De 9h à 12h Numéro de l'élève : Classe : CONTROLE COMMUN DE MATHEMATIQUES

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1 Lycée Romain Rolland Mardi février 04 Classes de Première Scientifique De 9h à h Numéro de l'élève : Classe : CONTROLE COMMUN DE MATHEMATIQUES Aucun élève ne sera autorisé à quitter la salle avant la fin de l'épreuve. La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements ainsi que la présentation de la copie entreront pour une part importante dans l'évaluation. Le devoir sera rédigé sur des feuilles doubles numérotées. La page 4 de l'énoncé est à rendre avec les copies. Les cinq exercices doivent être traités. Ils peuvent l'être dans n'importe quel ordre. Le barème est donné à titre indicatif et pourra être modifié. Le total est sur 0 points. L'usage d'une calculatrice personnelle et d'une seule est autorisé. Exercice n. (5pts) ABCD est un rectangle tel que AB cm et BC 5 cm. On place sur les côtés les points M, N, P et Q comme sur la figure avec AM BN CP DQ. On note x la distance AM en cm et S( x ) l aire du quadrilatère MNPQ en cm². ) Quel est l ensemble de définition de la fonction S? ) Montrer que S( x) x 8x 5. ) Peut-on placer le point M sur le côté [ AB] de telle sorte que l'aire de MNPQ soit égale à 9 cm²? 4) Dresser le tableau de variation de la fonction S. Pour quelle valeur de x la fonction S atteint-elle son maximum? Justifier. 5) Pour quelle valeur de x, l aire de MNPQ est-elle minimale et quelle est cette valeur minimale? 6) Montrer que l'aire T du trapèze MBCP est constante. petite base + grande base Rappel : aire d'un trapèze hauteur. 7) Pour quelles valeurs de x l aire du quadrilatère MNPQ est-elle inférieure à celle du trapèze? Exercice n. (6pts) Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes. Partie : Restitution organisée de connaissance ) Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I, telle que, pour tout réel x de I, u( x) 0. Démontrer que la fonction f est dérivable sur I et déterminer sa fonction dérivée f. u ) Application : Soit f la fonction définie sur ] 0 ; + [ par f ( x). x Démontrer que la fonction f est dérivable sur ] 0 ; + [ et déterminer sa fonction dérivée f sous une forme simplifiée.

2 Numéro de l'élève : Classe : Partie Soit la fonction f définie sur 0; par f x x x. ) En revenant à la définition du nombre dérivé, montrer que f est dérivable en 0. Déterminer f (0). ) En utilisant les propriétés du cours, démontrer que la fonction f est dérivable sur 0; et que, pour tout réel x de 0;, f ' x 6 x. ) Que peut-on dire de la tangente à la courbe représentative de la fonction f au point d abscisse 4? Partie Soit f la fonction définie et dérivable sur O, I, J, est la courbe Cf tracée ci-dessous. dont la représentation graphique, dans un repère orthogonal Les points M, N, P, Q et R appartiennent à C f. La courbe C f admet en chacun des points N et Q une tangente parallèle à l'axe des abscisses. La droite ( ) est la tangente à la courbe C f au point P de coordonnées ( ; 5) ; elle passe par le point S de coordonnées ( ; ). ) a) Lire graphiquement, sans justification, f (), f '(), f (), f '(), f () et f '(). b) Déterminer une équation de la droite ( ). Justifier. ) La fonction f est en fait définie sur par f ( x) x 6x 9x. a) Déterminer f (x) pour tout réel x. b) Déterminer les points de la courbe C f en lesquels la tangente à C f a un coefficient directeur égal à 9. x ) Soit g la fonction définie sur ] ; + [ par g( x) x. Soit C g la courbe représentative de g dans le repère (O, I, J). Montrer que la droite ( ) est aussi la tangente à la courbe C g au point P.

3 Numéro de l'élève : Classe : Exercice n. (pts) O, I, J est un repère orthonormé du plan. On donne les points ) Faire une figure. ) Calculer les coordonnées des vecteurs AB Justifier. AB et CD. Les droites AB et ) Calculer les coordonnées des vecteurs AC et DB. Les droites AC et Justifier. 4) a) Déterminer une équation de chacune des droites AC et b) Déterminer alors les coordonnées de leur point d intersection, noté K. c) Vérifier que le point K est le milieu de DB. 5) Calculer AK. AC. A ; ; B 6 ; ; C 9 ;9 et ;6 BD dans O, I, J. D. CD sont-elles parallèles? BD sont-elles perpendiculaires? Exercice n 4. (pts) Voici un algorithme : Variable : a est un nombre réel. Début de l'algorithme Entrer la valeur de a. Si a 0 Tant que a a prend la valeur a Fin Tant que Afficher a Sinon Tant que a a prend la valeur a Fin Tant que Afficher a Fin Si Fin de l'algorithme ) On exécute l'algorithme en entrant successivement l'algorithme pour chacune de ces valeurs de a? a ; 6 5 a et a Qu'affiche ) Si l'on considère que le nombre réel a est une mesure en radians d'un angle orienté de vecteurs qu'affiche cet algorithme?

4 Numéro de l'élève : Classe : Exercice n 5. (4pts) On se propose de résoudre dans l'intervalle ; l'équation trigonométrique (E) : cos x cos x 0. 4 a x b x où a et b sont deux nombres réels. ) a) Développer l'expression b) Déterminer l'expression du discriminant puis celle de sa racine carrée en fonction de a et b. ) Dans l'équation (E) on pose X cos x. On obtient l'équation (E') : X X 0. 4 a) Déduire de la question ) les solutions dans de l'équation (E') d'inconnue X. b) Résoudre dans l'intervalle ; les équations cos x et cos x d'inconnue x. c) En déduire les solutions de l'équation (E) dans l'intervalle ;. d) Placer sur le cercle trigonométrique ci-dessous les points associés à ces solutions. Cercle trigonométrique : 4

5 correction du devoir commun 04 Exercice ) on voit que x varie entre 0 et (le coté AB) ou entre 0 et 5 (le coté AD) donc S(x) est définie sur [0;] [0;5] = [0;]. )OncalculeS(x) = A MNPQ = A ABCD A AQM A PCN A MNB A QDP S(x) = 5 ( x)x (5 x)x = x 8x+5 ) Cela revient à résoudre : S(x)=9 x 8x+6 = 0 x = ou x = SiM,P,QetNsontàcmoucmdeA,B,CetDl AiredeMNPQestde9cm 4) On calcule S (x), S (x) = 4x 8 x S (x) S(x) Pour x=0, MNPQ=ABCD; Il est clair sur le dessin que la surface maximale est celle de ABCD. 5) On voit sur le tableau de variation que l Aire est minimale en x= et S()=7. 6) A MBCP = (( x)+x) 5 = 5 l Aire ne depend pas de x, elle est donc constante et égale à 5 quelque soit x [0;]. 7) Cela revient à résoudre l inquation x 8x+5 5, on dresse donc le tableau de signe de S(x). x 0 5 S(x) Donc x 8x+5 5 pour x [ ; 5 ]

6 Exercice Partie I )f(x) = u(x) on applique la définition : f (x) = lim h 0 f(x+h) f(x) h ( u(x) ) u(x+h) = lim u(x) u(x) u(x+h) h 0 h = lim h 0 u(x)u(x+h)h = lim h 0 u(x+h) u(x) u(x)u(x+h)h u(x+h) u(x) = lim h 0 h ( u(x)u(x+h) ) = u (x) u (x) ) f (x+h) (x) = lim x x h 0 h = lim x xh h xh h h 0 hx (x+h) = lim h 0 hx (x+h) x h = lim h 0 x (x+h) = x x 4 Partie II ) f (0) = lim h 0 (0+h)( 0+h) 0 h = lim h 0 h = 6 f est dérivable en 0 et f (0)=6. )f (x) = ( x) x( x ) = 6 x x x = 6 x ) f (4) = 0 donc latangente à la courbe est horizontale et est d équation y = f(4) = 8 Partie III )a) f() =6, f () =0, f()=5, f ()=-, f()=, f ()=0 b)on connait la formule d une tangente en un point a, y=f (a)(x-a)+f(a). pour a=,y = x+. ) a) f (x) = x x+9 b)f (x) = 9 x x = 0 x(x 4) = 0 x = 0 ou x = 4 les tangentes à la courbe aux points d abscisse 0 et 4 ont pour coefficient directeur 9. c) on calcule la tangente à C g au point d abscisse : y = g ()(x )+g() = x+. Exercice ) figure trivial ) ( ) ( 6 AB = =, 0) CD = On calcule x y y x AB CD AB donc AB n est pas colinéaire avec ( ) 9 = 6 9 CD = 9 0 CD. ( ) 6

7 ) AC = ( ) 9 = 9 ( ) 6, DB = 6 ( ) ( ) 6 = 6 On calcule AC. DB = x x +y y AC DB AC DB = 0 donc AB est orthogonal à CD et donc (AC) perpendiculaire à (BD). 4) a) Soit M de coordonés (x,y). Si M appartient à (AC) alors AC et AM sont colinéaires et donc : x y y x AC AM AC AM = 0 6( y) 6( x) = 0 8 6y 8+6x = 0 y +x = 0 y = x De la même manière on obtient l équation de (BD) : y = x+9. b)on calcule x + 9 = x x = 9 on réinjectex = 9 équations, par exemple y = x et on a y = 9. donc on a K( 9 ; 9 ). dans une des deux c)on vérifie facilement que K est le milieu de [DB] par la formule des coordonnés du milieu d un segment. 5) AK. AC = x AK x AC +y AK y AC = 8. Exercice 4 l agotithme nous donne la mesure principale de l angle en radian. Exercice 5 ) a ) (a x)(b x) = ab ax bx+x = ab (a+b)x+x. b) = (a+b) 4 ab = a +ab+b 4ab = a ab+b = (a b) = a b ) a) on identifie a = et b =. x = π b) cosx = 6 x = π ou et cosx = ou x = π 6 x = π c) les solutions de (E) sont donc π, π 6, π 6 et π. d) figure page suivante

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