ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE

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1 ORTHOGONALITE ET PRODUIT SCALAIRE DANS L ESPACE I- Orthogonalité de droites et de plans 1. Droites orthogonales Définition Soit d 1 et d 2 deux droites de l espace. On dit que d 1 et d 2 sont orthogonales si pour un point M de l espace, les droites d 1 et d 2 parallèles respectivement à d 1 et à d 2 passant par M sont perpendiculaires (les droites d 1 et d 2 sont coplanaires car sécantes). On pourra noter d 1 d 2. Soit un cube ABCDEFGH. H G E F D C A B Les droites (EH) et (BF) sont orthogonales. En effet la droite (EH) est parallèle à la droite (FG) qui est parallèle à la droite (BF). 2. Droites et plan orthogonaux Définition Soit une droite d et un plan P de l espace. On dit que d est orthogonale à P si elle est orthogonale à toute droite de P. 1

2 d I P ABCDEFGH est un cube. H G E F D C A B La droite (BF) est orthogonale au plan (ABC). II - Produit scalaire dans l espace Définition 1 Soit u et v deux vecteurs de l espace et trois points A, B, C tels que u = AB et v = AC. 2

3 Il existe un plan P qui contient les points A, B et C (ce plan est unique si les points ne sont pas alignés). Le produit scalaire des vecteurs u et v, noté u. v est le produit scalaire des vecteurs AB et AC dans le plan P. On retrouve les différentes expressions du produit scalaire. u. v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ). Si u et v sont deux vecteurs non nuls du plan, u. v = u v cos( u, v ). Si A B et si H est le projeté orthogonal de C sur la droite (AB) dans le plan P, u. v = AB. AC = AB. AH. Définition 2 Deux vecteurs u et v de l espace sont dits orthogonaux si et seulement si u. v = 0. On note u v. Définition 3 Un repère orthonormé de l espace est un repère (O; i, j, k) tel que i = j = k = 1 et i j, j k, k i. Définition 4 Soit P un plan de l espace et M un point de l espace. Le projeté orthogonal de M sur le plan P est le point d intersection H de la droite passant par M et orthogonale à P avec le plan P. Théorème 1 (norme d un vecteur - distance entre deux points) Soit (O; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. Soit un vecteur u (x; y; z) dans ce repère. u = x 2 + y 2 + z 2. Soit deux points A(x A ; y A ; z A ) et B(x B ; y B ; z B ) dans ce repère. AB = (x B x A ) 2 + (y B y A ) 2 + (z B z A ) 2. Démonstration Soit M le point de l espace tel que OM = u et H le projeté orthogonal de M sur le plan (O; i, j ). 3

4 z M k j y i x O H Le triangle OHM est rectangle en H donc OM 2 = OH 2 + HM 2. Dans le plan (O; i, j ), H(x; y) donc OH 2 = x 2 + y 2. HM = z k donc HM = z k = z (le repère est orthonormé donc k = 1) et HM 2 = z 2 On a bien OM 2 = x 2 + y 2 + z 2, soit u 2 = x 2 + y 2 + z 2 et u = x 2 + y 2 + z 2. Propriété 1 (expression analytique du produit scalaire) Soit (O; i, j, k ) un repère orthonormé de l espace. Soit deux vecteurs u (x; y; z) et v (x ; y ; z ). u. v = xx + yy + zz. Démonstration u. v = 1 2 ( u + v 2 u 2 v 2 ) = 1 2 [(x + x ) 2 + (y + y ) 2 + (z + z ) 2 (x 2 + y 2 + z 2 ) (x 2 + y 2 + z 2 )] = xx + yy + zz Propriétés 2 Pour tous vecteurs u, v et w de l espace et tout réel k : u. v = v. u.(on dit que le produit scalaire est symétrique) u.( v + w ) = u. v + u. w (k u ). v = u.(k v ) = k ( u. v ) Démonstration Analogue à la démonstration faite pour le produit scalaire dans le plan en utilisant l expression analytique. III- Produit scalaire et orthogonalité 4

5 1. Droites orthogonales Propriété Deux droites d et d de vecteurs directeurs respectifs u et u sont orthogonale si et seulement si u. u = Vecteur normal à un plan Définition On dit qu un vecteur non nul n de l espace est normal à un plan P si et seulement si n est orthogonal à tout vecteur du plan P. Théorème Un vecteur n est normal à un plan P si et seulement si il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan P. Démonstration On suppose que n est orthogonal à deux vecteurs u et v non colinéaires du plan P, ce qui signifie que n. u = 0 et n. v = 0. ( u, v ) est une base de P. Pour tout vecteur w de P, il existe deux réels a et b tels que w = a u + b v. On a alors : n. w = n.(a u + b v ) = a n. u + b n. v = 0. n est bien orthogonal à w. La réciproque est immédiate. 3. Droite orthogonale à un plan Théorème : Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan. d I P Démonstration (au programme exigible) Soit un plan P, deux droites sécantes d 1 et d 2 contenues dans le plan P et une droite d orthogonale à d 1 et à d 2. 5

6 Soit u 1 un vecteur directeur de d 1, u 2 un vecteur directeur de d 2 et v un vecteur directeur de d. d est orthogonale à d 1 donc v est orthogonal à u 1. d est orthogonale à d 2 donc v est orthogonal à u 2. Soit une droite de P de vecteur directeur u. Les vecteurs u, u 1, u 2 sont coplanaires, avec u 1 et u 2 non colinéaires. Il existe donc deux réels a et b tels que u = a u 1 + b u 2. v. u = v.(a u 1 + b u 2 = a v. u 1 + b v. u 2 = 0. La droite d est donc orthogonale à la droite. Réciproquement, si d est orthogonale à toute droite de mathscrp, alors elle est orthogonale à deux droites sécantes de P. 4. Équation cartésienne d un plan Propriété Soit n un vecteur non nul et un plan P passant par un point A de vecteur normal n. Un point M appartient au plan P si et seulement si AM. n = 0. n M A P Théorème 3 Dans un repère orthonormal : (1) Un plan de vecteur normal n (a; b; c) a une équation cartésienne de la forme : ax + by + cz + d = 0, où d est un réel. (2) Réciproquement, a, b, c et d étant quatre réels avec a, b, c non tous trois nuls, l équation ax + by + cz + d = 0 est une équation cartésienne d un plan de vecteur normal n (a; b; c). Démonstration au programme exigible (1) Soit P un plan de vecteur normal n (a; b; c) passant par le point A(x A ; y A ; z A ). M(x : y; z) P AM. n = 0 a(x x A ) + b(y y A ) + c(z z A ) = 0 ax + by + cz ax A by A cz A = 0 ax + by + cz + d = 0 avec d = ax A by A cz A (2) Soit E l ensemble des points M(x; y; z) de l espace tels que ax + by + cz + d = 0. a, b, c ne sont pas tous les trois nuls, supposons que a 0. 6

7 Le point A ( da ) ; 0; 0 est un point de E. Soit n (a; b; c) et P le plan passant par A de vecteur normal n. M(x : y; z) P AM. ( n = 0 a x + d ) + by + cz = 0 a ax + by + cz + d = 0 E est donc le plan P. 1 Soit A(3; 1; 4), B(2; 1; 4) et C(3; 2; 0) trois vecteurs de l espace muni d un repère orthonormé. Vérifier que les points A, B, C ne sont pas alignés et donner une équation cartésienne du plan (ABC). Solution AB( 1; 2; 0) et AC(0; 1; 4). Leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles donc AB et AC ne sont pas colinéaires, les points A, B, C ne sont pas alignés, ils définissent un plan noté (ABC). On { cherche un vecteur normal n (x; y; z) au plan (ABC). n {. AB = 0 x + 2y = 0 ce qui équivaut à n. AC = 0 y 4z = 0. On peut choisir n (8; 4; 1). M(x; y; z) (ABC) AM. n = 0 8(x 3)+4(y+1) (z 4) = 0 8x+4y z = 4 Une équation cartésienne de (ABC) est donc : 8x + 4y z = Dans un repère orthonormé, on considère la droite (AB) où A(1; 2; 1) et B(0; 1; 3) et le plan P d équation x + y + z 1 = 0. Déterminer le point d intersection de la droite (AB) et du plan P. On utilise une représentation paramétrique de la droite (AB). AB( 1; 1; 4) donc (AB) a pour représentation paramétrique : x = 1 t y = 2 t z = 1 + 4t, t R Soit M (AB), il existe un réel t tel que M(1 t, 2 t; 1 + 4t). M P x+y +z 1 = 0 (1 t)+(2 t)+( 1+4t) 1 = 0 t = 1 ( 2. 3 La droite (AB) et le plan P sont donc sécants et leur point d intersection est M 2 ; 5 ) 2 ; Position relative de deux plans (a) Plans parallèles Théorème 7

8 Soit deux plans P 1 et P 2 de vecteurs normaux respectifs n 1 et n 2. P 1 et P sont parallèles si et seulement si n 1 et n 2 sont colinéaires. Déterminer une équation du plan P parallèle au plan P d équation x y+2z 3 = 0 et passant par A(3; 1; 2). n(1; 1; 2) est un vecteur normal à P, c est donc un vecteur normal à P. M(x; y; z) P AM. n = 0 (x 3) (y + 1) + 2(z 2) = 0 x y + 2z 8 = 0. (b) Déterminer la droite d intersection de deux plans sécants Dans un repère orthonormé, on considère les plans P et Q d équations respectives x 3y + 2z 5 = 0 et 2x + y + 7z 1 = 0. Montrer que P et Q sont sécants et déterminer une représentation paramétrique de leur droite d intersection. n(1; 3; 2) est un vecteur normal à P, n (2; 1; 7) est un vecteur normal à Q. n et n ne sont pas colinéaires car leurs coordonnées ne sont pas proportionnelles, donc les plans P et Q{ sont sécants suivant une droite d. x 3y + 2z 5 = 0 M(x; y; z) d 2x + y + 7z 1 = 0. On cherche à exprimer deux des coordonnées en fonction de la troisième. Cherchons ici à exprimer x et y en fonction de z. { x = 3y 2z + 5 M(x; y; z) d 7y + 3z + 9 = 0 On choisit cette inconnue comme paramètre, ici z = t. x = t M(x; y; z) d y = t, t R. z = t ( ) 8 d passe par le point A 7 ; 9 7 ; 0 x = z y = z. ( et a pour vecteur directeur le vecteur u 23 ) 7 ; 3 7 ; 1. (c) Plans perpendiculaires Définition Deux plans P et Q sont perpendiculaires si et seulement si une droite de l un des deux plans est orthogonale à l autre plan. ABCDEFGH est un cube. 8

9 H G E F D C A B Les plans (ADE) et (ABC) sont perpendiculaires. En effet (AE) est orthogonale à (AB) et à (AD) qui sont deux droites sécantes du plan (ABC) donc (AE) est une droite du plan (ABE) orthogonale au plan (ABC). Propriété Soit deux plans P et Q de vecteurs normaux respectifs n et n. P et Q sont perpendiculaires si et seulement si n. n = 0. Démonstration 9

10 n A n P Q Supposons d abord que P est perpendiculaire à Q. Alors il existe une droite d de P orthogonale à Q. Alors d est orthogonale à toute droite de Q donc n est un vecteur directeur de d, n est donc un vecteur de P. Comme n est un vecteur normal de P, on a bien n. n = 0. Supposons maintenant que n. n = 0. Alors n et n ne sont pas colinéaires, donc les plans P et Q sont sécants. Soit A un point de P Q et d la droite passant par A, dirigée par n. d est orthogonale à P, montrons que d est contenue dans Q. Soit M d, il existe un réel k tel que AM = k n. AM. n = k n. n = 0, donc M Q. d est une droite de Q orthogonale au plan P donc Q est perpendiculaire à P. Dans un repère orthonormé de l espace, on donne les deux plans P et Q d équations respectives 2x + y + 1 = 0 et 1 2 x + y z 4 = 0. Démontrer que P et Q sont perpendiculaires. n(2; ( 1; 0) est un vecteur normal de P. n 1 2 ; 1; 3 ) est un vecteur normal de Q. 2 10

11 ( n. n = 2 1 ) = 0. Les plans P et Q sont donc perpendiculaires. 11

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