Note de cours de NYB Calcul Intégral. Éric Brunelle

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1 Note e cours e NYB Calcul Intégral Éric Brunelle

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3 Table es matières Introuction Chapitre. Dérivation implicite et règle e L Hospital 3. Rappels sur la érivation 3. Règle e L Hospital 6 Chapitre. Différentielles et primitives e base 9. Différentielle une fonction 9. Intégrales inéfinies e base Annexe A. Propriétés es ites 7. Propriétés es ites 7 Annexe B. Formules e érivation 9 3

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5 CHAPITRE Dérivation implicite et règle e L Hospital Dans ce chapitre, nous revenons sur quelques techniques e érivation, notamment la érivation e fonctions implicites et la érivation logarithmique. Par la suite, nous étuions comment lever es inéterminations à l aie e la règle e L Hospital.. Rappels sur la érivation Nous ne revienrons pas sur les règles e érivation. Elles sont expliquées ans le premier cours e calcul. Pour ce qui est es formules e érivation, elles sont présentées ans l annexe B... Dérivation implicite. On se rappelle que la érivée une fonction y = f(x) évaluée en x = a, que l on note f (a) ou f, x x=a correspon à la pente e la roite tangente à la fonction en x = a. Exemple.. Trouvons l équation e la roite tangente à la courbe f(x) = x 3 x en x =. On sait que l équation une roite est e la forme Trouvons tout abor f (x). y = mx + k, où m = f (). f (x) = [x 3 x] = 3x Ainsi, m = f () = 3 =. On a alors y = x + k. Puisque la roite passe par le point (, f()) = (, ), on obtient = + k k = L équation e la roite tangente est y = x. Par contre, ce n est pas toujours aussi facile e éterminer la pente e la tangente si la courbe n est pas éfinie par y = f(x). L exemple classique est e éterminer l équation e la tangente au cercle e rayon 3

6 4. DÉRIVATION IMPLICITE ET RÈGLE DE L HOSPITAL en x =. Ici, la courbe est éterminée une manière implicite par l équation x + y =. y n est onc pas une fonction e x, car pour une valeur e x, il y a eux valeurs possibles pour y. Il faura onc utiliser la érivation implicite afin e trouver la pente. Cela signifie que l on pren les eux côtés e l équation et on les érive par rapport à x. Cepenant, il est important e se ire que y épen e x. Ainsi, on ne peut pas prenre cette variable comme une constante. x [x + y ] = x [] x + y y = On voit que x y = y y. Ce résultat provient e la règle e érivation en chaîne. Posons g y = y. Ainsi, x g y = g y y x = y y Règle e érivation en chaîne. Il ne reste plus qu à isoler y (x) et à l évaluer au point (, ± 3 ). Ainsi, y ( ) = 3. x + y y = y y = x y m = 3 x m = 3

7 . RAPPELS SUR LA DÉRIVATION 5.. Dérivation logarithmique. La méthoe e la érivation logarithmique sert ans les cas où la fonction y(x) est e la forme y(x) = f(x) g(x), où f(x) >. L astuce pour trouver y (x) consiste tout abor à prenre le logarithme naturel es eux côtés e l équation. Par la suite, on effectue une érivation implicite. Finalement, on isole y (x). y(x) = f(x) g(x) ln y = ln ä f(x) g(x)ç ln y = g(x) lnf(x) ln y(x) = x x y [g(x) lnf(x)] Loi es log. y = g (x) ln f(x) + g(x) f (x) f(x) æ y = y g (x) ln f(x) + g(x) f (x) f(x) æ y = f(x) g(x) Regarons cette méthoe avec un exemple. Ainsi, Exemple.. Déterminez la érivée e y(x) = cos x x 3 x å è cos x x 3 x ln y = ln g (x) ln f(x) + g(x) f (x) f(x) y(x) = cos x x 3 x. x ln y = ä ç x (x3 x) ln cos x y ä ç y = (3x ) ln cos x + (x 3 cosxsin x x) cos x y = cos x x 3 x ä ä ç ç (3x ) ln cos x (x 3 x) tanx Un exemple classique est e éterminer la érivée e f(x) = x x avec x >. é é.

8 6. DÉRIVATION IMPLICITE ET RÈGLE DE L HOSPITAL Exemple.3. Trouver f (x) si f(x) = x x avec x >. y(x) = x x ln y = x ln x x ln y = x x ln x y y = ln x + x x y = x x [ln x + ] Cette technique revienra bientôt lorsque vienra le temps e lever certaines inéterminations ans es ites.. Règle e L Hospital.. Introuction. Dans le premier cours e calcul, nous avons étuié comment éterminer la valeur e certaines ites. Celle-ci épen e la forme e la ite lorsqu on l évalue. Le tableau suivant montre la valeur e la ite selon cette forme. Ici, k est une constante positive (k > ). Forme Valeur e la ite Forme Valeur e la ite k + + k + ±k + k k + ±k ± k + ± k ±k(+ ) ± ±k( ) (+ ) k + Tab.. Valeur e ifférentes ites.

9 . RÈGLE DE L HOSPITAL 7 Il est important e noter que certaines formes ne sont pas ans ce tableau :, ± ±,, ±,, (+ ), et ±. Afin e lever ces inéterminations, c est-à-ire obtenir l une es formes précéentes ou obtenir une valeur fixe, on oit faire certaines manipulations algébriques et utiliser certaines astuces... Inétermination e la forme. Étuions maintenant comment lever es inéterminations e la forme. Exemple.4. Déterminons la valeur e la ite suivante : x 9. x 3 x 9 Pour résoure ce problème, on oit multiplier par le conjugué. x 9 x 9 x + 3 = x 9 x 3 x 9 x 3 x + 3 = x 9 (x 9)( x + 3) x 9 = x 9 x + 3 = = 6 Cepenant, il arrive que les astuces soient un peu plus complexes. Le prochain problème en est un bon exemple. Exemple.5. Déterminez la valeur, si elle existe, e la ite sin x x x. La procéure pour trouver cette ite se fait en eux temps. En premier, on oit émontrer que sin x < x < tan x x ], π/[. Par la suite, il suffit e jouer avec cette inégalité et utiliser le théorème u genarme. Débutons par la petite émonstration. Soit la construction ans le premier quarant u cercle trigonométrique :

10 8. DÉRIVATION IMPLICITE ET RÈGLE DE L HOSPITAL Q R O x M N La preuve se fait en quatre étapes. Étape : Déterminons les mesures es segments OM, MQ et NR en fonction e x. Puisque OQ = et ON = (rayons u cercle), on a cosx = OM, sin x = MQ, tan x = NR. Étape : Calculons l aire es triangles OQN et ORN. On sait que l aire un triangle correspon à la moitié u prouit e sa base et e sa hauteur. Ainsi, ON MQ A( OQN) = ON NR A( ORN) = = sin x, = tanx. Étape 3: Calculons l aire e la section e cercle éitée par ONQ. A s =.5 angle rayon = x. Étape 4: On peut maintenant conclure. Par la construction, on a que où A( OQN) < A s < A( ORN), sin x < x < tan x sin x < x < tanx. On est maintenant en mesure e manipuler cette inéquation pour trouver la ite cherchée. Tout abor, ivisons la ouble inégalité par sin x. Cette opération, tout comme l inéquation, n est valie que si x ], π/[. Ainsi, < x sin x < tan x sin x = cosx

11 Puisque. RÈGLE DE L HOSPITAL 9 = et x + x + cos x = on peut affirmer par le théorème es genarmes (voir annexe A) que x + Ce résultat signifie également que car si alors x sin x =. sin x x + x =, f(x) x a g(x) = L, g(x) x a f(x) = L. Il ne reste plus qu à émontrer que la ite à gauche est également. L inégalité que nous avons émontrée n est valie que si x >. Cepenant, nous avons besoin e éterminer sin x x x. Pour ce faire, on utilise le fait que la fonction f(x) = sin x est une x fonction paire, c est-à-ire que f( x) = f(x). f( x) = sin( x) x = sin x x = sin x x = f(x). Ainsi, lorsque x + revient à x. D où, sin x x x =. L astuce pour lever l inétermination est assez complexe et longue. Le théorème suivant permettra e simplifier la méthoe et sera très utile pour évaluer es ites. Théorème. (Règle e L Hospital). Soient eux fonctions continues sur l intervalle [x, x ] telles que ) pour a [x, x ], f(x) = et g(x) =, x a x a ) f (x) et g (x) sont continues en x = a,

12 . DÉRIVATION IMPLICITE ET RÈGLE DE L HOSPITAL alors 3) g (x), x ]x, x [\{a}, si cette ite existe ou est infinie. f(x) x a g(x) = f (x) x a g (x), Démonstration. f(x) x a g(x) = f(x) f(a) x a g(x) g(a) f(x) f(a) á car f(a) = g(a) = par hypothèse e continuité = x a x a g(x) g(a) x a ivision u numérateur et u énominateur = f(x) f(a) x a x a x a = f (a) g (a) f (x) = x a g (x) g(x) g(a) x a la ite un quotient est le quotient es ites par éfinition e la érivée si g (a) car les érivées sont continues en x = a Lorsque g (a) =, il y a eux possibilités. Si f (a) : alors, la ite est ± ou n existe pas selon le cas. Si f () = : alors, on retrouve une inétermination e la forme. Habituellement, on ne vérifie pas les hypothèses ) et 3). On le fait seulement lorsque les fonctions sont un peu bizarres, ce qui ne sera pas le cas ans ce cours. Revenons à l exemple que nous avons vu plus tôt.

13 . RÈGLE DE L HOSPITAL Exemple.6. Déterminer, si elle existe, la valeur e la ite suivante : sin x x x. Utilisons la règle e L Hospital, mais il faut abor vérifier la première hypothèse. Cela se fait si on obtient une inétermination. sin x x x R.H. cosx = x = cos =. In Exemple.7. Déterminez la ite suivante : x x +. x Nous avons une inétermination e la forme. Nour pouvons onc utiliser la règle e L Hospital. x x + x R.H. = x (x + ) / = = ( + ) / Le prochain exemple montre que l on peut utiliser plusieurs fois la règle e L Hospital pour évaluer une ite. Exemple.8. Déterminons la valeur, si elle existe, la ite suivante : x sin x. x x 3

14 . DÉRIVATION IMPLICITE ET RÈGLE DE L HOSPITAL Débutons : x sin x In x x 3 R.H. = x cos x 3x encore une In R.H. sin x = x 6x R.H. cosx = x 6 = 6. Regarons un ernier exemple. encore une In Exemple.9. Déterminer, si elle existe, la ite suivante : sin x x x. Puisque nous avons une inétermination e la forme, on peut utiliser la règle e L Hospital. Ainsi, sin x x x R.H. cosx = x x. Pour évaluer cette ite, nous ne pouvons pas utiliser L Hospital, car la forme n est pas, mais e. Pour trouver cette ite, nous evons étuier la ite à gauche et à roite. cosx x x cos x x + x = car, = + car +. Comme la ite à gauche est ifférente e la ite à roite, la ite n existe pas..3. Inétermination e la forme ±. Comme nous venons e ± le voir, la règle e L Hospital s applique aux cas inéterminations e la forme. On peut émontrer que cette règle est également valie pour es inéterminations e la forme ±. La preuve nécessite es notions ± plus avancées, on prenra onc le résultat pour acquis.

15 Exemple.. Trouvons. RÈGLE DE L HOSPITAL 3 ln x x + x. Nous avons une inétermination e la forme. On peut onc utiliser la règle e L Hospital. ln x x + x Regarons un autre exemple. R.H. = x + = x + x = Exemple.. Déterminons la ite suivante : tan x x π + sec x. Encore une fois, nous avons une inétermination e la forme. Ainsi, tanx x π + sec x R.H. x sec x = x π sec x tan x sec x = x π tan x = x π sin x =..4. Intétermination e la forme. Lorsque l inétermination est e la forme, on ne peut pas appliquer irectement la règle e L Hospital. On oit tout abor manipuler l expression afin obtenir une inétermination e la forme fait intervenir la règle e L Hospital. ou ± ±. Par la suite, on Exemple.. Trouver, si elle existe, la ite suivante : x + x. x

16 4. DÉRIVATION IMPLICITE ET RÈGLE DE L HOSPITAL On obtient une inétermination e la forme. Manipulons l expression afin e pourvoir utiliser la règle e L Hospital. x + x x x = x x + x In x R.H. = x + x 3 x x = x + x 3 x 4 x = x + 6x = + car + Exemple.3. Déterminer la valeur e ln(x + 3) ln(x 5). x Nous avons une inétermination e la forme. x + 3 ln(x + 3) ln(x 5) = ln x x x 5 = ln R.H. = ln x x x + 3 x 5 car la fonction ln est continue. In = ln.5. Inétermination e la forme ±. Lorsque nous nous retrouvons en présence une inétermination e la forme ±, il faut manipuler l expression afin obtenir une inétermination e la forme ou ± ±. Par la suite, on applique la règle e L Hospital. Exemple.4. Déterminons la valeur e x sin x x.

17 . RÈGLE DE L HOSPITAL 5 Manipulons l expression, puisque nous avons une inétermination e la forme. x sin x x = sin x x x R.H. = x x cos x x = x cos x = cos = In.6. Inéterminations e la forme, (+ ), et ±. Dans ces trois cas inétermination, la technique pour les lever est la même. Il s agit e la même astuce que celle utilisée lors e la érivation logarithmique. Supposons que l on veut éterminer la valeur e la ite suivante : Voici les étapes à effectuer : Étape : On pose x a f(x)g(x). y = x a f(x) g(x). Étape : On pren le ln es eux côtés. Ainsi, ln y = ln x a f(x) g(x) = ln f(x) g(x) x a = g(x) lnf(x) x a car la fonction ln est continue. Propriété es log. Étape 3: On étermine cette ite, en manipulant l expression et en utilisant la règle e L Hospital. N oublions pas que celle-ci est seulement valie pour es inéterminations e la forme ou ± ±. Posons L cette ite si elle existe. Étape 4: On retrouve la valeur e y qui correspon à la réponse ésirée. Regarons quelques exemples. Exemple.5. Trouvons la valeur e la ite suivante : x + x x.

18 6. DÉRIVATION IMPLICITE ET RÈGLE DE L HOSPITAL Ici, nous avons une inétermination e la forme. Posons y, cette ite. Ainsi, ln y = ln x + x ln y = x ln ln y = x x ln + x x x + x ln + x ln y = x ln y R.H. = x x ln y = x + x ln y = y = e x + x x Exemple.6. Trouver, si elle existe, x xx. + Nous avons une inétermination e la forme. y = ln y = ln x + xx x xx + ln y = ln xx car x + ln y = x ln x ln y = x + ln y R.H. = x + + x ln x (In ) x ln y = x + x ln y = y = e = x x (In ) In la fonction ln est continue. In + C est le même principe lorsque nous avons une inétermination e la forme (+ ).

19 . RÈGLE DE L HOSPITAL 7.7. En Résumé. Voici un résumé es ifférentes formes inétermination et la façon e les lever. Formes intétermination Méthoe pour lever les inéterminations Utiliser irectement la règle e L Hospital. ± ± -Utiliser irectement la règle e L Hospital. -Manipuler l expression pour obtenir une inétermination ± ou. ± -Utiliser la règle e L Hospital. ± -Manipuler l expression pour obtenir une inétermination ± ou. ± -Utiliser la règle e L Hospital. -Poser la ite égale à y. -Prenre le ln es eux côtés e l égalité., (+ ), ± -Manipuler l expression pour obtenir une inétermination ± ou. ± -Utiliser la règle e L Hospital. -À la fin, on retrouve la valeur e y. Tab.. Résumé es méthoes pour lever ifférentes inéterminations.

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21 ANNEXE A Propriétés es ites. Propriétés es ites k = k x a x = a x a x a x a k Ê [f(x) ± g(x)] = f(x) ± x a [f(x) g(x)] = x a g(x) = f(x) x a f(x) x a x a g(x) x a g(x) f(x) x a g(x) Théorème A.. Soit une fonction f(x). On a que si et seulement si x a f(x) = L x a x a f(x) = L ET f(x) = L. + Théorème A. (Théorème es genarmesou sanwich). Soit trois fonctions telles que Si alors f(x) g(x) h(x) f(x) = h(x) = L x c x c g(x) = L. x c x [a, b]. c ]a, b[, 7

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23 ANNEXE B Formules e érivation Définition e la érivée. f (x) = h f(x + h) f(x) h Propriétés e la érivée. x [kf(x)] = kf (x) x [f(x) ± g(x)] = f (x) ± g (x) x [f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x) f(x) = f (x)g(x) f(x)g (x) x g(x) [g(x)] si g(x) g g(f(x)) = x f f x Formules e érivation e base. (k) x = (x) x = x [f(x)]n = n[f(x)] n f (x) x ln(f(x)) = f (x) f(x) x ef(x) = f (x)e f(x) 9

24 3 B. FORMULES DE DÉRIVATION Formules e érivation e fonctions trigonométriques. x sin(f(x)) = cos(f(x)) f (x) x cos(f(x)) = sin(f(x)) f (x) x tan(f(x)) = sec (f(x)) f (x) x cot(f(x)) = csc (f(x)) f (x) x sec(f(x)) = sec(f(x))tan(f(x)) f (x) x csc(f(x)) = csc(f(x))cot(f(x)) f (x) Formules e érivation e fonctions trigonométriques inverses. x arcsin(f(x)) = f (x) [f(x)] x arccos(f(x)) = f (x) [f(x)] x arctan(f(x)) = f (x) + [f(x)] x arccot(f(x)) = f (x) + [f(x)] x arcsec(f(x)) = f (x) f(x) [f(x)] x arccsc(f(x)) = f (x) f(x) [f(x)]