AB = OB - OA. En utilisant les résultats

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1 ACTIVITES Activité 1 : Comment repérer un vecteur par ses coordonnées et calculer sa norme? Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ; I, J) d unité graphique 1 cm. On note i j les vecteurs définis par i = OI et j = OJ. et 1 ère partie On a placé le point M de coordonnées (3 ;). i et j. 1- Donner les valeurs de i et j - Montrer que OP = 3 i et OQ = j 3- Exprimer OM en fonction de OP et OQ. 4- En déduire l expression de OM en fonction de ème partie On a placé les points A et B de coordonnées : A (1 ; 1,5), B (4 ;,5). calculer AB. En déduire AB. 5. Calculer la norme du vecteur AB de coordonnées (x ;y) : 1- Exprimer OA en fonction de i et j. - Exprimer OB en fonction de i et j. 3- Sachant que OA + AB = OB, on obtient AB = OB - OA. En utilisant les résultats précédents, exprimer AB en fonction de i et j. En déduire les coordonnées de AB. 4- En considérant le triangle AHB rectangle en H, AB = x + y 3 ème Partie Soient les points C et D de coordonnées : C ( ; 4) et D (-1 ; 5) 1- Calculer les coordonnées du vecteur CD - Calculer la norme CD du vecteur CD 1

2 Activité : Expédition polaire Lors d une expédition sur la banquise de l Arctique, un explorateur tracte un traîneau à l aide d un harnais. On veut exprimer le travail mécanique W effectué en fonction de : - la valeur F de la force de traction - la longueur du déplacement en ligne droite - l angle α que forme la sangle avec l horizontale. 1- Représentez les composantes F x et F y de F dans le repère (O ; x ; y). - Exprimez F x en fonction de F et α. 3- Le travail de la force F x, dont la direction est celle du déplacement qu elle provoque, est donné par la relation W = F x x AB avec W en joules, F x en newtons et AB en mètres. La force F y, de direction perpendiculaire au déplacement du traîneau, ne produit aucun travail. a- Exprimez l expression de W en fonction de F, AB et α. b- Calculez le travail effectué pour F = 100 N, AB = 4 m et α = 0.

3 Activité 3 : Comment calculer le produit scalaire de deux vecteurs? Dans le repère orthonormal (O ; i ; j) on considère les vecteurs u et v tels que : u = OM et v = ON u = ; v = 4. On rappelle que : cos π 6 = sin π 3 = 3 et sin π 6 = cos π 3 = 1 1- Calculer les valeurs exactes des coordonnées (x ; y) de u - Calculer le nombre A = u x 3- Calculer le nombre B = xx + yy v x cos ( u 4- a. Calculer les coordonnées du vecteur u b. Calculer le nombre u + v c. calculer le nombre C = 1 u + v - ; v + v u - 5- Comparer les résultats obtenus aux questions -, 3- et 4-c. ) et (x ; y ) de v v 3

4 APPLICATION DIRECTE Dans chacun des cas suivants, en utilisant l une des expressions du produit scalaire, calculer le produit scalaire des deux vecteurs. 4

5 ACTIVITES Activité 4 : Comment calculer une mesure de l angle de deux vecteurs? On considère les vecteurs u et v tels que u = AB et v = AC 1- Donner les coordonnées de u et de v. - En déduire u. v, u et v. 3- En utilisant l expression : u déduire des résultats précédents cos ( u. v ; v = u ). 4- En déduire une mesure en degré de l angle ( u x v, v ) x cos ( u ; v ), Activité 5 : Comment montrer que deux vecteurs non nuls sont orthogonaux? 1- On considère deux vecteurs non nuls u et v tels que u =, v = 4 et, en π radians, ( u, v ) = Calculer le produit scalaire u. v - Deux vecteurs non nuls u et v sont tels que u Calculer cos ( u, v. v ). En déduire une mesure, en radians, de l angle ( u = 0 et u = 1 et v = 3., v ). 5

6 ❶ APPLICATIONS DIRECTES 1- Dans un repère orthonormal d unité graphique 1 cm, placer les points A, B et C de coordonnées : A ( ; 1), B (4 ; ) et C (-1 ; 3). - Calculer les coordonnées des vecteurs u = AB et v = AC. degré. 3- Calculer la mesure de l angle ( u, v ). On donnera la valeur arrondie au dixième de ❷ 1- Dans un repère orthonormal, placer les points A, B, C de coordonnées : A (- ; 5), B (4 ;3) et C (1 ; -6). - Déterminer les coordonnées des vecteurs BA et BC. 3- Calculer le produit scalaire BA. BC 4- En déduire la nature du triangle ABC. 6