Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 07 mai 2013 BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES. correction SÉRIE S

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1 Lycée Municipal d Adultes de la ville de Paris Mardi 7 mai BACCALAURÉAT BLANC DE MATHÉMATIQUES SÉRIE S Durée de l épreuve : 4 HEURES Les calculatrices sont AUTORISÉES correction Coefficient : 9 Le candidat doit traiter trois exercices plus un exercice suivant sa spécialité. La clarté des raisonnements et la qualité de la rédaction interviendront pour une part importante dans l appréciation des copies. Sur l en-tête de votre copie, précisez clairement et distinctement : le nom de l épreuve : épreuve de mathématiques. votre spécialité : mathématique, physique ou SVT. tournez la page s.v.p.

2 Exercice (5 points) ) Proposition : vraie Si OAB est isocèle rectangle en A alors on doit avoir : Calculons : AB π = et ( AB, AO )= AO [π] donc z O z A =±i z B z A z O z A z B z A = ) Proposition : vrai ( 5i) (7 i) ( 5i) = +5i = i + 5i = i (5+i) = i 5+i 5+i 5+i Soit les points A(i) et B( i). Les point A et B sont sur l axe des imaginaires purs. z i = z+i AM=BM L ensemble ( ) des points M est alors la médiatrice du segment [AB]. ( ) est donc perpendiculaire à (AB) donc à l axe des imaginaires purs et donc parallèle à l axe des réels. ) Proposition : fausse On a : z=+i = + i = e iπ 6 donc z n = ( ) nπ n i e Contre exemple avec n= : z 6 = ( ) 6 e iπ = ( ) 6 z 6 est alors un réel. 4) Proposition 4 : vraie Si arg z= π alors z=k i avec k ];+ [ On a alors : i+z = i+k i = (+k) i =+k et + z =+ k i =+k On a donc bien : i+z =+ z 5) Proposition 5 : vraie Si z = alors z=e iθ donc z + z = e iθ + e iθ = cos θ Donc z + est un réel. z Exercice (6 points) Partie A : étude d une fonction ) Limites En+ : on sait que En : x= x x x> ln x= + ln x x + x = + donc par quotient x + Par quotient x x> x ln x =+ x ln x =+ Paul Milan tournez la page s.v.p.

3 ln x x ) f (x)= x ln x ln = x ln x f (x)== ln x= Signe( f (x))=signe(ln x ) x=e Comme la fonction ln est strictement croissante sur ];+ [, on a : si x ]; e[, si x ]e;+ [, f (x)<, f est strictement décroissante f (x)>, f est strictement croissante. ) Comme la fonction f est strictement croissante sur ]e;+ [ : Partie B : étude d une suite récurrente ) Cf annexe x e f (x) f (e) or f (e)=e f (x) e Au vu du graphique, on peut conjecturer que la suite (u n ) est strictement décroissante et qu elle tend vers l abscisse du point d intersection de C et D ) a) Soit la proposition : P n : x N u n e. Par récurrence : Initialisation : on a : u = 5 donc u e. P est vraie. Hérédité : On suppose que u n e, montrons que u n+ e On a u n e donc d après la question A), on a : f (u n ) e, donc u n+ e P n est héréditaire Par initialisation et hérédité, on a : n N, u n e b) On pourrait refaire une récurrence pour montrer que (u n ) est décroissante, mais il y a mieux : u n+ u n = u ( ) n u n = u n ln u n ln u n ( ) ln un = u n ln u n D après la question précédente, on sait que u n e, donc, comme la fonction ln est strictement croissante, ln u n et donc : n N, u n+ u n la suite (u n ) est décroissante c) La suite (u n ) est décroissante et minorée par e, elle est donc convergente versl e d) La fonction f est continue (car dérivable) sur ]e;+ [, la suite u n est convergente versl, donc, d après le théorème du point fixe, la itelvérifiel= f (l) l= f (l) l= l lnl La suite (u n ) converge vers e. = lnl lnl= l=e ) L algorithme affichera la valeur : la croissance de la suite est très rapide : les trois premières décimales de e sont déjà trouvées. Paul Milan tournez la page s.v.p.

4 Exercice (5 points) Pour les candidats n ayant pas suivi l enseignement de spécialité Partie A ) On appelle X, la variable aléatoire associée au mobre de moteur que tombe en panne la première année. Comme les moteurs sont tirés de façon indépendante et que la probabilité qu" un moteur tombe en panne la première année est p=,, X suit la loi binomiale B(;, ) P(X=)= ) P(X )= P(X=)=, 88, 9 Partie B ) On doit avoir : ( ),, 88 8, 74 P(Y<)=, e λ =, e λ =, 88 λ= ln, 88, 8 ) P(Y>)=e,8, 68 ) Comme la loi exponentielle est une loi sans mémoire, on a 4) On a : d m = λ = 7, 8 ans, 8 Partie C P Y> (Y>4)=P Y> (Y>+)=P(Y>), 68 ) On peut faire l approximation normale de la loi binomiale pour F, car : n=5, np=6 5, n( p)=44 5 L intervalle I 5 fluctuation asymptotique à 95 % est donc : p( p) p( p) I 5 = p, 96 ; p+, 96 = [, 9;, 49] n n ) On a f obs = 5 5 =, I 5. La valeur p=, est vraisemblable et il n y a pas de raison à la remettre en cause. Paul Milan 4 tournez la page s.v.p.

5 Exercice (5 points) Pour les candidats ayant suivi l enseignement de spécialité ) L employé peut se rendre en un clic uniquement sur la page en deux clics uniquement sur la page 4 ) D après le graphe, on trouve la matrice de transition T suivante : T= Le coefficient t correspond à la probabilité que l employé étant sur la page, il se rende sur la page ) a) On obtient les matrice suivante, avec la précision de, 7, 4, 5, 7, 8,, 5, 8 T,, 5, 5, T 4, 7, 7, 5, 7, 7, 7, 5, 7, 7, 4, 5, 7,,,,,, 5, 5,, 5,, 8, 5 T 8,, 8, 8,,,, 44,, 7, 9, 8, 7 b) Les probabilités qu un employé se rende en cliquant au hasard : de la page à la page en trois clics :,5 ; de la page à la page 4 en quatre clics :,7 ; de la page 4 à la page en huit clics :,8 4) a) Si X n+ = X n T, on obtient de proche en proche : X n = X T n. b) On a : X 4 = X T 4 ( ), 8,, 5, 8, 7, 7, 5, 7 (, 7, 7, 5, 7 ), 7, 4, 5, 7,, 5, 5,,,, 4, c) on a : T,,, 4,,,, 4,,,, 4, On observe que les coefficients de chaque colonne sont sensiblement égaux. Cela veut dire que quelque soit l état initial la matrice X semble se stabiliser. d) Si la matrice ligne X, X n se stabilise vers X alors X=X T. Vérifions le : Paul Milan 5 tournez la page s.v.p.

6 ( X T= 5 ( = 5 ( = 5 = X ) ) ) 5 5 On peut alors déduire le classement des indices de pertinence des pages :µ >µ >µ =µ 4 Exercice 4 (4 points) Partie A On doit avoir : On sait que : h()=, et h(t)= t +, 4t= t + t et = Par somme et quotient, on en déduit : On a alors le système suivant : a +b =, a= On a : h(t)= Partie B +9e,4 t Par composition t + e,4t = = a t + a= +b= a, ) f (t)= ( 9, 4 e,4 t ) (+9 e,4 t ) =, 5 e,4 t (+9 e,4 t ) a= b=a =9 or on sait que, t R, e t > donc t [; 5], f (t)>. La fonction f est strictement croissante sur [ ;5]. ) On doit résoudre : f (t) >, 5 Comme +9e,4t >, on a alors : +9 e,4 t >, 5, 5+8, 5 e,4 t < e,4 t <, 5 8, 5 = 57 Comme la fonction ln est monotone surr, on a :, 4 t<ln 57, 4 t>ln 57 t> ln 57, 8, 4 Il faut donc jours pour que le plant de maïs atteigne une hauteur de,5 m ) a) f (t)= e,4 t +9 e,4 t e,4 t = e,4 t e,4t + 9 On pourrait dériver la fonction F pour trouver la fonction f, mais pour les puristes, on peut chercher la primitive de f en remarquant que si on pose : u(t)=e,4 t + 9 donc u (t)=, 4 e,4 t Paul Milan 6 tournez la page s.v.p.

7 on a alors : f (t)= u (t), 4 u(t) soit la primitive : F(t)=5 ln u(t) =5 ln(e,4 t + 9) b) La valeur moyenneµde la fonction f sur [5 ;] est définie par : µ= f (t) dt= [ ] F(t) = [ ln(e 4 + 9) ln(e + 9) ] e = ln( 4 ) + 9 e, En moyenne, entre le 5 e et le e jours, la hauteur du plan est de, m Annexe de l exercice (À rendre avec la copie) y O A u A u u A 4 6 x Paul Milan 7 fin