Maîtrise de l eurocode 2

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1 Maîtrise de l euroode E U R O C O D E Guide d appliation Jean Roux

2 Afin d harmoniser les règles de oneption des strutures en béton entre les états membres de l Union européenne, les règles de alul ont été unifiées ave la publiation de l euroode. La phase finale de la rédation des Annexes françaises de la norme NF EN 99--, «Euroode : Calul des strutures en béton - Partie - : Règles générales et règles pour les bâtiments» publiée par AFNOR en otobre 005, a été ahevée en 007. Appliquer les méthodes de alul de l euroode Maîtrise de l euroode omplète l ouvrage Pratique de l euroode qui traite notamment du dimensionnement des éléments de base d une struture en béton armé (tirant, poteau, poutre, dalle) par l étude des efforts normal et tranhant, et des moments fléhissant et de torsion. Maîtrise de l euroode présente, à partir des lois lassiques de la résistane des matériaux et des méthodes d analyse des strutures préonisées par l euroode, les justifiations omplémentaires à faire vis-à-vis du poinçonnement et des états limites d instabilité de forme, de maîtrise de la fissuration, de déformation et de fatigue. Chaque hapitre omporte des rappels théoriques suivis d une ou plusieurs appliations traitées en détail. Les appliations sont aompagnées de nombreuses informations utiles pour les aluls. Permettre une transition entre l appliation des règles françaises BAEL 9 et de l euroode L organisation de l ouvrage s apparente à elle de l ouvrage Maîtrise du BAEL 9 paru hez le même éditeur, e qui permet d assurer la transition entre les Règles françaises amenées à disparaître et l euroode destiné à les remplaer, en y introduisant les spéifiités propres à es nouvelles règles (ouverture des fissures, orbeaux, dispositions onstrutives, et.). EURO CODE Maîtrise de l euroode Guide d appliation Chapitre Analyse struturale Chapitre Instabilité de forme - Flambement Chapitre 3 État limite de servie de maîtrise de la fissuration Chapitre 4 État limite de servie de déformation Chapitre 5 Poinçonnement Chapitre 6 Corbeaux Chapitre 7 État limite ultime de fatigue Les fihiers relatifs à ertaines annexes (méthodes simplifiées pour la double intégration de la ourbure, analyse non linéaire diagramme ontraintes déformations du béton) au format pdf sont disponibles à l adresse suivante : Cet ouvrage s adresse aux étudiants en bâtiment et génie ivil, aux tehniiens, ingénieurs et projeteurs désireux d aquérir les méanismes et ordres de grandeur ouramment pratiqués en alul des ossatures en béton armé ou de mettre à jour et approfondir leurs onnaissanes dans e domaine. J. Roux Code éditeur : Eyrolles : G60 ISBN EYROLLES : Code éditeur : Afnor 373 ISBN AFNOR : barbary-ourte.om Photos : Patrie LEFEBVRE Entreprise QUILLE (quille.fr)

3 Maîtrise de l euroode

4 Dans la même olletion Euroode J.-M. Pa i l l é. Calul des strutures en béton, G043, 009. J. Ro u x. Pratique de l euroode, G044, 009. Euroode 5 Y. Be n o i t, B. Le g r a n d, V. Ta s t e t. Calul des strutures en bois, e édition, G48, (à paraître en 009). Euroode 6 M. Hu r e z, N. Ju r a s z e k, M. Pe l é. Dimensionner les ouvrages de maçonnerie, G80, 009. Euroode 8 V. Dav i d o v i i. Construtions parasismiques (à paraître en 009). Le programme des Euroodes struturaux omprend les normes suivantes, haune étant en général onstituée d un ertain nombre de parties : EN 990 Euroode 0 : Bases de alul des strutures EN 99 Euroode : Ations sur les strutures EN 99 Euroode : Calul des strutures en béton EN 993 Euroode 3 : Calul des strutures en aier EN 994 Euroode 4 : Calul des strutures mixtes aier-béton EN 995 Euroode 5 : Calul des strutures en bois EN 996 Euroode 6 : Calul des strutures en maçonnerie EN 997 Euroode 7 : Calul géotehnique EN 998 Euroode 8 : Calul des strutures pour leur résistane aux séismes EN 999 Euroode 9 : Calul des strutures en aluminium Les normes Euroodes reonnaissent la responsabilité des autorités réglementaires dans haque État membre et ont sauvegardé le droit de elles-i de déterminer, au niveau national, des valeurs relatives aux questions réglementaires de séurité, là où es valeurs ontinuent à différer d un État à un autre.

5 Maîtrise de l euroode Jean Roux

6 ÉDITIONS EYROLLES 6, bd Saint-Germain 7540 Paris Cedex 05 AFNOR éditions, rue Franis-de-Pressensé 9357 La Plaine Saint-Denis Cedex Le ode de la propriété intelletuelle du er juillet 99 interdit en effet expressément la photoopie à usage olletif sans autorisation des ayants droit. Or, ette pratique s est généralisée notamment dans les établissements d enseignement, provoquant une baisse brutale des ahats de livres, au point que la possibilité même pour les auteurs de réer des œuvres nouvelles et de les faire éditer orretement est aujourd hui menaée. En appliation de la loi du mars 957, il est interdit de reproduire intégralement ou partiellement le présent ouvrage, sur quelque support que e soit, sans l autorisation de l Éditeur ou du Centre Français d exploitation du droit de opie, 0, rue des Grands Augustins, Paris. AFNOR et Groupe Eyrolles, 009. ISBN AFNOR : ISBN Eyrolles :

7 TABLE DES MATIÈRES Avant-propos.... Présentation des euroodes et de l ouvrage.... Référenes règlementaires Numérotation des formules Couleurs des figures Notations et symboles partiuliers... 4 Notations et symboles Majusules romaines Minusules romaines Majusules ou minusules greques... 4 Analyse struturale... 7 I. RAPPELS THÉORIQUES Définition Modélisation des strutures Éléments de strutures Poutre et poutre-loison Poteaux et voiles Dalles Largeur partiipante des poutres en T Portées utiles des poutres et dalles Définitions Prinipes Portées à prendre en ompte dans les aluls....4 Imperfetions géométriques Cas des éléments isolés et des ponts Cas des strutures Moments sur appuis Vérifiations Méthodes de alul Types d analyse struturale Analyse vis-à-vis des états limites de servie Analyse vis-à-vis de l état limite ultime Analyse élastique linéaire Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Analyse plastique Dispense de la vérifiation de la apaité de rotation Vérifiation de la apaité de rotation Analyse par la méthode ave bielles et tirants Analyse non linéaire... 34

8 VI 4. Analyse struturale des poutres et des portiques Analyse élastique et linéaire Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Analyse plastique Analyse non linéaire Dispositions onstrutives Aiers en hapeau Chapeaux sur appuis de rive Chapeaux sur appuis intermédiaires Analyse struturale des dalles Analyse élastique et linéaire Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Analyse plastique Analyse non linéaire Dispositions onstrutives Armatures de flexion Armatures d effort tranhant... 4 II. APPLICATIONS... 4 Appliation n : analyse d une poutre... 4 Énoné... 4 Corrigé Appliation n : analyse d une poutre ontinue... 5 Énoné... 5 Corrigé Instabilité de forme Flambement I. RAPPELS THÉORIQUES Rappels de résistane des matériaux Fore ritique d Euler Amplifiation de la déformée d une poutre omprimée Équation différentielle de la ligne moyenne déformée Solution de l équation de la ligne moyenne déformée Coeffiient d amplifiation Exentriités du premier et du seond ordre Classifiation des strutures et des éléments struturaux Éléments ontreventés et non ontreventés Cas des poteaux isolés Élanement Cas des setions retangulaires Cas des setions irulaires Cas des éléments de struture isolés Imperfetions géométriques Méthode générale Domaine d appliation Hypothèses omplémentaires Hypothèses méaniques Hypothèse géométrique supplémentaire Exentriité «externe»... 83

9 Table des matières VII 4.4 Exentriité «interne» Étude de l équilibre Méthode de l équilibre Méthode des déformations internes Méthode générale Méthode simplifiée Remarque Cas des setions retangulaires à deux nappes d armatures Dispense de la vérifiation de l état limite ultime de stabilité de forme (flambement) Cas des éléments isolés Cas des strutures Méthodes ramenant la vérifiation de stabilité de forme à un alul de setion Méthode de la rigidité Domaine de validité Rigidité nominale A s A 6.. Cas où 0,00 ρ < 0, A s A 6.. Cas où ρ , Prinipe de la méthode Cas des poteaux isolés ave exentriités du premier ordre différentes aux deux extrémités Proessus d appliation de la méthode de la rigidité Méthodes ramenant la vérifiation de stabilité de forme à un alul de setion Méthode de l estimation de la ourbure Domaine de validité Prinipe de la méthode Introdution Moment de alul de l élément Courbure Proessus d appliation de la méthode de l estimation de la ourbure II. APPLICATIONS... Appliation n : vérifiation au flambement par la méthode de l équilibre (harges quelonques)... Énoné... Corrigé... Appliation n : dimensionnement des armatures par la méthode de la rigidité... 4 Énoné... 4 Corrigé... 5 Appliation n 3 : vérifiation au flambement par la méthode de l estimation de la ourbure Énoné Corrigé... 39

10 VIII Appliation n 4 : dimensionnement des armatures par la méthode de l estimation de la ourbure Énoné Corrigé État limite de servie de maîtrise de la fissuration... 6 I. RAPPELS THÉORIQUES Considérations générales Exigenes Setion minimale d armatures Cas général Cas des setions retangulaires Calul des ouvertures de fissures Introdution Prinipe du alul Ouverture moyenne des fissures Distane moyenne s rm entre fissures Allongement relatif de l armature par rapport au béton Espaement maximal des fissures s r, max Armatures tendues ave faible espaement Armatures tendues ave espaement important Éléments armés dans deux diretions orthogonales Ouverture alulée des fissures Vérifiation Contrôle de la fissuration sans alul diret Cas des dalles de bâtiment Autres as Fissuration due prinipalement aux déformations gênées Fissuration due prinipalement aux harges Armatures de peau Domaine d appliation Armatures de peau supplémentaires... 8 II. APPLICATION... 8 Appliation : setion retangulaire Maîtrise de la fissuration... 8 Énoné... 8 Corrigé État limite de servie de déformation I. RAPPELS THÉORIQUES Généralités Influene de la fissuration sur la flèhe Influene de la durée d appliation des harges sur la déformée Influene de l inertie Rappels de résistane des matériaux Partiularités du béton armé... 99

11 Table des matières IX. Calul des flèhes à l état limite de servie de déformation Setion entièrement omprimée Setion partiellement tendue Courbure dans l état fissuré Courbure dans l état non fissuré Déformations Méthode de la double intégration de la ourbure Paramètres de déformation Calul des flèhes Méthodes simplifiées Méthode basée sur une variation linéaire de la ourbure Méthode basée sur une variation de la ourbure identique à elle du moment fléhissant Bâtiments ourants Vérifiation de la flèhe Vérifiation des flèhes par le alul Dispense de la vérifiation Rapports de base portée sur hauteur utile Corretions des valeurs /d Prise en ompte du retrait et du fluage Module d élastiité du béton Effets du retrait... 6 II. APPLICATIONS... 7 Appliation n : poutre sur deux appuis simples Flèhe... 7 Énoné... 7 Corrigé... 8 Appliation n : flèhe d une dalle de planher Énoné Corrigé Poinçonnement I. RAPPELS THÉORIQUES Contours de référene Définitions Aire hargée éloignée d un bord libre Aire hargée près d une ouverture Aire hargée prohe de bords libres Cas des poteaux ave hapiteaux (planhers-dalles) Cas des poteaux irulaires Cas des poteaux retangulaires Résistanes au poinçonnement Contraintes tangentes résistantes Valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement... 53

12 X.. Valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau ave ou sans armatures de poinçonnement Valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau ave armatures de poinçonnement Vérifiation de la valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement Contrainte maximale de poinçonnement Vérifiation Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement Contrainte maximale de poinçonnement Vérifiation Dalles ou semelles de poteaux ave armatures de poinçonnement Contrainte maximale de poinçonnement Calul des armatures de poinçonnement Contour de la zone ave armatures de poinçonnement Dispositions onstrutives Setion minimale d armatures de poinçonnement Barres relevées utilisées omme armatures de poinçonnement II. APPLICATIONS Appliation n : étude au poinçonnement d une dalle Aire hargée irulaire Énoné Corrigé Appliation n : étude au poinçonnement d une dalle Aire hargée retangulaire... 7 Énoné... 7 Corrigé Corbeaux... 8 I. RAPPELS THÉORIQUES Définition Vérifiation de la ompression des bielles de béton Armatures Armatures supérieures tendues Armatures horizontales de répartition Armatures vertiales Cas où a 0,5.h Cas où a > 0,5.h Dispositions onstrutives II. APPLICATION Appliation : onsole ourte Énoné Corrigé... 9

13 Table des matières XI 7 État limite ultime de fatigue I. RAPPELS THÉORIQUES Introdution Combinaisons d ations Combinaison de base Combinaison de base plus ation ylique Calul des ontraintes Vérifiation pour les armatures Vérifiation expliite de l endommagement Prinipe de la vérifiation Caratéristiques de la ourbe S-N Proessus de vérifiation Remarque Cas de yles multiples d étendue variable Méthode de l étendue de ontrainte équivalente Cas partiuliers Cas des armatures d âme Inlinaison des armatures d âme à prendre en ompte Vérifiation Vérifiation pour le béton omprimé Éléments pour lesquels auune armature d âme n est requise Éléments omportant des armatures d âme II. APPLICATION Appliation : setion retangulaire sans aiers omprimés Énoné Corrigé Annexe Bibliographie Index

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15 Avant-propos. Présentation des euroodes et de l ouvrage Le programme des euroodes struturaux onstitue un ensemble de textes ohérents dans le domaine de la onstrution. Il omporte les normes suivantes, haune étant, en général, onstituée d un ertain nombre de parties : EN 990 euroode 0 : Bases de alul des strutures, EN 99 euroode : Ations sur les strutures, EN 99 euroode : Calul des strutures en béton, EN 993 euroode 3 : Calul des strutures en aier, EN 994 euroode 4 : Calul des strutures mixtes aier-béton, EN 995 euroode 5 : Calul des strutures en bois, EN 996 euroode 6 : Calul des strutures en maçonnerie, EN 997 euroode 7 : Calul géotehnique, EN 998 euroode 8 : Calul des strutures pour leur résistane aux séismes, EN 999 euroode 9 : Calul des strutures en aluminium. L euroode, pour sa part, omporte les parties suivantes : Partie - : règles générales et règles pour les bâtiments, Partie - : règles générales Calul du omportement au feu, Partie : ponts en béton Calul et dispositions onstrutives, Partie 3 : silos et réservoirs. Les euroodes struturaux onstituent des normes européennes transposables en normes nationales dans les pays suivants : Allemagne, Autrihe, Belgique, Chypre, Danemark, Espagne, Estonie, Finlande, Frane, Grèe, Hongrie, Irlande, Islande, Italie, Lettonie, Lituanie, Luxembourg, Malte, Norvège, Pays- Bas, Pologne, Portugal, République Thèque, Royaume-Uni, Slovaquie, Slovénie, Suède et Suisse. Les normes nationales transposant les euroodes omprennent la totalité du texte des euroodes (toutes annexes inluses). Ce texte peut être : préédé d une page nationale de titres et par un avant-propos national, et eventuellement suivi d une Annexe nationale. Ces normes nationales sont amenées à se substituer aux textes réglementaires orrespondants en vigueur dans les pays européens ités i-dessus. Ainsi, en Frane, l euroode remplaera définitivement les Règles BAEL 9 pour le béton armé et BPEL 9 pour le béton préontraint en mars 00.

16 Le présent ouvrage est établi à partir des normes européennes et de leurs Annexes nationales françaises suivantes : EN 99-- : euroode : alul des strutures en béton Partie - : règles générales et règles pour les bâtiments (déembre 004), EN 99- : euroode : alul des strutures en béton Partie : ponts en béton alul et dispositions onstrutives (mai 006), NF EN 99--/NA : euroode : alul des strutures en béton Partie - : règles générales et règles pour les bâtiments Annexe nationale à la NF EN 99-- : 005 (mars 007), NF EN 99-/NA : euroode : alul des strutures en béton Partie : ponts en béton alul et dispositions onstrutives Annexe nationale à la NF EN 99- (avril 007). Le leteur est invité à s assurer que les douments de référene n ont pas évolué depuis es versions. Nous ne développerons, dans et ouvrage que les parties de l euroode relatives au béton armé, en laissant de ôté elles appliables au béton préontraint. Certaines données et formules ont été volontairement répétées dans plusieurs hapitres pour éviter au leteur d effetuer des reherhes dans le premier hapitre où elles ont été définies ( est le as par exemle de la longueur de flambement qui intervient dans le alul des poteaux et dans la vérifiation au flambement). Le texte qui suit a été rédigé en adoptant les prinipes énumérés i-après.. Référenes règlementaires Les référenes réglementaires relatives à l euroode (parties ou ), sont indiqués dans des notes de bas de page reprenant les numéros des artiles de l euroode après le sigle «EC». La différeniation entre les deux parties s effetuant par le numéro entre parenthèses qui est supérieur à 00 pour la partie relative aux ponts. Lorsque es référenes ne onernent pas l euroode, elles sont indiquées de la même façon, sans le sigle «EC». Lorsque le texte réglementaire renvoie à une annexe nationale, la référene, portée en bas de page, est : «voir AN» après le sigle «EC».

17 Avant-propos 3 3. Numérotation des formules Les numéros des formules figurant dans l euroode (ou dans tout autre texte réglementaire) sont indiqués, entre parenthèses et en gras, en regard de la formule onernée. Pour les besoins de l exposé, lorsqu il a été néessaire de numéroter des formules, ette numérotation est indiquée, en aratères normaux plaés entre rohets, à la suite de la formule visée. Cette numérotation omporte deux nombres, séparés par un point : le premier orrespond au numéro du hapitre de l ouvrage, le seond est un numéro d ordre à l intérieur de e hapitre. Exemple : 60. Disposition des armatures o o o o. Enrobage On appelle enrobage la distane du nu d une armature à l arrase de béton la plus prohe ( over en anglais). L «enrobage nominal» doit être spéifié sur les plans : nom min dev (7.8) ave : min enrobage minimal, Corps du texte dev marge pour toléranes d exéution. et formules. Enrobage minimal Référenes de la formule dans l EC L «enrobage minimal» doit être assuré afin de garantir : une transmission orrete des fores d adhérene ; la protetion de l aier ontre la orrosion ; Numéro de la formule une résistane au feu onvenable. du hapitre min, b, 3 min Max min, dur dur, dur, st dur, add, [4.] 0 mm.. EC EC ()P 3. EC ()P Référenes au texte de l EC en note de bas de page

18 4 Les annexes sont repérées de la façon suivante par des renvois situés en bas de page : [Annexe A] : pour elles relatives au texte de l ouvrage (repérage par la lettre A suivi d un hiffre arabe), [Annexe ] : pour elles disponibles en ligne sur sur la fihe de l ouvrage (repérage par un hiffre arabe), EC Annexe J 3. : pour elles figurant dans les textes règlementaires (repérage, après le sigle EC, par la lettre de l annexe suivie éventuellement de hiffres arabes renvoyant au paragraphe de la dite annexe). 4. Couleurs des figures Les ouleurs utilisées pour les figures illustrant et ouvrage respetent autant que faire se peut les règles suivantes : / pour la résistane des matériaux : rouge : moment fléhissant, bleu : effort tranhant, vert : effort normal, entre de pression. / pour le béton armé : rouge : armatures longitudinales tendues, parties tendues des diagrammes des ontraintes ou des déformations, bleu : parties omprimées des diagrammes des ontraintes ou des déformations, bielles de béton omprimé, vert : armatures d âme et armatures transversales. 5. Notations et symboles partiuliers Les symboles et notations utilisés dans et ouvrage sont onformes aux symboles et notations utilisés dans l euroode. Néanmoins, pour plus de larté, d autres notations sont apparues néessaires ; La symbolisation adoptée alors respete les prinipes énonés par es Règles pour les notations. La terminologie employée a été parfois volontairement simplifiée pour éviter d avoir des définitions trop longues. Par exemple, on utilise «setion» (ou «aire») pour désigner «l aire d une setion droite» ; de même, les termes «moment d inertie» ou même «inertie» sans autre préision, désignent le «moment d inertie d une setion à plan moyen par rapport à l axe perpendiulaire au plan moyen passant par le entre de gravité de elle-i», et. Les sigles ELU et ELS signifient respetivement «état-limite ultime» et «état limite de servie». Le sigle AN signifie «axe neutre».

19 Avant-propos 5 Pour ne pas alourdir les formules, le signe multiplié (x) a été systématiquement remplaé par un point (.). Les symboles utilisés sont les suivants : X valeur absolue de X, f onfer, Cste valeur onstante, O.K. vérifiation assurée, n n A k Ak A + A Ak An, k k implique, équivalent à, /< pas inférieur à, /> pas supérieur à, < < très inférieur à, > > très supérieur à, > < omparé à, sensiblement égal à, quel que soit, différent de, max maximal, min minimal. Le surlignage est utilisé pour distinguer une valeur limite (par exemple une ontrainte) définissant un état limite de servie.

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21 Notations et symboles Dans le tableau i-dessous : la première olonne omporte les notations et symboles extraits des Règles euroode et utilisés dans le présent ouvrage, la seonde olonne reprend les définitions attahées aux symboles préédents, la troisième olonne indique les notations orrespondantes des Règles françaises BAEL 9. Remarque Lorsqu une grandeur figurant dans les Règles EC n est pas utilisée dans les Règles BAEL 9, la ligne orrespondante ne omporte pas de symbole dans la troisième olonne.. Majusules romaines Notations Notations Signifiation EC BAEL 9 A A surfae totale d une setion délimitée par le périmètre extérieur, aires des parties reuses omprises (torsion), aire de la setion droite (béton seul), B 0 ou B aire de la setion effetive de béton autour des armatures tendues, A, eff A ont aire de ontrôle de référene, aire de la zone de béton éventuellement tendu, A t aire de la zone de béton tendu avant la formation de la première B t fissure, valeur représentative d une ation aidentelle, A d F A A Ed A k A load AN valeur représentative d une ation sismique, aire du ontour traé à mi-épaisseur des parois d une setion reuse, aire hargée, axe neutre axe des déformations (ou des ontraintes) nulles, F A Ω AN

22 8 A s aire totale des armatures longitudinales tendues, setion des barres longitudinales situées dans le talon d une poutre à talon, setion d un ours d armatures de liaison (jontion hourdisnervure), aiers inférieurs d une dalle, setion omplémentaire d armatures longitudinales néessaire pour la torsion, setion minimale d armatures dans la zone tendue pour la maîtrise de la fissuration, setion d armatures effetivement prévue, A sf A + A A s, inf A sl A s, min A s, prov A s A l A min i A s, req A s, sup setion d armatures requise par le alul, aiers supérieurs d une dalle, A s, surf A sw A swr A sl setion des armatures de peau, setion d une nappe d armatures d âme, aire d un ours d armatures de poinçonnement sur un périmètre autour d une aire hargée, setion d une nappe de barres relevées, aire d une armature longitudinale, aire totale des armatures longitudinales tendues, A t A r A A s A s setion des barres longitudinales situées dans une saillie de table, aire totale des armatures longitudinales omprimées, A A A s, ink Setion totale d armatures de répartition d une onsole ourte : A r horizontales, ou vertiales, A tv armatures supérieures tendues d une onsole ourte, A A s, main E d module d élastiité de alul du béton, E, eff module d élastiité effetif tangent du béton, E vj E m module de déformation instantanée du béton, E bi E s F F Ed module d élastiité de l aier, résultante des efforts de ompression dans le béton, effort vertial ultime (onsoles ourtes), E s F b V u

23 Notations et symboles 9 F Ed, sup F s F s F s G kj, sup G kj, inf réation d appui, résultante des efforts dans la zone omprimée d une setion, résultante des efforts dans les armatures tendues, résultante des efforts dans les aiers omprimés, valeur aratéristique de l ation permanente défavorable, valeur aratéristique de l ation permanente favorable, F bs F s F s G max G min H Ed I f I h effort horizontal ultime (onsoles ourtes), moment d inertie de la setion droite fissurée (setion homogène réduite), moment d inertie de la setion droite non fissurée (setion homogène non réduite), moment de fissuration, I M r H u M f M lu M r M Tser M Tu M Ed moment limite ultime, moment résistant béton, moment fléhissant de servie de référene pour le alul des setions en T, moment fléhissant ultime de référene pour le alul des setions en T, moment fléhissant ultime, M lu M rb M Tser M Tu M u M 0e moment du premier ordre équivalent, moment du premier ordre (à l ELU) tenant ompte des M 0Ed imperfetions géométriques, M OEqp N B N Ed Q k, i Q k, moment de servie du premier ordre sous la ombinaison d ations quasi permanente (ELS), harge de flambement évaluée sur la base de la méthode de la rigidité nominale, effort normal de ompression à l ELU, valeur aratéristique d une ation variable, valeur aratéristique des ations variables «d aompagnement», valeur aratéristique de l ation variable «dominante», N u Q i Q T Ed ouple de torsion, T u

24 0 T Rd, max V d V Ed V Rd, V Rd, max V Rd, s V td ouple maximal de torsion auquel peuvent résister les bielles de béton omprimées, omposante parallèle à V Rd, s de la fore de ompression dans la membrure omprimée d une poutre de hauteur variable, effort tranhant de alul à l ELU dû aux harges appliquées, effort tranhant résistant de alul d un élément sans armatures d effort tranhant, effort tranhant de alul maximal pouvant être supporté sans provoquer l érasement des bielles de béton omprimé, effort tranhant de alul pouvant être supporté par un élément ave armatures d effort tranhant travaillant à la limite d élastiité, omposante parallèle à V Rd, s de la fore de tration dans les armatures tendues d une poutre de hauteur variable. V u. Minusules romaines Notations EC Signifiation a distanes libres vertiale ou horizontale entre barres et/ou e paquets de barres, v, e a distane de la ligne d appliation de F Ed à la fae la plus prohe du poteau (onsoles ourtes), a a H distane de la fae supérieure du dispositif d appui à la ligne moyenne des armatures les plus prohes de la fae supérieure d une onsole ourte, b eff largeur partiipante de la table de ompression d une setion b en T, b t b w largeur moyenne de la zone tendue d une setion, largeur d une setion retangulaire, largeur de l âme d une setion en T, b 0 b 0 diamètre d un poteau, distane des barres longitudinales à la paroi la plus prohe (torsion), enrobage minimal, min Notations BAEL 9 h min, b min, dur enrobage minimal vis-à-vis des exigenes d adhérene, enrobage minimal vis-à-vis des onditions d environnement,

25 Notations et symboles nom d d g d f b f bd f d f k f m f td f tk, 005, f tk, 095, f tm f u f t f yd f yk f ywd enrobage nominal, distane du entre de gravité des armatures tendues à la fibre la plus omprimée d une setion droite, hauteur utile des armatures les plus prohes de la fae supérieure d une onsole ourte, grosseur maximale des granulats, distane du entre de gravité des aiers omprimés à la fibre de béton la plus omprimée, ontrainte d adhérene moyenne, ontrainte ultime d adhérene, ontrainte de ompression du béton orrespondant à la partie retiligne du diagramme parabole-retangle, résistane aratéristique à la ompression du béton à 8 jours, résistane moyenne à la ompression du béton à 8 jours, résistane de alul en tration du béton, résistane aratéristique à la ompression d ordre 0,05, résistane aratéristique à la ompression d ordre 0,95, résistane à la tration du béton à 8 jours, ontrainte uniforme de ompression du béton, résistane à la tration, résistane de alul des armatures (limite d élastiité), limite d élastiité des aiers, résistane de alul des armatures d âme (limite d élastiité), d g d τ s τ su f bu f 8 f t8 f bu f ed f e f etd f ywk limite d élastiité des aiers transversaux f et limite aratéristique d élastiité onventionnelle à 0, % f0, k d allongement rémanant de l aier, h hauteur totale d une setion, h h hauteur de la onsole au niveau de son enastrement dans le poteau, hauteur de la setion effetive de béton autour des armatures h, ef tendues pour le alul de l ouverture des fissures,

26 h f épaisseur de la table de ompression d une setion en T h 0 i rayon de giration d une setion droite (béton non fissuré), i l b longueur d anrage de référene, l bd longueur d anrage de alul, l b, eq longueur d anrage équivalente (anrages ourbes), l a l b, rqd l eff l n l 0 l 0 n r s longueur d anrage requise, portée utile (de alul) d une poutre, d une travée, portée entre nus d appuis, hauteur utile d un poteau (longueur de flambement), longueur de reouvrement, effort normal relatif, ourbure, espaement des ours d armatures d âme l l l f l r r s t s l t, espaement des armatures transversales d un poteau, s t ou s' t espaement maximal des armatures transversales d un, max poteau, s t, s tmax s l t s l, t espaement des armatures transversales d un poteau, s t s f s l, max s max s max, slabs s r espaement des armatures de outure, espaement longitudinal maximal des armatures d effort tranhant, espaement longitudinal maximal des armatures d effort tranhant ou des barres relevées dans une dalle, espaement des armatures de flexion d une dalle, espaement radial des ours d armatures de poinçonnement, s t s r, max s t s t, max espaement maximal des fissures, espaement tangentiel des ours d armatures de poinçonnement, espaement transversal maximal des armatures d effort tranhant,

27 Notations et symboles 3 s 0 s t t ef, i u u u * éartement initial des armatures d âme pour l appliation de la méthode Caquot, éartement de départ des armatures d âme pour l appliation de la méthode Caquot, profondeur d appui, épaisseur d un tube reux, épaisseur équivalente du tube reux assoié à une setion pleine, périmètre extérieur d une setion (torsion), périmètre du ontour de ontrôle de référene, périmètre du ontour de ontrôle de référene réduit, s t0 s t e u k périmètre de l aire, u A k v R v Rd ontrainte tangente pour l effort tranhant, Valeur de alul de la résistane au poinçonnement d un semelle sans armatures de poinçonnement, τ R valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une v Rd, dalle sans armatures de poinçonnement, valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une v Rd, s dalle ave armatures de poinçonnement, v Rd, max valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle, x hauteur de la zone omprimée d une setion droite fléhie, y x u x hauteur de l axe neutre à partir de la fibre la plus omprimée y à l ELU, u hauteur de l axe neutre à partir de la fibre la plus omprimée y à l ELS, v ontrainte tangente, t w k ouverture alulée des fissures, w max valeur limite de l ouverture alulée des fissures, z bras de levier des fores élastiques distane entre F s et F s, z z 0 distane du pied de la bielle à l axe horizontal des aiers supérieurs tendus (onsoles ourtes), z z z bras de levier de la résultante des ontraintes de ompression du béton par rapport aux aiers tendus à l ELU distane entre F et F s, bras de levier de la résultante des ontraintes de ompression du béton par rapport aux aiers tendus à l ELS distane entre F et F s. z b z b

28 4 3. Majusules ou minusules greques Notations Notations Signifiation EC BAEL 9 α inlinaison des armatures d âme sur la ligne moyenne, α α e oeffiient d équivalene, n α u α θ hauteur relative de l axe neutre à l ELU, oeffiient de dilatation thermique moyen du béton armé, a α θ α hauteur relative de l axe neutre à l ELS, α Δ dev Δ dur, add Δ dur, st Δ dur, γ ε ε () t ε m marge pour toléranes d exéution, rédution de l enrobage minimal dans le as de protetion supplémentaire, rédution de l enrobage minimal dans le as d aier inoxydable, marge de séurité sur l enrobage, raourissement de la fibre la plus omprimée d une setion, déformation unitaire de fluage, allongement unitaire moyen du béton sur, s r, max ε b ε s ε u ε u3 ε ε 3 ε sm ε yd ε s ou ε s déformation unitaire de retrait, raourissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme parabole-retangle, raourissement relatif maximal en flexion du béton dans le diagramme bi-linéaire, raourissement relatif maximal en ompression simple du béton orrespondant à la ontrainte f d dans le diagramme parabole-retangle, raourissement relatif maximal en ompression simple du béton orrespondant à la ontrainte f d dans le diagramme bi-linéaire, déformation moyenne de l armature de béton armé sous la ombinaison de harges onsidérée, allongement des aiers tendus lorsque leur ontrainte est égale à leur limite d élastiité, allongement des aiers tendus, ε sl ε s

29 Notations et symboles 5 ε s ε ud ϕ( t, t0 ) ϕ ef raourissement des aiers omprimés, allongement maximal relatif de l aier tendu dans le as du diagramme σ ε à palier inliné, oeffiient de fluage, oeffiient de fluage effetif, φ diamètre d une barre d aier, φ φ eq diamètre équivalent d un groupe de barres pour le alul de l ouverture des fissures, diamètre maximal des barres de faible diamètre, φ large ε s ϕ φ m diamètre du mandrin de intrage, D φ n γ γ s diamètre fitif équivalent d un paquet de barres, oeffiient de séurité affetant la résistane de alul du béton, oeffiient de séurité affetant la résistane de alul des aiers, γ b γ s λ hauteur relative de la zone de béton uniformément omprimée du diagramme retangulaire simplifié en flexion simple, 0,8 λ élanement, λ λ lim Elanement limite d une pièe omprimée, μ u μ lu μ r moment fléhissant ultime réduit, moment fléhissant limite ultime réduit, moment résistant béton réduit, μ bu μ lu μ rb ψ 0, i k, i. Q valeur de ombinaison d une ation variable, ψ 0,. Q ψ, i k, i. Q valeur fréquente d une ation variable, ψ,. Q ψ, i k, i ρ l. Q valeur quasi permanente d une ation variable, ψ,. Q pourentage d armatures longitudinales, pourentage d armatures dans la setion effetive de béton autour des armatures tendues :, ρ p, eff A, eff ρ w pourentage d armatures transversales, i i i i i i σ σ s ontrainte limite de ompression du béton à l ELS, ontrainte limite de tration de l aier à l ELS, σ b σ s

30 6 σ Rd, max σ s Contrainte maximale de ompression d une bielle de béton, valeur de la ontrainte dans une armature métallique, σ s τ t, i ontrainte tangente due à la torsion. τ u

31 Analyse struturale I. RAPPELS THÉORIQUES. Définition Le but de l analyse struturale est de déterminer soit la répartition des solliitations, soit elle des ontraintes, déformations et déplaements, pour l ensemble ou pour un élément d une struture. Lorsque l hypothèse d une distribution linéaire des déformations unitaires ne s applique plus, une analyse loale omplémentaire est à faire : à proximité des appuis ; au droit des points d appliation des harges onentrées ; aux nœuds entre poutres et poteaux ; dans les zones d anrage ; aux hangements de setion transversale. L analyse peut être basée sur un modèle de omportement 3 : élastique linéaire (solliitations proportionnelles aux ations) ; élastique linéaire ave redistribution limitée ; plastique (ave ou sans modélisation par bielles et tirants) ; non linéaire. Pour les ponts, des méthodes d analyse reonnues peuvent être utilisées pour les effets dépendants du temps 4 :. Modélisation des strutures Les éléments onstitutifs d une struture sont normalement lassés d après leur nature et leur fontion en 5 : poutres, poteaux, dalles, voiles, et.. EC 5.. ()P. EC 5.. () 3. EC 5.. (7) 4. EC 5.. (08) + annexe KK 5. EC 5.3

32 8. Éléments de strutures Dans le as des bâtiments, on applique les dispositions énumérées i-après 6... Poutre et poutre-loison l h Pour les poutres : 3.h Pour les poutres-loisons : < 3.h.. Poteaux et voiles 7 h A A l Pour les poteaux 7 : -- 3 et h < 4. b h Pour les voiles : -- < 3 ou h 4. b h COUPE AA b h (>b)..3 Dalles Définition 8 : h l x ( l y ) x y x 5.h l y 6. EC 5.3. (3) 7. EC 5.3. (7) 8. EC 5.3. (4)

33 Analyse struturale 9 Une dalle soumise en majeure partie à des harges uniformes porte dans un seul sens si 9 : La dalle est appuyée sur deux ôtés ave deux bords libres sensiblement parallèles. Sens de flexion l La dalle est appuyée sur son ontour lorsque : x y ---- < 0,5 ou Sens de flexion l x ( l y ) l y. Largeur partiipante des poutres en T Valable pour tous les états limites. La largeur partiipante de la table de ompression ( est-à-dire la partie de dalle assoiée à la nervure d une poutre pour onstituer une setion en T) est définie omme indiqué i-dessous. Dans les as ourants, la distane 0 entre points de moment nul est obtenue par 0 : l 0 0,85 / l 0 0,7 / l l 0 0,5 (l +l ) l 0 0,5 l +l 3 l l l 3 9. EC 5.3. (5) 0. EC ()

34 0 ave : -- 3 et < ---- pour deux travées onséutives, pour les onsoles. Largeur partiipante de la table de ompression des poutres en T (zone sur laquelle on peut admettre une distribution uniforme des ontraintes ) : b eff b eff b eff h f h b b b b b w b b eff ave : b eff, i Min b b + b eff, i w 0,.b i + 0,0. 0 Min 0,. 0 b i (5.7) (5.7a et 5.7b) Lorsqu une grande préision des aluls n est pas exigée (poutres ontinues des bâtiments par exemple), l analyse peut être faite en admettant une largeur de table b eff onstante sur toute la portée :.3 Portées utiles des poutres et dalles.3. Définitions Prinipes La portée utile (de alul) eff est donnée par 3 :. EC EC EC ()

35 Analyse struturale a l n a eff n + a + a l eff (5.8) ave : n portée entre nus d appuis, t profondeur de l appui, a et a distanes définies i-dessous : h h a i ln a i ln t t l eff Éléments isostatiques ai Min t ; h Éléments ontinus ai Min t ; h l eff Axe de l'appareil d'appui h t h a i l n a i l n t l eff Appuis onsidérés omme enastrements parfaits ai Min t ; h Cas d appareils d appui l eff

36 h a i l n t l eff Extrémité en porte-à-faux ai Min t ; h Ces dispositions s appliquent aussi bien aux bâtiments qu aux ponts..3. Portées à prendre en ompte dans les aluls Le alul des solliitations est effetué sur la base des portées utiles. Les solliitations aux nus d appui sont déduites des préédentes : pour les vérifiations à l effort tranhant (sauf dans le as de transmission direte des harges aux appuis lorsque les harges permanentes sont prédominantes où l effort tranhant est alulé dans la setion à la distane d du nu d appui omme nous l avons vu au.3., hapitre 8 : «Effort tranhant», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) ; pour le moment sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir.5). Le alul des solliitations est effetué sur la base des portées entre nus d appuis : par simplifiation de alul pour les travées isostatiques (absene des termes hyperstatiques ΔM/ eff ) ; pour les moments d enastrement parfaits sur appuis lors des vérifiations sur appui des poutres solidaires des appuis qui les supportent (voir.5)..4 Imperfetions géométriques Il faut tenir ompte des inertitudes sur la mise en œuvre et sur la position du point de passage de la fore extérieure. Les imperfetions géométriques ne sont à prendre en ompte qu à l ELU dans les situations de projet durables et dans les situations de projet aidentelles EC 5. ()P & (3)

37 Analyse struturale 3 Elles onernent 5 : les éléments soumis à une ompression axiale ; les strutures soumises à des harges vertiales (bâtiments). Pour les bâtiments, les imperfetions sont représentées par une inlinaison globale d un angle θ défini par 6 i : θ θ 0. α. α (5.) i h m ave : θ 0 valeur de base reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale 00 française 7, α h oeffiient de rédution relatif à la longueur ou à la hauteur, où : α h 3 longueur ou hauteur du bâtiment ou de l étage (voir.4. et.4.) en mètres, α m 05, + m oeffiient de rédution relatif au nombre d éléments, où : m nombre d éléments vertiaux ontribuant à l effet total. La définition de et de m dépend de l effet onsidéré 8. Effet sur un élément isolé (voir.4.) : longueur réelle de l élément, m. Effet sur un système de ontreventement (voir.4.) : hauteur du bâtiment, m nombre d éléments vertiaux transmettant la fore horizontale appliquée au système de ontreventement. Effet sur les planhers de ontreventement ou les diaphragmes des toitures (voir.4.) : hauteur de l étage, m nombre d éléments vertiaux dans l étage transmettant la fore horizontale totale appliquée au planher. 5. EC 5. (4) 6. EC 5. (5) 7. EC voir AN 8. EC 5. (6)

38 4 Pour les ponts, les imperfetions sont représentées par une inlinaison globale d un angle θ défini par 9 i : θ θ 0. α (5.0) i ave : h θ 0 valeur de base reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale 00 française 0, α h Min oeffiient de rédution relatif à la longueur ou à la hauteur, longueur ou hauteur en mètres..4. Cas des éléments isolés et des ponts Il s agit d éléments effetivement isolés ou d éléments d une struture pouvant être traités omme tels pour les besoins du alul. Ces éléments sont onsidérés omme : ontreventés, lorsqu ils ne ontribuent pas à la stabilité horizontale d ensemble de la struture à laquelle ils appartiennent ; non ontreventés, dans le as ontraire. On a le hoix entre les deux méthodes i-dessous (qui onduisent au même moment extrême dans l élément ) : ajout d une exentriité additionnelle à l exentriité e (du premier ordre) de la fore extérieure : e i θ 0 i ---- (5.) où 0 longueur effiae (de flambement) de l élément (voir., hapitre 6 : «Compression entrée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). ou remplaement de l inlinaison par une fore transversale dans la position onduisant au moment maximal : H θ. N : éléments non ontreventés, (5.3a) i i H i. θ. N i : éléments ontreventés, (5.3b) 9. EC 5. (05) 0. EC voir AN. EC EC 5. (7)

39 Analyse struturale 5 où N effort normal. e i N N e i N N H i ou l l / 0 ou H i l l 0 i En pied : M N.e i N.θ 0 i ---- ou M H 0 i ---- N.θ 0 i ---- Élément isolé non ontreventé À mi-travée : M N.e i N.θ 0 i ---- ou M H i N.θ 0 i ---- Élément isolé ontreventé Remarque Une solution alternative simplifiée, appliable aux voiles et aux poteaux isolés dans les strutures ontreventées onsiste à prendre 3 : α h m α m 0, θ i e 00 i e 0 i Cette simplifiation ne s applique pas aux ponts. Pour les ponts en ar, il onvient d établir la forme des imperfetions dans les plans horizontal et vertial à partir de la déformée du premier mode de flambement horizontal et vertial respetivement. Chaque déformée modale peut être représentée par un profil sinusoïdal. Il onvient de prendre l amplitude égale à a θ, où l est la demi-longueur d onde 4 i EC 5. (9) 4. EC 5. (06)

40 6.4. Cas des strutures On remplae l inlinaison globale par une fore transversale égale aux omposantes horizontales des efforts normaux dans les éléments inlinés 5 : H θ N N H H i i b a i θ i ( ) N θ. N b i i a + N a θ i : système de ontreventement, (5.4) : planher de ontreventement, (5.5) : diaphragme de toiture. (5.6) N a H i N a H i N b l l θ i / H i N a l H i θ i H i θ i l θ i / N b N a Système de ontreventement Planher de ontreventement Diaphragme de toiture Remarque Pour les figures i-dessus : H représente la réation de la struture s opposant à l inlinaison, N a et N b sont les fores ation poteau sur nœud. θ i.5 Moments sur appuis Vérifiations Dans ertaines onfigurations d appuis, une poutre (ou une dalle) ontinue peut être onsidérée omme simplement posée sur ses appuis. Dans e as, pour ne pas réer de gêne à la rotation, il faut «érêter» la ourbe des moments sur appuis, traée en onsidérant les portées entre axes des éléments, de la quantité 6 : 5. EC 5. (8) 6. EC (4)

41 Analyse struturale 7 ΔM Ed FEd t,sup. 4 ΔM Ed F t Ed, sup 8 -- ave : F Ed, sup réation d appui, t profondeur de l appui ou largeur de l appareil d appui, M Ed moment alulé à partir des portées entre axes des appuis. C est le as, par exemple, des poutres reposant : sur des voiles ; sur des poteaux métalliques ou en bois ; sur des appareils d appuis. ΔM Ed F Ed, sup t 4 t Dans le as où la poutre (ou la dalle) est solidaire des poteaux (ou murs) qui la supportent, le moment ritique de alul peut être pris égal au moment du nu d appui sans que la valeur retenue puisse être inférieure à 65 % du moment d enastrement parfait de la même poutre (de portée n entre nus d appuis 7 ). 3. Méthodes de alul Toutes les méthodes d analyse doivent satisfaire les onditions d équilibre e qui, normalement, est à vérifier pour la struture non déformée (premier ordre). Si les onditions de ompatibilité ne sont pas vérifiées diretement pour les états limites onsidérés, il onvient de prendre des mesures pour que : à l état limite ultime, l ouvrage ait une apaité de déformation suffisante ; dans les onditions de servie, son omportement soit satisfaisant. 7. EC (3)

42 8 3. Types d analyse struturale 3.. Analyse vis-à-vis des états limites de servie L analyse est normalement faite sur la base de l élastiité linéaire, en prenant en ompte la rigidité initiale, orrespondant à la setion non fissurée 8. Si la fissuration a un effet défavorable, elle doit être prise en ompte. On peut aussi avoir reours à l analyse non linéaire (voir 3.5). 3.. Analyse vis-à-vis de l état limite ultime Dans e as, l analyse peut être 9 : élastique linéaire sans redistribution ; élastique linéaire ave redistribution limitée ; plastique (ave ou sans modélisation par bielles et tirants) ; non linéaire. Pour l appliation de la théorie élastique et linéaire, auune mesure spéifique n est à prendre pour assurer une dutilité onvenable, sauf elle d éviter les pourentages élevés. Bien entendu, si l on effetue une redistribution des moments, il onvient de s assurer que les setions ritiques ont une apaité de rotation suffisante pour permettre la redistribution (angles des portiques préontraints par exemple 30 ). Dans l analyse non linéaire, on tient ompte du omportement non linéaire des setions en béton armé ou en béton préontraint (ne pas onfondre ave l analyse au seond ordre qui tient ompte du omportement non linéaire dû à la déformation des éléments eux-mêmes). On ne peut reourir à l analyse plastique que pour des éléments très dutiles, armés d aiers eux-mêmes de haute dutilité Analyse élastique linéaire Le alul des éléments aux états limites de servie omme aux états limites ultimes peut être effetué selon une analyse linéaire basée sur la théorie de l élastiité EC 5.4 () 9. EC 5.. (7) 30. EC 5.5 (5) 3. EC 5.6. ()P 3. EC 5.4 ()

43 Analyse struturale 9 L analyse linéaire peut être utilisée pour la détermination des solliitations, moyennant les hypothèses suivantes 33 : / setions non fissurées ; / relations ontraintes-déformations linéaires ; 3/ et valeurs moyennes du module d élastiité. Pour les effets des déformations d origine thermique, des tassements et du retrait à l état limite ultime (ELU), on peut admettre une rigidité réduite, orrespondant aux setions fissurées, en négligeant la partiipation du béton tendu mais en inluant les effets du fluage 34. Pour l état limite de servie (ELS), il onvient de onsidérer une évolution graduelle de la fissuration Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Pour les aluls à l état limite ultime, les moments de flexion déterminés par une analyse linéaire élastique peuvent être redistribués, est-à-dire que les moments dans les setions les plus solliitées (sur appuis) sont alors multipliés par un oeffiient réduteur δ, les moments dans les autres setions étant augmentés en onséquene pour assurer l équilibre 36. i i+ Pour les dalles et les poutres ontinues telles que 0, , un ontrôle de la apaité de rotation des setions ritiques n est pas néessaire si 37 : δ M red vérifie les valeurs reommandées et à utiliser pour l Annexe nationale Mal française : 0, 004 δ 0, 44 +, , ε u x u d si f k 50 MPa, AN x u 0, 004 δ 0, 54 +, , ε u x u d si f k > 50 MPa, A s d 33. EC 5.4 () 34. EC 5.4 (3) 35. EC 5.4 (3) 36. EC 5.5 (3) 37. EC 5.5 (4) + (04)

44 30 ave : δ /< 07, pour des aiers de lasse B ou C ( haute ou très haute dutilité), 0, 8pour des aiers de lasse A (dutilité normale). x u d hauteur de l axe neutre à l ELU dans la setion ritique après redistribution, hauteur utile dans la setion ritique. Remarque Pour les ponts, les aiers de lasse de dutilité A ne sont pas reommandés (voir.3., hapitre : «Matériaux», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). Toutes les onséquenes de la redistribution supposée et de la dispersion possible doivent être prises en ompte dans le alul, à toutes les étapes de la vérifiation : effort tranhant ; anrages et arrêt des barres ; fissuration. En partiulier, les longueurs des armatures doivent être suffisantes pour qu auune autre setion ne devienne ritique. Aux nus d appuis d une poutre ou d une dalle formant un ensemble monolithique ave ses appuis, le moment pris en ompte doit être au moins égal à 65 % du moment d enastrement parfait 38. Pour le alul des poteaux (moments et réations d appuis), il n y a pas lieu de tenir ompte de la redistribution des moments 39. Il onvient de ne pas effetuer de redistribution pour les ponts ourbes ou biais par exemple Analyse plastique L analyse plastique n est utilisée qu à l ELU 4. Pour les ponts, e type d analyse n est à utiliser que si les autorités nationales le permettent. L analyse plastique est basée 4 : soit sur le théorème de la borne inférieure (méthode statique) : méthode des bandes pour les dalles ; 38. EC (3) 39. EC 5.5.(6) 40. EC 5.5.(05) 4. EC 5.6. ()P + (0)P 4. EC 5.6. (3) P

45 Analyse struturale 3 méthode des bielles et tirants pour les poutres-loisons, onsoles ourtes, anrages et voiles hargés dans leur plan ; soit sur le théorème de la borne supérieure (méthode inématique) : rotules plastiques pour les poutres, portiques et dalles portant dans un seul sens ; théorie des lignes de rupture pour les dalles. Les effets des hargements antérieurs peuvent généralement être négligés et on peut admettre une roissane monotone de l intensité des ations Dispense de la vérifiation de la apaité de rotation La dutilité des setions ritiques est suffisante, sans vérifiation expliite de la apaité de rotation, si 44 : l aire de la setion des armatures tendues est telle que, dans toute setion : xu α u 05, pour des bétons de lasse inférieure ou égale à C50/60 (0,5 d pour les ponts en dehors des dalles pleines), xu α u 05, pour des bétons de lasse supérieure à C50/60 (0,0 pour les d ponts en dehors des dalles pleines) ; seuls les aiers à haute ou très haute dutilité (lasses B ou C) sont utilisés (vérifiation de la apaité de rotation non néessaire) ; les moments sur appuis intermédiaires et en travée doivent vérifier : Ma 05, M t 3.4. Vérifiation de la apaité de rotation Pour les poutres et les dalles ontinues portant dans un seul sens 45 : dans la région des rotules plastiques, il faut vérifier : xu α u 045, pour des bétons de lasse inférieure ou égale à C50/60 (0,30 d pour les ponts), 43. EC 5.6. (4) 44. EC 5.6. () + (0)P 45. EC (0)P

46 3 xu α u 035, d ponts) ; pour des bétons de lasse supérieure à C50/60 (0,3 pour les θ s la rotation plastique alulée sous l ation onsidérée est mesurée sur une longueur,.h et doit vérifier : θ s kλ. θ, ave : pl d λ élanement vis-à-vis de l effort tranhant ( est-à-dire distane entre le point de moment nul et le point de moment maximal après redistribution rapportée à la hauteur utile d), 0,6.h 0,6.h θ s h k λ λ oeffiient multipliateur 3 à prendre en ompte lorsque λ 3, (5.N) h hauteur de l élément, θ pl, d θ pl,d (m rad ) 35 rotation plastique admissible tirée du tableau i-dessous (valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 46 ) : 30 5 C 50/60 0 C 90/ C 50/ C 90/05 0,05 0,0 0,5 0,0 0,5 0,30 0,35 0,40 0,45 (Xu/d) Classe C Classe B Rotation plastique admissible θ pl, d pour λ 3 Pour les lasses intermédiaires de béton omprises entre C50/60 et C 90/05, on opère par interpolation linéaire. 46. EC voir AN

47 Analyse struturale 33 Remarque Par simplifiation, on peut prendre pour les valeurs onomitantes de et de : M Sd V Sd λ M Sd (5.N) V Sd.d Analyse par la méthode ave bielles et tirants Cette méthode est utilisée pour 47 : le dimensionnement à l ELU des régions sans disontinuité dans lesquelles les setions droites restent planes (soit au-delà d une distane à la disontinuité supérieure à la hauteur h de l élément) ; le dimensionnement et les dispositions onstrutives des régions présentant des disontinuités (nœuds des portiques par exemple). La méthode est basée sur la modélisation 48 : par des bielles représentant les zones où transitent les ontraintes de ompression ; par des tirants qui représentent les armatures tendues ; et par les nœuds qui assurent leurs liaisons. Les modèles bielles-tirants peuvent être définis 49 : à partir des isostatiques des ontraintes et des répartitions de ontraintes obtenues par la théorie de l élastiité linéaire ; ou en partant du heminement des harges. F Bielle Tirant F sd Hsd F t F F h l F 0 F F sd F t F/ l F/ Massif d'appui Console ourte 47. EC () 48. EC (3) 49. EC (5)

48 Analyse non linéaire Méthodes utilisées aussi bien à l ELU qu à l ELS, en admettant un omportement non linéaire adapté pour les matériaux. L analyse peut être du premier ou du seond ordre 50. À l état limite ultime, il onvient de vérifier, pour les setions ritiques loalisées, leur apaité à résister à toutes les déformations inélastiques résultant de l analyse, en tenant onvenablement ompte des inertitudes 5. Pour des strutures prinipalement soumises à des harges statiques 5 : les effets des hargements antérieurs peuvent généralement être négligés ; et on peut admettre une roissane monotone de l intensité des ations. Pour les strutures élanées des bâtiments, dans lesquelles les effets du seond ordre ne peuvent être négligés, il est possible d utiliser une méthode générale de alul inluant la non-linéarité géométrique 53 (voir la méthode de l équilibre ou des déformations internes au 4, hapitre : «Instabilité de forme Flambement»). Pour les ponts, l analyse non linéaire peut être utilisée à ondition 54 : que le modèle puisse ouvrir de manière appropriée tous les modes de ruine (flexion, effort normal, isaillement, ruine par ompression influenée par la rédution de la résistane effetive du béton, et.) ; et que la résistane en tration du béton ne soit pas utilisée dans le shéma prinipal de résistane. En as d insuffisane de l analyse pour vérifier tous les méanismes de ruine, il onvient d effetuer des analyses omplémentaires séparées. 4. Analyse struturale des poutres et des portiques Toutes les méthodes énumérées au 3 peuvent être utilisées. 4. Analyse élastique et linéaire Voir EC 5.7 () 5. EC 5.7 () 5. EC 5.7 (3) 53. EC (5) ()P 54. EC 5.7 (05)

49 Analyse struturale 35 Hormis les programmes de alul sur ordinateurs, e type d analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la résistane des matériaux : théorème des trois moments ; méthode des fores (formule de Bertrand de Fontviolant) ; méthode des déplaements (méthode des rotations ou méthode de relaxation de Hardy-Cross pour les ossatures et portiques) ; et. 4. Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Voir Analyse plastique Voir 3.4. Hormis les programmes de alul sur ordinateurs, e type d analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la théorie de la plastiité (résistane des matériaux) : théorème de la borne inférieure ; théorème de la borne supérieure ; méthode des lignes de rupture pour les dalles (méthode de Haas Jaobsen) ; et. 4.4 Analyse non linéaire Voir Dispositions onstrutives Aiers en hapeau Les armatures équilibrant les moments négatifs sur appuis sont dites «armatures en hapeau» ou plus simplement «hapeaux» Chapeaux sur appuis de rive Lorsqu une poutre forme une onstrution monolithique ave ses appuis (y ompris lorsque, dans le alul, on a adopté un appui simple), il faut disposer sur eux-i des aiers supérieurs alulés pour équilibrer un moment 55 : 55. EC 9... ()

50 36 A s M t M ave : M t β. M t moment maximal en travée, β 05, : valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 56 ). Il faut, de plus, vérifier que As As, min donné au 7, hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles Chapeaux sur appuis intermédiaires 57 Répartition des aiers tendus sur appui intermédiaire sur la largeur partiipante b eff pour les setions en T. Une partie de es armatures peut être onentrée au droit de l âme 57 : b eff b eff A s h f b w 5. Analyse struturale des dalles Toutes les méthodes énumérées au 3 peuvent être utilisées. 56. EC voir AN 57. EC 9... ()

51 Analyse struturale Analyse élastique et linéaire Voir 3.. Les aluls manuels ne sont possibles que pour : les dalles retangulaires isolées portant dans un seul sens (---- < 0,5) ; les dalles retangulaires ontinues dans le sens parallèle à leur petit ôté et portant dans un seul sens (---- x < 0,5) ; y les dalles retangulaires isolées portant dans un ou deux sens, soumises à des harges onentrées. Dans e as, pour des harges uniformément réparties, la dalle est déoupée en bandes de largeur unité fléhissant dans le sens x et l on peut utiliser les méthodes usuelles de la résistane des matériaux : alul en travée isostatique pour un panneau de dalle isolé ; utilisation du théorème des trois moments pour les dalles ontinues ; et. Pour des harges onentrées appliquées sur des panneaux isolés, la dalle est déoupée en bandes de largeur unité fléhissant dans haque sens et l on peut utiliser les abaques de l inspeteur général Pigeaud, par exemple. x y 5. Analyse linéaire ave redistribution limitée des moments Voir Analyse plastique Voir 3.4. Hormis les programmes de alul sur ordinateur, e type d analyse peut être réalisé à partir des méthodes usuelles de la théorie de la plastiité (résistane des matériaux) : méthode des lignes de rupture pour les dalles isolées ou ontinues et de forme quelonque (méthode de Haas Jaobsen) ; et.

52 Analyse non linéaire Voir Dispositions onstrutives 5.5. Armatures de flexion Setion minimale d armatures Pour les armatures disposées suivant la diretion prinipale ( est-a-dire parallèles au petit ôté), il faut vérifier les limites suivantes reommandées et à utiliser par l Annexe nationale française 58 : ft, eff 06, bt. d A A f s s, min Max yk. (9.N) 0, 003. bt. d ave 59 : f t, eff f f tm tm, fl : si la maîtrise de la fissuration est requise, h, f Max ftm tm : dans les autres as, (3.3) h hauteur de la setion droite en mm, b t largeur moyenne de la zone tendue,00 m si l on raisonne par bandes de dalle de largeur unité. En dehors des zones de reouvrement, il faut vérifier 60 : 6 AN A s AN A s et A s 0,04.A valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 6. A aire de la setion transversale de béton. A s Lorsque la maîtrise de la fissuration est requise, la setion effetive des armatures longitudinales de tration ne doit pas être inférieure à la setion 58. EC () 59. EC 7. () 60. EC 9... (3) 6. EC voir AN

53 Analyse struturale 39 néessaire au ontrôle de la fissuration (voir 3., hapitre 3 : «État limite de servie de maîtrise de la fissuration 6») Armatures transversales Dans les dalles portant dans un seul sens, il y a lieu de prévoir une setion d armatures transversales au moins égale à 0 % de la setion des armatures longitudinales 63. Au voisinage des appuis, des armatures transversales aux barres prinipales supérieures ne sont pas néessaires lorsqu il n existe auun moment fléhissant transversal Espaements maximaux Dans la suite, nous désignerons par 65 : h épaisseur de la dalle, x ( y ) sens prinipal de flexion de la dalle, y ( x ) sens seondaire de flexion de la dalle. a) Cas des zones solliitées par des harges onentrées et des zones de moment maximal : s s max, slabs, x max, slabs, y b) Autres as : s s max, slabs, x max, slabs, y. h, Min : armatures dans le sens l x, 5 m. 3. h, Min : armatures dans le sens l y. 40 m. 3. h, Min : armatures dans le sens l x, 40m. 35,. h, Min : armatures dans le sens l y. 45 m Arrêts des barres Le déalage de la ourbe des moments est pris égal à 66 : 6. EC 9... () 63. EC () 64. EC () 65. EC (3) 66. EC (4)

54 40 a l d Dans les dalles sur appuis simples, la moitié de la setion d aiers en travée est prolongée et anrée sur appuis 67. Aiers inférieurs sur appuis de rive 68 : voir 9., hapitre 8 : «Effort tranhant», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles. Aiers inférieurs sur appuis intermédiaires 69 : voir 9.3, hapitre 8 : «Effort tranhant», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles Aiers supérieurs sur appuis Lorsqu une dalle présente un enastrement partiel non pris en ompte dans le alul sur une ligne d appuis, il faut disposer sur eux-i des aiers supérieurs alulés pour équilibrer un moment 70 : A s M t M β. M t ave : moment maximal en travée, M t 05, : appui intermédiaire, β : valeur reommandée et à utiliser pour 05, : appui d'extrémité, l Annexe nationale française 7. Les armatures orrespondantes doivent : se prolonger, à partir du nu d appui sur une longueur au moins égale à 0, fois la portée de la travée adjaente ; être ontinues au droit des appuis intermédiaires ; 67. EC () 68. EC (4) EC (4) 70. EC () 7. EC voir AN

55 Analyse struturale 4 anrées aux appuis de rive Armatures de bords libres Le long d un bord libre, il onvient de prévoir des armatures de rive partiulières 7 : h.h Les armatures ourantes peuvent jouer le rôle d armatures de rive Armatures d effort tranhant Les armatures d effort tranhant ne peuvent être disposées que dans des dalles telles que 73 : h 00 mm, les armatures d effort tranhant peuvent être entiè- Lorsque VEd 3. V rement onstituées 74 : Rd,max de barres relevées ; ou de adres, étriers ou épingles. L espaement longitudinal maximal vaut 75 : pour les adres, étriers ou épingles : smax 075,. d + otgα ave : α inlinaison des armatures d effort tranhant, pour les barres relevées : s max d ( ) L espaement transversal maximal vaut 76 : st, max 5,. d (9.9) (9.0) 7. EC EC 9.3. () 74. EC 9.3. (3) 75. EC 9.3. (4) 76. EC 9.3. (5)

56 4 II. APPLICATIONS Appliation n : analyse d une poutre Énoné On onsidère la poutre à travées égales shématisée i-dessous reposant sur des voiles de 30 m d épaisseur : ÉLÉVATION q 45 kn/m A COUPE AA 0,50 m 0,30m 6,00 m A 0,30m 0,30 m Matériaux : béton : f k 5 MPa ; aiers : S 500 ave diagramme σ ε à palier horizontal et de lasse de dutilité B. Maîtrise de la fissuration non requise. Classe d exposition : XC. On se propose de traer le diagramme des moments fléhissants à l ELU résultant : / d une analyse linéaire sans redistribution ; / d une analyse linéaire ave redistribution ; 3/ d une analyse plastique.

57 Analyse struturale 43 Corrigé. Analyse linéaire sans redistribution. Portée utile de alul Poutre ontinue a Min ef n + a + a n +.a t h 030, 05, m a 05, m Min 050, 05, m eff 6,00 +.0,5 6,30 m. Moment fléhissant théorique sur appui g ϖ. bw. h g 5.0,3.0,5 3,75 kn/m pu 35,. g + 5,. q p u, 35. 3, 75 +, , 56 kn/m M Edth, a p eff u M Edth a, mkn,,.3 Érêtage de la ourbe des moments sur appui Réation d appui (poutre multi-travées) : F Ed, sup p u. eff p u. eff F Ed, sup 7, 56. 6, , 3 kn Rédution du moment sur appui : ΔM Ed t FEd,sup 8 ΔM Ed ,, 7, 4 mkn 8.4 Diagramme des moments à l ELU En utilisant l exposant «*» pour distinguer le moment «érêté» du moment résultant des aluls RdM : * MEd, a MEdth, a ΔMEd M Ed, a * 40 7, 4, 86 mkn M Ed, t p eff u M 4 Ed t, mkn 4,, * Ed Ed a Ed t M 0 M, + M, M Ed0, , 86 mkn

58 44 40,86 RdM orrigée RdM M Ed (mkn) M Ed 0 34,86 l eff 3,5 m 0.5 Remarque Si l on onsidère que la poutre forme un ensemble monolithique ave ses appuis (e qui n est pas le as ii), il faut faire la vérifiation i-dessous. Moment au nu d appui : M M p a Ed Edth, a u M Ed ,, 39,8 mkn Moment d enastrement parfait pour la travée de portée l n : M Ed, en p n, u M Ed, en 7, ,68 mkn Vérifiation : M Ed.6 Remarque >< 065,. M, M Ed Ed en 39, 8 mkn > 4, 49 mkn 0, 65. 7, 68 0, 65. MEd, en O.K. En onsidérant la portée entre nus d appuis : M Ed p n u ---- MEd ,, 36, 5 mkn M 8 8 Ed0 à 5 % près.. Analyse linéaire ave redistribution. Caratéristiques des matériaux f d α fk f 5 6, 7 MPa γ d 5,

59 Analyse struturale 45 f yd fyk f MPa γ yd 5, s. Coeffiient réduteur du moment sur appui i >< Travées de portées égales 0,5 < < O.K. i+ f k >< 50 MPa δ en posant : α u xu d, f k i i+ 0, 004 xu 5 MPa δ 0, 44 +, 5 + 0, 6 ε. d u f k >< 50 MPa λ, η f k 5 MPa < 50 MPa λ 08, η f u η. f f u. 6, 7 6, 7 MPa d M Edth, a μ u, th bw. d. fu ave M Edth, a moment sur appui : 0, 40 μ u, th 0, 37 0, 30. 0, 45. 6, 7 on obtient à l ELU sous l effet du moment «redistribué» 77 M' δ. M : Ed, a Edth, a μ μ,. δ, u u th α u -- [.δ.μ, λ u, th ] d où : 0, 004 x δ 044, + 5, + 06, u 0, 004 ε 044, +, 5 0, , 5,. d 350,. αu + α u u 77. Pour différenier les solliitations (M, V) résultant de la redistribution limitée des moments des autres solliitations, nous leur adjoignons une apostrophe (M, V ).

60 46 δ , δμ 4.., 6 [ δ 044, ]. δμ., 5 u th u th δ 0,44 5 δ δ.μ u, th et en supprimant le radial (en remarquant que δ < 0) : 6 5 δ 4. δ + 4. δμ., u th d où l inéquation du seond degré en δ : δ 5 4.δ , δ.μ 6 u, th ( u, th ) + δ 4,. μ δ, 56 0 ( μ u, th ) Δ ' 4,. 56, ( u, th ) ± ( u, th ) δ,. μ 4,. μ, 56, 0 δ (,. 0, 37) ± 4(,. 0, 37), 56 0, 743 Le trinôme étant du signe du oeffiient multipliateur de δ en dehors des raines, il est négatif si δ [ 0, 743, 0]. 0,7 pour aiers de lasse B ou C, Prenons δ 0,76 > 0,743 M' Ed, a δ. MEdth, a M' Ed, a 0, mkn μ u M' Ed, a 0, 8 μ u 0, 79 b. d. f 0, 30. 0, 45. 6, 7 w u

61 Analyse struturale 47 α u μu λ. αu. 0, , 48, On vérifie que : f k xu 5 MPa < 50 MPa δ + lim 0, 44, 5 d 0, ,.α u δ lim 0, 44 +, 5. 0, 48 0, 75 δ >< δ lim δ 076, > 075, δlim O.K..3 Diagramme des moments à l ELU Moment élastique théorique redistribué sur appui : M' Ed, a δ. MEdth, a M' Ed, a 0, , 00 8, 00 mkn Moment élastique redistribué réduit : '* MEd, a M' Ed, a ΔMEd M Ed, a et omme le moment sur appui est négatif, nous obtenons à mi-travée : '* '* '* '* 8, 00 7, 4 64, 86 mkn MEd, t MEd, a + MEd0 M Ed, t 64, , 86 78, 00 mkn MEdth, a 40,00 M* Ed, a M'* Ed, a M Ed 0 34,86,86 64,86 RdM sans redistribution RdM ave redistribution MEd (mkn) M Ed 0 34,86 M'* Ed, t M Ed, t 0,00 78,00 l eff 3,5 m

62 48.4 Remarque Si l on onsidère que la poutre forme un ensemble monolithique ave ses appuis (e qui n est pas le as ii), il faut faire la vérifiation i-dessous. Moment au nu d appui : M M p a Ed ' Ed, a u M Ed ,, 8,8 mkn Moment d enastrement parfait pour la travée de portée l n : M Ed, en p n u M Ed en Vérifiation : M Ed >< 065,. M, M Ed Ed en, 7,68 mkn (voir.5) 8, 8 mkn > 4, 49 mkn 0, 65. 7, 68 0, 65. MEd, en O.K. 3. Analyse plastique 3. Introdution Moments à prendre en ompte Aiers Moments fléhissants : Ma 05, M t S500 lasse B à haute dutilité O.K. M Ed, a M Ed, t M Ed0 Prenons 0,5. M Ed, a 0, 5. 34, 86 7, 43 mkn MEdt MEda 7, 43 mkn 3. Armatures alulées sur appui μ u M 3 Ed, a 7, μ u 0, 69 b. d. f 0, 30. 0, 45. 6, 7 w u fk 5 MPa S 500 XC μ u >< μ lu MEd γ : μlu μls 0,377 M ser μ u 0,69 < 0,377 μ u A s

63 Analyse struturale 49 α z A u μu λ. αu. 0, , 33, λ d u α z 045, 08, 0, 33 0, 408 m s, u MEd, a 0, 743 A s, u 0 9, 66 m z. f 0, yd Setion minimale d armatures f 50 MPa f 0, 3 f ftm 0, 3[ 5], 56 MPa [ ] k tm k 3 3 Maîtrisedela fissuration non requise h f f t, eff f tm fl 6,, Max 000 ftm tm A s, min f t, eff, ft, eff, bt. d Max 06 fyk 0, 003. bt. d 500,,, 8 6 MPa Max MPa f tm 56, MPa, 06, , 98 m A s, min 98, m Max 500 0, , 76 m As >< As, min As 966, m > 98, m As, min A s et A s >< 0,04.A A s 966, m < 540, m ,.. O.K. 3.4 Dispense de la vérifiation de la rotation des rotules plastiques α u xu >< 05, si f k 50 MPa α u 0, 33 < 0, 5 O.K. d Aiers de lasse B ou C S 500 B O.K.

64 50 Ma 05, M t M M Ed, a Ed, t O.K. Dispense de la vérifiation de la rotation des rotules plastiques. 3.5 Diagramme des moments à l ELU M Ed 0 34,86 40,00,86 7,43 Analyse élastique linéaire M Ed (mkn) M Ed 0 34,86 Analyse plastique 0 7,43 l eff 3,5 m 3.6 Remarque Contraintes à l ELS dans la setion sur appui Sur la base des valeurs théoriques de et d trouvées i-dessus. Es En adoptant un oeffiient d équivalene moyen : α e 5. E 3.6. Calul en setion non fissurée ( ) A s, u, eff A b. h+ α A + A A h , , 9 m w w e s s v ' bwh v h - v ( ) + α A. d+ A. d' e s s A h , v' 6, 76 m 644, 9 v 50-6,76 3,4 m I h 3 ( ) bw. h + αe As. d + As. d' Ahv' 3

65 Analyse struturale 5 MEd M plastique I h + 5., ,. 9 6, 76 3 du.4, le alul à l ELS n étant pas onduit par analyse Maîtrise de la fissuration non requise (pour la même ontrainte de tration du béton que elle utilisée pour la setion minimale d armatures) : 3 I h m pser g + q p ser 375, , kn/m * Ed, a M M p ser 48, 75 ser Ed M ser, 86 49, 73 mkn p 7, 56 σ t σ t M I ser h. v u 3 49, , 34 σ t 8 95, MPa >< f t, eff σ t 95, MPa > 8, MPa f t, eff Calul en setion fissurée Calul en setion fissurée bw. x e s e s + α. A. x α. A. d 0 5. x , 66. x 5. 9, x + 9, 66. x 434, 7 0 Δ 966, ,, x 6, 57 m I f bw. x + αe. As d x 3 ( ) , 57 I f + 5., 9 66( 45 6, 57) 6 63 m 3 K M ser I K 49, , 08 MN/m. σ f Kx. σ 9, 08. 6, , 3 MPa σ 3 k 4 5, 3 MPa 0, 6. f 0, MPa 3

66 5 ( ) d autant plus que la setion d aiers utilisée est la setion alulée et non la setion réelle (qui lui est supérieure). σs αe. K d x σ s 5. 9, 08( 45 6, 57) MPa σ s 393 MPa 0, 8. f 0, MPa yk Appliation n : analyse d une poutre ontinue Énoné On onsidère la dalle onstituée de deux panneaux ne portant que dans un seul sens, shématisée i-dessous : A 0,85 m 4,8 m 0,4 m B 0,0 m 3,8 m C 0,85 m 5,00 m 4,00 m Matériaux : béton : f k 0 MPa ; aiers : S 500 A, diagramme à palier horizontal. Charges : revêtements divers :, kn/m ; exploitation : 5,0 kn/m ; Classe d exposition : XC. On se propose : / de traer le diagramme des moments fléhissants à l ELU résultant d une analyse linéaire sans redistribution ; / de traer le diagramme des moments fléhissants à l ELU résultant d une analyse linéaire ave redistribution limitée des moments ; 3/ de aluler les armatures longitudinales sur appuis et en travée dans le as de l analyse linéaire ave redistribution limitée des moments ; 4/ de faire les vérifiations à l effort tranhant.

67 Analyse struturale 53 Corrigé. Introdution. Portées à prendre en ompte Appuis de rive : t a Min h Appui entral : Travée AB : eff n + a + a 0, 85 0, 095 m a 0, 095 m Min 00, 00, m t 04, 0, m a Min a 00, m Min h 00, 00, m eff 4,8 + 0, ,0 5,00 m Travée BC : eff n + a + a eff 3,8 + 0, ,0 4,00 m. Charges Permanentes : poids propre : 5 kn/m 3.0,0 5,0 kn/m revêtements :, kn/m Total : g 6, kn/m Exploitation : q 5,0 kn/m

68 54. Analyse linéaire sans redistribution. Rappels de RdM P P A x B x l l C Le théorème des trois moments appliqué à l appui B s érit : EI M p. 3 3 p 3EI B M 4EI 4EI B 3 3 p. + p ( + ) Les moments maximaux en travée s obtiennent de la façon suivante : pour la travée AB : V p ---- x M B M A x M A M B p. M p.x ( x ) x t M A ---- M x B M M A 0 t pour la travée BC : p.x ( x ) x M B ---- V p ---- x M C M B x M C M B p. M p.x ( x ) x t M B ---- M x C M C 0 p M.x ( x ) x t M B ----

69 Analyse struturale 55 Remarque Pour les as de harge faisant intervenir à la fois les harges permanentes et les harges variables, il n est pas possible d obtenir par superposition la position et la valeur des moments extrêmes en travée lorsque le hargement n est pas symétrique.. Moments sur appuis Les aluls sont onduits pour une bande de dalle de largeur unité portant sur les appuis A, B et C (sens de la petite portée)... Charges permanentes p p A x B x l l C p p g p p 6, kn/m M p p. 6500,., ,., B, g M 8( + ) B, g 8( 5, , 00) 3 3 6, 0 mkn/m.. Charge d exploitation totale p p A x B x l l C p p q p p 5,0 kn/m M p p ,., ,., B, q M 8( + ) B, q 8( 5, , 00) 3 3 3, mkn/m..3 Charge d exploitation sur la travée AB p A x B x l l C

70 56 p q ; p 0 p 5,0 kn/m ; p 0 M p p ,., B, qw M mkn/m 8( + ) B, qw, (, +, ) Charge d exploitation sur la travée BC p A x B x l l C p ; ; 5,0 kn/m 0 p q p 0 p M p p ,., B, qe M mkn/m 8( + ) B, qe, (, +, ) Superposition des as de harge.3. Travée AB g q p u 35,. + 5,. : travées hargées, 35,. g : travées non hargées, 356,., + 550,., 5735, kn/m : travées hargées, p u, 35. 6, 8, 35 kn/m : travées non hargées,

71 Analyse struturale 57 A A A Cas de harge,35.g +,5.q,35.g +,5.q x B x l l Cas,35.g +,5.q,35.g x B x l l Cas,35.g,35.g +,5.q x B x l l Cas 3 C C C M B p p. M x B ( + ) p. M p.x ( x ) x M t B ----,35.6,0,5.3, 4,9 mkn/m 5,00 x,975 m 5,735.,975 (5,00,975) M t ,9,975 30,69 mkn/m , ,735.5, ,00,35.6,0,5.8,68 34,63 mkn/m 5,00 x,060 m 5,735.,060 (5,00,060) M t ,63,060 33,38 mkn/m , ,735.5, ,00,35.6,0,5.4,44 8,7 mkn/m 5,00 x,83 m 8,35.,83 (5,00,83) M t ,7,83 3,54 mkn/m , ,35.5, ,00

72 58 A A A.3. Travée BC Cas de harge,35.g +,5.q,35.g +,5.q x B x l l Cas,35.g +,5.q,35.g x B x l l Cas,35.g +,5.q,35.g x B x l l Cas 3 C C C M B p p. M x ---- B p M.x ( x ) x t M 8 ( + ) p. B ,00 4,9 mkn/m x,656 m , ,735.4,00 M t 5,735.,656 (4,00,656) ,656 4, ,00 4, mkn/m 4,00 34,63 mkn/m x 3,05 m , ,35.4,00 M t 8,35.3,05 (4,00 3,05) ,05 34, ,00 3,7 mkn/m 4,00 8,7 mkn/m x,456 m , ,735.4,00 M t 5,735.,456 (4,00,456) ,456 8, ,00 8,9 mkn/m

73 Analyse struturale 59 D où le diagramme des moments fléhissants : : as : as : as 3-4,9-34,63-8,7 Ehelles : 0 mkn/m m A 3,54 30, B + 3,7 4, + + 8,9 C 33,38 l l 3. Analyse linéaire ave redistribution 3. Caratéristiques des matériaux f f d yd α fk f 0 3, 33 MPa γ d 5, fyk f MPa γ yd 5, s 3. Coeffiient réduteur du moment sur appui i i+ i i >< 0,5 < , ,5 < 4,00 O.K. f k >< 50 MPa en posant : δ f k 0, 004 xu 0 MPa δ 0, 44 +, 5 + 0, 6 ε. d u α u xu d,

74 60 f k >< 50 MPa λ, f k 0 MPa < 50 MPa η λ 0,8 η f u μ u, th η. f f u 333., 333, MPa d MEd, a ave moment sur appui M Ed, a b. d. f w u , 07, 00. 0, 7. 3, 33, μ u, th on obtient à l ELU sous l effet du moment «redistribué 78» M' δ. M : μ μ,. δ u u th Ed, B Ed, a α u d où : δμ λ.., u th, δ 0,44,5 0,6 + 0, x u , ,44 +,5 0, ε u d 3,5.0 3 αu 0,44 +,5.α u δ , δμ 4.., 6 [ δ 044, ]. δμ., δ 0,44 5 δ u th u th et en supprimant le radial (en remarquant que δ < 0) : 6 5.δ.μ u, th δ 4. δ + 4. δμ., u th 78. Pour différenier les solliitations (M, V) résultant de la redistribution limitée des moments des autres solliitations, nous leur adjoignons une apostrophe (M, V ).

75 Analyse struturale 6 d où l inéquation du seond degré en δ : δ 5 4.δ , δ.μ 6 u, th ( u, th ) + δ 4,. μ δ, 56 0 ( μ u, th ) Δ ' 4,. 56, δ μ 4,.,. μ, 56 ( u, th ) ± ( u, th ) 9, 49 δ (,. 0, 07) ± 4(,. 0, 07), 56 0, 59 Le trinôme étant du signe du oeffiient multipliateur de δ en dehors des raines, il est négatif si δ [ 0, 59, 949]. 0,8 pour aiers de lasse A, Prenons δ 0,85 > 0,59. M' Ed, B δ. MEd, a M' Ed, B 08549,., 350, mkn/m μ u α u M' Ed, B 0, 035 μ u 0, 09 b. d. f, 00. 0, 7. 3, 33 w u μu λ. αu. 0, , 9, On vérifie que : f k 0 MPa < 50 MPa δ lim 0, 44 +, ,44 +,5.α d u δ lim 0, 44 +, 5. 0, 9 0, 589 δ >< δ lim δ 0, 85 > 0, 589 δlim O.K. x u 3.3 Diagramme des moments redistribués à l ELU 3.3. Moment fléhissant maximal dans la travée AB Effort tranhant sur l appui A lorsque MB M' Ed, B (as de harge du.3.) :

76 6 M B V Ed, A p,, u V ' 3,3 kn/m Ed, A 5, , Absisse de la setion soumise au moment maximal en travée : M B V Ed, A x x p u. p 500, 35 0 u, 5, , 00,054 m Moment maximal redistribué en travée : p M u.x 0 ( x 0 ) x Ed, AB M 0 Ed, B ---- M' Ed, AB M Ed AB ', 33,9 mkn/m < mkn/m M' Ed, AB non retenu pour le alul de la setion d aiers dans la travée AB Moment fléhissant maximal dans la travée BC Absisse de la setion soumise au moment maximal en travée (as de harge du.3.) : M B x x,558 m p u. 400, , 5, , 00 Moment maximal redistribué en travée : p M u.x 0 ( x 0 ) x Ed, BC M Ed, B M' Ed, BC 5, 735., 054( 5, 00, 054), 35, , ', 6,37 mkn/m < 8 9 mkn/m M Ed BC, M Ed, AB 5, 735., 558 ( 4, 00, 558 ), 35, ,, M Ed, BC M' Ed, BC non retenu pour le alul de la setion d aiers dans la travée BC. 4. Armatures longitudinales 4. Caratéristiques des matériaux Voir 3..

77 Analyse struturale Aiers sur appui B 4.. Érêtage des moments sur appui Efforts tranhants de part et d autre de l appui entral (indies w ouest pour gauhe, et e est pour droite) : pu 35,. g + 5,. q p u 356,., + 550,., 5735, kn/m V Ed, Bw p M u ---- Ed, B,, V ' Ed Bw, 46,36 kn/m, , V Ed, Be p,, u V ' + 40,5 kn/m Ed, Be 5, , Réation d appui sur l appui entral : F V' V' F Ed, sup 40, , 36 86,6 kn/m Érêtage du moment sur l appui entral : t profondeur d appui : t 0,4 m t ΔMEd FEd,sup ΔM Ed ,,,60 mkn/m 8 8 Moment fléhissant à prendre en ompte sur l appui entral : En utilisant l exposant «*» pour distinguer le moment «érêté» du moment résultant des aluls RdM : 4.. Vérifiation Valeur minimale du moment en B Moment au nu d appui : 3,50 mkn/m '* M M p a Ed Ed, B u M Ed ,,, 3,4 mkn Moment d enastrement parfait pour la travée de portée l n : Vérifiation : M Ed, B Ed,sup Ed, Be Ed, Bw '* '* MEd, B M' Ed, B+ΔMEd M Ed, B 35, 0 +, 60 M Ed, en M Ed p n, u M 30,34 mkn Ed, en 5, >< 065,. M, M Ed Ed en 3, 4 mkn > 9, 7 mkn 0, , 34 0, 65. MEd, en O.K.

78 64 Remarque Cette vérifiation est en fait inutile ii, ar la dalle n est pas solidaire de l appui B Armatures μ u w '* Ed, B M 3 3, 5. 0 μ u 0, 085 b. d. f, 00. 0, 7. 3, 33 u fk 0 MPa S 500 XC MEd γ : μlu μls 0,377 M ser μ α z u A u >< μ μ 0, 085 < 0, 377 μ A s 0 lu λ d u 0,6 m α z 07, 08, 0, 4..4 Contrôle du oeffiient de redistribution d u μu λ. αu. 0, ,, s, u M 3 Ed, B 3, A s, u 0 4, 6 z. f 0, '* yd lu m /m i >< 0,5 < i+ f k >< 50 MPa δ i i+ 5, ,5 < 4,00 O.K. 0,004 f k 0 MPa δ 0,44 +,5 0, x u d ε u δ 044, + 5, + 06, 0, ,, 0, 5 79 α u δ > 0, , O.K. 08, lasse A

79 Analyse struturale 65 Remarque Du fait de l «érêtage» du moment sur appui, sa valeur absolue a diminué, don α u aussi, et le ontrôle du oeffiient de redistribution est assuré sans qu il soit néessaire d effetuer les aluls i-dessus. 4.3 Armatures en travée 4.3. Travée AB Comme : M' Ed, AB < MEd, AB (voir 3.3.), nous retenons ette dernière valeur pour le alul des armatures. μ u M 3 Ed, AB 33, μ u 0, 087 b. d. f, 00. 0, 7. 3, 33 w u fk 0 MPa S 500 XC MEd γ : μlu μls 0,377 M ser μ α z u A u >< μ μ 0, 087 < 0, 377 μ A s 0 lu λ d u 0,6 m α z 07, 08, 0, Travée BC u μu λ. αu. 0, , 4, s, u M 3 Ed, AB 33, A s, u 0 4, 74 z. f 0, yd Comme M' Ed, BC < MEd, BC (voir 3.3.), nous retenons ette dernière valeur pour le alul des armatures. μ u M 3 Ed, BC 8, 9. 0 μ u 0, 049 b. d. f, 00. 0, 7. 3, 33 w u lu m /m fk 0 MPa S 500 XC MEd γ : μlu μls 0,377 M ser μ u >< μ μ 0, 049 < 0, 377 μ A s 0 lu u lu

80 66 α z A u μu λ. αu. 0, , 063, λ d u 0,66 m α z 07, 08, 0, 063 s, u M 3 Ed, BC 8, A s, u 0, 6 z. f 0, yd m /m 5. Vérifiation à l effort tranhant 5. Effort tranhant à prendre en ompte Effort tranhant maximum obtenu à gauhe de l axe de l appui B, ompte tenu du moment redistribué : V Ed, Bw p M u Ed, B,, ', 5, ,36 kn/m 500, V Ed Bw Effort tranhant réduit pour transmission direte des harges aux appuis (à la distane d du nu d appui pour des harges réparties) : t V' Ed0, B V' Ed B pu d w, w +, ' 0, Bw 46, 36 5, , 4,80 kn/m +07 V Ed Effort tranhant résistant de alul de l élément sans armatures d âme : A sl aire de l armature longitudinale dans la setion distante de d+ l bd de elle étudiée : A sl 503, m / m (TS HA ST 50 ADETS) ρ l N Ed σ p Asl b. d /> 503, % ρ l 0, 003 < % w effort normal 0 (flexion simple) N Ed NEd < 0,.f d σ p 0 A

81 Analyse struturale 67 Effort tranhant pouvant être supporté sans armatures d âme : V Rd, ave : CRd,. k ρl. fk + k. σ p bw. d V Max vmin + k. σp bw. d VRd, Rd, C Rd, k 0,5, 08 γ + k Min 00 mm d, C Rd, 08 0, 5, , k Min 70 v min 0,035.k 3/. f k v min 0,035. 3/. 0 0,443 k 05, k3 05, v min 0, 035. k 3 0,. + 3,., V. f k v min 0, 035. Rd, Min , , 7 0, 074 MN/m ( 0, , 5. 0), 00. 0, 7 0, 075 MN/m Remarque pour l Annexe nationale française v min 034, fk : dalles bénéfiiant d'un effet de redistribution transversale γ sous le as de harge onsidéré, 0, k. fk : poutres et autres dalles, γ 035, fk :voiles. γ Dalle portant dans un seul sens : 0, , vmin k. fk. 0 0, 447 γ 5, Soit sensiblement la même valeur que elle reommandée par l EC. 0, 053 0, 053 ( 0, , 035) γ 5, 5. Vérifiation V' Ed0, B >< VRd, V ' 0 0, 048 MN/m < 0, 074 MN/m V w Ed, Bw Rd, armatures d effort tranhant non néessaires.

82 68 6. Vérifiations à l ELS On trouvera i-après la liste des vérifiations omplémentaires à effetuer pour que l appliation soit omplète. 6. Contraintes à l ELS Pour mémoire. 6. Fissuration Pour mémoire. 6.3 Flèhes Pour mémoire. 7. Dispositions onstrutives On trouvera i-après la liste des aluls omplémentaires à effetuer pour ompléter ette appliation. 7. Longueurs d anrage Pour mémoire. 7. Anrages sur l appui A Pour mémoire. 7.3 Anrages sur l appui B Pour mémoire. 7.4 Espaements des barres Pour mémoire. 7.5 Armatures minimales Pour mémoire. 7.6 Reouvrement des armatures Pour mémoire.

83 Instabilité de forme Flambement I. RAPPELS THÉORIQUES. Rappels de résistane des matériaux. Fore ritique d Euler Considérons une poutre GG 0 artiulée à ses deux extrémités. 0 : longueur de la poutre, S : aire de la setion droite supposée onstante, G 0 xy : repère assoié à la pièe de telle sorte que l axe G 0 x supporte le segment GG 0, F : fores axiales de ompression appliquées à haune des extrémités de la poutre, y(x) : déplaement de la setion d absisse x par rapport à la ligne d ation de F. G x F Pour que la déformée y(x) orresponde à une déformée stable, il faut que : dω dy M dx dx EI M F. y dy F + dx EI y 0 (S) y x l 0 F et EI étant onstants, posons γ F. Dans EI es onditions, nous obtenons l équation dy + γ. y 0 différentielle : dx dont l intégrale F γ EI générale est : y A.sin γx+ B.osγx Les onstantes d intégration A et B s obtiennent en exprimant les onditions aux limites : y G 0 F

84 70 [ y] x 0 0 B 0 [ y] x 0 0 A.sin γ 0 0 La seonde relation onduit à : A 0 forme retiligne stable, ou γ 0 nπ forme non retiligne stable. Nous en déduisons qu il y a une infinité de déformées non retilignes stables vérifiant : y A.sin nπ x Les valeurs orrespondantes de la fore F sont données par : EI F γ EI F n π La forme retiligne esse d être une forme d équilibre stable lorsque l intensité de la fore F atteint la plus petite de es valeurs soit : F π EI fore ritique d Euler. 0 est appelée longueur de flambement de la poutre. Sa valeur dépend des liaisons aux deux extrémités de ette dernière (voir. et.3).. Amplifiation de la déformée d une poutre omprimée Considérons une poutre GGartiulée à ses deux extrémités : 0 : longueur de la poutre, 0 S : setion droite onstante, F : fores axiales de ompression appliquées à haune des extrémités de la poutre, y 0 a.sin π ---- x 0 : défaut de retitude initial, y(x) : déplaement de la setion d absisse x par rapport à la ligne déformée initiale de la poutre.

85 Instabilité de forme Flambement 7.. Équation différentielle de la ligne moyenne déformée Moment fléhissant dans la setion d absisse x : ( ) M( x) F y+ y 0 x Pour que la déformée soit stable, il faut que : F dy dx M EI G soit : dy F dx EI y + y ( ) 0 Équation que l on érit : (S) y y 0 x l 0 d y + γ.y γ a.sin π x dx γ F EI y G 0 F.. Solution de l équation de la ligne moyenne déformée Coeffiient d amplifiation L intégrale générale de l équation différentielle préédente s érit : y A.sin γx+ B.os γx + C.sin π ---- x y 0 La onstante d intégration C est déterminée en érivant que y 0 C.sin π ---- x est solution de l équation différentielle ave seond membre : 0 π 0 e qui donne : y C.sin π x γ C.sin π x ---- γ a.sin π ---- x a C π γ 0

86 7 et, en remarquant que : , on obtient : γ. F F F EI 0 af C F F Il en résulte que la solution de l équation différentielle omplète s érit : Les onstantes d intégration A et B sont déterminées par les onditions aux limites : d où : π π af y A.sin γ x+ B.os γ x+ sin F F π x [ y] x 0 [ y] x π EI F B 0 A.sin γ 0 0 γ 0 nπ F EIγ n π EI n F F 0 F Si l on suppose que F < F, nous avons : sin λ 0 0 A 0 et la solution de l équation différentielle de la ligne moyenne déformée s érit : y F F F a.sin π x ---- F F F y 0 Nous en déduisons : F F y+ y y F F F F y M F y y F F ( + ) F F y 0 0 d où en posant M F. y, moment résultant de la déformée initiale : 0 0

87 Instabilité de forme Flambement 73 M K F F F M M 0 0 F F F est appelé oeffiient d amplifiation Il en résulte qu une déformation initiale de la ligne moyenne engendre, sous l effet d une ompression : une augmentation du moment fléhissant ; une fore ritique de flambement inhangée. Remarque Dans le as où la poutre est soumise à un moment variant sinusoïdalement, il suffit de remplaer, dans le alul préédent, y 0 a.sin π ---- x par 0 M y , e qui onduit au même oeffiient d amplifiation du F a.sin π x moment du premier ordre...3 Exentriités du premier et du seond ordre Considérons une potene vertiale soumise à l ation : d une fore vertiale P d exentriité struturale en tête ; d une fore horizontale H en tête. e 0 H P P e 0 f e 0 l 0 + P.e 0 H.l 0 P.f M M M + M Charges Moments fléhissants Déformations Le moment du seond ordre résulte du supplément d exentriité provenant de l apparition de la flèhe f.

88 74 Solliitations en pied de poteau avant déformation : N P M P.e 0 H M e H e N P Solliitations du seond ordre dues à la déformation : N P M Pf. M e f N Solliitations totales ( er + e ordre) : N P M M M Pe [ 0 + f] H M e ---- H e N f P e +e { On appelle : exentriité du premier ordre : l exentriité e évaluée sans tenir ompte des déformations (résultat des aluls de RdM) ; exentriité du seond ordre : l exentriité e représentant les déformations de l élément (influene des déformations sur le moment fléhissant). Remarque L exentriité additionnelle e i et le supplément d exentriité pour les setions droites ave ferraillage symétrique Δe 0 (voir.., hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) doivent être ajoutées à l exentriité du premier ordre.

89 Instabilité de forme Flambement 75. Classifiation des strutures et des éléments struturaux. Éléments ontreventés et non ontreventés Voir.4., hapitre : «Analyse struturale» pour leur définition.. Cas des poteaux isolés Voir.4., hapitre : «Analyse struturale» pour leur définition... Élanement L élanement est défini par : λ i (5.4) ave : I i rayon de giration de la setion droite, A I moment d inertie de la setion transversale (béton seul) dans le plan de flambement ( est-à-dire par rapport à un axe perpendiulaire à elui-i), A aire de la setion transversale (béton seul). La longueur effiae 0 d un poteau est égale à sa longueur de flambement : a) b) ) d) e) f) g) l l. l l l l l l 0 0,7. l <l 0 < l l 0 >.l. EC (). EC ()

90 76.. Cas des setions retangulaires Il faut normalement envisager les deux possibilités : flambement dans le plan parallèle au petit ôté ; et flambement dans le plan parallèle au grand ôté. En désignant par 0b et 0h les longueurs effiaes (de flambement) orrespondant aux liaisons d extrémité dans le sens b (parallèle à la dimension b) et h (parallèle à la dimension h), on retiendra : h b λ b Max b I h.b b, B h.b, i h h I h.b 3 h , B h.b, i Cas des setions irulaires a π.a 4 I π.a A i a -- λ a.3 Cas des éléments de struture isolés l

91 Instabilité de forme Flambement 77 Éléments de portiques non intégrés au ontreventement (don ontreventés 3 ) : k 0 0, k ,45 + k 0,45 + k (5.5) Éléments de portiques intégrés au ontreventement (don non ontreventés) : 0 0 k.k k.max + k k k k + k (5.6) ave : k, k oeffiients de souplesse aux extrémités et respetivement tels que : θ K.M k M k EI où : θ rotation des éléments s opposant à la rotation pour le moment fléhissant M, EI rigidité à la flexion de la olonne, longueur libre de la olonne entre les liaisons d extrémité. Remarque EI θ M -- - Pour un enastrement parfait : θ 0 k 0, pour une extrémité libre : M 0 k, les enastrements parfaits n existant pas dans la pratique, la valeur minimale à onsidérer pour les oeffiients de souplesse est : k ou k,. Dans le as où le nœud omporte un autre poteau pouvant influener la rotation EI d extrémité, il faut remplaer par EI EI , a et b désignant respe- tivement le poteau supérieur et le poteau inférieur 4. 0 Dans le as où l effort normal et/ou la setion du poteau n est pas onstant sur toute sa hauteur, la longueur effiae est obtenue par la théorie du flambement (RdM) 5 : 0 π EI N B a b (5.7) 3. EC (3) 4. EC (4) 5. EC (6)

92 78 ave : N B harge ritique de flambement. Dans l évaluation de la longueur effiae, il onvient de tenir ompte de la fissuration à moins que les éléments s opposant à la déformation restent non fissurés à l ELU Imperfetions géométriques Voir.4, hapitre : «Analyse struturale». 4. Méthode générale La méthode générale, appelée méthode de l équilibre ou méthode des déformations internes, est basée sur une analyse non linéaire, inluant 7 : la non-linéarité géométrique (effets du seond ordre) ; la non-linéarité des lois de omportement des matériaux (diagrammes σ ε). La méthode de alul peut être shématisée par l organigramme i-dessous : 6. EC (5) 7. EC ()P

93 Instabilité de forme Flambement 79 On dispose également de méthodes simplifiées 8 : la méthode de la rigidité dérite au 6 ; la méthode de la ourbure dérite au Domaine d appliation Poteaux hargés de façon exentrée et d élanement géométrique élevé : λ > λ i lim 8. EC 5.8.5

94 80 ave : 0 hauteur effiae (longueur de flambement) de l élément vertial généralement déduite de la théorie du flambement élastique (voir ), I i rayon de giration de la setion droite, A A aire de la setion droite (béton seul), I moment d inertie de la setion droite (béton seul) dans le plan de flambement ( est-à-dire par rapport à un axe perpendiulaire à e plan), λ lim valeur limite de l élanement du poteau (voir 5.). Poteaux de setion onstante (béton et armatures). La ligne moyenne est symétrique par rapport à la setion médiane. Poteaux artiulés à leurs deux extrémités ou en onsole (mâts). l 0 l 0 Poteaux soumis à un effort normal onstant. Poteaux soumis à un moment du premier ordre de signe onstant dont la valeur maximale se produit dans la setion à 0 / du sommet. 4. Hypothèses omplémentaires 4.. Hypothèses méaniques Les setions droites restent planes. Il n y a pas de glissement relatif entre l aier et le béton. On néglige le béton tendu par séurité. Les armatures sont aratérisées par leur diagramme ontraintes-déformations de alul (voir.4.., hapitre 3 : «Béton armé Généralités», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). Dans le as des ponts, f yk et kf. yk sont remplaés par les valeurs reommandées suivantes :,.f et 9 yk,... kf yk 9. EC 5.7 (05) note

95 Instabilité de forme Flambement 8 Le béton est aratérisé par le diagramme ontraintes-déformations de alul défini au.4..3, hapitre 3 : «Béton armé Généralités», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles, en orrigeant le oeffiient k de la façon suivante 0 : fd : bâtiments, γ s f est remplaé par ave m γ f,, γ f. fk : ponts. γ Em E m est remplaé par Ed (5.0) γ E ave : γ E,, valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française. Prise en ompte du fluage en effetuant sur un diagramme ontraintes-déformations réaliste du béton une affinité parallèle à l axe ε, de rapport ave 3 + : ϕ ef où : M ϕ(, t0 ) M ( ) ϕ,t 0 M OEqp M OEd OEqp OEd [ ] oeffiient de fluage effetif, (5.9) valeur finale du oeffiient de fluage 4 (voir.3.3.4, hapitre : «Matériaux», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). moment de servie du premier ordre sous la ombinaison de harges quasi permanente 5 (ELS), moment ultime du premier ordre sous la ombinaison de harges de alul (y ompris imperfetions géométriques 6 ), ϕ ef Chargement de ourte durée Chargement de durée quelonque Artg E m ( ) + ef 0. EC (3). EC 5.7 (05) note. EC voir AN 3. EC () 4. EC 3..4 (4) 5. EC () 6. EC voir A.NF

96 l 0 8 Remarque On peut négliger le fluage ϕ ef 0 lorsque les trois onditions suivantes sont réunies 7 : ϕ, t 0, λ 75, M0 N ( ) Ed Ed h, ave : h hauteur de la setion dans la diretion orrespondante. Remarque M0Eqp Si le rapport varie dans l élément, on peut 8 : N soit utiliser le rapport orrespondant au moment maximal ; soit adopter une valeur moyenne représentative. Remarque 3 0Ed ( ) Pour les ponts, une méthode d évaluation plus préise du fluage peut être appliquée Hypothèse géométrique supplémentaire Cas général On se donne la déformée du poteau de façon arbitraire mais raisonnable. Cas de base On assimile la déformée à : une demi-onde de sinusoïde pour un poteau bi-artiulé ; un quart d onde de sinusoïde pour un poteau en onsole. l 0 f f 7. EC (4) 8. EC (3) 9. EC (05) + annexe KK

97 Instabilité de forme Flambement Exentriité «externe» Pour un poteau enastré en pied et libre en tête (mât) : P ( ) Pe H 0 + e i e i e 0 P H P O y l 0 x Chargement Solliitations du premier ordre Total en pied Dans le repère Oxy lié à l extrémité libre du poteau, la déformée a pour équation : La ourbure est donnée par la relation : l 0 y f.sin π.x f flèhe maximale en tête M Pe ( l e i )+H M P e f y" r + y ' ( ) 3 y" -- f π ---- sin π.x r 0 0 soit, en pied du poteau et en valeur absolue : -- f π ---- f e 0 r r 0 π L exentriité «externe» ou exentriité de l effort normal dans la setion la plus solliitée (en pied de poteau) vaut don : e ext e + e e r π D où sa représentation dans le repère (e, ) : r N Ed [6.]

98 84 e e ext l 0 e 0 r 4.4 Exentriité «interne» Dans la setion la plus solliitée, tout état de déformation défini par sa ourbure /r et une déformation relative ε en un point partiulier de la setion, onduit aux équations de ompatibilité et d équilibre (moments rapportés au entre de gravité G 0 du béton seul) : b d j + Déformations + Contraintes + AN v' G 0 A j d j x r x + sj sj ε εsj r x x v' d ( j) x Ni bξ. σ ξ. dξ 0 n + A j.σ sj M b. σ. v' ξ. dξ i x 0 ξ ξ ( ) n + Aj. σ sj. dj Ni e. int

99 Instabilité de forme Flambement 85 D après les diagrammes ontraintes-déformations de l aier et du béton, les ontraintes sont fontion des déformations relatives, don de la ourbure /r d après les relations de ompatibilité. D où, en éliminant les ontraintes, puis les déformations, on obtient une relation de la forme : Φ Ni, eint, 0 r Cette relation se traduit, dans le plan (e, /r) par : e [6.] N i Cste N N N <N <N 3 N 3 Limite de résistane par : - plastifiation des aiers ; - ou érasement du béton. 0 r Remarque Dans e as, le diagramme des déformations n est pas tenu de passer par les pivots A, B ou C, sans toutefois que les déformations limites puissent être dépassées. 4.5 Étude de l équilibre Dans le plan (e, /r) : la relation géométrique [6.] est représentée par une droite ; la relation méanique [6.] est représentée par un réseau de ourbes orrespondant à N i Cste. D où, es deux types de ourbes peuvent : n avoir auun point ommun il n y a pas d équilibre possible ; avoir au moins un point ommun il y a une position d équilibre qui peut être stable ou instable. N u La harge ritique de alul, orrespond à elle des ourbes N i qui est tangente à la droite eext e + f.

100 86 position d équilibre positions d équilibre e N i Cste E instable N N f E stable N u, harge ritique de alul N 3 Pas d équilibre e 0 r r E Il suffit de remarquer que si, en, on éarte le poteau de sa position d équilibre par augmentation de la ourbure /r : e e int e ext E 0 r r +Δ r r e int roît plus vite que e ext, d où la réation du poteau à la déformation omplémentaire tend à le ramener à la position d équilibre E qui est par onséquent une position d équilibre stable. C est l inverse qui se produit au point E qui aratérise un équilibre instable.

101 Instabilité de forme Flambement Méthode de l équilibre Méthode des déformations internes 4.6. Méthode générale Pour les poteaux dont la setion a une forme quelonque, la stabilité est assurée, si l on peut trouver dans haque setion, ompte tenu de la déformée que l on s est donnée, un état de déformation tel que l on ait simultanément : N e i int ε, N r ext M i ε, r ε, r N i ε, r e e + f ext ave : N ext effort normal dû aux ations appliquées à la struture, M i ε, r solliitations internes, intégrales des ontraintes développées par N i ε, r la déformation Méthode simplifiée Dans le as des poteaux artiulés aux deux extrémités ou des mâts, l étude de l équilibre onsiste à reherher un point situé à l intérieur de la zone olorée dans le plan (e, /r) pour la setion la plus solliitée (à mi-hauteur du poteau biartiulé ou à l enastrement du mât), est-à-dire, à vérifier simultanément : N i ε, -- N r ext e int ε, M i ε, r r N i ε, e ext e π r r ave : N i, N ext et M i définis au 4.6., 0 longueur de flambement de la pièe.

102 88 e N u N i > N u e int e ext f e 0 r r Remarque La méthode de l équilibre présente des avantages et des inonvénients Avantages Elle est valable quelle que soit la forme de la setion. Elle ne néessite pas l utilisation de tables Inonvénients Le alul est long ar itératif, en partiulier dans le as où l effort normal de alul est prohe de l effort normal ritique (rédution de l aire olorée sur le diagramme, d où la ourbure d équilibre est plus diffiile à trouver. Il faut partir d une valeur de /r fixée a priori et progresser ave un pas de variation très faible). 4.7 Cas des setions retangulaires à deux nappes d armatures / On se donne, dans la setion la plus solliitée, un diagramme de déformations défini par : ( ) ε ε + ϕ fyd εs ε Es ef yd

103 Instabilité de forme Flambement 89 ave : M ϕef ϕ(, t0 ) M où : ϕ,t 0 ( ) M 0Eqp M 0Ed 0Eqp 0Ed oeffiient de fluage effetif 0, (5.9) valeur finale du oeffiient de fluage (voir.3.3.4, hapitre : «Matériaux», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles), moment de servie du premier ordre sous la ombinaison de harges quasi permanentes (ELS), moment ultime du premier ordre sous la ombinaison de harges de alul (y ompris imperfetions géométriques 3 ), / D après l hypothèse de la déformation plane : d' '.d G x u AN d A s x u u.d s F F s A s b w s F s x u ε d ε + ε s xu d' εs ε σ x s u par le diagramme de alul des aiers, εs εyd σs fyd que le diagramme ontrainte-déformation des aiers soit à palier horizontal ou inliné. 3/ On en déduit la valeur de l effort normal interne : N F + F F i s s soit : N ψ. b. x. f + A. σ A. f i w u d s s s yd 0. EC (). EC 3..4 (4). EC () 3. EC voir ANF

104 90 ave, ompte tenu du fluage par le biais du oeffiient ϕ ef : k ε ψ + a k. Log a k. ε + ϕ où : ( ) + a. ε ϕ k ε E k 05,. ε pour l Annexe nationale française 4. 4/ Si Ni << Next, on réduit ε s en gardant : ε ε + ϕ ef m ef γ ef E ( ) d, ( + ϕ ). f ( ) ave γ E,, valeur reommandée et à utiliser et on reommene les étapes et 3 (ave la même formule pour ψ et F A. E.ε ) jusqu à e que N > N mais ave N N s s s s i fyd 5/ Si Ni >> Next, on réduit ε en gardant εs εyd pour l armature tendue E et on refait les aluls des étapes et 3 jusqu à e que N > N mais ave N N, (ave la même formule pour ψ et F A. f ). i ext 6/ On alule le moment M i des fores F, F s et F s au entre de gravité du béton seul. D où l on obtient l exentriité interne : e int M N i i ext ef + + a a.log a s s s yd ave : pour les étapes 3 ou 5 : h h Mi ψ. bw. xu. fd. δgx u As s d +. σ ' + h A f d s. yd i i ext ext 4. EC voir AN

105 Instabilité de forme Flambement 9 ave : δ G k a+ a + ψ ( k ).Log a ε +. ψ ( k ) ε + ϕ où : ( ) + a. ε ϕ k ε ( ) 7/ On herhe à réaliser, puisque N > N : ef ef 6. a 3. a+ 3 a. + Log 6 a E. ε m + ϕef et k 05, ave γ E,, γ. f E ( ) pour l étape 4 : h h Mi ψ. bw. xu. fd. δgx u As s d + σ. ' + h A s. Es.εs d i ext d e int > e ext ( e 0 + e i + Δe 0 ) ε -- + ε s r d 0 e π r -- S il en est ainsi, l équilibre du poteau est assuré. S il n en est pas ainsi ( e e ) il faut explorer d autres ouples int < ext --, ε ou : r --, ε r s 8/ Si e est faible et 0 élevé (sans qu il soit possible de quantifier les valeurs limites), on peut partir de : ε ε + ϕef εs roissant jusqu'à εuk ou l'infini suivant le diagramme σ ε d'aier utilisé ( )

106 9 9/ Si e est élevé et 0 faible, on peut partir de : fyd εs Es ε roissant jusqu'à εu 5. Dispense de la vérifiation de l état limite ultime de stabilité de forme (flambement) Il est inutile de vérifier la pièe au flambement et l on peut se ontenter d un alul en flexion omposée (sans tenir ompte des effets du seond ordre) dans les as i-après. 5. Cas des éléments isolés Il faut vérifier 5 : λ A.B.C < λ (5.3N) i lim n valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française, ave : 0 longueur effiae (longueur de flambement de la pièe) définie aux. et.3, i rayon de giration de la setion de béton non fissurée, A 0,7 si ϕ ef est inonnu, + 0,.ϕef B +.ω, si ω est inonnu, C 7, r m 0,7 si r m est inonnu, NEd n effort normal relatif, A. f où : ϕ ef 0 d M ϕ(, t0 ) OEqp M OEd ϕ(,t 0 ) oeffiient de fluage effetif, (5.9) valeur finale du oeffiient de fluage 6 (voir.3.3.4, hapitre : «Matériaux», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles), 5. EC () + voir AN 6. EC 3..4 (4)

107 Instabilité de forme Flambement 93 M OEqp M 0Ed moment de servie du premier ordre sous la ombinaison d ations quasi permanente (ELS 7 ), moment ultime du premier ordre sous la ombinaison de harges de alul (y ompris imperfetions géométriques 8 ), As. fyd ω pourentage méanique d armatures, A. fd A s aire totale des armatures longitudinales, A aire de la setion droite (béton seul), fk f α ( α valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe γ f d yd nationale française), fyk, γ s : éléments non ontreventés en général, : éléments ontreventés ave moments du premier ordre r m dus prinipalement à des imperfetions ou à des harges transversales, M0 : autres as. M0 M et M 0 0 valeurs algébriques des moments du premier ordre aux deux extrémités de l élément ave : M M. 0 0 Remarque Dans les as ourants où A 0,7, B, et C 0,7, on obtient en fontion des valeurs de n : λ lim , 0, 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9,, n 7. EC () 8. EC voir AN

108 94 5. Cas des strutures Les dispositions de e paragraphe ne s appliquent pas au as des ponts 9. Lorsque les onditions suivantes sont remplies 30 : la struture est raisonnablement symétrique (absene de torsion) ; les déformations globales dues au isaillement sont négligeables (ontreventement assuré par des voiles sans grandes ouvertures) ; les éléments de ontreventement sont fixés rigidement à leur base ; la rigidité des éléments de ontreventement est raisonnablement onstante sur toute leur hauteur ; la harge vertiale totale augmente approximativement de la même quantité à haque étage ; il faut vérifier : F V, Ed ave : F V, Ed n s k n (5.8) harge vertiale totale (sur les éléments ontreventés et sur les éléments de ontreventement), nombre d étages, L hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d enastrement du moment, E d valeur de alul du module d élastiité du béton (voir 4..), I moment d inertie de l élément de ontreventement (béton non fissuré), k 03, : valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 3. Remarque ns. + 6, E L d s. I Lorsque l on peut montrer que les éléments de ontreventement sont non fissurés à l ELU, on peut prendre 3 : k k 06, : valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française EC (0) 30. EC () 3. EC voir AN 3. EC () 33. EC voir AN

109 Instabilité de forme Flambement Méthodes ramenant la vérifiation de stabilité de forme à un alul de setion Méthode de la rigidité 6. Domaine de validité La méthode de la rigidité onsiste à tenir ompte des effets du seond ordre par amplifiation du moment du premier ordre 34. Cette méthode s applique aux ossatures et aux poteaux isolés à ondition que leur rigidité soit estimée d une façon appropriée 35 (voir 6.). Pour les strutures hyperstatiques, il faut tenir ompte des effets défavorables de la fissuration des éléments adjaents à l élément onsidéré. Pour simplifier, à défaut d un alul plus préis, on peut admettre 36 : que les setions sont entièrement fissurées ; que le module du béton vaut : E Ed, + ϕ d eff ef (5.7) ave : E d valeur de alul du module d élastiité donnée au 6., ϕ ef oeffiient de fluage effetif figurant au 6.. Cette méthode n est à retenir que si l Annexe nationale d un pays l autorise (e qui est le as de l Annexe nationale française 37 ). 6. Rigidité nominale La rigidité nominale d un poteau ou d un élément d ossature est donnée par la formule 38 : EI K. E. I + K. E. I (5.) d s s s ave : Em Ed γ E valeur de alul du module de déformation du béton, (5.0) 34. EC () 35. EC () 36. EC (4) 37. C voir AN 38. EC ()

110 96 où γ E, valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 39, I E s I s K s K moment d inertie de la setion de béton, valeur de alul du module d élastiité de l aier, moment d inertie de la setion des armatures par rapport au entre de gravité de la setion de béton seul, oeffiient tenant ompte de la ontribution des armatures défini i-après, oeffiient tenant ompte de la fissuration et du fluage défini i-après. A s A 6.. Cas où 0,00 ρ ---- < 0,0 40 K s (5.) K ave : k k. k + ϕ ef f k (MPa) oeffiient dépendant de la lasse du béton, (5.3) 0 λ n k Min 70 00, où : oeffiient dépendant de l effort normal et de l élanement, (5.4) NEd n effort normal relatif, A. f λ l 0 i k ϕ ef d élanement géométrique (si λ est inonnu, on peut prendre n. 030, Min ), (5.5) 00, oeffiient de fluage (voir 5.). A s A 6.. Cas où ρ ,0 Pour une première itération, on peut partir de 4 : K s 0 (5.6) 39. EC (3) + voir AN 40. EC () 4. EC (3)

111 Instabilité de forme Flambement 97 K 03, + 0, 5.ϕ ef Les itérations suivantes sont onduites ave les oeffiients orrespondant au as où 0, 00 ρ < 0, Prinipe de la méthode D après les résultats du.., dans le as d un élément soumis à l ation d un moment du premier ordre de forme sinusoïdale, l augmentation du moment du premier ordre peut s érire : M M F 0 ave : F F Ce qui onduit à un moment total (premier + seond ordre) : Le moment de alul total (premier et seond ordre) proposé par l EC est pris égal à 4 : ave : M 0 F moment du premier ordre, fore ritique d Euler, F effort normal appliqué. M M F F F + F 0 M0 + M M0 + F F F F F F M Ed M 0Ed N Ed N β M0Ed + N B N Ed (5.8) moment du premier ordre (à l ELU) tenant ompte des imperfetions géométriques (dans le as où l élément n est pas soumis au même moment en tête et en pied, on peut prendre le moment équivalent défini au 6.4 i-après 43 ), effort normal agissant à l ELU, B π 0 EI harge de flambement évaluée sur la base de la méthode de la l rigidité nominale, 4. EC () 43. EC ()

112 98 β oeffiient relatif à la distribution des moments du premier et du seond ordre 44 : pour des poteaux isolés, de setion onstante et soumis à un effort normal onstant sur leur hauteur, l allure de la déformée peut être assimilée à une π sinusoïde et β où : (5.9) 0 pour les as où la détermination de et/ou du moment équivalent ne serait pas possible, on prend β et l expression (5.8) se réduit à 45 : M Remarque L augmentation du moment du premier ordre n a de sens que si : e qui fournit une ondition supplémentaire à vérifier pour l appliation de la méthode des rigidités (à adjoindre aux onditions du 6.). Remarque 0 8 : moment du premier ordre onstant, 96, : moment du premier ordre parabolique, : moment du premier ordre triangulaire symétrique, et. Ed M0 N N Ed Ed B 0 β NB > 0 > 0 NEd < N NB NEd N Ed En érivant la relation (5.8) sous la forme : B (5.30) β M Ed M 0Ed + M 0Ed N B N Ed M 0Ed N Ed.e β M Ed N Ed e + e N B N Ed e la méthode de la rigidité onduit don à prendre une exentriité du seond ordre donnée par la formule : e β e N B N Ed 44. EC () 45. EC (4)

113 Instabilité de forme Flambement Cas des poteaux isolés ave exentriités du premier ordre différentes aux deux extrémités Pour des poteaux soumis à des moments du premier ordre différents à leurs extrémités, M 0 et M 0, on peut onsidérer un moment du premier ordre équivalent M onstant défini par 46 0e : 06,. M0 + 04,. M0 M0e Max (5.3) 04,. M0 ave : M 0 et M 0 de même signe s ils donnent des trations du même ôté de l élément, de signe opposé dans le as ontraire, M M 0 0 Remarque. Dans e as, pour rester ohérent ave l hypothèse sur le moment du premier ordre équivalent, on peut, pour l appliation de la formule (5.9) du 6.3, prendre 47 : Proessus d appliation de la méthode de la rigidité Le mode opératoire est dérit i-dessous. / se fixer la setion d aiers : A s 0 ou valeur estimée a priori si les armatures sont inonnues (détermination des armatures), A A si les armatures sont données (vérifiation au flambement), s s, prov / aluler l élanement de l élément : λ i 3/ vérifier s il est néessaire de prendre en ompte les effets du seond ordre : 0 λ A.B.C < λ i lim n : élément isolé (voir 5.), 46. EC () 47. EC (3)

114 00 F V, Ed k n : élément d une struture (voir 5.), 4/ évaluer les solliitations ultimes orrigées des imperfetions géométriques : M 0Ed (voir 3), ns. + 6, E L d s. I 5/ aluler la rigidité nominale de l élément : EI K. E. I + K. E. I (voir 6.), d s s s 6/ en déduire le moment ultime de alul total (premier + seond ordre) par rapport au entre de gravité de la setion de béton seul : M Ed β M0Ed + (voir 6.3 et éventuellement 6.4 si ), N M0 M0 B N Ed 7/ aluler les armatures équilibrant e moment en flexion omposée : As As (voir hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, As J. Roux, Éditions Eyrolles), 8/ si l on herhe à déterminer la setion d armatures : realuler à l aide des étapes 3/ à 6/ et ompte tenu de la setion d aiers déterminée à l étape 7/ le moment ultime de alul total (premier + seond ordre) par rapport au entre de gravité de la setion de béton seul : β M' Ed M0Ed + et reommener les étapes 3/ à 7/ jusqu à e que N B N M' Ed M Ed Ed 9/ si l on herhe à vérifier au flambement un élément dont les armatures sont onnues, vérifier que : A s A A s As prov, As A s, prov. s, prov

115 Instabilité de forme Flambement 0 7. Méthodes ramenant la vérifiation de stabilité de forme à un alul de setion Méthode de l estimation de la ourbure 7. Domaine de validité La méthode de la ourbure onsiste à tenir ompte des effets du seond ordre en se donnant la valeur de l exentriité du seond ordre de façon forfaitaire 48. e Cette méthode s applique aux éléments isolés dans lesquels l effort normal est onstant sur toute leur hauteur et pour lesquels la longueur effiae est onnue 49. Cette méthode n est à retenir que si l Annexe nationale d un pays l autorise (e qui est le as de l Annexe nationale française 50 ). 7. Prinipe de la méthode Le prinipe de la méthode onsiste à ramener la vérifiation au flambement à un alul à l ELU de résistane en se donnant la valeur de l exentriité e du seond ordre de façon forfaitaire Introdution 7... Exentriité du seond ordre Pour le poteau de setion onstante enastré en pied et libre en tête (mât) envisagé au 4.3 : -- f π ---- r 0 f e r π 7... Courbure orrespondant à la harge ritique de flambement En faisant abstration du fluage, on admet que la harge ritique de flambement orrespond au as où les deux nappes d armatures atteignent simultanément 48. EC EC (3) 50. EC voir AN 5. EC ()

116 0 leur résistane de alul, est-à-dire la même déformation unitaire ε yd f E yd s. f yd La représentation graphique de P. Faessel (voir 4.5) montre que, pour une setion donnée, dans l hypothèse de la déformée sinusoïdale du poteau, la harge ritique de flambement est obtenue lorsque la droite représentative de l exentriité externe ( e ext e + e e ) est tangente à la ligne de r niveau de la surfae définie par la relation Φ Ni, e, int 0. r e π e ext N u, harge ritique de alul e 0 r r 0 Du fait du hangement de pente du diagramme ontraintes-déformations de l aier au point E de oordonnées ( ε yd, f yd ), la ourbe orrespondant à N u, présente une brusque variation de pente ave un «genou» de raordement. Le point de tangene de n importe quelle droite Δ et de la ourbe ne peut se trouver que sur le «genou», au voisinage de la ourbure qui orrespond au point E. r 0 N u,

117 Instabilité de forme Flambement 03 f yd σ s E Palier inliné Palier horizontal E s.0 5 MPa Artg E s ε ud ε s Cette ourbure est d autre part obtenue par la pente du diagramme des déformations qui vaut, dans le as d une setion symétrique armée symétriquement : d 0,0.h h d AN A s A s 0,80.h pente : r 0 s f yd / E s yd A s b w 0,0.h s f yd / E s yd Diagramme déformations r 0 yd h ε 04,. soit en prenant d 09,. h h,. d, lorsque la harge appliquée orrespond à la harge ritique de alul, il vient : ε yd εyd r 044,. d 045,. d Courbure orrespondant à la harge de alul On pose : N Ed N ud effort normal agissant à l ELU, effort normal entré maximal que peut équilibrer la setion droite en pied de poteau :

118 04 N A f ud s. Nud A. fd + As. fyd nu + A. f A. f n u N bal Nud + ω ave ω A s. f yd, A. f A. f d d d effort normal qui, appliqué à une setion, maximalise sa apaité de moment ultime. Cet effort orrespond au point A du diagramme d interation de la setion qui orrespond lui-même à ε 35, (bétons tels fyd que C < 50/60) et simultanément à ε s que les Anglo-Saxons Es appellent «l état de déformations balanées», d où l indie «bal». L examen d un diagramme d interation (tel que elui figurant au 5.8, hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) montre que la ourbure prise sous l effet de la fore N Ed peut être déterminée par une règle de proportionnalité : Kr r r 0 yd d, N u N ud Simplifiation N Ed ϖ tot N bal A r M u max ou r 0 M u ou r K r r r 0 K r N N ud ud N N Ed bal

119 Instabilité de forme Flambement Valeur de N bal Dans le as d une setion retangulaire à armatures symétriques, pour f k 50 MPa et des aiers S 500 à palier horizontal : d ε 3,5 f u λ.x u / d AN A s A s x u α u.d ε s λ.x u σ s z F s F A s b w ε s f yd / E s σ s F s A s.σ s Diagramme déformations Diagramme ontraintes Fores internes L équilibre des fores s érit : N λ. b. x. f + A. σ A. σ bal w u u s s s s fyd les valeurs ε 35, et ε s sont simultanément atteintes pour : E xu ε 350,. d ε + ε 3 f 350,. + E puisque E s MPa La ondition pour qu alors l aier omprimé atteigne aussi le raourissement f yd E ε s s érit : ε 3 s yd s s omme les armatures sont symétriques d + d h et la ondition s érit : fyd h fyd d ' 700 ( h d' ) d' ou f yd h f yd d f yd xu d' fyd fyd d' xu xu Es 0.. ε s d ' f yd fyd 700 f d f yd yd d

120 06 les deux nappes d armatures sont alors soumises dans le as du diagramme bilinéaire ave palier horizontal à σ σ et : N λ. b. x. f x u bal w u u f yd d s s 700 Nbal λ f f. b. d pour d 09,. h, f k 50 MPa et des aiers S 500 : yd u w 500 fyd 435 MPa 5, A bw. h fu η. fd f d λ 08, Nbal 08, 700 fd bw h , 9.. 0, 444. fd. A Les règles EC adoptent par séurité : N 04,. A. f n bal d Remarque bal Nbal 04, A. f d Pour le diagramme d interation du 5.8, hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles, on a pour μ max 05, : n bal ν max 040, 7.. Moment de alul de l élément Le moment de alul de l élément est défini par la relation 5 : M M + M Ed ave : M 0Ed M N. e où 53 : 0Ed (5.3) moment du premier ordre tenant ompte des imperfetions géométriques (dans le as où l élément n est pas soumis au même moment en tête et en pied, on peut prendre le moment équivalent défini au 6.4 i-devant), Ed N Ed moment du seond ordre, (5.33) effort normal agissant de alul, 5. EC () 53. EC (3)

121 Instabilité de forme Flambement 07 e exentriité du seond ordre, -- r r ourbure de l élément (voir 7..3), 0 longueur effiae 54, oeffiient dépendant de la distribution de la ourbure totale (premier + seond ordre) : 8: ourbure onstante, π 0 : autres as Courbure Dans le as d éléments de setion droite symétrique (y ompris armatures), elle est donnée par la relation 55 : Kr. Kϕ r r ave : K r K ϕ 0 oeffiient de orretion dépendant de l effort normal, oeffiient de orretion tenant ompte du fluage, ε yd, r 045,. d 0 ε yd f E yd s, d hauteur utile de la setion. Remarque Dans le as où les armatures ne sont pas disposées sur deux faes opposées, mais aussi, pour partie, sur les autres faes, on peut prendre 56 : (5.34) (5.35) d h + i s où i s rayon de giration de la setion totale des armatures. (5.35) 54. EC (4) 55. EC () 56. EC ()

122 08 Le oeffiient est donné par la relation 57 : K r ave : K r nu n Min nu n bal (5.36) NEd n effort normal relatif, A. f n bal N Ed d effort normal agissant à l ELU, valeur de n orrespondant au moment fléhissant résistant maximal. On peut prendre la valeur 0,4 (voir 7...4), n u + ω (voir 7...3), As. fyd ω pourentage méanique d armatures, A. f A s aire totale des armatures longitudinales, A aire de la setion droite (béton seul). Le oeffiient est donné par la relation 58 : K ϕ ave : d K ϕ + βϕ Max. ef (5.37) λ β 035, +, λ élanement méanique. MOEqp ϕef ϕ(, t0 ) oeffiient de fluage effetif, (5.9) M où : ϕ,t 0 f k ( ) M OEqp OEd valeur finale du oeffiient de fluage 59 (voir.3.3.4, hapitre : «Matériaux», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles), moment de servie du premier ordre sous la ombinaison d ations quasi permanente (ELS) 60, 57. EC (3) 58. EC (4) 59. EC 3..4 (4) 60. EC ()

123 Instabilité de forme Flambement 09 M 0Ed moment ultime du premier ordre sous la ombinaison de harges de alul (y ompris imperfetions géométriques 6 ), Remarque On peut négliger le fluage ( ϕ ef 0) lorsque les trois onditions de la remarque faite au 4.. sont réunies. 7.3 Proessus d appliation de la méthode de l estimation de la ourbure Le mode opératoire est dérit i-dessous. / se fixer la setion d aiers : A s 0 ou valeur estimée a priori si les armatures sont inonnues (détermination des armatures), A A si les armatures sont données (vérifiation au flambement), s s, prov / aluler l élanement de l élément : λ i 3/ vérifier s il est néessaire de prendre en ompte les effets du seond ordre : λ A.B.C < λ : élément isolé (voir 5.), i lim n F V, Ed k n ns. + 6, E L d s. I : élément d une struture (voir 5.), 4/ évaluer les solliitations ultimes orrigées des imperfetions géométriques : (voir 3), M 0Ed 5/ aluler la ourbure : r 0 Kr Kr. Kϕ (voir 7..3), r r 0 Kϕ 6/ en déduire le moment ultime de alul total (premier + seond ordre) par rapport au entre de gravité de la setion de béton seul : MEd M0Ed + M (voir 7.. et éventuellement 6.4 si M0 M0), 6. EC voir ANF

124 0 7/ aluler les armatures équilibrant e moment en flexion omposée 6 : As As (voir hapitre «Flexion omposée», Pratique de l euroode A s, J. Roux, Éditions Eyrolles), 8/ si l on herhe à déterminer la setion d armatures : realuler à l aide des étapes 3/ à 5/ et ompte tenu de la setion d aiers déterminée à l étape 7/ le moment ultime de alul total (premier + seond ordre) par rapport au entre de gravité de la setion de béton seul : M M + M et reommener les étapes 3/ à 6/ jusqu à e que Ed 0Ed M' Ed MEd 9/ si l on herhe à vérifier au flambement un élément dont les armatures sont onnues, vérifier que : A A s s prov As As prov,,. As As, prov 6. EC ()

125 Instabilité de forme Flambement II. APPLICATIONS Appliation n : vérifiation au flambement par la méthode de l équilibre (harges quelonques) Énoné N Ed H Ed e COUPE AA 5 0 HA 5 0 HA l 6,00m 40 m A e A 3 m 40 m N Ed Solliitations : N N G Q 333 kn exentrées de e 6 m, 00 kn H 8,3 kn, ation variable d aompagnement, ave ψ 0 H 077,, poids propre négligé, ψ i 0 pour les valeurs quasi permanentes de et H. Poteau isolé ontreventé. Matériaux : béton : f k 5 MPa ; aiers : S 400 à palier horizontal. On se propose de vérifier l état limite ultime de stabilité de forme en utilisant la méthode de l équilibre lorsque ϕ,t 0. ( ) N Q

126 Corrigé. Caratéristiques des matériaux. Béton f f E d m m fk α ( α ) f γ d ,7 MPa,5. Aiers f yd b f +8 ( MPa) f m MPa k 03, fm ( MPa) E m fyk f MPa γ yd 5, s 03, MPa. Néessité du alul au flambement. Longueur effiae poteau mât ,00,00 m. Élanement Pour un poteau de setion retangulaire : λ 0b b Max setion arrée : λ 0h h 0, b 0,40.3 Exentriité à prendre en ompte La setion la plus solliitée est vérifiée en supposant une exentriité orrigée du premier ordre égale à : e e + e + Δe tot 0 i 0 ave : e 0 exentriité résultant des aluls de RdM,

127 Instabilité de forme Flambement 3 e i Δe 0 exentriité due aux imperfetions géométriques, supplément d exentriité pour une setion symétrique (béton et armatures)..3. Exentriité résultant des aluls de RdM N 35,. N + 5,. N N Ed, , Ed G Q 600 KN HEd l e0 e +. N ave H 30,., ,., 3,. ψ0h. H e ,3 m Exentriité due aux imperfetions géométriques Les imperfetions sont représentées par une inlinaison globale d un angle défini par : θ ave : θ 0 valeur de base reommandée : θ α h oeffiient de rédution relatif à la longueur ou à la hauteur : α h 0, , où : Ed Ed θ 0. α. α i h m longueur ou hauteur du bâtiment ou de l étage, θ i α h < α h 0, 86 < 3 3 O.K. α m 05, + m oeffiient de rédution relatif au nombre d éléments : où : m nombre d éléments vertiaux ontribuant à l effet total : α m 05, +

128 4 θ i 00. 0, 86. 0, Exentriité additionnelle pour l élément isolé : e i θ 0 i ---- θ 0,04 m i. e i 0, , Supplément d exentriité pour une setion symétrique Δe 0 0 mm Max h 30 0 mm Δe 0 0 mm Max , mm Exentriité du premier ordre orrigée en pied de poteau e e + e +Δe e 4,3 +,4 + 8,7 m. 0 i 0.4 Dispense de la vérifiation de l état limite de stabilité de forme Poteau isolé : λ ave : A.B.C >< λ i lim n A + 0,.ϕ B +.ω ef 0,7 si ϕ ef est inonnu : ϕ ef inonnu A 07,, si ω est inonnu : ω A s. f A. f yd d 4.., ω 0, 409 0, 40. 0, 40. 6, 7 B +. 0, 409, 348 C 7, r m 0,7 si r m est inonnu : N 35,. N + 5,. N : N Ed 600 kn (voir.3.) Ed G Q e e + e + Δe e 6+, 4+ 0 i 0 0,4 m en tête de poteau M0 NEd. e M , 04 6,4 mkn M N. e+3,. ψ. Hl. 0 Ed 0H M , 04 +, 3. 0, 77. 8, 3. 6, 00,5 mkn

129 Instabilité de forme Flambement 5 r M M m 0 0 ave M 6, 4 > M r m 0, 556, C, 7 0, 556, 44 NEd n A. f d 0, 600 effort normal réduit : n 0, 5 040,. 67, 0. 0, 70., 348., 44 λ 04 > 45, 5 λlim 0, 5 néessité de prendre en ompte les effets du seond ordre. 3. Méthode de l équilibre 3. Première itération 3.. Déformations de départ (étapes et ) Pour les aiers : fyd ε s E ε 348 s s Pour le béton :,74/ 000 ϕ ef M ϕ(, t0 ) M OEqp OEd oeffiient de fluage effetif, ( ) ϕ(,t 0 ) ϕ,t 0 oeffiient final de fluage : M OEqp moment de servie du premier ordre sous la ombinaison de harges quasi permanente (ELS) : L MOEqp M G+ i Qi 9,98 mkn ψ. M OEqp , 06 i M OEd moment ultime du premier ordre tenant ompte des imperfetions géométriques : L MOEd M G+ Q Q + i Qi 35,. γ 3,. ψ 0. i M OEqp 600( 0, , , 0) +,., ,., ,5 mkn 9, 98 ϕ ef 0, 356, 5

130 6 ε raourissement relatif orrespondant à la ontrainte maximale f m du diagramme ontrainte-déformation du béton utilisé pour l analyse du seond ordre (voir.4..3, hapitre 3 «Béton armé Généralités», Pratique de l euroode, J. Roux,, Éditions Eyrolles) : f k 5 MPa ε 000 ε ε ( + ϕef) ε, ( + ),85/ , Contrainte des aiers omprimés d' d x u s x u 85, ε 000 d x u 036, 0,4 m ε + εs 85, 74, xu d εs ' ε x u s 85, 0, 4 0, 04 ε s.,34/ , 4 aiers : σ s par le diagramme de alul des f yd f yk f yk y s Diagramme aratéristique simplifié Diagramme de alul Artg E s f yd uk E s.0 5 MPa E s

131 Instabilité de forme Flambement Effort normal interne (étape 3) Béton omprimé : E k 05,. ε 348 MPa ,. 0 ( + 0, 356) ave γ E, k 05, 470,,. 6, 7 Aiers omprimés :,7 MN 4 A.σ F s 5., ,5464 MN Aiers tendus : m ef E ( + ϕ ). f d + a. ε ϕ k ε F A. σ 5., ,5464 MN Effort normal interne : Ni F + Fs Fs N i,7 + 0,5464 0,5464,7 MN Effort normal externe : γ ( ) ef Next 35,. NG + 5,. NQ N ext 600 kn (voir.3.) ε s k ε ψ + a k. Log a k. ε + ϕ 34, 74, > ε σ s f yd 3,. 0 ( + 0, 356) a. 3 0, , 850,. 470, ψ ,. Log, 0, ( ) ef yd + + a a.log a 850, , ,, 0. 0 ( + 0, 356),. Log 0 370, ψ0, 783 F ψ. bw. xu. fd F 0, , 40. 0, 4. 6, 7 F s s s s s s N i 4 F s,7 MN > 0,600 MN N ext

132 Moment fléhissant interne (étape 6) d' '.d G x u F s AN d A s x u u.d s F A s b w s F s Béton omprimé : δ G k a+ a + ψ ( k ).Log a ε +. ψ ( k ) ε + ϕ ( ) ef 6. a 3. a+ 3 a. + Log 6 a 470, δ G 0, , 370.Log + 0, 783( 4, 70 ) 0, , 6. 0, , , 370.Log + 0, 783( 4, 70 ), ( + 0, 356) 6 0,370 δ G 0, 46 M h F δ. x M 7 040,, 0, 46. 0, 4 G u 0,5 mmn Aiers omprimés : M h F s d ' M s ,, 004, s 0,0874 mmn Aiers tendus : h Ms F s d 040 M s ,, 0, 40 0, 04 0,0874 mmn Total : Mi M + Ms + Ms M i 0,5 + 0, ,0874 0,3000 mmn

133 Instabilité de forme Flambement Exentriité interne M e int i N e 0, 3000 int, 7 i 0,56 m 3..6 Exentriité externe Flèhe ultime orrespondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde : ε + εs ,08 m r d r, +, 036, f l 0,868 m π. r f, 00 0, 08 π 0 Exentriité externe en pied de poteau : eext e + f e ext 3..7 Conlusion L équilibre est assuré si : 0,87 + 0,87 0,374 m e N u N i > N u e int f e ext N e i int e > N > e ext ext 0 r N i,7 MN > 0,600 MN N ext e int 0,56 m < 0,374 m e ext e int < e ext Il faut augmenter M i et diminuer en diminuant. N i ε r

134 0 3. Seonde itération 3.. Déformations de départ Pour les aiers : 74 ε s inhangé ε s, (voir 3..) 000 Pour le béton : ε diminué Prenons ε 9, Contrainte des aiers omprimés d' d x u s s x u 9, ε 000 d x u 036, ε + εs 9, 74, ,88 m xu d εs ' ε x u 9, 0, 88 0, 04 ε s.,50/ , 88 aiers : σ s par le diagramme de alul des f yd f yk f yk y s Diagramme aratéristique simplifié Diagramme de alul Artg E s f yd uk E s.0 5 MPa E s

135 Instabilité de forme Flambement 3..3 Effort normal interne Béton omprimé : ( ) σ E. ε. 0., MPa ε < ε + ϕeff le diagramme des ontraintes est onstitué par une fration de sa partie roissante, d où : E k 05,. ε ave γ E, k 470, (voir 3..3) Aiers omprimés : 0,855 MN 4 A.σ F s 5., ,470 MN Aiers tendus : m ef E ( + ϕ ). f d + a. ε ϕ k ε F A. σ 5., ,5464 MN Effort normal interne : Effort normal externe : γ ( ) ef 0, ,470 0,5464 0,7798 MN Next 35,. NG + 5,. NQ N ext 600 kn (voir.3.) ε s 50, 74, < ε s s s k ε ψ + a k. Log a k. ε + ϕ yd 5 3 3,. 0 ( + 0, 356) a. 3 0, , 90,. 470, ψ ,. Log, 0, ( ) ef + + a a.log a 900, , ,, 0. 0 ( + 0, 356),. Log 0 555, ψ 0, 68 F ψ. bw. xu. fd F 0, 68. 0, 40. 0, 88. 6, 7 F s s s s s s Ni F + Fs Fs N i N i 4 F s 0,780 MN > 0,600 MN N ext

136 3..4 Moment fléhissant interne d' '.d G x u F s AN d A s x u u.d s F A s b w s F s Béton omprimé : δ G k a+ a + ψ ( k ).Log a ε 6. a 3. a a. + Log ψ ( k ) ε ( + ϕ ) ef 6 a 470, δ G 0, , 555.Log + 0, 68( 4, 70 ) 0, 555 M 90, 6. 0, , , 555.Log + 0, 68( 4, 70 ), ( + 0, 356) 6 0,555 h F δ. x M 0,07 mmn ,, 0, , 88 G u Aiers omprimés : M F h s d 0,0754 mmn ' M s ,, 004, s Aiers tendus : δ G 0, 398 h Ms F s d Total : 040 M s ,, 0, 40 0, 04 0,0874 mmn Mi M + Ms + Ms M i 0,07 + 0, ,0874 0,699 mmn 3..5 Exentriité interne M e int i N e 0, 699 int 0, 7798 i 0,346 m

137 Instabilité de forme Flambement Exentriité externe Flèhe ultime orrespondant à la déformée en demi-onde de sinusoïde : ε + εs ,00 m r d r, +, 036, f l 0,474 m π. r f, 00 0, 00 π 0 Exentriité externe : eext e + f e ext 3..7 Conlusion L équilibre est assuré si : 0,87 + 0,47 0,334 m e N u N i > N u e int f e ext e 0 r r N e i int > N > e ext ext N e i 0, 780 mmn > 0, 600 mmn N 0, 346 m > 0, 334 m int ext la stabilité au flambement est assurée. e ext

138 4 Appliation n : dimensionnement des armatures par la méthode de la rigidité Énoné P u COUPE AA A? e 0 40 m l 6,00 m 30 m A A 40 m Solliitations : P u 0, 300 MN et P ser 0, 05 MN exentrées de e 0 9,6 m, poids propre négligé. Poteau isolé ontreventé. Matériaux : béton : f k 5 MPa, ϕ ef ; aiers : S 500 à palier horizontal. On se propose : / d examiner la néessité du alul au flambement en supposant ϕ ef inonnu ; / de aluler le moment total (premier ordre et seond ordre) par la méthode de la rigidité ; 3/ de aluler les armatures longitudinales dans le as où la setion est armée symétriquement ; 4/ de vérifier le poteau au flambement.

139 Instabilité de forme Flambement 5 Corrigé. Caratéristiques des matériaux. Béton f k >< 50 MPa λ, η f k 5 MPa < 50 MPa λ 08, η f f f E d fk α f d 5 6,7 MPa γ 5, fk η. f ηα. f u. 5 6,7 MPa γ 5, u d m m f +8 ( MPa) f m MPa k 03, fm ( MPa) E m f 50 MPa f 0, 3 f ftm 035, [ ] 3,56 MPa [ ] k tm k 3 03, MPa. Aiers f yd fyk f 500 γ yd 5, s 435 MPa. Néessité du alul au flambement. Setion initiale d armatures (étape ) A s Setion d armatures non enore déterminée : A s 000, m. Élanement (étape ) Longueur effiae : poteau isolé enastré en pied ,,00 m libre en tête

140 6 Pour un poteau de setion retangulaire : λ 0b b Max setion arrée : λ 0h h 0, b 0,40.3 Dispense de la vérifiation de l état limite de stabilité de forme (étape 3) Poteau isolé : λ ave : A.B.C >< λ i lim n A + 0,.ϕ B +.ω ef 0,7 si ϕ ef est inonnu : ϕ ef inonnu A 0,7, si ω est inonnu : ω A s. f A. f yd d ω inonnu B, C 7, 0,7 si r m est inonnu : r m inonnu C 0, 7 r m NEd n effort normal réduit : A. f N Ed d P, N P 0,300 MN u Ed u 0, 300 n 0, 040,. 67, ,.,., λ 04 > 3, λlim 0, néessité de prendre en ompte les effets du seond ordre.

141 Instabilité de forme Flambement 7 3. Solliitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4) 3. État limite ultime 3.. Solliitations de alul γ i. N N P i Ed u γ i.n i 0,300 MN γ j. M jg P u. e γ. j M jg 0, , 096 0,088 mmn e γ. M j γ. N i jg0 i e 0, ,, 096 m 3.. Solliitations ultimes orrigées des imperfetions géométriques Puisque N Ed > 0 est une ompression. Solliitations orrigées pour le alul en flexion omposée poteau isolé d une struture ontreventée : l0 ei 400, 00 e i 0,03 m 400 solliitations au entre de gravité de la setion de béton seul : NEd γ i. Ni M N e + e 0 e0 e + ei ( ) EdG Ed i NEd 0, 300 MN MEdG 0, 300( 0, , 03) 0, 038 mmn 0 e 0 0, , 03 0, 6 m 3. État limite de servie Nser Ng + Nq M M + M 0 MserG0 e0ser Nser serg g q e 0 Nser 0, 05 MN MserG Nser. e ser ,.,, 00 mmn 0, 00 e0 ser 0, 096 m 0, 05 e 0ser On remarque que à l ELU est différent de à l ELS. 4. Solliitations du seond ordre par la méthode de la rigidité La méthode de la rigidité est imposée par l énoné.

142 8 4. Rigidité nominale (étape 5) 4.. Setion d armatures initiale La setion d armatures étant inonnue à e stade de l étude, nous prendrons une setion de départ, symétrique, obtenue en négligeant les effets du seond ordre à partir des diagrammes d interation (voir 5.8, hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). Pour une setion symétrique (béton et armatures), il onvient de prendre en ompte le supplément d exentriité : Δe 0 0 mm Max h 30 Arguments d entrée dans les abaques : M M + N.Δe M d 0, , , 0 0,044 mmn d EdG0 Ed 0 N N d 0,300 MN 0 mm Δe 0 0 mm Max , mm 30 Md μ bh.. f μ 0, , 04,.,., N d Ed d ν N d bhf.. d ν n 0, (voir.3) Pourentage d armatures sorti des abaques : ν μ 0, 04 ϖ ν 0 tot 0, ν ϖ tot μ μ Setion d armatures :

143 Instabilité de forme Flambement 9 A A A bh f s + s ϖ tot.. f A A s s d yd A A s s d ϖ tot.. bh f f yd 4.. Rigidité nominale orrespondante EI K. E. I + K. E. I ave : E d d s s s Em γ E A A 000, m s s où : γ E, E d 6 30 MPa, I moment d inertie de la setion 4 040, de béton : I, m E s valeur de alul du module de déformation de l aier : E s MPa I s 3 4 moment d inertie de la setion des armatures par rapport au entre de gravité de la setion de béton seul : ρ A s A ρ 0, 00 < 0, 00 A s don, pour rester dans les limites ρ 000, permettant de aluler les oeffiients et, nous retiendrons : K s K As ρ 0, 005, d où : A ρ. A 0, , 40. 0, 40 8, m I s As h I s 800,. 4 ( 0, 0 0, 05), m 5 4 K s K s

144 30 K ave : k (MPa) oeffiient 0 dépendant de la lasse du béton : Remarque d où le moment orrigé M Ed sera supérieur au moment du premier ordre M M. 4. Moment de alul total (premier + seond ordre) à l ELU (étape 6) Moment orrigé ompte tenu des effets du seond ordre : ave : k. k + ϕ f k ef 5 k, 0 λ n k Min 70 oeffiient dépendant de l effort normal et de l élanement, 0 où : NEd n effort normal relatif : n 0, (voir.3) A. fd ϕ ef oeffiient de fluage : ϕ ef 0, 04 0, 069 k 0, 069 Min 70 00,,. 0, 069 K 0, 06 + N Ed EI 0, , , EI 5, 055 MNm EI >< NB π 5, 055 N N Ed 0, 300 MN < B π 0, 346 MN l0, 00 0Ed EdG0 β M Ed M 0Ed N B N Ed N Ed N Ed effort normal agissant à l ELU : 0,300 MN (voir.3) 3 5

145 Instabilité de forme Flambement 3 0 moment du premier ordre : M0 Ed Md 0,044 mmn (voir 4..) M Ed N B π EI harge de flambement : N π 5, 055 0,346 MN B, 00 0 π β 0 où : 0 8 : moment du premier ordre onstant, 96, : moment du premier ordre parabolique, : moment du premier ordre triangulaire symétrique, et. Moment du premier ordre onstant 0 8 π β 8,34, 34 M Ed 0, ,398 mmn 0, 346 0, 300 Moment de alul à l ELU par rapport aux aiers tendus : M G0 N N C e e A 0 G 0 G 0 h/ d A s MEd e0 NEd h ea e0 + d MEdA NEd. ea 0, 398 e0, 37 m 0, , e A, , 35 4, 77 m M EdA 0, 300., 477 0, 443 mmn

146 3 5. Calul des armatures (étape 7) 5. Introdution Moment réduit de référene à l ELU : Allongement Raourissement h d x u h C 3,5 B f u f u λ.x u λ x u F A s O z 0 μ BC h λ h λ d. d μ BC 0835, 40 0, , 455 Moment réduit agissant : μ u MEdA b. d. f μ 0, 443 u 0, 54 0, 40. 0, 35. 6, 7 w Conlusion : μ u Setion entièrement omprimée. La setion étant entièrement omprimée, nous utiliserons les diagrammes d interation (voir 5.8, hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). Nous supposerons don que la setion est armée symétriquement. 5. Armatures 5.. Arguments d entrée dans les abaques M d MEd M d 0,398 mmn (voir 4.) N d N Ed u >< μ μ 0, 54 > 0, 455 μ BC Md μ bh.. f μ 0, , 37,.,., d u BC ν N d bhf.. d ν n 0, (voir.3)

147 Instabilité de forme Flambement Pourentage d armatures sorti des abaques ν μ 0, 37 ϖ ν 0 tot 079,, ν ϖ tot μ μ 5..3 Setion d armatures A A A bh f s + s ϖ tot.. f A A s s d yd A A A omme A s A s > A s, prov 0,00 m (voir 4..), nous effetuons une vérifiation au flambement pour la setion d armatures que nous venons de déterminer et que nous adopterons omme setion réelle. s s d ϖ tot.. bh f f yd As ,,.. 7 4, 6 m 435 s 6. Vérifiation au flambement 6. Setion d armatures de départ (étape ) A, A, 4, 6 m s prov s prov 6. Dispense de vérifiation au flambement (voir.3) (étapes et 3) En ne mentionnant que les paramètres qui sont affetés par la donnée de la setion d armatures, il vient : A + 0,.ϕ ef 0,7 si est inonnu : ϕ ef ϕ ef A 0, ,.

148 34 ω A s. f A. f yd d 4., ω 0, , 7 B +.ω, si ω est inonnu : B +. 0, 790, 606 r M M m 0 0 ave M > M M M P. e r u 0 m C 7, 0,7 si r m est inonnu : C, 7 0, 7 r m l0 0. ABC.. λ >< λlim i n 0. 0, 74., , 7 λ 04 > 47, 97 λlim 0, néessité de prendre en ompte les effets du seond ordre. 6.3 Solliitations du seond ordre par la méthode de la rigidité 6.3. Solliitations ultimes orrigées des imperfetions géométriques (étape 4) NEd γ i. Ni MEdG NEd e + ei + Δe e0 e + ei + Δe0 ( ) Rigidité nominale (voir 4..) (étape 5) NEd 0, 300 MN MEdG 0, 300( 0, , , 0) 0, 044 mmn 0 e 0 0, , , 0 0, 46 m E d Em E d 6 30 MPa γ CE (voir 4..) I moment d inertie de la setion de béton : I, m 4 (voir 4..) E s valeur de alul du module de déformation de l aier : E s MPa (voir 4..) I s moment d inertie des aiers par rapport au entre de gravité de la setion de béton seul : I s. 4, , 5, m

149 Instabilité de forme Flambement 35 ρ A s A Ks 0 ρ > 00, 03 K, + 0, 5. ϕ ef 4., 6 ρ 0, K K s 0 03, 05, + 0, 5. EI K. E. I + K. E. I d s s s EI 0, , , EI 8,39 MNm Moment de alul total (premier + seond ordre) à l ELU (étape 6) Moment orrigé ompte tenu des effets du seond ordre : N Ed effort normal agissant à l ELU : 0,300 MN (voir 6.3.) N Ed 0 moment du premier ordre : M Ed MEdG 0,044 mmn M Ed EI NB π harge de flambement : 0,575 MN l0 N B π 8, 39, π β 0 π β 8,34 (voir 4.) β,34 M Ed M 0Ed M N Ed 0, B 0, ,300 N Ed 0,03 mmn Moment de alul à l ELU par rapport aux aiers tendus : MEd e0 NEd h ea e0 + d MEdA NEd. ea 0, 03 e0 0, 343 m 0, , e A 0, , 35 04, 93 m M EdA 0, , 493 0, 48 mmn

150 Calul des armatures (étape 7) 6.4. Introdution μ BC h λ h λ d. d μ BC 0, 455 (voir 5.) μ u μ u MEdA b. d. f μ 0, 48 u 0, 8 0, 40. 0, 35. 6, 7 w Setion partiellement tendue. La setion étant partiellement tendue, pour une setion armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d interation (voir 5.8, hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) Arguments d entrée dans les abaques M d MEd M d 0,03 mmn N d N Ed u >< μ μ 0, 8 < 0, 455 μ BC Md μ bh.. f μ 0, , 096,.,., d u BC ν N d bhf.. d ν n 0, (voir.3) Pourentage d armatures sorti des abaques ν μ 0, 096 ϖ ν 0 tot 0,, ν ϖ tot μ μ

151 Instabilité de forme Flambement Setion d armatures A A bh f d s s ϖ tot.. As As f ,, , m 435 yd Conlusion (étape 8) A s et A s >< A s, prov s s s, prov s, prov A A 369, m < A A 46, m Nous avons alors deux possibilités : / si nous voulons affiner le ferraillage, il nous faut reommener les aluls développés dans le présent 6, en partant de As, prov As, prov > 369, m ; / si nous voulons vérifier la stabilité du poteau armé ave As, prov As, prov 4, 6 m déterminées au 5..3 i-devant, il suffit de vérifier les onditions : As As, prov As 369, m < 46, m As, prov O.K. As A s, prov As 369, m < 4, 6 m A s, prov

152 38 Appliation n 3 : vérifiation au flambement par la méthode de l estimation de la ourbure Énoné P u COUPE AA A? e 0 40 m l 6,00 m 30 m A A 40 m Solliitations : P u 0, 300 MN et P ser 0, 05 MN exentrées de e 0 9,6 m, poids propre négligé. Poteau isolé ontreventé. Matériaux : béton : f k 5 MPa, ϕ ef ; aiers : S 500 à palier horizontal. On se propose : / d examiner la néessité du alul au flambement en supposant ϕ ef inonnu ; / de aluler le moment total (premier ordre et seond ordre) par la méthode de l estimation de la ourbure ; 3/ de aluler les armatures longitudinales dans le as où la setion est armée symétriquement ; 4/ de vérifier le poteau au flambement.

153 Instabilité de forme Flambement 39 Corrigé. Caratéristiques des matériaux. Béton f k >< 50 MPa λ, η f k 5 MPa < 50 MPa λ 08, η f f f E d fk α f d 5 6,7 MPa γ 5, fk η. f ηα. f u. 5 6,7 MPa γ 5, u d m m f 50 MPa f 0, 3 f ftm 035, [ ] 3,56 MPa. Aiers f +8 ( MPa) f m MPa k 03, fm k tm k ( MPa) E m [ ] , MPa f yd fyk f 500 γ yd 5, s 435 MPa. Néessité du alul au flambement. Setion initiale d armatures (étape ) A s Setion d armatures non enore déterminée : A s 000, m. Élanement (étape ) Longueur effiae : poteau isolé enastré en pied libre en tête ,,00 m

154 40 Pour un poteau de setion retangulaire : λ 0b b Max setion arrée : λ 0h h 0, b 0,40.3 Dispense de la vérifiation de l état limite de stabilité de forme (étape 3) Poteau isolé : λ ave : A + 0,.ϕ ef A.B.C >< λ i lim n 0,7 si ϕ ef est inonnu : ϕ ef inonnu A 07, B +.ω ω A s. f A. f yd d, si ω est inonnu : ω inonnu C 7, 0,7 si r m est inonnu : r m inonnu C 0, 7 r m NEd n effort normal réduit : A. f N Ed P d u B,, N Ed P u 0,300 MN 0, 300 n 0, 040,. 67, ,.,., λ 04 > 3, λlim 0, néessité de prendre en ompte les effets du seond ordre. 3. Solliitations du premier ordre en pied de poteau (étape 4) 3. État limite ultime 3.. Solliitations de alul γ i. N N P i Ed u γ i.n i 0,300 MN

155 Instabilité de forme Flambement 4 γ j. M jg P u. e γ. j M jg 0, , 096 0,088 mmn e γ. M j γ. N i jg0 i e 0, ,, 096 m 3.. Solliitations ultimes orrigées des imperfetions géométriques Puisque N Ed > 0 est une ompression. Solliitations orrigées pour le alul en flexion omposée poteau isolé d une struture ontreventée : l0 ei 400, 00 e i 0,03 m 400 solliitations au entre de gravité de la setion de béton seul : NEd γ i. Ni M N e + e 0 e0 e + ei ( ) EdG Ed i NEd 0, 300 MN MEdG 0, 300( 0, , 03) 0, 038 mmn 0 e 0 0, , 03 0, 6 m 3. État limite de servie Nser Ng + Nq M M + M 0 MserG0 e0ser Nser serg g q e 0 Nser 0, 05 MN MserG Nser. e ser ,.,, 00 mmn 0, 00 e0 ser 0, 096 m 0, 05 e 0ser On remarque que à l ELU est différent de à l ELS. 4. Courbure (étape 5) La méthode de l estimation de la ourbure est imposée par l énoné. La ourbure est obtenue par la formule : Kr. Kϕ r r 0 4. Courbure orrespondant à l effort normal N bal ε yd fyd 435 ε yd, E s

156 4 r 0 ε yd 045,. d, , 038 m r ,., Coeffiient de orretion dépendant de l effort normal K r où : nu n Min nu n bal N n A. f n bal Ed d n u + ω ave ω A s. f A. f yd d n 0, (voir.3) n bal 0,40 A s inonnu ω 0 n u 0,, 480 K r 00, Min 0, 40 Remarque K r nu n n nbal 0, 40 n n NEd soit : n nbal 040, A. f d où : N u d bal 040,. A. f N Ed 0, 300 MN 0, 40. 0, 40. 6, 7, 06 MN Ed d e qui est le as ii. 4.3 Coeffiient de orretion tenant ompte du fluage K ϕ ave : + βϕ Max. ef f λ β 035, + k 5 04 β 035, + 0,

157 Instabilité de forme Flambement 43 ϕ ef M ϕ(, t0 ) M 0Eqp 0Ed ϕ ef 0, 8. 0, 564 K ϕ 00, Max 4.4 Courbure Kr. Kϕ r r r,.,.,, m 5. Moment ultime de alul total (étape 6) 5. Exentriité du seond ordre à l ELU e exentriité du seond ordre -- r ave : 0 longueur effiae 0,00 m 8: ourbure onstante, π 0 : autres as. 0, 00. 0, 038 0, 99 m 0 5. Moment orrigé ompte tenu des effets du seond ordre M M + M Ed ave : M Ed 0 moment du premier ordre : M0Ed MEdG0 0,038 mmn (voir 3..) M N. e Ed où : 0Ed moment du seond ordre e N Ed effort normal agissant de alul : N Ed 0,300 MN M 0, , 99 M Ed 0, , ,0597 mmn 0,0977 mmn

158 44 6. Calul des armatures (étape 7) 6. Moment par rapport aux aiers tendus à l ELU M G0 N N e A e 0 G h/ G 0 d 0 C A s MEd e0 NEd h ea e0 + d MEdA NEd. ea 0, 0977 e0 0, 36 m 0, , e A 0, , 35 0, 476 m M EdA 0, , 476 0, 43 mmn 6. Introdution Moment réduit de référene à l ELU : h d Allongement x u h Raourissement 3,5 B C f u f u.x u x u F z A s O 0 μ BC h λ h λ d. d μ BC 0835, 40 0, , 455 Moment réduit agissant : μ u MEdA b. d. f μ 0, 43 u 0, 75 0, 40. 0, 35. 6, 7 w Conlusion : μ u u >< μ μ 0, 75 < 0, 455 μ BC u BC Setion partiellement tendue.

159 Instabilité de forme Flambement 45 La setion étant partiellement tendue et armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d interation (voir 5.8, hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). Pour une setion symétrique (béton et armatures), il onvient de prendre en ompte le supplément d exentriité : Δe 0 0 mm Max h 30 0 mm Δe 0 0 mm Max , mm Armatures 6.3. Arguments d entrée dans les abaques Md MEd + NEd.Δe 0 M d 0, , , 0 0,037 mmn (voir 5.) Md μ bh.. f μ 0, , 097,.,., N d N Ed d ν N d bhf.. d ν n 0, (voir.3) 6.3. Pourentage d armatures sorti des abaques μ 0, 097 ν 0, ϖtot 0, 30 tot

160 Setion d armatures A A A bh f s + s ϖ tot.. f A A s s d yd A A s s d ϖ tot.. bh f f yd A 6, 7 As 0, , m 435 s omme As + As > As, prov 000, m (voir.), nous effetuons une vérifiation au flambement pour la setion d armatures que nous venons de déterminer et que nous adopterons omme setion réelle. 7. Vérifiation au flambement 7. Setion d armatures de départ (étape ) A, A, 399, m s prov s prov 7. Dispense de vérifiation au flambement (étapes et 3) En ne mentionnant que les paramètres qui sont affetés par la donnée de la setion d armatures, il vient : A + 0,.ϕ ω A s. f A. f yd d ef 0,7 si est inonnu : ϕ ef ϕ ef A 0, ,.., ω 0, , 7 B +.ω, si ω est inonnu : B +. 0, 30, r M M m 0 0 ave M > M M M P. e r u 0 m C 7, 0,7 si r m est inonnu : C, 7 0, 7 r m l0 0. ABC.. λ >< λlim i n 0. 0, 74.,. 0, 7 λ 04 > 33, 5 λlim 0, néessité de prendre en ompte les effets du seond ordre.

161 Instabilité de forme Flambement Solliitations du seond ordre par la méthode de l estimation de la ourbure (étapes 4, 5, 6 et 7) Pour ette itération, la setion d armatures n intervient que pour le alul du oeffiient K r où elle est prise en ompte par le biais du oeffiient n u + ω. Comme, d après la remarque du 4. : N Ed 0,300 MN 0, ,7,06 MN, et le moment de alul total (premier + seond ordre) sont inhangés et on K r peut onserver : A A 399, m. 7.4 Conlusion s s A s et A s > < A s, prov A s O.K. s s, prov s, prov m A 399, m A A 399,

162 48 Appliation n 4 : dimensionnement des armatures par la méthode de l estimation de la ourbure Énoné N G, N Q e 0 0 COUPE AA A s A s l 6,50 m x 30 m A A e m 30 m Solliitations : NG 600 kn exentrées de e 0,0 m en tête de poteau et de 0,0 m NQ 300 kn 0 e 0 en pied de poteau, poids propre négligé. Poteau isolé ontreventé. Matériaux : béton : f k 35 MPa ; aiers : S 500 à palier horizontal. On se propose : / d examiner la néessité du alul au flambement en supposant ϕ ef ; / de aluler le moment total (premier ordre et seond ordre) par la méthode de l estimation de la ourbure lorsque ϕ(,t 0 ) ; 3/ d en déduire les armatures longitudinales du poteau.

163 Instabilité de forme Flambement 49 Corrigé. Caratéristiques des matériaux. Béton f d fk α ( α ) f d 35 3, 3 MPa γ 5,. Aiers f yd b fyk f MPa γ yd 5, s. Néessité du alul au flambement. Setion initiale d armatures (étape ) A s Setion d armatures non enore déterminée : A s 000, m. Élanement (étape ) Longueur effiae poteau isolé 0 0 6,50 m bi artiulé Pour un poteau de setion retangulaire : λ 0b b Max setion arrée : λ 0h h 0 6, b 0,30.3 Dispense de la vérifiation de l état limite de stabilité de forme (étape 3) 0 Poteau isolé : λ A.B.C >< λ i lim n

164 50 ave : A + 0,.ϕ B +.ω ω A s. f A. f yd d ef 0,7 si est inonnu :, si ω est inonnu : C 7, r m 0,7 si r m est inonnu : r M M m 0 0 ave : M ϕ ef > M 0 0 NEd n effort normal réduit : A. f d ϕ ef A 07, + 0,. ω est inonnu M0 0 M N. e 0 u 0 C, 7 0, 7 B, M0 rm 0 M 0 N 35,. N + 5,. N : N Ed, , kn Ed G Q, 60 n 0, ,. 33, 0. 0, 7., 0., 7 λ 75 > 34, 5 λlim 0, 60 néessité de prendre en ompte les effets du seond ordre. 3. Solliitations orrigées des imperfetions géométriques (étape 4) On suppose que le poteau est astreint à se déformer uniquement dans le sens x (voir oupe AA, figure de l énoné). 3. Exentriité à prendre en ompte La setion la plus solliitée est vérifiée en supposant, à l ELU, une exentriité totale égale à : e e + e + Δe + e tot 0 i 0

165 Instabilité de forme Flambement 5 ave : e 0 exentriité résultant des aluls de RdM, e i exentriité due aux imperfetions géométriques, Δe 0 supplément d exentriité pour une setion symétrique (béton et armatures), e exentriité du deuxième ordre. 3.. Exentriité résultant des aluls de RdM Les exentriités aux deux extrémités du poteau étant différentes, on prend une exentriité équivalente donnée par : M 0e 06,. M + 04,. M Max 04,. M ,. e + 04,. e e0e Max 04,. e0 ave : e e ,., + 040,. 006, m 0 006, m Max 0400,., 0,04 m e e 3.. Exentriité due aux imperfetions géométriques Les imperfetions sont représentées par une inlinaison globale d un angle défini par : θ θ 0. α. α i h m ave : θ 0 valeur de base reommandée : θ θ i α h l oeffiient de rédution relatif à la longueur ou à la hauteur : α h 650, 0, 784 où : l longueur ou hauteur du bâtiment ou de l étage, α h < α h 0, 784 < 3 3 O.K. α m 05, + m oeffiient de rédution relatif au nombre d éléments,

166 5 où : m nombre d éléments vertiaux ontribuant à l effet total : α m 05, + θ i 00. 0, , 0039 Exentriité additionnelle pour l élément isolé : e i θ 0 i ---- e i ,, 0,07 m 3..3 Supplément d exentriité pour une setion symétrique Δe 0 0 mm Max h 30 0 mm Δe 0 0 mm Max mm Solliitations du premier ordre e e + e +Δe e 0, , , 0 0, 097 m 0 i 0 M0Ed NEd. e M 0Ed, 60. 0, 097 0,7 mmn 4. Courbure (étape 5) La méthode de l estimation de la ourbure est imposée par l énoné. La ourbure est obtenue par la formule : Kr. Kϕ r r 0 4. Courbure orrespondant à l effort normal N bal ε yd fyd 435 ε yd, E s r 0 ε yd 045,. d, , 079 m r 04507,., 0 3

167 Instabilité de forme Flambement Coeffiient de orretion dépendant de l effort normal K r où : nu n Min nu n bal N n A. f n bal Ed d n 0,60 (voir.3) n bal 0,40 n u + ω ave ω A s. f yd A s inonnu prenons, quitte à faire une A. f Remarque nu n K r n nbal 0, 40 nu nbal NEd soit : n nbal 040, A. f d où : N itération ultérieure : A e qui n est pas le as ii. 4.3 Coeffiient de orretion tenant ompte du fluage K ϕ ave : d d s ω. 0, 560 n u + 0, 560, , 3, 560 0, 60 0, 87 K r 0, 87 Min, 560 0, ,. A. f N Ed, 60 MN > 0, 40. 0, 30. 3, 3 0, 839 MN Ed d + βϕ Max. ef f λ β 035, + k β 035, + 0, A

168 54 M0Eqp NG. e0 M 0Eqp 0, , 06 0,036 mmn ( ) M0Ed 35,. NG + 5,. NQ. e M 0Ed (, 35. 0, 600 +, 5. 0, 300) 0, 097 ϕ ef M ϕ(, t0 ) M 0Eqp 0Ed M 0 Ed 0,7 mmn ϕ ef 0, 036 0, 65 0, 7 + 0, 05. 0, 65, 05 K ϕ, 05 Max 4.4 Courbure Kr. Kϕ r r r,.,.,, m 5. Moment ultime de alul total (étape 6) 5. Exentriité du seond ordre à l ELU e l0. r exentriité du seond ordre ave : 0 longueur effiae 0 6,50 m 8: ourbure onstante, π 0 : autres as. 0 (déformée sinusoïdale) 650,. 0, 050 0, 0634 m 0 5. Moment orrigé ompte tenu des effets du seond ordre M M + M Ed ave : M Ed 0Ed 0 moment du premier ordre : M Ed MEdG 0,7 mmn (voir 3.) M N. e Ed moment du seond ordre e 0 0

169 Instabilité de forme Flambement 55 où : N Ed effort normal agissant de alul : N Ed,60 MN M, 60. 0, 0634 M Ed 0, 7 + 0, ,0799 mmn 0,97 mmn 6. Détermination des armatures (étape 7) La setion étant armée symétriquement, nous utiliserons les diagrammes d interation (voir 5.8, hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). 6. Arguments d entrée dans les abaques M d MEd M d 0,97 mmn (voir 5.) Md μ bh.. f μ 0, , 33,.,., N d N Ed d ν N d bhf.. d ν n 0,60 (voir.3) 6. Pourentage d armatures sorti des abaques μ 0, 33 ν 0, 60 ϖtot 067, tot

170 Setion d armatures A A A bh f s + s ϖ tot.. f A A s s d yd A A s s d ϖ tot.. bh f f yd en vérifiant (voir hypothèse faite au 4.) : A As ,,.. 3 6, 5 m 435 s A s 3 00 A A A s 65., 3 0, O.K. 7. Itérations suivantes 7. Dispense de la vérifiation de l état limite de stabilité de forme (étape 3) A 0,7 (voir.3) ω A s. f A. f yd d ω.6, , ,3 B +.ω B +.0,670,53 C 7, (voir.3) n 0,60 (voir.3) λ A.B.C 0.0,7.,53.,7 >< λ i lim λ 75 > 47,64 λ lim n 0,60 néessité de prendre en ompte les effets du seond ordre. 7. Solliitations ultimes orrigées des imperfetions géométriques (étape 4) 7.3 Courbure (étape 5) M 0 Ed 0,7 mmn (voir 3.) 7.3. Courbure orrespondant à l effort normal N bal ε yd, (voir 4.)

171 Instabilité de forme Flambement 57 r 0 0, 079 m (voir 4.) 7.3. Coeffiient de orretion dépendant de l effort normal n 0,60 (voir 6.) n bal 0,40 (voir 4.) ω A s. f A. f yd d ω.6, , ,3 n u + ω n u + 0,670,670 K r nu n Min nu n bal,670 0, ,84 K r 0,84 Min,670 0, Coeffiient de orretion tenant ompte du fluage β0, 05 (voir 4.3) ϕ ef 0, 65 K ϕ, 05 (voir 4.3) (voir 4.3) Courbure Kr. Kϕ r r ,84.,05.0,079 0,053 m r 7.4 Moment ultime de alul total (étape 6) 7.4. Exentriité du seond ordre à l ELU e m -- 6,50 e r ,053 0, Moment ultime de alul total M N. e Ed M M + M Ed 0Ed M,60.0,0646 0,084 mmn M Ed 0,7 + 0,084 0,98 mmn

172 Détermination des armatures (étape 7) 7.5. Arguments d entrée dans les abaques M d MEd M d 0,98 mmn Md μ bh.. f N d N Ed ν N d bhf.. μ d d 0, ,35 0,30.0,30.3,3 ν n 0,60 (voir 6.) 7.5. Pourentage d armatures sorti des abaques μ 0,35 ν 0,60 ϖ tot 0,68 tot Setion d armatures A A bh f d s s ϖ tot.. A s A s -- 0, , ,39 m f 435 yd

173 Instabilité de forme Flambement Shéma de ferraillage En prenant deux nappes de 4 φ 0 HA et φ 6 HA : A s A s 4.3,4 +.,0 6,58 m 30 m 4 0 HA 6 HA 4 m 30 m 4 0 HA 6 HA

174

175 3 État limite de servie de maîtrise de la fissuration I. RAPPELS THÉORIQUES. Considérations générales La fissuration doit être limitée de façon à : ne pas porter préjudie au bon fontionnement de la struture ; ne pas rendre son aspet inaeptable. La fissuration est normale pour les ouvrages en béton armé soumis : à la flexion ; à l effort tranhant ; à la torsion ; ou à la tration ; sous l ation d un hargement diret ou de déformations gênées ou imposées. On peut admettre les fissures sans même tenter de ontrôler leur largeur ou de les éviter en prenant des mesures (réation de joints) pourvu qu elles ne soient pas préjudiiables au bon fontionnement de la struture 3. Il onvient d établir, en aord ave le lient, des limites appropriées tenant ompte 4 : de la nature de la struture ; de sa destination finale ; du oût de la limitation de la fissuration. Les fissures résultant du retrait plastique ou des réations himiques expansives internes au béton ne sont pas ouvertes par les règles i-après 5.. EC 7.3. ()P. EC 7.3. () 3. EC 7.3. (4) 4. EC 7.3. (5) 5. EC 7.3. (3)

176 6. Exigenes En l absene d exigenes spéifiques (étanhéité par exemple), il faut vérifier 6 : w k w max ave : w k ouverture alulée des fissures, w max valeur limite de l ouverture alulée des fissures. À défaut de valeurs données par l Annexe nationale, les valeurs reommandées pour sont les suivantes 7 : w max Classes d exposition Sous ombinaison quasi permanente des harges X0, XC () w max 04mm, s il y a une exigene vis-à-vis de l aspet () XC, XC3, XC4 w max 03mm, XD, XD, XS, XS, XS3 w max 03mm, (0, mm pour l Annexe nationale française) XD3 Dispositions partiulières fontion de la nature de l agent agressif impliqué (3). L Annexe nationale française apporte les ompléments suivants : () : sauf demande spéifique des douments du marhé, le alul de w max n est pas requis si les dispositions onstrutives autres que elles du présent hapitre sont respetées ; () : omme préédemment pour les bâtiments des atégories d usage A à D 8 ; (3) : w en l absene d autres dispositions partiulières 9 max 0mm,. Dans le as des ponts, à défaut de valeurs données par l Annexe nationale, les valeurs reommandées pour sont les suivantes 0 : w max Classes d exposition X0, XC XC, XC3, XC4 XD, XD, XD3, XS, XS, XS3 Sous ombinaison quasi permanente des harges w max 03mm, w max 03mm, w max 03mm, Lorsque la maîtrise de la fissuration est exigée, la méthode de alul de est elle indiquée au 4. Une option simplifiée onsiste à limiter le diamètre ou l espaement des barres (voir 5). w k 6. EC 7.3. (5) 7. EC tableau 7.N + voir AN 8. EN EC 7.3. (7) 0. EC 7.3. (05) + tableau 7.0N

177 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 63 Il y a lieu de respeter un pourentage minimal d armatures dans les zones tendues si la maîtrise de la fissuration est requise. 3. Setion minimale d armatures Si la maîtrise de la fissuration est requise (à moins d un alul plus rigoureux), la setion minimale d armatures à disposer dans les zones tendues des éléments est elle donnée i-après 3. Dans le as des setions profilées (exemple : poutres en T et poutres-aissons), il faut déterminer séparément le ferraillage minimal pour les membrures et pour les âmes. Dans le as des ponts, la déomposition suivante des setions en T est reommandée : A A A A s A s A s B B A s A élément de setion «membrure» B élément de setion «âme» 3. Cas général A ave : A k. k. f. σ s, min t, eff A s, min t s [4.] (7.) setion minimale d armatures dans la zone tendue, A t aire de la zone de béton tendu avant la formation de la première fissure (setion homogène non fissurée ave σ t f t, eff ) :. EC 7.3. (9). EC 7.3. ()P 3. EC 7.3. ()

178 64 AN A t f t, eff σ s f yk ou valeur inférieure si l on veut maîtriser la fissuration sans alul diret, alulée après formation de la première fissure dans la setion homogène fissurée (voir 5.., étape 3) ; l Annexe nationale française préonise f 4, σ s yk ft, eff ftm ou ftm ( t) à l âge où se produit la première fissure, ftm ( t) ft, eff Max 9, MPa ponts 5, à l âge où se produit la première fissure pour les k oeffiient prenant en ompte l effet des ontraintes non uniformes autoéquilibrées onduisant à une rédution des efforts dus aux déformations gênées : k h 0,65 b w h (m) : âmes b w (m) : membrures k oeffiient prenant en ompte la nature de la distribution des ontraintes dans la setion immédiatement avant la fissuration : en tration pure : k ; 4. EC voir ANF 5. EC 7.3. (05)

179 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 65 en flexion simple ou omposée : a) pour les setions retangulaires et les âmes des aissons et des setions en T : k σ k h 04, h f * t, eff b) pour les membrures des aissons et des setions en T : k Fr 09, 05, A. f t t, eff (7.) (7.3) où : σ N Ed h k * F r NEd bh. ontrainte moyenne du béton régnant dans la partie de setion onsidérée, (7.4) effort normal, à l ELS dans la partie de setion onsidérée (membrures, âmes des setions en T et des aissons), h Min 00, m 5, si NEd est une ompression, *. h si NEd est une tration, 3. h valeur absolue de l effort de tration dans la membrure juste avant la fissuration résultant du moment de fissuration alulé ave. f t, eff 3. Cas des setions retangulaires Flexion simple : σ s f yk ft, eff ftm : h 30 m k 065, : h 80m k 04, σ 0 A t bw. h ( ) A A s, min s, min 0, 40.,. f tm 04065,.,. f tm b. h : h 30 m. f w yk b. h : h 80 m. f w yk

180 66 A s, min ftm 00, bw. hsi h 30m fyk ftm 03, bw.h si h 80 m fyk [4.] Remarque Cette setion minimale est inférieure à elle exigée au titre des dispositions onstrutives pour les poutres (voir 7, hapitre 7 «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). Tration simple : σ s f yk ft, eff ftm : h 30 m k 065, : h 80m k 00, At bw. h A A s, min.. f tm bw. h : h 30 m f yk b. h. 0, 65. f : h 80m s, min tm w fyk A s, min ftm bw. hsi h 30 m fyk ftm 065, bw. hsi h 80 m fyk [4.3] Remarque La prise en ompte des aiers tendus préexistants dans le alul des aratéristiques géométriques des setions droites non fissurées onduit à augmenter la profondeur x de l axe neutre et orrélativement à diminuer l aire A t de la zone tendue, don aussi la setion minimale d armatures. A s, min 4. Calul des ouvertures de fissures 4. Introdution Pour omprendre le mode opératoire, il est néessaire de faire appel à quelques notions onernant la fissuration d un tirant, auquel peut être assimilée loalement, sur une distane omportant deux à trois fissures, la zone de béton entourant les armatures d une poutre fléhie.

181 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 67 «Tirant» de setion droite A F Fissure f Fissure f F A s σ t 0 σ tx σ s σ s s rmoy 4 σ sx < f t 0 σ s { σ s, moy { Contraintes dans le béton Contraintes dans les aiers x s rmoy,8.s r 0 s rmoy Si l on soumet un tronçon de tirant, omportant un pourentage d armatures supérieur au pourentage minimal, à une fore de tration axiale F progressivement roissante, pour une ertaine valeur de F, une première fissure f apparaît dans une setion (dont la position relève du hasard). À l emplaement de f, la ontrainte de rupture par tration du béton f t a été atteinte. Dans ette setion, l aier doit don équilibrer seul la fore de tration ; sa ontrainte y atteint sa valeur maximale. Les setions situées à proximité de la fissure sont dans un état intermédiaire entre : l état homogène non fissuré, enore appelé «état I» où l effort de tration est équilibré à la fois par le béton et par les armatures tendues : F A. σt + As. σs, l état totalement fissuré, enore appelé «état II nu» où l effort de tration est équilibré par les seules armatures tendues : F A s.σ s (ave σs > σs). De part et d autre de la fissure, du fait de la mise en jeu de l adhérene, la part de l effort équilibrée par l aier diminue, tandis que elle équilibrée par le béton augmente, de sorte que l on ait toujours : A. σ + A. σ F A. dσ A. dσ t s s s s t ave : A si F Cste. aire de la zone de béton tendu entourant les armatures.

182 68 Comme entre deux setions A et B d une barre infiniment voisines (voir 3.5, hapitre 4 : «Dispositions onstrutives», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) : F F +πφ.. f. dx B A bd On a don, en partant de la fissure (setion B de la barre pour l appliation de la formule préédente) : df F F A. dσ πφ.. f. dx soit : B A s s bd πφ. σ πφ... 4 d s f bd dx dσ Il vient don : 4. A f bd s dx A. dσ φ t s 4 f. φ bd dx ou, en supposant que f bd est onstant le long des barres, et en posant ρ A, on A obtient pour le béton, par intégration de la formule préédente à partir de la setion où s est produit la fissure : σ tx ρ 4.. φ f bd x f Ainsi, de part et d autre des lèvres d une fissure, l hypothèse faite sur entraîne que la ontrainte de tration du béton roît linéairement et, en ontrepartie, la ontrainte de tration de l aier déroît linéairement. La ontrainte de tration du béton ne peut atteindre à nouveau la valeur f t (valeur moyenne) qu à une distane s r0 de la première fissure telle que : ft x0 sr0 φ. [4.4] 4. ρ f bd s r0 est la distane minimale entre deux fissures suessives. Pour x0 > sr 0, σ f t, et l état méanique du tirant est le même que si la fissure f ne s était pas produite. De nouvelles fissures f, f 3s peuvent apparaître. Le béton du tirant se déoupe en tronçons de longueur r s r 0, mais il ne peut y avoir de tronçon de longueur supérieure à s r0. Quand la relation : s s s r0 r r0 s f bd

183 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 69 est satisfaite pour tous les tronçons, il ne peut plus apparaître de nouvelles fissures et l état de fissuration atteint est qualifié de fissuration omplète. L expériene montre qu il y a davantage de fissures distantes de.s r0 que de fissures distantes de s r0 et que la distane moyenne entre deux fissures est de l ordre de srmoy 8,. sr0. La ontrainte moyenne des aiers orrespond à la ontrainte à l absisse : x srmoy 045,. s 4 0 r0. Un tel développement de la fissuration ne s observe que si l effort de tration est suffisant pour provoquer la fissuration du béton par tration. C est-à-dire si : As f As. σs A. ft ρ A σ t s ave : A s setion des aiers du tirant, A setion du béton du tirant, F σ s ontrainte de l armature, As f t résistane à la tration du béton. Si une fissure apparaît alors que ette ondition n est pas remplie, elle ne peut être qu aidentelle (reprises de bétonnage, effets thermohygrométriques par exemple). Dans e as, on se trouve dans un état de fissuration non systématique, les barres se omportent omme si elles étaient sellées entre deux blos de béton. 4. Prinipe du alul 4.. Ouverture moyenne des fissures Les setions d un élément tendu ou fléhi n étant pas toutes fissurées, la présene de zones non fissurées d une ertaine longueur rend le omportement de l élément onsidéré disontinu. Nous sommes don onduits à nous référer à des valeurs moyennes. En désignant par : s rm distane moyenne finale entre fissures, ε sm allongement unitaire moyen de l armature seule sur la distane s rm, ε m allongement unitaire moyen du béton sur ette même distane, l allongement unitaire moyen de l armature par rapport à elui du béton adjaent vaut :

184 70 εsm, r εsm εm [4.5] w m L ouverture moyenne des fissures est égale à l allongement que subit l armature par rapport au béton sur la distane : [ ] w s ε s ε ε m rm. sm, r rm sm m Du point de vue pratique, seule la distane s rm s rm est diretement mesurable. [4.6] 4.. Distane moyenne s rm entre fissures Les résultats des essais onernant la distane moyenne entre fissures montrent une grande dispersion dus aux paramètres affetant ette longueur : diamètre φ des barres ; enrobage des armatures ; pourentage d armatures généralement rapporté à une setion d enrobage ; espaement a entre axes des barres ; et. ρ r s rm 4..3 Allongement relatif de l armature par rapport au béton On désigne par : σ s ontrainte de l armature dans une setion fissurée sous la ombinaison d ations onsidérée, σ sr ontrainte de l armature au moment où le béton se fissure (alul en setion fissurée soumise au moment de fissuration orrespondant à l atteinte de la ontrainte f t pour le béton tendu de la setion non fissurée), ε s déformation relative de l armature dans l état I (setion homogène non fissurée), ε s déformation relative de l armature dans l état II nu en négligeant la ontribution du béton tendu entre les fissures (setion homogène fissurée), ε sr et ε sr déformations relatives de l armature orrespondant à la ontrainte σ sr dans les états I et II nu respetivement. Dans l exemple du tirant, l effort de tration qui provoque la fissuration du béton est donné par la formule : Fr A. ft + As.σs Comme, par adhérene : ε σ εs ft s Es σs α E E E f s t e. f t

185 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 7 il vient : F A + α. A f r e s t ave : α e Es oeffiient d équivalene. E [4.7] Il lui orrespond, après apparition de la première fissure, dans l aier tendu, une ontrainte qui a pour valeur : σ sr [4.8] Pour une fore de tration F > F r, l allongement du tirant vaut Δl et la déformation relative moyenne de l armature vaut : ε sm ave : ( ) Fr A + α A A s s e f Δ ε s Δε s ε < ε < ε s sm s t Δε s ontribution du béton tendu entre les fissures. La représentation graphique de l état de déformation, dans le repère ( εs, σs) est don le suivant : tant que le tirant n est pas fissuré (état I ave σs σsr), le point représentatif dérit la droite ε s passant par l origine ; lorsque le tirant est entièrement fissuré (état II nu, fissuration omplète), le point représentatif dérit la droite ε s de pente E s passant par l origine ; entre es deux états, le point représentatif dérit une ourbe admettant pour asymptote la droite de pente passant par l origine. ε s E s σ s ε s Δε s σ s Δε s max ε s «Aier nu» σ sr Artg E s ε s ε sr ε s ε sr ε sm ε s

186 7 Dans l état intermédiaire entre les états I et II nu, la ontrainte dans les armatures vaut σ s et la déformation relative εsm εs Δεs. Le point représentatif de la déformation des armatures est déalé vers l origine de Δε s sur l horizontale d ordonnée σ s par rapport à la droite de Hooke. On peut admettre (simplifiation plausible) que pour σs > σsr (ou F > F r ) la ourbe représentant la variation de ε sm en fontion de σ s est un ar d hyperbole asymptote à la droite représentant la variation de pour l aier nu. Cet ar d hyperbole est défini par : Δε s σ Δεsmax σ (il suffit de remarquer que : σs σsr Δ εs Δ εsmax et lim εs 0) On en déduit : sr s ( ) ε ε Δε ε ε ε sm s s s sr sr σ σ sr s σ s Δ σs σsr εsm εs εsr + ε σ s sr σ σ sr s [4.9] Comme, d après les relations entre triangles semblables, on a : ε σ εs εsr ε σ sr ε σ sr s s εs εs r ε σ sr sr s s σ σ sr s σ σ sr s [4.0] [4.] on obtient, en fontion de et : ε ε ε ε sm s s sm σ σ sr s σsr εs σs ε + ε + ε s s s σ σ σ σ ε s En posant : ξ σ sr, l expression préédente s érit : σ s sr s sr s ( ) + ε ξ. ε ξε. sm s s [4.]

187 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 73 Établie dans le as d un tirant, don de la tration pure, ette expression demeure valable pour la flexion si l on onsidère que la zone tendue de la poutre est assimilable à un tirant de setion. σ sr résulte de l équilibre des fores au moment où le «tirant» de setion A, eff se fissure et où l effort équilibré par la setion homogène est transmis à l aier : A. σ A + α. A f s sr, eff e s tm En posant : ( ) A, eff ρ p, eff A A s, eff [4.3] il vient : ρ. σ + α. ρ p, eff sr e p, eff tm d où : σ sr. [4.4] Pour déterminer la différene εsm εm à utiliser pour le alul de l ouverture des fissures, en ne prenant pas en ompte le oeffiient ξ et en onsidérant que l allongement unitaire moyen du béton est proportionnel à εsr εs r, l euroode donne la formule : ave : oeffiient empirique permettant une évaluation de la déformation moyenne sur la distane maximale entre fissures en fontion de la durée du hargement. D où : ( ) ftm + αe. ρ ρ p, eff ( p, eff) εsm εm εs kt. εsr σ k. σ E k t ε sm σ ε m f Comme la ontribution du béton tendu est donnée par : Δε ε ε s s sm Δε ε k. ε s m t sr (voir figure préédente), s ( ) ftm kt + αe. ρ ρp, eff E s t sr s ( p, eff) s (formule règlementaire de l EC ), [4.5]

188 74 ela revient à substituer à la variation hyperbolique de la figure préédente une variation linéaire : σ s ε s Δε s k t ε sr ε s σ s «Aier nu» σ sr Artg E s ε s ε sr ε sr ε sm ε s 4.3 Espaement maximal des fissures s r, max 4.3. Armatures tendues ave faible espaement Lorsque a+ φ φ 5 + (voir figure du, hapitre 4 : «Dispositions onstrutives», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles), l espaement maximal des fissures est donné par l expression 6 : s k. + k. k. k r,max 3 4 φ ρ p, eff (mm) [4.6] (7.) ave : φ diamètre de la barre ou diamètre équivalent des barres en mm : φ : barre isolée φ n. φ + n. φ φeq n. φ + n. φ :n + n barres (7.) enrobage des armatures longitudinales, 6. EC (3)

189 État limite de servie de maîtrise de la fissuration k, : barres HA, 6, : ronds lisses fateur aratérisant l adhérene des armatures, k oeffiient tenant ompte de la distribution des déformations : 05, : flexion, ε + ε : flexion + tration ave setion entièrement tendue,. ε : tration simple ( ε ε). k (7.3) ε pour la setion fissurée, ε ( ε ) k 3 k 3 k 4 3,4 valeur reommandée 7, 34, si 5mm, mm, sinon pour l Annexe nationale française, 0,45 valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 8, ρ p, eff A A s, eff pour la setion effetive de béton définie au Armatures tendues ave espaement important Lorsque a+ > φ φ 5 + (voir figure du, hapitre 4 : «Dispositions onstrutives», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles), l espaement maximal des fissures est donné par l expression 9 : s 3( h x) [4.7] (7.4) r, max, 7. EC voir AN 8. EC voir AN 9. EC (3)

190 76 L Annexe nationale française stipule que ette valeur n est à retenir que si elle est supérieure à elle obtenue par la formule [4.6] Éléments armés dans deux diretions orthogonales Lorsque l angle entre les diretions des ontraintes prinipales et les diretions des armatures est signifiatif (> 5 ), l espaement maximal des fissures est donné par l expression : s r,max os θ s sin θ + s r,max, y r,max, z [4.8] (7.5) ave : θ angle entre les armatures dans la diretion y et la diretion de la ontrainte prinipale de tration, s et s r,max, y r,max, z espaements des fissures alulés respetivement dans les diretions y et z pour les valeurs de s r, max hoisies suivant le as omme indiqué aux 4.3. ou Ouverture alulée des fissures L ouverture alulée des fissures (différente de l ouverture réelle des fissures) est obtenue par la formule : w ave : w k s,max ε ε k r sm m s r, max ε m ε sm ( ) ouverture alulée des fissures, espaement maximal des fissures alulé au 4.3 i-dessus, allongement unitaire moyen du béton sur ette même distane, [4.9] (7.8) déformation moyenne de l armature de béton armé sous la ombinaison de harges onsidérée, inluant l effet des déformations imposées et en tenant ompte de la partiipation du béton tendu. Seul est pris en ompte l allongement relatif au-delà de l état orrespondant à l absene de déformation du béton au même niveau 3 : 0. EC voir AN. EC (4). EC () 3. EC ()

191 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 77 ε sm où : σ s σ ε m s ( p, eff) t eff k f, t + αe. ρ ρp, eff E s [4.0] (7.9) ontrainte dans les armatures de béton armé tendues, en supposant la setion fissurée, 0, 6 σ s E s α e E E s m oeffiient d équivalene aier/béton, ρ p, eff As ξ. A' A p A A, eff, eff s en béton armé ( ' 0), (7.0) A p k t 06, : hargement de ourte durée, 04, : hargement de longue durée, A, eff h, ef aire de la setion effetive de béton autour des armatures tendues (de hauteur, grisée sur les figures i-après) : x h d ε 0 Poutre h, ef ε h d x ε 0 h, ef ε Dalle h d h, ef d ε h, ef ε Élément solliité en tration

192 78 dans tous les as : h, ef 5, ( h d) h x Min 3 h ave x orrespondant à σ s 4.5 Vérifiation Il faut s assurer que 4 : w k w max Cette méthode est également reommandée pour les ponts 5 : 5. Contrôle de la fissuration sans alul diret 5. Cas des dalles de bâtiment Auune disposition partiulière n est néessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque 6 : l épaisseur totale de la dalle est telle que : h 00 mm ; les dispositions onstrutives de la dalle sont vérifiées (voir 5.5, hapitre : «Analyse struturale»). 5. Autres as Les méthodes dérites i-après, s appliquent aussi bien aux ponts, qu aux bâtiments 7. Les largeurs de fissures ne sont en général pas onsidérées omme exessives ( wk wmax) si 8 : / le pourentage minimal d armatures du 3 est vérifié ; 4. EC 7.3. (5) 5. EC (0) 6. EC () 7. EC (0) 8. EC ()

193 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 79 / les diamètres et espaements des barres respetent des valeurs limites suivant que la fissuration est due prinipalement : aux déformations gênées, e qui limite le diamètre des armatures (voir 5..) ; ou aux harges, e qui limite l espaement des barres (voir 5..) ou le diamètre des armatures (voir 5..). Dans la pratique, on a toujours les deux origines de fissuration. 5.. Fissuration due prinipalement aux déformations gênées Le diamètre maximal des armatures est déterminé en fontion 9 : de la ontrainte des armatures tendues (alulée pour la setion homogène fissurée à l ELS) ; de l ouverture maximale des fissures. Contrainte de l aier Diamètre maximal des barres q* s (mm) σ s (MPa) w k 04, mm w k 03, mm w k 0, mm La méthode est la suivante : / déterminer la solliitation immédiatement après fissuration dans la setion homogène non fissurée lorsque la ontrainte maximale de tration du béton vaut f tm ; / en déduire la hauteur h r de la zone tendue de la setion ; 3/ aluler, dans la setion homogène fissurée, la ontrainte σ s de l aier à l ELS sous harges quasi permanentes ; 4/ tirer du tableau i-dessus, par interpolation linéaire si néessaire, le diamètre * maximal φ s orrespondant à la ontrainte σ s obtenue à l étape préédente ; 5/ orriger le diamètre maximal obtenu à l étape préédente : φ s φ ft eff k. hr. : setion non entièrement tendue, 9, 8( h d) f [4.] (6.6N & 7.7N) h. se 9, 8( h d) : tion entièrement tendue. *, s * t, eff r φ s 9. EC ()

194 80 où : φ s * φ s k h h r d diamètre maximal modifié de la barre, diamètre maximal de la barre, tiré du tableau i-dessus, oeffiient prenant en ompte la nature de la distribution des ontraintes dans la setion immédiatement avant la fissuration donné au 3., hauteur totale de la setion, hauteur de la zone tendue, juste avant fissuration, 6/ vérifier que : φ réel hauteur utile du lit extérieur d armatures, φ s ave : diamètre maximal des armatures utilisées ; φ réel 7/ vérifier que la setion minimale d armatures du 3 est respetée en prenant la valeur de trouvée à l étape 3, au lieu de. σ s f yk 5.. Fissuration due prinipalement aux harges L espaement ou le diamètre maximal des armatures sont déterminés en fontion 30 : de la ontrainte des armatures tendues ; de l ouverture maximale des fissures. Même méthode qu au 5.. en utilisant : soit le tableau du diamètre maximal des armatures ; soit le tableau des espaements maximaux i-dessous : Contrainte de l aier Espaement maximal des barres (mm) σ s (MPa) w k 04, mm w k 03, mm w k 0, mm EC ()

195 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 8 6. Armatures de peau 6. Domaine d appliation Poutres de grande hauteur ( h 00, m). Armatures tendues onentrées sur une petite portion de la hauteur Armatures de peau supplémentaires En plus des armatures de peau (voir 0, hapitre 4 : «Dispositions onstrutives», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles), il faut prévoir, sur haque fae de la setion, une setion d armatures de peau supplémentaires régulièrement disposées entre l axe neutre et les aiers tendus, à l intérieur de adres, telle que : x A s, min ( ) b w A A k. k. f. σ s, min t, eff t s [4.] (7.) ave les paramètres du 3. modifiés omme suit : k 0,5, σ s f yk. Le diamètre et l espaement des armatures de peau sont hoisis omme indiqué aux 5.. et 5.. : ave égal à la moitié de la ontrainte des aiers tendus ; σ s et en se plaçant dans le as d une tration simple (voir 5.., étape 5 pour le alul de ). φ s 3. EC (3)

196 8 II. APPLICATION Appliation : setion retangulaire Maîtrise de la fissuration Énoné h 65 m b w 4 m d 60 m 4 0 HA On onsidère la setion droite retangulaire figurée i-ontre. Classe struturale : S4 Classe d exposition : XC Granulats : d g 5 mm Matériaux : aier : S 500 B ; béton : f k 30 MPa. Moment de servie : M ser 60 mkn, harges de longue durée ( ϕ ϕ(,t 0 ) ). MEd γ 45,. M ser Enrobage nominal : nom 35 mm. Ouverture maximale alulée des fissures : w max 0,3 mm. On se propose : / de vérifier que la setion équilibre bien le moment appliqué ; / de déterminer la ontrainte dans les armatures : dans le as où la setion n est pas fissurée (béton tendu pris en ompte) ; dans le as où la setion est fissurée (béton tendu négligé) ; 3/ d effetuer le ontrôle de la fissuration sans alul diret ; 4/ de déterminer l ouverture alulée des fissures. Corrigé. Vérifiations. Conditions d enrobage Voir appliation n, hapitre 4 : «Dispositions onstrutives», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles.

197 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 83 Enrobage nominal : nom 35 mm.. Vérifiation de la résistane de la setion Caratéristiques des matériaux : f k >< 50 MPa λ, η f k 30 MPa < 50 MPa λ 08, η f f u yd fk ηα. f u MPa γ 5, fyk f MPa γ yd 5, s Position de l axe neutre : en érivant l égalité des fores dans la setion, il vient : F λ. bw. xu. fu Fs As, u. fyd A,. f Fs F As, u. fyd λ. bw. xu. fu xu. b.f s u yd λ w u Moment ultime équilibré par la setion : 4 4., x u 0,4 m 08040,.,. z d λ x u z 060, 08, 0,543 m 0, 4 MRd As, u. fyd. z M Rd 4., , ,97 mmn Vérifiation : MEd γ MEd γ. Mser M Ed, 45. 0, 60 0,3 mmn M M Rd ser >< M M 0, 97 mmn > 0, 3 mmn M O.K. Ed Rd 4 Ed

198 84. Contrainte des aiers tendus. Setion non fissurée immédiatement avant fissuration.. Caratéristiques des matériaux f 50 MPa f 0, 3 f ftm 0330, [ ] 3,9 MPa [ ] k tm k 3 E s E s.0 5 MPa f m f +8MPa f m MPa k E m 03, fm (MPa) E m , MPa E, eff Em ( t) ϕ, t 0 + ( ) Charges de ourte durée d appliation : α e E E s, eff Es 0. ϕ 0 αe 609, E m 5 Charges de longue durée d appliation : α e 6 α e E E s, eff ϕ α e Es Em + ϕ , α e 8.. Paramètres 4 A s 4., , 56 m s ρ A b. d η h d w, 56 ρ 0, η,

199 État limite de servie de maîtrise de la fissuration Hauteur de l axe neutre (voir 8.., hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles, les valeurs numériques orrespondant au as des harges de longue durée d appliation figurent, entre parenthèses, dans les formules) : bw. h + αe. As. d bw. h + α x v' e. As. d A x v' h bw. h+ αe. As Ah bw. h+ αe. As x b w. d h As + e α. d b. d b d h w. + α d e w As b. d w η + αe. ρ d η+ α. ρ e ( 8), , 0087 x, , ( 35 97,, 75 ) m ( 8)..4 Moment d inertie de la setion droite homogène par rapport à l axe neutre (voir 8.., hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) 8 ( A b. h+ α. A A h 0, 4. 0, , , 635, ) m I h h w e s 3 bw. h + αe. As. d Ah. x 3..5 Moment fléhissant provoquant l apparition de la première fissure ( ) ( 8) ( 0, , 3597 ),., 4 I h + 6., , 60 0, , I h ( , 00606, ) m 4 f tm Mr ( h x) I h Ih Mr h x f tm ( 0, 00700) 0, M r 0, 65 0, , 0 ( ,, 056 ) mmn ( 0, 3597)

200 86 Remarque Plus rapidement, en négligeant les armatures, nous avons : M r bw. h f 6 tm 04065,., M r 9, 0,049 mmn 6..6 Contrainte de l aier au moment de la fissuration σ sr α e Mr ( d x) I h σ sr ( 0, 0699) ( 0, 3597) 0, 056 0, 60 0, , ( 8) ( 0, 00700) ( 43, ) 4, 6 MPa. Setion fissurée sous hargement appliqué.. Paramètres A s 4., 3 4, 56 m s ρ A b. d η h d w, 56 ρ 0, η, Hauteur de l axe neutre (voir , hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles, les valeurs numériques orrespondant au as des harges de ourte durée d appliation figurent, entre parenthèses, dans les formules) : bw. x e s e s + α. A. x α. A. d 0 e s w e s Δ α. A +. b α. A. d αe. As x + αe. As +. bwαe. As. d b w (raine positive) α e. As bw d x + + d b. αe ρ w αe A s αe. ρ

201 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 87 ( 6) x..3 Contrainte dans les armatures à l ELS Bras de levier des fores élastiques : 8. 0, , 60 + ( ,, 55 ) m 8. 0, 0087 ( 6) x z d 3 Contrainte de l aier : ( 0, 65) ( ) 0, 55 0, 545 z 060, 0, 55 m 3 Mser 0, Mser As. z. σs σs σ s A. z MPa,.. 0, 55 s ( 0, 545) ( ) Remarque En prenant une valeur forfaitaire du bras de levier, on trouve plus rapidement : z 09,. d z 09060,., 0,54 m σ s Mser A. z s 0, MPa, , 54 σ s 4.3 Conlusion La ontrainte des aiers tendus sous harges de longue durée est toujours plus élevée que elle obtenue sous harges instantanées. C est par onséquent sous l effet des harges de longue durée que nous effetuerons le ontrôle de la fissuration (voir σ s maximal onduit au diamètre et à l espaement minimaux dans les tableaux des 5.. et 5.. des rappels théoriques). 3. Contrôle de la fissuration sans alul diret 3. Diamètre maximal des armatures L ouverture maximale des fissures vaut : wk wmax 0,3 mm. / Solliitation immédiatement après fissuration (setion homogène non fissurée) : Ih Mr 0,0699 mmn (voir..5 pour 8) h x f tm M r α e / Hauteur de la zone tendue orrespondante dans la setion droite : hr h x h r 65 35, 97 9, 03 m (voir..3 pour α e 8)

202 88 3/ Contrainte des armatures, à l ELS, sous harges quasi permanentes (setion homogène fissurée) : σ s α e σs 47 MPa 8) (voir..3 pour φ s * 4/ Diamètre maximal orrespondant à la ontrainte obtenue à l étape préédente : le tableau du 5.. des rappels théoriques donne : σs 40 MPa φs wk 03 * 6 mm, mm σs 80 MPa φs wk 03 * mm, mm φ s * 5/ Diamètre maximal orrigé (setion retangulaire non entièrement tendue) : φ s φ f k. h 9, 8( h d) * t, eff r s. σ s N Ed N Ed 0 MN (flexion simple) N bh σ Ed σ Ed. k f Pour σ s 40 MPa : Pour σ s 80 MPa : N bh. σ (setion retangulaire k h 04, solliitée en flexion simple) h f k 04, * t, eff, ftm ft, eff f t eff tm 0,9 MPa 9, 0, 4. 0, 903 φ s 6. mm 9 8( ) 464,,,, 9, 0, 4. 0, 903 φ s. mm 9 8( ) 348,,,,

203 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 89 D où pour σ s 47 MPa : 6/ Vérifiation : φ s 464, 464, 348, mm , 44 φréel >< φs φréel 0 mm /< 4 44 mm φ Condition non vérifiée. La ondition sur le diamètre maximal des armatures n étant pas vérifiée et la fissuration étant due aux harges, on peut vérifier l espaement maximal des armatures (au lieu de leur diamètre maximal). 3. Espaement maximal des armatures L ouverture maximale des fissures vaut : w La ontrainte des armatures vaut (voir..3) : Le tableau du 5.. des rappels théoriques donne : σ s w k σ s w k σ s w k L espaement réel des armatures vaut : k w max, s 0,3 mm. σs σs 47 MPa sous harges de longue durée d appliation dans la setion de béton fissurée. 40 MPa a mm, mm 80 MPa a mm, mm 47 MPa a , mm mm nom a a a nom b w

204 90 a réel b w Vérifiation :. nom 4.φ a réel 30 mm 3 aréel >< a a réel 30 mm < 9 mm a O.K. 3.3 Setion minimale d armatures Comme l une ou l autre des onditions (diamètre ou espaement) doit être vérifiée, le ontrôle de la fissuration sans alul diret est assuré. N Ed N Ed 0 MN (flexion simple) N bh N bh. σ Ed σ Ed. 0 pour une setion retangulaire solliitée en flexion simple : k σ k h 04, h f * t, eff k 04, 300 mm h >< et 800 mm k 800 mm > h 650 mm > 300 mm k 065, + 035, 5 076, 50 f, ftm ft, eff f t eff tm,9 MPa σ s A A t bw. h A k. k. f. σ s, min t, eff t s σ s 47 MPa (maîtrise de la fissuration sans alul diret, voir 3., étape 3, ou..3), 04065,., A t 0, 078 m (voir remarque i-après), A s, min ,.,., , 78 m 47 4 As >< As, min As, 56 m > As, min, 78 m O.K.

205 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 9 Remarque Compte tenu de la setion d aiers tendus en plae dans la setion, l aire minimale de béton tendu juste avant la formation de la première fissure est obtenue en onsidérant la setion droite homogène non fissurée (ave α e 8 orrespondant à la ontrainte prise en ompte) : A b h x t w σ s ( ) A t ( ) m < 0, 4 0, 65 0, , 070 0, 078 m D où le fait de négliger les aiers tendus préexistants va dans le sens de la séurité. 4. Calul de l ouverture des fissures Bien que la fissuration soit ontrôlée sans alul de l ouverture des fissures (voir 3), nous alulerons i-après l ouverture des fissures. 4. Espaement final maximal entre fissures Espaement latéral entre axes des armatures : a+ >< φ φ 5 + ave nom 35 mm Espaement maximal entre fissures : s k. + k. k. k r,max 3 4 φ ρ p, eff a + φ mm < 5 mm φ : barre isolée φ n. φ + n. φ φeq n. φ + n. φ 08 k, : barres HA, 6, : ronds lisses. :n + n barres barres de même diamètre : φ 0 mm barres HA k 08, 05, : flexion, ε + ε : flexion + tration ave setion entièrement tendue,. ε : tration simple ( ε ε). k flexion simple k 05,

206 9 h, ef 5, ( h d) h x Min 3 h h d x Poutre h, ef ε ε 0 x orrespondant à σ s x x 0,55 m pour σ s 47 MPa à l ELS (voir..3 et.., setion homogène fissurée ave 8) α e h, ef, 5( ) 5 mm h x mm Min 3 mm 3 3 h mm A, eff bw. h, ef A, eff 0, 4. 0, 5 0, 0300 m nom 35 mm k 3 34, k 3 34, k 4 0, 45 k 4 0, 45 ρ p, eff As A ρ, p, 0, 049 eff 0, 0300, eff 4 0 s r, max 3, , 8. 0, 5. 0, mm 0, 049 Pour l Annexe nationale française : k 3 34, si 5mm, mm, sinon 35 mm k ,, s r, max 735, ,.,., mm 0, 049

207 État limite de servie de maîtrise de la fissuration Allongement relatif des aiers ε sm ε m σ s t eff k f, t + αe. ρ ρ p, eff ( p, eff) k t 06, : hargement de ourte durée, 04, : hargement de longue durée, f σ E s harges de longue durée d appliation k t 04,,9 MPa σs σ s 47 MPa (voir..3 ave α e 8) 0, 6 σ s E s, ftm ft, eff f t eff s tm α e E E s, eff α e 8 (voir.3) ε sm 9, 47 0, 4 ( , 049) 0, 049 εm , , > 7, , O.K Ouverture alulée des fissures w ( ) s,max ε ε w k 00. 0, , 98 mm k r sm m Vérifiation wk wmax wk 0, 98 mm < 0, 3 mm wmax O.K. 4.5 Setion minimale d armatures N Ed N Ed 0 MN (flexion simple) N bh N bh. σ Ed σ Ed. 0

208 94 pour une setion retangulaire solliitée en flexion simple : k σ k h 04, h f * t, eff k 04, 300 mm h >< et 800 mm k 800 mm > h 650 mm > 300 mm k 065, + 035, 5 076, 50 f, ftm ft, eff f t eff σ s A t f yk σ s f yk bw. h tm,9 MPa 500 MPa (maîtrise de la fissuration ave alul diret) 04065,., A t 0, 078 m A A k. k. f. σ s, min t, eff t s, A s, min ,.,., , 38 m As >< As, min As, 56 m > As, min, 38 m O.K. Cette valeur est différente de elle établie dans le as du ontrôle de la fissuration sans alul diret (voir 3.3 ave < f ). Remarque Compte tenu de la setion d aiers tendus en plae dans la setion, l aire minimale de béton tendu juste avant la formation de la première fissure est obtenue en onsidérant la setion droite homogène non fissurée (voir..3 ave maximum pour x minimum, soit pour 6) : A t A b h x t w ( ) A t ( ) m < D où le fait de négliger les aiers tendus préexistants va dans le sens de la séurité. σ s α e yk 0, 4 0, 65 0, , 075 0, 078 m 4.6 Remarque Bien que l Euroode ne le demande pas, assurons-nous que la fissuration est bien systématique, est-à-dire vérifions (voir 4..3 des rappels théoriques, formule [4.4] donnant ) : σ sr ( ) A. σ A + α. A f s s, eff e s tm,

209 État limite de servie de maîtrise de la fissuration 95 soit en posant : ρ p, eff A A vérifions : s, eff ( ) ρ. σ + α. ρ p, eff s e p, eff ftm σ + αe. ρ, s ρ p eff f tm p, eff σ s +.,, 9 MPa 0, 049 σ s 47 MPa > MPa O.K. et la fissuration est bien systématique.

210

211 4 État limite de servie de déformation I. RAPPELS THÉORIQUES. Généralités. Influene de la fissuration sur la flèhe Avant fissuration, le béton armé se omporte omme un matériau homogène. Après fissuration, en négligeant le béton tendu, nous obtenons un matériau hétérogène. Les solliitations provoquant la fissuration ( M r, N r ) orrespondent à l atteinte de la ontrainte de tration limite sur la fibre de béton la plus tendue dans la setion homogène non fissurée ( est-à-dire à l apparition de la première fissure). Cette ontrainte limite a pour valeur : ftm en général, ftm, fl en l'absene de ontraintes provoquées par le retrait ou les effets thermiques. La flèhe réelle y est, par onséquent, intermédiaire entre : la flèhe y I orrespondant à la ondition non fissurée, état dans lequel l aier et le béton agissent ensemble de manière élastique en tration et en ompression ; la flèhe y II assoiée à la ondition entièrement fissurée, état dans lequel l influene du béton tendu est négligée. y Condition entièrement fissurée y II y ylly I pour M M r ylly II pour M > M r 0 M r Condition non fissurée y I Charge ou moment. EC (4)

212 98. Influene de la durée d appliation des harges sur la déformée Les déformations sous harges de longue durée d appliation étant plus importantes que elles obtenues pour des harges de ourte durée d ation, il faut envisager deux ourbes de déformation. En tenant ompte : de la nature du matériau (fissuré ou non) ; de la durée d appliation des harges ; nous avons : y Charges de longue durée d'appliation Charges de ourte durée d'appliation Setion homogène A + α e. A s M r Setion homogène fissurée Charge ou moment.3 Influene de l inertie.3. Rappels de résistane des matériaux.3.. Travée isostatique uniformément hargée A (EI) l p B p. M f p. 5.p EI 48 EI M ,6 EI f M EI

213 État limite de servie de déformation Travée isostatique soumise à l ation d un ouple sur appui A C (EI) l B f C f 7 EI C EI.3..3 Travée ontinue uniformément hargée M i M i + i M t p M 0 (EI) l i + p. M f f M EI M i EI M i EI M 0.EI M i + M i+ 4 or : M M M + M 5 M + M t 0 > M0. 4 d où : i i+ i i+ f M t EI (très peu inférieur à)..3. Partiularités du béton armé En béton armé, l inertie n est pas onstante le long des travées des poutres du fait : des arrêts de barres et de la hauteur de la zone omprimée des setions droites ; de la prise en ompte ou non du béton tendu suivant que M < M r Don, les formules de la RdM ne sont pas diretement appliables. ou non.

214 00. Calul des flèhes à l état limite de servie de déformation. Setion entièrement omprimée La détermination des flèhes se fait par les méthodes lassiques de la résistane dy M x des matériaux (double intégration de l équation différentielle où dx ( ) EI I moment d inertie de la setion homogène non fissurée).. Setion partiellement tendue La flèhe réelle (et don la ourbure) est intermédiaire entre : la flèhe assoiée à la ondition entièrement fissurée ; la flèhe y II y I orrespondant à la ondition non fissurée... Courbure dans l état fissuré... Équation de la ourbure Pour deux setions droites (Σ ) et (Σ ) distantes de dξ et soumises à l ation d un moment fléhissant M : 0 dθ ε. dξ y r x dθ M d M z dξ x ( ) Σ ε s. dξ ( ) Σ A s

215 État limite de servie de déformation 0 La setion (Σ ) subit, vis-à-vis de la setion (Σ ), une rotation dθ sous l effet du moment fléhissant M. En désignant par r le rayon de ourbure de la ligne moyenne, on a : dξ r. dθ D autre part, le diagramme des déformations de la setion (Σ ) donne : ( ε + εs ) dξ dθ d D où : dξ ε ε dθ r d + s dξ Ce qui donne l équation de la ourbure : ε + εs r d Remarque Les déformations s érivent en fontion du moment fléhissant de servie : ε ε s M ser x σ f M ser.x ave : E E, eff E, eff E, eff. f M ser, eff ( ) + ( ) E t0 ϕ, t ( d x σ s ) f M ser ( d x ) Es ave : α E s α e.e, eff E, eff. e f E 0, eff d où la ourbure : ε -- + ε s M x ser + ( d x ) r d E, eff. f d y ε -- + ε s -- r d M ser E, eff. f [5.]... Cas des setions retangulaires d' A s x AN d AN α e E s E, eff A s b w La position de l axe neutre est fournie par l équation des moments statiques (voir , hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) :

216 0 bw. x + αe. As ( x d' ) αe. As ( d x ) 0 x En l absene d aiers omprimés, le bras de levier s obtient par : x z d 3 D où les ontraintes : F M z ser F b. x. σ A w s. M σ b. x Mser Mser σs z. σ A. z s s w ser.z [5.] [5.3] [5.4] Puis les déformations : ε σ E, eff ( ) + ( ) E t0 ave : E, eff [5.5] ϕ t, t 0 ε s σ s E s [5.6] Et enfin la ourbure : ε y" r Remarque + ε d s Que la setion droite omporte ou non des aiers omprimés, la ourbure peut également être obtenue par la formule : y -- r M ser E, eff. f [5.7] ave : I f 3 bw. x + αe. As( x d' ) + αe. As d x 3 ( )...3 Cas des setions en T La position de l axe neutre est fournie par l équation des moments statiques (voir 8.3.., hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) :

217 État limite de servie de déformation 03 b eff d' h d AN A s h f x AN α e E s E, eff A s b w. bw x x + ( beff bw ) hf + αe ( As + As) x beff b Si x h f on se ramène à une setion retangulaire de largeur b eff et il suffit d appliquer la méthode du... ave : b b. Si x, on a une setion en T : > h f le moment d inertie est obtenu par la formule : w hf ( ) + + w eff α e( As. d As. d' ) 0 I f 3 ( ) beff. x x h ( beff bw ) 3 3 f 3 + α. A x d'. A d x e ( ) + ( ) s α e s la ourbure est donnée par : Mser y" r E. I eff, f [5.8].. Courbure dans l état non fissuré... Équation de la ourbure Mser y" r E.I, eff h [5.9] I h moment d inertie de la setion homogène non fissurée.... Cas des setions retangulaires Caratéristiques géométriques (voir 8.., hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) :

218 04 d' A s ν' h AN d AN α e E s E, eff ν A s b w ( ) Ah bw. h+ αe As + As v ' bw. h ( ) + α A. d+ A. d' e s s A h I h bw. h + αe As. d + As. d' Ah. v' 3 Courbure : 3 M y" r E ser, eff. I ( ) h [5.0]...3 Cas des setions en T Caratéristiques géométriques (voir 8.. hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) : b eff d' h d AN A s A s h f ν' ν AN α e E s E, eff b w ( ) + ( + ) Ah bw. h+ beff bw hf αe As As v ' ( ) bw. h beff bw hf + A + α A. d+ A. d' h ( ) e s s

219 État limite de servie de déformation 05 I h b. h b b h Courbure : ( ) 3 3 w eff w f Mser y" r E.I, eff h ( ) e s s + α A. d + A. d' A v h. ' [5.]..3 Déformations Pour haque ondition (non fissurée ou entièrement fissurée), on obtient la flèhe par double intégration de la ourbure puisque : dy Mser dx E.I r ave I I ou I h f selon le as...4 Méthode de la double intégration de la ourbure On obtient suessivement par double intégration sur la portée de la poutre : / à partir de la ourbure : y" r r 0 x / par intégration de la ourbure /r ( re intégration) : y ' dξ θ r l x 0 x x 0 dξ r l x

220 06 3/ par intégration de la dérivée de la flèhe y ( e intégration) : y y'.dξ θ.dξ A x y.d 0 ξ 0 x f y (l) l x l x y (l) La droite OA d équation y ω 0. x+ y 0 permet de déterminer les onstantes d intégration résultant des aluls préédents : I I+ 0 l sur l appui origine I (x 0) : y 0 y y x ω 0. ω0 sur l appui extrémité I + (x ) : y( ) ω 0. ω 0 d où la valeur de la flèhe : f y( ) y( x) x y ( ) La première intégration numérique donnant les rotations peut être onduite par la méthode onsistant à assimiler sur deux intervalles suessifs de longueur a la ourbe y" à des ars de parabole : r

221 État limite de servie de déformation 07 y'' i a y". dx 5,. y" y y i i +. " i 05,. " i 3 [ ] + i+ a y". dx 05,. y" y y i i +. " i+ 5,. " i 3 [ ] + [α] [β] y'' i y'' i y'' i + x a a On remarquera que : i+ i i i+ a y". dx y". dx+ y". dx [ y " i i i + 4. y" i+ y" i+ ] 3 [γ] C est la formule dite des «trois niveaux». La seonde intégration numérique donnant les flèhes peut être menée en utilisant la formule des trapèzes omplétée par le premier terme du développement d Euler-Malaurin : y' f (x) y' y' i y' i + i a a f( x). dx [ f f f x f x i i + i]+ ( i ) ' '( i) soit : i a a y'. dx [ y ' y y y i i ' i " i " + ]+ i [ ] [δ] x a a La flèhe devant être nulle sur les appuis, il onvient de orriger les valeurs trouvées à la fin de la seonde intégration en retranhant y( ) x pour trouver la -- valeur de la flèhe f dans haque setion de alul : y( ) f y( x) x

222 08..5 Paramètres de déformation On désigne par paramètre de déformation : la déformation ; ou la ourbure ; ou la rotation ; ou, dans le as général, la flèhe. Le paramètre de déformation orrespondant à une ondition intermédiaire entre les onditions entièrement fissurée et non fissurée est obtenu par la relation : α ζα. + ζ. α ave : α paramètre de déformation, α I α II où : II paramètre dans la ondition non fissurée, paramètre dans la ondition entièrement fissurée, [5.] (7.8) β : harge unique de ourte durée, paramètre 0,5 : hargement à long terme ou fréquemment répété, prenant en ompte la durée de hargement, ontrainte de l aier tendu alulée en supposant la setion fissurée sous l effet du hargement appliqué, ontrainte de l aier tendu alulée pour la setion fissurée sous l effet du hargement provoquant la première fissure dans la setion. Remarque ( ) en flexion simple, I β σ ζ sr σ : setion fissurée, s oeffiient de distribution, (7.9) 0 : setion non fissurée, σ s σ sr σ σ sr s M r M σ σ sr s N r N en tration simple, ave : M et N solliitations agissantes,. EC (3)

223 État limite de servie de déformation 09 M r et N r Remarque solliitations provoquant la fissuration. La formule donnant le paramètre de déformation orrespondant à une ondition intermédiaire est à rapproher de la formule [4.], hapitre 3 : «État limite de servie de maîtrise de la fissuration»...6 Calul des flèhes Pour le alul des flèhes, la méthode de alul rigoureuse par intégration de la ourbure le long de l élément ompte tenu de l équation : ε + εs y r d r dx est laborieuse. Il est admis d opérer omme suit 3 : aluler la ourbure totale sous hargement et retrait (voir 4) en supposant la poutre non fissurée ; aluler la ourbure totale sous hargement et retrait (voir 4) en supposant la poutre fissurée ; en déduire la flèhe par double intégration en supposant la poutre non fissurée ; en déduire la flèhe y II par double intégration en supposant la poutre fissurée ; déterminer la flèhe pour la ondition intermédiaire : y ζ. y + ζ y II Remarque ( ) I y I Il revient au même et il est plus simple d opérer omme suit (on n effetue qu une seule double intégration) : ) aluler la ourbure totale sous hargement et retrait (voir 4) en supposant la poutre non fissurée ; ) aluler la ourbure totale sous hargement et retrait (voir 4) en supposant la poutre fissurée ; 3) déterminer la ourbure totale par la ondition intermédiaire : ζ + ( ζ) r r r II I 4) en déduire la flèhe y par double intégration. Cette méthode n est pas diretement appliable aux setions fissurées soumises à un effort normal signifiatif. 3. EC (7)

224 0.3 Méthodes simplifiées.3. Méthode basée sur une variation linéaire de la ourbure Cette méthode permet de s affranhir de la double intégration de la ourbure /r. Elle suppose que, sur la base d un déoupage de la poutre en un nombre pair de tronçons, la variation de la ourbure est linéaire sur haque tronçon et, par suite, que l équation orrespondante de la flèhe sur haun des tronçons est un polynôme du troisième degré 4. La flèhe est obtenue par la formule : y n i N j i indie de la setion où l'on alule la flèhe, où j indie de la setion dont on onnaît la ourbure, [5.3] n nombre (impair) de setions du déoupage. ave : M r E j ---- k i, j -- ser Les valeurs de N et étant données i-après. Le signe négatif provient du fait que la flèhe est onsidérée omme positive dans le sens asendant. Les oeffiients donnés i-après ont été déterminés à partir des onditions aux limites (ontinuité de la ourbure, des rotations et des flèhes) aux extrémités des tronçons suessifs de poutre..3.. Déoupage en tronçons r j ( xj) et I I h ou I f selon le as. I, eff k i, j N 48 ; y 0, y 3 0 y r 4. r r3 l / l / 3 4. Voir l annexe en fin d ouvrage.

225 État limite de servie de déformation.3.. Déoupage en 4 tronçons N 384 ;,.3..3 Déoupage en 6 tronçons N 96 ;,.3..4 Déoupage en 8 tronçons N 3 07 ;, l /4 l /4 l /4 l /4 y 0 y 5 0 y y y r r r r r l /6 l /6 l /6 l/6 l/6 l /6 y 0 y 7 0 y y y y y r r r r r r r l /8 l /8 l /8 l /8 l /8 l /8 l /8 l /8 y 0 y 9 0

226 .3..5 Déoupage en 0 tronçons N ;, Remarque Cette méthode s applique aussi aux poutres ontinues, à ondition de onsidérer que les ourbures des setions soumises à des moments fléhissants négatifs sont elles aussi négatives..3. Méthode basée sur une variation de la ourbure identique à elle du moment fléhissant Cette méthode permet de s affranhir : de la double intégration de la ourbure /r ; y y y y y y y r r r r r r r r r l /0 l /0 l /0 l /0 l /0 l /0 l /0 l /0 l /0 l /0 y 0 y 0 y y y y y y y y y r r r r r r r r r r r 0

227 État limite de servie de déformation 3 du alul de la ourbure /r dans plusieurs setions le long de la travée onsidérée. Elle suppose que la forme du diagramme des ourbures et elle du moment M( x) fléhissant sont les mêmes ( ). r EI La flèhe maximale est obtenue, à partir de la ourbure dans la setion soumise au moment maximal, par la formule : f k. --- r 0 [5.4] ave : k oeffiient fontion du diagramme des moments, r 0 ourbure dans la setion la plus solliitée, portée de la poutre. Le signe négatif provient du fait que la flèhe est onsidérée omme positive dans le sens asendant. Le oeffiient k dépend de la forme du diagramme des moments fléhissants. Il est donné par le tableau i-après :

228 4 Chargement Diagramme du moment fléhissant k M 0 M 0 0,5 l l M 0.l l P l P M max P ( )l 3 4.α ( α ) si α -- : M 0 M 0 l 0,065 l -----

229 État limite de servie de déformation 5 0.l P/ P/.l l p l l M A M p B l p P. α. l 0,5 α l P.l 8 0,04 l p. l 5,6 0,0 l M t β 0, M M A l B ave : β M A + M B M t

230 6 α.l P l α.l p l l/ P M A M B l α.l α.l p l P. α.l l p. α. l l M A M B l M t p. l 4 ( 3 4. α ) l α ( 3 α ) si α : -- 3 α ( 4 α ) si α : -- 4 ave : β 0, β M A + M B M t ( α ) α

231 État limite de servie de déformation 7 3. Bâtiments ourants Les dispositions dérites dans e paragraphe ne s appliquent pas aux ponts 5 : 3. Vérifiation de la flèhe Les déformations ne doivent pas exéder les valeurs que peuvent supporter les éléments liés à la struture 6 : loisons ; vitrages ; bardages ; appareillages ; finitions. Pour l aspet et les onditions d utilisation, il faut vérifier 7 : f f flèhe alulée sous harges quasi permanentes, portée de l élément (poutre, dalle ou onsole). [5.5] Une ontreflèhe peut être prévue pour ompenser en totalité ou en partie les déformations. Sa valeur ne doit pas exéder 8 : Pour les loisonnements et autres éléments en ontat ave l élément fléhi, il faut vérifier 9 : f [5.6] 500 f flèhe alulée après onstrution. L ELS de déformation peut être vérifié : en omparant une déformation alulée à une valeur limite (voir 3.) ; en limitant le rapport portée/hauteur (voir 3.3). 5. EC partie (ponts) 7.4. et EC 7.4..() & (3) 7. EC 7.4..(4) 8. EC 7.4..(4) 9. EC 7.4..(5)

232 8 3. Vérifiation des flèhes par le alul Le alul est alors onduit suivant les indiations 0 du. 3.3 Dispense de la vérifiation 3.3. Rapports de base portée sur hauteur utile Un élément dont le béton est faiblement solliité est tel que : As ρ < bw. 05, % d Un élément dont le béton est fortement solliité est tel que : As ρ > bw. 5, % d On peut admettre que les flèhes des poutres et dalles ne dépassent pas les limites figurant au 3. lorsque leur rapport portée/hauteur vérifie les onditions i-dessous, orrigées suivant les indiations du 3.3. : -- K,5 f ρ 0 + d k , f ρ k ρ ρ si ρ ρ 0 [5.7a] (7.6a) -- K,5 f d k ρ ρ ρ f k. ρ ---- ρ 0 si ρ > ρ 0 [5.7b] (7.6b) ave : f k en MPa, portée de l élément, d hauteur utile de l élément, K oeffiient tenant ompte des différents systèmes struturaux, fixé par l Annexe nationale (voir tableaux i-après), 3 ρ 0 f k. 0 pourentage d armatures de référene, ρ pourentage d armatures de tration néessaires : à mi-portée (travées) ; ou sur appuis (onsoles) ; 0. EC EC 7.4..(). EC voir AN

233 État limite de servie de déformation 9 ρ pourentage d armatures de ompression néessaires : à mi-portée (travées) ; ou sur appuis (onsoles). Ces formules ont été établies en admettant que dans la setion fissurée à miportée (dalles ou poutres) ou sur appuis (onsoles), sous harges de alul à l ELS : la ontrainte de l aier à l ELS est égale à 30 MPa (e qui orrespond sensiblement à f yk 500 MPa) ; le béton est de la lasse C30/35. Les orretifs à appliquer aux valeurs de /d trouvées i-dessus, ompte tenu : du niveau de ontrainte ; de la forme de la setion droite ; et. figurent au paragraphe Les formules [5.7a] et [5.7b] onduisent aux valeurs reommandées du tableau i-dessous 3 : 3. EC tableau 7.4 N

234 0 -- d Rapport portée sur hauteur : Système strutural K Poutre sur deux appuis simples. Dalles sur appuis simples portant dans une ou deux diretions. Travée de rive : d une poutre ontinue ; d une dalle ontinue portant dans une diretion ; d une dalle ontinue le long d un grand ôté portant dans deux diretions. Travée intermédiaire : d une poutre ; d une dalle portant dans une ou deux diretions.,0 petite portée pour les dalles,3 l l petite portée pour les dalles,5 petite portée pour les dalles, l Dalle sans nervures sur poteaux (planhers-dalles). portée la plus longue Béton fortement solliité Béton faiblement solliité A s ρ ,5 % b w.d ρ A s ,5 % b w.d

235 État limite de servie de déformation 0,4 Console. l L Annexe nationale française préonise les valeurs du tableau i-dessous 4 : Rapport portée sur hauteur : -- d Système strutural K,0 Poutre sur deux appuis simples. l,0 Dalle sur appuis simples portant dans une diretion. l petite portée pour les dalles,3 Travée de rive d une poutre ontinue. l 4. Voir AN 6 8 Béton fortement solliité Béton faiblement solliité ρ A s ,5 % A ρ s ,5 % b w.d b w.d

236 Travée de rive d une dalle ontinue portant dans une diretion ; d une dalle ontinue le long d un grand ôté portant dans deux diretions. Travée intermédiaire d une poutre Travée intermédiaire d une dalle portant dans une ou deux diretions. Dalle sans nervures sur poteaux (planhers dalles).,3 l petite portée pour les dalles,5 l,5 l petite portée pour les dalles, portée la plus longue

237 État limite de servie de déformation 3 Poutre en onsole. Dalle en onsole. 0,4 l 0,4 l 6 8 0

238 4 Si le pourentage d armatures est onnu, on peut interpoler entre les deux limites du tableau. Les valeurs de /d ainsi obtenues, même orrigées (voir 3..) sont souvent «onservatives», est-à-dire qu un alul préis montrerait que des éléments plus élanés donnent enore des flèhes aeptables Corretions des valeurs /d Le rapport portée sur hauteur utile à retenir est obtenu par orretion de elui extrait des tableaux préédents ou des formules [5.7a] et [5.7b] de la façon suivante 5 : -- β. d -- d tableau [5.8] le oeffiient β est donné i-dessous. Dans le as de plusieurs orretions, le oeffiient résultant β est obtenu par multipliation des différents oeffiients partiels β donnés i-après. Cas des setions en T : b eff b b eff w > 3 β08, [5.9] b w Cas des poutres et des dalles supportant des loisons suseptibles d être endommagées : 7,00 m eff > 7,00 m β [5.0] eff eff plus petite portée pour une dalle. Cas des planhers-dalles supportant des loisons suseptibles d être endommagées : 8,50 m eff > 8,50 m β [5.] eff eff plus grande portée de la dalle. 5. EC 7.4..()

239 État limite de servie de déformation 5 Cas où la ontrainte des aiers tendus dans la setion de moment maximal (à mi-portée d une poutre ou d une dalle ou à l enastrement d une onsole), à l ELS, est différente de 30 MPa (valeur de base pour l établissement des tableaux du 3.3.) : 30 MPa β σ s ou en prenant la valeur plus restritive donnée par : 30 MPa 500 MPa A. f A σ s yk s, req s, prov [5.] [5.3] (7.7) ave, dans la setion onsidérée : σ s ontrainte de tration de l aier à mi-portée (ou sur appui pour les onsoles) sous les harges de alul à l ELS, A s, prov setion d aier prévue, setion d aiers néessaire à l ELU. A s, req 4. Prise en ompte du retrait et du fluage Il y a lieu de prendre en ompte, en plus des déformations produites par le hargement appliqué, les déformations résultant des effets du retrait et du fluage. 4. Module d élastiité du béton Pour tenir ompte du fluage, la déformation totale, fluage inlus, peut être alulée en utilisant le module d élastiité effetif du béton 6 : E, eff ave : Em ϕ, t + ( ) 0 [5.4] (7.0) 03, fm Em 000 ( MPa) (voir.3.., hapitre : «Matériaux», 0 Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles), ( ) ϕ,t 0 oeffiient de fluage (voir.3.3.4, hapitre : «Matériaux», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). 6. EC (5)

240 6 4. Effets du retrait Le raourissement du béton est gêné par la présene des armatures. L effet du retrait agissant seul peut être assimilé à un effort normal de tration (fitif) appliqué au entre de gravité de la setion de béton seul et de valeur : N ave : ε. E. A s ε s E A déformation de retrait onsidérée, module d élastiité du béton, aire de la setion droite de béton seul. [5.5] Les armatures, en s opposant au retrait, exerent un effort égal et diretement opposé à N dans la setion homogène. D où les éléments de rédution au entre de gravité de la setion homogène : h N h/ h/ N d AN A s N s d s N s b w b w Setion de béton seul Setion homogène N s N : effort normal de ompression, Ms Ns. d : moment fléhissant positif, en désignant par d la distane du entre de gravité du béton seul au entre de gravité de la setion homogène. Par définition du entre de gravité de la setion homogène, on a : A. d α. A. d e s s [5.6] en désignant par d s la distane du entre de gravité des aiers tendus au entre de gravité de la setion homogène. On en déduit : M ( ε. E. A ). d ε. E. α. A. d ε. E. αe. S s s s e s s s en posant S As. ds moment statique des armatures tendues par rapport au entre de gravité de la setion homogène.

241 État limite de servie de déformation 7 D où, la ourbure due au retrait s érit 7 : Ms S εs. αe r E. I I s [5.7] (7.) ave : ε s déformation de retrait onsidérée, I moment d inertie de la setion droite homogène par rapport au entre de gravité de ette setion, Es α e oeffiient d équivalene, E, eff S moment statique de la setion d armatures par rapport à l axe passant par le entre de gravité de la setion homogène. La ourbure étant un paramètre de la déformation (voir..5), le alul de S et de I sont à faire deux fois 8 : pour la setion homogène non fissurée ; pour la setion homogène totalement fissurée ; la ourbure finale étant obtenue en appliquant la formule [5.] : ζ + ( ζ). (7.8) r r r s sii si II. APPLICATIONS Appliation n : poutre sur deux appuis simples Flèhe Énoné A COUPE AA l eff 5,0 m A 45 m 50 m A s 4 6 HA A s 30 m 7. EC (6) 8. EC (7)

242 8 Ations uniformément réparties : permanentes : g 6,5 kn/m (hors poids propre) ; variables : q 0 kn/m ; ϕ(,t 0 ) ; retrait : ε s 3 / Matériaux : béton : f k 0 MPa, εu εu3 35, ; aiers : S 500 A. On se propose : / dans la setion à mi-travée : de déterminer la ourbure sous hargement appliqué ; de aluler la ourbure due au retrait ; / de déterminer la ourbure dans haune des setions de la poutre (déoupage en dix tronçons d égale longueur) ; 3/ de aluler la flèhe le long de la poutre en supposant que les 4 φ 6 HA sont onduits sur appuis ; 4/ de vérifier l ELS de déformation vis-à-vis des onditions d utilisation. Corrigé. Caratéristiques des matériaux. Béton f m f +8 f m MPa k f 50 MPa f 0, 3 f ftm 030, [ ], MPa [ ] k tm k 3 3 E m 03, fm E m , 9 96 MPa E, eff Em ϕ, t + ( ) E, eff MPa + α e E E s, eff α e 0, Aiers f yk f yk 500 MPa

243 État limite de servie de déformation 9. Solliitations de flexion Les aluls sont onduits à l état limite de servie. Ations au ml : ϖ poids volumique du béton armé ϖ 5 kn/m 3 g g + ϖ. bw. h g 6, ,30.0,50 0,00 kn/m p g q ser + p ser Moment fléhissant maximal : M ser p l eff ser 8 p ser 0 kn/m M ser 0 50, 8 M ser 65 mkn 3. Courbures dues au hargement 3. Setion non fissurée 3.. Caratéristiques géométriques de la setion non fissurée ( ) 4 φ 6 HA 4.,0 8,04 m A b. h+ α A + A A 0,6608 m h 0, 30. 0, , h w e s s A s v ' bw. h ( ) + α A. d+ A. d' e s s A h v' ,., + 0., , ,6936 m 0, 6608 v h v' v 0, 50 0, 69 0,3 m I h 3 ( ) bw. h + αe As. d + As. d' Ah. v' ,., 4 I h + 0., , , , I h 3, m 4 4

244 Courbure Mser y" r E.I, eff h y" I , r , I Solliitation provoquant la fissuration σ t Mr. v f M f I h I v tm r tm h Remarque Comme M r < M ser 3 3, M r, 0,035 mmn 0, 3, nous sommes ertains que la setion médiane sera fissurée. 3. Setion fissurée 3.. Caratéristiques géométriques de la setion fissurée b w. x ( ) ( ) + α. A x d' α. A d x e s e s 030,. x 0 4 ( ) 0., , 45 x 0 0, 5. x + 0, x 0, Δ 0, , 5. 0, , 0678 x 0, , ,7 m 05., x z d Courbure 0, 7 z 045, 3 0,393 m σ ε. Mser b. x. z w σ E, eff σ 6,4 MPa 0, 30. 0, 7. 0, , ε 640,

245 État limite de servie de déformation 3 σ s Mser A. z s 3 σ s MPa 8, , 393 ε s σs 06 3 ε s 030, E s ε + ε 6, , r d r II 045, s ,. m 3..3 Remarque I f bw. x 3 + αe. As ( x d ) ' + αe. As d x 3 ( ) 3 0, 30. 0, 7 I f + 0., ( 0, 45 0, 7) 3 I f, m 4 4 Mser y" r E.I, eff f y" valeur établie au Courbure due aux harges ( ) α ζα. + ζ. α α I II paramètre dans la ondition non fissurée : α II paramètre dans la ondition entièrement fissurée : ζ β σ sr σ s I oeffiient de distribution : II ,. r , II α I α II r I 3, m 370,. 3 m r II 3 m : harge unique de ourte durée, β 0,5 : hargement à long terme ou fréquemment répété, β05,

246 3 σ s ontrainte de l aier tendu alulée en supposant la setion fissurée : σ σ 06 MPa (voir 3..) σ sr ontrainte de l aier tendu alulée pour la setion fissurée sous l effet du hargement provoquant la première fissure dans la setion : s s σ sr Mr 0, 035 MPa 4 A. z 8, , 393 s ζ 0, 5 085, , 85. 3, ( 0, 85)., , m r 4. Courbure due au retrait 4. Setion non fissurée Distane du entre de gravité des armatures tendues au entre de gravité de la setion homogène non fissurée : ds d v ' d s 0, 45 0, 69 0,8 m Moment statique des armatures tendues par rapport au entre de gravité de la setion homogène : Courbure due au retrait : S A. d S 8040,.. 08, 460,. m s s r si Ms ε E. I s. α e S I h , , m r si 3, Setion fissurée Distane du entre de gravité des armatures tendues au entre de gravité de la setion homogène réduite : ds d x d s 0, 45 0, 7 0,78 m Moment statique des armatures tendues par rapport au entre de gravité de la setion homogène réduite : S A. d S 8040,.. 078, 40,. m s s 4 4 4

247 État limite de servie de déformation 33 Moment d inertie de la setion homogène : I f bw. x 3 + αe. As ( x d ) ' + αe. As d x 3 ( ) 3 0, 30. 0, 7 I f + 0., ( 0, 45 0, 7) 3 I f, m 4 4 Courbure due au retrait : r sii Ms ε E. I s. α e S I f , , m r sii, Courbure totale due au retrait ( ) α ζα. + ζ. α II I α I paramètre dans la ondition non fissurée : α I , α II paramètre dans la ondition entièrement fissurée : α II , r si r sii m m ζ β σ sr σ s oeffiient de distribution : ζ085, (voir 3.3) 3 3 0, 85. 0, ( 0, 85). 0, , m r s 5. Calul de la flèhe par double intégration numérique Pour haque ondition (non fissurée ou entièrement fissurée), on obtient la flèhe par double intégration de la ourbure puisque : dy Mser dx E.I r La poutre est déoupée en dix intervalles de longueur 0,..

248 34 5. Courbures dues au hargement 5.. État non fissuré Données : I h 3, m 4 (voir 3..) E, eff MPa (voir.) Équations utilisées : Mx ( ) p.x. ( x) Mser y" r E.I I 5.. État fissuré Données : b w 0,30 m d 0,45 m, eff MPa h 4 A s 8040,. m E s 0. 5 x 0,7 m (voir 3..) z 0,393 m (voir 3..) Équations utilisées : σ ε. Mser b. x. z σ s ε s w σ E, eff Mser A. z σ s s E s

249 État limite de servie de déformation 35 s r II ε + ε d 5..3 Courbure due aux harges Donnée : σ sr MPa (voir 3.3) Équations utilisées : ζ β σ sr σ s ave β 0,5 ζ + ( ζ) r r r II I 5. Courbures dues au retrait 5.. État non fissuré Équation utilisée : r si Ms ε E. I s. α e S I h ,. m r si (voir 4.) 5.. État fissuré Équation utilisée : r sii Ms ε E. I s. α e S I f , r sii m (voir 4.) 5..3 Courbure due au retrait Équation utilisée : ζ + ( ζ) r r r s sii si

250 Tableau réapitulatif des ourbures Absisse Moment État non fissuré État fissuré Courbure sous harges Retrait & Fluage Total M(x) /r I σ σ s ε ε s /r II /r /r x/l ζ si /r sii /r s /r tot (mmn) (0-3 m - ) (Mpa) (Mpa) (0-3 ) (0-3 ) (0-3 m - ) (0-3 m - ) (0-3 m - ) (0-3 m - ) (0-3 m - ) (0-3 m - ) 0 0,000 0,000 0,00 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,36 0,767 0,36 0,36 0, 0,03 0,63,3 74 0,3 0,370,337 0,000 0,63 0,36 0,767 0,36 0,868 0, 0,04,4 4,0 3 0,4 0,659,377 0,640,96 0,36 0,767 0,576,50 0,3 0,055,476 5, ,539 0,864 3,9 0,79,776 0,36 0,767 0,656 3,43 0,4 0,06,686 6,6 98 0,66 0,988 3,565 0,840 3,65 0,36 0,767 0,68 3,947 0,5 0,065,757 6,4 06 0,64,09 3,74 0,853 3,45 0,36 0,767 0,689 4,4 0,6 0,06,686 6,6 98 0,66 0,988 3,565 0,840 3,65 0,36 0,767 0,68 3,947 0,7 0,055,476 5, ,539 0,864 3,9 0,79,776 0,36 0,767 0,656 3,43 0,8 0,04,4 4,0 3 0,4 0,659,377 0,640,96 0,36 0,767 0,576,50 0,9 0,03 0,63,3 74 0,3 0,370,337 0,000 0,63 0,36 0,767 0,36 0,868 0,000 0,000 0,00 0 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,36 0,767 0,36 0,36 Remarque Pour x 0,.l et x 0,9.l (ases grisées), on a M(x) 0,03 mmn < 0,035 mmn M r et la setion n est pas fissurée. On prend alors ζ 0. Remarque Les ourbures obtenues sont symétriques par rapport à la setion médiane. Remarque 3 On retrouve bien, pour la setion médiane, les résultats établis : au 3 pour l effet du hargement ; au 4 pour l effet du retrait.

251 État limite de servie de déformation Tableau de alul des flèhes Setions Absisse Courbure x/l y" i /r tot (0-3 m - ) (α) intervalles impairs (0-3 ) Première intégration Seonde intégration Corretion (β) intervalles pairs (0-3 ) y' i Cumul (0-3 ) y" i- -y" i (0-3 m - ) y' i - +y' i (0-3 ) (δ) (0-3 m) y i Cumul (0-3 m) y(l)/l*x (0-3 m) y f (0-3 m mm) a 3 [ y " +. y " 0,5 y " ] y ". dx,5 i + a y ". dx [ 0,5. y " +. y " +,5. y " ] i (α) y dx y + y + y " y " (δ) (β) a a [ ] [ ] i i i i. i i i i. i i. ' i ' i i i

252 38 Remarque Les aluls onduisent bien à une déformée symétrique par rapport à la setion médiane. Remarque Pour la première intégration, la formule des trois niveaux donne dans la setion d extrémité (ompte tenu de la symétrie) : y i 50,. { [. 0, , , , , 9468]+ 4. 4, 40} 3, Soit la valeur établie par double intégration. 5.5 Méthodes simplifiées 5.5. Méthode basée sur une variation linéaire de la ourbure Nous avons (voir.3. des rappels théoriques) pour le déoupage de la poutre en dix intervalles égaux : y n i i indie de la setion où l'on alule la flèhe, où j indie de la setion dont on onnaît la ourbure, n nombre (impair) de setions du déoupage. ave : M r E j ---- k N i, j -- j ser ( xj) I, eff N ; y 0, y 0 et I ou selon le as, Soit, ompte tenu de la symétrie : r j I h I f y r r r 3 r 4 r 5 r 6 50, y 6 { } [ 5. 0, , +., + 0., , ]+ 40., 4 40 et on retrouve quasiment la valeur de la flèhe établie par double intégration de la ourbure : y 6 0, 89 mm y 6 0, 89 mm 0,86 mm à 4 près par défaut.

253 État limite de servie de déformation Méthode basée sur une variation de la ourbure identique à elle du moment fléhissant Nous avons (voir.3. des rappels théoriques) à partir de la ourbure de la setion à mi-portée de la poutre : f k. --- r 0 ave : k oeffiient fontion du diagramme des moments : hargement uniforme omplet k 0, 04 ourbure dans la setion r 0 3 la plus solliitée : 4, m pour x --. r 0 portée de la poutre : Soit : 5,0 m 3 f 0, 04. 5, 0. 4, , 09 m et on retrouve quasiment la valeur de la flèhe établie par double intégration de la ourbure : y 6, 9 mm 0,86 mm à,4 % près par exès.

254 40 Appliation n : flèhe d une dalle de planher Énoné A 5 HA pm COUPE AA l y 3,00 m 5 HA pm A l x 5,00 m 0 m On onsidère le panneau intermédiaire retangulaire de dalle représenté idessus. Le panneau de dalle supporte des loisons suseptibles d être endommagées. Matériaux : béton : f k 5 MPa ; aiers : S 500. On se propose de vérifier la flèhe à l ELS à partir des rapports portée/hauteur en utilisant : / les valeurs tirées du tableau ; / les formules.

255 État limite de servie de déformation 4 Corrigé. Valeurs tirées du tableau Sens de flexion de la dalle : α x y 500, ---- >< 0,5 α 038, < 05, 3, 00 Pourentage d armatures : le panneau de dalle porte dans le sens x. ρ A s 53., bw. ρ 033, % d As ρ >< bw. d 05, % ρ As b < w. 033, % 05, % d le panneau de dalle est faiblement solliité. Rapport portée/hauteur sorti du tableau : As ρ bw. d système strutural -- d tableau ρ A s ,5 % b w.d dalle intermédiaire portant dans le sens x - 30 d tableau Corretions : panneau de dalle supportant des loisons suseptibles d être endommagées ave : 7,00 m eff x 7,00 m β eff x 5,00 m < 7,00 m β eff ontrainte des aiers tendus dans la setion à mi-travée : 30 MPa β σ s

256 4 ave : 30 MPa 500 MPa A. f A s, prov σ s yk s, req Valeur du rapport portée/hauteur retenue : f yk A 500 MPa β inonnu s, req -- β. d -- d tableau d Remarque pour l Annexe nationale française d ,7 m 30 d 7m > 6, 7m O.K. dispense de alul de la flèhe. As ρ b. w d système strutural -- d tableau A ρ s ,5 % b w.d dalle intermédiaire portant dans le sens x -- d 40 tableau ef f x 7,00 m β 7,00 m eff eff x 5,00 m < 7,00 m β 30 MPa β σ ave : s 30 MPa 500 MPa A. f A σ s yk s, prov s, req f yk 500 MPa A s, req inonnu β -- β. d -- d tableau d 500 d ,5 m 40 40

257 État limite de servie de déformation 43 Valeur plus favorable que elle reommandée par l EC. d 7 m >, 5 m O.K. dispense de alul de la flèhe.. Utilisation des formules Sens de flexion de la dalle : α x y 500, ---- >< 0,5 α 038, < 05, 3, 00 Pourentage d armatures : le panneau de dalle porte dans le sens x ρ A s 53., bw. ρ 033, % d Pourentage d armatures de référene : 3 f k. 0 (en MPa) ρ , 5 % 3 ρ 0 Coeffiient tenant ompte des différents systèmes struturaux tiré du tableau : As ρ bw. d K type de dalle ρ A s ,5 % b w.d dalle intermédiaire portant dans le sens x K,5 Remarque pour l Annexe nationale française Rapport portée/hauteur obtenu par les formules : La valeur du oeffiient K est elle reommandée. ρ>< ρ0 Formule à utiliser ρ 033, % < ρ0 05, % ρ< ρ 0 ρ - K,5 f 0 ρ + d k , f 0 ρ k ρ --,5 +, ,5 + 3, ,5 3 4 d 0,33 0,33

258 44 Corretions : panneau de dalle supportant des loisons suseptibles d être endommagées ave : 7,00 m eff x 7,00 m β eff x 5,00 m < 7,00 m β ontrainte des aiers tendus dans la setion à mi-travée : 30 MPa β σ ave : s 30 MPa 500 MPa A. f A s, prov σ s yk s, req eff Valeur du rapport portée/hauteur retenue : f yk A 500 MPa β inonnu s, req -- β. d -- d tableau d d ,9 m 4 d 7m >, 9m O.K. dispense de alul de la flèhe. Remarque -- >< d Tableau -- d Formules ou 40 < 4 d Tableau d -- Formules e qui orrobore le fait que les valeurs extraites du tableau soient plus «onservatives» que elles obtenues par les formules (et, par suite, que elles résultant d un alul de la flèhe par double intégration de la ourbure).

259 5 Poinçonnement I. RAPPELS THÉORIQUES Le poinçonnement est un phénomène qui est suseptible de se produire au voisinage des zones d appliation des harges onentrées sur les faes supérieures ou inférieures des dalles (ou des appuis des poteaux sur les semelles de fondation ). La transmission de la harge onentrée à la dalle (ou à la semelle) s effetue par l intermédiaire de bielles de béton : partant du ontour de l aire hargée ; formant un angle θ ave le feuillet moyen de l élément. Si la harge onentrée est trop importante et/ou si l aire d appliation de ette harge est trop petite, il risque de se produire un «arrahement» d une portion de la dalle entourant la zone de hargement par rapport au reste de la dalle : Feuillet moyen Aire hargée P u Revêtement h h Bielle de béton h Ce phénomène peut se renontrer dans les as suivants : Charge onentrée à la surfae d une dalle, Feuillet moyen Revêtement h h θ θ d h. EC 6.4. ()P

260 46 Appui d une dalle sur un poteau ave ou sans hapiteau, θ h H h Appui d un poteau sur une semelle de fondation. θ θ d h Il onvient alors de vérifier la résistane au poinçonnement de la dalle : à l origine de la bielle de béton partant du ontour de l aire hargée ; à l extrémité de ette bielle, à son intersetion ave le plan ontenant les armatures tendues sur la fae de la dalle opposée à l aire hargée (soit en prenant θ artg/ : à la distane.d du ontour de l aire hargée) ; éventuellement, au-delà de l extrémité de la bielle, si la vérifiation préédente onduit à prévoir des armatures de poinçonnement, pour délimiter la zone où doivent être disposées es armatures. Ce qui onduit à onsidérer trois ontours de vérifiation : u 0 u ontour onfondu ave la limite de l aire hargée, ontour exentré de.d par rapport au ontour de l aire hargée, u out, ef ou u out ontour exentré par rapport au ontour u, délimitant la zone où sont disposées les armatures de poinçonnement éventuelles. θartg Aire hargée θ θ d h u 0 u u out, ef ou u out. EC 6.4. (4)

261 Poinçonnement 47. Contours de référene. Définitions On désigne par : aire hargée ( A load ) : l aire d appliation, à la surfae d une dalle, d une harge onentrée (appliquée ou réation d appui) ; ontour de ontrôle de référene ( u ) : le ontour entourant une aire hargée à une distane donnée de elle-i. Cette distane est prise égale à.d ; aire de ontrôle de référene ( A ont ) : l aire délimitée par le ontour de ontrôle de référene 3 ; setion de ontrôle de référene : la setion qui suit le ontour de ontrôle de référene et s étend sur la hauteur utile d ; ontour de ontrôle : un ontour de même forme et parallèle au ontour de ontrôle de référene 4. Aire hargée Trae de la setion de ontrôle de référene h θ θ d θartg θ 6,6.d A sy A sz Aire de ontrôle de référene Aire de ontrôle de référene: A ont Autre ontour de ontrôle.d Contour de ontrôle de référene : u Aire hargée : A load 3. EC 6.4. (3) 4. EC 6.4. (7)

262 48 La hauteur utile de la dalle est onsidérée omme onstante et prise égale à 5 : dy + dz deff (6.3) d y d z ave : et hauteurs utiles des armatures dans les deux diretions perpendiulaires. Pour des dalles ou semelles de fondation de hauteur variable, mais pas à redans, la hauteur utile peut être prise égale à l épaisseur le long du ontour de l aire hargée 6 : d 0 θartg.d Aire hargée.d Setion de ontrôle de référene θ θ d h. Aire hargée éloignée d un bord libre Il onvient de minimiser la longueur du ontour de ontrôle de référene tout en respetant la distane.d à l aire hargée 7 :.d u u u.d.d.d 5. EC 6.4. () 6. EC 6.4. (6) 7. EC 6.4. ()

263 Poinçonnement 49.3 Aire hargée près d une ouverture 8.d 6.d l l ( ) u Aire hargée l Trémie La partie du ontour de ontrôle omprise entre les deux tangentes à la trémie issues du entre de l aire hargée est onsidérée omme non partiipante 8. Pour >, remplaer par :...4 Aire hargée prohe de bords libres Remplaer les ontours de ontrôle de référene obtenus au. par eux indiqués i-dessous si le périmètre qui en résulte (bords libres déduits) est plus faible 9 : Bord libre Bord libre Bord libre.d u u u.d.d Bord libre.d.d.d Pour une harge située à une distane inférieure à d d un bord libre, il onvient de prévoir des armatures de rive partiulières 0 : d h.h 8. EC 6.4. (3) 9. EC 6.4. (4) 0. EC 6.4. (5)

264 50.5 Cas des poteaux ave hapiteaux (planhers-dalles).5. Cas des poteaux irulaires On désigne par : H distane du nu du poteau au bord du hapiteau, h H hauteur du hapiteau, diamètre du poteau. Suivant que la fae latérale du hapiteau est située en deçà ou au-delà de la bielle de béton partant du ontour de l aire hargée, on distingue les deux as iaprès..5.. Cas où H <.h h La vérifiation des ontraintes de poinçonnement n est exigée que pour une setion de ontrôle située à l extérieur du hapiteau à la distane.d du ontour du sommet du hapiteau, soit à une distane de la ligne moyenne du poteau telle que : r ont.d + H + 0,5.. (6.33) r ont r ont A θ θ d θ θ h H l H l H B θartg θ 6,6 A setion de ontrôle de référene, B aire hargée.. EC 6.4. (8)

265 Poinçonnement Cas où h.h H La vérifiation des ontraintes de poinçonnement est exigée pour les deux setions de ontrôle situées : à l extérieur du hapiteau (e qui orrespond à la bielle de béton partant du sommet du hapiteau, omme pour le as du.5..) ; et à l intérieur du hapiteau (e qui orrespond à la bielle de béton partant de la base du hapiteau) ; soit aux distanes de la ligne moyenne du poteau suivantes 3 : r ont, ext.d + H + 0,5. (ontour à l extérieur du hapiteau), (6.36) ( ) + ront, int d+ hh 0, 5. (ontour à l intérieur du hapiteau). (6.37) A r ont, ext r ont, ext A A r ont, int r ont, int A d d H d h H d H h H l H l H B Artg 6,6 A setions de ontrôle de référene, B aire hargée. Pour la vérifiation des ontraintes de poinçonnement à l intérieur du hapiteau la hauteur utile à prendre en ompte est égale à 4. d H.5. Cas des poteaux retangulaires On désigne par : h H hauteur du hapiteau, et dimensions du poteau,. EC 6.4. (9) 3. EC 6.4. () 4. EC 6.4. (0)

266 5 H et H distanes du nu du poteau au bord du hapiteau, parallèlement à et respetivement. Les dimensions du hapiteau au niveau de la sous-fae de la dalle sont obtenues par : +. H largeur parallèle à, +. H largeur parallèle à, ave. l H l H (l H) H ( ) ( ) ( ) l < l l (l ).5.. Cas des hapiteaux retangulaires ave H <.h H La vérifiation des ontraintes de poinçonnement n est exigée que pour une setion de ontrôle située à l extérieur du hapiteau (voir figure.5..) à la distane de la ligne moyenne du poteau 5 : r ont Min.d + 0,56..d + 0,69.. (6.34 & 6.35) Remarque Pour les Règles EC, le domaine d appliation de e as est : H <.d. Le as où.d H.h H n est, par onséquent, pas ouvert lorsque d..5.. Cas où H >.h H La vérifiation des ontraintes de poinçonnement est exigée pour les deux setions de ontrôle situées à l extérieur et à l intérieur du hapiteau 6 (voir figure.5..). h H 5. EC 6.4. (8) 6. EC 6.4. (9)

267 Poinçonnement 53. Résistanes au poinçonnement. Contraintes tangentes résistantes Les valeurs de alul des résistanes au poinçonnement le long des setions de ontrôle sont 7 : v Rd, v Rd, s v Rd, max valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle sans armatures de poinçonnement, valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ave armatures de poinçonnement, valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle... Valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement... Cas des dalles La valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule 8 : v Rd, ave : ( ) + 3 Rd l k p C,. k. 00. ρ. f k. σ Max vmin + k.σ p (MPa) (6.47) C Rd, f k, 08 γ en MPa, valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 9, + k Min 00 d où d est en mm, ρ l ρly. ρ Min 00, lz, 7. EC ()P 8. EC () 9. EC voir AN

268 54 où : ρ ly et ρ pourentages d armatures tendues dans les diretions y et z respetivement. Il s agit des valeurs moyennes alulées pour une largeur de dalle égale à la largeur du poteau augmentée de 3.d de part et d autre de elui-i, (6.3N) valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 0, où : σ lz v min 0, 035. k 3. f k k 0, σ p σ y σ y y et σ valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française, + σ ontraintes normales supportées par le béton dans la setion ritique suivant les diretions y et z respetivement (MPa, positives en ompression),, NEd, z, σ z Az, et NEd, z efforts normaux agissant sur les largeurs de dalle partiipante assoiées aux poteaux, et Az aires des setions de béton qui orrespondent aux efforts normaux N et N pris en ompte. Remarque La formule de v Rd, est identique à elle figurant au 3.., hapitre 8 : «Effort tranhant», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles.... Cas des semelles de poteaux z N A N A z Ed y y Ed y y Ed, y Ed, z La valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une semelle de poteau sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule :. d CRd,. k. ( 00. ρ. fk ) 3. a vrd Max (MPa) (6.49) et (6.50). d vmin a ave : a distane du nu du poteau au ontour de ontrôle onsidéré, 0. EC voir AN. EC voir AN. EC ()

269 Poinçonnement 55 C Rd,, 08 γ valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 3, v min 0, 035. k 3. f k valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 4, + k Min 00 d où d est en mm. (6.3N).. Valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau ave ou sans armatures de poinçonnement La valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau ave ou sans armatures de poinçonnement est donnée par la formule 5 : vrd,max 05ν,.. fd valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 6 où : f k ν 06, 50 (6.6N) valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française ave en MPa 7. f k..3 Valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau ave armatures de poinçonnement La valeur de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ou d une semelle de poteau ave armatures de poinçonnement est donnée par la formule 8 : d v v (MPa) (6.5) s A f Rd, s 075,. Rd, + 5, sw. ywd, ef sin α u. d r 3. EC voir AN 4. EC voir AN 5. EC (3) 6. EC voir AN 7. EC voir AN 8. EC ()

270 56 ave : A sw s r aire d un ours d armatures de poinçonnement sur un périmètre autour du poteau ou du ontour hargé en mm, espaement radial des ours d armatures de poinçonnement en mm, d hauteur utile moyenne en mm, f ywd, ef limite d élastiité de alul effiae des armatures de poinçonnement : f ywd, ef , 5. d Min en MPa, fywd α angle des armatures de poinçonnement ave le feuillet moyen de la dalle.. Vérifiation de la valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement.. Contrainte maximale de poinçonnement... Cas d une harge loalisée entrée par rapport au ontour de ontrôle à la surfae d une dalle La ontrainte maximale de poinçonnement est la ontrainte tangente sur le ontour de ontrôle onsidéré 9 : v Ed VEd u. d i (6.38) ave : u i V Ed périmètre du ontour de ontrôle, effort agissant (harge poinçonnante), d hauteur utile moyenne de la dalle : d d y + d z (6.3) d y d z et hauteurs utiles des armatures dans les deux diretions perpendiulaires. 9. EC (3)

271 Poinçonnement Cas d une semelle de fondation La valeur nette de l effort agissant vaut 30 : VEd, red VEd ΔVEd ave : V Ed ΔV Ed effort tranhant appliqué, (6.48) valeur nette de la fore de réation vertiale à l intérieur du ontour de ontrôle onsidéré (réation du sol moins poids propre de la fondation). Cas d une harge entrée La ontrainte maximale de poinçonnement est la ontrainte tangente sur le ontour de ontrôle onsidéré 3 : v Ed V, u. d Ed red i (6.49) ave : u i périmètre du ontour de ontrôle, d hauteur utile moyenne de la semelle : dy + dz d (6.3) d y et d z hauteurs utiles des armatures dans les deux diretions perpendiulaires. Cas d une harge exentrée La ontrainte maximale de poinçonnement est la ontrainte tangente sur le ontour de ontrôle onsidéré 3 : v Ed VEd, red M + k ud. V, Ed Ed red. u. W (6.5) ave : k oeffiient déterminé par le tableau du...3, as général W W oeffiient donné au...3, as général,...4 ou...5 iaprès suivant la position du poteau onsidéré (ourant, de rive ou d angle) alulé sur le périmètre du ontour de ontrôle u. 30. EC 6.4. (5) () (8) 3. EC () & () 3. EC ()

272 Cas d une harge loalisée exentrée par rapport au ontour de ontrôle à la surfae d une dalle Cas général La ontrainte maximale de poinçonnement est la ontrainte tangente sur le ontour de ontrôle onsidéré 33 : VEd ved β (6.38) u. d ave : d u i i hauteur utile moyenne de la dalle, périmètre du ontour de ontrôle onsidéré, β donné par la formule : β + k M Ed u. V W Ed (6.39) où : u périmètre du ontour de ontrôle de référene, k oeffiient fontion des dimensions et du poteau prenant en ompte la proportion du moment non équilibré transmis par isaillement non uniforme et par flexion et torsion : --- 0,5,0,0 3,0 k 0,45 0,60 0,70 0,80 W u e.d orrespond à une répartition des ontraintes de isaillement 0 telle que représentée i-dessous et dépend du périmètre du ontour de ontrôle de référene : u 33. EC (3)

273 Poinçonnement 59.d e M Ed d longueur élémentaire du ontour, e distane de d à l axe autour duquel le moment Cas d un poteau retangulaire La formule générale s applique ave : dl.d M Ed agit. W d+ 6. d +. π. d. où : dimension du poteau parallèle à l exentriité de la harge, dimension du poteau perpendiulaire à l exentriité de la harge. (6.4) Cas d un poteau irulaire intérieur La formule générale s applique ave : e β + 0, 6. π D+ 4. d où : D diamètre du poteau irulaire. (6.4) Cas d un poteau retangulaire intérieur ave harge exentrée dans les deux diretions La formule générale s applique ave : β +, 8 ey + ez b b z y (6.43)

274 60 où : MEd e y et e z exentriités de,suivant les axes y et z respetivement, V b y et dimensions du ontour de ontrôle : b z Ed z e z V Ed.d b z e y y u b y...4 Cas des poteaux de rive soumis à des moments fléhissants On pose : e per e par N Ed exentriité dans le sens perpendiulaire au bord libre, exentriité dans le sens parallèle au bord libre, effort normal à l ELU. Bord libre Min,5.d 0,5..d u * e par N Ed.d e per

275 Poinçonnement 6 Poteau solliité en flexion omposée ave un moment fléhissant d axe parallèle au bord libre de la dalle Dans le as où 34 : e per est dirigée vers l intérieur, e par 0, l effort de poinçonnement peut être onsidéré omme uniformément réparti le long du ontour de ontrôle réduit u * défini sur la figure i-dessus. La ontrainte maximale de poinçonnement est obtenue par la formule : v Ed VEd u d *. e per Dans le as où est dirigée vers l extérieur, les formules (6.38) et (6.39) du...3 s appliquent : VEd ved β u. d ave, pour l évaluation du oeffiient W, l exentriité e mesurée depuis l axe du ontour de ontrôle (et non pas depuis l axe du moment). Poteau solliité en flexion déviée La formule (6.38) du...3, as général, donnant la ontrainte maximale de poinçonnement s applique ave 35 : u β + k u u W e par * (6.44) où : u périmètre du ontour de ontrôle de référene (voir figures du.4), u * périmètre du ontour de ontrôle de référene réduit (voir figure idevant), k oeffiient déterminé par le tableau du...3, as général, en remplaçant par., W oeffiient alulé sur le périmètre du ontour de ontrôle de référene u. Dans le as d un poteau retangulaire (voir figure i-devant) : W d+ 8. d + π. d. 4 (6.45) 34. EC (4) 35. EC (4)

276 6...5 Cas des poteaux d angle soumis à des moments fléhissants Bord libre u * Min,5.d 0,5..d Bord libre.d Min,5.d 0,5. La formule (6.38) du...3, as général, donnant la ontrainte maximale de poinçonnement s applique ave 36 : si l exentriité est dirigée vers l intérieur de la dalle : β u u * (6.46) où : u périmètre du ontour de ontrôle de référene (voir figure de droite au.4), u * périmètre du ontour de ontrôle de référene réduit suivant lequel la répartition de l effort de poinçonnement est uniforme (voir figure i-devant), si l exentriité est dirigée vers l extérieur de la dalle : Ed. Ed W β + k M V u (6.39)...6 Cas des strutures ontreventées Pour les strutures 37 : dont la stabilité latérale ne dépend pas du fontionnement en portique des dalles et des poteaux ; et où les longueurs des travées adjaentes ne diffèrent pas de plus de 5 % : 36. EC (5) 37. EC (6)

277 Poinçonnement 63 i i+ 0, ,5 on peut prendre en ompte les valeurs approhées suivantes du oeffiient β, reommandées et à utiliser pour l Annexe nationale française 38 :,5 Bord libre 5, : poteau d'angle, β 4, : poteau de rive, 5, : poteau intérieur. Bord libre, 4,5...7 Cas des planhers-dalles Lorsqu une harge onentrée est appliquée au voisinage d un poteau, il n y a pas lieu de tenir ompte de la rédution d effort tranhant pour transmission direte des harges aux appuis Vérifiation Il onvient de vérifier le long du ontour de l aire hargée ou du poteau la ondition 40 : v Ed VEd β v u d Rd 0.,max où : pour une harge onentrée à la surfae d une dalle 4 : (6.53) 38. EC voir AN 39. EC (7) 40. EC () 4. EC (a)

278 64 u 0 ontour de l aire hargée, pour une semelle de poteau 4 : périmètre du poteau : poteau intérieur, + 3. d u0 Min : poteau de rive, d Min : poteau d'angle. + Si ette ondition n est pas satisfaite, il onvient : soit d augmenter l épaisseur de la dalle : v Ed VEd β. VEd β vrd,max 05,. ν. fd u0. d ; u0. d 0, 5. ν. f d soit d utiliser un béton de résistane supérieure ; soit d augmenter l aire de hargement (interposition d une plaque entre la harge et la dalle)..3 Dalles ou semelles de poteaux sans armatures de poinçonnement.3. Contrainte maximale de poinçonnement Voir.. pour la ontrainte maximale de poinçonnement et.. pour la valeur de alul de la résistane au poinçonnement..3. Vérifiation.3.. Cas des dalles Auune armature de poinçonnement n est requise si, pour la setion de ontrôle de référene (à l intérieur ou à l extérieur des hapiteaux pour les planhershampignons 43 ) : v Ed v, Rd Si ette ondition n est pas satisfaite, il y a lieu de prévoir des armatures de poinçonnement alulées omme indiqué au EC (3) 43. EC () (0)

279 Poinçonnement Cas des semelles de poteaux Auune armature de poinçonnement n est requise si, pour les ontours de ontrôle situés au plus à.d du nu du poteau 44 : v Ed v Rd Si ette ondition n est pas satisfaite, il y a lieu de prévoir des armatures de poinçonnement alulées omme indiqué au.4..4 Dalles ou semelles de poteaux ave armatures de poinçonnement.4. Contrainte maximale de poinçonnement Voir.. pour la ontrainte maximale de poinçonnement..4. Calul des armatures de poinçonnement La ondition à vérifier pour une dalle ave armatures de poinçonnement s érit (voir..3) : d v v v s A f Ed Rd, s 075,. Rd, + 5, sw. ywd, ef r u. d sin α On en déduit la setion des armatures de poinçonnement : A s sw r. f ywd, ef ( ) ved 075,. vrd, u. d 5,. d.sinα ave : A sw aire d un ours d armatures de poinçonnement sur un périmètre autour du poteau en mm, espaement radial des ours d armatures de poinçonnement en mm. s r.4.3 Contour de la zone ave armatures de poinçonnement Le ontour de ontrôle au-delà duquel auune armature de poinçonnement n est requise est défini par 45 : VEd VEd ved β vrd (6.54) uout, ef., uout, ef d β v,. d Rd 44. EC () () 45. EC (4)

280 66 Il onvient de plaer la file périphérique extérieure des armatures de poinçonnement à une distane inférieure ou égale à k.d à l intérieur de u out, ef ou de : u out u out u out, of.d >.d k.d k.d d Contour u out Contour u out, ef k,5 valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française Dispositions onstrutives Les armatures de poinçonnement sont disposées entre l aire hargée (ou le poteau support) et le ontour à la distane k.d à l intérieur du ontour à partir duquel les armatures d effort tranhant ne sont plus exigées 47 : k,5 valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 48. Armatures de poinçonnement A B x 0,75.d 0,75.d 0,75.d k.d 0,5.d > x > 0,3.d A B 46. EC voir AN 47. EC () () et (4) 48. EC voir AN

281 Poinçonnement 67 Espaement radial ( ours au moins) : sr 075,. d Espaement tangentiel le long d un ontour (voir figure.4.3) : 5d,. : ontour à l'intérieur du ontour de référene, st. d: ontour à l'extérieur du premier ontour où les armatures de poinçonnement sont néessaires..4.5 Setion minimale d armatures de poinçonnement Elle est donnée par la formule 49 : A sw, min s. s r ave : t ( 5,.sin α+ os α) 008, f f k yk (9.) A sw, min aire du brin d un étrier, α angle entre les armatures de poinçonnement et les armatures prinipales ( est-à-dire α 90 pour des adres vertiaux), s r espaement dans la diretion radiale, s t f k espaement dans la diretion tangentielle, et f yk en MPa..4.6 Barres relevées utilisées omme armatures de poinçonnement Les barres relevées traversant l aire hargée ou se trouvant à une distane de ette aire inférieure à 0,5.d peuvent jouer le rôle d armatures de poinçonnement 50. Pour des barres relevées disposées omme indiqué sur la figure i-dessous, une seule file périphérique de adres et étriers est suffisante EC () 50. EC (3) 5. EC ()

282 68 0,5.d Barres relevées utilisées omme armatures de poinçonnement A < 0,5.d A.d A Lorsqu une seule file de barres relevées est prévue : leur angle de pliage 5 peut être réduit à 30 ; l expression (6.5) du..3 donnant s applique en prenant 53 d 067,. s r v Rd, s 5. EC (4) 53. EC ()

283 Poinçonnement 69 II. APPLICATIONS Appliation n : étude au poinçonnement d une dalle Aire hargée irulaire Énoné On onsidère la dalle supportant une harge onentrée P 5 kn, éloignée des bords de la dalle, figurée i-dessous : - ÉLÉVATION - - VUE EN PLAN - 0 m P h d z 9 m d y 0 m A sy : 5 HA p.m. A sz : 3 8 HA p.m. 0 m Matériaux : aier : S 500 ; béton : f k 5 MPa. On se propose de vérifier la dalle au poinçonnement. Corrigé. Contour de référene La harge onentrée étant entrée et éloignée des bords de la dalle :.d u 0 m

284 70 Périmètre de l aire hargée : u0 π. u 0 π. 00, 0,68 m Hauteur utile de la dalle : d d y + d z Périmètre du ontour de référene : d ,5 m u π ( +.. d) u π ( 00, , ),8 m. Contrainte tangente de référene Charge poinçonnante : VEd 5,. Q V Ed 55,. 78 KN Contrainte maximale de poinçonnement : v Ed VEd ,45 MPa u. v Ed d, 8. 0, Valeur de alul de la résistane au poinçonnement de la dalle sans armatures de poinçonnement v Max C,. k.( 00. ρ. f ) + k. σ Rd, vmin + k. σ p ave : 3 Rd l k p f k en MPa, + k Min 00 d où d est en mm, f k 5 MPa , k Min 95 ρ ly ρ lz A sy 53., ρ ly 0, 00565,00 m.d y A sz 305., ρ,00 m.d lz 0, 007 z 00. 9

285 Poinçonnement 7 ρ l ρly. ρ Min 00, lz 0, , 007 0, 003 ρ l 0, 003 Min 00, σ p σ y + σ z σ p 0 (dalle fléhie uniquement) C Rd,, 08 γ, C Rd, 08 0, 5, k 0, v min 0, 035. k 3. f k v min 0, , MPa v Rd ,.. ( 00. 0, ) + 0,. 0 0, 4, Max 0, ,. 0 0, 495 v MPa Rd,, 4. Néessité d armatures de poinçonnement 4. Au voisinage de l aire hargée Contrainte maximale de poinçonnement sur le ontour de l aire hargée : v Ed VEd β u0. v Ed d 0, 68. 0, 095 3,307 MPa (β pour une harge loalisée entrée par rapport au ontour de ontrôle). Valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ave ou sans armatures de poinçonnement : v Rd, max 0,5.ν.f d ν 06 f, k 50 ν 06 5, , f d fk α f d 5 γ 5, 6,7 MPa v Rd, max ,.,., 4,5 MPa

286 7 Vérifiation : v Ed >< vrd,max ved, 307 MPa < 4, 5 MPa vrd,max O.K. 4. Sur le ontour de référene Contrainte maximale de poinçonnement sur le ontour de référene : v Ed VEd ,45 MPa (voir ) u. v Ed d, 8. 0, 095 Vérifiation : v Ed >< vrd, ved 0, 45 MPa < 0, 495 MPa v, 3 Rd armatures de poinçonnement non néessaires. Appliation n : étude au poinçonnement d une dalle Aire hargée retangulaire Énoné On onsidère la dalle supportant une harge onentrée P 75 KN, éloignée des bords de la dalle, figurée i-dessous : - ÉLÉVATION - - VUE EN PLAN - m x m p h d z 9 m d y 0 m m A sy : 5 HA p.m. A sz : 5 8 HA p.m. m Matériaux : aier : S 500 ; béton : f k 5 MPa. On se propose de vérifier la dalle au poinçonnement.

287 Poinçonnement 73 Corrigé. Contour de référene La harge onentrée étant entrée et éloignée des bords de la dalle :.d u 0, m 0, m Périmètre de l aire hargée : u 4. u 0 40., 0,48 m 0 Hauteur utile de la dalle : d d y + d z Périmètre du ontour de référene : u d 4 4. π. ( +. ). 4 d ,5 m u π. (. + 0, 095 ).,,674 m 4. Contrainte tangente de référene Charge poinçonnante : VEd 5,. Q V Ed 575,.,5 KN Contrainte maximale de poinçonnement : v Ed VEd, ,707 MPa u. v Ed d, , Valeur de alul de la résistane au poinçonnement de la dalle sans armatures de poinçonnement ( ) + 3 Rd l k p v Max C,. k. 00. ρ. f k. σ Rd, vmin + k. σ p

288 74 ave : f k en MPa, f k 5 MPa + k Min , d où d est en mm, k Min 95 ρ ly ρ lz A sy 53., ρ,00 m.d ly 0, y A sz 505., ρ,00 m.d lz 0, 0078 z ρ σ l ρly. ρ Min 00, p σ C Rd, k 0, y + σ, 08 γ z lz 0, , , 0040 ρ l 0, 0040 Min 00, σ p 0 (dalle fléhie uniquement), C Rd, 08 0, 5, v min 0, 035. k 3. f k v min 0, , 495 v Rd v 0,.. ( 00. 0, ) + 0,. 0 0, 5, Max 0, ,. 0 0, 495 Rd,, 0 57 MPa Néessité d armatures de poinçonnement 4. Au voisinage de l aire hargée Contrainte maximale de poinçonnement sur le ontour de l aire hargée : v Ed VEd, 5. 0 β,47 MPa u0. v Ed d 0, 48. 0, 095 (β pour une harge loalisée entrée par rapport au ontour de ontrôle). Valeur maximale de alul de la résistane au poinçonnement d une dalle ave ou sans armatures de poinçonnement : v Rd,max 05ν,.. f d 3

289 Poinçonnement 75 ν 06 f, k 50 ν 06 5, 054, 50 fk fd α f d 5 6,7 MPa γ 5, 4,5 MPa Vérifiation : ved >< vrd,max ved 47, MPa < 45, MPa vrd,max O.K. 4. Sur le ontour de référene v Rd, max ,.,., Contrainte maximale de poinçonnement sur le ontour de référene : 3 VEd, 5. 0 ved 0,707 MPa (voir ) u. v Ed d, , 095 Vérifiation : ved >< vrd, ved 0, 707 MPa > 0, 57 MPa v, armatures de poinçonnement néessaires. Rd 5. Armatures de poinçonnement 5. Armatures alulées Armatures résistantes : A s f sw r. f ywd, ef ywd, ef ( ) ved 075,. vrd, u. d 5,. d.sinα , 5. d Min fywd f ywd ef α angle des armatures de poinçonnement ave le feuillet moyen de la dalle : (MPa, mm) , MPa, 74 MPa Min MPa 5, A s sw r A s sw r α 90 (armatures droites) ( 0, 707 0, 75. 0, 57), , ,., m /m de ontour 769,

290 76 Contour de la zone ontenant les armatures de poinçonnement : VEd uout, ef β v,. d Rd d uout, ef + ( ) 4 4. π... ' 4 u u π. (. d' ). d' out, ef 5. Dispositions onstrutives, 5. 0 u out, ef,9 m 0, 57. 0, 095 out, ef. π 4., ,. d ' 0,88 m. π 5.. Espaement radial des armatures de poinçonnement En disposant les nappes d armatures de poinçonnement parallèlement aux ôtés de l aire hargée : 3 Armatures de poinçonnement A B x s r s r s r k.d m 0 m.d.d' 5 HA p.m. ou 5 8 HA p.m. s t m 4 m.d 9 m.d' 8,8 m

291 Poinçonnement 77 x >< 03,. d x 4 m >, 85m 0, 39., 5 O.K.. d'. d >< k. d 8, 8 9 9, 8 m < 4, 5 m, 5. 9, 5 O.K. Pour deux ours d armatures de poinçonnement : sr. d x >< 0, 75. d s r m > 7, 5 m 0, 75. 9, 5 prenons 4 ours (e qui imposera de prévoir des barres de montage, parallèles au feuillet moyen de la dalle et de faible diamètre) : 5 s r 5 m < 7, 5 m O.K. 3 vérifiation de la setion d armatures de poinçonnement alulée pour des épingles φ 6 HA, le long du ontour : A 8.0,8,4 m sw u out, ef s r,4.7,69 7,3 m > 5 m O.K. 9 6,87 m > 9 m.9,5.d k.d 4,5 m > 9,8 m s t m 8, d 9,5 m 5.. Espaement tangentiel des armatures de poinçonnement s t,5.d : ontour à l intérieur du ontour de référene,.d : ontour à l extérieur du premier ontour où les armatures de poinçonnement sont néessaires s t m < 4,5 m,5.9,5 O.K.

292 Setion minimale A sw, min s. s r t ( 5,.sin α+ os α) 008, f f k yk A sw, min ( ) 008, fk. sr. st ( 5,.sinα+ osα) f yk 0, A sw, min ,03 m (,5 + 0).500 A sw 0, 8 m > 0, 03 m Asw, min O.K. 6. Shéma de ferraillage - COUPE AA VUE EN PLAN A A

293 Poinçonnement 79 Repère Armature Nombre Observations φ HA 5 pm Armatures inférieures dalle φ 8 5 pm Armatures inférieures dalle 3 Cadres φ 6 HA 4 4 Armatures de poinçonnement 4 φ 6 HA Aiers de montage supérieurs 5 φ 6 HA Aiers de montage inférieurs

294

295 6 Corbeaux I. RAPPELS THÉORIQUES L euroode traite des orbeaux dans une annexe informative.. Définition On désigne par : F Ed effort vertial ultime, H Ed effort horizontal ultime, a distane horizontale de la ligne d ation de F Ed à la fae la plus prohe du poteau, h hauteur de la onsole au niveau de son enastrement dans le poteau, d hauteur utile des armatures les plus prohes de la fae supérieure de la onsole, a H distane de la fae supérieure du dispositif d appui à la ligne moyenne des armatures les plus prohes de la fae supérieure de la onsole. Les onsoles ourtes peuvent être étudiées au moyen d un modèle de «bielle tirant» défini omme suit : tirant armatures les plus prohes de la fae supérieure de la onsole ; bielle élément de béton omprimé inliné d un angle θ sur l horizontale, partant de l intersetion de l axe de l effort vertial F Ed ave l axe horizontal des aiers supérieurs tendus et oupant le plan de la fae vertiale du poteau ; z 0 distane du pied de la bielle à l axe horizontal des aiers supérieurs tendus. Un orbeau ou onsole ourte est une onsole telle que : a z [7.] < 0 et tgθ, 5 [7.]. EC annexe J 3 (). EC 6.5

296 8 F Ed a a H H Ed z 0 A s, main θ b w d h La hauteur du orbeau peut être onstante ou variable le long de sa portée. L équilibre des moments au droit de la fae du poteau s érit : F Ed a z 0 F s Tirant A θ Bielle a H H Ed F B b w d M B t M A t F Ed.a + H Ed ( a H + z 0 ) F s.z 0 F Ed.a + H Ed.a H F.a.sin θ [7.3] [7.4] Nous en déduisons : [ 7. 3] F F a s Ed + HEd + z a z H 0 0 [7.5] [ 7. 4] F F H a Ed + Ed a sinθ H [7.6]

297 Corbeaux 83 Les onsoles pour lesquelles a z0 sont onsidérées omme des poutres en onsole (portes-à-faux). Lorsque la harge est diretement appliquée au niveau de l extrados de la onsole, on a un «appui diret» ; dans le as ontraire, on a un «appui indiret». C est le as par exemple, d une onsole ourte supportant une poutre, lorsque le volume de la onsole est noyé dans la poutre : «Appui diret» «Appui indiret». Vérifiation de la ompression des bielles de béton Limitation de la ontrainte de ompression des bielles de béton (en l absene de tration transversale 3 ) : fk f σrd,max fd α [7.7] (6.55) γ ave : α, valeur reommandée et à utiliser par l Annexe nationale française 4 dans le as des bâtiments, α 085,, valeur reommandée dans le as des ponts. L Annexe nationale française préonise α (voir.4.., hapitre 3 : «Béton armé Généralités», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). Dans la setion droite a.b w de la bielle, nous avons : 3. EC 6.5. () 4. EC voir AN

298 84 a F Ed a os θ d z 0 A s, main θ H Ed a H F F H a Ed + Ed a sinθ H z 0 b w d f F σ ab. w Rd,max F d z0 f a π θ a ν θ b p t a h D où la vérifiation de la ompression de la bielle de béton : tgθ, 5 hoix de l angle θ d inlinaison de la bielle F F H a Ed + Ed a sinθ a b F σ w. Rd,max H [7.8] [7.9] a a.sinθ t h (profondeur de l appui) [7.0] z d > os θ une poutre-onsole. a 0 a sinon, la struture envisagée est à onsidérer omme D où la ondition à satisfaire pour avoir une onsole ourte, en respetant la ompression de la bielle de béton : z 0 > a

299 Corbeaux 85 a d >a os θ F d > a. b. σ.osθ w Rd,max F H a H ah Ed + Ed FEd + HEd a a d d a. b. σ.os θ. sinθ b. σ. sin θ > w Rd,max w Rd,max F H a Ed + Ed a d a > b. σ. sinθ w Rd,max H F + H a Ed Ed a sinθ > b d a σ ( ) H w. Rd,max θ Remarque Contraintes sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton omprimée : sur la faette «vertiale» : F.osθ f ave av a et en désignant par b p l épaisseur du poteau ; b. a.osθ p v sur la faette «horizontale» : F.sinθ f ave ah a. b. a.sinθ p h 3. Armatures 3. Armatures supérieures tendues Elles peuvent être onstituées 5 : de adres horizontaux ; de barres ave rohet d extrémité, anrées : 5. EC annexe J 3 (4)

300 86 dans l élément porteur, sur la paroi opposée et à partir des armatures du poteau les plus prohes de ette paroi ; au voisinage du nez de la onsole, au-delà du bord intérieur de la zone hargée. F Ed a H Ed Anrage A s, main Anrage Les armatures supérieures tendues équilibrent les efforts de tration dans le tirant ave une ontrainte : f s fyk fyd γ s D où leur setion : F F a a s Ed + H + Ed z z A s,main F f s yd H 0 0 [7.] 3. Armatures horizontales de répartition Si a < 05,. h, elles sont onstituées de adres fermés horizontaux ou inlinés, de setion donnée par 6 : As ink k. A ave : k 05,, s, main [7.], valeur reommandée et à utiliser par l Annexe nationale française EC annexe J 3 () 7. EC voir AN

301 Corbeaux 87 A s, main A s, ink Dans le as ontraire, les armatures horizontales de répartition ne sont pas imposées. 3.3 Armatures vertiales Elles sont onstituées de adres et étriers vertiaux non alulés pour 8 : équilibrer les efforts de torsion (déentrement aidentel des harges, ou déentrement de onstrution) ; équilibrer les efforts de fendage lorsque les aiers horizontaux sont de diamètre relativement gros et anrés par ourbure en nez de onsole ; maintenir les aiers horizontaux. Dans le as «d appuis indirets», es armatures servent d armatures de suspension et doivent don être alulées en onséquene Cas où a 0,5.h Auune armature vertiale n est requise Cas où a > 0,5.h Effort tranhant résistant de alul d un élément sans armatures d effort tranhant (voir 3.., hapitre 8 : «Effort tranhant», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) 9 : 8. EC annexe J 3 (3) 9. EC 6.. ()

302 88 V Rd, CRd,. k. 3. l. fk + k. p 00 ρ σ bw. d V Max vmin + k. p σ bw. d VRd, (MN, MPa, m) Rd, [7.3] (6..a) (6..b) Si FEd > VRd,, on dispose une setion d armatures vertiales onstituée de adres fermés vertiaux de setion totale : A k F s,ink f [7.4] ave : k, valeur reommandée et à utiliser par l Annexe nationale française 0 05,. Si F Ed V, Rd Ed yd, les armatures vertiales ne sont pas requises. A s, main A s, ink 4. Dispositions onstrutives L armature supérieure doit être amenée suffisamment près du nez de onsole pour éviter la rupture de l angle supérieur de la onsole. 0. EC voir AN

303 Corbeaux 89 F Ed F Ed A s, main A s, main b w h b w h NON OUI ou De même, pour éviter les risques de désordre au voisinage du nez de la onsole par érasement du béton ou par fissuration, il faut prévoir un déalage entre le dispositif d appui et l extrémité de la onsole. Déalage d appui A s, main H Ed b w h

304 90 Disposition des armatures : A s, main A s, main A s, ink k.a s, main si F Ed > V RD, A s, ink k.a s, main A s, ink k.a s, main a 05,. h a > 05,. h Remarque Dans le as où a > 05,. h, ontrairement aux indiations du 3. et par séurité, on disposera des armatures horizontales de répartition. II. APPLICATION Appliation : onsole ourte Énoné On onsidère les onsoles d appui de la poutre, figurée i-dessous : 5 m 40 m 50 m 0 m m 0 m 5 m H 35 m 5 m Ations sur la poutre : harges permanentes (poids propre ompris) : g 0 kn/m ; harges d exploitation : omposante vertiale (assimilable à une harge uniforme) : q 5 kn/m ; résultante des omposantes horizontales : H + 4 kn. Matériaux : béton : f k 5 MPa ; aiers : S 500 HA.

305 Corbeaux 9 On se propose : / de vérifier le béton ; / de aluler les armatures. Corrigé. Solliitations en tête de onsole Réation vertiale : L longueur totale de la poutre L 0,00 +.0,5 0,50 m F g q L Ed ( ) 0, 50,.,. F Ed ( 350,. + 55,. ) 89 kn Réation horizontale : HEd 5,. H H Ed 54,. 36 kn 0,036 MN. Vérifiation de la ompression des bielles de béton. Type de onsole d 09,. h d 0,9.0,35 0,35 m fk σrd,max fd α σ Rd, max 5 6,7 MPa γ 5, F + H a Ed Ed a sinθ > b d a σ ( ) H w. Rd,max θ , 05, sinθ> , (, 05, ). 67, 0 3 0, 44 <. θ 6, 3 θ3, tgθ, 5 45 θ 68, 0 θ 3, < 45 prenons θ 45 F F H a Ed + Ed a sinθ H , ,5 F sin 45 7,36 kn

306 9 a b F σ w. Rd,max 7, 36 a 0,0406 m ,., ah a.sinθ >< t a h 0, 0406.sin 45 0, 087 m < 0, 50 m t O.K. a z 0 d >< os θ a 0, z 0 0, ,86 m > 0,5 m a os 45 La vérifiation du béton de la bielle est assurée et on a une onsole ourte.. Remarque : ontraintes sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton omprimé sur la faette «vertiale» : av a.osθ a v 0,0406.os 45 0,087 m b p épaisseur du poteau b p 0,40 m (en l absene d indiation de l énoné) f F.osθ b. a p v 7, os 45 f ,40.0,087 6,7 MPa f >< σ Rd,max f 6, 7 MPa 6, 7 MPa σ Rd,max O.K. sur la faette «horizontale» : ah a.sinθ a h 0,0406. sin 45 0,087 m f F.sinθ b. a p h 7, sin 45 f ,40.0,087 6,7 MPa f >< σ Rd,max f 6 7 MPa 6 7 MPa σ Rd Conlusion,,,max O.K. Pour pouvoir satisfaire la vérifiation du béton sur le prisme à base triangulaire en pied de la bielle de béton omprimé, il faut augmenter l épaisseur du poteau (et éventuellement elle de la onsole). En partant de la plus grande ontrainte f (ii, θ 45 et les ontraintes sur les ôtés de l angle droit du prisme à base triangulaire sont égales) : f F.sinθ F.sinθ σrd,max bp b. a a. σ p h h Rd,max 7, sin 45 b p ,4003 m 0,087.6,7

307 Corbeaux 93 b p 45 m 3. Armatures 3. Armatures supérieures tendues Setion : f fs fyd yk f MPa γ s 5, s F F a ah s Ed + HEd + 03,73 kn z z F 05, , s 0 86, 0, Fs As,main f A s, yd main 3 03, , 68 m 435 boules φ 4 HA : A..,54 6,6 m s, main 4 U 4 HA U 4 HA Anrages aux deux extrémités : pour mémoire. 3. Armatures horizontales de répartition Cadres fermés horizontaux : a >< 05,. h a 05, m > 075, m 05035,., 05,. h pas d armatures horizontales de répartition requises. Néanmoins, nous garderons par séurité, la setion minimale requise : k 05,, valeur reommandée et à utiliser par l Annexe nationale française : k 05, As, ink k. As, main A s, ink 0, 5. 6, 6, 54 m. boules φ 6 HA : A s, 0.., 8, m ink

308 94 A s, ink.,,4 m U 6 HA U 6 HA U 6 HA U 6 HA 3.3 Armatures vertiales a >< 05,. h a 05, m > 075, m 05035,., 05,. h néessité de omparer F Ed à V Rd,. Effort tranhant résistant de alul d un élément sans armatures d effort tranhant : A sl aire de l armature longitudinale tendue dans la setion distante de d+ l bd de elle étudiée : A sl 54.., 66, m ( boules supérieures). ρ l N Ed σ p w effort normal 0 (flexion) Asl b. d /> 66, % ρ l 0, 0049 < % 40. 3, 5 N Ed NEd σ p 0 A V Rd, ave : CRd,. k ρl. fk + k. σ p bw. d V Max vmin + k. σp bw. d VRd, Rd, C Rd,, 08 γ, C Rd, 08 0, 5,

309 Corbeaux 95 + k Min 00 mm d , k 8, Min 35 k 05, k 05, v min 0, 035. k 3. f k v min 0, 035., , 43 3,, 0,., , , , 35 0, 063 MN V Rd V Rd, ( 0, , 5. 0) 0, 40. 0, 35 0, 053 MN V Rd, 0, 063 MN V 0, 063 MN Max 0, 053 MN V Néessité d armatures vertiales : F Ed Rd, Rd, >< VRd, FEd 0, 89 MN > 0, 063 MN V, Rd néessité d armatures vertiales. Armatures vertiales : k 05,, valeur reommandée et à utiliser par l Annexe nationale française : k 05, A k F Ed s,ink A s, ink 050, 0, 7 m f 435 yd 3 4. adres φ 6 HA : A s, ink...0,8,4 m adre 6 HA adre 6 HA

310 96 4. Shéma de ferraillage 40 m U 4 HA horizontaux 40 m U 6HA horizontaux. adres 6HA U 6HA horizontaux 35 m

311 7 État limite ultime de fatigue I. RAPPELS THÉORIQUES. Introdution Il onvient d effetuer une vérifiation à la fatigue pour les strutures et les éléments de struture soumis à des yles de hargement réguliers omme par exemple : les hemins de roulement des grues ; les ponts soumis à des harges de trafi élevées. L Annexe nationale française exlut de la vérifiation à la fatigue les ouvrages suivants : bâtiments ; fondations et murs de soutènement ; strutures enterrées ave une ouverture minimale de,00 m de terre ; piles et poteaux non rigidement reliés aux superstrutures ; ulées de voûtes et ponts à l exeption des ulées reuses. Pour les ponts, la liste préédente est omplétée par 3 : les passerelles, à l exeption des éléments de struture très sensibles au vent ; les strutures enterrées ave ouverture de terre minimale de,50 m pour les ouvrages ferroviaires ; les piles et poteaux non rigidement liés au tablier. La vérifiation à la fatigue est effetuée séparément pour le béton et pour l aier 4.. Combinaisons d ations Les ations yliques potentiellement génératries de fatigue dans les strutures sont définies par :. EC 6.8. (). EC voir AN 3. EC 6.8. (0) 4. EC 6.8. ()P

312 98 une intensité maximale ; une intensité minimale ; un nombre de yles (ourrenes) pendant lequels elles agissent, sur une période donnée (un an en général pour les harges routières par exemple). Pour le alul des étendues de ontrainte, on doit faire la distintion entre 5 : les ations non yliques ; et les ations yliques génératries de fatigue.. Combinaison de base Cette ombinaison d ation ne prend en ompte que les ations non yliques. Symboliquement, elle se formule de la façon suivante ( est une ombinaison fréquente à l ELS telle que définie au.3.4, hapitre 3 : «Béton armé Généralités», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) : G + ψ. Q + ψ. Q k, j, k,, i k, i j i> (6.67) ave : Q et Q k, k, i ations non yliques et non permanentes. Bien que la ombinaison d ations préédente orresponde aux ELS, la fatigue est onsidérée omme un ELU.. Combinaison de base plus ation ylique Cette ombinaison d ations prend en ompte toutes les ations (yliques et non yliques). Symboliquement, elle se formule de la façon suivante : G + ψ. Q + ψ. Q + Q k, j, k,, i k, i j i> fat (6.69) ave : Q fat harge de fatigue onsidérée (harge de trafi telle que définie dans l EN 99 par exemple, ou tout autre harge ylique 6 ). 5. EC EN 99

313 État limite ultime de fatique Calul des ontraintes Le alul des ontraintes doit être onduit dans l hypothèse des setions fissurées 7 (voir 8.3, hapitre 7 : «Flexion simple», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles, et.4.3, 3.4 et 4.., hapitre : «Flexion omposée», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles). On appelle étendue de ontrainte, la différene de ontrainte, dans l aier ou le béton, entre les ontraintes alulées sous les deux ombinaisons d ations définies au. 4. Vérifiation pour les armatures 4. Vérifiation expliite de l endommagement 4.. Prinipe de la vérifiation Le prinipe de la vérifiation pour les armatures onsiste à omparer l étendue de ontraintes agissante (entre les ombinaisons de base et de base plus ation ylique) à une étendue de ontraintes résistante orrespondant au type de barres utilisées. L étendue de ontraintes résistante est obtenue pour un nombre N* de yles défini à partir d une ourbe aratéristique de résistane en fatigue 8 (aussi appelée ourbe S-N) : log Δσ Rsk A : armatures à la limite d élastiité A b k b k N* log N Pour ette ourbe : N* nombre de yles de référene, Δσ Rsk étendue de ontraintes résistante, 7. EC 6.8. ()P 8. EC ()

314 300 b k ou b k aratérisent les pentes des segments inlinés de la ourbe, A orrespond au as des armatures soumises à la limite élastique sous la ombinaison de base plus ation ylique. Les valeurs reommandées et à utiliser par l Annexe nationale française des paramètres de la ourbe S-N des armatures de béton armé sont données dans le tableau i-dessous : Type d armatures N* Exposant de la ontrainte Ds Rsk (MPa) k k Pour N* yles Barres droites et barres pliées ,5 Barres soudées et treillis soudé ,5 Dispositifs de ouplage Note Pour les barres pliées, il onvient de multiplier par le oeffiient de rédution : D ξ 0, , 06 φ ave : D diamètre du mandrin de intrage, φ diamètre de la barre. Note L Annexe nationale française préonise : 60 MPa : φ 40 mm Δσ Rsk 0 MPa : φ 6 mm Δσ Rsk ave interpolation linéaire pour 6 mm < φ < 40 mm 4.. Caratéristiques de la ourbe S-N Notations : Δσ ave : σ sb N B * Δσ Rsk f σ A yk sb ordonnée de A, ontrainte des armatures sous ombinaison de base, nombre de yles orrespondant au point B, étendue de ontrainte résistante orrespondant à N* yles, N nombre de yles de l ation ylique onsidérée. log Δσ* Rsk log Δσ Rsk log Δσ A A : armatures à la limite d élastiité b k log N B log N* b k Ordonnée du point A orrespondant à la limite d élastiité des armatures : log Δσ ( ) log f σ A yk sb A B log N

315 État limite ultime de fatique 30 Absisse du point B : log N log NB k * log Δσ log Δσ N Étendues de ontraintes résistantes : / N Δσ Δσ / 3/ B A * * Δσ N Δσ N B * Rsk A Rsk k NB < N * N N Rsk * N Δσ A * Δσ A N B * Δσ N N Δσ * Rsk Rsk k Rsk k * log N log N k > N * log Δσ log Δσ Rsk * Rsk Δσ Rsk Δσ * Rsk * N N k N * N * Rsk Δσ Δσ Rsk k Δσ Rsk Δσ * Rsk * N N k 4..3 Proessus de vérifiation La vérifiation à la fatigue pour l aier est réalisée de la façon suivante : / déterminer les aratéristiques géométriques de la setion la plus solliitée onsidérée omme étant fissurée ; / établir la ombinaison de base et en déduire les ontraintes σ sb des armatures ; 3/ établir la ombinaison de base plus ation ylique et en déduire les ontraintes des armatures ; 4/ en déduire, par différene, l étendue de ontraintes appliquée dans les armatures Δσ γ σ σ 9 ave : γ F, fat σ s s F, fat. s sb,0 valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 0 ; 5/ déterminer les aratéristiques de la ourbe S-N orrespondant aux aiers * utilisés ( k, k, N* et Δσ Rsk orrespondant à N*) dans le tableau du 4.. et traer la ourbe S-N ave : 9. EC () 0. EC voir AN

316 30 Δσ N B f σ A yk sb * Δσ N Δσ * Rsk A k ; 6/ en déduire sur ette ourbe l étendue de la ontrainte résistante Δσ Rsk orrespondant au nombre N de yles de l ation ylique appliquée : N Δσ Δσ N B Rsk A NB < N * N Δσ Rsk Δσ * Rsk * N N k N * > N Δσ Rsk Δσ * Rsk * N N k 7/ vérifier : ave : Δσ Δσ γ,5 valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française. 8/ On appelle endommagement des armatures dû à la fatigue, le rapport : Il faut vérifier de plus 3 : D γ s, fat D Ed N N Ed * N N * s Rsk s, fat 4..4 Remarque Pour évaluer la durée de vie résiduelle de strutures existantes ou la néessité d un renforement une fois la orrosion amorée, l étendue de ontrainte peut être déterminée en réduisant l exposant pour des barres droites ou pliées 4 : k. EC (). EC.4..4 () note et voir AN 3. EC () 4. EC (5)

317 État limite ultime de fatique 303 k 5 valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française Cas de yles multiples d étendue variable L endommagement total des armatures dû à la fatigue est alulé en appliquant la règle de umul de Palmgren-Miner et doit vérifier 6 : D Ed i ( σ ) n Δ N Δ i * ( σi ) ( ) ave pour l étendue de ontrainte Δσ i appliquée : n( Δσi ) nombre de yles, N Δσ nombre de yles à la rupture. ( ) i (6.70) 4.3 Méthode de l étendue de ontrainte équivalente La résistane en fatigue est satisfaisante si l on vérifie 7 : * Δσ Rsk N * ( γf, fat.δσs, equ( N ) ) γ s, fat (6.7) ave : Δσ Rsk ( N * ) étendue de ontraintes pour N* yles, donnée par les ourbes S- N (voir 4.), * Δσ s, equ ( N ) étendue de ontraintes équivalente pour N* yles, donnée par les proédures de l EN 99- pour les ponts routiers et ferroviaires 8, * Δσs, equ ( N ) σs,max étendue de ontraintes équivalente pour N* yles, pour les bâtiments sous les ombinaisons de harge appropriées. 4.4 Cas partiuliers La résistane en fatigue des barres d armatures non soudées tendues est satisfaisante si 9 : Δσ s k 5. EC voir AN 6. EC () 7. EC (3) 8. EN EC ()

318 304 ave : k 70 MPa valeur reommandée et k 00 MPa valeurs à utiliser pour l Annexe nationale française 0, Δσ s étendue de ontrainte sous une harge ylique fréquente. La résistane en fatigue des barres d armatures soudées tendues est satisfaisante si : Δσ s k ave : k 35 MPa valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française, Δσ s étendue de ontrainte sous une harge ylique fréquente. 4.5 Cas des armatures d âme 4.5. Inlinaison des armatures d âme à prendre en ompte L inlinaison θ des bielles sur la ligne moyenne est hoisie de telle sorte que 3 : otgθ, 5, 8 θ 45 (6.7N) ou valeur fixée par l Annexe nationale 4 L Annexe nationale française préonise : otgθ, 5, 8 θ 45 (flexion simple ou ompression), (6.7aNF) σt σt + otg θ, 5 + (tration). (6.7bNF) ftm f tm ave : σ t ( < 0) : ontrainte de tration au niveau du entre de gravité de la setion. θ fat L inlinaison des bielles à retenir pour la vérifiation à la fatigue est telle que 5 : tgθ fat tgθ Min. (6.65), 0 0. EC voir AN. EC (). EC voir AN 3. EC 6..3 () 4. EC voir AN 5. EC 6.8. (3)

319 État limite ultime de fatique Vérifiation Les armatures d effort tranhant 6 doivent être telles que (voir 4.4.3, hapitre 8 : «Effort tranhant», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) : A V sw Rd, s s zf. ywd ( otgθfat + otgα).sinα VRd, s VEd, VEd0 ou V' Ed0 z 09,. d 5. Vérifiation pour le béton omprimé 5. Éléments pour lesquels auune armature d âme n est requise On désigne par 7 : V Ed, max V Ed, min V Rd, valeur de alul de l effort tranhant agissant maximal sous la ombinaison fréquente de harges, valeur de alul de l effort tranhant agissant minimal sous la ombinaison fréquente de harges, effort tranhant résistant de alul d un élément sans armatures d effort tranhant (voir 3.., hapitre 8 : «Effort tranhant», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) : VRd, CRd,. k ρl. fk + k. σp bw. d (MN, MPa, m) Le béton résiste à la fatigue due aux solliitations d effort tranhant si : (6..a) VEd, min 05, + 045, VRd, VEd, min VEd,max pour 0 on vérifie : Min 09, si fk 50 MPa (6.78) VEd,max VRd, 08, si f k > 50MPa 6. EC 6..3 () 7. EC (4)

320 306 VEd, min VEd,max VEd, min pour < 0 on vérifie : 05, (6.79) V V V Ed,max Remarque Rd, Rd, En général, le seond as orrespond aux appuis des poutres ontinues (pour lesquelles V Ed, min et V Ed, max sont de signes ontraires), alors que le premier as relève des appuis des poutres droites isostatiques (pour lesquelles V Ed, max et V Ed, min ont le même signe). 5. Éléments omportant des armatures d âme On désigne par 8 : σ d,max, equ σ d, min, equ borne supérieure de l étendue de ontraintes pour N yles, borne inférieure de l étendue de ontraintes pour N yles, résistane à la fatigue du béton ( en MPa), f d, fat f k fk fd, fat k. t. f ( ) d β 0 50 (6.76) ave (voir.., hapitre : «Matériaux», Pratique de l euroode, J. Roux, Éditions Eyrolles) : k 085, pour N 0 6 yles, valeurs reommandées et à utiliser pour l Annexe nationale française 9, t 0 date de début du hargement ylique en jours, β ( t 0 ) e s t 0 fk s α ave : 30 γ, pour les ituations aidentelles, γ 5, dans les autres as. (3.) où : 0,0 : iment de lasse R (CEM 4,5 R, CEM 5,5 N et CEM 5,5 R) s 0,5 : iment de lasse N (CEM 3,5 R et CEM 4,5 N) 0,38 : iment de lasse S (CEM 3,5 N) f d α valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française EC () & () 9. EC voir AN 30. EC 3..6 ()P &.4..4 () 3. EC voir AN

321 État limite ultime de fatique 307 On définit : E E d, min, equ d,max, equ σ σ d, min, equ f d, fat d,max, equ f d, fat niveau minimal des ontraintes de ompression, niveau maximal des ontraintes de ompression, R equ E E d, min, equ d,max, equ rapport des ontraintes. On peut admettre une résistane en fatigue satisfaisante pour le béton travaillant en ompression si : / pour les ontraintes de flexion 3 : E R d,max, equ, equ / pour les ontraintes de flexion et pour la ompression des bielles 33 : σ, min 05, + 045, f d, fat σ,max Min 09, si fk 50 MPa fd, fat 08, si fk > 50MPa (6.7) (6.77) où, dans la même fibre, sous la ombinaison fréquente de harges : σ, max ontrainte de ompression maximale, ontrainte minimale (prise omme nulle s il s agit d une tration), σ, min fd, fat : ontraintes de flexion, f 34 d, fat ν. fd, fat : ompression des bielles. ave omme valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française 35 : f k ν 06, où f en MPa, (6.6N) 50 k 3. EC () 33. EC () & (3) 34. EC (3) 35. EC voir AN

322 308 Pour les ponts, la première vérifiation préédente est remplaée par 36 : m i ni N i ave : m nombre d intervalles d amplitude onstante, (6.05) N i n i où : 0 4 Ed i,max, Ri nombre réel de yles d amplitude onstante dans l intervalle i, R i E E d, min, i d,max, i (6.06) rapport des ontraintes, (6.07) E d, min, i σ f d, min, i d, fat niveau minimal des ontraintes de ompression, E d,max, i σ f d,max, i d, fat σ d,max, i σ d, min, i f d, fat niveau maximal des ontraintes de ompression, ontrainte maximale pour un yle, ontrainte minimale pour un yle, résistane de alul à la fatigue du béton (formule (6.76) i-devant). Pour les ponts routiers et ferroviaires, une méthode simplifiée, basée sur des abaques, figure en annexe des Règles EC, partie EC (0) 37. EC (0) + annexe NN

323 État limite ultime de fatique 309 II. APPLICATION Appliation : setion retangulaire sans aiers omprimés Énoné l eff Q A g, q COUPE AA 3 HA (montage) 3 m l eff 6,85 m A 60 m 8 m 5 m 0 HA 5 HA Ations uniformément réparties : permanentes : 5,40 kn/m (hors poids propre) ; g variables : q 3 kn/m ave ψ 077et ψ 077; yliques : 0 Q ave N 0 5 fat 0 kn yles, ψ, i 077, et t 0 8 jours, α e Es 5. E, eff,,,, La poutre onsidérée omporte des armatures d âme. Matériaux : béton : f k 40 MPa, iment de lasse N, ε ε, ; u u3 35 aiers : S 500 A. On se propose, pour la vérifiation à la fatigue : / de déterminer les solliitations dans la setion médiane ; / de vérifier la résistane des armatures longitudinales ; 3/ de vérifier la résistane du béton omprimé.

324 30 Corrigé. Solliitations de flexion pour la vérifiation à la fatigue dans la setion médiane. Combinaison de base Ations au ml : ϖ poids volumique du béton armé ϖ 5 kn/m 3 g g + ϖ. bw. h g 5, ,8.0,60 8,0 kn/m pb g,. q p b 8,0 + 0,77.3 Moment fléhissant maximal : p b 0,4 kn/m M b b eff p l 8 M b ,, 8 M b 9,7 mkn. Combinaison de base plus ation ylique Ations : p g +ψ,. q p p 8,0 + 0,77.3 0,4 kn/m Q fat Moment fléhissant maximal : Q fat 0 kn M p eff Q eff + 8 fat M , ,, 8 4 M 53,96 mkn. Vérifiation de la résistane à la fatigue des armatures tendues. Caratéristiques géométriques de la setion droite fissurée.. Position de l axe neutre Pour la setion d armatures en plae : A s m, 96. 4, 9 + 3, 4 bw. x e s e s + α A. x α. A. d 0

325 État limite ultime de fatique 3 08,. x 4.. Moment d inertie de la setion fissurée + 5., x 5., , 0, 09. x + 0, x 0, Δ 0, , 09. 0, , x 0, , ,., 53 m α 0, ,, I f bw. x + αe. As d x 3 ( ) 3 3 0, 8. 0, 53 4 I f + 5., ( 0, 55 0, 53) 0, m 3. Contraintes des armatures sous la ombinaison de base K M b I K 0, , 94 MN/m, σ f Kx. σ 44, 94. 0, 53, 37 MPa ( ) σsb αe. K d x σ sb 5. 44, 94( 0, 55 0, 53) 00 MPa.3 Contraintes des armatures sous la ombinaison de base plus ation ylique K M I K 0, , 79 MN/m, σ f Kx. σ 57, 79. 0, 53 4, 6 MPa ( ) σs αe. K d x σ s 5. 57, 79( 0, 55 0, 53) 57 MPa.4 Étendue de ontraintes sous l ation ylique onsidérée Δσ γ σ σ s F, fat. s sb 3 3 4

326 3 ave : γ F, fat,0 Δσ s.0, MPa.5 Caratéristiques de la ourbe S-N orrespondant aux aiers utilisés Δσ f σ Δσ A MPa A yk sb Armatures utilisées * N k k Δσ * Rsk Barres droites tendues * N k k * ΔσR sk 6 6, 5 MPa N B * Δσ N Δσ * Rsk A k 6 N B 6, , , Étendue de la ontrainte résistante Ds Rsk 5 4 N N B ΔσRsk ΔσA N 0 > 4, 7. 0 N B NB < N * N Δσ Rsk Δσ * Rsk * N N k.7 Vérifiation Étendue de ontrainte : Δσ s Δσ γ Rsk s, fat 5 6 * N 0 < 0 N Δσ Rsk 6, MPa ave : γ s, fat,5 Δσ s 57 MPa 4 MPa O.K.,5 Endommagement des armatures dû à la fatigue : N DEd * N >< 0 D Ed 6 0, < 0 5 O.K. la résistane en fatique des armatures est satisfaisante.

327 État limite ultime de fatique 33.8 Remarque Pour des barres non soudées : Δσ s ave : k >< k 70 MPa Δσ s étendue de ontrainte sous une harge ylique fréquente : Δσ s 57 MPa < 70 MPa.9 Cas de l Annexe nationale française et la résistane en fatigue des armatures est satisfaisante..9. Vérifiation * 60 MPa : φ 40 mm 0 MPa : φ 6 mm Δσ Rsk En prenant par séurité : φ φ max Il vient : φ 5 mm * 5 6 Δσ Rsk ,5 MPa 40 6 Δσ Rsk 58 9, ,65 MPa 6,5 303,65 Δσ s 57 MPa < 64 MPa O.K.,5.9. Vérifiation simplifiée k 00 MPa Δσ s 57 MPa < 00 MPa OK 3. Vérifiation de la résistane à la fatigue du béton La poutre onsidérée omporte des armatures d âme. 3. Première vérifiation 3.. Caratéristiques des matériaux

328 34 f k >< 50 MPa λ, η f k 40 MPa < 50 MPa λ 08, η f d fk α f d 40 γ 5, 6,7 MPa f u fk ηα. f u. 40 γ 5, 6,7 MPa fk fd, fat k. t. f ( ) d β 0 50 ave : k 085, valeur reommandée et à utiliser pour l Annexe nationale française : k 085, t 0 date de début du hargement ylique en jours : t 0 8 jours β ( t 0 ) e s t 0 où : 0,0 : iment de lasse R (CEM 4,5 R, CEM 5,5 N et CEM 5,5 R) s 0,5 : iment de lasse N (CEM 3,5 R et CEM 4,5 N) 0,38 : iment de lasse S (CEM 3,5 N) Ciment de lasse N s 0,5 β t e , 8 ( ),,.., f d fat 9,06 MPa 3.. Vérifiation Contraintes extrêmes et niveau de ontraintes dans le béton omprimé : σ d,max, equ σ d, min, equ borne supérieure de l étendue de ontraintes : 4 6 MPa (voir.3) σ d,max, equ, borne inférieure de l étendue de ontraintes : 37 MPa (voir.) σ d, min, equ,

329 État limite ultime de fatique 35 E E d,max, equ d, min, equ d,max, equ σ 4, 6 E d,max, equ 077, f 9, 06 d, fat d, min, equ σ, 37 E d, min, equ 060, f 9, 06 d, fat R equ E E d, min, equ d,max, equ 060, R equ 078, 077, Vérifiation : E R >< 0, , 43 0, 78 0, 97 < d,max, equ, equ 3. Seonde vérifiation 3.. Contraintes extrêmes de ompression du béton On onsidère la setion de béton fissurée Contrainte maximale résistane à la fatigue satisfaisante. Moment fléhissant maximal sous la ombinaison fréquente : pb g +ψ,. q p b 8,0 + 0,77.3 p b 0,4 kn/m ψ, i. Q ψ max, i. Q max 0,77.0 5,4 KN M b p eff b ψ 8, i.q eff,, + max M b , 4 + 5, M b 46,08 mkn Contrainte maximale sous la ombinaison fréquente (voir.) : K M b I K 0, , 84 MN/m, f σ,max. Kx σ, max 54, 84. 0, 53 3, 87 MPa 3... Contrainte minimale Moment fléhissant minimal (obtenu sous l effet du poids propre et des harges d exploitation quasi permanentes) : pb g +ψ,. q p b 8,0 + 0,77.3 3

330 36 p b 0,4 kn/m ψ, i. Q ψ min, i. Q min 0, kn M b p eff b ψ 8, i.q eff + min M 4 b , ,, 8 4 Contrainte minimale : 3.. Vérifiation M b 9,7 mkn K M b I K 0, , 94 MN/m, f σ, min. Kx σ, min 44, 94. 0, 53, 37 MPa 3 σ f,max d, fat σ, min 05, + 045, f d, fat >< Min 09, si fk 50 MPa 08, si fk > 50MPa, , 87, +, 077, 9, , < 077, Min 9, 06 09, résistane à la fatigue satisfaisante.

331 ANNEXE

332 A Analyse non linéaire Diagramme ontraintesdéformations du béton. Préambule x x x Soit à reherher les primitives des fontions :,, et. a+ x a+ x a+ x a+ x Nous obtenons : a x dx Log( a + x ) + K + x a x dx a+ x a a x dx a + + a x dx x a + x a x dx ( a+ x).. a x a dx + a+ x.log a + x K ( ) + x ax. +. a[ x a. Log ( a+ x) ] a.log( a+ x) + K x ax. + + a.log( a + x) + K x a x dx ( a+ x) 3. a. x 3. a. x a dx + a+ x x ( + ) + + a x a a x 3 a a x a x a+ x dx a x+ a x + x 3 x.. 3. a [ x a. Log ( a+ x) ] 3. a a. x+ + a.log( a+ x) 3 3 a.log( a+ x) + K 3 4 x a. x+ a. x + 3. a. x+ 3. a. Log( a+ x) + 3. a. x ax. 3. a.log( a+ x) 3 3 a. Log( a+ x) + K4 3 x 3 a. x a. x + a.log( a+ x) + K a. x 3. a. x +. x 3 a. Log( a+ x) + K

333 334. Diagramme ontraintes-déformations du béton Pour le alul des effets du seond ordre et pour des harges de ourte durée d appliation, on utilise le diagramme de alul défini de la manière suivante : σ k. η η + ( k ) η f m (3.4) ave : ε η où ε et ε sont pris ε en valeur absolue, f m k.f m (k 0,4) σ 03, ε 07,. f m déformation orrespondant au pi de la ourbe σ ε, Artg E m ε l ε ul ε Em. ε k 05, f m Classe de résistane du béton f k C/5 C6/0 C0/5 C5/30 C30/37 C35/45 C40/ C45/55 C50/60 C55/67 C60/75 C70/85 C80/95 C90/05 f tm f tk 0, 05,6,9,,6,9 3, 3,5 3,8 4, 4, 4,4 4,6 4,8 5,0,,3,5,8,0,,5,7,9 3,0 3, 3, 3,4 3,5 f tk 0, 95,0,5,9 3,3 3,8 4, 4,6 4,9 5,3 5,5 5,7 6,0 6,3 6,6 ε ( ),8,9,0,,,5,3,4,45,5,6,7,8,8 ε u ( ) 3,5 3, 3,0,8,8,8 ε ( ),0,,3,4,5,6 ε u ( ) 3,5 3,,9,7,6,6 ε 3 ( ),75,8,9,0,,3 ε u3 ( ) 3,5 3,,9,7,6,6 L EC laisse la possibilité d utiliser un autre diagramme ontraintesdéformations dans la mesure où elui-i représente bien le omportement du béton.. EC EC ()P

334 Annexe 335 Pour la méthode générale d évaluation des effets du seond ordre, le diagramme i-dessus est modifié omme suit 3 : f m f d est remplaé par, Em E est remplaé par 4 m Ed γ E ave : γ E, valeur reommandée et à utiliser pour l annexe nationale française. 3. Coeffiients de remplissage et de entre de gravité du diagramme ontraintesdéformations du béton (analyse non linéaire) 3.. Diagramme ontraintes-déformations envisagé Le diagramme ontraintes-déformations du béton pour une analyse non linéaire et des harges de ourte durée d appliation est elui figurant au paragraphe du hapitre 3 : «Béton armé Généralités» 5. Dans le as d une setion retangulaire, nous avons : ε δ G.x u f d f d d AN x u α u.d ξ ε ξ ε ξ x u σ ξ F ψ.f 0 F 0 A s b w ε s Diagramme déformations σ s Diagramme réelles σ s ontraintes de référene σ ξ k. η η + ( k ) η f d ave : 3. EC (3) 4. EC (4) 5. EC (3)

335 336 η ε ξ ε ε ε ε 07,. f 03, m ξ., x, u E k 05, γ m E. ε. f d ave γ E,. 3.. Coeffiient de remplissage Résultante des efforts de ompression dans le béton : x x k.η η F u b w.σ ξ.dξ u b w.f d dξ ( k )η x u 0 ε ε k ξ ε b w.f x ξ u ε x u d dξ ( k ) ε ξ ε x u k ξ ξ ---- x u ε x u x b w.x u.f d k d ξ u ε ξ x u k a ε ε Compte tenu des primitives alulées au paragraphe, il vient : x u { k u F b x f k a u du b x f w. u. d.. + w. u. d. 0 0 k ε ε k F bw. xu. fd u a. Log( a+ u) + K k b. x. f w u d [ ] u 0 u.. a+ u du ε u. au. + + a. Log( a+ u) + K3 k ε k bw. xu. fd [ a. ( a+ ) + a. a] k Log Log ε bw. xu. fd. a+ + a. Log( a+ ) a. Loga k ε 0

336 Annexe 337 k F bw xu fd a +.. k. Log a D où le oeffiient de remplissage : ave : b ε. xu. fd. a+ a. + k Log ε a w F ψ. F ψ. b. x. f 0 w u d soit : k ε ψ + a k. Log a. k ε a. ε k ε a + a.log + a 3.3. Coeffiient de entre de gravité Le moment des fores internes, pris par rapport à l axe neutre, donne : x x k.η η ( x u δ G.x u )F u b w.σ ξ.ξ.dξ u b w.f d ξ.dξ ( k )η x u 0 ε ε k ξ ε b w.f x ξ u ε x u d ξ.dξ ( k ) ε ξ ε x u k ξ ξ ---- x u ε x u x b w.x u.f d k ξ.d ξ u ε ξ x u k b. x. f w u d 0 a ε ε x u { kx. u u k a+ u du b x f xu.. w. u. d 0 k u ε 3 ε u... a+ u du

337 338 Compte tenu des primitives alulées au paragraphe, il vient : ( ) x δ. x F b. x. f u G u w u d xu ε bw. xu. fd. k ε b. x. f w u d x b x f u ε w. u. d. k ε D où le oeffiient de entre de gravité : kx. u u au. + + a. Log( a+ u) + K3 k 6. a. u 3. a. u +. u 6 3 kx. u a+ a. Log( a+ ) a. Loga k 0 3 a. Log( a+ u) + K4 6. a 3. a+ 3 a. Log( a+ ) + a 3. Loga 6 k.x ( x u δ G.x u ) F b w.x u.f d u k -- a + a.log + -- a ψ.b w.x u.f d { x b w.x u.f u d ε k a a + a 3.Log a kx. u ψ( xu δg xu) a+ a +. k. Log a xu ε 6. a 3. a+ 3 + a.. Log k a ε 6 δ G ε k a+ a + ψ ( k ).Log a ε 6. a 3. a a. Log ψ ( k ) ε 6 a 0 4. Remarque Pour les harges de durée d appliation quelonque : ε est remplaé par ε + ϕ, ε est remplaé par ε + ϕef, Em. ε + ϕef k 05, ave γ E,, γ. f E dans les expressions de ψ et de. d ( ) ( ) ef ( ) δ G

338

339 A Calul numérique des déformations. Pose du problème Soit à reherher l aire limitée : par l axe des absisses (x), par la ourbe y f(x), entre les absisses x 0 et x + Δx. 0 y f(x) y' y 0 y y x 0 x 0 + x x 0 + x x. Ar de parabole ironsrit En remplaçant la ourbe réelle par un ar de parabole : d équation y a. x + bx. +, ( ) ( x x y ) passant par les points x, y ; + Δ, et x + Δ x, y, ( 0 ) ( ) on obtient, en se plaçant dans le repère (x, y ), passant par le point x 0, 0 : y0 y a. Δx + b. Δx+ y a. ( Δx) + b. Δx+

340 30 D où les oeffiients de l équation de l ar de parabole : a y y 0 0 Δx y Δx 0 0 ( Δx) Δx 4( Δx) Δx y 0 ( Δx Δx) y( Δx) + y( Δx) 3 3. Δx 4. Δx y0.y + y a.δx b 0 y ( Δx) y 4( Δx) y 0 0 ( Δx) Δx 4( Δx) Δx 0 ( ) + ( ) ( ) y Δx Δx y Δx y Δx 3.Δx 4. y 3. y y b. Δx y ( Δx) Δx y 4( Δx) Δx y 0 0 ( Δx) Δx 4( Δx) Δx ( ) ( ) + ( ) 3 y0 y0 Δx 4Δx y 0 y 0. Δx 3. Calul numérique des intégrales La primitive de la fontion y a. x + bx. + s érit dans le repère (x, y ) : Y a x 3 b x x. + d 3 ave d 0 D où, par intégration de y(x) sur l intervalle x, x + Δx du plan (x, y) : x0 Soit, en remplaçant les onstantes a, b et par leurs valeurs : [ ] 0 0 Δ Δ Δx Δx y( x). dx y( x). dx a. + b. +. Δx 0 3 x0 + x x 3 x0 + Δx y0. y + y Δ x 4. y 3. y0 y Δx yx ( ). dx. x +. + y0. Δx 0. Δx 3. Δx 3

341 Annexe 3 x0 + Δx Δx y0 y 9 3 yx ( ). dx y y y y x y 0 x0 + Δx Δx 9 yx ( ). dx y x ( + 3) y + y [ ] Et par intégration de y(x) sur l intervalle x, x + Δx du plan (x, y) : 0 0 [] x0 3 Δ Δ 8Δx 4Δx y( x). dx y( x). dx a. + b. 0 3 x0 + x x Soit, en remplaçant les onstantes a, b et par leurs valeurs : x0 + Δx y. y + y yx ( ). dx x 0. Δx 0 Cette formule est appelée «formule des trois niveaux» Δx 8Δx 4. y 3. y y Δx 0 4Δx. + y0. Δx x0 + Δx Δx yx ( ). dx. y. y. y. y. x y 3. y + 6. y [ ] x0 + Δx Δx yx ( ). dx ( ) y y x 0 + ( 8+ ) + ( 4 3) 0 3 x0 + Δx Δx yx ( ). dx y + 4. y + y x0 3 Pour aluler l intégrale de y(x) entre y 0 et y n (le nombre d ordonnées étant impair le nombre d intervalles étant pair), on onsidère les ars de parabole suessifs orrespondant à y(x) sur les paires d intervalles suessives. On obtient ainsi de prohe en prohe : y f(x) 0 0 [ ] [ ] 0 y [] y 0 y y y 3 y 4 y n y n y n I II N x

342 3 I y + 4. y + y 0 II y + 4. y + y N y + 4. y + y n n n Total : Remarque : l intégration de y(x) sur l intervalle s obtient en érivant : x0 D où : n x0 + Δx x + Δx x0 + Δx 0 Δx y( x). dx y y + y + 4. y y n + 3 [ ] 0 yx ( ). dx yx ( ). dx+ yx ( ). dx x0 x0 + Δx x + Δx x0 + Δx x0 + Δx 0 yx ( ). dx yx ( ). dx yx ( ). dx x0 4.y n + y n [ x + Δx, x + Δx] 0 0 Soit une formule «symétrique» de elle relative à yx ( ). dx. x0 + Δx x0 + Δx Δx Δx yx ( ). dx [ y. y y, x0 x ] y +. y 0, 5. y + Δ x0 x0 + Δx Δx yx ( ). dx 05,. y. y,. y x0 x Δ 3 [ ] [ ] 0 x0 + Δx x0 4. Méthodes simplifiées pour la double intégration de la ourbure 4.. Méthode basée sur une variation linéaire de la ourbure 4... Introdution Considérons une poutre sur deux appuis simples, de portée, déoupée en deux tronçons de longueur / : x x' l/ l/ 3

343 Annexe 33 Sur haune des demi-travées, en supposant que la variation de la ourbure est linéaire, nous pouvons poser : Demi-travée de gauhe y" ax. + b r y' θ a. x + bx. + 3 y f a. x + bx. +. x+ d 6 Demi-travée de droite y" α. x ' + β r y' θ α. x' + β. x' + γ 3 y f α. x' + β. x' + γ. x' + δ 6 Les onditions aux limites à respeter s érivent : pour les ourbures : y" ( x 0) b r y" ( x ' 0) β r 3 y x -- y x r a. + b α. + β r a. + r r α. + r3 r a -- r r α -- r r 3 pour les flèhes : y( x 0) d 0 d 0 y( x' 0) δ 0 δ0 y x -- y x a. + b d α. + β. + γ. +δ γ. r r r r r 3 r 3

344 34. γ r r 3 4 r 3 r 6 r 6 r 3 [α] pour les rotations : y x -- y x -- a. + b. + α. β. γ r r r r r γ r 3 γ r r r r 3 r + γ... r 4 r 4 r 3 d où les oeffiients et γ : [β] [ α]. γ r. 6 r [ β] + γ... r 4 r 4 r 3 3 [ α] +. [ β] r r r r r r 4 r 4 r 4 r. [ β] [ α].γ r r r 3 La flèhe à mi-portée s exprime alors en fontion des ourbures par la relation : γ.... γ... r r r 4 r 4 r 4 r y y -- f a b d 3 3 y r r 8 r 4 r 4 r 4 r 3

345 Annexe 35 y r 4 r 8 r 48 r 8 r 48 r 3 y r r 48 r 3 y... r 48 r 48 r 3 y r r r 3 sur les appuis extrêmes : y y3 0 Cette méthode peut être généralisée au as de poutres dont la portée a été déoupée en n parties égales (ave n pair). Remarque : dans le as d une poutre déoupée en deux tronçons, on retrouve la formule des trois niveaux (f. 3) Généralisation Nous pouvons évaluer la flèhe à partir de la ourbure, sans double intégration, en utilisant la formule : r n i ki, j N j j y i indie de la setion où l on alule la flèhe, où j indie de la setion dont on onnaît la ourbure, n nombre (impair) de setions du déoupage. ave : M r E j ser ( xj) I, eff r Les valeurs de N et I h I f et I ou selon le as. k i, j étant donnés i après. Le signe négatif provient du fait que la flèhe est onsidérée omme positive dans le sens asendant.

346 Déoupage en tronçons N 48 ;, 4... Déoupage en 4 tronçons N 384 ;, Déoupage en 6 tronçons N 96 ;, 3 l/ l/ y 0 y 3 0 y r r r 3 4 [ ] l/4 l/4 l/4 l/4 y 0 y 5 0 y y y r r r r r l/6 l/6 l/6 l/6 l/6 l/6 y 0 y 7 0 y y y y y r r r r r r r

347 Annexe Déoupage en 8 tronçons N 3 07 ;, Déoupage en 0 tronçons N ;, l/8 l/8 l/8 l/8 l/8 l/8 l/8 l/8 y 0 y 9 0 y y y y y y y r r r r r r r r r l/0 l/0 l/0 l/0 l/0 l/0 l/0 l/0 l/0 l/0 y 0 y 0 y y y y y y y y y r r r r r r r r r r r 0

348 Exemples Charge onentrée à mi-portée d une poutre sur deux appuis simples l/ x l P P dω M( x) P M ( x ) x dx r EI EI x Pour un déoupage en quatre tronçons : 0 ; ; ; ; r P. P. P EI 4. EI r r 8. EI r r r r 3 4 D où la flèhe à mi-portée (f. 4...b) : y y r r r3 r4 r P EI P. P EI 48. EI Charge uniformément répartie sur une poutre sur deux appuis simples P x l px. ( x) dω M( x) px. ( x) M( x) dx r EI. EI Pour un déoupage en dix tronçons : p. p. 0 ; 009, ; 06, ; r r r r. EI r r. EI 0 3 9

349 Annexe 39 p. p. p. 0, ; 04, ; 0, r r. EI r r. EI r r. EI 4 8 D où la flèhe à mi-portée (f. 4...e) : y y y Éart : r r r3 r4 r r 6 par symétrie. p.. [ , , , , 4] , EI { } , 5 p. 5. p. 5.. p EI 387. EI 384. EI Δy y Méthode basée sur une variation de la ourbure identique à elle du moment fléhissant 4... Introdution Considérons une poutre sur deux appuis simples, de portée, uniformément hargée : M 0 p. 8 r 0 M0 EI f y p EI On peut don érire, en se plaçant à mi-travée : p 5 M0 f 0 04., 384. EI 48 EI r 0

350 Généralisation Nous pouvons évaluer la flèhe maximale, à partir de la ourbure dans la setion soumise au moment maximal, par la formule : f k. --- r 0 ave : k oeffiient fontion du diagramme des moments, r 0 ourbure dans la setion la plus solliitée, portée de la poutre. Le signe négatif provient du fait que la flèhe est onsidérée omme positive dans le sens asendant. Le oeffiient k dépend de la forme du diagramme des moments fléhissants. Il est donné par le tableau i-après : Chargement Diagramme du moment fléhissant k M 0 M 0 M 0 0,5 l l.l P M max P ( )l P 3 4. α 48( α) l l si α : M 0 M 0 l l 0,065

351 Annexe 33 α.l P/ P/ α.l P.α.l 0, 5 α 6 l p l p.l 8 0,04 l l p P.l 5,6 0 0,0 l l M A p M B M t 0, 04 β 0 ave : l M A l M B MA + M β M t B α.l P P.α.l α( 3 α) 6 l l si α : 3

352 33 α.l P l p.α.l α( 4 α) l si α : 4 M A l / l P M B M A M t l M B 0, 083 β 4 ave : MA + M β M t B a.l P a.l p.l 4 (3 4.α ) ( ) 5 4. α α l l

353 Bibliographie J.-A. Calgaro et J. Cortade, Appliations de l euroode : alul des bâtiments en béton, Presses des Ponts-et-Chaussées, 005. J. Perhat, Le alul plastique, ours ESTP 973. J. Roux, Résistane des matériaux par la pratique, tomes à 4, Éditions Eyrolles 995, 998 et 999.

354

355 Index Cette table alphabétique reprend les expressions ourantes utilisées en béton armé en renvoyant à la page dans laquelle elles sont définies ou utilisées la première fois. A Ations yliques Aire hargée Aire de ontrôle de référene Analyse élastique linéaire... 8 Analyse linéaire ave redistribution limitée... 9 Analyse non linéaire Analyse plastique Applui diret Appui indiret Armatures de peau... 8 Armatures en hapeau B Bielle... 8 C Chapeaux Coeffiient d amplifiation... 7 Condition entièrement fissurée Condition non fissurée Console ourte... 8 Contour de ontrôle de référene Contour de ontrôle réduit... 6 Contour de ontrôle... 47

356 336 Corbeau... 8 Courbe aratéristique de résistane en fatigue Courbe S-N D Dalles... 8 E Endommagement des armatures dû à la fatigue Étendue de ontrainte Étendue de ontraintes résistante Exentriité du premier ordre Exentriité du seond ordre F Fissuration omplète Fissuration non systématique Fore ritique d Euler L Longueur de flambement Longueur effiae M Méthode de l équilibre Méthode de la ourbure Méthode de la rigidité Méthode des déformations internes Moment du premier ordre équivalent N Nombre de yles... 98

357 Index 337 O Ouverture alulée des fissures... 6, 76 P Paramètre de déformation Portée utile... 0 Poteaux... 8 Poutres... 8 Poutres-loisons... 8 R Rigidité nominale S Setion de ontrôle de référene T Tirant... 8 V Valeur limite de l ouverture alulée des fissures... 6 Voiles... 8

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