Séquence 2 : Théorème de Thalès

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1 Séquence 2 : Théorème de Thalès Plan de la séquence : Activités : Utiliser les triangles semblables pour découvrir le théorème de Thalès dans la configuration triangle. I- Rappels : Triangles semblables, agrandissement et réduction II- Le théorème de Thalès «configuration classique et papillon». 1) Le théorème de Thalès 2) Calculer une longueur III- Reconnaitre des droites parallèles. La réciproque du théorème de Thalès.

2 Séquence 2 : Théorème de Thalès I- Rappels : Triangles semblables, agrandissement et réduction : Triangles semblables : a) Définition : Deux triangles sont égaux lorsque leurs côtés sont deux à deux de même longueur. Propriété : Si deux triangles ont, deux à deux : Un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur { ou Un côté de même longueur compris entre deux angles de même mesure, alors ils sont égaux Exemple : AB=A B BC=B C ABC = A B C Les triangles ABC et A B C ont un angle de même mesure compris entre deux côtés de même longueur, donc ce sont des angles égaux Exercice 26 page 217 indigo b) Définition : Des triangles semblables sont des triangles qui ont leurs angles deux à deux de même mesure. Un angle d un triangle et l angle de même mesure de l autre triangle sont dits homologues. Les côtés opposés à deux angles homologues sont aussi dits homologues.

3 Remarque : Si deux triangles sont égaux alors ils sont semblables. Par contre, deux triangles semblables ne sont pas forcément égaux. Faire les exercices 6, 18 pages 192/193 Trans maths

4 Faire les exercices 16, 31 pages 193/194/ Trans maths II- Le théorème de Thalès «configuration classique et papillon». 1) Le théorème de Thalès Les triangles ABC et AEF sont semblables tel que : E [AB] F [AC] (EF) // (BC) Donc on a : AE AB = On constate que AE = AF = EF AB AC BC AF AC = EF BC = Le théorème de Thalès

5 La configuration «papillon» La configuration «classique» Si les points A, B, M d une part et A, C, N d autre part sont alignés, et si (BC) // (MN), alors : AM = AN = MN AB AC BC = k > 1 puisque AM > AB : ce coefficient permet de calculer les grandes longueurs à partir des petites. C est un coefficient d agrandissement. On a également : AB = AC = BC = k < 1 puisque AM > AB : ce coefficient permet de calculer les AM AN MN petites longueurs à partir des grandes. C est un coefficient de réduction. * Les triangles ABC et AMN sont semblables * Les côtés correspondants (homologues) des triangles ABC et AMN sont proportionnels. * Le triangle ABC est un agrandissement ou une réduction du triangle AMN.

6 Faire les exercices 2, 3 P202 et 14 P204 2) Calculer une longueur : Exemple 1 : Dans la figure ci-contre (OR) // (TE) On veut calculer la longueur PE. Les points P, O, T d une part et P, R, E d autre part sont alignés, et (OR) // (TE), d après le théorème de Thalès : PO = PR PT PE 3,5 = 5 2+3,5 PE = OR TE on utilise l égalité des produits en croix et on trouve : PE = 5 7,5 3,5 7,9 cm Faire les exercices 1, 4, 5 P202 // 6, de 9 à 12 P203// 41, 42, 43 P208 // 51 P210 //55 P211 Exemple 2 : Dans la figure ci-contre (AF) // (EC) On veut calculer la longueur EC. Les points A, G, E d une part et F, G, C d autre part sont alignés, et (AF) // (EC), d après le théorème de Thalès : GE = GC GA GF 3,6 = EC 3,2 3,4 = EC AF ; GE GA = EC AF on utilise l égalité des produits en croix et on trouve : EC = 3,6 3,45 3,2 3,83 cm

7 Faire les exercices 15, 16, 17 P204 // de 20 à 24 P205// 57 P212 III- Reconnaitre des droites parallèles. Théorème de Thalès : réciproque Si les points A, B, M d une part et A, C, N d autre part sont alignés dans le même ordre et si AM = AN AB AC alors (BC) // (MN). Méthode : Soient les points A, B, M d une part et A, C, N d autre part sont alignés dans le même ordre : * Si AM AB =AN AM, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles et = AN = MN AC AB AC BC * Si AM AB AN, alors les droites (BC) et (MN) ne sont pas parallèles AC Exemple 1 : Dans la figure ci-contre, AB = 5,4 cm AD = 7,2 cm, AC = 6,6 cm et AE = 8,8 cm les points A, B, D d une part et A, C, E d autre part sont alignés dans le même ordre AB AD =5,4 7,2 = 0,75 et AC AE = 6,6 8,8 = 0,75 AB AD =AC AE, l égalité de Thalès est vérifiée, donc (BC) // (DE) et BC DE = 0,75

8 Exemple 2 : Les points B, A, E d une part et C, A, D d autre part sont alignés dans le même ordre AE AB =1,8 4,8 = 0,375 et AD AC = 2,4 5 = 0,48 AB AD AC, l égalité de Thalès n est pas vérifiée, AE donc les droites (BC) et (DE) ne sont pas parallèles. Cas particulier : Dans un triangle la droite qui passe par les milieux de deux côtés est parallèle au troisième côté et les rapports sont égaux à 1 2. Faire les exercices 25 à 29 P206 // de 31 à 33 P207 // 45 à 47 P209// 49 P210 // 59 P213