- 50 [J. b) Déterminer la probabilité qu'un de ces conducteurs soit testé positif et fasse un accident.

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1 ;~. REPUBLIQUE GABONAISE DIRECTION DU BACCALAUREAT MATHEMATIQUES Série : B Durée: 3 h Coef: 3 Exercice 1 (5 points) Suite à un contrôle de routine à l'alcootest effectué sur 50 conducteurs durant lequel 6 ont été testés positifs, les données ont été inscrites sur des fiches cartonnées identiques et individuelles. Puis, elles ont été stockées dans un tiroir. 1) On tire au hasard et simultanément 3 fiches parmi les 50 fiches. a) Calculer le nombre de choix possibles. 0, ~f 1" 0, '1( b) Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants: ~ A : «les 3 fiches choisis indiquent que les conducteurs sont contrôlés positifs»; t) 1.r "B : «2 des 3 fiches choisis indiquent que les conducteurs sont contrôlés positifs» ; p, r ;)C : «au moins 1 des 3 fiches choisis indiquent que le conducteur est contrôlé positif». 2) On choisit maintenant 1 des 50 conducteurs. Il est prouvé que pour un conducteur testé négatifla probabilité qu'il fasse un accident '" est de 15% et lorsqu'il est testé positif, la probabilité qu'il fasse un accident est 60%. On définit les évènements suivants: T :«le conducteur est testé positif» ; U :«le conducteur fait un accident». a) Reproduire puis compléter l'arbre pondéré suivant: 6 T~ U - 50 [J <::: u f / b) Déterminer la probabilité qu'un de ces conducteurs soit testé positif et fasse un accident. [J (!) J J c) Vérifier que la probabilité qu'un conducteur fasse un accident est p = ~ = 0, ) On suit 3 de ces conducteurs contrôlés choisis au hasard et de façon indépendante.on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de conducteurs qui font un accident parmi les 3 conducteurs suivis. / <-a) Donner l'ensemble des valeurs possibles de X. CJ J j ~ -". b) Etablir la loi de probabilité de X. 0, J ~ 1c) Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire X. 0 (1 /' Page 1 sur 3

2 Exercice 2 (5 points) Une étude statistique d'un magasin a révélé que chaque année il garde 75% de ses clients de l'année précédente aux quels s'ajoutent 800 nouveaux clients. Ce magasin a eu 1600 clients en ) Démontrer que ce magasin devra avoir 2000 clients en ej 1l / 2) Quel sera le nombre de clients du magasin en 2009? 0 1J,/ 3) On note Un le nombre de clients de ce magasin en ( n ), pour tout entier n. On donne ua = Démontrer que: Un+1 = O,75Un OIS 4) Soit (vn) la suite définie par: Vn = Un ; ne IN. a) Calculer va CJ t!,/,/ b) Démontrer que, pour tout n E IN : vn +1 = O,75v n. Cl I 1- j.,. c) En déduire la nature de la suite (v n ) en précisant la raison et le premier terme. () 1::;' J d) Exprimer Vn en fonction de n. 0 1J.r'" "... e) Vérifier que Un = (O,75)n x J f) Calculer le nombre de clients de ce magasin en (On donnera la valeur () arron d le a 'l' umte., pres '). Jr Problème (10 points) Partie A : Etude d'une fonction auxiliaire Soit 9 la fonction défmie sur] 0; +oo[ par : 9 (x) = x lnx. 1) a) Calculer les limites de 9 aux bornes de son ensemble de définition. 0 1 r +- VI' /' b) Calculer g'(x) où g' désigne la fonction dérivée de ~ (J,.: c) Montrer que 9 est strictement croissante sur ] 0,; +00[ 0 l,). d) Dresser son tableau complet de variation. 0 1J /,. 2) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique a sur ]0; +oo[ et que 0 1 J 1,31<a<l,32. é!j/1 / 3) En déduire que 9 est négative sur ]0; a[ et positive sur ]a; +00[. 01 J, Partie B : Etude d'une fonction. Soit la fonction numérique [définie sur ]0; +oo[ par [(x) = x + l-ln x. x On note (C ) la courbe représentative de [. Page 2 sur 3 /' '.

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7 Exercice 2 (5 points) Une étude statistique d'un magasin a révélé que chaque année il garde 75% de ses clients de l'année précédente aux quels s'ajoutent 800 nouveaux clients. Ce magasin a eu 1600 clients en '" 1) Démontrer que ce magasin devra avoir 2000 clients en g 1] 2) Quel sera le nombre de clients du magasin en 2009? 0 1J,/ 3) On note un le nombre de clients de ce magasin en ( n ), pour tout entier n. On donne Uo = Démontrer que: Un+1 = 0,75Un ) Soit (vn) la suite définie par: Vn = un ; n E IN. olf a) Calculer vo. O,!,/ /' b) I?émontrer que, pour tout ne IN : Vn+l = 0,75vn. () / :r J c) En déduire la nature de la suite (v n ) en précisant la raison et le premier terme..,.. d) Exprimer v n en fonction de n. 0 J J /'" e) Vérifier que un = (0,75)n X J f) Calculer le nombre de clients de ce magasin en (On donnera la valeur () _ arrondle a 'l' umte., pres. ') J1 Problème (10 points) Partie A: Etude d'une fonction auxiliaire Soit 9 la fonction définie sur ]0; +oo[ par: g(x) = x lnx. 1) a) Calculer les limites de 9 aux bornes de son ensemble de définition.. 0/ r +- '01 1 b) Calculer g'(x) où 9 1 désigne la fonction dérivée de ~ CJ J: c) Montrer que 9 est strictement croissante sur ]0; +oo[ D, 'j d) Dresser son tableau complet de variation. (J., J /' 2) Démontrer que l'équation g(x) = 0 admet une solution unique a sur ]0; +oo[ et que 01 J ". / 1,31<a<1,32. &JI',, 3) En déduire que 9 est négative sur ]0; a[ et positive sur ]a; +00[. ()1 J./ Partie B : Etude d'une fonction. Soit la fonction numérique [ définie sur ]0; +oo[ par [(x) = x + l-ln x. x On note (C ) la courbe représentative de [. Page 2 sur 3 /"