Feuille d exercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques
|
|
- Gabrielle Clermont
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 Université Claude Bernard-Lyon Semestre de printemps 6-7 Fondamentaux des mathématiques Exercice.. Montrer que. Résoudre Correction exercice.. > >, comme arccos est décroissante, 4 Feuille d exercices 7 Fonctions trigonométriques réciproques < arccos ( 4 ) < 4 arccos(x) arccos ( 4 ) ce qui équivaut à. D après la première question arccos() < arccos ( ) < arccos ( 4 ) < arccos ( 4 ) < 4 < arccos ( 4 ) < Donc arccos ( ) [, ] 4 Et bien sûr On en déduit que arccos(x) [, ] arccos(x) arccos ( 4 ) x cos ( arccos ( 4 )) cos (arccos ( 4 )) ( 4 ) Exercice.. Montrer que arctan ( ) [, ]. Montrer que pour tout t R { + k, k Z} sin(t) tan(t) + tan (t). En déduire que Correction exercice. arcsin ( 5 ) arctan ( ). < < arctan() < arctan ( ) < arctan() Car arctan est strictement croissante, donc < arctan ( ) < 4
2 Ce qui entraine que < arctan ( ) <. Pour tout t R. tan(t) + tan (t) sin(t) cos(t) cos (t) sin(t) cos(t) sin(t) sin ( arctan ( )) tan (arctan ( )) + tan (arctan ( )) Comme arcsin ( ) et arctan 5 () sont dans [, ], on a + ( ) arcsin ( 5 ) arctan ( ) Exercice.. Montrer que pour tout x ], [ tan(x) sin(x) + tan (x). Montrer que : et cos(x) + tan (x) < arctan ( 4 ) + arctan ( 5 ) <. Résoudre arcsin(x) arctan ( 4 ) + arctan ( 5 ) On rappelle que sin(a + b) sin(a) cos(b) + cos(a) sin(b) Correction exercice.. tan(x) + tan (x) sin(x) cos(x) + sin (x) cos (x) sin(x) Car cos(x) > pour tout x ], [ sin(x) cos(x) cos (x) + sin (x) cos (x) sin(x) cos(x) cos(x). Comme x ], [ on peut appliquer la formule précédente, en particulier x donc on peut diviser par tan(x) cos(x) sin(x) tan(x) + tan (x) < 4 < arctan() < arctan ( 4 ) < arctan() 4 Car arctan est strictement croissante. < 5 < arctan() < arctan ( 5 ) < arctan() 4 Car arctan est strictement croissante. En additionnant ces deux inégalités on trouve que < arctan ( 4 ) + arctan ( 5 ) <.
3 Exercice 4. Comme arcsin(x) et arctan ( 4 ) + arctan ( 5 ) sont dans [, ]. arcsin(x) arctan ( 5 ) + arctan ( 5 ) x sin (arctan ( 4 ) + arctan ( 5 )) sin (arctan ( 4 )) cos (arctan ( 5 )) + cos (arctan ( 4 )) sin (arctan ( 5 )) ( + 4 ) + ( 5 ) + ( 4 ) + ( 5 ) Soit f la fonction définie par f(x) arcsin ( x ) Montrer que f est définie et continue sur ], ] [, + [.. Calculer les ites de f au bord de l ensemble de définition.. Pour les valeurs où cela ne pose pas de problème calculer f (x), en déduire les variation de f. 4. Calculer x f (x) et x + f (x) Que peut-on en déduire sur le graphe de f en x et x? 5. Tracer le graphe de f. Correction exercice 4.. f est définie et continue si et seulement si x Or 5. x x x x ], ] [, + [ x x + x x x x arcsin ( x x ) arcsin() arcsin ( x + x ) arcsin() x arcsin( ) x + x arcsin() x f (x) x x x x x x x x x < x x f est décroissante sur ], ] et f est décroissante sur [, + [. x f (x) x x x x
4 5. x x + f (x) x + x x Le graphe de f admet des demi-tangente verticales en x et en x Exercice 5. Soit f la fonction définie par x f(x) arcsin(x) x. Sur quel ensemble cette fonction est-elle définie et continue? (Soyez précis sur les justifications).. Calculer la dérivée de f partout où cela ne pose pas de problème, sur quel ensemble est-elle dérivable?. Déterminer le signe de f sur son ensemble de définition. Correction exercice 5.. arcsin est définie et continue sur [,], x x est définie et continue sur ],[ donc f est x définie et continue sur ],[.. Exercice 6. f(x) arcsin(x) x( x ) x ],[, f (x) x ( x ) x ( ) ( x)( x ) x x x ( x ) x ( x ) f est dérivable sur ],[.. x ],[, f (x) <, donc f est décroissante sur ],[. Comme f() arcsin() Si x < alors f(x) > f() et si x > alors f(x) < f(). f(x) arccos ( x + x ). Montrer que f est définie et continue sur R.. Calculer la dérivée de f en tout point où cela ne pose pas de problème. Sur quel ensemble f estelle dérivable?. Calculer les ites de f en et en Dresser le tableau de variation et dresser sommairement le graphe de f.
5 5. Donner une expression plus simple de f pour x <, puis pour x >. Correction exercice 6.. ( x + x ) ( + x ) ( x ) ( + x ) + x + x 4 ( x + x 4 ) 4x ( + x ) ( + x ) Donc f est définie et continue sur R. x R, x + x. On pose u(x) x +x u (x) ( x)( + x ) ( x )(x) 4x ( + x ) ( + x ) f (x) (u(x)) 4x ( + x ) x + x u (x) (u(x)) 4x ( + x ) + x x x x ( + x ). 4. f est dérivable pour tout x. En. x < donc x x et En +, x > donc x x et f n est pas dérivable en. u(x) x u(x) x + f (x) + x x f (x) f (x) + x x + f (x) f(x) arccos( ) x f(x) arccos( ) x + x + f (x) + f(x),5,5,5,
6 5. Si x < On prend x Et Si x > On prend x Et f (x) x arccos ( + x + x ) f(x) arctan(x) + K arccos() arctan( ) + K + ( 4 ) K K f(x) arctan(x) f (x) x arccos ( + x + x ) f(x) arctan(x) + K arccos() arctan() + K 4 K K f(x) arctan(x) Exercice 7. Soit f la fonction définie par : f(x) arccos ( x ). Déterminer l ensemble de définition et préciser l ensemble où f est continue.. Calculer la dérivée de f et préciser l ensemble où f est dérivable.. Dresser le tableau de variation de f et tracer son graphe. 4. Sur chaque ensemble où f est dérivable, donner une expression plus simple de f. Correction exercice 7.. On pose X x X ( x ) ( 4x + 4x 4 ) 4x 4x 4 4x ( x ) f est définie et continue si et seulement si x ( x ) X 4x ( x ) x Bref f est définie et continue sur D f [,]. Si f(x) arccos(u(x)) alors f (x) u (x) (u(x)) u (x) 4x et (u(x)) X 4x ( x ) donc f 4x (x) 4x ( x ) 4x x x x x x Si x x, c est-à-dire si x ],[ ],[, f est dérivable. x + f (x) x x x f (x) x x + f n est pas dérivable en ±. x f (x) x x x + f (x) x x f n est pas dérivable en.
7 . Si x ],[ alors x x donc f (x) x < Si x ],[ alors x x donc f (x) > x f( ) arccos( ( ) ) arccos( ) f() arccos( ) arccos( ) f() arccos( ) arccos() x + f (x) x x Il y a donc une demi-tangente verticale en. x f (x) x x + Il y a donc une demi-tangente verticale en. x f (x) x x Il y a donc une demi-tangente oblique en. x + f (x) x x Il y a donc une demi-tangente oblique en +. x f (x) + f(x),5,5,5,5 -,5 - -,5,5,5 4. Sur ],[, f (x) x donc f(x) arccos(x) + K A priori on ne peut pas prendre la valeur, ni la valeur car cette relation n est valable que sur ],[. On peut prendre la valeur x. On peut faire autrement, comme f est continue en (ou en ), on écrit : f( ) f(x) x + Or pour x > f(x) arccos(x) + K donc arccos( ) x +( arccos(x) + K ) arccos( ) arccos( ) + K K arccos( ) La continuité en permet de conclure que : x [,], f(x) arccos(x)
8 Remarque : on aurait pu utiliser que dx arcsin(x) + K et on trouve alors K. x Sur ],[, f (x) donc f(x) arcsin(x) + K x Pour changer de méthode, on prend x [,]. f ( ) arcsin ( ) + K, donc K arccos ( ( ) ) arcsin ( ) arccos ( ) 6 La continuité de f en et permet d affirmer que : x [,], f(x) arcsin(x) Exercice 8. Soit f la fonction définie par : f(x) arcsin( cos 4 (x)). Montrer que f est définie et continue sur R.. Montrer que f est périodique, quelle est la parité de f? En déduire un intervalle d étude I.. Partout où cela ne pose pas de problème, calculer la dérivée de f. On l exprimera sous la forme la plus simple possible. 4. Sur quel sous-ensemble de I la fonction f est-elle dérivable? Préciser la valeur des ites de f (x) à droite au point d abscisse et à gauche au point d abscisse. 5. Dresser le tableau de variation de f 6. Tracer son graphe sur trois périodes Correction exercice 8.. Pour tout x R cos 4 (x) cos 4 (x) cos 4 (x) Donc f est définie et continue sur R en tant que composée de fonctions définies et continues sur R.. f(x) arcsin( cos 4 (x + )) arcsin( cos 4 (x)) f(x) Donc f est périodique. Remarque : en fait f est même -périodique. f( x) arcsin( cos 4 ( x)) arcsin( cos 4 (x)) f(x) Donc f est paire. Par conséquent on étudiera f sur I [, ].. On pose u(x) cos 4 (x) f u (x) (x) (u(x)) u (x) 8 cos (x) sin(x) (u(x)) ( cos 4 (x)) ( 4 cos 4 (x) + 4 cos 8 (x)) 4 cos 4 (x) 4 cos 8 (x) 4 cos 4 (x) ( cos 4 (x)) 4 cos 4 (x) ( cos (x))( + cos (x)) 4 cos 4 (x) sin (x) ( + cos (x)) f 8 cos (x) sin(x) (x) 4 cos 4 (x) sin (x) ( + cos (x)) 8 cos (x) sin(x) cos (x) sin(x) + cos (x) 8 cos(x) sin(x) sin(x) + cos (x) Il y aura évidemment un problème en + et en. Et sur ], [, sin(x) > donc sin (x) sin(x)
9 Finalement pour tout x ], [ f (x) 4 cos(x) + cos (x) 4. f (x) 4 cos(x) 4 + cos (x) x f (x) 4 cos(x) 4 + cos (x) x + 4 Pour toutes les autres valeurs de I, f est dérivable, par conséquent f est dérivable sur ], [. 5. Sur ], [, sin(x) > et pour tout x I, sin(x) x ou x D après l expression f (x) 4 cos(x) + cos (x) f (x) a le même signe que cos(x), c est-à-dire strictement positif sur ], [ et strictement négatif sur ], [. f() arcsin( cos 4 ()) arcsin( ) f ( ) arcsin ( cos4 ( )) arcsin() f() arcsin( cos 4 ()) arcsin( ) x f (x) + f(x) 6. Exercice 9.. Déterminer l ensemble de définition de f.. Etudier la parité de f et en déduire un intervalle d étude.
10 . Calculer f la dérivée de f partout où cela ne pose pas de problème. 4. Montrer que f n est pas dérivable en x. Que peut-on en déduire sur le graphe de f au point d abscisse x? 5. Dresser le tableau de variation de f sur R +, avec les ites et les valeurs de f aux points remarquables. 6. Tracer le graphe de f sur R. Correction exercice 9.. Pour tout x R ( x x + ) 4x (x + ) (x + ) 4x (x + ) x4 + x + 4x (x + ) x4 x + (x + ) (x ) (x + ) (x x + ) Par conséquent pour tout x R Ce qui montre que f est définie sur R.. Pour tout x R ( x x + ) x f( x) arcsin ( ( x) + ) arcsin ( x x + ) f est impaire, on l étudiera sur R +.. On pose u(x) x, alors x + u (x) (x +) x x x (x +) (x +) f (x) u (x) (u(x)) x (x + ) ( x x + ) x (x + ) x x + x (x + ) x x + 4. Pour x [,[, x <, donc x (x ) x et alors f (x) x + Pour x ], + [, x >, donc x x et alors f (x) x + x f (x) et x + f (x) Ce qui montre que f n est pas dérivable en x. Le graphe de f admet des demi-tangentes obliques en ce point f() arcsin() ; f() arcsin() ; x + f (x) + f(x) x x x + f(x) arcsin() x +
11 ,5, ,5 - -,5 - Exercice. Soit g la fonction définie sur R par g(t) arcsin(sin(t)) Etudier la parité et la périodicité de g, sur quel intervalle peut-on l étudier, puis montrer que g ( t) g(t), en déduire un axe de symétrie. Finalement étudier g sur [, ] et tracer le graphe de g 4 sur R (au moins sur trois périodes). On donnera l expression de g sur [ 4, ] Correction exercice. g( t) arcsin(sin( t)) g(t) Donc g est impaire. g(t + ) arcsin (sin((t + )) arcsin(sin(t + )) g(t) Donc g est périodique. On peut donc étudier g sur [, ]. g ( t) arcsin (sin ( ( t))) arcsin(sin( t)) arcsin( sin( t)) arcsin(sin( t)) arcsin( sin(t)) g(t) Donc la droite d équation t 4 est un axe de symétrie et on peut étudier g sur [, 4 ] Ce qui entraine que pour tout t [, ], g(t) t 4 t 4 t Pour t [ 4, ], g(t) g ( t) ( t) t, car t [, 4 ]. Graphe de g
12 ,5, ,5 - -,5 -
Développements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détailDéveloppements limités. Notion de développement limité
MT12 - ch2 Page 1/8 Développements limités Dans tout ce chapitre, I désigne un intervalle de R non vide et non réduit à un point. I Notion de développement limité Dans tout ce paragraphe, a désigne un
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailChapitre 6. Fonction réelle d une variable réelle
Chapitre 6 Fonction réelle d une variable réelle 6. Généralités et plan d étude Une application de I dans R est une correspondance entre les éléments de I et ceu de R telle que tout élément de I admette
Plus en détailComparaison de fonctions Développements limités. Chapitre 10
PCSI - 4/5 www.ericreynaud.fr Chapitre Points importants 3 Questions de cours 6 Eercices corrigés Plan du cours 4 Eercices types 7 Devoir maison 5 Eercices Chap Et s il ne fallait retenir que si points?
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailMathématiques I Section Architecture, EPFL
Examen, semestre d hiver 2011 2012 Mathématiques I Section Architecture, EPFL Chargé de cours: Gavin Seal Instructions: Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même
Plus en détailDéveloppements limités usuels en 0
Développements limités usuels en 0 e x sh x ch x sin x cos x = + x! + x! + + xn n! + O ( x n+) = x + x3 3! + + xn+ (n + )! + O ( x n+3) = + x! + x4 4! + + xn (n)! + O ( x n+) = x x3 3! + + ( )n xn+ (n
Plus en détailChapitre 2 Le problème de l unicité des solutions
Université Joseph Fourier UE MAT 127 Mathématiques année 2011-2012 Chapitre 2 Le problème de l unicité des solutions Ce que nous verrons dans ce chapitre : un exemple d équation différentielle y = f(y)
Plus en détailF411 - Courbes Paramétrées, Polaires
1/43 Courbes Paramétrées Courbes polaires Longueur d un arc, Courbure F411 - Courbes Paramétrées, Polaires Michel Fournié michel.fournie@iut-tlse3.fr http://www.math.univ-toulouse.fr/ fournie/ Année 2012/2013
Plus en détailExercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point (x 0,y 0,z 0 ) donné :
Enoncés : Stephan de Bièvre Corrections : Johannes Huebschmann Exo7 Plans tangents à un graphe, différentiabilité Exercice 1 Trouver l équation du plan tangent pour chaque surface ci-dessous, au point
Plus en détailExo7. Limites de fonctions. 1 Théorie. 2 Calculs
Eo7 Limites de fonctions Théorie Eercice Montrer que toute fonction périodique et non constante n admet pas de ite en + Montrer que toute fonction croissante et majorée admet une ite finie en + Indication
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailBac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures)
Bac Blanc Terminale ES - Février 2011 Épreuve de Mathématiques (durée 3 heures) Eercice 1 (5 points) pour les candidats n ayant pas choisi la spécialité MATH Le tableau suivant donne l évolution du chiffre
Plus en détailCours3. Applications continues et homéomorphismes. 1 Rappel sur les images réciproques
Université de Provence Topologie 2 Cours3. Applications continues et homéomorphismes 1 Rappel sur les images réciproques Soit une application f d un ensemble X vers un ensemble Y et soit une partie P de
Plus en détailLa fonction exponentielle
DERNIÈRE IMPRESSION LE 2 novembre 204 à :07 La fonction exponentielle Table des matières La fonction exponentielle 2. Définition et théorèmes.......................... 2.2 Approche graphique de la fonction
Plus en détailCommun à tous les candidats
EXERCICE 3 (9 points ) Commun à tous les candidats On s intéresse à des courbes servant de modèle à la distribution de la masse salariale d une entreprise. Les fonctions f associées définies sur l intervalle
Plus en détailImage d un intervalle par une fonction continue
DOCUMENT 27 Image d un intervalle par une fonction continue La continuité d une fonction en un point est une propriété locale : une fonction est continue en un point x 0 si et seulement si sa restriction
Plus en détailStatistique : Résumé de cours et méthodes
Statistique : Résumé de cours et méthodes 1 Vocabulaire : Population : c est l ensemble étudié. Individu : c est un élément de la population. Effectif total : c est le nombre total d individus. Caractère
Plus en détailEtude de fonctions: procédure et exemple
Etude de fonctions: procédure et exemple Yves Delhaye 8 juillet 2007 Résumé Dans ce court travail, nous présentons les différentes étapes d une étude de fonction à travers un exemple. Nous nous limitons
Plus en détailMais comment on fait pour...
Mais comment on fait pour... Toutes les méthodes fondamentales en Maths Term.S Édition Salutπaths Table des matières 1) GÉNÉRALITÉS SUR LES FONCTIONS...13 1.Comment déterminer l'ensemble de définition
Plus en détailBaccalauréat ES/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé
Baccalauréat S/L Métropole La Réunion 13 septembre 2013 Corrigé A. P. M.. P. XRCIC 1 Commun à tous les candidats Partie A 1. L arbre de probabilité correspondant aux données du problème est : 0,3 0,6 H
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailDéveloppements limités
Université Joseph Fourier, Grenoble Maths en Ligne Développements limités Bernard Ycart Les développements limités sont l outil principal d approximation locale des fonctions. L objectif de ce chapitre
Plus en détailThéorème du point fixe - Théorème de l inversion locale
Chapitre 7 Théorème du point fixe - Théorème de l inversion locale Dans ce chapitre et le suivant, on montre deux applications importantes de la notion de différentiabilité : le théorème de l inversion
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailO, i, ) ln x. (ln x)2
EXERCICE 5 points Commun à tous les candidats Le plan complee est muni d un repère orthonormal O, i, j Étude d une fonction f On considère la fonction f définie sur l intervalle ]0; + [ par : f = ln On
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailBaccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Polynésie (spécialité) 10 septembre 2014 Corrigé A. P. M. E. P. Exercice 1 5 points 1. Réponse d. : 1 e Le coefficient directeur de la tangente est négatif et n est manifestement pas 2e
Plus en détailEXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats)
EXERCICE 4 (7 points ) (Commun à tous les candidats) On cherche à modéliser de deux façons différentes l évolution du nombre, exprimé en millions, de foyers français possédant un téléviseur à écran plat
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailBACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 OBLIGATOIRE MATHÉMATIQUES. Série S. Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE
BACCALAURÉAT GÉNÉRAL SESSION 2012 MATHÉMATIQUES Série S Durée de l épreuve : 4 heures Coefficient : 7 ENSEIGNEMENT OBLIGATOIRE Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformément à la
Plus en détailFonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur
Service Commun de Formation Continue Année Universitaire 2006-2007 Fonctions de plusieurs variables et applications pour l ingénieur Polycopié de cours Rédigé par Yannick Privat Bureau 321 - Institut Élie
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailCours de mathématiques
DEUG MIAS premier niveau Cours de mathématiques année 2003/2004 Guillaume Legendre (version révisée du 3 avril 2015) Table des matières 1 Éléments de logique 1 1.1 Assertions...............................................
Plus en détailC f tracée ci- contre est la représentation graphique d une
TLES1 DEVOIR A LA MAISON N 7 La courbe C f tracée ci- contre est la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur R. On note f ' la fonction dérivée de f. La tangente T à la courbe
Plus en détailFonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre
IUFM du Limousin 2009-10 PLC1 Mathématiques S. Vinatier Rappels de cours Fonctions de plusieurs variables, intégrales multiples, et intégrales dépendant d un paramètre 1 Fonctions de plusieurs variables
Plus en détailLogique. Plan du chapitre
Logique Ce chapitre est assez abstrait en première lecture, mais est (avec le chapitre suivant «Ensembles») probablement le plus important de l année car il est à la base de tous les raisonnements usuels
Plus en détailNOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :
Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailComplément d information concernant la fiche de concordance
Sommaire SAMEDI 0 DÉCEMBRE 20 Vous trouverez dans ce dossier les documents correspondants à ce que nous allons travailler aujourd hui : La fiche de concordance pour le DAEU ; Page 2 Un rappel de cours
Plus en détailPartie 1 - Séquence 3 Original d une fonction
Partie - Séquence 3 Original d une fonction Lycée Victor Hugo - Besançon - STS 2 I. Généralités I. Généralités Définition Si F(p) = L [f(t)u (t)](p), alors on dit que f est l original de F. On note f(t)
Plus en détailRésolution d équations non linéaires
Analyse Numérique Résolution d équations non linéaires Said EL HAJJI et Touria GHEMIRES Université Mohammed V - Agdal. Faculté des Sciences Département de Mathématiques. Laboratoire de Mathématiques, Informatique
Plus en détailDérivation : Résumé de cours et méthodes
Dérivation : Résumé de cours et métodes Nombre dérivé - Fonction dérivée : DÉFINITION (a + ) (a) Etant donné est une onction déinie sur un intervalle I contenant le réel a, est dérivable en a si tend vers
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailLes travaux doivent être remis sous forme papier.
Physique mathématique II Calendrier: Date Pondération/note nale Matériel couvert ExercicesSérie 1 : 25 septembre 2014 5% RH&B: Ch. 3 ExercicesSérie 2 : 23 octobre 2014 5% RH&B: Ch. 12-13 Examen 1 : 24
Plus en détailAnnexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles
Annexe 1 Programmes des classes préparatoires aux Grandes Ecoles Filière : scientifique Voie : Physique, chimie et sciences de l ingénieur (PCSI) Discipline : Mathématiques Première année Classe préparatoire
Plus en détailChapitre 11. Séries de Fourier. Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction 2 - périodique :
Chapitre Chapitre. Séries de Fourier Nous supposons connues les formules donnant les coefficients de Fourier d une fonction - périodique : c c a0 f x dx c an f xcosnxdx c c bn f xsinn x dx c L objet de
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailContinuité d une fonction de plusieurs variables
Chapitre 2 Continuité d une fonction de plusieurs variables Maintenant qu on a défini la notion de limite pour des suites dans R n, la notion de continuité s étend sans problème à des fonctions de plusieurs
Plus en détail3 Approximation de solutions d équations
3 Approximation de solutions d équations Une équation scalaire a la forme générale f(x) =0où f est une fonction de IR dans IR. Un système de n équations à n inconnues peut aussi se mettre sous une telle
Plus en détailPour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Les pages qui suivent comportent, à titre d exemples, les questions d algèbre depuis juillet 003 jusqu à juillet 015, avec leurs solutions. Pour l épreuve d algèbre, les calculatrices sont interdites.
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détailDifférentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles
Différentiabilité ; Fonctions de plusieurs variables réelles Denis Vekemans R n est muni de l une des trois normes usuelles. 1,. 2 ou.. x 1 = i i n Toutes les normes de R n sont équivalentes. x i ; x 2
Plus en détailBaccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013
Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 21 novembre 2013 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 5 points Une entreprise informatique produit et vend des clés USB. La vente de ces clés est réalisée
Plus en détailCours Fonctions de deux variables
Cours Fonctions de deux variables par Pierre Veuillez 1 Support théorique 1.1 Représentation Plan et espace : Grâce à un repère cartésien ( ) O, i, j du plan, les couples (x, y) de R 2 peuvent être représenté
Plus en détailMaple: premiers calculs et premières applications
TP Maple: premiers calculs et premières applications Maple: un logiciel de calcul formel Le logiciel Maple est un système de calcul formel. Alors que la plupart des logiciels de mathématiques utilisent
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détailFonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples
45 Fonctions de plusieurs variables : dérivés partielles, diérentielle. Fonctions composées. Fonctions de classe C 1. Exemples Les espaces vectoriels considérés sont réels, non réduits au vecteur nul et
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailExercices Alternatifs. Une fonction continue mais dérivable nulle part
Eercices Alternatifs Une fonction continue mais dérivable nulle part c 22 Frédéric Le Rou (copyleft LDL : Licence pour Documents Libres). Sources et figures: applications-continues-non-derivables/. Version
Plus en détailLes algorithmes de base du graphisme
Les algorithmes de base du graphisme Table des matières 1 Traçage 2 1.1 Segments de droites......................... 2 1.1.1 Algorithmes simples.................... 3 1.1.2 Algorithmes de Bresenham (1965).............
Plus en détailExercice 3 (5 points) A(x) = 1-e -0039' -0 156e- 0,039x A '() -'-,..--,-,--,------:-- X = (l_e-0,039x)2
Les parties A et B sont indépendantes. Partie A Exercice 3 (5 points) Commun à tous les candidats On considère la fonction A définie sur l'intervalle [1 ; + 00 [ par A(x) = 1-e -0039' ' x 1. Calculer la
Plus en détailExamen optimisation Centrale Marseille (2008) et SupGalilee (2008)
Examen optimisation Centrale Marseille (28) et SupGalilee (28) Olivier Latte, Jean-Michel Innocent, Isabelle Terrasse, Emmanuel Audusse, Francois Cuvelier duree 4 h Tout resultat enonce dans le texte peut
Plus en détailSection «Maturité fédérale» EXAMENS D'ADMISSION Session de février 2014 RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES. Formation visée
EXAMENS D'ADMISSION Admission RÉCAPITULATIFS DES MATIÈRES EXAMINÉES MATIÈRES Préparation en 3 ou 4 semestres Formation visée Préparation complète en 1 an 2 ème partiel (semestriel) Niveau Durée de l examen
Plus en détailFonctions homographiques
Seconde-Fonctions homographiques-cours Mai 0 Fonctions homographiques Introduction Voir le TP Géogébra. La fonction inverse. Définition Considérons la fonction f définie par f() =. Alors :. f est définie
Plus en détailTP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options
Université de Lorraine Modélisation Stochastique Master 2 IMOI 2014-2015 TP1 Méthodes de Monte Carlo et techniques de réduction de variance, application au pricing d options 1 Les options Le but de ce
Plus en détailContinuité en un point
DOCUMENT 4 Continuité en un point En général, D f désigne l ensemble de définition de la fonction f et on supposera toujours que cet ensemble est inclus dans R. Toutes les fonctions considérées sont à
Plus en détailBTS Groupement A. Mathématiques Session 2011. Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL
BTS Groupement A Mathématiques Session 11 Exercice 1 : 1 points Spécialités CIRA, IRIS, Systèmes électroniques, TPIL On considère un circuit composé d une résistance et d un condensateur représenté par
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailBACCALAURÉAT PROFESSIONNEL SUJET
SESSION 203 Métropole - Réunion - Mayotte BACCALAURÉAT PROFESSIONNEL ÉPREUVE E4 CULTURE SCIENTIFIQUE ET TECHNOLOGIQUE : MATHÉMATIQUES Toutes options Durée : 2 heures Matériel(s) et document(s) autorisé(s)
Plus en détailLes devoirs en Première STMG
Les devoirs en Première STMG O. Lader Table des matières Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions....................... 2 Devoir sur table 1 : Proportions et inclusions (corrigé)..................
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailBACCALAUREAT GENERAL MATHÉMATIQUES
BACCALAUREAT GENERAL FEVRIER 2014 MATHÉMATIQUES SERIE : ES Durée de l épreuve : 3 heures Coefficient : 5 (ES), 4 (L) 7(spe ES) Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées, conformement à la
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailChapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque
Universités Paris 6 et Paris 7 M1 MEEF Analyse (UE 3) 2013-2014 Chapitre 7 : Intégration sur un intervalle quelconque 1 Fonctions intégrables Définition 1 Soit I R un intervalle et soit f : I R + une fonction
Plus en détailDURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE
DURÉE DU JUR E FCTI DE LA DATE ET DE LA LATITUDE ous allons nous intéresser à la durée du jour, prise ici dans le sens de période d éclairement par le Soleil dans une journée de 4 h, en un lieu donné de
Plus en détailCorrection de l examen de la première session
de l examen de la première session Julian Tugaut, Franck Licini, Didier Vincent Si vous trouvez des erreurs de Français ou de mathématiques ou bien si vous avez des questions et/ou des suggestions, envoyez-moi
Plus en détailIV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations
IV- Equations, inéquations dans R, Systèmes d équations 1- Equation à une inconnue Une équation est une égalité contenant un nombre inconnu noté en général x et qui est appelé l inconnue. Résoudre l équation
Plus en détailINTRODUCTION. 1 k 2. k=1
Capes externe de mathématiques : session 7 Première composition INTRODUCTION L objet du problème est l étude de la suite (s n n définie par : n, s n = Dans une première partie, nous nous attacherons à
Plus en détailPremiers pas avec Mathematica
Premiers pas avec Mathematica LP206 : Mathématiques pour physiciens I Année 2010/2011 1 Introduction Mathematica est un logiciel de calcul formel qui permet de manipuler des expressions mathématiques symboliques.
Plus en détailTraceur de courbes planes
Traceur de courbes planes Version 2.5 Manuel d utilisation Patrice Rabiller Lycée Notre Dame Fontenay le Comte Mise à jour de Janvier 2008 Téléchargement : http://perso.orange.fr/patrice.rabiller/sinequanon/menusqn.htm
Plus en détailChapitre 0 Introduction à la cinématique
Chapitre 0 Introduction à la cinématique Plan Vitesse, accélération Coordonnées polaires Exercices corrigés Vitesse, Accélération La cinématique est l étude du mouvement Elle suppose donc l existence à
Plus en détailPython - introduction à la programmation et calcul scientifique
Université de Strasbourg Environnements Informatique Python - introduction à la programmation et calcul scientifique Feuille de TP 1 Avant de commencer Le but de ce TP est de vous montrer les bases de
Plus en détailt 100. = 8 ; le pourcentage de réduction est : 8 % 1 t Le pourcentage d'évolution (appelé aussi taux d'évolution) est le nombre :
Terminale STSS 2 012 2 013 Pourcentages Synthèse 1) Définition : Calculer t % d'un nombre, c'est multiplier ce nombre par t 100. 2) Exemples de calcul : a) Calcul d un pourcentage : Un article coûtant
Plus en détailUtiliser des fonctions complexes
Chapitre 5 Utiliser des fonctions complexes Construire une formule conditionnelle avec la fonction SI Calculer un remboursement avec la fonction VPN Utiliser des fonctions mathématiques Utiliser la fonction
Plus en détailTD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires
TD1 Signaux, énergie et puissance, signaux aléatoires I ) Ecrire l'expression analytique des signaux représentés sur les figures suivantes à l'aide de signaux particuliers. Dans le cas du signal y(t) trouver
Plus en détailChapitre 2. Eléments pour comprendre un énoncé
Chapitre 2 Eléments pour comprendre un énoncé Ce chapitre est consacré à la compréhension d un énoncé. Pour démontrer un énoncé donné, il faut se reporter au chapitre suivant. Les tables de vérité données
Plus en détailCours d Analyse I et II
ÉCOLE POLYTECHNIQUE FÉDÉRALE DE LAUSANNE Cours d Analyse I et II Sections Microtechnique & Science et génie des matériaux Dr. Philippe Chabloz avril 23 Table des matières Sur les nombres. Les nombres
Plus en détailBaccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé
Baccalauréat ES Antilles Guyane 12 septembre 2014 Corrigé EXERCICE 1 5 points Commun à tous les candidats 1. Réponse c : ln(10)+2 ln ( 10e 2) = ln(10)+ln ( e 2) = ln(10)+2 2. Réponse b : n 13 0,7 n 0,01
Plus en détailf n (x) = x n e x. T k
EXERCICE 3 (7 points) Commun à tous ls candidats Pour tout ntir naturl n supériur ou égal à, on désign par f n la fonction défini sur R par : f n (x) = x n x. On not C n sa courb rprésntativ dans un rpèr
Plus en détaila et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe le nombre ax + b
I Définition d une fonction affine Faire l activité 1 «une nouvelle fonction» 1. définition générale a et b étant deux nombres relatifs donnés, une fonction affine est une fonction qui a un nombre x associe
Plus en détailEXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE
EXERCICES - ANALYSE GÉNÉRALE OLIVIER COLLIER Exercice 1 (2012) Une entreprise veut faire un prêt de S euros auprès d une banque au taux annuel composé r. Le remboursement sera effectué en n années par
Plus en détail