Calcul différentiel. Table des matières

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1 Calcul différentiel Table des matières I Dérivation 2 I. Nombre dérivé en un point I.2 Fonction dérivée I.3 Dérivées successives I.4 Opérations I.5 Équation de la tangente II Étude des variations d une fonction 5 II. Lien entre dérivation et sens de variation d une fonction II.2 Etremum d une fonction II.3 Résolution de l équationf() =λ III Primitives 8 III. Définitions III.2 Calculs de primitives III.2. Primitives des fonctions usuelles III.2.2 Opérations sur les primitives

2 I Dérivation Dans cette partie, f est une fonction numérique définie sur un intervalle I, C sa courbe représentative dans un repère.aetsont deu réels distincts dei I. Nombre dérivé en un point Définition Soitf une fonction définie enaet au voisinage dea, on dit quef est dérivable enas il eiste un réela est une fonctionǫtels que, au voisinage deh = 0, on a : A est appelé nombre dérivé def ena. f(a +h) =f(a) +Ah +hǫ(h), avec lim h 0 ǫ(h) = 0. Eemple On considère la fonction définie sur R parf() = 2. f(a +h) = (a +h) 2 =a 2 + 2ah +h 2 =f(a) + (2a)h +h(h). Donc,f est dérivable enade nombre dérivéa = 2a etǫ(h) =h de limite nulle en 0. Définition 2 Le tau de variation de la fonctionf entreaetest le quotient : f() f(a). a f(a +h) f(a) Avec =a +h, ce quotient s écrit aussi :. h f est dérivable enaet on note cette dérivéef (a) si la limite suivante eiste : f f(a +h) f(a) (a) = lim. h 0 h Eemple 2 Soitf définie sur R parf() = 2. le tau de variation def entreaeta +h est : f(a +h) f(a) = (a +h)2 a 2 h h donc,f (a) = lim (2a +h) = 2a. h 0 En particulier,f (3) = 6,f (0) = 0... = a2 + 2ah +h 2 a 2 h = 2ah +h2 h = 2a +h. Interprétation graphique : Lorsquehse rapproche de 0, le point M se rapproche du pointa. Ainsi, la droite (AM) se rapproche de la tangentet au pointa f (a) correspond au coefficient directeur de la tangentet au point d abscisse a. f(a +h) f(a) A T M a a +h -2-

3 I.2 Fonction dérivée Définition 3 Soitf une fonction dérivable en tout pointd un intervallei, alors la fonction qui àassocief () est appelé fonction dérivée def suri. On obtient le tableau de dérivation suivant : Fonctionf Fonctionf Ensemble de définition def k 0 R a +b a R 2 R 2 R + α α α R siα N ou R siα Z ou R + siα R ln() R + e e R sin() cos() R cos() sin() R Eemple 3 Calcul de la dérivée des fonctions suivantes : f() =π f () = 0 f() = 3 f () = 3 2 f() = 2 3 f () = f() = 2007 f () = I.3 Dérivées successives Définition 4 Soit f une fonction dérivable. Lorsque cela est possible, on définit les dérivées successives de f notées : f, f, f,..., f (n). Eemple 4 Soitf la fonction définie sur R parf() = f () = f () = 2 2. f () = 2. f (4) = 0. En physique et en mécanique, on utilise la notation différenteielle : Eemple 5 Dans un circuit R, L, C en série, on a : i = dq dt. e = L di dt. df d =f et R L C donc :e = L d2 q dt 2. d 2 f d 2 =f -3-

4 I.4 Opérations u etvsont deu fonctions définies et dérivables sur un même intervallei. Opération Fonction Dérivée Addition u +v u +v Multiplication par un nombre k u aveck R k u Multiplication u v u v +u v Puissance u n n u u n u u v u v Division v v 2 Inverse v v v 2 Fonction composée f g f g g eponentielle e u u e u logarithme ln(u) u u sinus sin(u) u cos(u) cosinus cos(u) u sin(u) Eemple 6 Calcul de dérivées : f() = : On utilise la formule (u +v) =u +v avecu() = 3 etv() = + 3. on obtientf () = f() = 3( 2 + 4) : on utilise la formule (ku) =ku aveck= 3 etu() = on obtientf () = 6. f() = ( 2 + 3)(5 3) : On utilise la formule (uv) =u v +uv avecu() = etv() = 5 3. on obtientf () = f() = (2 7) 2 : on utilise la formule (u 2 ) = 2uu avecu() = 2 7. on obtientf () = 4(2 7). f() = 3 4 ( u ) : On utilise la formule u v uv = v v 2 avecu() = 3 4 etv() = on obtientf () = ( 2 + 3) 2. f() = : On utilise la formule 3 + on obtientf () = 3 ( 3 + ) 2. ( ) = v avecv() = 3 +. v v2 f() =e 3+ : On utilise la formule (e u ) =u e u avecu() = 3 +. on obtientf () = 3e 3+. f() =ln( 2 + 5) : On utilise la formule (lnu) = u u on obtientf () = avecu() = f() = cos(2 + ) : On utilise la formule cos (u) = u sin(u) avecu() = 2 +. on obtientf () = 2 sin(2 + ). -4-

5 I.5 Équation de la tangente Propriété Soitf une fonction numérique définie sur un intervallei et dérivable ena I. La tangentet a enaàla courbec f a pour équation : T a :y =f (a)( a) +f(a). Eemple 7 Soitf() = Les équations des tangentes en 0 et en sont : f () = 2 f (0) = 0 donct 0 :y = 0 ( 0) +f(0) = 2. f ( ) = 2 donct :y= 2 ( + ) +f( ) = 2 +. II Étude des variations d une fonction II. Lien entre dérivation et sens de variation d une fonction L idée est qu il y a un lien entre le signe du coefficient directeur de la tangente de la courbec et le sens de variation de la fonctionf. Propriété 2 On suppose quef est dérivable suri. f est croissante suri f () 0 pour tout I. f est décroissante suri f () 0 pour tout I. f est constante suri f () = 0 pour tout I. Il est donc possible de déterminer les variations d une fonction à partir du signe de sa dérivée. Eemple 8 Étude d une fonction polynôme : Soitf() = , définie et dérivable sur R. Déterminons son sens de variation : Pour tout réelon af () = = 6( 2 2). On détermine le signe de 2 2 en cherchant ses racines et on trouve et 2. f () = 6( + )( 2) est positive sauf entre ses racines et 2. On peut déterminer le signe de la dérivée et en déduire les variations de la fonctionf : 2 + signe def () variations de f ր ց ր 2 f est croissante sur ] ; ] et sur [ 2 ; + [ et décroissante sur [ ; 2 ]. -5-

6 Eemple 9 Etude d une fonction logarithme : Soitg() = ln, définie et dérivable sur R +. Déterminons son sens de variation : Pour tout réel>0 on ag () = 4 = 42 (2 + )(2 ) =. On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonction g : [ g est décroissante sur 0 ; signe deg () variations de g ց ր [ [ et croissante sur 2 2 ; [ + ln 2. Eemple 0 Etude d une fonction eponentielle : Soith() = ( + 2)e, définie et dérivable sur R. Déterminons son sens de variation : Pour tout réelon ah () = e + ( + 2) ( e ) = ( 2)e = ( )e. On peut déterminer le signe de la dérivée grâce à un tableau de signes puis en déduire les variations de la fonctionh: e + + signe deh () + 0 e variations de h ր ց 0 h est croissante sur [ ; ] et décroissante sur [ ; + [. II.2 Etremum d une fonction Propriété 3 f est une fonction dérivable sur l intervalle I. Sif admet un etremum (minimum ou maimum) enadistinct des etrémités dei, alorsf (a) = 0. Remarque Attention, la réciproque n est pas vraie : le fait quef (a) = 0 n implique pas forcément qu il eiste un etremum en a -6-

7 T ale STI Calcul différentiel y = 3 Eemple La fonctionf() = 3 est définie et dérivable sur R. f () = 3 2 donc,f (0) = 0 maisf n admet ni minimum, ni maimum en 0. Remarque 2 La tangente à la courbe en un pointaoùf (a) = 0 est parallèle à l ae des abscisses. II.3 Résolution de l équation f() = λ Propriété 4 Si f est une fonction continue, dérivable et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur un intervalle [a;b] alors, pour toutλ [f(a);f(b) ], l équationf() =λadmet une solution unique sur l intervalle [a;b]. f(b) B λ f(a) A a b Eemple 2 Soitf() = 3 ++ = 0,f est définie et dérivable sur R. Résolvons l équationf() = 0 à 0 près. Pour tout réelon af () = f est strictement positive sur R, on en déduit quef est strictement croissante sur R. on calculef( ) = etf(0) =. D après le théorème, 0 [f( );f(0) ] = [ ; ], l équationf() = 0 admet donc une solution unique dans l intervalle [ ; ]. A la calculatrice, on trouvef( 0, 7) = 0, 043<0 etf( 0, 6) = 0, 84>0. La racine vaut donc 0, 7 à 0 près. -7-

8 III III. Primitives Définitions Définition 5 Soitf une fonction définie sur un intervallei. On appelle primitive def suri toute fonctionf définie et dérivable suri vérifiant F () =f() pour tout R. Eemple 3 Considérons la fonctionf définie sur R parf() = 3 2. La fonctionf définie sur R parf() = 3 est une primitive def sur R puisquef () =f(). La fonctiongdéfinie sur R parg() = est aussi une primitive def sur R puisqueg () =f(). Eemple 4 Soitf la fonction définie sur R parf() = est une primitive def : Montrons que la fonctionf définie surrparf() = π Pour cela, il faut calculerf, la dérivée def et vérifier que l on obtientf. F 2 () = = =f(). Propriété 5 Soitf une fonction définie sur un intervallei de R,k un réel, 0 I ety 0 R fiés. Sif est dérivable suri, alorsf possède au moins une primitive suri. Sif admet une primitivef suri, les primitives def sont les fonctions du typef() +k Sif est dérivable suri, il eiste une unique primitivef def suri telle quef( 0 ) =y 0. Eemple 5 Les fonctionsf 0 () = 4 4,F () = 4 4 +,F 2 () = ,...,F k () = 4 4 +k aveck R sont toutes des primitives de la fonctionsf. Cependant, il n eiste qu une unique primitivef def vérifiantf(0) = : il s agit def. III.2 Calculs de primitives L objet de ce paragraphe est de présenter quelques techniques permettant l obtention de primitives de fonctions données sur un intervalle déterminé. -8-

9 III.2. Primitives des fonctions usuelles La lecture du tableau des primitive se fait en lisant celui des dérivées «à l envers». Les fonctions f suivantes sont définies, dérivables sur l intervalle I, n est un entier relatif différent de. Obtention de primitives par lecture inverse du tableau des dérivées : f() une primitive F() conditions 0 k I = R a a I = R n n+ I = R sin>0 n + I = R sin<0 2 I = R 2 I = R + cos sin I = R sin cos I = R e e I = R ln I = R + Remarque 3 Pour obtenir toutes les primitives d une fonction f donnée, il suffit de rajouter une constante. Eemple 6 Une primitive de la fonctionf définie sur R parf() = 8 estf() = 9 9. Une primitive de la fonctionf définie sur R + parf() = estf() = III.2.2 Opérations sur les primitives u etvsont des fonctions de primitivesu etv sur un intervallei. Tableau des opérations sur les primitives : Forme de la fonction Une primitive Conditions u +v U +V k u k U u u n u n+ n N n + u u n (n )u n n N u 2 u u()>0 u u cosu u sinu u e u u u sinu cosu e u lnu u()>0-9-

10 Eemple 7 On cherche à déterminer dans chacun des cas suivant une primitivef de le fonctionf sur l intervallei : f() = 4 2 eti= R :F() = = f() = 2( 2 ) 5 eti= R :f() = ( 2 ) ( 2 ) 5 doncf() = ( )6. 6 f() = et>2 :f() = (3 6) 3 6 doncf() = f() = cos(2) 6 sin(3 ) eti= R :f() = 2 + (2) cos(2) 2(3 ) sin(3 ) doncf() = 2 + sin(2) + 2 cos(3 ). f() = 9e 3 eti= R :f() = 3( 3 ) e 3 donc :F() = 3e 3. f() = eti= R :f() = 2(2 +3) 2 +3 donc :F() = 2 ln( 2 +3). -0-