Correction du brevet blanc n 1
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- Anaïs Champagne
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1 Applications numériques Correction du brevet blanc n 1 Exercice 1: On calcule le périmètre du triangle EFG et on écrit le résultat sous la forme a b P EF + EG + FG P P P P P ( ) P 0 Exercice 2: On considère l'expression: E ( x )² - ( x 1 ) ( x 2 ) 1. a) On développe et réduis E E ( x )² - ( x 1 ) ( x 2 ) E x² x - ( x 1) ( x 2 ) E x²+ 9-6x - ( x² 2x x + 2) E x² + 9 6x x² + 2 x + x 2 E x² x² 6x + 2x + x Comme on ne peut pas simplifier, on divise 27 et 75 par 279 et 7525 On met en facteur ( X )² On reconnaît le produit remarquable (a b )² a² b² 2ab avec a x et b On développe le deuxième produit entre parenthèses car il est précédé du signe moins On supprime les parenthèses et comme elles sont précédée du signe moins, on remplace chaque terme situé dans les parenthèses par son opposé On réduit l'expresson E - x + 7 b) Comment peut-on en déduire, sans calculatrice, le résultat de 997² ? On écrit sa démarche. On remarque que : , que: et que: On s'aperçoit que la formule de la question 1 peut être appliquée pour x ² ( )² - ( ) ( ) D'après la question a) : ( x )² - ( x 1 ) ( x 2 ) - x + 7 Et donc : 997² ) a) On factorise: F ( x + 1)² - ( x + 1) ( 7x 6) F ( x + 1) ( x + 1) - ( x + 1) ( 7x 6) F ( x + 1) [ ( x + 1) - ( 7x -6)] On a une différence de deux produit et dans chaque produit, on a un facteur commum ( x + 1)
2 F ( x + 1) ( x + 1 7x + 6) F ( x + 1) ( - x + 7) On supprime les parenthèses dans les crochets On réduit dans les deuxièmes parenthèses b) On résout l'équation : ( x + 1) ( 7 x) 0 Le produit est nul donc soit : x soit 7 x 0 x x x 1 7 x L'équation a pour solution : x 1 7 et x Exercice : J'entoure la solution Le nombre 5 10 s'écrit encore: ,005 Une expression factorisée de 9 x² 169 est : (9 x 1)X (9 x + 1 ( x 1 ) ² ( x 1)X ( x + 1) est égal à : Le nombre : 2 ² s'écrit encore : ² Une solution de l'équation x² 5 x 2 0 est : est égal à : Explication 5 10 : 10 0,001 donc ,001 0,005 La factorisation de 9x² 169 Méthode 1: On développe les produits ( 9x - 1)(9x + 1) 81 x² 169 on a reconnu (a b)(a + b) a² b² avec a 9x et b 1 ( x 1)² 9x² x 1 9x² x on a reconnu (a b)² a² + b² 2ab avec a x et b 1 ( x 1(x + 1) 9x² 169 on a reconnu (a b)(a + b) a² b² avec a x et b 1 Méthode 2 : 9x² 169 ( x)² 1² on reconnaît a² b² ( a + b)(a b) avec a x et b 1 9x² ( x 1) ( x + 1) 7 On calcule:
3 On calcule: 2 ² On reconnaît : (a b)² a² + b² 2ab avec a et b 2 2 ² ² + 2 ² Une solution de x² 5x est x - 1 ou x 2 over ou x 7 over On calcule x² 5x + 2 pour x ² donc x - 1 n'est pas solution de cette équation 2 On calcule x² 5x + 2 pour x 2 ² Donc x 7 l'expression pour x est solution de l'équation. Comme une seule solution convient, je ne calcule pas Je calcule Applications géométriques Exercice 1: Je montre que le triangle ABC est rectangle Rappel de cours : Comment montrer qu'un triangle est rectangle? Propriété 1: Si un triangle est rectangle et si l'on connaît la longueur de trois des côtés, on peut vérifier l'égalité et si elle existe utiliser la réciproque de la propriété de Pythagore Si dans un triangle ABC, BC est le côté le plus long et si BC² AB² + AC² alors le triangle ABC est rectangle en A. Propriété 2: Si dans un triangle ABC, [BC] est le diamètre d'un cercle et A est un point du cercle alors le triangle est rectangle en A. Prorpiété : Si dans un triangle deux des angles sont complémentaires alors le triangle est rectangle. Dans ce cas : on peut aussi utiliser la somme des angles du triangle et montrer que le triangle a un angle de 90. Propriété : Si un triangle a un angle de 90 alors il est rectangle. Propriété 5: Si deux angles alternes internes sont définis par deus droites parallèles alors ils ont la même mesure ( si l'un des angles est droit l'autre l'est aussi). Propriété 6: Si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est
4 perpendiculaire à l'autre. Propriété 7: Si un quadrilatère est un losange alors ses diagonales se coupent en formant un angle droit. Tu pourras poursuivre cette liste avec les angles symétriques etc... Figure 1: On a un triangle et on connait la longueur de ses trois côtés donc on a envie d'utiliser la propriété 1 AC est le côté le plus long ON calcule AC² 50 ² 2500 AB² + BC² 0² + 0 ² On a : AC² AB² + BC² d'après la propriété de pythagore le triangle ABC est rectanle en B. Figure 2: [BC] est le diamètre du cercle et A est un point du cercle donc le triangle ABC est rectangle en A Figure : Méthode 1: Dans le triangle ABC, on a : B 50 et ABC 0 B + ABC Le triangle ABC a deux angles complémentaires alors il est rectangle en C Méthode 2: On peut utiliser la somme des angles dans un triangle. ABC est un triangle La somme des angles d'un triangle est égale à 180 B + ABC + ACB ACB 180 ACB ( ) ACB ACB 90 Le triangle ABC a un angle droit donc il est rectangle en C. Figure : Méthode 1: Les angles BED et B sont alternes-internes et les droites ( DE) et () sont parallèles donc BED B De plus BED 90 donc B 90 Méthode 2: Les droites (AC) et (DE) sont parallèles et les droites (DE) et (BE) sont perpendiculaires or si deux droites sont parallèles alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre Donc les droites ( AC ) et (CB) sont perpendiculaires et le triangle ABC est rectangle en C Exercice 2: On calcule la hauteur du phare. Dans le triangle OPP', B' est un point de [OP'], B est un point de [OP] et les droites (BB') et (PP') sont parallèles, OB d'après le propriété de Thalès: OP OB' BB' OP ' PP '
5 On a OB, OP 8 et BB' 2 On utilise l'égalité : OB OP BB' PP ' en croix 8 2 PP ' PP' 2 8 C'est une équaton de proportionnalité, on fait les produits 2 8 PP' 2 Le phare a une hauteur de 2 mètres Exercice : 1) Les droites (AB) et (CD) sont-elles parallèles? EA EB On va calculer les quotients et EC ED EA EC 7,2 5, EB ED 10 7, EA On a : EC EB et les points A, E, C sont alignés dans le même ordre que les ED points B, E, D donc d'après la réciproque de Pythagore les droites ( AB) et (CD) sont parallèles. 2) Sachant que CD 6,, calculer AB D'après la qustion précédentes, les droites (AB) et (CD) sont parallèles, d'après la propriété EA de Thalès: EC EB ED AB CD On sait que EB ED donc AB CD AB AB CD 6, 8, AB 8, cm
6 Problème 2) Que représente la droite (BN) pour le triangle ABC: La droite (BN) est la perpediculaire à la droite (AC) passant par B donc c'est la hauteur du triangle ABC ) Soit (C ) le cercle circonscrit au triangle ABN et O le centre du cercle. a) Montrer que O est le milieu de [AB] Le triangle ABN est rectangle en N or : tout triangle rectangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre son hypothénuse donc le diamètre du cercle est [AB] et par conséquent O st le milieu de [AB]. b) Démontrer que le triangle AMB est rectangle Le triangle ABC est isocèle en A et M est le milieu de [BC], donc (AM) est la médiane du triangle or dans un triangle isocèle la médiane issue du sommet principal est axe de symétrie pour le triangle donc (AM) est perpendiculaire à (BC) et le triangle AMB est rectangle en M. c) On montre que le point M est sur le cercle (C) D'après la question ci-dessus, le triangle AMB est rectange en M Or : tout triangle rectangle est inscrit dans un cercle qui a pour diamètre son hypothénuse Donc le triangle AMB est inscrit dans le cercle de diamètre [AB] donc le cercle (C) et par conséquent le point M est sur le cercle ( C) ) a) Exprimer le cosinus de C dans le triangle CNB Le triangle CNB est rectangle en N, cos C CN CB b) Exprimer le cosinus de C dans le triangle M
7 donc : Le triangle M est rectangle en M, cos C CM c) En déduire la longueur de CN est 9,6 cm On a : cos C CN et cos C CM CN CB CM CB d'où : CN CN CM CB ,6 7,5 CN 9,6 cm d) On calcule BN Le triangle est rectangle en N d'après la propriété de pythagore: AB² AN² + BN² AB 7,5, A est un point de [CN] donc AN CN AC AN 9,6 7,5 2,1 d'où: 7,5² BN² + 2,1² BN² 7,5² 2,1² BN² 51,8 BN 51,8 BN 7,2 BN 7,2 cm e) Valeur approchée de C On a : cos C CM cos C 6 d'où 7,5 C 7 (on utilise shift cos sur la calculette) 5) Soit P le symétrique du point N par rapport au point O. Nature de ANBP. On sait que P est le symétrique de N par rapport au centre O du cercle et comme N est sur le cercle alors P st sur le cercle et [NP] est un diamètre. De plus [AB] est un diamètre du cercle donc le quadrilatère ANBP a des diagonales qui se coupent en leur mileu et qui sont égales donc le quadrilatère est un rectangle.
Si deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
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