GÉOMÉTRIE VECTORIELLE

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1 Chapitre 17 GÉOMÉTRIE VECTORIELLE Rien n'est plus facile à apprendre que la géométrie pour peu qu'on en ait besoin. Sacha Guitry 1 VECTEURS DE L ESPACE 1.1 Notion de vecteurs Dénition 1 Vecteur). Soient A et B deux points distincts de l'espace. Le vecteur AB de l'espace est déni par : une direction, celle de la droite AB), un sens, celui de A vers B, une norme, la longueur AB. On note AB = AB. Le vecteur AA est appelé le vecteur nul et on note AA = 0. A B Propriété. Deux vecteurs non nuls sont égaux lorsqu'ils ont la même direction, le même sens et la même norme. On note alors AB = CD = u et on dit que AB et CD sont deux représentants du vecteur u. A B u C D LYCÉE BLAISE PASCAL 1 S.DELOBEL M.LUITAUD

2 Chapitre 17. Géométrie vectorielle Propriété. Les propriétés vues pour les vecteurs dans le plan addition, multiplication par un réel, relation de Chasles...) restent valables pour les vecteurs de l'espace. 1. Vecteurs colinéaires Dénition 4 Vecteurs colinéaires). Deux vecteurs non nuls, u et v sont colinéaires lorsqu'il existe un réel t tel que u = t v. Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs. v u Deux vecteurs colinéaires ont la même direction. Si u = t v avec t > 0 alors les vecteurs u et v sont colinéaires de même sens. Si u = t v avec t < 0 alors les vecteurs u et v sont colinéaires de sens contraire. Exercice 1 On considère un cube ABCDEF GH. Les points marqués sur les arêtes du cube sont les milieux de celles-ci. O est le centre de la face ABCD. Compléter les égalités suivantes avec les points de la gure. 1. D... = 1 DC + AE AD. A... = 1 AD + AB + AE. K... = 1 GF DC + BN 4. B... = 1 AD AB + CG H = 1 CD + AE + 1 BC B = LO + 1 HE AE Exercice On considère un tétraèdre ABCD. On appelle I, J, K et L les points dénis respectivement par : AI = AB ; BJ = 1 BC ; CK = CD ; DL = 1 DA 1. Placer I, J, K et L sur la gure ci-contre.. a. Exprimer IJ et KL en fonction de AC. b. En déduire que les points I, J, K et L sont coplanaires.. Démontrer que la droite BD) est parallèle au plan IJKL).

3 Cours de Terminale S Exercice Soient le cube ABCDEF GH et J le centre de la face DCGH. Soient P et Q dénis par 1 EP = EH et AQ = 1 AC. Soient I et K les milieux respectifs de [AE] et de [P Q]. 1. Compléter la gure ci-contre.. Exprimer IJ puis IK en fonction des vecteurs AB, AD et AE.. En déduire que les points I, J et K sont alignés. CARACTÉRISATION D UN PLAN - VECTEURS COPLANAIRES.1 Plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires Théorème 5. Soient A un point, u et v deux vecteurs non colinéaires. L'ensemble des points M de l'espace tels que AM = x u + y v avec x R et y R est le plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v. On dit que AM est une combinaison linéaire de u et v. Le triplet A; u, v ) est un repère de ce plan. Un plan est totalement déterminé par un point et deux vecteurs non colinéaires. Soit P le plan passant par A et de vecteur directeur u et v. A; u, v ) est donc un repère de P. Si M est un point du plan P alors il a des coordonnées dans le repère A; u, v ). Notons Mx; y). Par dénition des coordonnées de M, on a alors AM = x u + y v. Réciproquement, soit M est un point de l'espace tel que AM = x u + y v. Soit le point N du plan P de coordonnées x; y) dans le repère A; u, v ). Par dénition des coordonnées, on a AN = x u + y v. D'où AM = AN. Il s'en suit que M = N et donc que M appartient au plan P. Propriété 6. Soient A et A deux points de l'espace et soient u et v deux vecteurs non colinéaires. Le plan P passant par A et de vecteurs directeurs u et v et le plan P passant par A et de vecteurs directeurs u et v sont parallèles.

4 4 Chapitre 17. Géométrie vectorielle Indication : Soient d 1 la droite passant par A et de vecteur directeur u, d la droite passant par A et de vecteur directeur v, d 1 la droite passant par A et de vecteur directeur u et d la droite passant par A et de vecteur directeur v. Utiliser un théorème du cours Droites et plans de l'espace. Exercice 4 On considère un tétraèdre ABCD et les points E et F dénis par : BE = 1 BA + BC + CD et DF = DB + 1 DA + BC 1. Démontrer que les points A, E et F ne sont pas alignés.. a. i. Exprimer AE comme combinaison linéaire des vecteurs BC et CD. ii. En déduire que AE est un vecteur directeur du plan BCD). b. Prouver de la même manière que AF est aussi un vecteur directeur du plan BCD). c. Démontrer que les plans BCD) et AEF ) sont parallèles. Si deux plans ne sont pas dénis à partir du même couple de vecteurs directeurs, on ne peut pas en déduire qu'ils ne sont pas parallèles. Exercice 5 Démonstration du théorème du toit Théorème du toit). Soient deux droites d et d parallèles. Soient P un plan contenant d et P un plan contenant d. Si P et P sont sécants en alors la droite est parallèle à d et à d. 1. Justier que si d et d sont confondues alors d = d =.. On suppose que d et d ne sont pas confondues. Soit A un point de d et u un vecteur directeur de d. Soit v un vecteur directeur de. a. En supposant que les vecteurs u et v ne sont pas colinéaires, justier que P est le plan passant par A et de vecteurs directeurs u et v. b. En déduire que P et P sont parallèles. c. En conclure que u et v sont colinéaires. d. Terminer la démonstration.

5 Cours de Terminale S 5. Vecteurs coplanaires Dénition 7 Vecteurs coplanaires). Dire que trois vecteurs u, v et w sont coplanaires signie que pour un point O quelconque de l'espace, les points O, A, B et C tels que OA = u, OB = v et OC = w sont dans un même plan. Trois vecteurs u, v et w sont coplanaires s'ils possèdent des représentants appartenant à un même plan. Exercice 6 On considère un cube ABCDEF GH. Questions 1. Les vecteurs AB, AD et AE sont-ils coplanaires?. Les vecteurs AB, AD et AC sont-ils coplanaires?. Les vecteurs AB, AD et F H sont-ils coplanaires? 4. Les vecteurs F D, AG et EH sont-ils coplanaires? Réponses V F V F V F V F Théorème 8. Soient u, v et w trois vecteurs tels que u et v ne sont pas colinéaires. u, v et w sont coplanaires si et seulement si, il existe deux réels a et b tels que : w = a u + b v Soit O un point quelconque de l'espace. Soient A, B et C les points dénis par OA = u, OB = v et OC = w. D'après la dénition 7, u, v et w sont coplanaires si et seulement si O, A, B et C sont coplanaires ce qui revient à C appartient au plan OAB). D'après le théorème 5, C appartient à OAB) si et seulement si il existe deux réels a et b tels que : OC = a OA + b OB c'est-à-dire w = a u + b v.

6 6 Chapitre 17. Géométrie vectorielle Si u, v et w sont coplanaires alors on dit que u ; v ; w ) est une famille de vecteurs liés ou dépendants. Sinon on dit que la famille de vecteurs est libre. Exercice 7 Soit ABCDEF GH un cube. I et J sont les milieux respectifs de [EB] et [F G]. 1. Démontrer que IJ = EF + BG.. Que peut-on en déduire? Exercice 8 ABCD un tétraèdre. Les points P, Q, R et S sont dénis par : AP = AB ; BQ = 5 BC ; CR = CD ; 5 1. Exprimer P Q, P R et P S en fonction de AB, AC et AD.. Prouver que P Q, P R et P S sont coplanaires. DS = 4 DA 9 REPÉRAGE DANS L ESPACE.1 Décomposition d un vecteur dans une base Théorème 9 Caractérisation). Soient i, j et k trois vecteurs non coplanaires. Pour tout vecteur u, il existe un unique triplet x; y; z) de réels tel que : u = x i + y j + z k

7 Cours de Terminale S 7 Pour l'existence : Soit AB un représentant de u. Soit P le plan de repère A; i, ) j. Si B appartient à P alors, d'après le théorème 5, AB se décompose suivant les vecteurs i et j. En revanche, si B n'appartient pas P, on dénit la droite d passant par B et de vecteur directeur k. Terminer la démonstration. Pour l'unicité : Faire un raisonnement par l'absurde. Dénition 10 Coordonnées d'un vecteur). i ) On dit que, j, k forme une base de l'espace et on dit que, dans cette base, le vecteur u a pour coordonnées le triplet x ; y ; z). On notera x u y. z Lorsque trois vecteurs forment une base c'est-à-dire s'ils ne sont pas coplanaires), on peut écrire tout vecteur de l'espace comme combinaison linéaire de ces trois vecteurs. Voilà pourquoi on dit que, dans l'espace, on travaille en trois dimensions. Dans l'espace une famille de quatre vecteurs est forcément liée.. Repérage et coordonnées Dénition 11 Repère de l'espace). Choisir un repère de l'espace, c'est se donner un point O origine du repère) et un triplet i ), j, k de vecteurs non coplanaires base du repère). On note O; i, j, ) k le repère. Lorsque les vecteurs i, j et k sont orthogonaux deux à deux, on dit que le repère est orthogonal. Lorsque les vecteurs i, j et k sont orthogonaux deux à deux et ont pour norme 1, on

8 8 Chapitre 17. Géométrie vectorielle dit que le repère est orthonormé. Théorème 1. Soit O; i, j, ) k un repère de l'espace. Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet x ; y ; z) de réels tel que : OM = x i + y j + z k Indication : Utiliser le théorème 9. Dénition 1 Coordonnées d'un point). x ; y ; z) sont les coordonnées de M dans le repère O; i, j, ) k. x est l'abscisse de M, y l'ordonnée de M et z la cote de M. Tous les résultats de géométrie plane s'étendent à l'espace par l'adjonction d'une troisième coordonnée. Propriété 14. Dans un repère O; i, j, ) k : 1. Si u et v ont pour coordonnées respectives pour tout réel k, k u a pour coordonnées le vecteur u + v a pour coordonnées x y z kx ky kz x + x y + y z + z et.. x y z, alors : les vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont x = kx x = kx proportionnelles c'est-à-dire y = ky ou y = ky avec k R. z = kz z = kz. Si A et B ont pour coordonnées x A ; y A ; z A ) et x B ; y B ; z B ), alors : le vecteur x B x A AB a pour coordonnées y B y A. z B z A Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées xa + x B ; y A + y B ; z A + z B ).

9 Cours de Terminale S 9 Propriété 15. Dans un repère O; i, j, ) k orthonormé : u = x + y + z AB = AB = x B x A ) + y B y A ) + z B z A ) Exercice 9 On considère A 1 ; ; 5), B 7 ; 7 ; 7) et C ; 1 ; 4). Les points A, B et M sont-ils alignés? Justier. Exercice 10 On donne les points A 1 ; 1 ; ) et B ; ; 0 ). 1. Déterminer les coordonnées de C symétrique de A par rapport à O.. Quelle est la nature du triangle ABC? Justier. Exercice 11 On considère un tétraèdre ABCD avec A 1 ; ; ), B 4 ; 5 ; 6), C 0 ; 0 ; ) et D 7 ; 8 ; 9). On note I le milieu de [AB] et J le milieu de [CD]. 1. Déterminer les coordonnées de E et F tels que IACE et IBDF soient des parallélogrammes.. Montrer que J est le milieu de [EF ]. Exercice 1 On considère A 4 ; 5 ; 1), B 1 ; 5 ; 4), C ; 1 ; 4) et D 4 ; 1 ; ). Démontrer que les points A, B, C et D sont coplanaires.. Représentations paramétriques d une droite Dans toute la suite, O; i, j, ) k désigne un repère de l'espace. Théorème 16. La droite d passant par A x A ; y A ; z A ) et de vecteur directeur u x = x A + αt des points M x ; y ; z) tels que : y = y A + βt t R. z = z A + γt α β γ est l'ensemble À faire.

10 10 Chapitre 17. Géométrie vectorielle Dénition 17. x = x A + αt Le système y = y A + βt t R) est appelé représentation paramétrique de la z = z A + γt droite d. t est appelé le paramètre de d. Une droite possède une innité de représentations paramétriques. Exercice 1 x = + t Soit d la droite de représentation paramétrique y = 4 t t R. z = t 1 1. Donner les coordonnées d'un point et d'un vecteur directeur de d.. Les points B ; 6 ; 5) et C 1 ; 5 ; ) appartiennent-ils à d? Justier.. Déterminer les coordonnées du point E de d de paramètre. Exercice 14 L'algorithme ci-dessous teste l'appartenance d'un point à une droite dénie par un point et un vecteur directeur dont aucune des coordonnées n'est nulle). Compléter cet algorithme dont certaines parties ont été eacées. Algorithme 1 VARIABLES A EST_DU_TYPE LISTE u EST_DU_TYPE LISTE 4 M EST_DU_TYPE LISTE 5 t EST_DU_TYPE NOMBRE 6 DEBUT_ALGORITHME 7 AFFICHER "Coordonnées du point A :" 8 LIRE A[1] 9 LIRE A[] 10 LIRE A[] 11 AFFICHER "Coordonnées du vecteur u :" 1 LIRE u[1] 1 LIRE u[] 14 LIRE u[] 15 AFFICHER "Coordonnées du point M :" 16 LIRE M[1] 17 LIRE M[] 18 LIRE M[] 19 SI ALORS 0 DEBUT_SI 1 AFFICHER "M appartient à la droite passant par A et de vecteur directeur u." AFFICHER "C'est le point de paramètre " t PREND_LA_VALEUR AFFICHER t 5 FIN_SI 6 SINON 7 DEBUT_SINON 8 AFFICHER "M n'appartient pas à la droite passant par A et de vecteur directeur u." 9 FIN_SINON 0 FIN_ALGORITHME

11 Cours de Terminale S 11 Exercice 15 Soient M et N les points de coordonnées respectives 1 ; ; 0) et ; 1 ; ). 1. Déterminer un système d'équation paramétrique de la droite M N).. Soit P le point de coordonnées ; ; 1). Les points M, N et P sont-ils alignés? Justier. x = 8 + k. Le système y = 7 k k R est-il une représentation paramétrique de la droite z = 9 + k MN)? Justier. Exercice 16 Prise d'initiative x = t 1 Soit d la droite de représentation paramétrique y = 6 t t R) z = t Déterminer la distance de A à d. et A ; 5 ; ). Méthode 18. Pour étudier la position relative de deux droites d et d dénies par leurs représentations x = x A + αt x = x A + α k paramétriques y = y A + βt t R et y = y A + β k k R z = z A + γt z = z A + γ k Étape 1 : On donne les vecteurs directeurs u et u respectivement des droites d et d. S'ils sont colinéaires alors d et d sont parallèles. Sinon... Étape : On résout le système formé par les deux systèmes paramétriques de d et d ci-dessous En fait on cherche l'éventuelle intersection de d et de d.) : x A + αt = x A + α k y A + βt = y A + β k z A + γt = z A + γ k Ce système est un système de trois équations à deux inconnues. Deux équations permettent de déterminer t et k. Puis on remplace t et k dans la dernière équation, si elle n'est pas vériée, les droites d et d' n'ont pas de point d'intersection, elles sont donc non coplanaires. Sinon d et d sont sécantes en le point de paramètre t trouvé de d ou le point de paramètre k de d. Le paramètre n'a pas nécessairement la même valeur pour les deux droites ; il faut donc veiller à le nommer diéremment par exemple t et k, ou t et t,...).

12 1 Chapitre 17. Géométrie vectorielle Exercice 17 Étudier la position relative des droites d et d dans chacun des cas suivants : 1. d et d ont respectivement pour représentations paramétriques les systèmes suivants : x = 1 + 4t x = 15 + k y = + 4t t R et y = 8 k k R z = 1 6t z = 6 + k. d et d ont respectivement pour représentations paramétriques les systèmes suivants : x = t x = 1 + 4k y = + t t R et y = 1 + k k R z = + t z = k.4 Représentations paramétriques d un plan Théorème 19. Le plan P passant par A x A ; y A ; z A ) et de vecteurs directeurs α α u β et v β est l'ensemble des points M x ; y ; z) tels γ γ x = x A + αt + α k que : y = y A + βt + β k t R et k R. z = z A + γt + γ k Utiliser le théorème 5. est appelé représentation para- Dénition 0. x = x A + αt + α k Le système y = y A + βt + β k t R et k R) z = z A + γt + γ k métrique du plan P. t et k sont les deux paramètres. Un plan possède une innité de représentations paramétriques. Exercice 18 Soit P le plan passant par A 1 ; 1 ; ) et de vecteurs directeurs u 1. Écrire un système d'équation paramétrique de P.. Le point E ; 1 ; 4) appartient-il à P? Justier.. Déterminer la cote du point L de P tel que x L = y L = et v 0 6.