EQUATIONS DE DROITES ET SYSTÈMES

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1 sur 3 EQUATIONS E ROITES ET SYSTÈMES I. Equation de droites. Caractérisation analytique d une droite Propriété : Soit (O, i, ) un repère du plan. Soit une droite du plan. y - Si est parallèle à l axe des ordonnées : alors l équation de est de la forme x = c, où c est un nombre réel. - Si n est pas parallèle à l axe des ordonnées : alors l équation de est de la forme y = ax + b, où a et b sont deux nombres réels. O i c x y b O i a x Vocabulaire : a est appelé le coefficient directeur de la droite. b est appelé l ordonnée à l origine de la droite. émonstration : Soit A x A et B x B y A y B ire qu un point M de coordonnées x x dire que les vecteurs AM A y y A deux points distincts d une droite. x y et AB appartient à la droite revient à x B x A y B y A sont colinéaires. après la condition de colinéarité :( x x A )( y B y A ) ( x B x A ) y y A ( ) = 0.

2 2 sur 3 - Si est parallèle à l axe des ordonnées, alors x A = x B. La condition de colinéarité peut s écrire : x x A ( )( y B y A ) = 0 Ce qui équivaut à x = x A car y A y B, les points A et B étant distincts. vérifie une équation de la forme x = c avec c = x A. - Si n est pas parallèle à l axe des ordonnées, alors x A x B. La condition de colinéarité peut s écrire : y y A = y B y A x B x A ( x x A ) vérifie une équation de la forme y = ax + b avec a = y B y A x B x A b = y A y y B A x B x A x A. et Exercice : onner le coefficient directeur et l ordonnée à l origine de chacune des droites d équations : a) y = 2x + 3 b) y = 5 c) 4x + 2y = a) Coefficient directeur : -2 b) Coefficient directeur : 0 Ordonnée à l origine : 3 Ordonnée à l origine : 5 b) L équation peut s écrire : y = 2x + 2 Coefficient directeur : -2 Ordonnée à l origine : 2 Exemples : La droite a pour équation x = 3 La droite a pour équation y = 3x + 2. Son ordonnée à l origine est 2 et son coefficient directeur est O i 3 +3

3 3 sur 3 Méthode : Représenter graphiquement une droite d équation donnée Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. ans ce repère, tracer les droites d, d 2 et d 3 d équations respectives : y = 2x + 3, y = 4, x = Conséquence : Propriété : Si A x A y A et B x B y B sont deux points distincts d une droite tel que x x A B alors la droite a pour coefficient directeur a = y B y A x B x A

4 4 sur 3 Méthode : éterminer une équation de droite dont on connaît deux points Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. Soit A 4 et B 3 5 deux points d une droite d. éterminer une équation de la droite d. 3. Propriété réciproque : Propriété : Soit (O, i, ) un repère du plan et a, b, c trois nombres réels, a étant non nul. L ensemble des points M du plan dont les coordonnées y = ax + b ou x = c, est une droite. x y sont tels que : Méthode : Vérifier si un point appartient à une droite d équation donnée Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. Les points A 6,4 42 y = 7x 3? 346 et B 249 appartiennent-ils à la droite d d équation

5 5 sur 3 II. Position relative de deux droites Propriété : Soit (O, i, ) un repère du plan. Soit et deux droites non parallèles à l axe des ordonnées. ire que et sont parallèles entre-elles équivaut à dire qu elles ont le même coefficient directeur. émonstration : La droite admet une équation du type y = ax + b. La droite admet une équation du type y = a x + b. Soit A et B deux points distincts de d abscisses respectives 0 et alors A et B ont pour coordonnées 0 b et a + b. e même, A et B deux points de, ont pour coordonnées 0 b' et a'+ b'. ire que les droites et sont parallèles équivaut à dire que les vecteurs AB a et A' B' a' sont colinéaires, c'est-à-dire x a x a = 0, soit a = a. Tableau récapitulatif :

6 6 sur 3 Equation de x = c y = ax + b y = ax + b Equation de x = c x = c y = a x + b Si Position de a = a Si a a // et sont et sécantes // et sont sécantes Représentation O i c c' b O i c' b' b O i b' b O i Vidéo Exemples : ans un repère du plan, d, d 2 et d 3 admettent pour équations respectives : y = 3x + 4, y = 3x + 9, x = 8 Les droites d et d 2 sont parallèles car elles ont un coefficient directeur égal à 3. Les droites d et d 3 sont sécantes. III. Vecteur directeur d une droite éfinition : est une droite du plan. On appelle vecteur directeur de tout vecteur non nul u qui possède la même direction que la droite. u Méthode : éterminer graphiquement un vecteur directeur d une droite

7 7 sur 3 Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. onner des vecteurs directeurs des droites d, d 2, d 3 et d 4. Propriété : Soit (O, i, ) un repère du plan. - Si est parallèle à l axe des ordonnées alors est un vecteur directeur de. - Si n est pas parallèle à l axe des ordonnées, alors le vecteur u a est un vecteur directeur O i u a de, où y = ax + b est une équation de la droite. émonstration : 0 La droite d équation y = ax + b passe par les points A b et B a + b. 0 Les points A et B étant distincts, le vecteur AB de coordonnées a + b b soit a est un vecteur directeur de la droite. Exemple :

8 8 sur 3 La droite d équation y = -2x + 3 admet le vecteur u pour vecteur 2 directeur. 2 Le vecteur v est également un vecteur directeur de car u et v sont 4 colinéaires. Méthode : éterminer une équation de droite dont on connaît un point et un vecteur directeur Vidéo Soit (O, i, ) un repère du plan. 2 3 u un point d une droite d admettant comme vecteur directeur. 4 Soit A éterminer une équation de la droite d. IV. Méthodes de résolution de systèmes ) Méthode de substitution Méthode : Résoudre un système d équations par la méthode de substitution Vidéo Vidéo ans une boulangerie, Fabien achète 3 pains au chocolat et 2 croissants ; il paie 5,60. ans la même boulangerie, Bob achète pain au chocolat et 3 croissants ; il paie 4,20. Calculer le prix d un pain au chocolat et d un croissant. 2GT : Chapitre 2

9 9 sur 3 2) Méthode des combinaisons linéaires Méthode : Résoudre un système d équations pas la méthode des combinaisons linéaires Vidéo Vidéo Résoudre le système suivant : ì3x- 2y= 5 î5x+ 3y= 2

10 0 sur 3 V. Interprétation graphique g(x) = 4x-4 f(x) = 2x Vidéo 4 ) roites et systèmes On considère le système : ì - 2x + y = 0 î 4x - y = 4 O 2 Le système (S) équivaut à ì y = 2x î y = 4x - 4 On désigne par (d) et (d ) les droites représentant les fonctions respectives : g ( x) = 4x -. f ( x) = 2x et 4 La solution du système est donc le couple (x ; y) coordonnées du point d intersection des deux droites (d) et (d ). Par lecture graphique, on trouve le couple (2 ; 4) comme solution du système. éfinition : Soit a, b, a et b des nombres réels donnés. ìax + by = c Résoudre le système d équations c est trouver tous les couples îax ' + by ' = c' (x ; y) de nombres réels vérifiant simultanément les deux équations du système. ìax + by = c Soit (S) le système d équations : îax ' + by ' = c' réels donnés avec b 0 et b 0. où a, b, a et b sont des nombres Le système (S) équivaut à ìby =- ax + c îby ' =- ax ' + c'

11 sur 3 Soit : ì a c y =- x + ï b b ï a' c' y =- x + ïî b' b' Si les coefficients directeurs des droites associées à ces deux équations sont différents alors elles possèdent un unique point ' d intersection, soit : - a a b ¹- b'. Soit encore : ab' ¹ a ' b a' c' a c y = - x + y = - x + b' b' b b M(x M ; y M ) J O I Si M est le point d intersection des deux droites, le couple de ses coordonnées (x M ; y M ) est solution du système. 2) Exemple d un système n admettant pas de solution Vidéo Soit (S) le système : ì- 3x+ y= î6x- 2y= 6 Résolution du système : En isolant y dans la première équation, on a : y= 3x+ En remplaçant y dans la deuxième équation, on a : 6x- 2( 3x+ ) = 6 Soit : 6x-6x- 2= 6 Soit encore : - 2= 6. On a abouti à une contradiction. Les deux équations du système (S) ne peuvent pas être vérifiées simultanément par un couple de nombres réels (x ; y). Le système (S) ne possède donc pas de solution.

12 2 sur 3 Interprétation géométrique : Le système (S) équivaut à Soit : ìy= 3x+ î - 2y =- 6x + 6 ìy= 3x+ ï -6 6 ïy= x+ î -2-2 y = 3x+ J O I y = 3x-3 Soit encore : ìy= 3x+ îy = 3x - 3 Les droites d équations y= 3x+ et y= 3x-3possèdent des coefficients directeurs égaux, elles sont donc strictement parallèles. Il n existe pas de couple de nombres réels (x ; y) vérifiant simultanément les équations des deux droites. 3) Exemple d un système admettant une infinité de solutions Vidéo Soit (S) le système : ì-6x- 3y=-6 î2x+ y= 2 Résolution du système : Le système (S) équivaut à : Soit : Soit encore : ì- 3y= 6x-6 îy =- 2x + 2 ì 6 6 ïy = x ï îy=- 2x+ 2 ìy=- 2x+ 2 îy =- 2x + 2

13 3 sur 3 Tous les couples de coordonnées (x ; y) vérifiant l équation y = 2x- sont solutions du systèmes (S). Pour x = 5 par exemple, y = -2x Le couple (5 ; -8) est solution. Il existe une infinité de couples de nombres réels (x ; y) vérifiant l équation y=- 2x+ 2. Le système (S) possède donc une infinité de solutions. Interprétation géométrique : Les droites associées à ces deux équations sont donc confondues.