EXERCICES SUR LES LOGARITHMES

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1 EXERCICES SUR LES LOGARITHMES EXERCICE : Domaine de définition Déterminer le domaine de définition des fonction logarithmes suivantes : a) f() = Ln( +-) b) f() = Ln( ++5) c) f() = Ln ( - ) c) f() = Ln ( ) d) f() = Ln e) f() = Ln ( 3 ) f) f() = Ln [( -) ] EXERCICE : Calcul de limites Calculer les limites suivantes a) Lim Ln( +-) b) Lim Ln( +-) - + c) Lim Ln( ) d) ) Lim Ln( +-) + + e) Lim [ Ln - ] f) Lim [ Ln(+5) Ln ] + + g) Lim ( Ln i) Lim + + Ln( ) Ln ) h) Lim 0 j) Lim Ln( ) Ln 3 EXERCICE 3 : Calcul de dérivées Calculer les dérivées des fonctions suivantes a) f() = Ln ( 3 +-) b) f() = Ln ( ) 3 c) f() = Ln d) f() = Ln(Ln) e) f() = [ Ln ( 3 ) ]

2 EXERCICE 4 : Primitives et intégrales Déterminer les primitives des fonctions suivantes : a) f() = b) f() = 3 c) f() = 4 d) f() = Ln EXERCICE 5 : Intégration par parties A l aide d une intégration par partie, déterminer les primitives des fonctions suivantes. a) f() = Ln b) f() = Ln c) f() = Ln d) f() = (Ln ) EXERCICE 6 : Equations et inéquations logarithmes Résoudre les équations, inéquations et systèmes suivants a) Ln + Ln(-) Ln6 = 0 b) Ln + Ln(-) Ln(4- ) = 0 c) Ln(-5) + Ln(+) > Ln d) Ln( 3-5) Ln f) Ln + Ln( ) = Ln(-4 ) g) (Ln) + Ln 6 = 0 h) (Ln) - Ln 6 > 0 i) y 9 Ln Lny Ln0 j) y 5 Ln( y) Ln k) Soit P() = Montrer qu il eiste 3 nombres réels a, b et c tels que P() = ( ) ( a + b + c), puis résoudre dans l ensemble des réels R l équation P() = 0. En déduire les solutions dans R des équations : ( Ln ) 3-6 (Ln ) + Ln - 6 = 0 l) Résoudre l équation bicarrée = 0 et en déduire les solutions de l inéquation (Ln) 4 6 (Ln) + 7 0

3 EXERCICE 7 : Etude de fonctions logarithmes Problème : On considère la fonction de la variable réelle f() définie par f() = Ln - (Ln ) On note ( C) la courbe représentative de f() dans un repère orthonormé d unité cm. ) Etudiez Les variations de la fonction f(). ) Déterminez les asymptotes éventuelles de la courbe ( C). 3) Vérifiez que le courbe ( C) admet un point d infleion I dont on déterminera les coordonnées. 4) Déterminez les équations des tangentes à la courbe ( C) au points d intersection avec l ae des abscisses. 5) Tracez la courbe ( C) et les tangentes. Problème : On considère la fonction f de la variable réelle définie par f() = - Ln On note ( C) la courbe représentative de f() dans un repère orthonormé d unité cm. ) Etudiez Les variations de la fonction f(). ) Etudier la continuité et la dérivabilité de f au point d abscisse 0. 3) Etudier les asymptotes ou branches de la courbe 4) Déterminer les équations des tangentes à la courbe au points d intersection avec les aes. 5) Tracer (C ) 6) On donne F() = (Ln ) Calculer F () et en déduire, en cm, l aire de la portion de plan A( ) limitée par la courbe ( C), l ae des abscisses et les droites verticales d équation = et = e ( 0 < < e ) Quelle est la limite de A( ) lorsque 0 + Problème 3 : Soit f la fonction définie par f() = Ln ( ) On note (C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d unité cm. ) Etudier les variations de f ) Etudier l eistence des asymptotes et des branches 3) Montrer que la courbe ( C ) admet un point d infleion dans l intervalle ]-, -[

4 4) Calculer f(-), f(-3/), f(-5/4) et f(-7/4) et en déduire que la courbe coupe l ae des abscisses. Donner un encadrement de l abscisse de ce oint d intersection. 5) Tracer la courbe ( C ) 6) On donne F() = Ln ( ) Ln( ) Calculer la dérivée F () et en déduire, en cm, l aire de la portion de plan limitée par la courbe (C ), l ae des abscisses et les droites verticales = et =. Problème 4 : ) Etudier les variations de g() = Ln et en déduire que g() > 0 > 0 Ln ) On considère la fonction f définie f() = - + On note ( C ) la courbe représentative de f dans un repère orthonormé d unité cm. a) Etudier les variations de f b) Montrer que la droite (D) d équation y= - est une asymptote oblique à la courbe (C ). c) Etudier la position de (C ) par rapport à (D) d) Montrer que l équation f() = 0 admet une solution unique 0 dans l intervalle [ /, [ e) Donner un encadrement d amplitude 0.0 de 0 f) Tracer la courbe (C ) et les asymptotes g) On donne F() = (Ln) Ln Calculer la dérivée F () et en déduire, en cm, et en fonction de, l aire de la portion de plan limitée par la courbe (C ), l ae des abscisses, les droites verticales = et = ( > ) Problème 5 : Partie A : On considère la fonction numérique g définie par g() = - Ln ) Etudier les variations de g ) En déduire le signe de g() sur ]0, + [

5 Partie B : On considère la fonction f définie par f() = Ln On note ( C) la courbe représentative de f dans un repère orthonormal d'unité cm. ) Déterminer la limite de f en 0. Interprétez graphiquement ce résultat ) Vérifier que f() peut s écrire sous la forme f() = a +b + () où () tend vers 0 lorsque +. Déterminer alors la limite de f en +. En déduire l'équation de l'asymptote oblique (D) 3) Déterminer la position de la courbe ( C ) par rapport à l'asymptote (D). 4) Compléter l'étude des variations de f. 5) Déterminez les coordonnées du point B de la courbe ( C) où la tangente (T) à ( C ) est parallèle à la l'asymptote ( D). 6) Montrer que l'équation f() = 0 admet une solution unique 0 et justifier l'encadrement 0.30 < 0 < ) Tracer la courbe (C ) et les droites (D) et ( T). 0) Déterminer la dérivée de la fonction F() = ( + Ln) / En déduire, en cm, l'aire de la portion de plan limitée par la courbe ( C), l'asymptote (D) et les droites verticales passant par = et =e. ) Déterminer, en fonction du paramètre m, le nombre et le signe des solutions de l'équations m - = ( + Ln)