I) ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS

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1 I) ENSEMBLE DES ENTIERS NATURELS 1- Ensemble des entiers naturels 1-1 Activités: Déterminer les nombres suivants ceux qui sont des entiers naturels: -23, 132,5 ; ; et Définition: Les nombres 0 ; 1; 2; 3 s'appellent des entiers naturels, et définissent un ensemble noté s'appelle ensemble des entiers naturels, on écrit * + et qui 1-3 Vocabulaire et notation Le nombre 0 s'appelle l'entier naturel nul Les chiffres sont les entiers naturels de 0 à 9 On note l'ensemble des entiers naturel non nuls par Si est un entier naturel on note si non on note Chaque entier naturel a un successeur Chaque entier naturel non nul a un prédécesseur 1-4 Remarques Entre deux entiers naturels successifs il n'y a aucun entier naturel; autrement dit Si La somme et le produit de deux entiers naturels est un entier naturel 1-5 Exercices Exercice1: compléter par ou -23. ;, ; 0. Exercice2: Montrer que 2- Nombres paires nombres impaires 2-1 Activités Activité1: Déterminer tous les entiers naturels pairs strictement compris entre 23 et 46. Activité2: On note par l'ensemble des entiers pairs et par l'ensemble des entiers impairs; compléter par ou ; 14. ; Activité3: soient deux entiers naturels pairs et deux entiers naturels impairs; étudier la parité des nombres :, ; ( ) Ensemble des entiers naturels Page 1

2 2-2 Définition On dit que le nombre entier naturel est pair s'il existe un entier naturel tel que On dit que le nombre entier naturel est pair s'il existe un entier naturel tel que 2-3 Propriété La somme de deux nombres pairs est un nombre pair La somme de deux nombres impairs est un nombre pair La somme d'un nombre pair et un nombre impair est un nombre impair Le produit de deux nombres pairs est un nombre pair Le produit de deux nombres impairs est un nombre impair Le produit d'un nombre pair et un nombre impair est un nombre pair On peut résumer la propriété précédente sous la forme des deux tableaux suivants: + P I x P I P P I P P P I I P I P I 2-4 Exercices Exercice1: Montrer les assertions des propriétés précédentes. Exercice2: soit un entier naturel, 1. étudier la parité du nombre ( ) 2. étudier la parité du nombre ( ) ( ) 3. étudier la parité du nombre Exercice3: soient et deux entiers naturel tels que ; Monter que les entiers naturels ont la même parité II) MULTIPLES D'UN ENTIER ; DIVISEURS D'UN ENTIER 1 Multiples d'un entier 1.1 Activités Activité1: a) Mettez une croix dans les cases convenables: Multiples de 2 Multiples de 3 Multiples de 5 Multiples de 11 b) Extraire du tableau les multiples communs de 2 et 3 et les multiples communs de 3 et 5. Ensemble des entiers naturels Page 2

3 Activité2: a) Déterminer les 8 premiers multiples de 6 et les 8 premiers multiples de 9 b) En déduire les multiples communs de 6 et 9 c) déterminer le plus petit multiple commun de 6 et 9 Activité3: soit un entier naturel a) vérifier que ( )( ) est un multiple de 8 dans le cas * + b) Montrer que ( )( ) est un multiple de 8 pour tout entier naturel. 1.2 Définition Soient et deux entiers naturels avec non nul. On dit que l'entier naturel est un multiple de l'entier naturel s'il existe un entier naturel tel que 1.3 Exemples: les entiers 0 ; 15 ; 130 et 675 sont des multiples de 5 26 n'est pas un multiple de 4 36 est un multiple commun de 9 et de Remarques Un entier naturel non nul a une infinité de multiples, ces multiples s'écrivent de la forme où est un entier naturel. Les multiples de l'entier naturel non nul définissent un ensemble noté Le chiffre 0 n'a qu'un seul multiple c'est 0 2 Le plus petit multiple commun PPMC 2.1 Définition Soient deux entiers naturels non nuls, le plus petits des multiples communs non nul de s'appelle le plus petit multiple commun de on le note ( ) ou ( ) 2.2 Exemples ( ) ( ) 2.3 Remarque Si est un multiple de ( ) alors ( ) ( ) ( ) n'est pas toujours égale au produit 3 Les diviseurs d'un entier 3.1 Activités Activité1: a) Déterminer tous les diviseurs de 60 et de 126 b) En déduire les diviseurs communs de 60 et 126 c) Déterminer le plus grand diviseur commun de 60 et 126 Activité 2: a) Vérifier que ( )( ) b) En déduire que ( ) est un diviseur commun de ( ) et de Ensemble des entiers naturels Page 3

4 3.2 Définition Soient et deux entiers naturels avec non nul. On dit que l'entier naturel est un diviseur de l'entier naturel s'il existe un entier naturel tel que 3.3 Remarques Si est un diviseur de alors est un multiple de ( ) on dit encore que est divisible par Le nombre entier 1 divise tous les entiers naturels Le nombre 0 est divisible par tous les entiers naturels Tout nombre entier naturel non nul et différent de 1 à au moins deux diviseurs : 1 et lui-même 4- Le plus grand diviseur commun PGCD 4.1 Définition Soient deux entiers naturels non nuls, le plus grand des diviseurs communs de s'appelle le plus grand diviseur commun de on le note ( ) ou ( ) 4.2 Exemples ( ) ( ) III) LES NOMBRES PREMIERS 1- Définition 1.1 Définition On dit qu'un entier naturel est premier s'il a exactement 2 diviseurs 1.2 Remarques 0 n'est pas premier (il a une infinité de diviseurs) 1 n'est pas premier (il a un seul diviseur c'est 1) 2 est le seul nombre premier pair 1.3 Exemple L'ensemble des nombres premiers inférieurs à 50 est * + 2- Décomposition en produit de facteurs premiers 2.1 Activité Ecrire le nombre 126 sous forme de produit de facteurs premiers 2.2 Théorème Tout entier naturel ( ) est premier ou produit d'une façon uniquede facteurs premiers 2.3 Exemples 51 est premier Ensemble des entiers naturels Page 4

5 2.4 Technique de décomposition Soit un entier naturel non nul et différent de 1 On prend le plus petit nombre premier qui divise, et on établit la division euclidienne, on obtient un quotient, et on fait la même chose pour ; ainsi de suite jusqu'à obtenir un quotient égale à 1 Le nombre sera le produit de tous les nombres premiers par lesquels on a fait la division Exercice Décomposer en produit de facteurs premiers les nombre 594 et Théorèmes (admis) Théorème1: Le plus petit multiple commun de deux nombres entiers naturels et est le produit des facteurs premiers communs et non communs entre les décompositions de et en produit des facteurs premiers, avec les plus grands exposants. Théorème2: Le plus grand diviseur commun de deux nombres entiers naturels et est le produit des facteurs premiers communs entre les décompositions de et en produit des facteurs premiers, avec les plus petits exposants 2.7 Exercice 1. Déterminer ( ) et ( ) 2. Calculer et comparer le résultat avec le produit Théorème3: ( ) ( ) Ensemble des entiers naturels Page 5

6 Exercice 1 Soient a et b deux entier naturels; Montrer que: Si a et b sont pairs alors (a+b) est un nombre pair Si a et b sont impairs alors (a+b) est un nombre pair Si a paire et b impairs alors (a+b) est un nombre impair Si a et b sont pairs alors (a b) est un nombre pair Si a et b sont impairs alors (a b) est un nombre impair Le produit de deux entiers naturels successifs est un nombre pair. Exercice 2 Soit n un entier naturel. Etudier la parité des nombres suivants: A = 2n+5 ; B = 12n+2 ; C = n²+n+3 ; D = n 3 -n En déduire la parité des nombres suivants: 2A+B; A²+B² (A+B)²; AB+CD Montrer que (A+B) est un multiple de 7. Exercice 3 Soient a, b et c des entiers naturels; Montrer que: Si a divise b et b divise c alors a divise c Si a divise b et b divise a alors a = b Si a divise b et c alors a divise (b-c) et (b+3c) Si a et b sont des multiples de c alors (3a+4b) est un multiple de c. IV) EXERCICES D'APPLICATIONS Considérons le nombre: a = n² + n + 7 a- Montrer que a est impair b- En déduire que le nombre a est la différence de deux carrés parfaits. Exercice 7 Soit n un entier naturel, on pose: A=(-1) n + (-1) n Montrer que si n est un nombre pair alors A = 4. Montrer que si n est un nombre impair alors A = 0. Exercice 8 Déterminer tous les diviseurs de 21 Déterminer tous les nombres entiers naturels x et y et qui vérifient: (x+1)(y+2) = 21 Déterminer tous les nombres entiers naturels x et y et qui vérifient: xy + x + y =30. Exercice 9 Déterminer tous les diviseurs de 12 Déterminer tous les nombres entiers naturels a et b et qui vérifient: (a+3)(b+2) = 12 Déterminer les nombres entiers naturels a et b et qui vérifient: ab + 3a + b = 15. Exercice 10 Décomposer les nombres 77 ; 28 et 22 en produit de facteurs premiers En déduire le P.P.M.C des nombres 77 ; 28 et 22 Exercice 4 Soient a, b et d des entiers naturels; Montrer que si d divise a et b alors d divise (ax+by ) pour tous x et y dans Montrer que si d divise ab et (a+b) alors d divise a². Exercice 5 Soit n un entier naturel. Montrer que: si le nombre (n+1) est un multiple de 4 alors le nombre (n²+3) est aussi multiple de 4. Exercice 6 Soit x un entier naturel. Développer l'expression : (x+1)²- x² En déduire que tout nombre impair est la déférence de deux carrés parfaits. Ecrire le nombre 2011 comme déférence de deux carrés parfaits. En déduire une simplification du nombre Exercice 11 Décomposer les nombres 840 et 2025 en produit de facteurs premiers. En déduire le P.P.M.C des nombres 2025 et 840 Simplifier les nombres suivants: ;. Exercice 12 Montrer que les nombres 315 et 572 sont premiers entre eux Montrer que la somme de deux nombres premiers supérieurs strictement à 2 est non premier. Exercice 13 Déterminer les diviseurs communs des nombres 45 et 50 En déduire Le P.G.C.D des nombres 45 et 50 Vérifier les résultats précédents en utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers de 50 et 45 Ensemble des entiers naturels Page 6

7 Exercice 14 Déterminer les multiples communs inferieurs à 150 des nombres 18 et 24 En déduire le P.P.C.M des nombres 18 et 24 En utilisant la décomposition en produit des facteurs premiers des nombres 18 et 24, vérifier le résultat Exercice 15 Soient k, n deux entiers naturels; tel que n 0 Vérifier si n = 3k+1 ou n=3k+2 alors 3 divise n En déduire que pour tout entier naturel n le nombre n(n²-1) divisible par 3 Exercice 16 Soient k, n deux entiers naturels; tel que n 0 Vérifier si n = 5k+1 ou n=5k+4 alors n²-1 est divisible par 5 Vérifier si n = 5k+2 ou n=5k+3alors n²-1 est divisible par 5 En déduire que pour tout entier naturel n le nombre n(n 4-1) divisible par 5 Exercice 17 Ecris tous les nombres premiers inférieurs à 50 Déterminer parmi les nombres suivants ceux qui sont premiers: 67, 71, 87, 91, 119,506, 341, 701, 702, 205, 1001, 2013, 1559 Exercice 18 Soient a, b et c des entiers naturels; tel que a b Montrer que (a-b) et (a+b) ont la même parité. Montrer que si a, b et c des entiers pairs successifs alors la somme (a+b+c) est un multiple de 6 Décomposer 28 en produit des facteurs premiers puis déterminer les diviseurs pairs du nombre 28 déterminer les entiers naturels qui vérifient: x²- y² = 28 Exercice 19 Soient x, y deux entiers naturels; tel que x 2y Montrer que (x-2y) et (x+2y) ont la même parité. Résoudre dans l'équation : x²- 4y² = 36. Exercice 20 Considérons le nombre Déterminer les diviseurs de A Déterminer le plus petit entier k pour que ka soit un carrée parfait. Déterminer le plus petit entier m pour que ma soit un cube parfait. Exercice 21 Déterminer le chiffre a pour que le nombre: 4a3a soit divisible par 9 Déterminer les chiffres a et b pour que le nombre: 65ab soit divisible par 3 et 4. Exercice 22 Considérons les deux entiers: et où n est un entier naturel Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de B quel est le plus petit entier m pour que mb soit un carrée parfait. Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de A en fonction de n. Déterminer le P.G.C.D (A,B) et le P.P.C.M (A,B) Exercice 23 Considérons les deux entiers: et où n est un entier naturel. Montrer que a est un multiple de 3 Montrer que a est un multiple de 12 Donner la décomposition en produit de facteurs premiers de a et de b en fonction de n. Déterminer le P.G.C.D (a,b) et le P.P.C.M (a,b) Exercice 24 Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 3 on pose: Vérifier que a et b sont des entiers naturels Calculer a² - b² en fonction de p On en déduit que tous nombre premier supérieur ou égal à 3 s'écrit de la forme de la différence de deux carrées d'entiers. Déterminer cette différence pour le cas p=31 Exercice 25 Soit n un élément de ; Montrer que n²(n²-1) est divisible par 4. déterminer n de tél que ( ) Montrer que si n est impair alors 8 divise n²-1 En déduit que si n est impair alors 16 divise n 4-1 Montrer que si m et n sont deux nombres impairs alors 8 divise m²+n²+6 Ensemble des entiers naturels Page 7