BACCALAUREAT BLANC N 2

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1 TS NOM :. PRÉNOM : BACCALAUREAT BLANC N 2 MATHEMATIQUES Série S Eléments de correction Exercice 1 : (4 points) (Commun à tous les candidats) Q.C.M. : Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des quatre questions, quatre réponses sont proposées; une seule de ces réponses est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et recopier la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n est demandée Barème : Une bonne réponse rapporte 1 point. Une réponse inexacte ou une absence de réponse ne rapporte ni n enlève aucun point. Toutes les questions sont indépendantes Question 1 : On choisit au hasard un réel de l intervalle [ 2 ; 5]. Quelle est la probabilité que ce nombre appartienne à l intervalle [ 1 ; 1] Page 1/11

2 D après la loi uniforme sur [ 2 ; 5], la probabilité recherchée est égale à : 1 ( 1) 5 ( 2) a) 1 5 b) 2 7 c) 1 2 d) 0,7 Question 2 : Dans un hypermarché, un modèle d ordinateur est en promotion. Une étude statistique a permis d établir que, chaque fois qu un client s intéresse à ce modèle, la probabilité qu il l achète est égale à 0,3. On considère un échantillon aléatoire de dix clients qui se sont intéressés à ce modèle. Quelle est une valeur arrondie au millième de la probabilité qu exactement trois d entre eux aient acheté un ordinateur de ce modèle? Question 3 : a) 0,900 b) 0,092 c) 0,002 d) 0,267 L ensemble des points M du plan complexe d affixe z tels que est réel est : z On pose z = x + iy On a alors : z = x + iy = 1 + z est réel Im(z) = 0 x 2 + y 2 + x x 2 + y 2 = 0 1(x iy) (x + iy)(x iy) = 1 + x iy x 2 + y 2 = x2 + y 2 + x iy x 2 + y 2 = x2 + y 2 + x x 2 + y 2 + i x 2 + y 2 + x = 0 et x 2 + y 2 0 (x ) y2 = 0 et x 2 + y 2 0 y x 2 + y 2 (x )2 + y 2 = 1 4 et (x ; y ) ( 0 ; 0) a) L axe des abscisses privé de l origine du repère b) Le cercle de centre Ω ( 1 2 ; 0) et de rayon 1 4, privé de l origine du repère c) Le cercle de centre Ω ( 1 2 ; 0) et de rayon 1 2, privé de l origine du repère d) L axe des ordonnées, privé de l origine du repère R.O.C : La démonstration détaillée doit figurer sur votre copie Soit la fonction exponentielle définie sur IR. On admet les propriétés suivantes : e 0 = 1 pour tout réel a, e a 0 Page 2/11

3 pour tous réels a et b, e a+b = e a e b Montrer en utilisant les propriétés ci-dessus, que, pour tous réels a et b, e a b = ea e b Pour tous réels a et b, e a b = e a + ( b) Or n sait que, pour tous réels a et b, e a+b = e a e b On peut en déduire que e a b = e a + ( b) = e a e ( b) De plus : e b e ( b) = e b + ( b) = e 0 = 1, et comme e b 0, on peut dire que e ( b) = 1 e b On en déduit que : e a b = e a + ( b) = e a e ( b) = e a 1 e b = ea e b Exercice 2 : (5 points) (Commun à tous les candidats) Sur le graphique ci-dessous, on a tracé, dans le plan muni d un repère orthonormé ( O ; i ; j ), la courbe représentative C d une fonction f définie et dérivable sur l intervalle ]0 ; + [. On dispose des informations suivantes : les points A, B, C ont pour coordonnées respectives (1; 0), (1; 2), (0; 2) ; la courbe C passe par le point B et la droite (BC) est tangente à C en B; il existe deux réels positifs a et b tels que pour tout réel strictement positif x f(x) = a + b ln x x 1. a) En utilisant le graphique, donner les valeurs de f (1) et f (1). b) Vérifier que pour tout réel strictement positif x, f (x) = (b a) b lnx x 2 Page 3/11

4 c) En déduire les réels a et b 2. a) Justifier que pour tout réel x appartenant à l intervalle ] 0 ; + [, f (x) a le même signe que ( ln x). b) Déterminer les limites de f en 0 et en +.. On pourra remarquer que pour tout réel x strictement positif, f (x) = 2 x + 2 ln x x. c) En déduire le tableau de variations de la fonction f. Page 4/11

5 3. a) Démontrer que l équation f (x)= 1 admet une unique solution α sur ]0 ; 1]. b) Par un raisonnement analogue, on admet qu il existe un unique réel β de l intervalle ] 1 ; + [ tel que f(β) = 1 Déterminer l entier n tel que n < β < n Le but de cette question est de démontrer que la courbe C partage le rectangle OABC en deux domaines d aires égales. a) Justifier ce que cela revient à démontrer que 1 f(x) dx = 1. 1 e b) En remarquant que l expression de f(x) peut s écrire 2 x ln x, terminer la démonstration. x Page 5/11

6 Exercice 3 : (5 points) (Pour les candidats n ayant pas choisi l enseignement de spécialité) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 1. On note f n la fonction définie pour tout réel x de l intervalle 1 [ 0 ;1] par : f n (x) = 1 + x n. Pour tout n 1, on définit le nombre I n par : 1. Les représentations graphiques de certaines fonctions f n obtenues à l aide d un logiciel sont tracées cicontre. En expliquant soigneusement votre démarche, conjecturer pour la suite (I n ) l existence et la valeur éventuelle de la limite lorsque n tend vers + 2. Calculer la valeur exacte de I 1 3. a) Démontrer que, pour tout réel x de l intervalle [0 ; 1] et pour tout entier naturel n 1, on a : x n 1 Page 6/11

7 b) En déduire que, pour tout entier naturel n 1, on a I n 1 4. Démontrer que, pour tout réel x de l intervalle [0 ;1] et pour tout entier naturel n 1, on a : 1 x n x n 5. Calculer l intégrale 0 1 (1 x n ) dx 6. A l aide des questions précédentes, démontrer que la suite (I n ) est convergente et déterminer sa limite. 7. On considère l algorithme ci-contre : a) Quelle valeur arrondie au centième renvoie cet algorithme si l on entre les valeurs n = 2 et p = 5? On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau suivant avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l algorithme. Les valeurs de I seront arrondies au millième. k 0 4 x I b) Expliquer pourquoi cet algorithme permet d approcher l intégrale I n. Page 7/11

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9 TS NOM :. PRÉNOM : Exercice 4 : (4 points) (Commun à tous les candidats) Dans l espace muni d un repère orthonormé, on considère les points : A ( 1 ; 2 ; 7), B( 2 ; 0 ; 2) C(3 ; 1 ; 3) E(4 ; 8 ; 4) 1. Montrer que les points A, B et C ne sont pas alignés. 2. Soit u ( 1 ; b ; c) un vecteur de l espace, où b et c désignent deux nombres réels. a) Déterminer les valeurs de b et c telles que u soit un vecteur normal au plan (ABC). b) En déduire qu une équation cartésienne du plan (ABC) est : x 2y + z 4 = 0 c) Le point D appartient-il au plan (ABC)? 3. On considère la droite D de l espace dont une représentation paramétrique est : x = 2t + 3 y = 4t + 5 z = 2t 1 où t est un nombre réel. a) La droite D est-elle orthogonale au plan (ABC)? Page 9/11

10 b) Déterminer les coordonnées du point H, point d intersection de la droite D et du plan (ABC). Page 10/11

11 Exercice 5 : (2 points) (Commun à tous les candidats) On considère la suite numérique (u n ) définie par : u 0 = 0 et pour tout entier naturel n, u n+1 = On obtient à l aide d un tableur les premiers termes de cette suite. 1 2 u n Prouver que la suite (u n ) converge. Page 11/11