Chapitre 1 : Emergence du chaos

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1 Chapitre 1 : Emergence du chaos

2 Objectifs du chapitre > Introduire la notion de chaos > Illustrer quelques systèmes chaotiques

3 Fin du déterminisme en mécanique classique Mécanique Newtonienne : système à N corps m i d r i dt = F i i = {1,...,N} Tous les systèmes physiques (matériels) conduisent le physicien à étudier N corps en interaction : électrons, ions, molécules, corps célèstes,... Problème à deux corps : système Soleil-Terre S T T = 4 a 3 GM - déterminisme absolu - pas de surprise G = N(m/kg) lois de Kepler

4 Problème des trois corps (Euler, Lagrange, Jacobi, Poincaré) - Laplace et Lagrange : linéarisation des équations > recherche de points stables R L 5 L 3 soleil L 1 r terre L L 4 > seuls L1, L et L3 sont stables

5 - stabilité céleste : Soleil-Terre-Lune T L S m i d r i dt = j=i m i m j r j r i r j r i 3 i = {1,, 3} > problème très difficile même contraint dans un plan! > la perturbation du problème à deux corps par le 3ème ne suffit pas.

6 - des trajectoires régulières néanmoins : Lagrange (177) Euler (1744) Moeckel-Moore (1993) - héritage de Poincaré : sensibilité des conditions initiales horizon de Lyapunov : d = exp t 1 3 d 3 0 système solaire : = 00 My problème numérique!

7 Chaos déterministe Pas de définition précise! Ingrédients : - visites récurrentes de régions de l espace des phases - sensibilité aux conditions initiales ẏ y y section de Poincaré horizon de prédictabilité t Remarques additionnelles : - mécanique Hamiltonienne (théorème de KAM) - une équation différentielle n a pas nécessairement de solution analytique.

8 Trois types de dynamique p Déterministe : dynamique totalement prévisible trajectoire bien définie dans l espace des phases q Chaotique : dynamique imprévisible à long terme trajectoire complexe dans l espace des phases structures visibles non-ergodique Stochastique : dynamique aléatoire système couvre tout l espace des phases pas de récurrence ergodique p p q q

9 Exemple 1 - des pendules qui donnent l heure? Du pendule simple au pendule double simple [applet] forcé [applet] double [applet] gravité gravité dissipation forçage gravité couplage d dt = g R sin d d dt = g A cos(kt) b R sin + dt mr d 1 dt = f 1( 1, 1,, ) d dt = f ( 1, 1,, )

10 Sections de Poincaré simple forcé double Sensibilité aux conditions initiales d un pendule!

11 Exemple - l axe de rotation de Hypérion Hypérion Hypérion - découvert par Bond&Bond et Lassel (1848) - lune non-sphérique de Saturne (multipôle gravifique) km x 80 km x 6 km - influences gravifiques de Saturne et Titan

12 inclinaison p/r orbite d dt +! 0 sin( mt) =0

13 Pirouettes de l axe de rotation d Hypérion simulation La luminosité varie avec l orientation. Section de Poincaré [vitesse,orientation] Hypérion est le seul objet du système solaire à se distinguer par un mouvement chaotique de son axe de rotation.

14 Exemple 3 - le pendule magnétique Trois aimants placés sur les sommets d un triangle équilatéral - 3 pôles d attraction (x i,y i ) - dissipation (R) - oscillations du pendule (C) Equations (système d) : équations différentielles couplées ẍ + Rẋ ÿ + Rẏ 3 i=1 3 i=1 (xi x i x x) +(y i 3 + Cx =0 y) + d (xi y i y x) +(y i 3 + Cy =0 y) + d

15 Sensibilité aux conditions initiales - bassins d attraction (3) - structures invariantes d échelle

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17 Exemple 4 - les inversions du champ magnétique Champ magnétique terrestre : la magnétostratigraphie révèle des inversions

18 Effet dynamo de Bullard (1955) B potentiel : couple :!Mi = L di dt + ri I d! dt = Mi i ( équations différentielles couplées)! = cte i Time

19 Modèle de Rikitake (1958) : couplage de deux dynamos di 1! 1 M 1 i = L 1 dt + R 1i 1 0 di! M i 1 = L dt + R - i d! 1 I 1 dt d! I dt Current = 1 M 1 i 1 i -4 = M i 1 i 0 50 Current Time Figure 7: Numerical int arbitrary units. The so disk, and the dashed b The initial parameters damping terms were k 1 chaotic reversals initial out. the system more phys in the two Rikitake t were! M I =

20 Exemple 5 - Perturbations d une boussole ~B k ~µ B k = B 0 sin(!t) = I = µ B I d dt = µb 0 sin(!t) sin( ) d dt périodique doublement de période chaotique t amortissement t t t

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