessous de l asymptote oblique Courbe Cette représentation suggère deu investigations : La recherche du point d infleion et du point d intersection de la courbe avec l ae des abscisses. 5

26 Point d infleion : f () () = Ln = ( ) ( )4 Ln 4 4 = 8 Ln 4 4 = 4 ( 3 Ln ) 4 4 f () () = 0 pour Ln = 3/ c est à dire pour = e 3/ f () () > 0 pour Ln > 3/ c est à dire pour > e 3/ f () () < 0 pour Ln > 3/ c est à dire pour 0 < < e 3/ La courbe ( C) admet un point d infleion au point I d abscisse e 3/ Point d intersection avec l ae des abscisses : Il s agit de résoudre l équation Ln = 0. On utilise pour cela le théorème des valeurs intermédiaires. La fonction f() est continue strictement croissante sur ]0, [. Lim f() = - ( négatif ) et f() = 5/ positif 0 La courbe ( C) coupe l ae des abscisses en un point situé dans ]0 ; [. Comme f(/) 0.6 > 0, le point d intersection est situé dans l intervalle ]0 ; ½[. On peut vérifier que le point d intersection est situé dans l intervalle ]/4 ; /[ car f ( /4)) FONCTION LOGARITHME DECIMAL La fonction logarithme décimal que l on notera log est la fonction définie sur ]0, +[ par : log Ln Ln0 On a alors ln 0 = 6

27 En posant k = Ln 0, on peut écrire log = k Ln avec k constante positive ( k 0.43) Les résultats donnés précédemment pour la fonction Ln restent donc valables pour la fonction log FONCTION LOGARITHME DE BASE QUELCONQUE La fonction logarithme de base a (a > 0 et différent de ) est la fonction définie Ln sur ]0, +[ par : log a Lna On a alors ln a a = et ln e = Ln En posant k = Ln a, on peut écrire log = k Ln avec k constante positive a si a > et k constante négative si 0 < a <. Les logarithmes de base quelconque a sont donc proportionnels au logarithmes népériens. Le logarithme décimal est un cas particulier de la fonction logarithme de base quelconque a (a=0). Remarque : Les différentes fonctions logarithmes possèdent les mêmes propriétés analogues à celles développées précédemment de la fonction logarithme népérien. 7

28 3-9- FONCTION EXPONENTIELLE 3-9--Qu est-ce qu une bijection? Une fonction f définie sur un intervalle [a ; b] à valeurs dans l intervalle [ c ; d] est dite bijective si et seulement si, à chaque valeur de dans l intervalle [a ; b] correspond une et une seule valeur de y = f() dans l intervalle [c ; d] Bijection et dérivée Soit f une fonction f dérivable sur un intervalle [a ; b] et de fonction dérivée f. si ]a ; b[, f () > 0 alors f est une bijection de [a ; b] à valeurs dans [ f(a) ; f(b)] si ] a ; b[, f () < 0 alors f est une bijection de [a ; b] à valeurs dans [ f(b) ; f(a)] Bijection et monotonie De ce qui précède on déduit que toute fonction strictement monotone (strictement croissante ou strictement décroissante) d un intervalle I à valeurs dans un intervalle J est bijective Fonctions réciproques Soit f une fonction continue strictement croissante respectivement décroissante) sur l intervalle [a ; b]. Pour tout y 0 appartenant à l intervalle [ f(a) ; f(b) ] (respectivement [f(b) ; f(a)] ) correspond une et une seule valeur de 0 dans [a ; b] telle que y 0 = f( 0 ). Cette correspondance est appelée fonction réciproque de la fonction f et on la note f. 8

29 f strictement croissante: [a;b] [ f(a ); f(b) ] f - :[ f(a) ;f(b)] [a;b] y = f() y = f - (y) f strictement décroissante: [a;b] [ f(a ); f(b) ] f - :[ f(b) ;f(a)] [a;b] y = f() y = f - (y) On a alors : f(f )) f (f()) Théorème fondamental sur les fonctions réciproques Toute fonction f continue et strictement monotone sur un intervalle I : est une bijection de I sur J = f( I ) admet une fonction réciproque f - bijective, continue et strictement monotone de J sur I et de même sens de variation que la fonction f. Les courbes représentatives de f et f sont symétriques par rapport à la première bissectrice ( d équation y = ) dans un plan orthonormé FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE e 3-0--Définitions et propriétés On a vu précédemment que la fonction y = Ln est définie, continue, strictement croissante de l intervalle ]0 ; + [ à valeurs dans ]- ; + [. D après le théorème sur les fonctions réciproques, cette fonction Ln admet donc une fonction réciproque définie, continue et strictement croissante de ]- ; + [ à valeurs dans ]0 ; + [. Cette fonction est appelée fonction eponentielle de base e et notée ep() ou e. Par ailleurs, les courbes des fonctions Ln et e sont symétriques par rapport à la première bissectrice, dans un repère orthonormé. 9

30 f : ]0 ; [ ] ; [ f() Ln f : ] ; [ f ]0 ; [ () e On déduit de cette définition que : y = Ln = e y ( > 0) ep() est définie sur ]0, +[ soit e > 0 R à valeurs dans ]-, +[ Ln(e ) = e Ln = e 0 = ep() est strictement croissante 30

31 3-0--Propriétés algébriques : Ces propriétés découlent de celles déjà étudiées de la fonction Logarithme népérien. e a e e D après les propriétés des logarithmes Ln (a b) = Ln a + Ln b (a > 0 et b > 0 ). a b e b e e ab ab a b ab e e Appliquée à e a et e b cette propriété s écrit : Ln(e a ) + Ln(e b ) = Ln (e a e b ) Or : Ln (e a ) + Ln (e b ) = a + b soit Ln (e a e b ) = a + b ou encore e a e b = e a + b Ces propriétés algébriques nous permettront par eemple de résoudre quelques équations eponentielles Propriétés de monotonie Du théorème fondamental sur les fonctions réciproques découle la croissance stricte de la fonction ep(). Cette croissante se traduit par : a, b réels : a = b e a = e b Limites a < b e a < e b a > b e a > e b En se basant d une part sur les limites de la fonction logarithme népérien et d autre part en s aidant du graphique, on peut déduire : e 0 lorsque (L ae des abscisses constitue une asymptote verticale) e lorsque 3

32 e lorsque (La courbe de la fonction e admet une branche parabolique de direction l ae des ordonnées) On peut évidemment montrer ces résultats en utilisant ceu trouvés pour la fonction logarithme népérien Ln. Ainsi, on a vu dans le chapitre sur les fonction logarithme népérien que : Ln Comme ; on peut écrire : Ln ou encore ep(ln ) ep() soit ep() ce qui implique que Lim ep() = + + Pour la limite en -, il suffit de faire le changement de variable X =-. Lim ep() = Lim ep( - X) = Lim e X = 0 - X + X+ Limite de e lorsque tend vers + Cette limite se présente sous forme indéterminée 0/0. On lèvera cette indétermination en utilisant la limite suivante Lim Ln On sait que lorsque + : Lim Ln = 0 ou encore Lim + Posons alors X = ep( ) ou encore = Ln X Lim e + X = Lim Ln X X+ = + lorsque +. Ln = 3

33 Cette limite se généralise comme suit : p (e ) m réelet p réelpositif: m lorsque Limite de e lorsque tend vers - Cette limite se présente sous la forme indéterminée ( 0). Posons e = X X 0 lorsque - On a alors : Lim e = Lim X Ln X = 0 - X 0 Cette limite se généralise comme suit : m m réelet p réelpositif: (e ) p 0 lorsque Remarque : Comme pour la fonction logarithme, ces calculs de limites peuvent être déduits des croissances comparées des fonctions puissance et eponentielle. Des trois fonctions logarithme, puissance et eponentielle, cette dernière croît beaucoup plus rapidement que la fonction puissance qui elle même croît plus vite que la fonction logarithme. Ceci se traduit, en plus des limites précédentes et celles vues dans le chapitre logarithme népérien par : e lorsque Ln et e Ln 0 lorsque Il reste parmi les limites classiques de la fonction eponentielle, la limite de e lorsque 0, que nous étudierons après la dérivation de la fonction ep() Dérivée de la fonction ep() Considérons les fonctions f : Ln e et g : Les fonctions f et g sont la même fonction dérivée puisque Ln(e ) =. 33

34 Sachant que f est la fonction composée Ln [U()] avec U() = e, on peut écrire : [U( )] ' f () = = [] = soit U () = U() U( ) e e ' Ainsi Limite de e lorsque tend vers 0 Cette limite se présente sous la forme indéterminée 0/0. Pour la lever, il suffit d étudier la dérivabilité de la fonction ep() en 0. On vient de voir que la dérivée de e est e. Cette dérivée vaut en 0. En =0 : (e ) = ( e e e 0 ) = = Lim = Lim 0 e 0 0 e lorsque FONCTION COMPOSEE EXP(U(X)) = e U(X) On a vu que la fonction e est définie pour tout réel. La fonction e U() a alors le même domaine de définition que U(). Eemple 3. : e + est définie sur R ep( ) est définie pour tout 34

35 ep( ) est définie pour R {-, +} ep ( ) est définie pour [0 ; +[ ep ( ) est définie pour [- ; -][ ; +[ Lorsque U() est dérivable sur un intervalle I, on peut appliquer la dérivée des fonctions composées ( voir chapitre fonctions dérivabilité) et on obtient : e U() qui est dérivable sur I et pour tout réel I : Eemple 3. : U() ' ' U() e U () e f() = e ( + ) f () = (+) e ( + ) f () = e f () = 3 ( ) e ( 3 ( ) étant la dérivée de ) Remarque : On déduit de la formule de la dérivée de e U() que la primitive de la fonction U () e U() est la fonction F() = e U() + K où K est une constante. 3-- EQUATIONS ET INEQUATIONS EXPONENTIELLES La résolution d équations et d inéquations eponentielles se fait en étapes : Etape : Détermination du domaine d eistence 35

36 Etape : Ramener l équation ou inéquation eponentielle à des équations ou inéquations algébriques classiques ( polynomiales) en utilisant les propriétés algébriques des eponentielles ou par un changement de variables. 3---Equations et inéquations utilisant les propriétés algébriques de e Eemple 3.3 : Résoudre l équation : e +3 e - = e 5 L équation est définie sur R. On peut écrire : e +3 e - = e = e + ( e a e b = e a+b ) d où : e + = e 5 ou encore + = -5 (e a = e b a=b ) soit = -6 Eemple 3.4 : Résoudre l équation e e e Cette équation eiste si et seulement si 0 et 0 soit pour D = ]-, 0[ ]0, [ ], +[ L équation s écrit : Ou encore e e Soit ou encore soit e () e 3 D Il s agit donc de résoudre l équation du 3 ème 3 degré : 0 dont les solutions sont : ; et 3 Ces trois solutions appartiennent au domaine d eistence de l équation. Eercice 3.5: Résoudre l inéquation : ep( 3 5) < (e ) Le domaine d eistence de cette inéquation est R. 36

37 Puisque (e ) = e 4, l inéquation s écrit ep( 3 5) < e 4 Soit : 3 5 < 4 ( e a < e b a < b ) 3 5 < < < 0 Le discriminant étant égal à 9 +7 = 8, les deu racines du trinômes sont -3/ et 4. La solution de cette inéquation est lors S = ]-3/, 4[ Eercice 3.6 Résoudre le système suivant y 9 e e e Ln - Ln Ln 7 - Ln y Ce système d équation eiste si et seulement si > 0 et y > 0. Dans ce domaine d eistence, on peut écrire : y 9 e e Ln Ln y Ln 7 Ln Ou encore y 9 e e Ln ( y) Ln 4 qui se traduit en utilisant les propriétés des logarithmes et des eponentielles par : y 9 y 4 Il s agit maintenant de trouver deu nombres positifs tels que leur somme est S=9 et leur produit P=4. On sait que ces deu nombres sont solutions de l équation (voir chapitre Equations et Inéquations du second degré). X S X + P = 0 c est à dire solutions de X - 9 X + 4 = 0 = 8 56 = 5 X = et X = 7 Les solutions du système proposé sont alors (, y ) = (, 7) et (, y) =(7, ). 3---Equations se ramenant à des équations polynomiales Eemple 3.7 : Résoudre l équation : e + 3 e 4 = 0 37

38 Le domaine d eistence de cette équation est R. Posons X = e. L équation s écrit alors X + 3 X 4 = 0, équation du second degré admettant deu solutions X = - 4 et X = Les solutions de l équation proposée se dé déduisent alors de e = - 4 impossible car e > 0 R e = = Ln = 0 Eemple 3.8 : Résoudre l équation : 4 e 4-37 e Le domaine d eistence de cette équation est R. Posons X = e. L inéquation s écrit alors 4X 37 X = 5 = (35). Les racines sont X = /4 et X = 9 On a donc à résoudre 4( X /4 ) ( X 9) 0 ou encore 4(e /4 ) ( e 9) 0 Comme e = (e ), chacun des deu facteurs de l inéquation précédente se présente alors comme une différence de deu carrés L inéquation à résoudre s écrit donc : 4(e / )(e + /)( e 3)(e +3) 0 4(e + /)( e + 3) est un produit positif. L inéquation proposée a les mêmes solutions que l inéquation (e / )( e 3) 0 La solution de l inéquation proposée est donc: ]-, Ln(/)] [Ln 3, +[ 38

39 3-- ETUDE COMPLETE DE FONCTIONS EXPONENTIELLES Eemple 3.9 : f() = e Domaine f() a le même domaine que Limites On pose X = soit ]-, [ ], + [ Lim f() = Lim e X = e ( la droite horizontale y=e constitue une asymptote - X au voisinage de - ) Lim f() = Lim e X = 0 - X - Lim f() = Lim e X = + ( la droite verticale = constitue une asymptote ) + X + Lim f() = Lim e X = e ( la droite y=e constitue une asymptote en + ) + X Dérivée et signe f () = ' e = ( ) e f () < 0 D Tableau de variations 39

40 Asymptote On a vu précédemment (limites) qu il eiste une asymptote verticale =, une asymptote horizontale ( y = e). Il n eiste donc pas d asymptote oblique. Lorsque - f() 0. Le point (, 0) est un point particulier que l on étudiera ci dessous. Points particuliers f(0) = e -. La courbe de f coupe l ae des ordonnées en e La courbe ne coupe pas l ae des abscisses puisque f() =0 n admet pas de solutions car e U() > 0 D. Etudions la tangente à gauche de f en (, 0) f () = ( ) e f () tend vers 0 lorsque tend vers - La courbe admet en (, 0) une tangente à gauche parallèle à l ae des abscisses. Courbe représentative 40

41 On peut vérifier que la courbe représentative de f admet un point d infleion I de coordonnées I(0, e - ) La dérivée seconde est en effet égale à : f () 4 ()= ( ) 4 e Eemple 3.30 : f() = e - Domaine Ep() est définie quelque soit donc D = ]-, + [ Limites Lim f() = Lim e - lim = 0 (- ) = Lim f() = Lim ( e - - ) = Dérivée et signe f () = = e - f () > 0 e - > 0 > Ln = 0 f () < 0 e - < 0 < Ln = 0 f () = 0 e - = 0 = Ln = 0 Tableau de variations Asymptote Le calcul de limites conduit à la recherche de l eistence de l asymptote oblique 4

42 Au voisinage de + f( ) e Lim e = Lim = Lim ( ) = + Il n eiste pas d asymptote oblique mais une branche parabolique de direction l ae des ordonnées. Au voisinage de - Lim f( ) e e = Lim = Lim ( ) = - Lim [ f() (-) ] = Lim (e - + ) = Lim (e ) = - La droite d équation y = - est une asymptote oblique Points particuliers f(0) = 0. La courbe de f passe par l origine des aes. La dérivée seconde se calcule aisément. Elle est donnée par f () () = e >0 R. Courbe représentative 4

43 Eemple 3.3: f() = Ln e e Domaine On sait que Ln(U()) est défini si seulement si U() > 0. en posant U() = e e, on doit avoir donc e e >0. Comme e + > 0, f() est définie lorsque e >0 e > > Ln. D = ]Ln, + [ Limites On pose X = e ce qui donne U(X) = X X ou encore f(x) = Ln U(X) Lorsque Ln X e Ln = U(X) 0 Lorsque + X + U(X) Ainsi : L epression e e tend lorsque --> Ln vers la même limite que X X lorsque X tend vers soit : 0 f() admet donc lorsque Ln la même limite que Ln( U()) lorsque U() 0 soit -. L epression e e tend lorsque, +, vers la même limite que X X lorsque X tend vers + soit : f() admet donc lorsque + la même limite que Ln U() lorsque U() soit 0. La droite verticale =Ln est donc une asymptote ainsi que la droite horizontale y=0. Dérivée et signe La dérivée de Ln U() est U () /U(). 43

44 f () = e ' e e e = e ( e ) ( e )e ( e ) e e = 4e ( e ) ( e ) ( e ) f () = 4e ( e )( e ) est strictement positive D Tableau de variations Asymptotes Les asymptotes ont été données avec le calcul de limites et vérifiées dans le tableau de variations. =Ln est l équation de l asymptote verticale y=0 est l équation de l asymptote horizontale. Courbe représentative 44

45 3-3- EXPONENTIELLE DE BASE a Nous avons vu dans le chapitre ( Fonction logarithme) la fonction logarithme de base quelconque a. log a = Ln Ln a Cette fonction est continue et strictement monotone ( strictement croissante si a > et strictement décroissante si 0 < a < ) sur l intervalle ]0 ; +[ à valeurs dans ]- ; +[. D après le théorème fondamental sur les fonctions réciproques, la fonction log a admet donc une fonction réciproque continue, strictement monotone ( de même variation que la fonction log a ) sur l intervalle ]- ; +[ à valeurs dans ]0 ; + [. On notera cette fonction réciproque ep a ou encore a. On déduit alors ces propriétés : a est défini y = a = Log a y a 0 = ( a positif différent de 0 ) a > 0 y = a Ln y = Ln ( a ) = Ln a y = e Lna a a y = a +y a +y = e (+y)ln a = e lna + yln a = e Lna e ylna = a a y a / a y = a -y (a ) y = a y La dérivée de (a ) est ( a ) = ( e Ln a ) de la forme [e U() ] = U () [e U() ] soit ( Ln a ) e Ln a ( a ) = a Lna 45

46 Remarque : Toutes les propriétés de la fonction eponentielle a peuvent être déduites de celles de e en utilisant : a = e Lna Eemple 3.3 : Résoudre l équation = 0 revient à résoudre l équation e 4 Ln0 0 e Ln0 + 9 = 0 En posant X = 0 = e Ln0 on obtient l équation X 0 X + 9 = 0 qui a pour solutions X = et X = 9 On a alors : 0 = e Ln0 = et 0 = e Ln0 = 9 Soit Ln0 = Ln = 0 ou = 0 et Ln0 = Ln9 = Ln3 = Ln 3 ou = Ln3/Ln 0 = log 3 ( log décimal) Eemple.3 : La dérivée de la fonction est identique à la dérivée de la fonction f() = e Ln qui est de la forme U() V() avec U() = et V() = e Ln f () = ( ) e Ln + ( Ln ) e Ln = e Ln ( + Ln) f () = ( + Ln) 46