Transformations du plan et de l'espace

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1 [ édité le 3 novembre 2017 Enoncés 1 Applications anes Exercice 4 [ ] [Correction] Soient f une application ane d'un espace ane E dans lui-même et (A, B) un couple de points distincts de E. Montrer que si A et B sont des points xes de f alors la droite (AB) est invariante par f. Transformations du plan et de l'espace Notions anes Exercice 1 [ ] [Correction] Soit V une partie non vide d'un espace ane de dimension nie E. Montrer que V est un sous-espace ane si, et seulement si, pour tout couple (A, B) de points distincts de V, la droite (AB) est incluse dans V. Exercice 2 [ ] [Correction] Soit V une partie non vide d'un espace ane E de dimension nie. Montrer que, si tout barycentre de points de V est encore dans V, alors V est un sous-espace ane. Exercice 3 [ ] [Correction] Soient A, B et C trois points non alignés d'un espace ane E et α, β, γ R tel que les barycentres G, G 1, G 2 et G 3 de ( (A, α), (B, β), (C, γ) ), ( (A, α), (B, β), (C, γ) ), ( (A, α), (B, β), (C, γ) ), et ( (A, α), (B, β), (C, γ) ) existent. (a) Montrer que les droites (AG 1 ), (BG 2 ), (CG 3 ) concourent en G. (b) Montrer que les droites (G 2 G 3 ), (G 3 G 1 ), (G 1 G 2 ) passent respectivement par A, B, C. Exercice 5 [ ] [Correction] Soient A, B, C, D quatre points non coplanaires d'un espace ane E de dimension 3. Montrer qu'il existe une unique application ane envoyant A, B, C, D sur B, C, D, A et déterminer un point invariant de celle-ci. Exercice 6 [ ] [Correction] Soit f une application ane d'un espace ane E dans lui-même telle qu'il existe n N pour lequel f n = Id E. Montrer que f admet un point invariant. Applications anes usuelles Exercice 7 [ ] [Correction] Soit E un espace ane de dimension nie et de direction E. Soient u un vecteur de E et A un point de E. Décrire la transformation t u s A. Exercice 8 [ ] [Correction] Soit E un espace ane de dimension nie et de direction E. Soient H et H deux homothéties de centres O et O et de rapports λ et λ. Décrire la transformation H H Exercice 9 [ ] [Correction] Soit f une transformation ane et h une homothétie de centre O et de rapport λ d'un espace ane E. Préciser l'application f h f 1.

2 [ édité le 3 novembre 2017 Enoncés 2 Exercice 10 [ ] [Correction] Déterminer toutes les applications anes f d'un espace ane E dans lui-même f : E E commutant avec toutes les translations. Exercice 11 [ ] [Correction] Montrer que l'ensemble G formé par la réunion des translations et des symétries centrales d'un espace ane E, muni du produit de composition des applications, forme un groupe. (a) (b) (c) x = y z + 1 y = 2x y 2z + 2 z = x + y + 2z 1 2x = x z + 1 2y = x + 2y + z 1 2z = x + z + 1 x = y + z + 3 y = x + z + 3 z = x y + 2z + 3 Exercice 12 [ ] [Correction] Soit f une application ane d'un espace ane E dans lui-même qui transforme toute droite vectorielle en une droite parallèle. Montrer que f est une translation ou une homothétie. Exercice 13 [ ] [Correction] On note HT le groupe des homothéties-translations d'un espace ane E. Montrer que si G est un sous-groupe commutatif de HT alors G n'est que constitué que de translations ou d'homothéties de même centre. Projections et symétries anes Exercice 14 [ ] [Correction] On munit un espace ane E de dimension 3 d'un repère R = (O; i, j, k). (a) Donner l'expression analytique de la projection sur P : x + y + z = 1 parallèlement à D = Vect( i + j k). (b) Donner l'expression analytique de la symétrie par rapport à P : x + z = 1 selon D = Vect( i + j). (c) Donner l'expression de la projection ane sur P : x + y + z = 1 selon la direction Vect( u(1, 2, 2)). Exercice 16 [ ] [Correction] À quelle condition une translation et une symétrie ane commutent-elle? Exercice 17 [ ] [Correction] Soit f une application ane d'un espace ane E dans lui-même. Établir : (a) f est une projection si, et seulement si, f f = f. (b) f est une symétrie si, et seulement si, f f = Id E. Exercice 18 [ ] [Correction] Soit E un espace ane de dimension nie et de direction E. Soit f une transformation ane telle que f f = Id E. Montrer qu'il existe un unique couple (t, s) formé d'une translation et d'une symétrie tel que f = t s = s t. Isométries du plan Exercice 19 [ ] [Correction] Montrer que toute isométrie du plan P qui échange deux points distincts est involutive. Exercice 15 [ ] [Correction] On munit un espace ane E de dimension 3 d'un repère R = (O; i, j, k). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application f : E E d'expression analytique : Exercice 20 [ ] [Correction] Soient r et r deux rotations du plan P distinctes de Id. Montrer qu'il existe 3 réexions s, s, s telles que : r = s s et r = s s. Décrire r r. Lorsqu'il s'agit d'une rotation donner une construction de son centre.

3 [ édité le 3 novembre 2017 Enoncés 3 Exercice 21 [ ] [Correction] Étudier à quelle condition une réexion et une translation du plan P commutent. Exercice 22 [ ] [Correction] On munit le plan d'un repère orthonormé direct R = (O; i, j). Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de l'application f : P P d'expression analytique : (a) { x = 3 5 x 4 5 y + 4 y = 4 5 x y 2 (b) { x = y + 1 y = x + 2 Exercice 23 [ ] [Correction] Déterminer le groupe des isométries du plan P laissant globalement invariant : (a) Un carré. (b) Un rectangle non carré. (c) Un cercle. Exercice 24 [ ] [Correction] Déterminer le groupe des isométries du plan P laissant globalement invariant la réunion de deux droites parallèles distinctes du plan. Similitudes du plan Exercice 25 [ ] [Correction] Soit ABC un triangle non aplati du plan P. On désigne par S 1, S 2, S 3 les similitudes directes du plan P de centres respectifs A, B, C telles que S 1 (B) = C, S 2 (C) = A et S 3 (A) = B. Décrire les composées S 3 S 2 S 1 et S 1 S 2 S 3. Exercice 26 [ ] [Correction] Soient AOB un triangle non aplati rectangle en A, B ]O ; A] et A le projeté orthogonal de B sur (OB). Montrer : OB + AB < OB + A B. Exercice 27 [ ] [Correction] Soient OAB et OA B deux triangles directement semblables. Soient I, J les milieux respectifs de A B, AB et H, H les projections orthogonales de O sur (AB), (A, B ). Montrer : (IJ) (HH ). Exercice 28 [ ] [Correction] On munit P d'un repère orthonormé direct R = (O; i, j). Soient A, B, C trois points du plan P d'axes a, b, c telles que a = b = c. Montrer que (ABC) est équilatéral si, et seulement si, a + b + c = 0. Exercice 29 [ ] [Correction] (a) Soit f une similitude du plan P et Γ une conique de foyer f, de directrice D et d'excentricité e. Justier que f(γ) est une conique dont on précisera foyer, directrice et excentricité.

4 [ édité le 3 novembre 2017 Enoncés 4 (b) À quelle(s) condition(s) deux coniques sont-elles directement semblables? Isométries de l'espace Exercice 30 [ ] [Correction] On munit l'espace ane E d'un repère orthonormé direct R = (O; i, j, k). Décrire l'application f : E E d'expression analytique : x = 1 3 ( 2x y + 2z) + 1 x = 1 (a) y = 1 3 ( 2x 2y + z 5) 3 (2x 2y + z) + 1 (b) y = 1 z = 1 3 ( 2x + y 2z 2) 3 (x + 2y + 2z) + 3 z = 1 3 (x 2y 2z + 1) Exercice 31 [ ] [Correction] Déterminer les déplacements et les réexions de E laissant globalement invariante une sphère donnée.

5 [ édité le 3 novembre 2017 Corrections 5 Corrections Exercice 1 : [énoncé] ( = ) ok ( = ) Soit A V et F = { AM M V}. On a V = A + F. Montrons que F est un sous-espace vectoriel. F E, 0 = AA F. Soit u F. On peut écrire u = AM avec M V. Si u = 0 alors λ R, λ u = 0 F. Si u 0 alors, la droite (AM) est incluse dans V et donc λ R, λ u F. Soient u, v F. On peut écrire u = AM, v = AN avec M, N V. Si u = 0 ou v = 0 alors u + v F. Sinon, considérons I le milieu du segment [M ; N]. Le point I appartient à la droite (MN) dont I V. Comme u + v = 2 AI, on a u + v F. Finalement F est un sous-espace vectoriel et V un sous-espace ane. Exercice 5 : [énoncé] ( AB, AC, AD) est une base de E. Il existe une unique application linéaire ϕ l'envoyant sur ( BC, BD, BA) et puisqu'une application ane est caractérisée par l'image d'un point et sa partie linéaire, l'application ane cherchée existe et est unique. L'isobarycentre des points A, B, C, D est invariant. Exercice 6 : [énoncé] Soit Ω E. Considérons l'isobarycentre G des points Ω, f(ω),..., f n 1 (Ω). f(g) est l'isobarycentre des points f(ω), f 2 (Ω),..., f n (Ω) = Ω donc f(g) = G. Ainsi f possède un point xe. Exercice 7 : [énoncé] Posons B = A u. On a t u = s B s A donc t u s A = s B. Exercice 2 : [énoncé] Soit A V et F = { AM A, M V}. Il sut de montrer que F est un sous-espace vectoriel de E. o F. Soit u F et λ R. M V tel que AM = u. Pour N = bar((a, 1 λ), (M, λ)) V on a AN = λ AM = λ u donc λ. u F Pour P = bar((a, 1), (M, 1), (N, 1)) V on a AP = AM + AN = u + v donc u + v F.Soit u, v F. Exercice 8 : [énoncé] H H = λλ Id E. Si λλ 1 alors H H est une homothétie de rapport λλ et de centre Ω caractérisé par : (H H)(Ω) = Ω soit O Ω = λ O O + λλ OΩ qui donne O Ω = λ (1 λ) 1 λλ O O. Si λλ = 1 alors H H est une translation de vecteur u = OO avec O = H (H(O)) = H (O) = O + λ O O et donc u = (1 λ ) OO. Exercice 3 : [énoncé] (a) On α G 1 A + β G 1 B + γ G 1 C = o donc ( α + β + γ) G 1 G + 2α AG = o donc G (AG 1 ). De même G (BG 2 ) et G (CG 3 ). (b) 2α G 2 A = (α G 2 A β G 2 B + γ G 2 C) + (α G 2 A + β G 2 B γ G 2 C) = o + (α + β γ) G 2 G 3 donc A (G 2 G 3 ). De même B (G 3 G 1 ) et C (G 1 G 2 ). Exercice 4 : [énoncé] f(a) = A et f(b) = B = f( AB) = f(a)f(b) = AB. Pour tout point M = A + λ. AB de la droite (AB) on a alors f(m) = M. Exercice 9 : [énoncé] f h f 1 est une application ane de partie linéaire λid qui xe le point f(o). Que λ = 1 ou non, f h f 1 est l'homothétie de centre f(o) et de rapport λ. Exercice 10 : [énoncé] Les translations sont solutions. Montrons que ce sont les seules. Si f commutent avec les translations alors pour tout vecteur u de la direction E de E, (t u f)(a) = (f t u )(A) donne f(a + u) = f(a) + u. Par suite f( u) = u puis f = Id E. Ainsi f est une translation.

6 [ édité le 3 novembre 2017 Corrections 6 Exercice 11 : [énoncé] Considérons L: GA(E) GL(E) dénie par L(f) = f. L est un morphisme de groupes et {Id E, Id E } est un sous-groupe de GL(E) donc G = L 1 ({Id E, Id E }) est un sous-groupe de GA(E). Exercice 12 : [énoncé] Soit f une solution du problème posé. Montrons qu'il existe λ R tel que f = λid. Soient u un vecteur non nul, A un point de E et D la droite D = A + V ect( u). On a f(d) = f(a) + Vect( u). Or f(a + u) = f(a) + f( u) f(d) donc f( u) est colinéaire à u et donc il existe λ R tel que f( u) = λ. u. Montrons que ce λ ne dépend pas de u. Soit B = ( e 1,..., e n ) une base de E. Pour tout 1 i n, il existe λ i R tel que f( e i ) = λ i e i. Soit 1 i j n. Il existe λ R tel que f( e i + e j ) = λ( e i + e j ). Or f( e i + e j ) = f( e i ) + f( e j ) = λ i e i + λ j e j. La famille ( e i, e j ) étant libre, on obtient λ = λ i = λ j. Ainsi λ 1 =... = λ n = λ et f = λid. Exercice 13 : [énoncé] Si G n'est constitué que de translation : ok Sinon soit H une homothétie h de centre O et de rapport λ 1 appartenant à G. Soit t une translation de vecteur u appartenant à G. H t = t H donne en O : λ u = u d'où u = 0 et t = Id E qui est une homothétie de centre O. Soit H une homothétie appartenant à G. H H = H H donne en O : H(H (O)) = H (O). Or O est le seul point xe de H donc H (O) = O et par suite H est une homothétie de centre O. Finalement les éléments de G sont tous des homothéties de centre O. Exercice 14 : [énoncé] (a) Notons f la transformation étudiée. Soient M(x, y, z) un point et M (x, y, z ) = f(m) son image. Puisque M P on a x + y + z = 1. Puisque MM Vect( i + j k), il existe λ R tel que MM = λ( i + j k) ce qui donne x = x + λ y = y + λ z = z λ. Sachant x + y + z = 1, on obtient : λ = 1 (x + y + z) et nalement : x = y z + 1 y = x z + 1 z = x + y + 2z 1. (b) Notons f la transformation étudiée et reprenons des notations analogues aux précédentes. Puisque m[m ; M ] P on a x + x + z + z = Puisque MM Vect( i + j), il existe λ R tel que MM = λ( i + j) ce qui donne x = x + λ y = y + λ z = z. Sachant x + x + z + z = 2, on obtient : λ = 2 2x 2z et nalement : x = x 2z + 2 y = 2x + y 2z + 2 z = z. (c) On obtient Exercice 15 : [énoncé] x = y z + 1 y = 2x + 3y + 2z 2 z = 2x 2y z + 2. (a) f est une application ane car l'expression analytique est du type X = AX + B. Les points invariants par f sont les points du plan x + y + z = 1. On a A 2 = Id donc f est une symétrie vectorielle selon la direction Ker( f + Id) = Vect( i + 2 j k). Par suite f est la symétrie par rapport au plan d'équation x + y + z = 1 et selon Vect( i + 2 j k).

7 [ édité le 3 novembre 2017 Corrections 7 (b) f est une application ane car l'expression analytique est du type X = AX + B. Les points invariants par f sont les points du plan x + z = 1. On a A 2 = A donc f est une projection vectorielle selon la direction Ker( f) = Vect( i j + k). Par suite f est la projection sur le plan d'équation x + z = 1 et selon la direction Vect( i j + k). 3x + 3y 2z = 0. (c) Projection sur P : x + y z = 3 selon u(1, 1, 1) Exercice 16 : [énoncé] Soit t une translation de vecteur u et s une symétrie par rapport à V = A + F et parallèlement à G. t s = s = s t et (t s)(a) = (s t)(a) A + u = A + s( u). Donc t et s commutent si, et seulement si, u F. Exercice 17 : [énoncé] (a) Si f est une projection ane alors f f = f. Inversement si f f = f alors f f = f. Par suite F = Im f et G = Ker f sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E et f est la projection vectorielle sur F selon la direction G. Soit A un point de E, on a f(f(a)) = f(a) donc f(a) est un point xe de f. Posons V = f(a) + F. f apparaît comme la projection sur V selon la direction G car prend même valeur en f(a) et a même partie linéaire que cette transformation. (b) Si f est une symétrie ane alors f f = Id E. Inversement, si f f = Id E alors f f = Id E. Par suite F = Ker( f Id E ) et G = Ker( f + Id E ) sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires dans E et f est la symétrie vectorielle par rapport à F selon la direction G. Soit A un point de E, on a f(f(a)) = A. Posons I le milieu du segment d'extrémités A et f(a). I est un point xe de f. Posons V = I + F. f apparaît comme la symétrie par rapport à V selon la direction G car prend même valeur en I et a même partie linéaire que cette transformation. Exercice 18 : [énoncé] Unicité : Si f = t s = s t alors f f = t t ce qui détermine t puis s de manière unique. Existence : Puisque f f = Id E, F = Ker( f Id) et G = Ker( f + Id) sont supplémentaires et f est la symétrie par rapport à F parallèlement à G. Soit O E, O = f(o), OO = u + v avec u F et v G. Posons A = O v, V = A + F, s la symétrie par rapport à V et t la translation de vecteur u. On a t s = s t, f = t s et (t s)(o) = A v + u = O + OO = O = f(o) donc f = t s = s t. et s l'application f t 1 de sorte que f = s t. Exercice 19 : [énoncé] Soit f une isométrie échangeant deux points distincts A et B. f 2 est un déplacement car composée de deux déplacement ou de deux antidéplacement. A et B sont points xes de f 2 car(f(f(a)) = f(b) = A et f(f(b)) = B. Par suite f 2 = Id P. Exercice 20 : [énoncé] Notons O et O les centres de r et r. Soit s la réexion par rapport à une droite passant par O et O. Considérons f = s r. f est un antidéplacement du plan qui garde xe le point O, c'est donc un réexion s par rapport à une droite D passant O. Ainsi r = s s. De même, r s est une réexion s par rapport à une droite D passant par O. r r = s s s s = s s. Si D et D sont parallèles alors r r est une translation. Sinon, r r est une rotation dont le centre est l'intersection des droites D et D. Connaissant les rotations r et r, on peut construire D et D puis le centre de r r. Exercice 21 : [énoncé] Soit σ la réexion par rapport à la droite D = A + D et t la translation de vecteur u. On a σ t = t σ si, et seulement si, pour tout point M P, σ(m + u) = σ(m) + u soit σ( u) = u. Or les vecteurs xes de la réexion vectorielle σ sont les vecteurs de D. Par suite σ et t commutent si et seulement si u D.

8 [ édité le 3 novembre 2017 Corrections 8 Exercice 22 : [énoncé] (a) Rotation de centre Ω 4 et d'angle arccos(3/5) [2π]. 3 (b) Symétrie glissée par rapport à la droite D : 2x + 2y 3 = 0 et de vecteur u 1/2 1/2. Exercice 23 : [énoncé] (a) Soit (ABCD) un carré. Soit f une isométrie du plan P conservant les sommets du carré ABCD. Nécessairement f garde xe le centre O du rectangle (isobarycentre des points A, B, C, D). Si f est un déplacement, alors selon que f(a) = A, B, C ou D, on a f = Id, r O,π/2, r O,π = s O ou r O,3π/2. Si f est un antidéplacement alors selon que f(a) = A, B, C ou D, on a f = s (AC), s D1, s (BD) ou s D2 avec D 1 et D 2 les médiatrices respectives des segments [A ; B] et [A ; D]. Inversement les isométries proposées laissent invariant le carré (ABCD) (b) Soit (ABCD) un rectangle non carré. Soit f une isométrie du plan P conservant les sommets du rectangle (ABCD). Nécessairement f garde xe le centre O du rectangle (isobarycentre des points A, B, C, D). Si f est un déplacement, alors selon que f(a) = A ou C, on a f = Id ou r O,π = s O. Comme (ABCD) n'est pas carré, les cas f(a) = B et f(a) = D sont impossibles.. Si f est un antidéplacement alors selon que f(a) = B ou D, on a f = s D1 ou s D2 avec D 1 et D 2 les médiatrices respectives des segments [A ; B] et [A ; D]. Comme ABCD n'est pas carré, f(a) = A ou f(a) = C sont impossibles. Inversement les isométries proposées laissent invariant le rectangle (ABCD) (c) Soit C un cercle de centre O et de rayon R > 0. Soit f une isométrie du plan laissant globalement invariant C. Soit A et B deux points diamétralement opposés de ce cercle, on a AB = 2R. Leurs images A et B par l'isométrie f sont des points de C tels que A B = AB = 2R, ce sont donc deux points diamétralement opposés du cercle C. Par suite le milieu du segment [A ; B ] est O et on en déduit que O est point xe de f. Par suite f est soit une rotation de centre O, soit une réexion par rapport à un axe passant par O. Inversement de telles transformations conservent le cercle c. Exercice 24 : [énoncé] Soit D et D deux droites parallèles distinctes. Soit f une isométrie laissant globalement invariant D D. Soit A un point de D et la perpendiculaire à D passant pas A. coupe D en un point A. Soit l'image de par f. Comme une isométrie préserve l'orthogonalité, est une droite parallèle à coupant D et D en des points B et B. Deux cas sont alors possibles : f envoie A sur B ou f envoie A sur B. Si f(a) = B alors f(a ) = B. Introduisons D la médiatrice du segment [A ; B]. Si f est déplacement alors s D f est un antidéplacement qui laisse xe A et A à savoir s (AA ). Par suite f = s D s (AA ) puis f est une translation de vecteur AB. Si f est un antidéplacement alors s D f est un déplacement qui laisse xe A et A à savoir Id. Par suite f = s D. Si f(a) = B alors f(a ) = B. Introduisons D la droite parallèle à D et D qui se situe à égale distance de celles-ci. s D f est une isométrie laissant invariante D et D et qui envoie A sur B. On est alors ramené au cas précédent. Résumons : f est -soit une translation de vecteur u nul ou directeur de D et D, -soit une réexion par rapport à une droite perpendiculaire à D et D, -soit une symétrie glissée par rapport à la droite D intermédiaire à D et D. -soit une symétrie de centre situé sur la droite D. Inversement les transformations décrites ci-dessus sont solutions. Exercice 25 : [énoncé] S 3 S 2 S 1 et S 1 S 2 S 3 sont des similitudes de rapport 1 et d'angle π par composition. S 3 S 2 S 1 laisse xe le point B, c'est la symétrie de centre B. S 1 S 2 S 3 envoie le point C sur A, c'est la symétrie de centre I = m[a ; C]. Exercice 26 : [énoncé] Nous allons exploiter le fait que les triangles AOB et A OB sont semblables. Notons α l'angle en O de ces triangles : A B OB = sin α = AB OB OB + A B OB AB = (OB OB )(1 AB/OB) > 0.

9 [ édité le 3 novembre 2017 Corrections 9 Exercice 27 : [énoncé] 2 IJ = BA + A B donc 2 IJ. HH = BA. OH + A B. HO Notons s = λ.r θ la partie linéaire associée à la similitude transformant OAB en OA B. BA. OH + A B. HO = BA.s( OH) + s( AB). HO = λab.rθ ( OH) λr θ ( AB). OH donc BA. OH + A B. HO = λ ( AB. rθ ( OH) + r θ ( OH) ) = 2λ cos θ. AB. OH = 0 puis la conclusion. Exercice 28 : [énoncé] Posons R = a = b = c, a = Re iα, b = Re iβ, c = Re iγ. Si a + b + c = 0 alors 1 + e i(β α) + e i(γ α) = 0. Par égalité des parties imaginaires : β α = α γ [2π] ou β α = π (α γ) [2π]. Dans le premier cas, l'égalité des parties réelles donne cos(β α) = cos(α γ) = 1 2. Dans le second cas, l'égalité des parties réelles donne 1 = 0. Ce cas est donc impossible. Finalement on obtient β α = α γ = ± 2π 3 [2π]. On obtient alors (b = ja et c = j 2 a) ou (b = j 2 a et c = ja). Par suite (ABC) est un triangle équilatéral. Inversement si (ABC) est un triangle équilatéral. Les points A, B, C se situent à égale distance de O et O est donc le centre du cercle circonscrit. Comme (ABC) est équilatéral, O est aussi le centre de gravité de (ABC) et par suite a + b + c = 0. Nous savons qu'il existe une similitude directe f qui envoie F sur F d'une part, et H sur H d'autre part. Puisque D est la perpendiculaire en H à la droite (F H), l'image de D par f est la perpendiculaire en H à la droite (F H ) à savoir D. Par suite f transforme Γ en Γ. Exercice 30 : [énoncé] (a) f est le vissage d'axe dirigé et orienté par v(1, 1, 3), d'angle arccos( 5/6) et de vecteur v. { x z + 1 = 0 (b) f est le retournement autour de la droite d'équations : y + 2z = 0. Exercice 31 : [énoncé] Soit S une sphère de centre O et de rayon R. L'image de la sphère S par une isométrie f est une sphère de centre f(o) et de rayon R. L'isométrie f laisse invariante la sphère S si, et seulement si, f(o) = O. Les déplacements laissant xe le point O sont les rotations dont l'axe passe par O. Les réexions laissant xe le point O sont celles dont le plan passe par O. Exercice 29 : [énoncé] (a) Γ = { M P MF = ed(m, D) }. f(γ) = { f(m) MF = ed(m, D) } = { M f 1 (M )F = ed(f 1 (M ), D) }. Posons F = f(f ) et D = f(d). En notant λ le rapport de la similitude f, on a M F = λf 1 (M )F et d(m, D ) = λd(f 1 (M ), D) donc f(γ) = { M P M F = ed(m, D) }. Ainsi f(γ) est la conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e. (b) Par la question précédente, l'égalité de l'excentricité est nécessaire. Voyons que cette condition sut. Considérons Γ, Γ deux coniques de foyers F, F, de directrices D, D et de même excentricité e. Posons H, H les projetés de F, F sur D, D.