Ch.2 : Géométrie plane

Transcription

1 4 e - programme mathématiques ch2 - cours Page 1 sur 6 (D après Hachte - Déclic 2011 ch7) Ch2 : Géométrie plane Dans l'ensemble du chapitre, on considère un repère (O ; I, J) du plan 1 COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS DÉFINITION 1 On dit que deux vecteurs non nuls u v s'il existe un réel k tel que : Autrement dit, leurs coordonnées dans le repère (O ; I, J) sont proportionnelles v = k u Remarque : Comme 0 u = 0, par analogie, on dit que 0 est colinéaire à tout vecteur PROPRIÉTÉ 1 Soit u x y v x' y' deux vecteurs du plan Les vecteurs u v si, seulement si : xy' yx' = 0 Dans le cas où u (ou v ) est nul, le résultat est immédiat Supposons que u v sont non nuls La colinéarité de u v équivaut à la proportionnalité des coordonnées x y x', c'est-à-dire à l'égalité : y' xy' = yx' D'où le résultat Soit u 2 1, v w u v ne sont pas colinéaires, car : 2 ( 2) u w, car leurs coordonnées sont proportionnelles : = 0 Plus précisément, on a : w = 4 u 2 EXPRESSION D'UN VECTEUR EN FONCTION DE DEUX VECTEURS NON COLINÉAIRES THÉORÈME 1 Soit u v deux vecteurs non colinéaires du plan Alors pour tout vecteur w du plan, il existe un couple unique de réels (a ; b) tels que : w= au + b v Le couple (a ; b) est appelé couple des coordonnées du vecteur w dans la base ( u ; v ) Existence : Dans un repère (O ; I, J) du plan, soit les points I', J' M tels que : u = OI', v = OJ' w = OM Les points O, I' J' ne sont pas alignés, car u v ne sont pas colinéaires Ainsi, (O ; I', J' ) est un repère du plan Notons (a ; b) les coordonnées de M dans ce repère On a alors : OM = aoi' + boj', c'est-à-dire : w = a u + b v Unicité : On suppose qu'il existe deux couples (a ; b) (a' ; b' ) tels que : w = a u + b v = a' u + b' v Alors (a a') u = (b' b) v Si a a' 0, on obtient : u = b' b v C'est impossible, car u v ne sont pas colinéaires a' a H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes) wwwsacrecoeurnantese-lycofr

2 4 e - programme mathématiques ch2 - cours Page 2 sur 6 (D après Hachte - Déclic 2011 ch7) On a donc : a a' = 0, d'où a = a' Le même raisonnement conduit à l'égalité b = b' On aboutit ainsi à des couples de coordonnées (a ; b) (a' ; b' ) identiques ABCD est un parallélogramme de centre O On veut exprimer le vecteur w = AB, en fonction de u = AO v = AD On a : AB = 2AO AD Exercice corrigé : Utiliser le calcul vectoriel pour étudier des configurations On considère un triangle AGF non aplati 1) Placer les points B C tels que AB = 2AG + AF GC = 1 2) Démontrer que les points A, B C sont alignés : GF a) en utilisant le calcul vectoriel ; b) en choisissant un repère du plan Solution : Méthode : 1) Voir ci-contre Pour démontrer que trois points A, B C sont alignés, on montre par exemple que les vecteurs AB AC 2) a) Les vecteurs AG AF ne sont pas On peut exprimer les vecteurs AB colinéaires : on exprime les vecteurs AC AC en fonction de deux vecteurs AB en fonction de ces deux seuls vecteurs non colinéaires du plan AC = AG + GC Pour cela, on utilise la relation de Chasles AC = AG + 1 GF AC = AG + 1 ( GA + AF ) AC = 2 AG + 1 AF On sait que AB = 2AG + 1AF Ainsi AB = AC Donc les vecteurs AC AB Ainsi les points A, B C sont alignés b) Les vecteurs AG AF ne sont pas colinéaires Donc (A ; G, F) est un repère du plan Dans ce repère, on a : A(0 ; 0), G(1 ; 0) F(0 ; 1) On note (x ; y) les coordonnées de C Comme GC = 1 GF, on a : x 1 y 0 = D où x 1 = y = 1 AB = 2AG + 1AF avec AG Donc C 2, 1 AC AF 0 1 Donc AB On lit une relation de la forme AB = k AC sur les décompositions des vecteurs AB AC On peut choisir un repère du plan, dans lequel on détermine les coordonnées des vecteurs AB AC = 0 Donc les vecteurs AC AB : les points A, B C sont alignés Pour aller plus loin : utiliser des configurations connues Que représente C dans le triangle ADF? En utilisant le quadrilatère ADBF, prouver que (AB) est une médiane de ce triangle, conclure H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes) wwwsacrecoeurnantese-lycofr

3 4 e - programme mathématiques ch2 - cours Page sur 6 (D après Hachte - Déclic 2011 ch7) ÉQUATIONS CARTÉSIENNES D'UNE DROITE 1 Vecteurs directeurs d'une droite DÉFINITION 2 On appelle vecteur directeur u d'une droite D tout vecteur non nul, colinéaire au vecteur AB où A B sont deux points distincts de D On dit alors que u dirige D Commentaires : La direction d'un vecteur directeur de D définit la direction de la droite D Deux vecteurs directeurs d'une même droite D sont donc non nuls colinéaires : ils ont même direction On peut définir une droite D par la donnée d'un point A d'un vecteur directeur u : M D équivaut à AM u La droite D : y = 2x + 1 passe par les points A( 1 ; ) B(1 ; 1) D adm comme vecteur directeur AB 2 4 ou u Equations cartésiennes d'une droite PROPRIÉTÉ 2 Les coordonnées (x ; y) de tous les points M d'une droite D vérifient une équation de la forme : ax + by + c = 0, où a, b c sont des réels avec (a ; b) (0 ; 0) Une telle équation s'appelle une équation cartésienne de D Soit une droite D passant par un point A(x A ; y A ) de vecteur directeur (non nul) u Pour tout point M(x ; y) du plan, M D équivaut à : AM x x A y y u A (x x A ) (y y A ) = 0 x y + ( x A + y A ) = 0 ( ; ) (0 ; 0), car u 0 Remarque : Une droite D adm une infinité d'équations cartésiennes, dont les coefficients sont deux à deux proportionnels Soit D la droite passant par A( 2 ; ) dirigée par u 2 5 M(x ; y) D équivaut à : AM x + 2 y u 2 5 5(x + 2) 2(y ) = 0 5x y + 6 = 0 5x 2y + 16 = 0 D adm pour équation cartésienne 5x 2y + 16 = 0 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes) wwwsacrecoeurnantese-lycofr

4 PROPRIÉTÉ 4 e - programme mathématiques ch2 - cours Page 4 sur 6 (D après Hachte - Déclic 2011 ch7) Soit des réels a, b, c, a', b' c' avec (a ; b) (0 ; 0) (a' ; b') (0 ; 0) L'ensemble des points M(x ; y) vérifiant ax + by + c = 0 est une droite de vecteur directeur u b a Les droites D D' d'équations respectives : ax + by + c = 0 a' x + b' y + c' = 0 sont parallèles si, seulement si, (a ; b) (a' ; b') sont proportionnels Voir les exercices 77 78, page 220 La droite D d'équation : x + 4y 10 = 0 adm comme vecteur directeur u 4 Exemples : D : 2x y + = 0 D' : 4x + 2y + 1 = 0 sont parallèles, car (2 ; 1) ( 4 ; 2) sont proportionnels D D" : 2x + y + 2 = 0 ne sont pas parallèles, car (2 ; 1) (2 ; ) ne sont pas proportionnels Exercice corrigé : Déterminer une équation cartésienne de droite Le plan est rapporté au repère (O ; I, J) On considère les points A(0 ; 2) B( ; 1), le vecteur u 2 1 Déterminer une équation cartésienne de chacune des droites suivantes : a) d 1 est la droite passant par le point A de vecteur directeur u ; b) d 2 est la droite (AB) ; c) d est la parallèle à l'axe des ordonnées passant par B Solution : Méthode : Pour déterminer une équation cartésienne d'une droite d : a) La droite d 1 passe par le point A(0 ; 2) a pour vecteur directeur u 2 1 Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M d 1 équivaut à : AM x y 2 u 2 1 x 1 (y 2) 2 = 0 En développant, on obtient une équation cartésienne de la droite d 1 : x 2y + 4 = 0 b) La droite d 2 a pour vecteur directeur AB 1 Alors d 2 a une équation cartésienne du type : 1x y + c = 0 Comme les coordonnées du point A vérifient cte équation, on doit avoir : c = 0 Donc c = 6 La droite d 2 a pour équation cartésienne x y + 6 = 0 d est la droite passant par un point A de vecteur directeur u, alors d est l'ensemble de points M(x ; y) tels que AM u On utilise la condition analytique de colinéarité Si la droite d passe par deux points A B, alors d a pour vecteur directeur AB c) La droite d passe par le point B( ; 1) a pour vecteur directeur OJ Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M d équivaut à : BM x y 1 OJ 0 1 (x ) 1 (y 1) 0 = 0 En développant, on obtient une équation cartésienne de la droite d : x = 0 Si la droite d est parallèle à l'axe des ordonnées, alors d a pour vecteur directeur OJ On peut aussi écrire que si la droite d a pour vecteur directeur u a b alors d a une équation cartésienne du type bx ay + c = 0 H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes) wwwsacrecoeurnantese-lycofr

5 4 e - programme mathématiques ch2 - cours Page 5 sur 6 (D après Hachte - Déclic 2011 ch7) Lien entre équation réduite équations cartésiennes PROPRIÉTÉ 4 Soit D une droite d'équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0) Si b = 0, alors D est une droite parallèle à l'axe des ordonnées, qui adm une équation réduite de la forme : x = k, où k est un réel Le vecteur de coordonnées 0 est alors un vecteur directeur de D 1 Si b 0, alors D est une droite qui adm une unique équation réduite de la forme : y = mx + p m est le coefficient directeur de D ; p est l'ordonnée à l'origine de D Le vecteur de coordonnées 1 est alors un vecteur directeur de D m Soit D une droite d'équation ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0) Si b = 0 : comme (a ; b) (0 ; 0), alors a 0 L'équation ax + by + c = 0 est équivalente à : ax + c = 0, c'est-à-dire : x = c a On sait que le vecteur de coordonnées b a, donc ici 0, est un vecteur directeur de D Le vecteur de a coordonnées 0 1 est colinéaire à ce vecteur non nul : donc il dirige D Si b 0 : l'équation ax + by + c = 0 est équivalente à : y = a b x + c b Le coefficient directeur m de D est : m = a b On sait que le vecteur de coordonnées b a est un vecteur directeur de D Le vecteur de coordonnées 1 a, c'est-à-dire 1 est colinéaire à ce vecteur non nul : donc il dirige D m b Interprétation graphique : Si b = 0 : Si b 0 : On rrouve l'interprétation graphique du coefficient directeur : lorsqu'on passe d'un point de augmentant l'abscisse de 1, l'ordonnée varie de m à un autre en H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes) wwwsacrecoeurnantese-lycofr

6 4 e - programme mathématiques ch2 - cours Page 6 sur 6 (D après Hachte - Déclic 2011 ch7) 4 Synthèse Équation cartésienne Soit D la droite admtant pour équation cartésienne : ax + by + c = 0 avec (a ; b) (0 ; 0) Le vecteur de coordonnées b est un vecteur directeur a de la droite D Équation réduite Si b = 0 : x = k (k réel fixé) Si b 0 : y = mx + p Le vecteur de coordonnées 0 1 est Le vecteur de coordonnées 1 m est un vecteur directeur de la droite D un vecteur directeur de la droite D Exercice corrigé : Utiliser les équations de droites les vecteurs directeurs pour étudier alignement ou parallélisme Dans le repère (O ; I, J), on considère les points A( 1 ; 2), B(1 ; ) C(195 ; 100) 1) a) Déterminer une équation cartésienne de la droite (AB) b) Les points A, B C sont-ils alignés? 2) La droite d d'équation y = 1 x + 1 est-elle parallèle à la droite (AB)? 2 ) Le point C appartient-il à la droite passant par le point J de coefficient directeur 5? Solution : Méthode : La figure ci-contre a été complétée au fur à mesure des questions 1) a) La droite (AB) passe par le point A a pour vecteur directeur AB 1 ( 1) 2 = 2 1 Donc pour tout point M(x ; y) du plan, M (AB) équivaut à : AM x + 1 y 2 AB 2 1 (x + 1) 1 (y 2) 2 = 0 En développant, on obtient une équation de la droite (AB) : x 2y + 5 = 0 b) On a 195 2(100) + 5 = 0 ; les coordonnées du point C vérifient l'équation obtenue pour la droite (AB) Donc les points A, B C sont alignés 2) La droite (AB) a pour vecteur directeur AB 2, la droite 1 d a pour vecteur directeur u Comme AB = 2 u, les vecteurs AB u ; ils définissent donc la même direction, les droites (AB) d sont parallèles ) La droite a pour coefficient directeur 5 Le vecteur v 1 5 est donc un vecteur directeur de Si C appartient à, J appartenant aussi à, alors le vecteur JC dirige est donc colinéaire à v Le vecteur JC a pour coordonnées , soit Pour étudier l'alignement de trois points A, B C, on peut examiner si les coordonnées du point C vérifient une équation de la droite (AB) (Voir d'autres méthodes dans le Savoir-faire, p 205) Pour démontrer que deux droites sont parallèles, on peut prouver qu'elles ont des vecteurs directeurs colinéaires : le vecteur de coordonnées b Or = 72 (non nul) 5 Donc les vecteurs JC v ne sont pas colinéaires : le point C n'appartient pas à la droite a dirige la droite d'équation ax + by + c = 0 ; le vecteur de coordonnées 1 m dirige la droite d'équation y = mx + p H Rorthais (Lycée Polyvalent du Sacré-Cœur à Nantes) wwwsacrecoeurnantese-lycofr