Université Sultan Moulay Slimane

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1 Université Sultan Moulay Slimane Faculté des sciences et techniques de Beni Mellal Année universitaire : 2/2 Introduction à l analyse complexe Abdesselam BOUARICH Première version : 5/6/2 A. Bouarich

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3 Table des matières Fonctions d une variable complexe holomorphes 5. Au tours du plan complexe C Représentation des nombres complexes Topologie de la droite complexe Limite et continuité des fonctions à une variable complexe C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe Applications C-linéaires de C dans C Fonctions holomorphes Conditions de Cauchy-Riemann C-différentiablité d ordre supérieur Fonctions harmoniques Dérivations complexes symboliques Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes L exponentielle complexe z e z Logarithmes complexes z Log(z) Les puissances complexes z z a Fonctions inverses des puissances z a z Les fonctions trigonométriques z cos(z), sin(z), tg(z), cotg(z) Les fonctions hyperboliques z Ch(z), Sh(z), th(z), coth(z) Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Les courbes et les domaines du plan complexe Les chemins et les courbes du plan complexe Les domaines du plan complexe Intégration des fonctions complexes à une variable complexe Construction de l intégrale curviligne complexe

4 2.2.2 Calcul et propriétés de l intégrale complexe Théorème de Cauchy Primitive d une fonction holomorphe Formules intégrales de Cauchy Applications intéressantes du théorème de dérivation Le théorème des résidus et ses applications Séries de Laurent Classification des singularités isolées Résidu d un point singulier isolé Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus Calcul des intégrales définies de type Calcul des intégrales généralisées Calcul des intégrales généralisées Calcul des intégrales généralisées Calcul des intégrales généralisées 2π R(cos(t),sin(t))dt P(x) dx Q(x) P(x) Q(x) eiαx dx P(x) Q(x) e iαx x dx x αp(x) dx, < α < Q(x)

5 Chapitre Premier Fonctions d une variable complexe holomorphes Dans ce chapitre, on va introduire le calcul différentiel pour les fonctions complexes à une variable complexe. Plus précisément, on va y examiner les notions classiques de limite, de continuité et de la C-dérivabilité pour les fonctions à variable complexe. Le résultat fondamental qu on va démontrer dans de chapitre est que la C-dérivabilité d une fonction à variable complexe f(z) entraîne la différentiabilité au sens des parties réelle et imaginaire de f(z) et que ces derniers vérifient les conditions de Cauchy-Riemann. Les conditions de Cauchy-Riemann vont nous permettre de déduire que les parties réelle et imaginaire d une fonction C-dérivable sont harmoniques, donc solutions de l équation de Laplace. La dernière section de ca chapitre sera consacrée à l étude de certaines fonctions élémentaires complexes comme par exemple : l exponentielle, le logarithme, les puissances, les fonctions trigonométriques et les fonctions hyperboliques.. Au tours du plan complexe C.. Représentation des nombres complexes Rappelons qu un nombre complexe z C possède deux composantes; une partie réelle Re(z) R et une partie imaginaire Im(z) R et s écrit donc sous la forme z = Re(z)+iIm(z) où i s appelle l imaginaire complexe caractérisé par son carré (i) 2 =. Le fait que chaque nombre complexe possède une partie réelle et une partie imaginaire nous permet d identifier les éléments de C avec les points du plan cartésien R 2 en associant à z = x+iy C le couple (x,y) R 2 i.e. : Ψ : C R 2 x+iy (x,y)

6 6 Fonctions d une variable complexe holomorphes Ci-dessous, grâce à l application d identification Ψ : C R 2 on donnera une interprétation géométrique de certaines opérations classiques sur les nombres complexes. Rappelons que tout point (x,y) R 2 peut être défini par un système de coordonées polaires centré à l origine { x = rcos(θ) y = rsin(θ) où r = x 2 +y 2 et θ [,2π[ est la mesure de l angle que fait l axe Ox et la droite qui passe par l origine (,) et le point (x,y). rsin(θ) M θ rcos(θ) En utilisant l identification Ψ on déduit que tout nombre complexe z C peut être défini en fonction des coordonnées polaires par la formule suivante, z = z (cos(θ)+isin(θ)) dite présentation du nombre complexe z en coordonnées polaires. Dans le reste de chapitre l angle θ sera noté arg(z) [, 2π[ et sera appelé argument du nombre complexe z. Notons aussi que l expression polaire d un nombre complexe z peut être écrire sous forme exponentielle comme suit z = z e i.arg(z) où e i.arg(z) = cos(arg(z))+isin(arg(z)) et dont la justification sera faite dans la section 6.4 de ce chapitre. Sur l ensemble des nombres complexes C on définit une loi de composition interne additive, a+ib,x+iy C, (a+ib)+(x+iy) = (a+x)+i(b+y) et on définit aussi une loi interne multiplicative par l expression a+ib,x+iy C, (a+ib) (x+iy) = (ax by)+i(ay +bx) Ilest clair quel addition desnombrescomplexes s interprètedansleplanr 2 commel addition ordiaire des vecteurs. Pour comprendre la signification géométrique de la multiplication de deux nombres complexes a = α+iβ et z = x+iy appliquons l identification Ψ sur le produit a z : ( ) ( ) α β x Ψ(a z) = (αx βy,αy +βx) Ψ(a z) = β α y Ainsi, à partir de cette expression matricielle du produit a z C on déduit que le point Ψ(a z) s obtient à partir du point Ψ(z) moyennant la simulitude qui est composée par la rotation dirècte d angle θ = arctg( β α ) et de l homotétie de rapport λ = α 2 +β 2.

7 Au tours du plan complexe C 7 a z a z L addition et la multiplication des nombres complexes induisent sur l ensemble des nombres complexes C la structure algébrique de corps commutatif où le nombre complexe nul est neutre pour l addition tandis que le nombre complexe = + i est neutre pour la multiplication. Tout nombre complexe non nul, x+iy C, possède un inverse relativement à la multiplmication donné par l expression (x+iy) = x x 2 +y 2 i y x 2 +y 2 Rappelons aussi que à chaque nombre complexe z C on associe un nombre complexe conjugué définit par l expression z C z = Re(z) iim(z) On vérifie facilement que la conjugaison des nombres complexes possède les propriétés suivantes :. z C, z = z; 2. z,z 2 C, z +z 2 = z + z 2 ; 3. z,z 2 C, z z 2 = z z 2 ; 4. z C, z z R + ; 5. z C, z = z z z ; 6. z R z = z; 7. z C, Re(z) = 2 (z + z) et Im(z) = (z z). 2i..2 Topologie de la droite complexe Dans ce paragraphe, on va transporter les éléments de la topologie euclidiènne de R 2 sur le plan complexe C via l identification Ψ : C R 2. Définition. Soit z C. Le nombre réel positif définit par l expression s appelle module du nombre complexe z. z := z z = (Re(z)) 2 +(Im(z)) 2

8 8 Fonctions d une variable complexe holomorphes Il est facile de vérifier que la fonction, : C R +, possède les propriétés suivantes :. z C, Re(z) z et Im(z) z ; 2. z C, z = z ; 3. z = z = ; 4. z,z 2 C, z z 2 = z z 2 ; 5. z,z 2 C, z +z 2 z + z 2. Notons que les propriétés 3), 4) et 5) montrent que la fonction : C R + définit une norme sur le plan complexe C vu comme espace vectoriel réel. Donc, à la norme on peut associer une distance en posant pour tous les éléments z = x+iy et ω = α+iβ C, d(z,ω) := z ω = (x α) 2 +(y β) 2 En effet, en utilisant l identification d identification Ψ : C R 2 on voit que la distance d(z,ω) n est autre que la distance enclidiènne de R 2 qui mesure la distance euclidienne entre les points Ψ(z) et Ψ(ω). En particulier, on déduit que la norme z = d(z,) (le module) n est autre que la distance euclidiènne séparant l origine Ψ() du point Ψ(z). Avec la distance d : C C R + on redéfinit sur le plan complexe C quelques éléments topologiques déjà définis en analyse II sur les espaces euclidiens R m.. Le disque ouvert de centre z C et de rayon R > est défini dans C par D(z,R) = {z C ; z z < R} 2. Le disque fermé de centre z C et de rayon R > est défini dans C par D(z,R) = {z C ; z z R} 3. On dira qu une suite de nombres complexes z n C converge vers a C si ( ε > )( n N)( n N), n n = z n a < ε Le nombrecomplexe a s appelle la limite de la suite de nombres complexes z n. La limite de z n quand il existe elle est unique et se note a = lim n + z n. 4. On dira qu une partie non vide F C est fermée dans (C, ) si toute suite d éléments z n F qui converge vers a C implique que a F. 5. On dira qu une partie non vide U C est ouverte dans (C, ) si son complémentaire C\U est fermé dans (C, ). 6. On dira que la partie non vide V C est un voisinage du point z V s il existe un réel r > tel que le disque ouvert D(z,r) V. 7. On dira qu une partie Ω C est connexe si Ω ne peut pas être contenu dans la réunion disjointe de deux ouverts de C. C est-à-dire, si U et U 2 sont deux ouverts de C tels que (U U 2 = et Ω U U 2 ) = U = ou U 2 = Autrement dit, on aura l une des deux possibilités suivantes :

9 Limite et continuité des fonctions à une variable complexe 9 soit que Ω U et Ω U 2 = ; ou soit que Ω U 2 et Ω U =. Exemple. Le plan complexe C, les disques ouverts (ou fermés), les rectangles, les segments de droites et les droites sont connexes dans le plan complexe C. Par contre, la réunion de deux droites parallèles, la réusion de disques disjoints, la réunion disjoints de deux cercles concentriques ne sont pas connexe dans C. Exercice. Pour toute partie non vide A C on pose c(a) = { z C ;z A}. ) Démontrer qu une partie A C est fermée (resp. ouverte) si et seulement si c(a) est fermée (resp. ouverte). 2) Démontrer que si A C est un voisinage de z A alors la partie c(a) est un voisinage du conjugué z. 3) Démontrer qu une partie A C est connexe si et seulement si c(a) est connexe..2 Limite et continuité des fonctions à une variable complexe Soit Ω C un sous-ensemble non vide. Étant donnée une fonction f : Ω C on lui associe deux fonctions réelles en posant u := Re(f) : Ω R et v := Im(f) : Ω R appelée respectivement la partie réelle et la partie imaginaire de f(z). Donc, une fonction à valeur complexe qui dépend d une seule variable complexe peut être vue comme étant une application définie sur Ω à valeur dans R 2 qui dépend de deux variables réelles comme il est illustré par le diagramme commutatif suivant, Ψ(Ω) Ψ Ω (u,v) R 2 f Ψ C où Ψ : C R 2 désigne l application d identification. Le diagramme commutatif précédent est équivalent à l expression suivante : z Ω, f(re(z)+iim(z)) = u(re(z),im(z)) +iv(re(z),im(z)) Dans le reste de ce paragraphe, on va examiner les questions de limite et de continuité pour les fonctions complexes à une variable complexe et on comparera ces notions avec le cas des applications qui dépendent de deux variables réelles. Quant à la question de dérivabilité des fonctions à une variable complexe elle sera étudée dans la prochaine section. Définition 2. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. On dira que f(z) tend vers un nombre complexe L C quand z Ω tend vers z C si, ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) L < ε.

10 Fonctions d une variable complexe holomorphes Comme pour le cas des fonctions réelles à une ou plusieurs variables réelles on vérifie que la limite de f(z) quand il existe au point z elle est unique et se note lim z z f(z) = L. Proposition. La fonction f(z) tend vers le nombre complexe L = a + ib au point z = x +iy si et seulement, si les parties réelle et imaginaire de f(z) tendent respectivement vers a et b au point (x,y ). Démonstration. Observerquesiz = x+iy etf(z) = u(x,y)+iv(x,y) onobtientlesinégalités : u(x,y) a f(z) L et v(x,y) b f(z) L. Si les limites lim f(z) et lim g(z) existent dans C on vérifie qu on a les formules suivantes, z z z z. lim (f(z)+g(z)) = lim f(z)+ lim g(z); z z z z z z ( ) 2. lim f(z)g(z) = lim f(z) lim g(z); z z z z z z lim f(z) f(z) 3. si lim g(z) alors lim z z z z g(z) = z z lim g(z). z z Proposition 2. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. La fonction f(z) possède une limite L C au point a C si et seulement, si pour toute suite z n C qui converge vers le point a, lim n + f(z n) = L. Exercice 2. Démontrer la proposition. Exemple 2. La fonction z C f(z) = z z n a pas de limite au point a = parce que si pour tout réel θ [,2π] fixé on considère la suite de nombres complexes, z n = n eiθ, on aura lim z n = tandis que la limite lim f(z z n n) = lim = e 2iθ dépend de θ. n + n + n + z n Définition 3. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. On dira que f(z) est continue au point z Ω si la limite lim z z f(z) = f(z ) ie. : ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) f(z ) < ε. Proposition 3. La fonction f(z) est continue au point z = x +iy si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont continues au point (x,y ). Démonstration. Observer que si pour tout z = x + iy on écrit f(z) = u(x,y) + iv(x,y) on obtient, u(x,y) u(x,y ) f(z) f(z ) et v(x,y) v(x,y ) f(z) f(z ). En appliquant les formules de calcul des limites des fonctions complexes à une variable complexe on déduit que si les fonctions f et g : Ω C sont continues alors leur somme f +g, leur produit fg et leur quotient f g sont continues sur leurs domaines de définition respectif. Exemple 3. Les fonctions suivantes sont continues sur leurs domaines de défiition :. z z = x iy, z z n = (x+iy) n ; 2. z z = z z 2 = x x 2 +y 2 i y x 2 +y 2 ;

11 Limite et continuité des fonctions à une variable complexe 3. z z = z z 2 = x x 2 +y 2 +i y x 2 +y 2. parce que leurs parties réelles et imaginaires sont continues sur leurs domaines de définition respectifs. Proposition 4. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. Alors, pour tout point a Ω les propositions suivantes sont équivalentes :. La fonction f(z) est continue au point a Ω. 2. Si z n Ω est une suite qui converge vers a Ω alors la suite image f(z n ) converge vers f(a). Proposition 5. Pour qu une fonction f : C C soit continue il faut et il suffit que l image inverse par f(z) de tout ouvert (resp. fermé) de C soit un ouvert (resp. fermé) de C. Exercice 3. Démontrer les deux propositions précédentes. Proposition 6. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Si une partie non vide Ω Ω est connexe alors son image f(ω ) est connexe dans C. Démonstration. Soit U et U deux ouverts de C tels que U U = et f(ω ) U U. Notons que puisque la fonction f(z) est continue il s ensuit que f (U) et f (U ) sont ouverts dans C et sont disjoints parce que U U = = f (U) f (U ) = Ainsi, comme la partie Ω est connexe et telle que Ω f (f(ω )) f (U) f (U ) on aura par exemple ( ) Ω f (U) et Ω f (U ) = = ( ) f(ω ) U et f(ω ) U = Par consésquent, la partie image f(ω ) est connexe dans C. Exercice 4. Démontrer que si f : C C est une fonction continue alors le sous-ensemble Ω = {z C ;f(z) } est un ouvert. Exercice 5. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Démontrer que si au point z Ω, f(z ) alors il existe un réel r > tel que le disque ouvert D(z,r) Ω et pour tout z D(z,r) on a f(z) > f(z ). 2 Exercice 6. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Démontrer que les fonctions suivantes sont continues, z Ω f(z), z Ω f( z), z Ω f( z)

12 2 Fonctions d une variable complexe holomorphes.3 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe.3. Applications C-linéaires de C dans C Rappelons que le corps des nombres complexes C on peut le voir soit comme un espace vectoriel sur R de dimension deux, ou soit comme un espace vectoriel sur C lui même dans ce cas sa dimension complexe ezst égale à un ie. : dim R C = 2 et dim C C = Lorsque le corps C est vu comme un R-espace vectoriel sa base canonique est constituée par les nombres complexes {, i}. Donc, grâce à la base canonique {, i} qu on pourra décomposer tout nombre complexe z C en partie réelle et partie imaginaire z = x +y i. Lorsque C est vu comme un C-espace vectoriel dans ce cas sa base canonique est constituée par l élément neutre de la multiplication {}. Ceci se traduit par le fait que chaque nombre complexe z C s écrit z = z. Le fait de voir le corps des nombres complexes C soit comme un R-espace vectoriel ou soit comme un C-espace vectoriel divise l esnemble des applications linéaires A : C C en deux classes d applications :. Applications R-linéaires : z,z 2 C,A(z +z 2 ) = A(z )+A(z 2 ); z C, λ R,A(λ z) = λa(z). 2. Applications C-linéaires : z,z 2 C,A(z +z 2 ) = A(z )+A(z 2 ); z C, λ C,A(λ z) = λa(z). Notons que puisque R C il en résulte que toute application C-linéaire A : C C est R-linéaire et on a z C, A(z) = A(z ) = za() où A() C Ainsi, si on pose a = A() on voit que l application C-linéaire A : C C a pour expression, z C, A(z) = a z Maintenant, si on regarde l application C-linéaire A : C C comme étant R-linéaire alors en munissant le plan complexe C par sa base canonique {,i} on conclut que pour tout nombre complexe z = x+iy on obtient : A(x+iy) = a z = (α+iβ) (x+iy) = αx βy +i(xβ +αy) ( ) ( ) α β x = β α y

13 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 3 Donc, relativement à base canonique {, i} du plan complexe C la matrice réelle d une application C-linéaire A : C C est donnée par ( ) α β où α+iβ = A() = a β α Inversement, considérons une application R-linéaire A : C R et munissons le plan complexe C par sa base canonique {, i}. Donc, les colonnes de la matrice de l application R-linéaire relativement à la base {,i} sont égales aux vecteurs A() et A(i). Autrement dit, si on pose A() = α+iβ et A(i) = γ +iλ on aura ( α γ ) β λ Ainsi, si on veut que l application A : C R soit C-linéaire on aura en particulier A(i) = ia() = γ +iλ = i(α+iβ) = γ = β et λ = α Par conséquent, pour qu une application R-linéaire A : C C soit C-linéaire il faut et il suffut que sa matrice réelle relativement à la base canonique {,i} soit de la forme ( ) ( ) α γ α β = où α+iβ = A() β λ β α Proposition 7. Soit A : C C une application C-linéaire. Relativement à la base canonique {,i} du corps des nombres complexes C on a les propriétés suivantes : ( ) α β. La matrice réelle de l application A est égale à où α+iβ = A(). β α 2. Le déterminant de la matrice réelle de l application A est égal à A() 2 = α 2 +β L application A est inversible si et seulement si A(). En conséquence, l ensemble des matrices des applications C-linéaires A : C C est un corps en bijection canonique avec le corps des nombres complexes C ie. : ( ) α β { ;α+iβ C} C β α Exemple 4. Considérons l application définie par A : C C z i z Puisque pour tout réel λ on a A(λz) = i( λ z) = λa(z), l application A est donc R-linéaire. Mais, puisque pour tout z C on a : A(iz) = i(ī z) = z et ia(z) = i(i z) = z = A(iz) ia(z) on en déduit que l application A n est pas C-linéaire. Notons aussi que si on munit le plan complexe C par la( base canonique ) {,i} on voit que la matrice réelle de l application R-linéaire A est égale à et que son déterminant Dét(A) =. Cette remarque nous donne une confirmation matricielle du fait que A n est pas C-linéaire.

14 4 Fonctions d une variable complexe holomorphes.3.2 Fonctions holomorphes Définition 4. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. On dira que f(z) est C-dérivable au point z Ω si le taux d accroissement f(z) f(z ) admet une limite z z dans C quand z Ω\{z } tend vers z. La limite f(z) f(z ) lim z z z z z z quand il existe elle est unique, elle s appelle dérivée de la fonction f(z) au point z et se note f (z ) ou df dz (z ). Proposition 8. Si la fonction f : Ω C est dérivable au point z Ω alors elle est continue au point z. Démonstration. Remarquer que pour tout nombre complexe z Ω\{z } on peut écrire f(z) f(z ) = f(z) f(z ) z z (z z ) et ainsi comme le taux d acroissement f(z) f(z ) tend vers f (z ) quand z z tend vers z z zéro on aura lim f(z) = f(z ). Donc, f(z) est continue au point z. z z Dans la suite de ce chapitre s il n y a pas un risque de confusion nous dirons dérivable pour désigner une fonction qui est C-dérivable. Définition 5. On dira que la fonction f : Ω C est holomorphe au point z Ω si f est dérivable sur un voisinage V Ω de z. Notons que si f : Ω C est une fonction holomorphe on lui associe une fonction dérivée f : Ω C qui envoit z Ω sur la dérivée f (z). Commepour le cas des fonctions à unevariable réelle on vérifiequesi f et g sont holomorphes sur un ouvert non vide Ω C on aura les formules de dérivations suivantes,. (f +g) = f +g, 2. (fg) = f g+fg, ( f f 3. = g) g fg (g) 2, 4. (f g) = (f g)g, 5. si g est holomorphe sur un ouvert non vide Ω tel que g(ω ) Ω alors la fonction composée f g est holomorphe sur Ω et sa fonction dérivée (f g) = (f g)g. Proposition 9. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. Alors les applications suivantes sont équivalentes,. La fonction f est dérivable au point z Ω. 2. Il existe un nombre complexe λ C qui satisfait à la propriété suivante : ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) f(z ) f (z ) (z z ) < ε z z

15 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 5 3. Il existe une application A : C C qui est C-linéaire et telle que ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) f(z ) A(z z ) < ε z z Démonstration. ) = 2) Il suffit qu on écrive la définition de la limite pour f(z) f(z ) lim = λ z z z z z z tout en utilisant les quantificateurs universels logiques. 2) = 3) Remarquer que si pour tout z C on pose A(z) = f (z ) z on obtient une application C-linéaire et ainsi on pourra réecrire 2) en utilisant l application A(z). 3) = ) Observer que puisque l application A : C C est C-linéaire on aura pour tout z C, A(z) = A()z, donc en portant A(z) dans la proposition 3) on en déduit que la dérivée de f(z) au point z est égale à A() = f (z ). Définition 6. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dérivable au point z Ω. L application C-linéaire df(z ) : C C u f (z ) u s appelle différentielle de f(z) au point z. Notons que puisque l application identique z z est holomorphe et sa fonction dérivée est égale à la constante un donc sa différentielle dz est l application identique ie. : dz : C C u u Ainsi, suite à cette remarque on pourra exprimer la différentielle de toute fonction holomorphe f(z) par l expression classique rencontrée au niveau des fonctions réelles à une seule variable réelle, df(z) = f (z) dz u C, df(z)(u) = f (z)dz(u) = f (z)u Observonsque si on pose f (z ) = a+ib C on déduitque la matrice réelle de la différentielle df(z ) : C C est donnée par l expression ( a b b a Exemple 5. ) La fonction g(z) = z 2 est continue sur C et elle est dérivable au point z = parce que g(z) g() lim z z z ) z z = lim z z = z z lim = = g () z

16 6 Fonctions d une variable complexe holomorphes Observons que pour tous z C et a C tels que z a le taux d acroissement g(z) g(a) z a z z aā = z a (z a) z +a( z ā) = z a ā = z +a z z a Donc, si on prend la suite de nombres complexes z n = a + n eiθ avec n N on obtient la limite suivante g(z n ) g(a) ( lim = lim ā+ n + z n a n + n e iθ +ae 2iθ) = ā+ae 2iθ qui dépend de l angle θ, or ceci implique que pour tout a C la fonction g(z) = z z n est pas dérivable au point a. 2) Pour tout entier n la fonction f(z) = z n est holomorphe sur C et sa dérivée au point z C est donnée par f (z ) = z z lim zn (z )n z z z z = lim z z (z n +z n 2 z + +z(z ) n 2 +(z ) n ) = n(z ) n Maintenant, puisque on sait que les monômes z z n sont holomorphes sur C on déduit que toutes les fonctions polynômiales complexes P(z) C[z] sont holomorphes sur C. De même, on conclut que toute fraction polynômiale P(z) C(z) est holomorphe sur son domaine Q(z) définition qui est égal à l ouvert U = {z C ;Q(z) }. Exercice 7 (La régle de l Hospital). Soit Ω C un ouvert non vide, et soient f et g : Ω C deux fonctions dérivables au point z Ω telles que f(z ) = g(z ) =. Démontrer que si la limite z z lim f (z) g existe alors on a (z) z z f(z) lim z z g(z) = lim f (z) z z g (z) z z z z Théorème (Inverse local). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Si au point z Ω la dérivée f (z ) alors il existe un réel tel que le disque ouvert D(z,r) Ω de sorte que la restriction f : D(z,r) C soit injective et sa fonction inverse f : f(d(z,r)) C est holomorphe. Démonstration. Admise..3.3 Conditions de Cauchy-Riemann Théorème 2 (Conditions decauchy-riemann). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction. Pour que f(z) soit C-dérivable au point z Ω il faut et il suffit que la partie

17 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 7 réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y) de f(z) soient différentiables au point (x,y ) et que leurs dérivées partielles au point (x,y ) vérifient les conditions suivantes dites de Cauchy-Riemann : u x (x,y ) = v y (x,y ) et u y (x,y ) = v x (x,y ) Démonstration. ) Supposons que f est C-dérivable au point z Ω. Donc, par définition de la dérivée on peut écrire ( ε > )( η > )( z Ω), z z < η = f(z) f(z ) (z z )f (z ) < ε z z Observons que si on pose z = x+iy, z = x +iy et f (z ) = a+ib C on voit que la partie réelle et la partie imaginaire du nombre complexe, E(z,z ) = f(z) f(z ) (z z )f (z ) sont données par les expressions suivantes, { Re(E(z,z )) = u(x,y) u(x,y ) [(x x )a (y y )b] Im(E(z,z )) = v(x,y) v(x,y ) [(x x )b+(y y )a] Ainsi, puisque Re(E(z,z )) E(z,z ) et Im(E(z,z )) E(z,z ) de la définition de dérivabilité de f au point z on voit que dès que le nombrecomplexe z Ω vérifie z z < η on aura les deux inégalités : u(x,y) u(x,y ) [(x x )a (y y )b] ε (x x ) 2 +(y y ) 2 et v(x,y) v(x,y ) [(x x )b+(y y )a] ε (x x ) 2 +(y y ) 2 qui impliquent que u(x,y) et v(x,y) sont différentiables au point (x,y ) et que leurs dérivées partielles respectives sont données au point (x,y ) par les expressions, u x (x,y ) = a u y (x,y ) = b et v x (x,y ) = b v y (x,y ) = a Ainsi, en comparant les lignes de ces deux systèmes on déduit que u(x,y) et v(x,y) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann au point (x,y ) ie. : u x (x,y ) = v y (x,y ) u y (x,y ) = v x (x,y ) 2) La réciproque est évidente. Il suffit qu on écrive la définition de différentiabilité au point (x,y ) pour la partie réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y ) et grâce au conditions de Cauchy-Riemann on en déduira la C-dérivabilité de la fonction à variable complexe f(z).

18 8 Fonctions d une variable complexe holomorphes Corollaire. Si la fonction f(z) = u(x,y)+iv(x,y) est dérivable au point z = x +iy par rapport à z alors sa dérivée est donnée par les expressions suivantes ( u f (z ) = x (x,y )+i v ) ( u x (x,y ) = i y (x,y )+i v ( u = x (x,y ) i u ) y (x,y ) = ) y (x,y ) ) ( v y (x,y )+i v x (x,y ) Proposition. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont les partie réelle et imaginaire sont notées u(x,y) et v(x,y). Si les quatre dérivées partielles u x, u y, v v et x y sont continues au point (x,y ) et vérifient les conditions de Cauchy-Riemann u x (x,y ) = v y (x,y ) et alors la fonction f(z) est dérivable au point z = x +iy. u y (x,y ) = v x (x,y ) Démonstration. Remarquer que la continuité des dérivées partielles de u(x, y) et v(x, y) implique qu elles sont différentiables au point (x,y ), et puis appliquer le théorème précédent. Exemple 6. ) La fonction f(z) = z est continue sur C mais puisque la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) sont égales à { u(x,y) = x v(x,y) = y = u v (x,y) = (x,y) = x y on en déduit que la fonction f(z) = z n est pas dérivable sur les points de C. 2) On définit l exponentielle d un nombre complexe z = x+iy C par l expression, e z = e x+iy = e x (cos(y)+isin(y)) La fonction z e z est holomorphe sur C car ses parties réelles et imaginaires sont de classe C et vérifient les conditions de Cauchy-Riemann { u(x,y) = e x cos(y) v(x,y) = e x = x (u(x,y)) = ex cos(y) = y (v(x,y)) sin(y) y (u(x,y)) = ex sin(y) = x (v(x,y)) 3) Les conditions de Cauchy-Riemann ne sont pas suffisantes pour assurer la dérivabilité d une fonction à une variable complexe. Par exemple, si on considère la fonction z 2 z si z f(z) = si z = on obtient une fonction non dérivable au point z = parce que pour tout z le taux d acroissement f(z) f() = z z z n a pas de limite quand z C tend vers zéro. Ce pendant, puisque la partie réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y) de f(z) sont égales à : x 3 3xy 2 u(x,y) = x 2 +y 2 si (x,y) (,) si (x,y) = (,)

19 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 9 et v(x,y) = 3x 2 y y 3 x 2 +y 2 si (x,y) (,) si (x,y) = (,) on voit que leurs dérivées partielles sont données par et u x u y u(x,) u(,) (,) = lim = x x x (,) = lim x x v x (,) = v y (,) = lim x x u(,y) u(,) y = lim v(x,) v(,) = x x x v(,y) v(,) y = et donc elles vérifient les conditions de Cauchy-Riemann au point (, ), u (,) = v x y (,) = et u y malgré que f(z) n est pas dérivable au point z =. (,) = v x (,) = Notons qu en effet la partie réelle e de f(z) n est pas différentiable au point (,) parce que si dans le rapport, U(x,y) = u(x,y) u(,) x u x (,) yx u x (,) = x 2 +y 2 4xy 2 (x 2 +y 2 ) 3/2 on passe aux coordonnées polaires on obtient l expression U(rcos(θ),rsin(θ)) = 4cos(θ)sin 2 (θ) qui prouve que U(x,y) n a pas de limite quand (x,y) tend vers (,). L exemple précédent nous montre que dans le théorème, à côté des conditions de Cauchy- Riemann, l hypothèse de différentiabilité des parties réelle et imaginaire de f(z) est essentielle pour assurer la dérivabilité de f(z). Exercice 8. Sur le plan complexe C on définit une fonction à valeur complexe par : f(z) = si z = z 5 z 4 si z ) Montrer que la fonction f : C C vérifie les conditions de Cauchy-Riemann au point (,). 2) La fonction f : C C est-elle C-différentiable au point (,)?

20 2 Fonctions d une variable complexe holomorphes Exercice 9. Soient Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dérivable. ) Montrer que la matrice et le déterminant jacobiens de l application f(x,y) = u(x,y) + iv(x,y) sont donnés au point (x,y ) Ω par, J(f,(x,y )) = u x (x,y ) u y (x,y ) u y (x,y ) ( ) u et Det J(f,(x,y )) = f (z ) 2 x (x,y ) 2) Montrer qu en coordonnées polaires les conditions de Cuachy-Riemann s écrivent sous la forme, u r = v r θ et v r = u r θ Exercice. Soit Ω C un ouvert convexe non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Démontrer que si l une des fonctions suivantes u(x,y) = Re(f(z)), r(x,y) = f(z), v(x,y) = Im(f(z)), θ(x,y) = arg(f(z)) est contante alors f(z) est constante sur Ω..3.4 C-différentiablité d ordre supérieur Les fonctions dérivées d ordre suppérieur à n d une fonction holomorphes f : Ω C se définient en utilisant la formule de récurrence, z Ω, f (n+) (z) = ( ) f (n) (z) Dans la section 3, on démontrera que toute fonction holomorphe est indéfiniment dérivable en tant que fonction à variable complexe. De plus, on démontrera que toute fonction holomorphe se développe en une série entière au voisinage de chaque point de son domaine d holomorphie. Ce résultat marque la différence fondamentale entre les fonctions à une variable complexe holomorphes (ie. C-dérivables) et les applications réelles à plusieurs variables réelles R-dérivables. Théorème 3. Soit n a n (z z ) n une série entière de rayon de convergence R >. La fonction f(z) définie sur le disque ouvert D(z,R) par la série entière z f(z) := n a n (z z ) n est holomorphe et sa dérivée est donnée première est donnée par la série entière z f (z) := n na n (z z ) n En effet, la fonction f(z) est indéfinement C-dérivable et on a f (n) (z ) = n!a n, n N.

21 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 2 Démonstration. Il suffit qu on donne une preuve pour le cas des séries entières centrées au point z =. Notons aussi que les deux séries entières a n z n et n z n n na n ont le même rayon de convergence R >, donc pour tout réel < r < R ces deux séries entiès convergent normalement surle disqueferméd(,r), deplusla sérienumérique n n a n r n converge. Observons que si pour z D(,R) on calcul la différence f(z) f(z ) lorsque le nombre complexe z D(,R)\{z } on obtient f(z) f(z ) z z = = n a n (z n (z ) n ) z z n a n ( z n +z n 2 z + z(z ) n 2 +(z ) n ) Ainsi, puisque pour z < r et z < r on a la mojoration a n (z n +z n 2 z + z(z ) n 2 +(z ) n ) < n a n r n et puisque la série numérique n n a n r n converge on en déduit que la fonction F(z) = n a n ( z n +z n 2 z + z(z ) n 2 +(z ) n ) converge normalement sur le disque fermé D(, r), donc la limite f(z) f(z ) lim = lim F(z) = na z z n (z ) n = f (z ) z z z z z z n Par conséquent, la fonction f(z) est holomorphe sur le disque D(,R)..3.5 Fonctions harmoniques Définition 7. Soit Ω R 2 un ouvert non vide. On dira que la fonction u : Ω R est harmonique si elle est solution de l équation de Laplace : u = 2 u x u y 2 = Proposition. Soient Ω R 2 un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Si les parties réelle et imagiaire de la fonction f(z) sont de classe C 2 sur Ω alors elles sont harmoniques. Démonstration. Notons que puisque f(z) = u(x,y)+iv(x,y) est holomorphe sur Ω les fonctions u(x, y) et v(x, y) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann i.e. : (x,y) Ω, u x = v y et u y = v x

22 22 Fonctions d une variable complexe holomorphes Ainsi, comme les fonctions u et v sont de classe C 2 on pourra écrire (x,y) Ω : 2 u x 2 = ( u ) x x 2 v x 2 = ( v ) x x ( v ) = x y = ( u ) x y ( v ) = y x = ( u ) y x ( = u ) y y = ( v ) y y = u = = v = Donc, la partie réelle et la partie imaginaire de f(z) sont harmoniques sur Ω. Définition 8. Soient Ω R 2 un ouvert non vide et u : Ω R une fonction harmonique. Toute fonction v : Ω R tel que le couple (u,v) vérifie les conditions de Cauchy-Riemann s appelle conjuguée harmonique de la fonction u. Proposition 2. Soient Ω R 2 un ouvert non vide et u : Ω R une fonction harmonique. Au voisinage de chaque point z Ω la fonction u possède une conjuguée harmonique qui est unique à une constante près. Démonstration. Observons que si pour tout (x,y) Ω on pose P = u y obtient une forme différentielle sur Ω : et Q = u x on ω = Pdx+Qdy = u u dx y x dy = P y = 2 u y 2 = u 2 x 2 = Q x qui est donc fermée. Donc, d après le théorème de H. Poincaré, pour tous (x,y ) Ω et r > très petit tel que le disque ouvert D((x,y ),r) Ω la forme différentielle ω = Pdx+Qdy est exacte sur D((x,y ),r) (car le disque est convexe). Autrement dit, il existe une fonction v(x,y) qui est de classe C 2 sur D((x,y ),r), unique à une constante près et dont la différentielle totale dv = v v dx+ dy = ω = x y v x = P = u y v y = Q = u x Notons que le couple de fonctions (u, v) vérifient les conditions de Cauchy-Riemann et que les derivées partielles secondes de v(x, y) sont données par : 2 v 2 u = x x y 2 v y 2 = 2 u y x = v = Par conséquent, sur le disque ouvert D((x,y ),r) Ω la fonction v(x,y) est une conjuguée harmonique de la fonction u(x, y). Corollaire 2. Soit Ω C un ouvert non vide. Une fonction u(x,y) de classe C 2 est harmonique si et seulement si elle est la partie réelle (ou imagiaire) d une certaine fonction holomorphe sur un ouvert non vide Ω Ω.

23 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe 23 Exemple 7. Vérifions que la fonction u(x,y) = cherchons sa conjuguée harmonique v(x, y). En effet, puisque pour tout (x,y) (,) on a et x x 2 +y 2 est harmonique sur R2 \{(,)} et u x = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = 2 u x 2 = 2x(x2 +y 2 ) 4x(x 2 y 2 ) (x 2 +y 2 ) 3 = 2x(3y2 x 2 ) (x 2 +y 2 ) 3 u y = 2xy (x 2 +y 2 ) 2 = 2 u y 2 = 2x(x2 +y 2 )+8xy 2 (x 2 +y 2 ) 3 = 2x( 3y2 +x 2 ) (x 2 +y 2 ) 3 x on conclut que la fonction u(x,y) = x 2 est harmonique sur son domaine de définition. +y2 Cherchons une fonction harmonique v(x, y) qui soit solution du système des équations aux dérivées partielles suivant : v y v x = u y = = u x = y2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 = 2xy (x 2 +y 2 ) 2 v = y x 2 +y 2 +ϕ(x) v x = 2xy (x 2 +y 2 ) 2 +ϕ (x) Ainsi, comme ϕ (x) = on conclut que la fonction v(x,y) = y x 2 +y2+cte est une conjuguée x harmonique de la fonction harmonique u(x, y) = x 2 +y 2. Notons aussi que pour tout z = x+iy on peut écrire que u(x,y)+iv(x,y) = = x x 2 +y 2 +i y x 2 +y 2 +icte z z 2 +icte = z +icte Exercice. Soit f(z) une fonction holomorphe sur un ouvert non vide Ω C. ) Montrer que sur Ω on a les formules de dérivations suivantes, [ ( )] 2 [ )] 2 ( ) 2;. f(z) + f(z) = f x y( (z) 2. 2 ( x 2 f(z) )+ 2 ( ) y 2 f(z) = 4 f (z) 2. ( ) 2) En déduire que sur l ouvert {z Ω f(z) } la fonction Log f(z) est harmonique. 3) Montrer que la fonction arg(f(z)) est harmonique sur son domaine de définition. 4) En appliquant les formules établies dans ) démontrer que toute fonction homolomorphe sur Ω qui vérifie f(z) = z 2 +c 2 est constante. Exercice 2. Vérifier que les fonctions suivantes sont harmoniques et trouver leurs fonctions harmoniques conjuguées, e x sin(y), Log(x 2 +y 2 ), x 3 3xy 2 +x 2 y 2 xy +x+y

24 24 Fonctions d une variable complexe holomorphes.3.6 Dérivations complexes symboliques Soit Ω R 2 un ouvert non vide et f : Ω R une fonction de classe C. Notons que si on pose z = x+iy C on pourra écrire (x,y) Ω, Ainsi, si pour tout point (x,y) Ω C on pose f(x,y) = f( z + z 2, z z ) 2i F(z, z) := f( z + z 2, z z ) 2i alors en interprétant z et z comme étant des variables indépendants les régle de dérivation d une fonction composée qui dépend de plusieurs variables nous permet de déduire que les dérivées partielles de la fonction F(z, z) sont données par les expressions suivantes : f + z (F(z, z)) = (z z x = ( f 2 = ( 2 = 2 De la même façon on trouve que 2, z z ) + z (z 2i z 2 ) x (x,y) i f y (x,y) ) (f(x,y)) x i y ( x i y f + z (F(z, z))) = (z z x = ( f 2 = ( 2 = 2 ) (F(z, z)) 2, z z ) + z (z 2i z 2 ) x (x,y)+i f y (x,y) ) (f(x,y)) x +i y ( x +i y ) (F(z, z)) f + z )+ (z y f + z )+ (z y 2, z z ) 2i z 2, z z ) 2i z z (z ) 2i z (z ) 2i Suite à ces calculs on déduit que les dérivées partielles par rapport aux variables complexes indépendants z et z sont reliées aux dérivées partielles par rapport aux variables réelles indépendantes x et y par les formules suivantes : z = ( 2 x i ) y et z = ( 2 x +i ) y Si maintenant f(x,y) = u(x,y)+iv(x,y) est une fonction dont les composantes sont de classe C on pourra alors définir ses dérivées partielles par rapport aux variables complexes z et z par les expressions suivantes : f z = u z +i v z et f z = u z +i v z Proposition 3. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Si u(x,y) = Re(f(z)) et v(x,y) = Im(f(z)) alors on a les formules suivantes,

25 C-Différentiabilité des fonctions à une variable complexe u z = 2 f (z) et u z = 2 f (z); v z = i 2 f (z) et v z = i 2 f (z); Démonstration. Utiliser les conditions de Cauchy-Riemann. Corollaire 3. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont la partie réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y) sont différentiables sur Ω. Alors, la fonction f(z) est holomorphe si et seulement si sa dérivée partielle f z =. Proposition 4. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont les parties réelle et imaginaire sont de classe C 2. Alors, le Laplacien de la fonction f(z) est donné par la formule (f) = 4 2 f z z = 4 2 f z z Démonstration. Notons que si u(x,y) est une fonction réelle de classe C 2 on aura 4 2 u z z = 2 ( u ) z x +i u y ( = x i )( u ) y x +i u y = 2 u x 2 +i 2 u x y i 2 u y x + 2 u y 2 = (u) Donc, si les parties réelle et imaginaire de la fonction f(z) = u(x,y)+iv(x,y) sont de classe C 2 on aura, 4 2 f z z = 4 2 u z z +4i 2 v z z. D où, 4 2 f = (u)+i (v) = (f). z z Corollaire 4. Une fonction réelle u(x,y) de classe C 2 est harmonique si et seulement si elle 2 u est solution de l équation aux dérivées partielles, z z =. Corollaire 5 (Équation de Laplace). La solution générale de l équation de Laplace (u(x,y)) = s écrit sous la forme, u(x,y) = F(z)+G( z), où F et G sont deux fonctions à deux variables réelles de classe C 2. Corollaire 6 (Équation de Poisson). Soit ρ(x,y) une fonction continue. La solution générale de l équation de Poisson, (u(x,y)) = ρ(x,y) est égale à la somme u (x,y)+u(x,y) avec u (x,y) est une solution particulière de l équation de Poisson et u(x, y) est une fonction harmonique arbitraire (ie. solution de l équation de Laplace).

26 26 Fonctions d une variable complexe holomorphes Démonstration. Observer que si u et u sont des solutions de l équation de Poisson on aura, (u ) = (u) = ρ, donc (u u ) =. Donc, la solution générale de l équation de Poisson est la somme d une solution particulière et d une fonction harmonique. Exemple 8. ) D après le résultat du corollaire on voit quepour tout entiern le polynôme de degré deux à deux variables, est une fonction harmonique. H n (x,y) = 2 [(x+iy)n +(x iy) n ] = k=n C k n xk y n k cos((n k) π 2 ) k= 2) Cherchons la solution générale de l équation de Poisson : (u) = x+y Pour chercher une solution particulière u (x,y) de l équation de Poisson (u) = x + y il suffit qu on remplace les coordonnées cartésiènnes x et y par les variables complexes z et z ie. : (u) = x+y 4 2 u z z = 2 (z + z)+ 2i (z z) = 2 ( i)z + 2 (+i) z) Ainsi, par intégration par rapport à z et z on trouve qu une solution particulère de l équation de Poisson (u) = x+y est donnée par la fonction u (x,y) = 6 ( i)z2 z + 6 (+i)( z)2 z = 8 (x3 +x 2 y +xy 2 +y 3 ) Donc, la solution générale de l équation de Poisson (u) = x+y est la somme u(x,y)+ 8 (x3 +x 2 y +xy 2 +y 3 ) avec u(x, y) est une fonction harmonique arbitraire. Exercice 3. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont les parties réelle et imaginaire sont de classe C. Démontrer que. z (f(z)) = z (f(z)); 2. z (f(z)) = z (f(z)); 3. (f(z)) = (f(z)). Exercice 4. Montrer que si f(z) est holomorphe sur l ouvert Ω C alors la fonction est holomorphe. g(z) = f( z), z Ω = { z C ; z Ω}

27 Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes 27 Exercice 5. Trouver la dérivée seconde mixte 4 2 z z = des fonctions suivantes : z p, e p z, Log z a, Log(+ z 2 ), arctg( + z z ) où p R et a C sont des constantes. Exercice 6. Resoudre les équations équations de Poisson suivantes :. (u) = x 3 +y 3 ; 2. (u) = xy 2 ; 3. (u) = sin(x+y);.4 Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes.4. L exponentielle complexe z e z Définition 9. On définit l exponentielle d un nombre complexe z C par l expression z = x+iy z z := e x (cos(y)+isin(y)) Si on désigne par u(x,y) = e x cos(y) la partie réelle et par v(x,y) = e x sin(y) la partie imaginaire de l exponentielle complexe e z on obtient deux fonctions de classe C sur R 2, de plus, comme en tout point de R 2 on a les conditions de Cauchy-Riemann, u x = v y et u y = v x on déduit alors que la fonction exponentielle z e z est holomorphe sur C. La proposition suivante nous donnera le dérveloppement de l exponentielle complexe en série entière. Proposition 5. L exponentielle de tout nombre complexe z C est égal à la somme de la série entière : e z = +z + z2 2! + z3 zn + + 3! n! + Démonstration. ) Notons que d près la règle de D Alembert le rayon de convergence de la série entière +z+ z2 2! +z3 3! + +zn + est infini, donc sa somme f(z) définie une fonction n! holomorphe sur le plan comlplexe C dont la fonction dérivée vérifie la relation z C, f (z) = f(z) 2) Notons aussi que si on porte le nombrecomplexe z = x+iy dans l expression de la fonction f(z) on obtient une application F : R 2 C définie par une série à deux variables, F(x,y) = f(x+iy) = n n! (x+iy)n

28 28 Fonctions d une variable complexe holomorphes L application F(x,y) est différentiable sur le plan réel R 2 et ses dérivées partielles premières vérifient en chaque point (x,y) R 2, F x (x,y) = F(x,y) et F (x,y) = if(x,y) y Ainsi, on remarque que si pour tout x et y R on a pose, G(x,y) = F(x,y)e x e iy on obtient une application, G : R 2 C qui est différentiable et dont les dérivées partielles premières sont nulles : G F (x,y) = x x (x,y)e x e iy F(x,y)e x e iy = G F (x,y) = y y (x,y)e x e iy if(x,y)e x e iy = Donc, puisque le plan R 2 est convexe la fonction G(x,y) est constante, et comme on a G(,) = on en déduit que pour tout (x,y) R 2, F(x,y) = e x e iy. Autrement dit, pour tout nombre complexe z = x+iy C la somme f(z) = z n n! = ex e iy = e z. n La définition de l exponentielle complexe et la proposition précédente permettent de déduire qu on a les propriétés suivantes : de z. z C, dz = ez ; 2. exp(c) := {e z ; z C} = C ; 3. z,z C, e z+z = e z e z ; 4. z C, e z = e z ; 5. k Z, z C, e z+2kπi = e z ;.4.2 Logarithmes complexes z Log(z) Au paragraphe précédent on a vu que l exponentielle complexe z e z est holomorphe sur C, 2πi-périodique, non injective et son image exp(c) = C. Donc, pour tout nombrecomplexe z C il existe au moins un nombre complexe u(z) C solution de l équation e X = z. Définition. Soient z C et u C. Si l exponentielle complexe e u = z on dira que le nombre complexe u C est un logarithme de z C. Il est facille de vérifier que pour tout nombres complexes z C si on utilise l expression de l exponentielle complexe (i.e. e x+iy = e x e iy ) on pourra trouver un logarithme complexe u = x+iy C de z tel que u = Log( z )+iarg(z) où arg(z) < 2π

29 Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes 29 Notons que si pour tout nombre complexe z C on définit suppose que son argument arg(z) [, 2π[ on obtient une correspondance C C z Log( z )+iarg(z) dont la partie réelle Log( z ) est différentielle sur C tandis que la partie imaginaire arg(z) n est pas continue sur la demi-droite réelle R +. Pour confirmer ce fait observons que si pour ε > fixé on considérons une application continue γ :] ε,ε[ C telle que γ() = et t >, Im(γ(t)) > resp. t <, Im(γ(t)) < (voir la figure) on voit que les deux limites suivantes sont différentes : lim(log( γ(t) ) + iarg(γ(t))) = et lim(log( γ(t) )+iarg(γ(t))) = 2πi t t> t t< Ci-dessous pour remédier la question de continuité du logarithme complexe on va couper le paln complexe le long d une demi-droite infinie O d origine O. Dans la littérature d analyse complexe le point O s appelle point de branchement et la demi-droite O s appelle coupure. Rappelons que d après le théorème de la fonction inverse puisque la dérivée dez dz = ez est non nulle tout point z C possède un voisinage V z C sur lequel la fonction inverse, z u(z), de l exponentielle complexe (ie. e u(z) = z) est holomorphe. Ci-dessous, on va chercher le domaine de définition maximal sur lequel le logarithme complexe vue comme fonction inverse de l exponentielle soit holomorphe. Notons que si u C est solution particulière de l équation e X = z la 2πi-périodicité de l exponentielle complexe implique que l ensemble des solutions de l équation e X = z est infini et est égal à {u +2kπi ;k Z}. u 2 2π u π u π u 2π u 2

30 3 Fonctions d une variable complexe holomorphes Observons que si on restreint l exponentielle complexe z e z sur les ouverts de type D k = {x+iy C ;x R et (2k )π < y < (2k +)π} où k Z elle devient injective et son image exp(d k ) = U π = C \ {x + i ; x R }. Ainsi, pour tout nombre complexe z U π il existe un unique logarithme complexe qui appartient à l ouvert D k qu on désignera dans la suite par, Log k (z). Par conséquent, puisque sur l ouvert D k l exponentielle complexe est holomorphe injectif et vérifie la relation exp(log k (z)) = z le théorème de l inverse locale implique que pour tout entier k Z la fonction logarithme complexe Log k : U π D k z Log k est holomorphe et sa fonction dérivée est donnée par l expression z U π, d dz (Log k(z)) = z Définition. La fonction logarithme complexe Log : U π D z Log( z )+iarg(z) s appelle la détermination (ou branche) principale du logarithme complexe. π arg(z) Log(z) z Log( z ) π Ainsi, grâce à la détermination principale du logarithme complexe Log : U π D on déduit que pour tout entier k Z on peut associer à chaque nombre complexe z U π un unique logarithme complexe qui appartient à l ouvert D k défini par : Log k (z) = Log (z)+2kπi tel que exp(log k (z)) = z Notons que puisque à chaque nombre complexe z U π on associe une infinité de logarithmes complexes {Log k (z) = Log (z)+2kπi ; k Z} dans la littérature d analyse complexe on dit que le logarithme complexe est une fonction multiforme ou multiplivalent.

31 Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes 3 Dans la suite, s il n y a aucune confusion à craindre on désignera la déterminantion principale du logarithme complexe que par le symbole Log. Notons aussi lorsqu on parlle du logarithme complexe cela sous entend qu il s agit de la détermination principale du logarithme complexe. La détermination principale du logarithmique complexe prolonge le logarithme népérien de l ouvert R + sur l ouvert U π mais ne préserve pas la propriété classique qui consiste à transformer le produit de deux nombres complexes en une somme de leurs logarithmes complexes. D ailleurs on ne doit pas s attendre à ce que le logarithme complexe devient un homomorphisme de groupes parce que son domaine de définition U π n est pas un sous-groupe multiplicatif de C. Toutefois on a la : Proposition 6. Pour tout couple de nombres complexes z et z 2 éléments de l ouvert U π on a les expressions suivantes : Log(z z 2 ) = Log(z )+Log(z 2 )+2kπi arg(z z 2 ) = arg(z )+arg(z 2 )+2kπi où k =, ou. Exemple 9. Calculons le logarithme complexe des nombres complexes z = i et z 2 = +i ) Notons que puisque la représentation polaire de z et z 2 est donnée par z = e iπ 2 et z 2 = 2e i3π 4 on déduit que la détermination principale du logarithme complexe des trois nombres complexes z, z 2 et z z 2 est égale à : Log(z ) = i π 2, Log(z 2) = Log(2) 2 Ainsi, puisque la somme des logarithmes complexes +i 3π 4, Log(z z 2 ) = Log( i) = Log(2) 2 i 3π 4 on en déduit que Log(z )+Log(z 2 ) = Log(2) 2 +i 5π 4 = Log(z z 2 )+2πi Log(z z 2 ) = Log(z )+Log(z 2 ) 2πi Enfin, notons que pour toute demi-droite θ = {re iθ ; r } avec < θ < 2π on pourra définir une détermination du logarithme complexe, notée Log θ, qui prolongent le logarithme népériender + surlecomplémentaireu θ = C\ θ etàvaleurdansl ouvertd θ,k = {x+iy ;x R et θ < y < θ +2kπ} avec k Z est fixé. Plus précisément, on a z U θ, Log θ (z) = Log( z )+iarg(z) D θ, ie. θ < arg(z) < θ +2π Remarquons que pour tout réel θ π la détermination du logarithme complexe, Log θ : U θ D θ,k, nousfournit unprolongement dulogarithme népériender + surla droite réelle R. C està-dire, grâce à la déterminantion Log θ on pourra maintenant calculer le logarithme complexe Log θ (x) de tout nombre réel trictement négatif.

32 32 Fonctions d une variable complexe holomorphes Exemple. Pour tout réel θ [,2π[\{π} la détermination du logarithme complexe Log θ : U θ D θ, nous donne x R +, Log θ ( x) = Log(x)+πi D θ, C En particulier, on aura Log θ ( ) = πi R..4.3 Les puissances complexes z z a Soit a C. On définit la puisance d exposantad unnombrecomplexe z C par l expression z a := e alog k (z) où Log k (z) : U π D k désigne une détermination du logarithme complexe. De l expression exponentielle de la puissance complexe on voit que :. si l exposant a Z (entier) la puissance z a prend une seule valeur; 2. si l exposant a = p q Q (rationnel) la puissance za prend un nombre fini de valeurs complexes car pour tout z on a l expression z a := e alog k (z) = exp[ p q 2kπp Log( z )+i(arg(z)+ )] q qui montre quela puissancecomplexe z a prendses valeurs dans l ensemble{e alog k (z) = exp[ p 2kπp Log( z )+i(arg(z)+ )] ; k q }. q q 3. si l exposant a Q la puissance complexe z a possède une infinité de déterminations. Donc, pour tout a C\Z la puissance z a est une fonction multiforme et sa déterminantion principale est donnée par la fonction w a : U π C z e alog(z) qui est holomorphe et sa dérivée est donnée en tout point z U π par l expression d dz (za ) = az a Les puissances complexes vérifient les propriétés suivantes :. z a z b = z a+b ; 2. (z w) a = z a w a e 2πika où k = ± ou ; 3. (z a ) b = z ab e 2πkib où k Z; 4. Log(z a ) = alog(z)+2πki où k Z; Exemple. En utilisant la détermination principale du logarithme complexe calculons les puissances complexes suivantes : (i) i, ( +i) i et ( ) i i ( +i)

33 Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes 33 (i) i = e ilog(i) = e i(iπ/2) = e π/2 ( +i) i = e ilog( +i) = e i(log( 2)+i3π/4) = e 3π/4+iLog( 2) ( ) i i ( +i) = ( i) i = e ilog( i) = e i(log( 2) i3π/4) = e 3π/4 e ilog( 2) Notons que puisque le produit des puissances complexes on déduit que (i) i ( +i) i (i) i ( +i) i = e π/2 e 3π/4+iLog( 2) = e 5π/4 e ilog( 2) ( i ( +i)) i et qu en fait on a (i) i ( +i) i = ( ) ie (2πi) i i ( +i).4.4 Fonctions inverses des puissances z a z On va discuter la construction de la fonction inverse de la puissance complexe que pour le cas des exposants entiers n 2, ω n (z) = z n, z C. Ilestclairquelafonctionz z n esthomolomorphesurcetsafonctiondérivée d dz (ω n(z)) = nz n se n annule qu au point z =, donc tout point z possède un voisinage sur lequel la fonction ω n (z) possède un inverse holomorphe. En effet, puisquepour tout entier k n la restriction de la fonction ω n (z) sur l ouvert D k = {z C ; 2kπ (2k +2)π < arg(z) < } est injective et on a ω k (D k ) = U = C \ R + n n on déduit que l inverse de la fonction ω n (z) est multiforme qui possède n déterminantions holomorphes ωn : U D k avec k n. La déterminantion principale de la fonction inverse de ω n est définie de U dans D par l expression z n z. Cette expression signifie que si z U alors en écrivant z = z e iarg(z) n z e iarg(z)/n Lesautresdéterminantionsdel inversedeω n (z) s obtiennentenmultipliantladéterminantion principale par l exponentielle complexe exp[ 2kπi ] avec k n. n D D D n

34 34 Fonctions d une variable complexe holomorphes Par exemple, la fonction inverse de la fonction ω 2 (z) = z 2 possède deux déterminantions définies respectivement sur l ouvert U par z z D = {z C ;Im(z) > } et z z D = {z C ;Im(z) < }.4.5 Les fonctions trigonométriques z cos(z), sin(z), tg(z), cotg(z) Rappelons que pour tout réel θ l exponentielle complexe de iθ est donnée en coordonnées polaires par l expression, e iθ = cos(θ)+isin(θ) Donc,lecosinusetlesinusdetoutréelθonpeutlesexprimerpardesexponentiellescomplexes par les formules, cos(θ) = eiθ +e iθ 2 et sin(θ) = eiθ e iθ 2i En effet, ces deux expressions de cosinus et sinus réels nous suggèrent de les prlonger sur le plan complexes en posant pour tout nombre complexe z C, cos(z) = eiz +e iz 2 et sin(z) = eiz e iz 2i Notons que puisque l exponentielle complexe est holomorphe sur C et 2πi-périodique on en déduit que les fonctions cosinus et sinus complexes sont holopériodiques sur C, elles sont de 2π-périodes et elles gardent toutes les propriétés de leurs sœurs réelles. De plus, en utilisant le développement en série entière de l exponentielle complexe on voit que pour tout nombre complexe z C on a, cos(z) = n ( ) n (2n)! z2n et sin(z) = ( ) n (2n+)! z2n+ n Enfin, notons que comme dans le cas des fonctions trigonométriques réelles on définit la fonction tangente complexe et la cotangente complexe en posant : tg(z) = sin(z) i e2iz cos(z) = +e2iz, si z nπ +π/2 cotg(z) = cos(z) ie2iz sin(z) = + e 2iz, si z nπ. Exercice 7. Montrer que les fonctions trigonométriques complexe vérfient les relations classiques suivantes :. cos 2 (z)+sin 2 (z) = ; 2. cos(z +u) = cos(z)cos(u) sin(z)sin(u); 3. cos(z u) = cos(z)cos(u)+sin(z)sin(u); 4. sin(z +u) = sin(z)cos(u)+cos(z)sin(u); 5. sin(z u) = sin(z)cos(u) cos(z)sin(u); 6. sin(2z) = 2sin(z)cos(z);

35 Exemples de fonctions élémentaires complexes holomorphes cos(2z) = cos 2 (z) sin 2 (z); 8. sin(z)+sin(u) = 2cos( u z 2 9. cos(z)+cos(u) = 2cos( u z 2. tg(z +u) = tg(z)+tg(u) tg(z)tg(u). )sin( u+z ); 2 )cos( u+z ); 2 Exercice 8. Montrer que pour tout réel y R on a cos(iy) = Ch(y) et sin(iy) = i Sh(y) En déduire que les fonctions cosinus et sinus complexe ne sont pas bornées sur C..4.6 Les fonctions hyperboliques z Ch(z), Sh(z), th(z), coth(z) Pour définir le sinus et le cosinus hyperboliques complexes on étend leurs expressions réelles sur la droite complexe C : Sh(z) = ez e z 2 et Ch(z) = ez +e z, z C. (.) 2 Puisque les fonctions hyperboliques Sh et Ch sont définies à partir de l exponentille complexe sont donc holomorphes. Le lecteur pourra vérifier à titre d exercice que leur fonctions dérivées sont données par les expressions, dsh(z) dz = Ch(z) et dch(z) dz = Sh(z), z C. De même, on définit la tangente et la cotangente hyperbolique complexe comme dans le cas réelles par, th(z) = Sh(z) Ch(z) = ez e z e z +e z, si z i(nπ +π/2) coth(z) = Ch(z) Sh(z) = ez +e z e z e z, si z inπ.

36 Chapitre Deux Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Ce chapitre sera consacré au calcul intégrale des fonctions complexe à une variable complexe. Après voir construit l intégrale simple complexe on va donner ses propriétés élḿentaires. Ensuite, on va démontrer les formules intégrales de Cauchy qui vont nous permet de démontrer plusieurs résultats qui caractérisent les fonctions holomorphes. Par exemple, grâce aux formule intégrales de Cauchy on va démontrer que toute fonction holomorphe sur un ouvert on vide est indéfinement dérivable et qu elle est développable en série entière au voisinage de chaque point de son domaine de définition. La notion la plus importante qu on va introduire dans ce chapitre est la notion de résidu d une singularité isolée d une fonction holomorphe. La notion de résidu est très puissante vis-à-vis calcul des intégrales complexe, car comme on va le voir avec le théorème des résidus, l intégrale complexe d une fonction holomorphe sur un domaine qui est limité par un contour fermé s exprime par la somme des résidus de ses singularités isolées qui sont à l intérieur du contour fermé. 2. Les courbes et les domaines du plan complexe 2.. Les chemins et les courbes du plan complexe Définition 2. Une application continue γ : [a,b] C s appelle chemin.. On dira que le chemin γ est de classe C par morceaux s il existe un nombre fini de points a < t < t 2 < < t m < b tels que l application γ(t) possède des dérivées à gauche et à droite de chaque points t j et toutes ses restrictions ]t j,t j+ [ γ C sont de classe C. 2. Le point γ(a) s appelle l origine du chemin γ et le point γ(b) l extrémité du chemin γ. 3. Lorque γ(a) = γ(b) on dira que le chemin γ est fermé.

37 Les courbes et les domaines du plan complexe Si la restriction de l application γ(t) sur l intervalle ouvert ]a, b[ est injective on dira que le chemin γ est simple ou qu il est sans points doubles. 5. L image = {γ(t) ;t [a,b]} s appelle courbe paramétrée dans le plan complexe par l application γ. 6. Soient γ : [a,b] C et γ 2 : [c,d] C deux paramétrisations d une courbe. On dira que γ et γ 2 sont équivalentes s il existe une bijection continue θ : [a,b] [c,d] ayant un inverse θ continue et telle que γ 2 θ(t) = γ (t), t [a,b]. Figure 2. Exemples de chemins du plan complexe Notons que si on utilise la bijection θ : [,] [a,b] définie par l expression t θ(t) = t(b a)+a on déduit que les chemins du plan complexe peuvent être définis à partir des applications continues sur le segment [,] dans le plan C. En particulier, le segment du plan complexe d origine z C et d extrémité u C peut être paramétré par l application t [,] γ(t) = ( t)z +tu C dont l image sera notée [z,u] = {( t)z +tu C ;t [,]}. Définition 3. Soit γ : [a,b] C un chemin. L application continue γ : [a,b] C définie par γ (t) = γ(a+b t) s appelle chemin opposée ou chemin inverse du chemin γ. Avec cette définition on voit que toute courbe paramétrée = {γ(t) ;t [a,b]} pourra être parcourue suivant deux sens : soit de γ(a) = A vers γ() = b ou bien de γ(b) = B vers γ(a) = B. Le parcourt du point A vers le point B s appelle orientation positive et se note + = {γ(t) ;t [a,b]} ou AB tandis que la traversée opposée de B vers A s appelle orientation négative et se note = {γ (t) ;t [a,b]} ou BA. Par exemple, le cercle de centre z C et de rayon R > on peut le parcourir soit dans le sens horaire ou soit dans le sens trigonométrique. Par convention le sens trigonométrique paramétré par l application t [,] z(t) := z +Re 2πit

38 38 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications est considéré comme une orientation positive du cercle. L orientation négative du cercle peut obtenue à partir de la paramétration : t [,] z (t) := z +Re 2πit. z z 2 Figure 2.2 Le cercle de centre z est orienté positivement tandis que le cercle de centre z 2 est orienté négativement. Définition 4. Soient γ et γ 2 : [,] C deux chemins tels que γ () = γ 2 (). L application continue γ γ 2 : [,] C définie par les expressions suivantes, { γ γ 2 (t) = γ (2t) si t [,/2] γ 2 (2t ) si t [/2,] s appelle chemin composée de γ et γ 2. Par récurrence on pourra définir la composition d une famille de n chemins γ,,γ n si pour tout j {,,n } l extrémité du chemin γ j (t) est égale à l origine du chemin γ j+ (t) (ie. γ j () = γ j+ ()). Figure 2.3 Trois chemins composés Par exemple, le bord d un triangle T de sommets z, z 2 et z 3 C est un chemin fermé composé par trois chemins qui matérialisent les arrêtes [z,z 2 ], [z 2,z 3 ] et [z 3,z ] du triangle T, on peut le paramétré par le systèmes suivant : z +3t(z 2 z ) si t [,/3] γ(t) = z 2 +(3t )(z 3 z 2 ) si t [/3,2/3] z 3 +(3t 2)(z z 3 ) si t [2/3,] 2..2 Les domaines du plan complexe Définition 5. Soit Ω C une partie non vide.. On dira que la partie Ω est un domaine s il est ouvert et connexe.

39 Les courbes et les domaines du plan complexe On dira que la partie Ω est convexe si pour tout couple de points z et z 2 Ω le segment [z,z 2 ] = {( t)z +tz 2 C, t [,]} Ω. 3. On dira que la partie Ω est étoilée s il existe un point z Ω tel que pour tout z Ω le segment [z,z] Ω. z 2 z z 5 z 3 z 4 Figure 2.4 Une partie polygonale convexe Il est clair que toute partie convexe est étoilée, et que l intérieur de toute partie étoilée est un domaine (ie. est ouvert et connexe). Définition 6. Soit Ω C une partie non vide. Soient γ et γ 2 : [,] Ω deux chemins qui ont les mêmes extrémités ie. : a = γ () = γ 2 () et b = γ () = γ 2 () On dira que le chemin γ se déforme continument sur le chemin γ 2 s il existe une application continue H : [,] [,] Ω telle que H(t,) = γ (t), H(t,) = γ 2 (t), H(,s) = a et H(,s) = b L application H(t,s) s appelle une déformation continue de γ sur γ 2. γ b a γ s γ 2 Figure 2.5 Le chemin γ se déforme continument sur γ 2 et γ s un chemin intermédiaire Notons que si H : [,] [,] Ω est une déformation continue de γ sur γ 2 alors pour tout s [, ] fixée l application partielle t [,] γ s (t) := H(t,s) Ω est un chemin d origine H(,s) = a et d extrémité H(,s) = b. Notons aussi que l application H (t, s) permet de déformer continument le chemin γ 2 sur le chemin γ. Définition 7. Soit Ω C une partie non vide. Si tout chemin fermé de Ω peut être déformé continument en un point on dira que Ω est simplement connexe. Et, si Ω n est pas simplement connexe on dira qu il est multiplement connexe.

40 4 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Proposition 7. Toute partie étoilée non vide Ω C est simplement connexe. Démonstration. Pour démontrer cette affirmation supposons que pour le point a Ω on a pour tout z Ω le segment [a,z] Ω. Puis, observons que pour tout chemin fermé γ : [,] Ω tel que γ() = γ() = a si on pose t,s [,], H(t,s) = ( s)γ(t)+sa on obtient une application continue qui déforme le chemin fermé γ sur le point a; car pour tout t [,], H(t,) = γ(t) et H(t,) = a. Proposition 8. Soit Ω C une partie non vide, bornée et ayant un intérieur non vide. Pour que Ω soit simplement connexe il faut et il suffit que sa frontière Ω soit constituée par une seule courbe fermée. Démonstration. Admise. Exemple 2. ) Les triangles, les rectangles, les polygones, les disques ouverts ou fermés, les demi-plans de C sont simplement connexes. 2) Si on se donne une partie Ω qui est simplement connexe alors en fixant un nombre fini de points {x,x 2,,x n } Ω le complémentaire Ω = Ω\{x,x 2,,x n } est multiplement connexe. De même, si on enlève de Ω un nombre fini de disques D(x,r ),,D(x n,r n ) Ω on obtient un domaine multiplement connexe ( Ω 2 = Ω\ D(x,r ) D(x ) n,r n ) Figure 2.6 Domaine multiplement connexe Donc, en particulier, pour tout les réels < r < R la couronne circulaire C(r,R) = {z C ;r z R} est multiplement connexe car sa frontière est constituée par deux cercles concentriques de rayons respectifs r et R.

41 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 4 Les discussions de ce paragraphe peuvent être résumées en deux points : i) Un domaine Ω C sans trous est simplement connexe mais s il possède au moins un seul trou dans ce cas il est multiplement connexe. ii) Si le domaine Ω C est borné et multiplement connexe alors sa frontière est constituée par un nombre fini de courbes simples fermées. 2.2 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 2.2. Construction de l intégrale curviligne complexe Soit Ω C un domaine non vide. Considérons un chemin γ : [a,b] Ω de classe C par morceaux et fixons m-points a = t < t < < t m = b. γ(t ) γ(t ) γ(t m ) γ(t m 2 ) Figure 2.7 Chemin subdivisé en m-portions de chemins De plus, considérons une fonction bornée f : Ω C et pour tout entier j m choisissons dans la portion de chemin γ([t j,t j+ ]) un point ζ j. Définition 8. La somme suivante s appelle somme de Riemann de longueur m N associée à la fonction f(z) et au chemin γ subdivisé en m-portions de chemins pointées par les ζ j γ([t j,t j+ ]) : R(f,γ,m,ζ j ) = j=m 2 j= La limite de la suite des sommes de Riemann lim R(f,γ,m,ζ j ) = t j+ t j m + lim t j+ t j m + f(ζ j )(γ(t j+ ) γ(t j )) ( j=m 2 j= ) f(ζ j )(γ(t j+ ) γ(t j )) s appelle intégrale curviligne de la fonction f(z) le long du chemin γ et se note f(z)dz ou bien f(z)dz où = γ([a,b]) γ Lorsque la courbe est fermée on utilise l une des notations suivantes : f(z)dz ou f(z)dz γ

42 42 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Comme le module γ(t j+ ) γ(t j ) mesure la longueur du segment [γ(t j ),γ(t j+ )] on déduit que la somme de Rieman associée à la constante f(z) =, j=m 2 j= γ(t j+ ) γ(t j ) peut être considérée comme étant une valeur approchée de la longueur de la courbe = γ([,]). Donc, si on passe à la limite suivante lim t j+ t j m + ( j=m 2 j= ) γ(t j+ ) γ(t j ) on obtient la valeur exacte de la longueur de la courbe = γ([a,b]) et on la désigne par long() = dz Observons que si on suppose le chemin γ(t) est de classe C on pourra alors approcher la différence γ(t j+ ) γ(t j ) par le nombre complexe (t j+ t j ) γ(t j ), donc en passant à la limite on d duit que la longueur de la courbe = γ([a,b]) est égale à l intégrale simple définie : long() = dz = b a γ(t) dt Exemple 3. Calculons la longueur de l arc paramétré par l application γ(t) = z +Re it avec t [θ,θ ]. z Figure 2.8 Un arc de cercle de centre z et de rayon R >. θ long() = dz = γ(t) dt γ θ θ = ire it dt θ = R(θ θ ) Par conséquent, si on prend θ = et θ = 2π on déduit que la longueur d un cercle entier de centre z et de rayon R > est égale à 2πR Calcul et propriétés de l intégrale complexe Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue dont les parties réelle et imaginaire sont désignées respectivement par u(x, y) et v(x, y). Considérons un chemin γ : [a,b] Ω de classe C par morceaux et pour tout t [a,b] posons γ(t) = x(t)+iy(t).

43 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 43 Donc, avec ces données une somme de Riemann de longueur m N pourra être écrite sous la forme, R(f,γ,m,ζ j ) = = = j=m 2 j= j=m 2 j= j=m 2 j= f(ζ j )(γ(t j+ ) γ(t j )) [u(ζ j )+iv(ζ j )][(x(t j+ ) x(t j ))+i(y(t j+ ) y(t j ))] [u(ζ j )(x(t j+ ) x(t j )) v(ζ j )(y(t j+ ur) y(t j ))] j=m 2 + i [v(ζ j )(x(t j+ ) x(t j ))+u(ζ j )(y(t j+ ) y(t j ))] j= D autrepart,observonsquesi onapprochex(t j+ ) x(t j ) par(t j+ t j )ẋ(t j )et y(t j+ ) y(t j ) par (t j+ t j )ẏ(t j ) on voit que la somme de Riemann R(f,γ,m,ζ j ) peut être approchée par la somme j=m 2 j= [u(ζ j )ẋ(t j ) v(ζ j )ẏ(t j )](t j+ t j )+i j=m 2 j= [v(ζ j )ẋ(t j )+u(ζ j )ẏ(t j )](t j+ t j ) Par conséquent, si dans cette nouvelle expression de la somme de Riemann R(f,γ,m,ζ j ) on fait tendre m vers l infini et t j+ t j vers zéro on obtient la formule suivante : b b f(z)dz = (u(γ(t))ẋ(t) v(γ(t))ẏ(t))dt+i (v(γ(t))ẋ(t) + u(γ(t))ẏ)dt a a = (udx vdy)+i (vdx+udy) Proposition 9. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Si γ : [a,b] Ω est une courbe de classe C alors l intégrale curviligne b f(z)dz = f(γ(t)) γ(t)dt a Démonstration. ) Pour démontrer la formule de la proposition on va appliquer la définition de l intégrale curviligne d une forme différentielle réelle le long d une courbe paramétrée par l application γ(t) = x(t)+iy(t), t [a,b]. f(z)dz = (udx vdy)+i (udy +vdx) = = = = b a b a b a b a [u(γ(t))ẋ(t) v(γ(t))ẏ(t)]dt+i b a [v(γ(t))ẋ(t) + u(γ(t))ẏ(t)]dt ( [u(γ(t))ẋ(t) v(γ(t))ẏ(t)] + i[v(γ(t))ẋ(t) + u(γ(t))ẏ(t)] [u(γ(t))+iv(γ(t))] [ẋ(t)+iẏ(t)]dt f(γ(t)) γ(t)dt ) dt

44 44 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Corollaire 7. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Si γ : [a,b] Ω est un chemin de classe C alors pour toute fonction θ : [c,d] [a,b] qui est bijective et croissante on a, f(z)dz) = γ θ γ f(z)dz Les propriétés des intégrales complexes curvilignes énumérées ci-dessous se démontrent à partir des sommes de Riemann.. (f(z)+g(z))dz = f(z)dz + g(z)dz. 2. λ C, λ f(z)dz = λ f(z)dz. 3. f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz f(z)dz = f(z)dz. 5. f(z)dz f(z) dz sup{ f(z) ;z }long(). Exemple 4. Soient m Z et a C fixé. Calculons l intégrale curviligne de la fonction (z a) m le long du cercle de centre a et de rayon R = paramétré par l application γ(t) = a+e it, t [,2π] (z a) m dz = 2π = i { = 2π e imt (ie it )dt e i(m+)t dt si m 2πi si m = Exercice 9. Calculer les intégrales curviligne suivantes Re(z)dz, Im(z)dz, [a,b] [a,b] C(,r) ( z) n dz Exercice 2. Soient a et b C tels que < a < b. Calculer l intégrale curviligne dz (z a)(z b) C(,r) dans les trois cas : ) < r < a, 2) a < r < b et 3) < b < r. Exercice 2. Pour tout z C\C(,) on pose f(z) = 2πi C(,) du u(u+z) ) Calculer la valeur f(z) selon la position de z par rapport au cercle C(,). 2) Calculer les deux limites lim z i z < f(z) et lim f(z). z i z >

45 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe Théorème de Cauchy Dans ce paragraphe, on va démontrer la formule de Cauchy en appliquant la formule de Green- Riemann vue en analyse II. Pour cela on va rappeller la notient d orientation des domaines du plan complexe et on rappellera aussi la formule de Green-Riemann. Définition 9. Soit Ω C un domaine multiplement connexe dont la frontière D est constituée par un nombre fini de courbes simples. On dira que Ω est orientée positivement si chaque composante de sa frontière est parcourue de telle sorte que l intérieur de Ω reste du côté gauche (voir la figure ci-dessous). Figure 2.9 Domaine multiplement connexe orienté positivement En pratique, l orientation positive d un domaine multiplement connexe D C se fait en parcourant la composante extérieure du bord D dans le sens trigonométrique tandis que les composantes intérieures du bord D on les parcourt dans le sens horaire. Donc, le fait d orienter un domaine multiplement connexe D C induit une orientation naturelle des composantes du bord D. Théorème 4 (Formule de Green-Riemann). Soit ω = Pdx+Qdy une forme différentielle de classe C k sur un ouvert non vide Ω C. Pour tout domaine compact multiplement connexe D Ω orienté positivement l intégrale curviligne (Pdx+Qdy) = D D ( Q x P ) dxdy y En utilisant les variables complexes indépendantes z et z la formule de Green-Riemann pourra être formulée pour les fonctions complexes à variable complexe par le : Théorème 5 (Formule de Riemann-Green complexe). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction dont la partie réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y) sont de classe C. Si D Ω est un domaine compact multiplement connexe orienté positivement alors l intégrale curviligne D f(z)dz = 2i D f z dxdy Démonstration. Rappelons que dans les conditions du théorème l intégrale curviligne f(z)dz = (udx vdy)+i (vdx+udy) D Donc, si on applique aux parties réelle et imaginaire de Riemann on obtient f(z)dz = D D D (udx vdy)+i D D D (vdx+udy) f(z)dz la formule de Green-

46 46 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications ( = v D x u y ([ = u D y +i u x ( = 2i u D z 2 v z f = 2i z dxdy D ) dxdy +i D ] [ + v x i v y ) dxdy ( u x v y ]) dxdy ) dxdy Rappelons qu au chapitre précédent on a vu que si les parties réelle et imaginaire d une fonction f(z) = u + iv sont différentielles alors f(z) est holomorphe si et seulement, si les dérivées partielles de u et v vérifient les conditions de Cauchy-Riemann ie. ( u x = v u ) et y y = v f x z = D où le corollaire, Corollaire 8 (Cauchy (85)-Riemann (846)). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe dont la partie réelle u(x,y) et la partie imaginaire v(x,y) sont de classe C. Si D Ω est un domaine compact multiplement connexe et orienté positivement alors l intégrale curviligne D f(z)dz = Le résultat du corollaire précédent qu on vient de déduire à partir de la formule de Green- Riemann complexe démontré pour la première fois en 85 par Cauchy en utilisant une méthode basée le calcul des variations. En 9 Goursat a proposé une nouvelle démonstration de la formule de Cauchy sans demander que les parties réelle et imaginaire de la fonction f(z) ne soient de classe C. En effet, l hypothèse de classe C exigée par le corollaire sur les parties réelle et imaginaire est superflue parce que au paragraphe 2.5, consacré aux formules intégrales de Cauchy, on va démontrer que toute fonction holomorphe est en fait indéfinement dérivable sur l intérieur de son domaine de définition. Vue l intérêt instructif et pédagogique de la démonstration historique du théorème de Cauchy- Goursat on va la développer ci-dessous sous sa forme générale. Théorème 6 (Cauchy-Goursat (9)). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Pour tout domaine multiplement connexe comapct D Ω qui est orienté positivement et dont la frontière est constituée par un nombre fini de courbes simples fermées et disjointes D = n l intégrale curviligne f(z)dz = f(z)dz + + f(z)dz = D n En particulier, pour toute courbe fermée Ω qui borde un domaine simplement connexe D Ω l intégrale curviligne, f(z)dz =

47 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 47 Démonstration. La preuve du théorème de Cauchy-Goursat sera développée en étapes. Étape : Cas d un triangle Étape 2 : Cas d un domaine compact simplement compact Étape 3 : Cas d un domaine compact multiplement connexe Exemple 5. On désigne par C(,r) le cercle de centre z = et de rayon r > parcouru dans le sens trigonométrique. Les intégrales curvilignes suivantes sont nulles : C(,r) dz =, C(,r) z 2 dz =, C(,r) sin(z 3 )dz =, C(,r) e z z 2r dz = Exercice 22. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Soit Ω une courbe paramétrée par une application γ : [a,b] Ω de classe C telle que au point t < t 2 on a γ(t ) = γ(t 2 ) et la restriction de γ sur ]t,t 2 [ est injective et l image γ([t,t 2 ]) borde un domaine simplement connexe (voir la figure). Figure 2. Un chemin avec un point double et la boucle fermée qu elle forme ) Démontrer que si on pose = γ([a,t ]), 2 )γ([t,t 2 ]) et 3 = γ([t 3,b]) alors l intégrale curviligne f(z)dz = f(z)dz = f(z)dz + f(z)dz ) En déduire que l intégrale curviligne f(z)dz peut être calculée sans passer par les boucles de crées par les points doubles de et qui bordent des domaines simplement connexes. 3) Démontrer que si le domaine Ω est simplement connexe alors l intégrale curviligne de f(z) le long d une Ω qui joint a à z peut être calculée en supposant que est simple. Le théorème de Cauchy-Goursat possède plusieurs applications importantes qui seront illustrées ci-dessous. Proposition 2. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Pour tout couple de courbes simples fermées et 2 Ω qui sont disjointes orientées dans le même sens trigonométrique et bordent une couronne C Ω l intégrale curviligne, f(z)dz = f(z)dz 2

48 48 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Figure 2. Une couronne non circulaire dont les composantes du bord sont orientées dans le sens trigonométrique (positive). Démonstration. Supposons que est la composante extérieure du bord C et 2 est composante intérieure et qu elles sont orientées dans le sens trigonométrique (voir la figure). Danscesconditions, sionorientelacouronnecpositivementonvoit quelebord C = 2 et ainsi la formule de Cauchy-Goursat appliquée à la fonction holomorphe f(z) sur la couronne orientée C nous donne : Donc, puisque 2 C f(z)dz = f(z)dz + 2 f(z)dz = f(z)dz = f(z)dz on déduit que f(z)dz = f(z)dz. 2 2 Corollaire 9. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Soient z et z 2 Ω deux points fixés et et 2 deux courbes simples qui ont la même origine z et la même extrémité z 2 et telles que la courbe composée 2 connexe D Ω (voir la figure), alors l intégrale curviligne f(z)dz = f(z)dz 2 borde un domaine simplement z 2 2 z Figure 2.2 Deux chemins ayant les mêmes extrémités et bordent un domaine simplement connexe. Exercice 23. En appliquant la formule de Green-Riemann complexe, démontrer que l aire du domaine limité par une courbe simple fermée est égale à zdz. 2i Exercice 24. Soit Ω C un ouvert non vide et f et g : Ω C est holomorphe.

49 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 49 ) Démontrer que pour tout domaine multiplement connexe D Ω on a f(z)g(z)dz = 2i f (z)g(z)dxdy 2) En déduire que le l intégrale double f (z) 2 dxdy = 2i D D D D f(z)f (z)dz Exercice 25. Soit Ω C un ouvert connexe borné non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Démontrer que si la fonction f (z) ne s annule pas sur Ω alors l aire de f(ω) est donnée par la formule Aire(f(Ω)) = Ω f (z) 2 dxdy Application : Calculer l aire du domaine f(d(,)) dans les cas suivants : f (z) = z n, et f 2 (z) = z 3 +3z Exercice 26. Soient a > et b >. On désigne par C l ellipse paramétré par l application γ(t) = acos(t)+ibsin(t) En intégrant la fonction holomorphe z 2π t [,2π]. sur l ellipse déduire que l intégrale simple dt a 2 cos 2 (t)+b 2 sin 2 (t) = 2π ab Primitive d une fonction holomorphe Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Dans ce paragraphe, on se propose de donner les conditions nécéssaires et suffisantes pour que la fonction f(z) possède une primitive. Définition 2. Soit U Ω un ouvert non vide et F : U C une fonction continue. On dira que la fonction F(z) est une primitive sur U de la fonction f(z) si, z U, F (z) = f(z) Notons que puisque la dérivée d une constante est nulle on déduit que la primitive d une fonction f(z) lorsqu il existe sur un ouvert connexe elle est unique à une constante additive près. C est-à-dire, si sur un ouvert connexe non vide U les fonctions F(z) et G(z) sont des primitives de f(z) alors la fonction F(z) G(z) est constante sur U. Proposition 2. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Si la fonction F(z) est une primitive de f(z) sur Ω (ie. f(z) = F (z), z Ω) alors pour tout chemin γ : [a,b] Ω de classe C l intégrale curviligne complexe f(z)dz = F(γ(b)) F(γ(a)) En particulier, si le chemin γ est fermé l intégrale curviligne f(z)dz = γ γ

50 5 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Démonstration. Rappelons que l intégrale curviligne de la fonction f(z) le long d un chemin de classe C, γ : [a,b] Ω, est donnée par γ f(z)dz = b a f(γ(t)) γ(t)dt ObservonsquesilafonctionF(z)estuneprimitivedef(z)surl ouvertωonauraf(γ(t)) γ(t) = d dt (F(γ(t))), donc γ f(z)dz = b a d (F(γ(t)))dt = F(γ(b)) F(γ(a)) dt En conséquence, si le chemin γ est fermé il s ensuit que γ f(z)dz =. Il est important de souligner que le résultat de la proposition nous apprend que si Ω C est un ouvert non vide et f : Ω C estune fonction continue telle que il existe une courbe fermée Ω dont l intégrale curviligne f(z)dz est non nullealors la fonction f(z) n admet pas de primitives holomorphe sur Ω. Exemple 6. Puisque pour tout entier n Z \ { } la fonction z zn+ est une n+ primitive de la fonction z z n sur l ouvert C on aura pour toute courbe d origine a C et d extrémité b C, z n dz = d dz ( zn+ bn+ )dz = n+ n+ an+ n+ Cependant, si on intégre la fonction z le long du cercle paramétré par l application z γ(t) = re it avec t [,2π] on déduit que puisque l intégrale curviligne γ dz 2π z = ire it dt = 2πi reit est non nulle, donc la fonction z z n admet pas de primitive holomorphe sur l ouvert C. Le théorème suivant nous donnera la condition suffisante pour qu une fonction continue possède une primitive. Théorème 7 (Existence de la primitive). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Si pour toute courbe fermée Ω l intégrale curviligne, f(z)dz =, alors on a les propositions suivantes. Les intégrales curvilignes de la fonction f(z) ne dépendent que des extrémités des chemins d intégratiuons contenues dans Ω. 2. La fonction z F(z) = z f(u)du est holomorphe sur l ouvert Ω et c est une primitive de f(z), c est-à-dire F (z) = f(z), z Ω. a

51 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 5 Démonstration. Notons d abord que puisque les intégrales curvilignes de f(z) sont nulles le long des courbes fermées il s ensuit que l intégrale curviligne de f(z) long des courbes Ω ne dépend que des extrimémités de. Pour démontrer ce fait considèrons deux courbes et 2 Ω d origine z Ω et d extrimité z 2 Ω et puis appliquons le théorème de Cauchy- Goursat à la courbe fermée 2 ie. : 2 f(z)dz = = f(z)dz = f(z)dz 2 Ainsi,dansla suitepourtout coupledepointsaet z Ω onva écrire l intégrale curviligne de f(z) le long d une courbe d origine a et d extrimité z. Vérifions qu en effet si on fixe le point a dans Ω alors la fonction z Ω F(z) := z est homolophe et que sa fonction dérivée F (z) = f(z). a f(u)du z a f(z)dz pour désigner Fixons un réel ε > et z Ω. Donc, puisque la fonction f est continue au point z il existe un réel r > tel que u D(z,r), f(u) f(z) < ε D autre part, considérons une courbe Ω d origine a et d extrimété z et pour tout h D(,r) désignons par z,h D(z,r) le segment d origine z et d extrémité z + h D(z,r) (voir la figure) z z +h a Figure 2.3 Le chemin composé z,h. Donc, avec les notations ci-dessus on déduit que pour tout h D(,r) on a F(z +h) = f(u)du z,h = f(u)du+ f(u)du z,h = z a = F(z)+ f(u)du+ z+h z z+h z f(u)du f(u)du

52 52 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Ainsi, comme hf(z) = que z+h z f(z)du et pour tout u D(z,r) on a f(u) f(z) < ε on déduit F(z +h) F(z) hf(z) = = z+h z z+h z f(u)du z+h z f(z)du (f(u) f(z))du < ε h Par conséquent, la fonction F(z) est holomorphe sur l ouvert Ω et sa fonction dérivée F (z) = f(z), z Ω. Donc, F(z) est une primitive de f(z) sur l ouvert Ω. Corollaire. Si Ω C est un ouvert simplement connexe non vide alors toute fonction holomorphe f : Ω C possède une primitive sur Ω. Exemple 7. ) La restriction de la fonction z sur l ouvert simplement connexe z U π = C\R possède la déterminantion principale du logarithme complexe z U π, Log(z) := Log( z )+iarg(z) où arg(z) ] π,π[ comme primitive holomorphe telle que Log() =. Les autres primitives holomorphes de la fonction z sur U π sont égales à Log(z)+2kπi avec k Z. 2) Calculons l intégrale curviligne de la fonction g(z) = z 2 le long le cercle paramétré par l application γ(θ) = +e iθ avec θ [,2π]. dz z 2 = 2 dz z dz 2 z + Notons que puisque à l intérieur du cercle la fonction z + dz Cauchy-Goursat implique =. Donc, on obtient z + dz z 2 = 2 dz z = 2π ie iθ dθ 2 e iθ = πi est holomorphe le théorème de En conséquence de ce calcul on déduit que la fonction z 2 n a pas de primitive holomorphe sur l ouvert C\{,}. Cependant, si on restreint g(z) = z 2 sur le demi-plan supérieur H = {z C ;Im(z) > } on vérifie que la fonction G(z) = 2 Log(z ) Log(z +) 2 est une primitive holomorphe de g(z) sur H telle que G(i) = π 2.

53 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe Formules intégrales de Cauchy Dans ce paragraphe, on va démontrer les célèbres formules intégrales de Cauchy. Ces formules vont nous permettre de démontrer que toute fonction holomorphe est indéfinement C-dérivable. Théorème 8 (Seconde formule de Cauchy). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Si Ω est une courbe simple fermée qui borde un domaine simplement connexe D Ω (ie. = D) alors pour tout point z qui appartient à l intérieur de D on a f(z ) = f(z) dz 2πi z z z Figure 2.4 La courbe borde un domaine simplement connexe. Démonstration. Soit z un point qui appartient à l intérieur du domaine D limité par la courbe simple fermée. Donc, puisque la fonction f(z) est holomorphe sur Ω en fixant un réel ε > on peut trouver un réel r > tel que le disque fermé D(z,r) D et on a z D(z,r) = f(z) f(z ) f (z )(z z ) < ε z z Notons aussi que si on applique la formule de Cauchy-Goursat sur la couronne D\D(z,r) orientée positivement (voir la figure) dont le bord est constitué par et le cercle C(z,r) centré au point z et de rayon r on déduit que f(z) dz = z z C(z,r) f(z) z z dz Ainsi, si on intègre l inégalité précédente le long du cercle C(z,r) on obtient f(z) f(z ) dz dz f (z )dz < ε C(z,r) z z C(z,r) z z C(z,r) f(z) dz 2πif(z ) < 2πrε z z C(z,r) C(z,r) dz Par conséquent, en faisant tendre le réel ε > vers zéro on obtient la formule intégrale de Cauchy f(z ) = f(z) dz. 2πi z z C(z,r)

54 54 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Corollaire (Formule de la moyenne de Gauss). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Pour tout point z Ω et pour tout réel r > tel que le disque fermée D(z,r) Ω on a la formule de la moyenne f(z ) = 2π 2π f(z +re iθ )dθ Démonstration. Remarquer que si on applique la formule de Cauchy à la fonction holomorphe f(z) sur le cercle C(z,r) = D(z,r) on obtient f(z ) = 2πi C(z,r) f(z) z z dz Puis, observer que si on paramétrise le cercle C(z,r) par l application γ(θ) = z +re iθ avec θ [,2π] on déduit que f(z ) = 2πi C(z,r) Donc, f(z ) = 2π f(z +re iθ )dθ. 2π f(z) dz = 2π z z 2πi f(z +re iθ ) re iθ ire iθ dθ Dans les exemples ci-dessous on va appliquer la formule intégrale de Cauchy pour calculer des intégrales curvilignes. Exemple 8. ) On désigne par le cercle de centre z = et de rayon r = 2. Calculons les intégrales curvilignes suivantes en appliquant la formule de Cauchy : e z z 5 +z +4 dz et dz (z )(z +3) z(z 4i) Puisque les fonctions f(z) = ez z +3 et g(z) = z5 +z +4 sont holomorphes sur le disque z 4i centré à l origine et de rayon deux la formule de Cauchy nous permet de déduit que e z 2πi (z )(z +3) dz = f(z) e z eπi dz = f() = dz = 2πi z (z )(z +3) 2 2πi z 5 +z +4 dz = z(z 4i) 2πi g(z) dz = g() = z z 5 +z +4 dz = 2π z(z 4i) 2) Soit C une courbe simple fermée, donc elle borde un domaine simplement connexe D C. Notons que si on applique la formule de Cauchy à la fonction f(z) = sur D on déduit que 2πi { du u z = si z D si z Int(D) Exercice 27. Soit f(z) une fonction holomorphe sur le disque D(,R). Pour tout réel < r < R on désigne par C(,r) le cercle paramétré par γ(t) = re it avec t [,2π]. Selon la position de a et b C\C(,r) par rapport au cercle C(,r) calculer l intégrale f(z) (z a)(z b) dz Indication : Décomposer la fraction C(,r) (z a)(z b) et appliquer la formule de Cauchy.

55 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 55 Exercice 28. Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction continue. Démontrer que si et Ω sont deux courbes simples fermées qui limitent une couronne C Ω sur laquelle la fonction f(z) est holomorphe alors pour tout point z qui appartient à l intérieur de C on a f(z) = f(w)dw 2πi w z f(w)dw 2πi w z où (resp. ) est la composante extéieure (resp. intérieure) de la frontière C. Théorème 9 (Principe du maximum). Soit Ω C un ouvert connexe non vide et soit f : Ω C une fonction holomorphe. S il existe un point z Ω tel que alors la fonction f(z) est constante sur Ω. z Ω, f(z) f(z ) Démonstration. Posons F = {z Ω ;f(z) = f(z )}. La partie F est fermée non vide (car z F) et montrons qu elle est aussi F ouverte. Pour un u F fixé prenons un réel r > tel que le disque fermé D(u,r) Ω. Donc, puisq f(z) est holomorphe on déduit que pour tout réel ρ r la formule de la moyenne de Gauss implique que f(u) = 2π f(u+ρe iθ )dθ 2π Donc, puisque le module f(u) = f(z ) et f(u+ρe iθ ) f(z ) on en déduit que Ainsi, puisque la fonction positive est continue et son intégale définie, f(u) = f(z ) 2π f(u+ρe iθ ) dθ f(z ) 2π θ [,2π] f(z ) f(u+ρe iθ ) 2π ( f(z ) f(u + ρe iθ ) ) dθ, est nulle on en déduit que pour tous θ [,2π] et ρ [,r] on a f(u+ρe iθ ) = f(z ). Donc, la fonction holomorphe f(z) est constante sur le disque D(u,r) car son mudule de f est constant sur D(u,r). Par conséquent, comme le disque D(u,r) F on conclut que F est voisinage de chacun de ses points, donc c est un ouvert. Enfin, notons que puisque F et C \ F sont des ouverts disjoints tels que Ω F C \ F la connexité de Ω implique que Ω F. Donc, F = Ω et f(z) est constante sur Ω. Le résultat du principe du maximum nous informe que si une fonction holomorphe f(z) n est pas constante sur un ouvert connexe Ω et si elle est continue sur le bord Ω alors la valeur maximale de son module f(z) est atteinte sur le bord de Ω ie. : sup{ f(z) ; z Ω} = sup{ f(z) ; z Ω}

56 56 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Par exemple, pour une fonction f(z) qui est holomorphe sur un disque ouvert D(,r) et continue sur le cercle C(,r) on aura sup{ f(z) ; z < r} = sup{ f(z) ; z = r} Théorème (Formule de dérivation de Cauchy). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Alors, la fonction f(z) est indéfinement dérivable et sa dérivée d ordre n est donnée en tout point intérieur z Ω par la formule f (n) (z ) = n! f(z)dz 2πi (z z ) n+ où Ω désigne une courbe fermée simple qui borde un domaine simplement connexe D Ω (ie. = D) et qui contient le point z dans son intérieur. z Figure 2.5 La courbe borde un domaine simplement connexe. Démonstration. Notons d abord que puisque z appartient à l intérieur du domaine D limité par il existe un réel r > tel que D(z,r) D. Notons aussi que puisque pour tout entier f(z) n la fonction (z z ) n+ est holomorphe sur la couronne C = D\D(z,r), donc après orientation positive de la couronne C, la formule de Cauchy-Goursat permet de déduire que f(z) f(z) (z z ) n+dz = = (z z ) n+dz = f(z) (z z ) n+dz C C(z,r) En conséquence de cette égalité on conclut que pour démontrer la formule de dérivation de Cauchy il suffit qu on la vérifie sur le cercle C(z,r). ) Démontrons la formule pour n =. Pour tout h C tel que h < r/2 la formule de Cauchy nous permet d écrire que f(z +h) f(z ) = h 2πhi = 2πi = 2πi C(z,r) C(z,r) C(z,r) [ f(z) z z h f(z) ] dz z z f(z) (z z )(z z h) dz f(z) (z z ) 2dz + 2πi C(z,r) hf(z) (z z ) 2 (z z h) dz

57 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 57 Maintenant, observons que puisque pour tout z C(z,r) et h < r/2 on a z z = r et z z h z z h r r/2 = r/2 et puisque la fonction f(z) est bornée sur le cercle C(z,r) donc la borne supérieure on déduit que C(z,r) sup{ f(z) ; z C(z,r)} = M(r) < + hf(z) (z z ) 2 (z z h) dz h M(r) 4π h M(r) r 3 dz = /2 C(z,r) r 2 Ainsi, comme pour tout h C tel que h < r/2 on obtient la majoration f(z +h) f(z ) f(z) 4πM(r) h h 2πi C(z,r) (z z ) 2dz r 2 qui implique que si h tend vers zéro on obtient f (z ) = f(z) 2πi C(z,r) (z z ) 2dz. 2) Démontrons la formule pour n = 2. Comme dans ) pour tout h C tel que h < r/2 la formule de Cauchy démontrée pour n = nous permet d écrire que f (z +h) f (z ) [ f(z) = h 2πhi C(z,r) (z z h) 2 f(z) ] (z z ) 2 dz = f(z)(2(z z ) h) 2πi (z z ) 2 (z z h) 2dz = 2πi = 2πi C(z,r) C(z,r) C(z,r) f(z) (z z )(2(z z h)+h) (z z ) 3 (z z h) 2 dz 2f(z) (z z ) 3dz + h f(z)(3(z z ) 2h) 2πi (z z ) 3 (z z h) 2 C(z,r) Ainsi, comme dans ) en observant que sur le cercle C(z,r) on a z z = r et pour h < r/2 on a z z h > r/2 on déduit que f (z +h) f (z ) 2! h 2πi C(z,r) f(z) h M(3r +2(r/2) (z z ) 3dz r 3 (r/2) 2 (2πr) ) 32M r 3 h Par conséquent, si on fait tendre h vers zéro on déduit que la dérivée seconde f (2) (z ) = 2! f(z) 2πi C(z,r) (z z ) 3dz 3) En supposant que pour tout p n la dérivée f (p) (z ) est existe et qu elle est donnée par la formule intégrale f (p) (z ) = p! f(z) 2πi C(z,r) (z z ) p+dz

58 58 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications on démontre comme ci-dessus que le taux d accroissement f (n ) (z +h) f (n ) (z ) = (n )! [ f(z) h 2πhi C(z,r) (z z h) n f(z) ] (z z ) n dz tend vers n! f(z) 2πi C(z,r) (z z ) n+dz = f(n) (z ) quand h tend vers zéro. Théorème (Morera 886). Soient Ω C un ouvert non vide etf : Ω C une fonction continue. Si pour toute courbe fermée Ω l intégrale curviligne f(z)dz est nulle alors la fonction f(z) est holomorphe sur Ω. Démonstration. Rappelons que d après le résultat du théorème 4 puisque les intégrales curviligne de f(z) sont nulle le long des courbes fermées contenues dans Ω il en résulte que la fonction F(z) = z a f(u)du est bien définie et holomorphe sur Ω. Ainsi, comme la fonction dérivée F (z) = f(z) le théor`me de dérivation de Cauchy implique de f(z) est holomorphe sur Ω. Exemple 9. On désigne par le cercle centré à l origine et de rayon r =. Calculons les intégrales curvilignes n, dz z n+ (z 2) et e 2z dz (2z ) 2 (2z +) ) Observons que si on pose f(z) = on obtient une fonction holomorphe sur le disque z 2 centré à l origine et de rayon r =. Donc, d après la formule de dérivation de Cauchy la dérivée d ordre n de f(z) au point z = est égale à f (n) () = n! f(z) dz 2πi zn+dz = z n+ (z 2) = 2πi d n n! dz n( z 2 ) z= Ainsi, puisque pour tout entier la dérivée dn dz n( z 2 ) = ( )n n! on en déduit que (z 2) n+ dz z n+ (z 2) = 2πi ( ) n n! = πi n! ( 2) n+ 2 n e 2z 2) Notons que la fonction (2z ) 2 est holomorphe sur C { /2,/2}. Donc, si (2z +) pour < r < /4 on oriente positivement le domaine ( ) D = D(,)\ D( /2,r) D(/2,r) la formule de Cauchy-Goursat appliquée à la fonction g(z) implique e 2z dz (2z ) 2 (2z +) = e 2z dz (2z ) 2 (2z +) + C(,) C( /2,r) C(/2,r) e 2z dz (2z ) 2 (2z +) Ainsi, si on applique la formule de dérivation aux deux intégrales curvilignes de droite on déduit qu elles sont égales à e 2z dz (2z ) 2 (2z +) = 2πi e 2z z= /2 2(2z ) 2 = πi 4 e C( /2,r)

59 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 59 Figure 2.6 Le domaine D orienté positivement et C(/2,r) Donc, l intégrale curviligne e 2z dz (2z ) 2 (2z +) = 2πi d ( dz C(,) e 2z 4(2z +) ) z=/2 = 2πi4e 2e 4(4) e 2z dz (2z ) 2 (2z +) = πi 4 (e+e ). = πei 4 Exercice 29. Soit R > et f : D(,R) C une fonction holomorphe. Démontrer que n, f (n) () n! = 2π f(e iθ )e inθ dθ 2π Exercice 3. Soit R > et f : D(,R) C une fonction holomorphe. ) Calculer les deux intégrales curvilignes suivantes le long du cercle C(, ) : C(,) ( 2 (z + z ) ) f(z) z dz 2) En déduire qu on a les deux formules suivantes 2π π π 2π et C(,) f(e it )cos 2 (t/2)dt = f()+ f () 2 f(e it )sin 2 (t/2)dt = f() f () 2 ( 2+(z + z ) ) f(z) z dz Exercice 3. Soient f et g : D(, ) C continues et holomorphe sur le disque ouvert D(, ). Démontrer que l intégrale curviligne ( f(u) 2πi u = u z + zg(u) ) du = zu f(z) si z < g( ) si z > z Exercice 32. Calculer les intégrales curvilignes suivantes z = e z dz z n, z = cos(z)dz z 2 (z 2), z =2 (z 2 +)dz z 3 ( z 2 ), z i = zdz (z 2 +) 3 Exercice 33. Calculer l intégrale curviligne suivante pour r = et r = 3 z =r e z dz z(z 2 4)(z 2)

60 6 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Exercice 34. Soient P(z) et Q(z) deux polynômes tel que le degré deg(p) < deg(q). ) Démontrer que si Q(z) possède que des zéros simples z, z 2,, z m C alors k=m P(z) Q(z) = k= P(z k ) Q (z k ) z z k 2) En déduire que pour tout réel r > max( z k ;k =,,m) l intégrale curviligne z =3 z =r k=m P(z) Q(z) dz = 2πi P(z k ) zp(z) Q = 2πi lim (z k ) z Q(z) k= 3) Application : Calculer les intégrales curvilignes suivantes, (z 2 +)dz (z 2 z 2)z, (z 3 +z)dz (z 2 z +)(z 2 +z +), z =2 z =3 (z )dz z 3 4z 3 Exercice 35. Soit Ω C un ouvert non vide et z Ω. Considérons une fonction f : Ω C qui est continue et holomorphe sur Ω\{z }. ) Démontrer que la fonction g(z) = (z z )f(z) est holomorphe sur l ouvert Ω. 2) En déduire que la fonction f(z) est holomorphe sur l ouvert Ω. Exercice 36. On désigne par (resp. ) le demi-cercle supérieur (resp. inférieur) orienté dans le sens trigonométrique, centré à l origine et de rayon un. Étant donné un réel R > et une fonction ϕ(z) continue sur le disque D(,R), pour tout nombre complexe z C\ on pose : ϕ(u)du f(z) = u z ϕ(u)du et g(z) = u z ) Montrer que la borne inférieur : inf{ z u ; u } = z. 2) Montrer que pour tout couple de points z z qui n appartiennent pas à on a f(z) f(z ) ϕ(u)du z z (u z ) 2 = (z z )ϕ(u)du (u z ) 2 (u z) 3) On pose M = sup{ ϕ(u) ; u }. Montrer que (z z )ϕ(u)du πm z z (u z ) 2 (u z) ( z ) 2 z 4) En déduire que la fonction f(z) est holomorphe sur l ouvert C \ et que sa fonction déreivée est donnée par l expression, z, f (z) = ϕ(u)du (u z) 2 5) En procédant comme dans 2) et 3) démontrer que la fonction g(z) est holomorphe sur l ouvert C\. 6) Démontrer que si la fonction ϕ(z) est holomorphe sur le disque D(,R) alors on a les relations suivantes f(z)+g(z) = { ϕ(z) si z < si < z < R

61 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 6 En déduire que pour tous les points z + et z on a lim z z + z < f(z) lim f(z) = ϕ(z z z + ) et + < z <R lim z z z < g(z) lim g(z) = ϕ(z z z ) < z <R 7) Conclure Applications intéressantes du théorème de dérivation Dans ce paragraphe, on va appliquer les formules de dérivation intégrales (cf. th. 7) pour mettre en évidence quelques propriétés importantes et spéciales pour les fonctions holomorphes. Rappelons que ci-dessus nous avons démontré que les fonctions holomorphes sont indéfinement dérivales, donc il est naturel de se demander sont-elle développables en séries entières? La réponse affirmative est donnée par le théorème suivant : Théorème 2 (Développement en série entière). Soit Ω C un ouvert non vide, et soient z Ω et R > tel que le disque fermé D(z,R) Ω. Si f : Ω C est une fonction holomorphe alors pour tout z D(z,R) la série de Taylor n f (n) (z ) (z z ) n n! converge normalent vers f(z) dans le disque fermée D(z,R). Démonstration. Soit z D(z,R) tel que z z = ρ < r < R. Pour tout u C(z,r) écrivons u z = = = (u z ) (z z ) u z z z u z k=n u z k= ( z z u z ) k + u z ( z z u z ) n+ Maintenant, multiplions les deux membres de cette égalité par f(u) et intégrons le long du cercle C(z,r) tout en appliquant les formules de dérivations de Cauchy, f(u)du 2πi C(z,r) u z = f(z) = k=n k= k=n k= f (k) (z ) (z z ) k + k! 2πi C(z,r) f (k) (z ) (z z ) k + k! 2πi C(z,r) f(u) ( z z ) n+ du u z u z f(u) ( z z ) n+ du u z u z D autre part, observons que puisque pour tout u C(z,r) on a z z ρ < < et comme u z r u z u z z z = r ρ on en déduit la majoration f(u) ( z z ) n+ M(r) ρ ) n+ du 2πi u z u z 2π(r ρ)( r C(z,r)

62 62 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications k=n f(z) k= f (k) (z ) (z z ) k M ρ ) n+ k! 2π(r ρ)( r Parconséquent, puisque ρ r < onconclut quelasériedetaylor n normalement vers f(z) dans le disque D(z,r). f (n) (z ) (z z ) n converge n! Le théorème précédent nous permet de démontrer que les zéros d une fonction holomorphe non nulle sont isolés. C est-à-dire, si f : Ω C est une fonction holomorphe non nulle qui s annulle en un point a Ω alors il existe un réel r > tel que D(a,r) Ω de sorte que {z Ω ;f(z) = } D(a,r) = {a}. Définition 2. Soit Ω C un ouvert connexe non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. On dira que z Ω un zéro de f(z) d ordre m N si on a f(z ) = f (z) = = f (m ) (z ) = et f (m) (z ) Si z Ω est un zéro d ordre m donc le développement de f(z) en série entière au voisinage de z s écrit sous la forme f(z) = a m (z z ) m +a m+ (z z ) m+ + = (z z ) m g(z) où g(z) est une fonction holomorphe telle que g(z ). Inversement, si f(z) = (z z ) m g(z) avec g(z) est holomorphe sur un voisinage de z et g(z ) alors z est un zéro de f(z) d ordre m. Théorème 3 (Principe du zéro isolé). Soit Ω C un ouvert connexe non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. S il existe une suite infinie z n Ω qui converge vers a Ω et telle que f(z n ) = alors la fonction f(z) est identiquement nulle sur Ω. Démonstration. ) Notons d abord quef(a) = et puiquepour tout entier n le taux d acroissement f(z n) f(a) est nul cela implique que la dérivée f (a) =. z n a 2) Observons aussi que puisque sur le sous ensemble infini {n N,z n a} le second taux d acroissement f(z n) f(a) (z n a)f (a) (z n a) 2 est nul on en déduit que la dérivée seconde f (2) (a) =. 3) Par récurrence, on vérifie de la même façon que toute les dérivées f (n) (a) sont nulles, donc puisque f(z) est dévellopable en série entière sur un voisinage du point a on déduit qu il existe un disque D(a,r) sur lequel f(z) est identiquement nulle. 4) Enfin, notons que la partie fermée F = {z Ω ;f(z) = } est un voisinage de a, en fait un ouvert. Donc, par connexité de l ouvert Ω on déduit qu on a l ǵalité F = Ω qui implique que f(z) est nulle sur Ω. Le principe du zéro isolé est un phénomène spécial pour les fonctions holomorphes parce que surles espaces R n on peut construiredes fonctions de classe C qui s annulentsurdes ouverts

63 Intégration des fonctions complexes à une variable complexe 63 non vides. Par exemple, sur R 2 la fonction suivante f(x,y) = { si x 2 +y 2 exp[ x 2 +y 2 ] si x2 +y 2 est de classe C et s annule sur l ouvert R 2 \D(,). Théorème 4 (Inégalités de Cauchy). Soit Ω C un ouvert non vide et f : Ω C une fonction holomorphe. Si le point z Ω alors pour tout réel r > tel que D(z,r) Ω et pour tout entier n on a l inégalité où M(r) = sup{ f(z) ; z D(z,r)}. f(n) (z ) M(r) n! r n Démonstration. Rappelons que d après l expression intégrale des dérivées d ordre supérieurs de f(z) au point z si on C(z,r) désigne le bord du disque fermé D(z,r) Ω on aura f (n) (z ) n! = f(z)dz 2πi C(z,r) (z z ) n+ = f(n) (z ) n! 2π C(z,r) Ainsi, on voit que l inégalité de Cauchy s obtient en remarquant que en posant M(r) = sup{ f(z) ; z D(z,r)}. f(z) dz r n+ C(z,r) dz = 2πr et Théorème 5 (Liouville). Toute fonction holomorphe et bornée sur le plan complexe C est constante. Démonstration. Remarquer ques il existe un réel M > tel que pour tout z C, f(z) M. Donc, d après l inégalité de Cauchy pour tous r > et z D(,r), f (z) M(r) r M r Ainsi, si on fait tendre le réel r > tend vers l infini on déduit que la dérivée f (z) =, et donc pour tout z C,f(z) = f(). Théorème 6 (Théorème fondamental de l algèbre). Tout polynôme de degré n à coeficient complexes possède au moins une racine dans C. Démonstration. Supposons que P(z) est une fonction polynômiale de degré n qui ne s annulepasdansc.donc, sipourtoutz Conposef(z) = P(z) onobtientuneholomorphe sur C. D autre part, comme la limite lim = on en déduit que la fonction f(z) z P(z) est bornée sur C. Ainsi, puisque le théorème de Liouville implique que la fonction f(z) est constante sur C il s ensuit que le polynôme P(z) est constant sur C; or ceci est absurde. Donc, tout polynôme P(z) de degré n s annule sur C.

64 64 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications 2.3 Le théorème des résidus et ses applications 2.3. Séries de Laurent Définition 22. Une série des puissances de la forme a n (z a) n = + a 2 (z a) 2 + a z a +a +a (z a)+a 2 (z a) 2 + n Z s appelle série de Laurent centrée au point a C.. La série des puissances négatives a n s appelle la partie principale. (z a) n n> 2. La série des puissances positives n a n (z a) n s appelle la partie régulière. 3. On dira que la série de Laurent converge si ses parties principale et régulière convergent. La proposition suivante est analogue au théorème de Hadamard pour les séries entières; elle va nous donner les formules qui permettent de déterminer l intérieur du domaine de convergence simple d une série de Laurent et nous donnera aussi une formule qui permet de calculer les coefficients de la série de Laurent. Proposition 22. Soit n Za n (z a) n une série Laurent centrée au point a C. On pose r = Lim-sup n + n a n et R = Lim-sup n + n an. Sur la couronne circulaire C r,r (a) = {z C ;r < z a < R} la série de Laurent a n (z a) n converge simplenement. n Z 2. Pour tout couple de réels r < r < R < R la série de Laurent n Za n (z a) n converge normalement vers une fonction holomorphe f : C r,r C dont les fonctions dérivées s obtiennent en dérivant la série de Laurent terme à terme. 3. Pour tout réel r < ρ < R les coefficients de la série de Laurent sont donnés par l intergrale curviligne a n = f(z)dz 2πi C(a,ρ) (z a) n+, n Z n an et lim n + n a n Démonstration. ) et 2) Notons que si on suppose que les limites lim n + existent le critère de Cauchy permet de déduire que la partie régulière n (z a) n a n converge si on a tandis que la partie principale n> z a lim n + n an < a n converge si on a (z a) n lim n + n a n z a <

65 Le théorème des résidus et ses applications 65 Donc, selon le critère de Cauchy la série de Laurent converge pour tout nombre complexe z C, r = lim n + n a n < z a < n an et lim n + Si les deux suites lim n + preuve du théorème de Hadamard (voir Chp. 4). lim n + an = R z C r,r n n a n n existent pas on procède comme dans la 3) Si f : C r,r C est la limite normale de la série de Laurent n Za n (z a) n donc pour tout réel r < ρ < R et pour tout entier m Z on peut écrire que 2πi C(a,ρ) f(z) (z a) m+ = n Z f(z)dz (z a) m+ = n Z Ainsi, comme pour tout m Z l intégrale n m on en déduit que a m = 2πi C(a,ρ) C(a,ρ) a n (z a) n m a n (z a) n m dz 2πi C(a,ρ) (z a) n m dz s annule si et seulement si f(z)dz (z a) m+. Le théorème suivant est démontré par P.A. Laurent en 843 il démontre que toute fonction holomorphe sur une couronne circulaire possède une série de Laurent. Théorème 7 (P.A. Laurent843). Toute fonction holomorphe f : C r,r (a) C se développe de manière unique en série de Laurent centrée au point a ie. : z C r,r (a), f(z) = n Z a n (z a) n De plus, pour tout réel r < ρ < R et pour tout entier n Z le coefficient a n = f(z) 2πi (z a) n+dz C(a,ρ) Démonstration. Dans l intérieur de la couronne C r,ρ (a) fixons un point z et choisissons deux nombres réels r < r < z a < R < R. R r a r ρ R z Figure 2.7 C r,r (a) : une couronne circulaire centrée en a Ω

66 66 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Donc,sionappliquelaformuledeCauchy-Goursatàlafonction f(w) w z surleborddudomaine orienté positivement (voir la figure) on déduit que D = C r,r (a)\d(z,ε) avec 4ε < min( z a r,r z a ) D f(w)dw w z = f(w)dw C(a,R ) w z f(w)dw C(a,r ) w z f(w)dw C(z,ε) w z = Ainsi, comme la fonction f(w) est holomorphe sur le disque fermé D(z,ε) la formule intégrale de Cauchy implique que f(z) = f(w)dw 2πi C(z,ε) w z. D où, f(z) = f(w)dw 2πi w z f(w)dw 2πi w z C(a,R ) C(a,r ) Pour trouver le développement de Laurent on va développer les deux intégrales curvilignes précédentes respectivement en série de puissances positives et négatives. Notons que si pour tout w C(a,r ) on écrit w z = (w a) (z a) = z a = z a [k=n k= ( w a z a w a z a ( w a ) n+ ) k ] + z a w a z a k=n (w a) k ( w a ) n+ = (z a) k+ + z a w z k= alors en multipliant cette expression par f(w) on obtient l intǵrale curviligne f(w)dw 2πi C(a,r ) w z k=n = (z a) k+ 2πi k= + 2πi C(a,r) ( w a z a C(a,r ) ) n+f(w)dw D autre part, observons que puisque pour tout w C(a,r ) on a w z f(w)dw (w a) k w z a z w a = w z a z r Donc, si on pose r = z a et M(r ) = sup{ (f(w) ;w C(a,r )} on obtient l inégalité de Cauchy 2πi C(a,r ) ( w a z a ) n+f(w)dw M(r ( ) r w z r r r ) n+ Ainsi, comme pour tout w C(a,r ) on a w a < z a on en déduit que si on fait tendre l entier n vers l infini on conclut que l intégrale curviligne f(w)dw 2πi C(a,r ) w z = a n (z a) n où a n = 2πi n C(a,r ) f(w)dw (w a) n+, n

67 Le théorème des résidus et ses applications 67 De la même façon que ci-dessus, on vérifie que l intégrale curviligne f(w)dw 2πi C(a,R ) w z = a n (z a) n où a n = f(w)dw 2πi n C(a,R ) (w a) n+ Enfin, puisque pour tout n les fonctions w f(w)dw f(w)dw et w sont (w a) n+ (w a) n+ holomorphes sur la couronne C r,r et comme pour tout réel r < ρ < R le cercle C(a,ρ) se déforme continument sur les deux cercles C(a,r ) et C(a,R ) on déduit que a n = 2πi C(a,R ) f(w)dw (w a) n+ = 2πi C(a,ρ) f(w)dw (w a) n+ et a n = 2πi C(a,r ) f(w)dw (w a) n+ = 2πi C(a,ρ) f(w)dw (w a) n+ Noter que l expression des coefficients a n de la série de Laurent trouvée impliques que les a n ne dépendent que de f(z) et donc ils sont uniques. Exemple 2. ) Développons la fonction sin(z) en série de Laurent centrées à l origine z a = valable sur C. Rappelons que la fonction sin(z) est holomorphe sur C et son développement en série entière centrée à l origine est donnée pour tout z C sin(z) = n Donc, pour tout z C on a la série de Laurent ( ) n z2n+ (2n+)! sin(z) z = z2 3! + z4 5! + +( )n z 2n (2n+)! + dont la partie principale est identiquement nulle. 2) Développons la fonction z 2 en série de Laurent centrée à l origine a = valable (z i) sur la couronne < z <. Pour cela observons que puisque pour tout z < on a la série entière z i = i +iz = i ( ) n (i) n z n n on déduit que le développement de Laurent de la fonction donné par z 2 (z i) au voisinage de zéro est z 2 (z i) = i z 2 + z i+ ( ) n (i) n+ z n, z C, < z < n Notons que la partie principle de la série de Laurent de la fraction rationnelle une fraction rationnelle i z 2 + z. z 2 (z i) est

68 68 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications 3) Rappelons que a fonction exponetielle e z possède sur C le développement en série entière suivant z C, e z = n Donc, pour tout z C on a la série de Laurent centré à l origine e /z = n! z n, n z n n! z C Notons que la partie principale du développement de la fonction holomorphe e /z en série de Laurent autour de zéro contient une infinité de termes. 4) Dans cet exemple, on va développer la fonction holomorphe f(z) = en série (z )(z 2) de Laurent dans plusieurs couronnes contenues dans l ouvert C\{, 2}. a) Notons que pour tout < z < on peut écrire f(z) = ( z)[ (z )] = z (z ) n = (z ) n n b) De même, pour tout < z 2 < on pourra écrire f(z) = (z 2)[+(z 2)] = z 2 n ( ) n (z 2) n = ( ) n+ (z 2) n n c) Notons aussi que puisque pour tout < z < 2 on a f(z) = z 2 z = 2 z/2 z donc du fait que z/2 < et /z < on pourra écrire f(z) = 2 n = z n 2 n z n n z n n z n z n 2 n+ n /z Exercice 37. Déterminer le développement en série de Laurent dans la couronne indiquée. 7z 2., z(z +)(z 2) {z C ; < z < }. 7z 2 2., z(z +)(z 2) {z C ; < z + < }. 3. z 2, (z i) {z C ; < z i < }. 4. z 2, (z i) {z C ; < z }. z z 2 (z 2, ) {z C ; < z < }. z z 2 (z 2, ) {z C ; < z < }. z z 2 (z 2, ) {z C ; < z + < }.

69 Le théorème des résidus et ses applications Classification des singularités isolées Définition 23. Soient z C et r >. Si f(z) est une fonction holomophe sur le disque pointé D (z,r) = {z C ; < z z < r} on dira que le point z est une singularité isolée de f(z). Il existe trois types de singularités isolées :. On dira que z est une singularité isolée supprimable si lim z z f(z) existe dans C. 2. On dira que z est un pôle d ordre m N si pour tout entier p < m la limite lim (z a) p f(z) = mais lim (z a) m f(z) existe dans C. z z z z 3. On dira que z est une singularité isolée essentielle si pour tout entier m N la limte lim f(z) n existe pas. z z Exemple 2. ) Les fonctions suivantes possèdent une singularité suprimable au point z = : sin(z), z cos(z) z 2, e z2 z 2, sin(z) Sh(z) z ) La fraction rationnelle z 3 (z i) 2 présente un pôle d odre deux au point z = i et un pôle d ordre trois au point z 2 =. 3) La fonction exp( z ) possède une singularité isolée essentielle au point z =. 4) Notons que puisque la fonction sin( ) s anulle sur les termes de la suite z nπ que le point z = n est pas une singularité isolé pour la fonction sin( z ). on en déduit Proposition 23. Soit z C et f : D (z,r) = {z C ; < z z < r} C une fonction holomorphe. Alors on a les propositions suivantes :. z est une singularité suprimable si et seulement si la série de Laurent n Z associée à f(z) ne contient pas des puissances négatives. a n (z z ) n 2. z est un pôle d ordre fini si et seulement si la série de Laurent n Za n (z z ) n associée à f(z) contient un nombre fini de puissances négatives. 3. z est une singularité essentielle si et seulement si la série de Laurent n Z associée à f(z) contient une infinité de puissances négatives. Démonstration. Exercice. a n (z z ) n Résidu d un point singulier isolé Soit f : {z C ; < z z < R} C une fonction holomorphe. Rappelons que d après le théorème de Laurent la fonction f(z) se dévelope dans le disque pointé D (z,r) en série de puissance sous la forme < z z < R, f(z) = n Z a n (z z ) n

70 7 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications telle que pour tout réel < ρ < R le coefficient a n = f(z) 2πi (z z ) n+, n Z C(z,ρ) Définition 24. Avec les notations ci-dessus, le coefficient a = f(z)dz 2πi C(z,ρ) s appelle le résidu de f(z) au point z et se note Rés(f(z),z ). Il est intéressant de noter que pour tout réel < ρ < R l intégrale curviligne autour de la singularité isolé z, C(z,ρ) f(z)dz = 2πiRés(f(z),z ) Notons aussi qu à partir de la définition on déduit que si f(z) admet une t une singularité isolée supprimable au point z alors le résidu Rés(f(z),z ) =. Exemple 22. ) Rappelons que pour tout nombre complexe z C on a la série de Laurent e /z = + z + 2!z n!z n + Donc, puisque le résidu Rés(e /z,) = on en déduit que l intégrale curviligne e /z dz = 2πi z = Observons que si pour θ [,2π] on porte z = e iθ dans cette intégrale on déduit que 2π e cos(θ) sin(θ sin(θ))dθ = et 2π e cos(θ) cos(θ sin(θ))dθ = 2π La proposition suivante nous donnera une méthode pratique qui permet de calculer le résidu d une fonction f(z) en un pôle d ordre m. Proposition 24. Soit f : {z C ; < z z < R} C une fonction holomorphe. Si le point z est un pôle de f(z) d ordre m alors le résidu d m [ ] Rés(f(z),z ) = (m )! dz m (z z ) m f(z) z=z En particulier, si z est un pôle simple alors le résidu Rés(f(z),z ) = lim z z (z z )f(z) Démonstration. Observer que si z est un pôle d ordre m alors le développement de f(z) en série de Laurent centrée au point z est donnée en tout point < z z < R par f(z) = a m (z z ) m + + a + a n (z z ) n z z n

71 Le théorème des résidus et ses applications 7 Donc, si on pose g(z ) = et g(z) = (z z ) m f(z) on obtient une holomorphe sur le disque D(z,R) parce que sur le disque D(z,R) on a la série entière : (z z ) m f(z) = a m +a m+ (z z )+ +a (z z ) m + a n (z z ) n+m n Donc, le coeffecient a = (m )! g(m ) (z ) = Rés(f(z),z ). Corollaire 2. Soient g(z) et h(z) deux fonctions holomorphes sur le disque D(z,R). Si g(z ), h(z ) = et h (z ) alors le résidu Exemple 23. ) La fonction f(z) = résidus sont donnés par, ( g(z) ) Rés h(z),z (z z )g(z) = lim = g(z ) z z h(z) h (z ) z(z 2 +) possède trois pôles simples {, i,i} dont les. Rés(f(z),) = lim zf(z) =. z 2. Rés(f(z),i) = lim(z i)f(z) = /2. z i 3. Rés(f(z), i) = lim (z +i)f(z) = /2. z i 2) La fonction g(z) = (z 2 possède deux pôles d ordre 4 aux points { i,i}, donc leurs +) 4 résidus sont donnés par Rés(g(z),i) = d 3 [ (z i) 4 ] z=i 3! dz 3 (z 2 +) 4 = d 3 [ ] z=i 3! dz 3 (z +i) 4 = !(2i) 7 = 5i 32 Rés(g(z), i) = d 3 [ (z +i) 4 ] z= i 3! dz 3 (z 2 +) 4 = d 3 [ ] z= i 3! dz 3 (z i) 4 = !( 2i) 7 = 5i 32 3) La fonction f(z) = z(e z ) présente au point z = un pôle d ordre deux. Donc, le résidu de f(z) au point z = est donné par la limite Rés(f(z),) = 3! lim d ( ) z 4 f(z) z dz = 6 lim d ( z ) z dz e z = ( e z 6 lim ze z ) z (e z ) 2 (régle de l Hospital) = ( 6 lim z ) z 2(e z (régle de l Hospital) ) = 2 Notons que puisque le résidu Rés( z(e z ),) = on en déduit que l intégrale curviligne 2 z(e z dz = 2πi ) 2 = πi 6 z =

72 72 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Exercice 38. Démontrer que pour tout entier n le résidu Rés(z n e /z,) = Exercice 39. Calculer Rés(f(z),u) pour f(z) et u donnés ci-dessous.. f (z) = z2 + z 3 ( z 2 ), u =. 2. f 2 (z) = z2 2z + (z ) 2 (z 2 +2z), u 2 =. 3. f 3 (z) = sin(z), u 3 = kπ où k Z. 4. f 4 (z) = e z, u 4 = 2kπi où k Z. 5. f 5 (z) = Log 2 (z), u 5 =. (n+)!. Théorème 8 (Théorème des résidus (Cauchy 826)). Soit C une courbe simple fermée qui borde un domaine borné simplement connexe D C (ie. D = ). Si f : D C est une fonction homolorphe sauf aux points {z,z 2,,z n } Int(D) (ie. les z k sont des singularités isolées de f(z)) alors l intégrale curviligne k=n f(z)dz = 2πi Rés(f(z),z k ) k= Démonstration. Autour de chaque singularité isolée z k considérons un disque fermé D(z k,r k ) où les rayons r k > seront choisis de tel sorte que les k disques D(z k,r k ) soit disjoints (voir la figure). De plus, orientons la courbe fermée et le bord de chaque disque D(z k,r k ) dans le sens trigonométrique. z 2 z 3 z z 4 Figure 2.8 La courbe simple fermée borde un domaine simplement connexe borné D pointé par quatre singularités isolées de f(z). Maintenant, si on applique la formule de Cauchy-Goursat à f(z) sur le domaine on déduit que l intégrale curviligne k=n K = D\ D(z k,r k ) k= k=n f(z)dz = f(z)dz z z k =r k k=

73 Le théorème des résidus et ses applications 73 Ainsi, comme pour chaque singularité z k on a f(z)dz = Rés(f(z),z k ) on déduit 2πi z z k =r k k=n donc que l intégrale curviligne f(z)dz = 2πi Rés(f(z),z k ). Exemple 24. ) La fonction f(z) = z3 + z 4 possède quatre pôles simples qui se trouvent sur + le cercle centré à l origine et de rayon R = et sont z k = e i(π/4+kπ/2) = e iπ/4 (e iπ/2 ) k avec k 3 z 3 + Notons que pour tout réel < r < l intégrale curviligne z =r z 4 dz = car la fonction + f(z) est holomorphe sur le disque D(,r). Mais, si le réel r > on aura k= z =r z 3 k=3 + z 4 + dz = 2πi Rés(f(z),z k ) k= k=3 = 2πi = πi 2 = 2πi k= k=3 k= (z k ) 3 + 4(z k ) 3 ( ) (z k ) 3 + z k car (z k ) 4 = 2) Calculons l intégrale curviligne de la fonction g(z) = cos(z) z 3 le long curcle C(,4) (z π) 2 parcouru dans le sens trigonométrique. Notons que puisque la fonction f(z) est holomorphe sur C\{,π} et qu elle présente un pôle simple au point z = et un pôle double au point z 2 = π le théorème des résidus implique que l intégrale curviligne z =4 cos(z) [ ] z 3 (z π) 2dz = 2π Rés(g(z), ) + Rés(g(z), π) [ cos(z) = 2πi lim z z [ 2 = 2πi ] π 4 = (π 2 π 3)i d [ cos(z) ) ] z=π + lim z π dz z 3 Exercice 4. Pour tout entier n démontrer que l intégrale curviligne z =2 z 2n + z 2n dz = 2πi + Exercice 4. Calculer les intégrales curviligne suivantes, z =2 z 3 dz z 4, z =2 dz (z +)(z 3 ), z =2 (sin(z) z)dz z 3, (z +) z =2π cos(z))dz z 3 (z iπ)

74 74 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Exercice 42. Soient P(x) et Q(x) deux polynômes irréductibles et tel que Q(x) ne possède que des racines simples notées {z,z 2,,z q }. ( P(z) ) ) Démontrer que le résidu Rés Q(z),z k = P(z k) Q, k q. (z k ) 2) En déduire que pour tout réel R > max{ z k ; k q} l intégrale curviligne z =R P(z)dz Q(z) k=q P(z k ) zp(z) = 2πi Q = 2πi lim (z k ) z Q(z) k= 3) Calculer les intégrales curvilignes suivantes z = z 2 +z + z 3 +z 2 +z + dz, z = z 3 z 4 +4z + dz, z = 5z 2 2z + 3z 3 +5z 2 2z 2 dz 2.4 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus Dans cette section, nous allons appliquer le théorème des résidus pour calculer certaines classes d integrales simples définies ou généralisées. Notons d abord que si f :]a,b[ R est une fonction continue telle que la fonction à variable complexe f(z) soit holomorphe sur un ouvert Ω C sauf sur un nombre fini de points singuliers isolés sur Ω. Ainsi, si en supposant que l intervalle ]a, b[ Ω le théorème des résidus implique que pour toute courbe simple Ω telle que [a,b] = {a,b} (voir la figure) on a b a k=m ) f(x)dx = f(z)dz +2πi Rés (f(z),z k k= z 2 z z 4 z 3 a b Figure 2.9 La courbe composée [a,b] est simple fermée borde un domaine du plan complexe qui contient certaines singularités de f(z). Donc, grâce à cette formule on pourra calculer l intégrale simple f(x)dx à partir du calcul a de l intégrale curviligne complexe f(z)dz, le cas idéal est lorsqu il existe une courbe simple qui donnera une intégrale curviligne complexe simple à calculer ou identiquement nulle! Dans cette section, on va exploiter cette remarque pour calculer certaines familles d intégrales simples par application du théorème des résidus. b

75 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus Calcul des intégrales définies de type 2π R(cos(t), sin(t))dt Considérons une fraction rationnelle R(x, y) réelle à variables réelles et observons que si on pose z = e it avec t [,2π] on otient l expression suivante R(cos(t),sin(t)) = R( 2 (z + z ), 2i (z z )) et ainsi comme la différentielle dz = izdt on déduit que l intégrale simple de la fraction rationnelle trigonométrique R(cos(θ), sin(θ)) définie sur [, 2π] est égale à une intégrale curviligne que l on peut calculer avec le théorème des résidus i.e : 2π R(cos(t), sin(t))dt = R( 2 (z + z ), 2i (z z ))dz iz z = = 2πi Rés(r(z),z k ) où r(z) = iz R( 2 (z + z ), 2i (z z )) et où les z k sont les pôles de la fraction rationnelle r(z) qui appartiennent à l intérieur du disque D(, ). dt Exemple 25. ) Calculons l intégrale simple définie 5+cos(t) Pour calculer cette intégrale on va appliquer la méthode ci-dessus qui consiste à poser z = e it avec t [,2π]. 2π 2π dt 5+cos(t) = = z = z = 5+ 2 (z + z ) 2dz dz iz i(z z +) Ainsi, puisque le nombre réel 2 5 est le seul pôle de la fraction rationnelle 2 i(z z +) = 2 i(z ( 5 2))(z ( 5+2)) qui appartient à l intérieur du disque D(, ) le théorème des résidus implique que 2π dt 2 = 2πiRés( 5+cos(t) i(z z +),2 5) [ 2 ] = 2πi i ( 5+2) ( = π 5 2) Notons que si la fraction rationnelle R(cos(t), sin(t)) est intégrable sur l intervalle [, 2π] elle possède des coefficents de Fourier complexes donnés par l expression, n Z, c n = 2 (a n +ib n ) = 2π R(cos(t),sin(t))e int dt 2π = R( 2πi 2 (z + z ), 2i (z z ))zn dz z =

76 76 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Exemple 26. Soit a >. Calculons les coefficients de Fourier de la fonction f(t) = qui est 2π-périodique et de classe C sur R. Ch(a) + cos(t) Pour calculer les coefficients de Fourier complexe de la fonction f(t) on va donc appliquer le théorème des résidus à l intégrale simple : 2π n N, c n = 2π = 2πi = 2πi ( = Rés z = z = = 2( )n e na e a +e a = ( )n e na Sh(a) e int dt Ch(a) + cos(t) 2z n dz z 2 +2Ch(a)z + 2z n dz (z +e a )(z +e a ) 2z n (z +e a )(z +e a ), e a) Noter que puisque la fonction f(t) = Ch(a)+cos(t) est paire ses coefficients b n sont donc nuls et que par suite les coefficients a n = 2c n = 2( )n e na. Par conséquent, pour tout Sh(a) x R la série de Fourier associée à la fonction 2π-périodique Ch(a)+cos(t) = Sh(a) + 2( ) n e na cos(nt) Sh(a) n 5+cos(t) est égale à : Exercice 43. Calculer les intégrales simples suivantes par la méthode des résidus. 2π dt. où a >. a+cos(t) π 2π π π π dt où a >. (a+cos(t)) 2 dt où a. 2acos(t)+a2 cos 2 (t)dt 5 3cos(t). cos 2n+ (t)dt où n N. cos 2n (t)dt où n N. Exercice 44. Pour tout réel a > calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique f(x) = (a+cos(x)) 2, x R

77 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus 77 Exercice 45. Pour tout réel a calculer les coefficients de Fourier de la fonction 2π-périodique f(x) = a 2 + 2acos(x), Calcul des intégrales généralisées x R P(x) Q(x) dx Considérons une fonction x R f(x) dont la fonction à variable complexe associée z f(z) est holomorphe sur C sauf en un nombre fini de singularités isolées. On va désigne par {z,z 2,,z n } les singularités de f(z) qui appartiennent au demi-plan supérieur H = {z C ;Im(z) > }. z 2 z z 4 z 3 R R Figure 2.2 La courbe est simple fermée borde un domaine du demi-plan supérieur contenant certaines singularités de f(z). Donc, si pour tout réel R > max( z, z 2,, z n ) on intégre la fonction f(z) sur la courbe parcourue dans le sens trigonométrique et qui est constituée par l intérvalle [ R, R] et le demi-cercle C R de centre l origine et de rayon R (voir la figure), le théorème des résidus implique que f(z)dz = R R k=n f(x)dx+ f(z)dz = 2πi Rés(f(z),z k ) C R Par conséquent, si on fait tendre le réel R > vers l infini on obtient l expression suivante : k= k=n f(x)dx = lim f(z)dz +2πi Rés(f(z),z k ) R + C R Le lemme de Jordan suivant permet de calculer la valeur de la limite de l integrale curviligne lim f(z)dz lorsque R tend vers l infini pour certaines fonctions f(z). R + C R Lemme (Jordan). Soit S = {z C ;r < z z < R et θ arg(z) θ +α} un secteur non vide. Si f : S C est une fonction holomorphe telle que lim zf(z) = A z z S alors lim f(z)dz = iaα où γ R (t) = z +Re it S avec t [θ,θ +α]. R + γ R k=

78 78 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications z C r S C R Figure 2.2 Le secteur S de centre z est limité par deux arcs circulaires C R et C r et avec C R qui tend vers l infini Démonstration. Donc, si on suppose que la limite z lim zf(z) = A C existe le lemme de Jordan implique z S que lorsque le réel R vers + on obtient l expression suivante k=n f(x)dx = iaπ +2πi Rés(f(z),z k ) En particulier, si la fonction f(x) = P(x) est une fraction rationnelle irréductible dont le Q(x) dénominateur Q(x) vérifie les conditions suivantes : k=. le polynôme Q(x) ne possède pas de racines réelles; 2. le degré de Q(x) est supérieur ou égal au degré de P(x) plus deux deg(q(x)) deg(p(x))+2 la formule établie ci-dessus implique que l intégrale simple généralisée P(x)dx Q(x) k=n ) = 2πi Rés (f(z),z k k= Exemple 27. ) Pour tous < a < b calculons l intégrale simple généralisée x 2 dx (a 2 +x 2 )(b 2 +x 2 ) x 2 Notons que cette intégrale converge car à l infini la fonction (a 2 +x 2 )(b 2 +x 2 est équivalente ) à la fonction x 2 et on a dx x 2 = converge et que la fonction f(z) = z 2 (a 2 +z 2 )(b 2 +z 2 ) est holomorphe sur le demi-plan supérieur sauf aux points ia et ib. Donc, puisque lim zf(z) = z le lemme de Jordan combiné avec le théorème des résidus impliquent qu on a x 2 dx (a 2 +x 2 )(b 2 +x 2 ) [ ] = 2πi Rés(f(z),ia)+Rés(f(z),ib) [ = 2πi = π b+a (ia) 2 (2ia)(b 2 a 2 ) + (ib) 2 ( b 2 +a 2 )(2ib) ]

79 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus 79 2) Pour tout entier n et a > calculons l intégrale simple généralisée dx (a 2 +x 2 ) n+ La fonction (a 2 +z 2 est holomorphe sur le demi-plan supérieur et n a pas de racimes ) n+ réelles, donc d après le thórème des résidus on aura dx (a 2 +x 2 ) n+ = dx 2 (a 2 +x 2 ) n+ ( ) = πirés (a 2 +z 2 ) n+,ia = πi ) z=ia n! (z +ia) n+ = π(n+) (2n+)i ( ) n n! (2ia) 2n+ = (2n+)! π (n!) 2 (2a) 2n+ d n ( dz n Exercice 46. Calculer les intégrales simples suivantes par la méthode des résidus tdt (t 2 2t+2) 2. tdt t 4 +t 2 +. dt où n N. +t2n t m dt où les entiers m et n vérifient < m < n. +t2n Calcul des intégrales généralisées P(x) Q(x) eiαx dx Considérons une fraction rationnelle P(x) dont le dénominateur Q(x) ne possède pas des Q(x) racines réelles et son degré de Q(x) est supérieur ou égal au degré de P(x) plus un (ie. + P(x) deg(q(x)) deg(p(x))+). Le calcul de l intégrale simple Q(x) eiαx dx sera fait selon le signe du paramètre α. a) Le paramètre α > : Dans ce cas on choisit un réel R > strictement supérieur aux modules des racines {z,z 2,,z n } de Q(z) qui appartiennent au demi-plan supérieur H et puis on intègre la fonction P(z) Q(z) eiαz sur la courbe simple fermée R constituée par l intervalle [ R,R] et le demi-cercle C R H centré à l origine et de rayon R. Donc, d après le théorème des résidus on obtient R P(z) Q(z) eiαz dz = R R k=n P(x) P(z) Q(x) eiαx dz + C R Q(z) eiαz dz = 2πi Rés( P(z) Q(z) eiαz,z k ) k=

80 8 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Notons que puisque deg(q(x)) deg(p(x)) + il s ensuit que P(z) tend vers zéro quand z Q(z) tens l infini, donc la fonction M(R) = sup{ P(z) Q(z) ;z = Reiθ avec θ π} tend vers zéro quand R tend vers +. Ainsi, puisque le module P(z) π C R Q(z) eiαz dz M(R) e αrsin(θ) dθ 2M(R) 2M(R) π/2 π/2 e αrsin(θ) dθ e 2αRθ/π dθ car sin(θ) 2θ/π, θ [,π/2] πm(r) αr [ e αr ] P(z) on en déduit que lim R + C R Q(z) eiαz dz =. Par conséquent, l intégrale simple généralisée k=n P(x) Q(x) eiαx dz = 2πi Rés( P(z) Q(z) eiαz,z k ) b) Le paramètre α < : On désigne par {u,u 2,,u m } les racines de Q(x) qui appartiennet au demi-plan inférieur H, puis pour tout réel R > max( u, u 2,, u m ) on intégre la fonction P(z) Q(z) eiαz sur la courbe fermée R constituée par le demi-cercle C R = {Re iθ ;θ [ π,π]} H et l intervalle [ R,R] parcouru dans le sens opposé. Comme ci-dessus en appliquant le théorème des résidus sur R on obtient P(z) R P(x) P(z) R Q(z) eiαz dz = Q(x) eiαx dz + C R Q(z) eiαz dz = 2πi R k= et ainsi le passage à la limite sur R vers l infini implique que k=n k= k=n P(x) Q(x) eiαx dx = 2πi Rés( P(z) Q(z) eiαz,u k ) Exemple 28. Pour tous les réels a > et b > calculons l intégrale k= e ibz Rés( P(z) Q(z) eiαz,u k ) cos(bx) x 2 +a 2dx D après la méthode décrite ci-dessus en intégrant la fonction a 2 sur la corube simple +z2 fermée R constituée par un demi-cercle C R contenu dans le demi-plan supérieur H centré à l origine et de rayon R > a et l intervalle [ R,R] on obtient lorsque R tend vers + : e ibx dx x 2 +a 2 = 2πiRés( e ibz z 2 +a2,ia) = 2πie ba 2ia Calcul des intégrales généralisées = P(x) e iαx Q(x) x dx cos(bx) πe ab x 2 +a2dx = 2a Dans ce paragraphe, on va adapter la méthode décrite au paragraphe précédent au cas des fonctions P(x) e iαx avec P(x) est une fraction rationnelle tel que le polynôme Q(x) ne Q(x) x Q(x) possède pas des racines réelles et son degrés deg(q(x)) deg(p(x)).

81 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus 8 P(x) Notons que dans ces conditions pour calculer l intégrale généralisée dx il suffit Q(x) x qu on intègre la fonction P(z) e iαz sur la courbe fermée ε,r (voir la figure) constituée par le Q(z) z demi-cercle C R = {Re iθ ;θ [,π]} (si α > mais si α < on prend θ [ π,]), l intervalle I = [ R, ε], le demi-cercle C ε = {εe iθ ;θ [ π,]} et enfin l intervalle I + = [ε,r] et où r < min( z, z 2,, z n ) et R > max( z, z 2,, z n ). e iαx z 2 z z 4 z 3 R R Figure 2.22 La courbe est simple fermée borde un domaine contenu dans le demi-plan supérieur H contenant les singularités z k H de P(z) tout en évitant l origine. Q(z) Donc, d après le théorème des résidus on obtient P(x) e iαx r ε,r Q(x) x dx = P(x) e iαx Q(x) x dx+ + R R r P(x) e iαx Q(x) x dx+ C r P(z) e iαz Q(z) z dz C R P(z) Q(z) k=n = 2πi Rés( P(x)eiαx,z k ) Q(x) k= e iαz z dz P(z) e iαz Notons aussi que si on procède comme ci-dessus on vérifie que l intergrale C R Q(z) z dz tend vers zéro quand le rayon R tend vers +. Pour calculer la limite de l intergarle f(z)dz lorsque r tend vers zéro on va démontrer le deuxième lemme de Jordan suivant. C r Lemme 2 (Jordan). Soit S = {z C ;r < z z < R et θ arg(z) θ +α} un secteur non vide. Si f : S C est une fonction holomorphe telle que lim (z z )f(z) = a C z z z S alors lim f(z)dz = iaα où la courbe γ r (t) = z +re it S avec t [θ,θ +α]. r γ r Démonstration. Donc, d après le second lemme de Jordan, puisque zéro est un pôle simple il s ensuit que la limite ( P(z) lim z z Q(z) e iαz z ) = P() Q() = a C

82 82 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications z C r S C R Figure 2.23 Le secteur S de centre z est limité par deux arcs circulaires C R et C r et avec C r qui tend vers z existent, et donc si on fait tendre le réel r vers zéro on obtient Exemple 29. Calculons l intégrale généralisée P(x) e iαx k=n Q(x) x dx = iaπ +2πi Rés(f(z),z k ) k= sin(x) dx par la méthode des résidus. x Pour calculer cette intégrale nous allons intégrer la fonction eiz z sur la courbe fermée ε,r constituée par le demi-cercle C R = {Re iθ ;θ [,π]}, l intervalle I = [ R, ε], le demicercle C ε = {εe iθ ;θ [ π,]} et enfin l intervalle I + = [ε,r]. Donc, puisque la fonction eiz z est holomorphe dans le domaine limité par la courbe ε,r on aura e iz ε,r z CR dz = e iz ε z dz + e ix R x Cε dx+ e iz R z dz + e ix ε x dx = ε e ix R Observons que puisque R x dx = e ix dx on déduit que ε x 2i R ε sin(x) x CR dx = e iz z Cε dz e iz z dz Ainsi, comme la limite lime iεeiθ = la seconde lemme de Jordan implique que la limite ε e lim ε Cε iz dz = iπ z De même, puisque le module e ireiθ = e Rsin(θ) on en déduit que le module CR e iz z dz π e Rsin(θ) dθ = 2 e et donc lim R + CR iz dz =. z π/2 Par conséquent, si dans l intégrale simple vers zéro on obtient e Rsin(θ) dθ 2 R ε π/2 e 2Rθ/π dθ = π R ( e R ) sin(x) dx on fait tendre R vers + et ε > x sin(x) x dx = π 2

83 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus 83 x 2 sin(ax) Exemple 3. Calculons l intégrale simple généralisée +x 2 dx où a >. x Considérons la fonction f(z) = z2 e iaz +z 2 qui est holomorphe sur C\{±i,} et pour laquelle z les points ±i et sont des pôles simples. Donc, si on applique le théorème des résidus à f(z) sur la courbes fermées ε,r (voir la figure 2) on obtient ε R f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz + f(z)dz = 2πiRés(f(z),i) C R R Observons d abord que l intégrale simple ε R f(z)dz = ε R C ε x 2 e iax +x 2 x dx = Ceci permet de déduire que R x 2 sin(ax) 2i ε +x 2 dx+ f(z)dz + x C R C ε ε R ε x 2 e iax +x 2 x dx [ 2 f(z)dz = 2πi 2ie a ] i et donc pour calculer l intégrale donnée il suffit qu on calcule les deux limites suivantes lim f(z)dz et lim f(z)dz R + C ε R Notons que puisque lim εe iθ f(εe iθ ) = la seconde lemme de Jordan implique ε θ π lim f(z)dz = iπ ε C ε Dême, observons que puisque lim +z 2 = on déduit qu il existe M > et R > tel que pour R > R on a z2 M. Donc, si pour z CR +z 2 on pose z = Re iθ avec θ π on aura dz = izdθ et par suite en procédant comme dans l exemple précédent on vérifie que π f(z)dz M e arsin(θ) dθ 2πM C R ar ( e ar ) = lim f(z)dz = R + C R z z 2 Maintenant, avec ces calculs on déduit que si R tend vers + et r tend vers zéro on obtient 2i x 2 sin(ax) +x 2 dx = πi 2πe a i = x C ε x 2 sin(ax) +x 2 dx = π x 2 π e a Exercice 47. Calculer les intégrales simples suivantes par la méthode des résidus. cos(bx). x 2 dx où b > et α ],π[. 2cos(α)x t 3 sin(t)dt (t 2 +) 2. cos(2t)dt (t 2 +) 2. xsin(x) x 2 +x+ dx. sin(x) (x 2 +)(x π) dx.

84 84 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Calcul des intégrales généralisées x αp(x) dx, < α < Q(x) Dans ce paragraphe, étant donnée une fraction rationnelle P(x) qui a que des pôles non réels Q(x) et tel que le degré deg(q(x)) deg(px)+, on va décrire une méthode qui permet de calculer + les intégrales généralisées de type x αp(x) dx avec < α <. Q(x) Notons d abord que si dans l intégrale généralisée de variable x = e t on obtient dx = e t dt et que x αp(x) Q(x) dx = x αp(x) dx on effectue le changement Q(x) e (α+)tp(et ) Q(e t ) dt Notons aussi que si u = Log(z) désigne la détermination principale du logarithme complexe telle que arg(z) ],2π[ on déduit que si z est un pôle de la fraction P(z) alors le Q(z) nombre complexe u = Log(z ) est une singularité de la fonction P(eu ) Q(e u ). Suite à ces remarques on déduit que pour calculer les intégrales généralisées de type x αp(x) Q(x) dx il suffit qu on applique le théorème des résidus à la fonction e (α+)up(eu ) Q(e u ) sur le rectangle C R indiqué sur la figure suivante : 2πi u u 2 u 3 u 4 u 5 R R Figure 2.24 La courbe R est simple fermée et borde un rectangle du demi-plan supérieur qui contient les singularités de la fonction P(ez ) Q(e z ). k=n e (α+)up(eu ) C R Q(e u ) du = 2πi Rés(e (α+)up(eu ) Q(e u ),u k) k= C R e (α+)up(eu ) Q(e u ) du = + = R R R e (α+)xp(ex ) 2π Q(e x ) dx+i e (α+)(x+2πi)p(ex ) Q(e x ) dx+i R ( e 2π(α+)i) R R e (α+)(r+iy)p(er+iy ) Q(e R+iy ) dy 2π e (α+)xp(ex ) Q(e x ) dx+ e (α+)( R+iy)P(e R+iy ) Q(e R+iy ) dy

85 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus 85 2π i Ainsi, puisque pour tout réel R > assez grand on a e (α+)(r+iy)p(er+iy ) 2π Q(e R+iy dy i e (α+)( R+iy)P(e R+iy ) ) Q(e R+iy ) dy e (α+)(r+iy)p(er+iy ) c Q(e R+iy e(α+)r ) e nr et e (α+)( R+iy)P(e R+iy ) Q(e R+iy ) R (α+)r c où n N on déduit que si R tend vers l infini on obtient les deux expressions suivantes et x αp(x) k=n πe παi dx = Rés(z αp(z) Q(x) sin(πα) Q(z),z k) k= k=n e (α+)xp(ex ) πe παi Q(e x dx = Rés(e (α+)up(eu ) ) sin(πα) Q(e u ),u k) k= e ax dx Exemple 3. Pour tout < a < calculons l intégrale +e x Pour calculer cette intégrale nous considérons le rectange R dont les côtés sont [ R,R], [R,R +2πi], [R +2πi, R + 2πi] et [ R +2πi, R] (voir la figure) et nous appliquerons le théorème des résidus à la fonction f(z) = eaz +e z sur R : 2πi πi R R Figure 2.25 La courbe R est simple fermée et borde un rectangle du demi-plan supérieur qui contient le pôle simple πi de f(z). R f(z)dz = 2πiRés(f(z),πi) = 2πi lim z πi (z πi)e az +e z = 2πi eaπi e πi = 2πie aπi Observons que par définition d une intégrale curviligne on peut écrire R e ax dx 2π f(z)dz = R R +e x + ie a(r+iy) dy +e R+iy + = R e a(x+2πi) dx +e (x+2πi) + R ( e 2πai) R R 2π e ax dx +e x + ie a( R+iy) dy +e R+iy 2π ie a(r+iy) dy +e R+iy 2π ie a( R+iy) dy +e R+iy

86 86 Intégration complexe : Le théorème des résidus et ses applications Ainsi, puisque le paramètre < a < et pour tout réel y [,2π] on a et iea(r+iy) e ar +e R+iy e R + e (a )R = lim R + iea( R+iy) e ar +e R+iy e R + e ar = lim on en déduit que si R tend vers l infini on obtient ( e 2πai) R + 2π 2π e ax dx +e x = 2πieaπi Par conséquent, pour tout réel < a < l intégrale généralisée e ax dx +e x = π sin(πa) ie a(r+iy) dy +e R+iy = ie a(r+iy) dy +e R+iy = Notons que si dans l intégrale qu on vient de calculer on effectue le changemenet de variable t = e x on aura dt = tdx et par suite a ],[, e ax dx + +e x = t a +t dt = π sin(πa) Exercice 48. Calculer l intégrale généralisée suivante par la méthode des résidus e ax dx Ch(x) < a < Exercice 49. On rappelle que l intégrale simple généralisée e t2 dt = π/2. Intégrer la fonction e z2 le long du bord du rectangle R orienté positivement de sommets, r, r +ia et ia avec a > et puis faire tendre r vers + pour déduire que π e at2 cos(2at)dt = e a2 2 a e at2 sin(2at)dt = e a2 e t2 dt Exercice 5. Intégrer la fonction e iz2 le long du bord du secteur C(R) = {z C ; z R, arg(z) π/4} et puis faire tendre R vers + pour déduire que cos(t 2 )dt = sin(t 2 )dt = π 2 2 Log(x) Exercice 5. Calculer l intégrale simple généralisée, (x 2 +) 2dx en intégrer la fonction Log(z) (z 2 +) 2 le long de la courbe fermée R,ε qui borde le domaine D R,ε = {z C ; z R avec Im(z) }\z C ; z ε avec Im(z) } puis faire tendre R vers + et ε vers.

87 Calcul des intégrales simples généralisées par la méthode des résidus 87 Exercice 52. Intégrer la fonction eeiz z le long sur la courbe fermée R,ε qui borde le domaine D R,ε = {z C ; z R avec Im(z) }\z C ; z ε avec Im(z) } puis faire tendre R vers + et ε > vers pour déduire que e cos(t) sin(sin(t)) dt = π t 2 (e )

88 Index Application C-linèaire, 2 Calcul des intégrales simples par la méthode des résidus, 74 Chemin, 36 Chemin opposé, 37 Chemains composés, 38 Conditions de Cauchy-Riemann, 6 Conjuguée harmonique, 22 Coupure, 29 Courbe paramétrée, 37 Couronne circulaire, 4 Dérivations complexes simboliques, 24 Détermination principale du logarithme, 3 Disque fermé, 8 Disque ouvert, 8 Domaine, 38 Domaine multiplement connexe, 39 Domaine orienté positivement, 45 Domaine simplement connexe, 39 Équation de Laplace, 2, 25 Équation de Poisson, 25 Exponentielle complexe, 27 Fonction C-dérivable, 4 Fonction à variable complexe continue, Fonction holomorphe, 4 fonction multiforme, 3 Fonctions harmoniques, 2 Fonctions hyperboliques complexes, 35 Fonctions trigonométriques complexes, 34 Formule de Cauchy-Goursat, 46 Formule de dérivation de Cauchy, 56 Formule de Green-Riemann complexe, 45 Formule de la moyenne de Gauss, 54 Inégalités de Cauchy, 63 Intégrale curviligne complexe, 4 Inverse local, 6 Le Laplacien d une fonction, 25 Limite d une fonction à variable complexe, 9 Logarithme complexe, 28 Longueur d une courbe, 42 Partie connexe, 8 Partie convexe, 39 Partie étoilée, 39 Partie fermée, 8 Partie ouverte, 8 Point de branchement, 29 Pôle d ordre m, 69 Première formule de Cauchy, 46 Primitive, 49 Principe des zéros isolés, 62 Principe du maximum, 55 Puissances complexes, 32 Règle de l Hospital, 6 Résidu d une singularité isolée, 7 Seconde formule de Cauchy, 53 Séries de Laurent, 64 Singularité isolée, 69 Singularité supprimable, 69 Singularité essentielle, 69

89 INDEX 89 Théor eme de Liouville, 63 Théorème d inverse locale, 6 Théorème de Laurent, 65 Théorème de Morera, 58 Théorème des résidus, 72 Théorème fondamental de l algèbre, 63 Voisinage d un point, 8