Maîtrise de l eurocode 2

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1 Maîtrise de l euroode E U R O C O D E Guide d appliation Jean Roux

2 Afin d harmoniser les règles de oneption des strutures en béton entre les états membres de l Union européenne, les règles de alul ont été unifiées ave la publiation de l euroode. La phase finale de la rédation des Annexes françaises de la norme NF EN 99--, «Euroode : Calul des strutures en béton - Partie - : Règles générales et règles pour les bâtiments» publiée par AFNOR en otobre 005, a été ahevée en 007. Appliquer les méthodes de alul de l euroode Maîtrise de l euroode omplète l ouvrage Pratique de l euroode qui traite notamment du dimensionnement des éléments de base d une struture en béton armé (tirant, poteau, poutre, dalle) par l étude des efforts normal et tranhant, et des moments fléhissant et de torsion. Maîtrise de l euroode présente, à partir des lois lassiques de la résistane des matériaux et des méthodes d analyse des strutures préonisées par l euroode, les justifiations omplémentaires à faire vis-à-vis du poinçonnement et des états limites d instabilité de forme, de maîtrise de la fissuration, de déformation et de fatigue. Chaque hapitre omporte des rappels théoriques suivis d une ou plusieurs appliations traitées en détail. Les appliations sont aompagnées de nombreuses informations utiles pour les aluls. Permettre une transition entre l appliation des règles françaises BAEL 9 et de l euroode L organisation de l ouvrage s apparente à elle de l ouvrage Maîtrise du BAEL 9 paru hez le même éditeur, e qui permet d assurer la transition entre les Règles françaises amenées à disparaître et l euroode destiné à les remplaer, en y introduisant les spéifiités propres à es nouvelles règles (ouverture des fissures, orbeaux, dispositions onstrutives, et.). EURO CODE Maîtrise de l euroode Guide d appliation Chapitre Analyse struturale Chapitre Instabilité de forme - Flambement Chapitre 3 État limite de servie de maîtrise de la fissuration Chapitre 4 État limite de servie de déformation Chapitre 5 Poinçonnement Chapitre 6 Corbeaux Chapitre 7 État limite ultime de fatigue Les fihiers relatifs à ertaines annexes (méthodes simplifiées pour la double intégration de la ourbure, analyse non linéaire diagramme ontraintes déformations du béton) au format pdf sont disponibles à l adresse suivante : Cet ouvrage s adresse aux étudiants en bâtiment et génie ivil, aux tehniiens, ingénieurs et projeteurs désireux d aquérir les méanismes et ordres de grandeur ouramment pratiqués en alul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour et approfondir leurs onnaissanes dans e domaine. J. Roux Code éditeur : Eyrolles : G60 ISBN EYROLLES : Code éditeur : Afnor 373 ISBN AFNOR : barbary-ourte.om Photos : Patrie LEFEBVRE Entreprise QUILLE (quille.fr)

3 Maîtrise de l euroode

4 Dans la même olletion Euroode J.-M. Pa i l l é. Calul des strutures en béton, G043, 009. J. Ro u x. Pratique de l euroode, G044, 009. Euroode 5 Y. Be n o i t, B. Le g r a n d, V. Ta s t e t. Calul des strutures en bois, e édition, G48, (à paraître en 009). Euroode 6 M. Hu r e z, N. Ju r a s z e k, M. Pe l é. Dimensionner les ouvrages de maçonnerie, G80, 009. Euroode 8 V. Dav i d o v i i. Construtions parasismiques (à paraître en 009). Le programme des Euroodes struturaux omprend les normes suivantes, haune étant en général onstituée d un ertain nombre de parties : EN 990 Euroode 0 : Bases de alul des strutures EN 99 Euroode : Ations sur les strutures EN 99 Euroode : Calul des strutures en béton EN 993 Euroode 3 : Calul des strutures en aier EN 994 Euroode 4 : Calul des strutures mixtes aier-béton EN 995 Euroode 5 : Calul des strutures en bois EN 996 Euroode 6 : Calul des strutures en maçonnerie EN 997 Euroode 7 : Calul géotehnique EN 998 Euroode 8 : Calul des strutures pour leur résistane aux séismes EN 999 Euroode 9 : Calul des strutures en aluminium Les normes Euroodes reonnaissent la responsabilité des autorités réglementaires dans haque État membre et ont sauvegardé le droit de elles-i de déterminer, au niveau national, des valeurs relatives aux questions réglementaires de séurité, là où es valeurs ontinuent à différer d un État à un autre.

5 Maîtrise de l euroode Jean Roux

6 ÉDITIONS EYROLLES 6, bd Saint-Germain 7540 Paris Cedex 05 AFNOR éditions, rue Franis-de-Pressensé 9357 La Plaine Saint-Denis Cedex Le ode de la propriété intelletuelle du er juillet 99 interdit en effet expressément la photoopie à usage olletif sans autorisation des ayants droit. Or, ette pratique s est généralisée notamment dans les établissements d enseignement, provoquant une baisse brutale des ahats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de réer des œuvres nouvelles et de les faire éditer orretement est aujourd hui menaée. En appliation de la loi du mars 957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que e soit, sans l autorisation de l Éditeur ou du Centre Français d exploitation du droit de opie, 0, rue des Grands Augustins, Paris. AFNOR et Groupe Eyrolles, 009. ISBN AFNOR : ISBN Eyrolles :

7 TABLE DES MATIÈRES Avant-propos.... Présentation des euroodes et de l ouvrage.... Référenes règlementaires Numérotation des formules Couleurs des figures Notations et symboles partiuliers... 4 Notations et symboles Majusules romaines Minusules romaines Majusules ou minusules greques... 4 Analyse struturale... 7 I. RAPPELS THÉORIQUES Définition Modélisation des strutures Éléments de strutures Poutre et poutre-loison Poteaux et voiles Dalles Largeur partiipante des poutres en T Portées utiles des poutres et dalles Définitions Prinipes Portées à prendre en ompte dans les aluls....4 Imperfetions géométriques Cas des éléments isolés et des ponts Cas des strutures Moments sur appuis Vérifiations Méthodes de alul Types d analyse struturale Analyse vis-à-vis des états limites de servie Analyse vis-à-vis de l état limite ultime Analyse élastique linéaire Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Analyse plastique Dispense de la vérifiation de la apaité de rotation Vérifiation de la apaité de rotation Analyse par la méthode ave bielles et tirants Analyse non linéaire... 34

8 VI 4. Analyse struturale des poutres et des portiques Analyse élastique et linéaire Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Analyse plastique Analyse non linéaire Dispositions onstrutives Aiers en hapeau Chapeaux sur appuis de rive Chapeaux sur appuis intermédiaires Analyse struturale des dalles Analyse élastique et linéaire Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Analyse plastique Analyse non linéaire Dispositions onstrutives Armatures de flexion Armatures d effort tranhant... 4 II. APPLICATIONS... 4 Appliation n : analyse d une poutre... 4 Énoné... 4 Corrigé Appliation n : analyse d une poutre ontinue... 5 Énoné... 5 Corrigé Instabilité de forme Flambement I. RAPPELS THÉORIQUES Rappels de résistane des matériaux Fore ritique d Euler Amplifiation de la déformée d une poutre omprimée Équation différentielle de la ligne moyenne déformée Solution de l équation de la ligne moyenne déformée Coeffiient d amplifiation Exentriités du premier et du seond ordre Classifiation des strutures et des éléments struturaux Éléments ontreventés et non ontreventés Cas des poteaux isolés Élanement Cas des setions retangulaires Cas des setions irulaires Cas des éléments de struture isolés Imperfetions géométriques Méthode générale Domaine d appliation Hypothèses omplémentaires Hypothèses méaniques Hypothèse géométrique supplémentaire Exentriité «externe»... 83

9 Table des matières VII 4.4 Exentriité «interne» Étude de l équilibre Méthode de l équilibre Méthode des déformations internes Méthode générale Méthode simplifiée Remarque Cas des setions retangulaires à deux nappes d armatures Dispense de la vérifiation de l état limite ultime de stabilité de forme (flambement) Cas des éléments isolés Cas des strutures Méthodes ramenant la vérifiation de stabilité de forme à un alul de setion Méthode de la rigidité Domaine de validité Rigidité nominale A s A 6.. Cas où 0,00 ρ < 0, A s A 6.. Cas où ρ , Prinipe de la méthode Cas des poteaux isolés ave exentriités du premier ordre différentes aux deux extrémités Proessus d appliation de la méthode de la rigidité Méthodes ramenant la vérifiation de stabilité de forme à un alul de setion Méthode de l estimation de la ourbure Domaine de validité Prinipe de la méthode Introdution Moment de alul de l élément Courbure Proessus d appliation de la méthode de l estimation de la ourbure II. APPLICATIONS... Appliation n : vérifiation au flambement par la méthode de l équilibre (harges quelonques)... Énoné... Corrigé... Appliation n : dimensionnement des armatures par la méthode de la rigidité... 4 Énoné... 4 Corrigé... 5 Appliation n 3 : vérifiation au flambement par la méthode de l estimation de la ourbure Énoné Corrigé... 39

10 VIII Appliation n 4 : dimensionnement des armatures par la méthode de l estimation de la ourbure Énoné Corrigé État limite de servie de maîtrise de la fissuration... 6 I. RAPPELS THÉORIQUES Considérations générales Exigenes Setion minimale d armatures Cas général Cas des setions retangulaires Calul des ouvertures de fissures Introdution Prinipe du alul Ouverture moyenne des fissures Distane moyenne s rm entre fissures Allongement relatif de l armature par rapport au béton Espaement maximal des fissures s r, max Armatures tendues ave faible espaement Armatures tendues ave espaement important Éléments armés dans deux diretions orthogonales Ouverture alulée des fissures Vérifiation Contrôle de la fissuration sans alul diret Cas des dalles de bâtiment Autres as Fissuration due prinipalement aux déformations gênées Fissuration due prinipalement aux harges Armatures de peau Domaine d appliation Armatures de peau supplémentaires... 8 II. APPLICATION... 8 Appliation : setion retangulaire Maîtrise de la fissuration... 8 Énoné... 8 Corrigé État limite de servie de déformation I. RAPPELS THÉORIQUES Généralités Influene de la fissuration sur la flèhe Influene de la durée d appliation des harges sur la déformée Influene de l inertie Rappels de résistane des matériaux Partiularités du béton armé... 99

11 Table des matières IX. Calul des flèhes à l état limite de servie de déformation Setion entièrement omprimée Setion partiellement tendue Courbure dans l état fissuré Courbure dans l état non fissuré Déformations Méthode de la double intégration de la ourbure Paramètres de déformation Calul des flèhes Méthodes simplifiées Méthode basée sur une variation linéaire de la ourbure Méthode basée sur une variation de la ourbure identique à elle du moment fléhissant Bâtiments ourants Vérifiation de la flèhe Vérifiation des flèhes par le alul Dispense de la vérifiation Rapports de base portée sur hauteur utile Corretions des valeurs /d Prise en ompte du retrait et du fluage Module d élastiité du béton Effets du retrait... 6 II. APPLICATIONS... 7 Appliation n : poutre sur deux appuis simples Flèhe... 7 Énoné... 7 Corrigé... 8 Appliation n : flèhe d une dalle de planher Énoné Corrigé Poinçonnement I. RAPPELS THÉORIQUES Contours de référene Définitions Aire hargée éloignée d un bord libre Aire hargée près d une ouverture Aire hargée prohe de bords libres Cas des poteaux ave hapiteaux (planhers-dalles) Cas des poteaux irulaires Cas des poteaux retangulaires Résistanes au poinçonnement Contraintes tangentes résistantes Valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement... 53

12 X.. Valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau ave ou sans armatures de poinçonnement Valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau ave armatures de poinçonnement Vérifiation de la valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement Contrainte maximale de poinçonnement Vérifiation Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement Contrainte maximale de poinçonnement Vérifiation Dalles ou semelles de poteaux ave armatures de poinçonnement Contrainte maximale de poinçonnement Calul des armatures de poinçonnement Contour de la zone ave armatures de poinçonnement Dispositions onstrutives Setion minimale d armatures de poinçonnement Barres relevées utilisées omme armatures de poinçonnement II. APPLICATIONS Appliation n : étude au poinçonnement d une dalle Aire hargée irulaire Énoné Corrigé Appliation n : étude au poinçonnement d une dalle Aire hargée retangulaire... 7 Énoné... 7 Corrigé Corbeaux... 8 I. RAPPELS THÉORIQUES Définition Vérifiation de la ompression des bielles de béton Armatures Armatures supérieures tendues Armatures horizontales de répartition Armatures vertiales Cas où a 0,5.h Cas où a > 0,5.h Dispositions onstrutives II. APPLICATION Appliation : onsole ourte Énoné Corrigé... 9

13 Table des matières XI 7 État limite ultime de fatigue I. RAPPELS THÉORIQUES Introdution Combinaisons d ations Combinaison de base Combinaison de base plus ation ylique Calul des ontraintes Vérifiation pour les armatures Vérifiation expliite de l endommagement Prinipe de la vérifiation Caratéristiques de la ourbe S-N Proessus de vérifiation Remarque Cas de yles multiples d étendue variable Méthode de l étendue de ontrainte équivalente Cas partiuliers Cas des armatures d âme Inlinaison des armatures d âme à prendre en ompte Vérifiation Vérifiation pour le béton omprimé Éléments pour lesquels auune armature d âme n est requise Éléments omportant des armatures d âme II. APPLICATION Appliation : setion retangulaire sans aiers omprimés Énoné Corrigé Annexe Bibliographie Index

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15 Avant-propos. Présentation des euroodes et de l ouvrage Le programme des euroodes struturaux onstitue un ensemble de textes ohérents dans le domaine de la onstrution. Il omporte les normes suivantes, haune étant, en général, onstituée d un ertain nombre de parties : EN 990 euroode 0 : Bases de alul des strutures, EN 99 euroode : Ations sur les strutures, EN 99 euroode : Calul des strutures en béton, EN 993 euroode 3 : Calul des strutures en aier, EN 994 euroode 4 : Calul des strutures mixtes aier-béton, EN 995 euroode 5 : Calul des strutures en bois, EN 996 euroode 6 : Calul des strutures en maçonnerie, EN 997 euroode 7 : Calul géotehnique, EN 998 euroode 8 : Calul des strutures pour leur résistane aux séismes, EN 999 euroode 9 : Calul des strutures en aluminium. L euroode, pour sa part, omporte les parties suivantes : Partie - : règles générales et règles pour les bâtiments, Partie - : règles générales Calul du omportement au feu, Partie : ponts en béton Calul et dispositions onstrutives, Partie 3 : silos et réservoirs. Les euroodes struturaux onstituent des normes européennes transposables en normes nationales dans les pays suivants : Allemagne, Autrihe, Belgique, Chypre, Danemark, Espagne, Estonie, Finlande, Frane, Grèe, Hongrie, Irlande, Islande, Italie, Lettonie, Lituanie, Luxembourg, Malte, Norvège, Pays- Bas, Pologne, Portugal, République Thèque, Royaume-Uni, Slovaquie, Slovénie, Suède et Suisse. Les normes nationales transposant les euroodes omprennent la totalité du texte des euroodes (toutes annexes inluses). Ce texte peut être : préédé d une page nationale de titres et par un avant-propos national, et eventuellement suivi d une Annexe nationale. Ces normes nationales sont amenées à se substituer aux textes réglementaires orrespondants en vigueur dans les pays européens ités i-dessus. Ainsi, en Frane, l euroode remplaera définitivement les Règles BAEL 9 pour le béton armé et BPEL 9 pour le béton préontraint en mars 00.

16 Le présent ouvrage est établi à partir des normes européennes et de leurs Annexes nationales françaises suivantes : EN 99-- : euroode : alul des strutures en béton Partie - : règles générales et règles pour les bâtiments (déembre 004), EN 99- : euroode : alul des strutures en béton Partie : ponts en béton alul et dispositions onstrutives (mai 006), NF EN 99--/NA : euroode : alul des strutures en béton Partie - : règles générales et règles pour les bâtiments Annexe nationale à la NF EN 99-- : 005 (mars 007), NF EN 99-/NA : euroode : alul des strutures en béton Partie : ponts en béton alul et dispositions onstrutives Annexe nationale à la NF EN 99- (avril 007). Le leteur est invité à s assurer que les douments de référene n ont pas évolué depuis es versions. Nous ne développerons, dans et ouvrage que les parties de l euroode relatives au béton armé, en laissant de ôté elles appliables au béton préontraint. Certaines données et formules ont été volontairement répétées dans plusieurs hapitres pour éviter au leteur d effetuer des reherhes dans le premier hapitre où elles ont été définies ( est le as par exemle de la longueur de flambement qui intervient dans le alul des poteaux et dans la vérifiation au flambement). Le texte qui suit a été rédigé en adoptant les prinipes énumérés i-après.. Référenes règlementaires Les référenes réglementaires relatives à l euroode (parties ou ), sont indiqués dans des notes de bas de page reprenant les numéros des artiles de l euroode après le sigle «EC». La différeniation entre les deux parties s effetuant par le numéro entre parenthèses qui est supérieur à 00 pour la partie relative aux ponts. Lorsque es référenes ne onernent pas l euroode, elles sont indiquées de la même façon, sans le sigle «EC». Lorsque le texte réglementaire renvoie à une annexe nationale, la référene, portée en bas de page, est : «voir AN» après le sigle «EC».

17 Avant-propos 3 3. Numérotation des formules Les numéros des formules figurant dans l euroode (ou dans tout autre texte réglementaire) sont indiqués, entre parenthèses et en gras, en regard de la formule onernée. Pour les besoins de l exposé, lorsqu il a été néessaire de numéroter des formules, ette numérotation est indiquée, en aratères normaux plaés entre rohets, à la suite de la formule visée. Cette numérotation omporte deux nombres, séparés par un point : le premier orrespond au numéro du hapitre de l ouvrage, le seond est un numéro d ordre à l intérieur de e hapitre. Exemple : 60. Disposition des armatures o o o o. Enrobage On appelle enrobage la distane du nu d une armature à l arrase de béton la plus prohe ( over en anglais). L «enrobage nominal» doit être spéifié sur les plans : nom min dev (7.8) ave : min enrobage minimal, Corps du texte dev marge pour toléranes d exéution. et formules. Enrobage minimal Référenes de la formule dans l EC L «enrobage minimal» doit être assuré afin de garantir : une transmission orrete des fores d adhérene ; la protetion de l aier ontre la orrosion ; Numéro de la formule une résistane au feu onvenable. du hapitre min, b, 3 min Max min, dur dur, dur, st dur, add, [4.] 0 mm.. EC EC ()P 3. EC ()P Référenes au texte de l EC en note de bas de page

18 4 Les annexes sont repérées de la façon suivante par des renvois situés en bas de page : [Annexe A] : pour elles relatives au texte de l ouvrage (repérage par la lettre A suivi d un hiffre arabe), [Annexe ] : pour elles disponibles en ligne sur sur la fihe de l ouvrage (repérage par un hiffre arabe), EC Annexe J 3. : pour elles figurant dans les textes règlementaires (repérage, après le sigle EC, par la lettre de l annexe suivie éventuellement de hiffres arabes renvoyant au paragraphe de la dite annexe). 4. Couleurs des figures Les ouleurs utilisées pour les figures illustrant et ouvrage respetent autant que faire se peut les règles suivantes : / pour la résistane des matériaux : rouge : moment fléhissant, bleu : effort tranhant, vert : effort normal, entre de pression. / pour le béton armé : rouge : armatures longitudinales tendues, parties tendues des diagrammes des ontraintes ou des déformations, bleu : parties omprimées des diagrammes des ontraintes ou des déformations, bielles de béton omprimé, vert : armatures d âme et armatures transversales. 5. Notations et symboles partiuliers Les symboles et notations utilisés dans et ouvrage sont onformes aux symboles et notations utilisés dans l euroode. Néanmoins, pour plus de larté, d autres notations sont apparues néessaires ; La symbolisation adoptée alors respete les prinipes énonés par es Règles pour les notations. La terminologie employée a été parfois volontairement simplifiée pour éviter d avoir des définitions trop longues. Par exemple, on utilise «setion» (ou «aire») pour désigner «l aire d une setion droite» ; de même, les termes «moment d inertie» ou même «inertie» sans autre préision, désignent le «moment d inertie d une setion à plan moyen par rapport à l axe perpendiulaire au plan moyen passant par le entre de gravité de elle-i», et. Les sigles ELU et ELS signifient respetivement «état-limite ultime» et «état limite de servie». Le sigle AN signifie «axe neutre».

19 Avant-propos 5 Pour ne pas alourdir les formules, le signe multiplié (x) a été systématiquement remplaé par un point (.). Les symboles utilisés sont les suivants : X valeur absolue de X, f onfer, Cste valeur onstante, O.K. vérifiation assurée, n n A k Ak A + A Ak An, k k implique, équivalent à, /< pas inférieur à, /> pas supérieur à, < < très inférieur à, > > très supérieur à, > < omparé à, sensiblement égal à, quel que soit, différent de, max maximal, min minimal. Le surlignage est utilisé pour distinguer une valeur limite (par exemple une ontrainte) définissant un état limite de servie.

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21 Notations et symboles Dans le tableau i-dessous : la première olonne omporte les notations et symboles extraits des Règles euroode et utilisés dans le présent ouvrage, la seonde olonne reprend les définitions attahées aux symboles préédents, la troisième olonne indique les notations orrespondantes des Règles françaises BAEL 9. Remarque Lorsqu une grandeur figurant dans les Règles EC n est pas utilisée dans les Règles BAEL 9, la ligne orrespondante ne omporte pas de symbole dans la troisième olonne.. Majusules romaines Notations Notations Signifiation EC BAEL 9 A A surfae totale d une setion délimitée par le périmètre extérieur, aires des parties reuses omprises (torsion), aire de la setion droite (béton seul), B 0 ou B aire de la setion effetive de béton autour des armatures tendues, A, eff A ont aire de ontrôle de référene, aire de la zone de béton éventuellement tendu, A t aire de la zone de béton tendu avant la formation de la première B t fissure, valeur représentative d une ation aidentelle, A d F A A Ed A k A load AN valeur représentative d une ation sismique, aire du ontour traé à mi-épaisseur des parois d une setion reuse, aire hargée, axe neutre axe des déformations (ou des ontraintes) nulles, F A Ω AN

22 8 A s aire totale des armatures longitudinales tendues, setion des barres longitudinales situées dans le talon d une poutre à talon, setion d un ours d armatures de liaison (jontion hourdisnervure), aiers inférieurs d une dalle, setion omplémentaire d armatures longitudinales néessaire pour la torsion, setion minimale d armatures dans la zone tendue pour la maîtrise de la fissuration, setion d armatures effetivement prévue, A sf A + A A s, inf A sl A s, min A s, prov A s A l A min i A s, req A s, sup setion d armatures requise par le alul, aiers supérieurs d une dalle, A s, surf A sw A swr A sl setion des armatures de peau, setion d une nappe d armatures d âme, aire d un ours d armatures de poinçonnement sur un périmètre autour d une aire hargée, setion d une nappe de barres relevées, aire d une armature longitudinale, aire totale des armatures longitudinales tendues, A t A r A A s A s setion des barres longitudinales situées dans une saillie de table, aire totale des armatures longitudinales omprimées, A A A s, ink Setion totale d armatures de répartition d une onsole ourte : A r horizontales, ou vertiales, A tv armatures supérieures tendues d une onsole ourte, A A s, main E d module d élastiité de alul du béton, E, eff module d élastiité effetif tangent du béton, E vj E m module de déformation instantanée du béton, E bi E s F F Ed module d élastiité de l aier, résultante des efforts de ompression dans le béton, effort vertial ultime (onsoles ourtes), E s F b V u

23 Notations et symboles 9 F Ed, sup F s F s F s G kj, sup G kj, inf réation d appui, résultante des efforts dans la zone omprimée d une setion, résultante des efforts dans les armatures tendues, résultante des efforts dans les aiers omprimés, valeur aratéristique de l ation permanente défavorable, valeur aratéristique de l ation permanente favorable, F bs F s F s G max G min H Ed I f I h effort horizontal ultime (onsoles ourtes), moment d inertie de la setion droite fissurée (setion homogène réduite), moment d inertie de la setion droite non fissurée (setion homogène non réduite), moment de fissuration, I M r H u M f M lu M r M Tser M Tu M Ed moment limite ultime, moment résistant béton, moment fléhissant de servie de référene pour le alul des setions en T, moment fléhissant ultime de référene pour le alul des setions en T, moment fléhissant ultime, M lu M rb M Tser M Tu M u M 0e moment du premier ordre équivalent, moment du premier ordre (à l ELU) tenant ompte des M 0Ed imperfetions géométriques, M OEqp N B N Ed Q k, i Q k, moment de servie du premier ordre sous la ombinaison d ations quasi permanente (ELS), harge de flambement évaluée sur la base de la méthode de la rigidité nominale, effort normal de ompression à l ELU, valeur aratéristique d une ation variable, valeur aratéristique des ations variables «d aompagnement», valeur aratéristique de l ation variable «dominante», N u Q i Q T Ed ouple de torsion, T u

24 0 T Rd, max V d V Ed V Rd, V Rd, max V Rd, s V td ouple maximal de torsion auquel peuvent résister les bielles de béton omprimées, omposante parallèle à V Rd, s de la fore de ompression dans la membrure omprimée d une poutre de hauteur variable, effort tranhant de alul à l ELU dû aux harges appliquées, effort tranhant résistant de alul d un élément sans armatures d effort tranhant, effort tranhant de alul maximal pouvant être supporté sans provoquer l érasement des bielles de béton omprimé, effort tranhant de alul pouvant être supporté par un élément ave armatures d effort tranhant travaillant à la limite d élastiité, omposante parallèle à V Rd, s de la fore de tration dans les armatures tendues d une poutre de hauteur variable. V u. Minusules romaines Notations EC Signifiation a distanes libres vertiale ou horizontale entre barres et/ou e paquets de barres, v, e a distane de la ligne d appliation de F Ed à la fae la plus prohe du poteau (onsoles ourtes), a a H distane de la fae supérieure du dispositif d appui à la ligne moyenne des armatures les plus prohes de la fae supérieure d une onsole ourte, b eff largeur partiipante de la table de ompression d une setion b en T, b t b w largeur moyenne de la zone tendue d une setion, largeur d une setion retangulaire, largeur de l âme d une setion en T, b 0 b 0 diamètre d un poteau, distane des barres longitudinales à la paroi la plus prohe (torsion), enrobage minimal, min Notations BAEL 9 h min, b min, dur enrobage minimal vis-à-vis des exigenes d adhérene, enrobage minimal vis-à-vis des onditions d environnement,

25 Notations et symboles nom d d g d f b f bd f d f k f m f td f tk, 005, f tk, 095, f tm f u f t f yd f yk f ywd enrobage nominal, distane du entre de gravité des armatures tendues à la fibre la plus omprimée d une setion droite, hauteur utile des armatures les plus prohes de la fae supérieure d une onsole ourte, grosseur maximale des granulats, distane du entre de gravité des aiers omprimés à la fibre de béton la plus omprimée, ontrainte d adhérene moyenne, ontrainte ultime d adhérene, ontrainte de ompression du béton orrespondant à la partie retiligne du diagramme parabole-retangle, résistane aratéristique à la ompression du béton à 8 jours, résistane moyenne à la ompression du béton à 8 jours, résistane de alul en tration du béton, résistane aratéristique à la ompression d ordre 0,05, résistane aratéristique à la ompression d ordre 0,95, résistane à la tration du béton à 8 jours, ontrainte uniforme de ompression du béton, résistane à la tration, résistane de alul des armatures (limite d élastiité), limite d élastiité des aiers, résistane de alul des armatures d âme (limite d élastiité), d g d τ s τ su f bu f 8 f t8 f bu f ed f e f etd f ywk limite d élastiité des aiers transversaux f et limite aratéristique d élastiité onventionnelle à 0, % f0, k d allongement rémanant de l aier, h hauteur totale d une setion, h h hauteur de la onsole au niveau de son enastrement dans le poteau, hauteur de la setion effetive de béton autour des armatures h, ef tendues pour le alul de l ouverture des fissures,

26 h f épaisseur de la table de ompression d une setion en T h 0 i rayon de giration d une setion droite (béton non fissuré), i l b longueur d anrage de référene, l bd longueur d anrage de alul, l b, eq longueur d anrage équivalente (anrages ourbes), l a l b, rqd l eff l n l 0 l 0 n r s longueur d anrage requise, portée utile (de alul) d une poutre, d une travée, portée entre nus d appuis, hauteur utile d un poteau (longueur de flambement), longueur de reouvrement, effort normal relatif, ourbure, espaement des ours d armatures d âme l l l f l r r s t s l t, espaement des armatures transversales d un poteau, s t ou s' t espaement maximal des armatures transversales d un, max poteau, s t, s tmax s l t s l, t espaement des armatures transversales d un poteau, s t s f s l, max s max s max, slabs s r espaement des armatures de outure, espaement longitudinal maximal des armatures d effort tranhant, espaement longitudinal maximal des armatures d effort tranhant ou des barres relevées dans une dalle, espaement des armatures de flexion d une dalle, espaement radial des ours d armatures de poinçonnement, s t s r, max s t s t, max espaement maximal des fissures, espaement tangentiel des ours d armatures de poinçonnement, espaement transversal maximal des armatures d effort tranhant,

27 Notations et symboles 3 s 0 s t t ef, i u u u * éartement initial des armatures d âme pour l appliation de la méthode Caquot, éartement de départ des armatures d âme pour l appliation de la méthode Caquot, profondeur d appui, épaisseur d un tube reux, épaisseur équivalente du tube reux assoié à une setion pleine, périmètre extérieur d une setion (torsion), périmètre du ontour de ontrôle de référene, périmètre du ontour de ontrôle de référene réduit, s t0 s t e u k périmètre de l aire, u A k v R v Rd ontrainte tangente pour l effort tranhant, Valeur de alul de la résistane au poinçonnement d un semelle sans armatures de poinçonnement, τ R valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une v Rd, dalle sans armatures de poinçonnement, valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une v Rd, s dalle ave armatures de poinçonnement, v Rd, max valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle, x hauteur de la zone omprimée d une setion droite fléhie, y x u x hauteur de l axe neutre à partir de la fibre la plus omprimée y à l ELU, u hauteur de l axe neutre à partir de la fibre la plus omprimée y à l ELS, v ontrainte tangente, t w k ouverture alulée des fissures, w max valeur limite de l ouverture alulée des fissures, z bras de levier des fores élastiques distane entre F s et F s, z z 0 distane du pied de la bielle à l axe horizontal des aiers supérieurs tendus (onsoles ourtes), z z z bras de levier de la résultante des ontraintes de ompression du béton par rapport aux aiers tendus à l ELU distane entre F et F s, bras de levier de la résultante des ontraintes de ompression du béton par rapport aux aiers tendus à l ELS distane entre F et F s. z b z b

28 4 3. Majusules ou minusules greques Notations Notations Signifiation EC BAEL 9 α inlinaison des armatures d âme sur la ligne moyenne, α α e oeffiient d équivalene, n α u α θ hauteur relative de l axe neutre à l ELU, oeffiient de dilatation thermique moyen du béton armé, a α θ α hauteur relative de l axe neutre à l ELS, α Δ dev Δ dur, add Δ dur, st Δ dur, γ ε ε () t ε m marge pour toléranes d exéution, rédution de l enrobage minimal dans le as de protetion supplémentaire, rédution de l enrobage minimal dans le as d aier inoxydable, marge de séurité sur l enrobage, raourissement de la fibre la plus omprimée d une setion, déformation unitaire de fluage, allongement unitaire moyen du béton sur, s r, max ε b ε s ε u ε u3 ε ε 3 ε sm ε yd ε s ou ε s déformation unitaire de retrait, raourissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme parabole-retangle, raourissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme bi-linéaire, raourissement relatif maximal en ompression simple du béton orrespondant à la ontrainte f d dans le diagramme parabole-retangle, raourissement relatif maximal en ompression simple du béton orrespondant à la ontrainte f d dans le diagramme bi-linéaire, déformation moyenne de l armature de béton armé sous la ombinaison de harges onsidérée, allongement des aiers tendus lorsque leur ontrainte est égale à leur limite d élastiité, allongement des aiers tendus, ε sl ε s

29 Notations et symboles 5 ε s ε ud ϕ( t, t0 ) ϕ ef raourissement des aiers omprimés, allongement maximal relatif de l aier tendu dans le as du diagramme σ ε à palier inliné, oeffiient de fluage, oeffiient de fluage effetif, φ diamètre d une barre d aier, φ φ eq diamètre équivalent d un groupe de barres pour le alul de l ouverture des fissures, diamètre maximal des barres de faible diamètre, φ large ε s ϕ φ m diamètre du mandrin de intrage, D φ n γ γ s diamètre fitif équivalent d un paquet de barres, oeffiient de séurité affetant la résistane de alul du béton, oeffiient de séurité affetant la résistane de alul des aiers, γ b γ s λ hauteur relative de la zone de béton uniformément omprimée du diagramme retangulaire simplifié en flexion simple, 0,8 λ élanement, λ λ lim Elanement limite d une pièe omprimée, μ u μ lu μ r moment fléhissant ultime réduit, moment fléhissant limite ultime réduit, moment résistant béton réduit, μ bu μ lu μ rb ψ 0, i k, i. Q valeur de ombinaison d une ation variable, ψ 0,. Q ψ, i k, i. Q valeur fréquente d une ation variable, ψ,. Q ψ, i k, i ρ l. Q valeur quasi permanente d une ation variable, ψ,. Q pourentage d armatures longitudinales, pourentage d armatures dans la setion effetive de béton autour des armatures tendues :, ρ p, eff A, eff ρ w pourentage d armatures transversales, i i i i i i σ σ s ontrainte limite de ompression du béton à l ELS, ontrainte limite de tration de l aier à l ELS, σ b σ s

30 6 σ Rd, max σ s Contrainte maximale de ompression d une bielle de béton, valeur de la ontrainte dans une armature métallique, σ s τ t, i ontrainte tangente due à la torsion. τ u

31 Analyse struturale I. RAPPELS THÉORIQUES. Définition Le but de l analyse struturale est de déterminer soit la répartition des solliitations, soit elle des ontraintes, déformations et déplaements, pour l ensemble ou pour un élément d une struture. Lorsque l hypothèse d une distribution linéaire des déformations unitaires ne s applique plus, une analyse loale omplémentaire est à faire : à proximité des appuis ; au droit des points d appliation des harges onentrées ; aux nœuds entre poutres et poteaux ; dans les zones d anrage ; aux hangements de setion transversale. L analyse peut être basée sur un modèle de omportement 3 : élastique linéaire (solliitations proportionnelles aux ations) ; élastique linéaire ave redistribution limitée ; plastique (ave ou sans modélisation par bielles et tirants) ; non linéaire. Pour les ponts, des méthodes d analyse reonnues peuvent être utilisées pour les effets dépendants du temps 4 :. Modélisation des strutures Les éléments onstitutifs d une struture sont normalement lassés d après leur nature et leur fontion en 5 : poutres, poteaux, dalles, voiles, et.. EC 5.. ()P. EC 5.. () 3. EC 5.. (7) 4. EC 5.. (08) + annexe KK 5. EC 5.3

32 8. Éléments de strutures Dans le as des bâtiments, on applique les dispositions énumérées i-après 6... Poutre et poutre-loison l h Pour les poutres : 3.h Pour les poutres-loisons : < 3.h.. Poteaux et voiles 7 h A A l Pour les poteaux 7 : -- 3 et h < 4. b h Pour les voiles : -- < 3 ou h 4. b h COUPE AA b h (>b)..3 Dalles Définition 8 : h l x ( l y ) x y x 5.h l y 6. EC 5.3. (3) 7. EC 5.3. (7) 8. EC 5.3. (4)

33 Analyse struturale 9 Une dalle soumise en majeure partie à des harges uniformes porte dans un seul sens si 9 : La dalle est appuyée sur deux ôtés ave deux bords libres sensiblement parallèles. Sens de flexion l La dalle est appuyée sur son ontour lorsque : x y ---- < 0,5 ou Sens de flexion l x ( l y ) l y. Largeur partiipante des poutres en T Valable pour tous les états limites. La largeur partiipante de la table de ompression ( est-à-dire la partie de dalle assoiée à la nervure d une poutre pour onstituer une setion en T) est définie omme indiqué i-dessous. Dans les as ourants, la distane 0 entre points de moment nul est obtenue par 0 : l 0 0,85 / l 0 0,7 / l l 0 0,5 (l +l ) l 0 0,5 l +l 3 l l l 3 9. EC 5.3. (5) 0. EC ()

34 0 ave : -- 3 et < ---- pour deux travées onséutives, pour les onsoles. Largeur partiipante de la table de ompression des poutres en T (zone sur laquelle on peut admettre une distribution uniforme des ontraintes ) : b eff b eff b eff h f h b b b b b w b b eff ave : b eff, i Min b b + b eff, i w 0,.b i + 0,0. 0 Min 0,. 0 b i (5.7) (5.7a et 5.7b) Lorsqu une grande préision des aluls n est pas exigée (poutres ontinues des bâtiments par exemple), l analyse peut être faite en admettant une largeur de table b eff onstante sur toute la portée :.3 Portées utiles des poutres et dalles.3. Définitions Prinipes La portée utile (de alul) eff est donnée par 3 :. EC EC EC ()

35 Analyse struturale a l n a eff n + a + a l eff (5.8) ave : n portée entre nus d appuis, t profondeur de l appui, a et a distanes définies i-dessous : h h a i ln a i ln t t l eff Éléments isostatiques ai Min t ; h Éléments ontinus ai Min t ; h l eff Axe de l'appareil d'appui h t h a i l n a i l n t l eff Appuis onsidérés omme enastrements parfaits ai Min t ; h Cas d appareils d appui l eff

36 h a i l n t l eff Extrémité en porte-à-faux ai Min t ; h Ces dispositions s appliquent aussi bien aux bâtiments qu aux ponts..3. Portées à prendre en ompte dans les aluls Le alul des solliitations est effetué sur la base des portées utiles. Les solliitations aux nus d appui sont déduites des préédentes : pour les vérifiations à l effort tranhant (sauf dans le as de transmission direte des harges aux appuis lorsque les harges permanentes sont prédominantes où l effort tranhant est alulé dans la setion à la distane d du nu d appui omme nous l avons vu au.3., hapitre 8 : «Effort tranhant», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) ; pour le moment sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir.5). Le alul des solliitations est effetué sur la base des portées entre nus d appuis : par simplifiation de alul pour les travées isostatiques (absene des termes hyperstatiques ΔM/ eff ) ; pour les moments d enastrement parfaits sur appuis lors des vérifiations sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir.5)..4 Imperfetions géométriques Il faut tenir ompte des inertitudes sur la mise en œuvre et sur la position du point de passage de la fore extérieure. Les imperfetions géométriques ne sont à prendre en ompte qu à l ELU dans les situations de projet durables et dans les situations de projet aidentelles EC 5. ()P & (3)

37 Analyse struturale 3 Elles onernent 5 : les éléments soumis à une ompression axiale ; les strutures soumises à des harges vertiales (bâtiments). Pour les bâtiments, les imperfetions sont représentées par une inlinaison globale d un angle θ défini par 6 i : θ θ 0. α. α (5.) i h m ave : θ 0 valeur de base reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale 00 française 7, α h oeffiient de rédution relatif à la longueur ou à la hauteur, où : α h 3 longueur ou hauteur du bâtiment ou de l étage (voir.4. et.4.) en mètres, α m 05, + m oeffiient de rédution relatif au nombre d éléments, où : m nombre d éléments vertiaux ontribuant à l effet total. La définition de et de m dépend de l effet onsidéré 8. Effet sur un élément isolé (voir.4.) : longueur réelle de l élément, m. Effet sur un système de ontreventement (voir.4.) : hauteur du bâtiment, m nombre d éléments vertiaux transmettant la fore horizontale appliquée au système de ontreventement. Effet sur les planhers de ontreventement ou les diaphragmes des toitures (voir.4.) : hauteur de l étage, m nombre d éléments vertiaux dans l étage transmettant la fore horizontale totale appliquée au planher. 5. EC 5. (4) 6. EC 5. (5) 7. EC voir AN 8. EC 5. (6)

38 4 Pour les ponts, les imperfetions sont représentées par une inlinaison globale d un angle θ défini par 9 i : θ θ 0. α (5.0) i ave : h θ 0 valeur de base reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale 00 française 0, α h Min oeffiient de rédution relatif à la longueur ou à la hauteur, longueur ou hauteur en mètres..4. Cas des éléments isolés et des ponts Il s agit d éléments effetivement isolés ou d éléments d une struture pouvant être traités omme tels pour les besoins du alul. Ces éléments sont onsidérés omme : ontreventés, lorsqu ils ne ontribuent pas à la stabilité horizontale d ensemble de la struture à laquelle ils appartiennent ; non ontreventés, dans le as ontraire. On a le hoix entre les deux méthodes i-dessous (qui onduisent au même moment extrême dans l élément ) : ajout d une exentriité additionnelle à l exentriité e (du premier ordre) de la fore extérieure : e i θ 0 i ---- (5.) où 0 longueur effiae (de flambement) de l élément (voir., hapitre 6 : «Compression entrée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). ou remplaement de l inlinaison par une fore transversale dans la position onduisant au moment maximal : H θ. N : éléments non ontreventés, (5.3a) i i H i. θ. N i : éléments ontreventés, (5.3b) 9. EC 5. (05) 0. EC voir AN. EC EC 5. (7)

39 Analyse struturale 5 où N effort normal. e i N N e i N N H i ou l l / 0 ou H i l l 0 i En pied : M N.e i N.θ 0 i ---- ou M H 0 i ---- N.θ 0 i ---- Élément isolé non ontreventé À mi-travée : M N.e i N.θ 0 i ---- ou M H i N.θ 0 i ---- Élément isolé ontreventé Remarque Une solution alternative simplifiée, appliable aux voiles et aux poteaux isolés dans les strutures ontreventées onsiste à prendre 3 : α h m α m 0, θ i e 00 i e 0 i Cette simplifiation ne s applique pas aux ponts. Pour les ponts en ar, il onvient d établir la forme des imperfetions dans les plans horizontal et vertial à partir de la déformée du premier mode de flambement horizontal et vertial respetivement. Chaque déformée modale peut être représentée par un profil sinusoïdal. Il onvient de prendre l amplitude égale à a θ, où l est la demi-longueur d onde 4 i EC 5. (9) 4. EC 5. (06)

40 6.4. Cas des strutures On remplae l inlinaison globale par une fore transversale égale aux omposantes horizontales des efforts normaux dans les éléments inlinés 5 : H θ N N H H i i b a i θ i ( ) N θ. N b i i a + N a θ i : système de ontreventement, (5.4) : planher de ontreventement, (5.5) : diaphragme de toiture. (5.6) N a H i N a H i N b l l θ i / H i N a l H i θ i H i θ i l θ i / N b N a Système de ontreventement Planher de ontreventement Diaphragme de toiture Remarque Pour les figures i-dessus : H représente la réation de la struture s opposant à l inlinaison, N a et N b sont les fores ation poteau sur nœud. θ i.5 Moments sur appuis Vérifiations Dans ertaines onfigurations d appuis, une poutre (ou une dalle) ontinue peut être onsidérée omme simplement posée sur ses appuis. Dans e as, pour ne pas réer de gêne à la rotation, il faut «érêter» la ourbe des moments sur appuis, traée en onsidérant les portées entre axes des éléments, de la quantité 6 : 5. EC 5. (8) 6. EC (4)

41 Analyse struturale 7 ΔM Ed FEd t,sup. 4 ΔM Ed F t Ed, sup 8 -- ave : F Ed, sup réation d appui, t profondeur de l appui ou largeur de l appareil d appui, M Ed moment alulé à partir des portées entre axes des appuis. C est le as, par exemple, des poutres reposant : sur des voiles ; sur des poteaux métalliques ou en bois ; sur des appareils d appuis. ΔM Ed F Ed, sup t 4 t Dans le as où la poutre (ou la dalle) est solidaire des poteaux (ou murs) qui la supportent, le moment ritique de alul peut être pris égal au moment du nu d appui sans que la valeur retenue puisse être inférieure à 65 % du moment d enastrement parfait de la même poutre (de portée n entre nus d appuis 7 ). 3. Méthodes de alul Toutes les méthodes d analyse doivent satisfaire les onditions d équilibre e qui, normalement, est à vérifier pour la struture non déformée (premier ordre). Si les onditions de ompatibilité ne sont pas vérifiées diretement pour les états limites onsidérés, il onvient de prendre des mesures pour que : à l état limite ultime, l ouvrage ait une apaité de déformation suffisante ; dans les onditions de servie, son omportement soit satisfaisant. 7. EC (3)

42 8 3. Types d analyse struturale 3.. Analyse vis-à-vis des états limites de servie L analyse est normalement faite sur la base de l élastiité linéaire, en prenant en ompte la rigidité initiale, orrespondant à la setion non fissurée 8. Si la fissuration a un effet défavorable, elle doit être prise en ompte. On peut aussi avoir reours à l analyse non linéaire (voir 3.5). 3.. Analyse vis-à-vis de l état limite ultime Dans e as, l analyse peut être 9 : élastique linéaire sans redistribution ; élastique linéaire ave redistribution limitée ; plastique (ave ou sans modélisation par bielles et tirants) ; non linéaire. Pour l appliation de la théorie élastique et linéaire, auune mesure spéifique n est à prendre pour assurer une dutilité onvenable, sauf elle d éviter les pourentages élevés. Bien entendu, si l on effetue une redistribution des moments, il onvient de s assurer que les setions ritiques ont une apaité de rotation suffisante pour permettre la redistribution (angles des portiques préontraints par exemple 30 ). Dans l analyse non linéaire, on tient ompte du omportement non linéaire des setions en béton armé ou en béton préontraint (ne pas onfondre ave l analyse au seond ordre qui tient ompte du omportement non linéaire dû à la déformation des éléments eux-mêmes). On ne peut reourir à l analyse plastique que pour des éléments très dutiles, armés d aiers eux-mêmes de haute dutilité Analyse élastique linéaire Le alul des éléments aux états limites de servie omme aux états limites ultimes peut être effetué selon une analyse linéaire basée sur la théorie de l élastiité EC 5.4 () 9. EC 5.. (7) 30. EC 5.5 (5) 3. EC 5.6. ()P 3. EC 5.4 ()

43 Analyse struturale 9 L analyse linéaire peut être utilisée pour la détermination des solliitations, moyennant les hypothèses suivantes 33 : / setions non fissurées ; / relations ontraintes-déformations linéaires ; 3/ et valeurs moyennes du module d élastiité. Pour les effets des déformations d origine thermique, des tassements et du retrait à l état limite ultime (ELU), on peut admettre une rigidité réduite, orrespondant aux setions fissurées, en négligeant la partiipation du béton tendu mais en inluant les effets du fluage 34. Pour l état limite de servie (ELS), il onvient de onsidérer une évolution graduelle de la fissuration Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Pour les aluls à l état limite ultime, les moments de flexion déterminés par une analyse linéaire élastique peuvent être redistribués, est-à-dire que les moments dans les setions les plus solliitées (sur appuis) sont alors multipliés par un oeffiient réduteur δ, les moments dans les autres setions étant augmentés en onséquene pour assurer l équilibre 36. i i+ Pour les dalles et les poutres ontinues telles que 0, , un ontrôle de la apaité de rotation des setions ritiques n est pas néessaire si 37 : δ M red vérifie les valeurs reommandées et à utiliser pour l Annexe nationale Mal française : 0, 004 δ 0, 44 +, , ε u x u d si f k 50 MPa, AN x u 0, 004 δ 0, 54 +, , ε u x u d si f k > 50 MPa, A s d 33. EC 5.4 () 34. EC 5.4 (3) 35. EC 5.4 (3) 36. EC 5.5 (3) 37. EC 5.5 (4) + (04)