Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré

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1 Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré Objectifs : * Savoir résoudre des équations et inéquations du 1 er degré * Connaitre les variations et le signes des fonctions affines *Connaitre les deux types d équations réduites de droites * Savoir tracer une droite à partir de son équation réduite * Savoir trouver une équation réduite à partir de 2 points *Savoir si un point donné appartient à une droite *Savoir déterminer si deux droites sont parallèles, sécantes ou confondus *Savoir résoudre un système de deux équations à deux inconnues I. Equations et Inéquations du 1 er degré 1)Equation : Rappel : Si l on ajoute (ou l on retranche) un même nombre aux deux membres d une équation, on obtient une équation équivalente. Si l on multiplie (ou l on divise) par un même nombre non nul les deux membres d une équation, on obtient une équation équivalente. Exemple : 2) Inéquation (rappel) Si l on ajoute (ou l on retranche) un même nombre aux deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente. Si l on multiplie (ou l on divise) par un même nombre non nul positif les deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente. Si l on multiplie (ou l on divise) par un même nombre non nul négatif les deux membres d une inéquation, on obtient une inéquation équivalente en changeant le signe de l inégalité. Exemples : A l aide de ces résultats on peut présenter les expressions dans un tableau de signe. 16,17p92+74à76p95+77,79,80p96+116p99+35p145+37p146 Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré Page 1

2 II. Fonctions affines Définitions : Une fonction affine f est définie sur R par, où a et b sont deux réels. Lorsque la fonction f définie par est une fonction linéaire. Lorsque, la fonction f définie par est une fonction constante. Etude des variations : Soient m et p deux nombres réels tels que m < p. Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par. Si, alors f est croissante sur R. Si, alors f est décroissante sur R. Remarques : La représentation graphique d une fonction affine est une droite qui n est pas parallèle à l axe des ordonnées. Dans le cas d une fonction linéaire, il s agit d une droite passant par l origine du repère. Dans le cas d une fonction constante, il s agit d une droite parallèle à l axe des abscisses. Pour la fonction f définie sur R par f( x) ax b : a est coefficient directeur et b est l ordonnée à l origine de la droite représentative. Etude du signe : Propriété : Soit f une fonction affine définie sur R par suivant : Si, alors Si x x, alors. On a les tableaux de signes f(x) f(x) p72+65,67,70à72p73+114p79+13,14p143+31,32,34p145 Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré Page 2

3 III. Equation de droites Exemple : 1) Dans le repère orthonormé, placer les points A(0 ;3) ; B(-2 ;-1) ; C(3 ;0) ; D(0 ;4) 2) Tracer la droite (AB), la droite (d) verticale passant par C et la droite horizontale (d ) passant par D. 3)Que peut-on dire des abscisses des points de (d)? Quelle équation pourrait-on donner à (d)? 4) Que peut-on dire des ordonnées des points de (d )? Quelle équation pourrait-on donner à (d )? 5) On dit que l équation de (AB) est donc y=2x+3. a)vérifier que les coordonnées de A et B vérifient l équation précédente. b) Quel lien semble-t-il y avoir entre y=2x+3 et le point A? Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré Page 3

4 Propriété : Soit (O,I, ) un repère du plan. Soit D une droite du plan. Si D est parallèle à l axe des ordonnées alors l équation de D est de la forme x = c, où c est un nombre réel. O D c Si D n est pas parallèle à l axe des ordonnées alors l équation de D est de la forme y = ax + b, où a et b sont deux nombres réels. O b 1 D a Exemple : Soit (O,I, ) un repère du plan. Les points la droite d d équation? appartiennent-ils à Propriété : Soit (O,I, ) un repère du plan. Soit D et D deux droites non parallèles à l axe des ordonnées. Dire que D et D sont parallèles entre-elles équivaut à dire qu elles ont le même coefficient directeur. Propriété : Si A(x A ; y A ) et B(x B ; y B ) sont deux points distincts d une droite D tel que x A droite D a pour coefficient directeur x B alors la Exemple : Soit (O,I, ) un repère du plan. Soit et deux points d une droite d. Déterminer une équation de la droite d. 10à17p296+20à22,24,25p297+30à36p298+40,43,44,48,49p299+58à62p72+66,68,73p73+113p79 Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré Page 4

5 IV. Systèmes Définition : Soit a, b, a et b des nombres réels donnés. Résoudre le système d équations deux équations du système. c est trouver tous les couples (x ; y) de nombres réels vérifiant simultanément les Méthode 1: Résoudre un système d équation par la méthode de substitution Soit le système (S) : 3 x 2 y 17 x y 6 Remarque : Ici, la méthode de substitution se prête bien à la résolution du système car une équation contient une inconnue facile à isoler. On commence par isoler une inconnue dans une équation. On exprime y en fonction de x dans la deuxième équation. 3x 2y 17 y x 6 On substitue l inconnue isolée dans l autre équation. On remplace y dans la première équation par son expression en fonction de x x x 17 y x 6 On résout cette équation pour trouver la valeur d une inconnue. 3x 2x12 17 y x 6 x y x 6 On substitue dans la deuxième équation la valeur ainsi trouvée pour calculer y. x 5 y 5 6 x 5 y 1 La solution est le couple (-5 ; 1). Méthode 2 : Résoudre un système d équations pas la méthode des combinaisons linéaires Résoudre le système suivant : 3x2y5 5x3y2 Remarque : Ici, la méthode de substitution ne se prête pas à la résolution du système car en isolant une inconnue, on ramène les équations à des coefficients rationnels. Ce qui compliquerait considérablement les calculs. Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré Page 5

6 On multiplie la première équation par 5 et la deuxième équation par 3 dans le but d éliminer une inconnue par soustraction ou addition des deux équations. On soustraie les deux premières équations pour obtenir une nouvelle première ligne. Ici, on élimine l inconnue x. On recopie une des équations précédentes en deuxième ligne. On résout la première équation obtenue pour trouver une inconnue. On substitue dans la deuxième équation du système la valeur ainsi trouvée pour calculer la valeur de la 2e inconnue. La solution est le couple (1 ; -1). Exemple de système ayant un unique couple de solution : Soit le système (S) : 3 x 2 y 17 x y 6 x 5 y 1 Il existe un unique couple de réels (-5 ;1) qui vérifie simultanément les deux équations du système (S). (S) possède donc une unique solution. Interprétation géométrique : Les droites d équations se coupent au point de coordonnées (-5 ;1) sont sécantes et Exemple d un système n admettant pas de solution : 3x y1 Soit (S) le système : 6x2y6 y3x1 Le système (S) équivaut à 2y 6x 6 y3x1 6 6 y x 2 2 Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré Page 6

7 y3x1 y 3x 3 Les deux équations du système (S) ne peuvent pas être vérifiées simultanément par un couple de nombres réels (x ; y). Le système (S) ne possède donc pas de solution. Interprétation géométrique : Les droites d équations y 3x 1 et y3x3possèdent des coefficients directeurs égaux, elles sont donc strictement parallèles. Exemple d un système admettant une infinité de solutions : Soit (S) le système : 6x 3y 6 2x y2 Le système (S) équivaut à : 3y 6x 6 y 2x Soit : y x 3 3 y 2x Soit encore : y x y 2x 2 Tous les couples de coordonnées (x ; y) vérifiant l équation sont solutions du système (S). Il existe une infinité de couples de nombres réels (x ; y) vérifiant l équation y 2x 2. Le système (S) possède donc une infinité de solutions. Interprétation géométrique : Les droites associées à ces deux équations sont donc confondues. Remarque : On peut déterminer à l avance le nombre de solutions du système à l aide du «déterminant» ab -ba : Propriété : Soit a, b, a et b des nombres réels donnés. Soit le système d équations *Si ab -ba *Si ab -ba 63,64p72+80p74+52,54,56p300+62,64,65p p306 Exercices supplémentaires : Math X 2014 Didier 56p72+69p73+33p145+p282,287,289,290,291+18,19,23,26p297+29,37,38p298+39,47p299+p304,305 Chapitre 4 : Problèmes du 1 er degré Page 7