Chapitre : Produit scalaire
|
|
- Franck Lafleur
- il y a 6 ans
- Total affichages :
Transcription
1 I) Norme d'un vecteur Chapitre : Produit scalaire Exemple Lequel des vecteurs suivants est le "plus grand"? Pour comparer des vecteurs, on introduit un nouvel outil appelé norme : Définition (norme d'un vecteur) Soit u un vecteur du plan. La norme de u, notée u est la longueur de ce vecteur. Ainsi si u est le vecteur AB, alors u est la distance AB. Proposition Soit (O; i, j ) repère orthonormée et un vecteur u(x ; y). Alors u = x 2 + y 2 Exemple Déterminer la norme des quatre vecteurs précédents Exemple Déterminer la norme des vecteurs suivants : u(1; 3) u = = 10 v ( 1; 4) v = ( 1) = 17 w ( 3; 4) w = ( 3) 2 +( 4) 2 = 25 = 5 u= AB, avec A(1;3) et B(2;5) AB = (2 1) 2 +(5 3) 2 = 5 Remarque Si deux vecteurs sont égaux, ils ont la même norme. Réciproque fausse. Deux vecteurs qui ont la même norme ne sont pas forcément égaux : u(1; 2) et v ( 1; 2)
2 II) Produit scalaire de deux vecteurs On sait multiplier deux nombres entre eux. Mais comment faire la multiplication de deux vecteurs? II.1) Produit scalaire avec la projection orthogonale Projeté orthogonal d'un point sur une droite Soit A un point du plan et (d) une droite. Le projeté orthogonal de A sur (d) est l'unique point H appartenant à la droite (d) tel que (AH) et (d) soient perpendiculaire. Projeté orthogonal d'un vecteur sur une droite Soit u= AB un vecteur du plan et (d) une droite. Le projeté orthogonal du vecteur u est le vecteur u '= A' B ', où A' est le projeté orthogonal de A sur (d) et B' est le projeté orthogonal de B sur (d) Définition 1 du produit scalaire (produit scalaire avec le projeté orthogonal) Soit u et v deux vecteurs du plan, avec u 0 Soit v ' le projeté orthogonal du vecteur v sur le vecteur u (droite dirigée par u ). Alors le produit scalaire u v = u. v' si u et v ' sont de même sens et - u. v' sinon
3 Exemple Soit ABCD un carré de côté 4. O le centre du carré, E milieu de [BC] et F milieu de [AD] Remarque : AC, AE et DB ont le même projeté orthogonal AB AB AC = AB.AB = 16 AB AE = AB.AB = 16 AB DB = AB.AB = 16 Déterminer 1) AB AO 2) AB FO 3) AB OD 4) AB OC 5) AB BO 6) FD FC EA EB = -BE.EB = -4 FC EB = -EC.EB = -4 AO EB = -BE.EB = -4
4 II.2) Produit saclaire avec le cosinus Soient u et v deux vecteurs non nuls, et v ' le projeté orthogonal de v sur le vecteur u. - Supposons que v ' soit de même sens que u. L'angle ( u; v) est donc aigu (figure 1). On a vu que u v = u v '. Le triangle ABH est rectangle en H, donc cos( u; v) = AH AB = v ' (côté adjacent sur hypoténuse) v D'où v ' = v cos( u; v) On a obtenu une nouvelle formule du produit scalaire : u v = u v cos( u, v) - Supposons que v ' soit de sens contraire à u. L'angle ( u; v) est donc obtus (figure 2). On a vu que u v = u v ' Le triangle ABH est rectangle en H, donc cos( v ; v' ) = AH AB = v ' (côté adjacent sur hypoténuse) v Or cos( v ; v' ) = cos(π ( u ; v)) ) = cos( u; v) (car cos(π x) = cos( x) ) D'où v ' = v cos( v; v' ) = v cos( u; v) Finalement : u v = u v ' = u v cos( u, v) Définition 2 du produit scalaire (produit scalaire avec le cosinus) Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire u v = u v cos( u, v) Remarque (symétrie du produit scalaire) Comme cos(x) = cos(-x), on a : v u = v u cos( v, u) = v u cos( ( v, u)) = v u cos( u, v) = v u cos( u, v) = u v Ainsi, u v est la même chose que v u. Le produit scalaire ne dépend donc pas de l'orientation de l'angle des vecteurs. Exemple Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3. Déterminer : AB AC = AB AC cos ( π 3 ) = 3 3 0,5 = 4,5
5 II.3) Produit scalaire avec les normes Formule 3 à partir de la formule 1 u v = u v ' (si u et v ' même sens) u v = u v ' (si u et v ' sens contraires) Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. Soit v ' le projeté orthogonal de v sur u. Supposons que u et v ' sont de même sens Montrons que u v = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] Soit le vecteur w= u v. On a alors u v = u v ' = AC.AH. Par ailleurs, calculons u 2 + v 2 - u v 2 u 2 + v 2 - u v 2 = AC² + AB² BC² = (AH+HC)² + AH² + HB² (HB² + HC²) (Rouge et Vert? Deux fois Pythagore. Bleu? Faut pas d'abuser!) = AH² + HC² + 2AH.HC + AH² + HB² HB² HC² = 2AH² + 2AH.HC = 2AH(AH+HC) = 2AH.AC On en déduit que u v = AH.AC = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] = u v
6 Montrons que u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] Soit le vecteur w= u+ v On a alors u v = u v ' = AC.HC. Par ailleurs, calculons u+ v 2 - u 2 - v 2 u+ v 2 - u 2 - v 2 = AB² AC² BC² = AH² + HB² (AH HC)² (HC² + HB²) (Rouge et Vert? Deux fois Pythagore. Bleu? Arrêter d'abuser!) = AH² + HB² AH² +2AH.HC HC² HC² HB² = 2AH.HC 2HC² = 2HC(AH HC) = 2HC.AC On en déduit que u v = AC.HC = u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] Remarque : On peut montrer que le résultat reste le même si on suppose que u et v ' sont de sens contraires comme sur la figure. On a alors u v = u v ' = - AC. AH. Par ailleurs, calculons u 2 + v 2 - u v 2 u 2 + v 2 - u v 2 = AC² + AB² BC² = (HC HA)² + AH² + HB² (HB² HC²) = AH² + HC² 2AH.HC + AH² + HB² HB² HC² = 2AH² 2AH.HC = 2AH(AH HC) = - 2AH.AC On en déduit que u v = - AH.AC = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] = u v
7 Définition 3 du produit scalaire (produit scalaire avec les normes) Soient u et v deux vecteurs du plan. Le produit scalaire vaut 1 u v = 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] Remarque : on utilise plus souvent la première car on peut l'utiliser dans un triangle. Exemple Soit ABC un triangle tel que AB=5, AC=7, BC=4. Déterminer AB AC AB AC = 1 2 (AB2 +AC 2 BC 2 ) = 1 2 (52 +7 ² 4 2 ) = 29
8 II.4) Produit scalaire avec les coordonnées Soient u (x;y) et v (x';y') deux vecteurs d'un repère orthonormée. u 2 = x²+y² v 2 = x'²+y'² u+ v 2 = (x+x')²+(y+y')² = x²+x'²+2xx'+y²+y'²+2yy' u+ v 2 - u 2 - v 2 = x²+x'²+2xx'+y²+y'²+2yy' (x²+y²) (x'²+y'²) = 2xx'+2yy' = 2(xx'+yy') 1 D'où u v = 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] = xx'+yy' Définition 4 du produit scalaire (produit scalaire avec les coordonnées) Dans un repère orthonormée, soient u (x;y) et v (x';y') deux vecteurs. Le produit scalaire u v = xx'+yy' Exemples Déterminer le produit scalaire u v u(1; 2) v (4;1) u(1; 3) v (6; 2) Exemple Soit u(1; 2) et v (4;1) deux vecteurs. Déterminer l'angle ( u; v) On utilise les formules 2 et 4 : u v = u v.cos( ( u; v) ). = cos( ( u; v) ). (formule 2) u v = = 6 (formule 4) Ainsi, 6 = cos( ( u; v) ) cos( ( u; v) ) = = 0,65 ( u; v) = 49,4 Remarque On a u 2 = u. u. En effet, soit u (x ; y) un vecteur dans un repère orthonormé. u = x 2 + y 2 u 2 = x²+y² donc u. u = x x+ y y = x²+y² = u 2
9 III) Applications aux calculs de longueurs et d'angles Proposition (linéarité du produit scalaire) Exemples 1) 3 u ( 2 v) = 6 u v 2) (3 u+2 v) ( u 2 v) = 3 u u 6 u v+2 u v 4 v v = 3 u 4 u v 4 v Identités remarquables avec les normes On connaît les identités remarquables pour des nombres réels : (a+b)² = a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² (a+b)(a-b)=a²-b² On a les mêmes identités remarquables pour les vecteurs : Proposition Soient u et v deux vecteurs du plan. 1) u+ v 2 = u u v + v 2 2) u v 2 = u 2-2 u v + v 2 3) ( u+ v) ( u v) = u 2 - v 2 Démonstration Soit u(x ; y) et v ( x ' ; y ') deux vecteurs dans un repère orthonormé. u = x 2 + y 2 u 2 = x²+y² donc u. u = x x+ y y = x²+y² = u 2 On retient donc que u 2 = u. u 1) u+ v 2 = ( u+ v) ( u+ v) = u u+ u v+ v u+ v v = u u v + v 2 2) u v 2 = ( u v) ( u v) = u u u v v u+ v v = u 2-2 u v + v 2 3) ( u+ v) ( u v) = u u u v+ v u v v = u u v v = u 2 - v 2 Remarque A partir des deux formules des identités remarquables, on retrouve la formule 3 du produit scalaire u+ v 2 = u u v + v 2 2 u v = u+ v 2 - u 2 - v 2 u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] u v 2 = u 2-2 u v + v 2 u v = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] Remarques La formule 2 (avec le cosinus) et la formule 4 (avec les coordonnées) sont les plus utilisées. La formule 3 est la moins utile, le théorème d'al-kashi permet de s'en passer.
10 III.1) Théorème d'al-kashi Soit ABC un triangle, avec a=bc, b=ac et c=ab AB AC = AB.AC.cos( Â) (formule 2) 1 AB AC = 2 (AB2 +AC 2 BC 2 ) (formule 3) On obtient donc : AB.AC.cos( Â) = 1 2 (AB2 +AC 2 BC 2 ) BC² = AB²+AC²-2 AB.AC.cos( Â) C'est-à-dire : a² = b²+c²-2bccos(a) On obtient ainsi une relation entre les trois côtés du triangle et un angle. On peut refaire la même chose avec les angles B et Ĉ. Cette relation très utile s'appelle le théorème d'al-kashi : Théorème Soit ABC un triangle quelconque. On note a=bc, b=ac et c=ab. Alors : a² = b²+c²-2bccos(  ) b² = a²+c²-2accos( B ) c² = a²+b²-2abcos( Ĉ ) Remarques - Ce théorème est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé, car si l'angle  = 90, cos(90 )=0 et on retrouve a²=b²+c² - On a démontré ce théorème à l'aide des formules 2 et 3 du produit scalaire. On peut aussi le faire à l'aide de la formule 2 et de l'identité remarquable sur les normes : BC = BA+ AC = AC AB (relation de Chasles) BC² = BC ² = AC AB ² = AC ² 2 AC AB + AB ² (identité remarquable) = AC² 2 AC AB + AB² = AC² 2AC.AB.cos(  ) + AB² (formule 2 du P.S.) D'où a² = b²+c²-2bccos(  ) Exemple (calcul de longueur) Calculer la longueur de BC; arrondir à 0,1 D'après la formule d'al-kashi : BC 2 = cos(60 ) = ,5 = 48 Donc BC= 48 = 6,9
11 Exemple (calcul d'angle) Calculer les angles du triangle. On donnera le résultat à 0,1 près en degré - Calcul de l'angle Â= BAC 7 2 = cos(a) 49= cos(A) BC= 48 cos(a)= Â=78,5 - Calcul de l'angle B=ÂBC 6 2 = cos(b) 36= cos(B) cos(b)= B=57,1 - Calcul de l'angle Ĉ=ÂCB 5 2 = cos(c) 25= cos(c) cos(c)= Ĉ=44,4 On aurait pu trouver l'angle Ĉ en faisant : 180 Â B = ,5-57,1=44,4
12 III.2) Théorème de la médiane Théorème Soit A et B deux points, et I le milieu du segment [AB].Soit M un point quelconque du plan. On a : MA²+MB²=2MI²+2IA² Démonstration MA= MI+ IA MB= MI+ IB (relation de Chasles) MA² = MA 2 = MI+ IA 2 = MI ² + 2MI.IA + IA ² (identité remarquable) = MI² + 2 MI IA + IA² De même : MB² =... = MI² + 2 MI IB + IB² = MI² 2 MI IA + IB² ( IB= IA ) = MI² 2 MI IA + IA² (IB=IA) Finalement : MA² + MB² = MI² + 2 MI IA + IA² + MI² 2 MI IA + IA² = 2MI² + 2IA² Exemple : Déterminer la longueur de la médiane AO.
13 Annexe : Démonstration de la formule 3 à partir de la formule 2 A partir de la formule u v = u v cos( u, v) Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. On a vu que u v = u v cos( u, v) u On se place dans le repère orthonormée (O,I,J) tel que OI = et on note θ = ( u; v) (2π) u Les coordonnées de u sont ( u ;0) Les coordonnées de v sont (OH;HA). Le triangle OAH est rectangle en H, donc OH = v cos( θ ) et HA = v sin( θ ) On obtient la même formule dans le cas où l'angle θ est obtus ( v; v' )=π θ et donc OH = v cos ( v ; v ' ) = v cos( θ ) Ainsi les coordonnées de v sont ( v cos( θ ) ; v sin( θ ) Les coordonnées du vecteurs u+ v sont donc ( u + v cos( θ ) ; v sin( θ )) Calculons maintenant u+ v 2 u+ v 2 = [ u + v cos( θ )]²+ [ v sin( θ )]² = u 2 + v 2 (cos( θ )²+sin( θ )²) + 2 u v cos( θ ) = u 2 + v u v On obtient donc une nouvelle relation du produit scalaire : u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] Les coordonnées du vecteurs u v sont ( u - v cos( θ ) ; v sin( θ )) Calculons u v 2 u v 2 = [ u - v cos( θ )]²+ [- v sin( θ )]² = u 2 + v 2 (cos( θ )²+sin( θ )²) - 2 u v cos( θ ) = u 2 + v 2-2 u v On obtient donc une autre relation du produit scalaire : u v = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] On remarque que ces deux formules sont valables si u ou v est nul. Par exemple si u= 0 0 v = 1 2 [ v 2 - v 2 ] = 0
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )
LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation
Plus en détail1S Modèles de rédaction Enoncés
Par l équipe des professeurs de 1S du lycée Parc de Vilgénis 1S Modèles de rédaction Enoncés Produit scalaire & Corrigés Exercice 1 : définition du produit scalaire Soit ABC un triangle tel que AB, AC
Plus en détailAngles orientés et trigonométrie
Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.
Plus en détailGéométrie dans l espace Produit scalaire et équations
Chapitre 11. 2ème partie Géométrie dans l espace Produit scalaire et équations Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 2ème partie Produit scalaire Produit scalaire
Plus en détailLa géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques
La géométrie du triangle III IV - V Cercles remarquables - Lieux géométriques - Relations métriques III. Cercles 1. Cercle d'euler 2. Droite d'euler 3. Théorème de Feuerbach 4. Milieux des segments joignant
Plus en détailEnoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé.
Enoncé et corrigé du brevet des collèges dans les académies d Aix- Marseille, Montpellier, Nice Corse et Toulouse en 2000. Énoncé. I- ACTIVITES NUMERIQUES (12 points) Exercice 1 (3 points) On considère
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Asie 21 juin 2010
Corrigé du baccalauréat S Asie juin 00 EXERCICE Commun à tous les candidats 4 points. Question : Le triangle GBI est : Réponse a : isocèle. Réponse b : équilatéral. Réponse c : rectangle. On a GB = + =
Plus en détail1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.
Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur
Plus en détailQuelques contrôle de Première S
Quelques contrôle de Première S Gilles Auriol auriolg@free.fr http ://auriolg.free.fr Voici l énoncé de 7 devoirs de Première S, intégralement corrigés. Malgré tout les devoirs et 5 nécessitent l usage
Plus en détailReprésentation géométrique d un nombre complexe
CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres
Plus en détailI - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES
I - PUISSANCE D UN POINT PAR RAPPORT A UN CERCLE CERCLES ORTHOGONAUX POLES ET POLAIRES Théorème - Définition Soit un cercle (O,R) et un point. Une droite passant par coupe le cercle en deux points A et
Plus en détailSéquence 10. Géométrie dans l espace. Sommaire
Séquence 10 Géométrie dans l espace Sommaire 1. Prérequis 2. Calculs vectoriels dans l espace 3. Orthogonalité 4. Produit scalaire dans l espace 5. Droites et plans de l espace 6. Synthèse Dans cette séquence,
Plus en détailSi deux droites sont parallèles à une même troisième. alors les deux droites sont parallèles entre elles. alors
N I) Pour démontrer que deux droites (ou segments) sont parallèles (d) // (d ) (d) // (d ) deux droites sont parallèles à une même troisième les deux droites sont parallèles entre elles (d) // (d) deux
Plus en détailCONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE
CONJUGUÉ D'UN POINT PAR RAPPORT À UN TRIANGLE Jean Luc Bovet, Auvernier L'article de Monsieur Jean Piquerez (Bulletin de la SSPMP No 86), consacré aux symédianes me paraît appeler une généralisation. En
Plus en détailPlanche n o 22. Fonctions de plusieurs variables. Corrigé
Planche n o Fonctions de plusieurs variables Corrigé n o : f est définie sur R \ {, } Pour, f, = Quand tend vers, le couple, tend vers le couple, et f, tend vers Donc, si f a une limite réelle en, cette
Plus en détailActivités numériques [13 Points]
N du candidat L emploi de la calculatrice est autorisé. Le soin, la qualité de la présentation entrent pour 2 points dans l appréciation des copies. Les résultats seront soulignés. La correction est disponible
Plus en détailLe théorème de Thalès et sa réciproque
Le théorème de Thalès et sa réciproque I) Agrandissement et Réduction d une figure 1) Définition : Lorsque toutes les longueurs d une figure F sont multipliées par un même nombre k on obtient une autre
Plus en détailPROBLEME(12) Première partie : Peinture des murs et du plafond.
PROBLEME(12) Une entreprise doit rénover un local. Ce local a la forme d'un parallélépipède rectangle. La longueur est 6,40m, la largeur est 5,20m et la hauteur est 2,80m. Il comporte une porte de 2m de
Plus en détailCorrection : E = Soit E = -1,6. F = 12 Soit F = -6 3 + 45. y = 11. et G = -2z + 4y G = 2 6 = 3 G = G = -2 5 + 4 11
Correction : EXERCICE : Calculer en indiquant les étapes: (-6 +9) ( ) ( ) B = -4 (-) (-8) B = - 8 (+ 6) B = - 8 6 B = - 44 EXERCICE : La visite médicale Calcul de la part des élèves rencontrés lundi et
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailExercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument
Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour
Plus en détailCorrigé du baccalauréat S Pondichéry 12 avril 2007
Corrigé du baccalauréat S Pondichéry 1 avril 7 EXERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1 a Les vecteurs AB et AC ont pour coordonnées AB ; ; ) et AC 1 ; 4 ; 1) Ils ne sont manifestement pas colinéaires
Plus en détailTOUT CE QU IL FAUT SAVOIR POUR LE BREVET
TOUT E QU IL FUT SVOIR POUR LE REVET NUMERIQUE / FONTIONS eci n est qu un rappel de tout ce qu il faut savoir en maths pour le brevet. I- Opérations sur les nombres et les fractions : Les priorités par
Plus en détailMesure d angles et trigonométrie
Thierry Ciblac Mesure d angles et trigonométrie Mesure de l angle de deux axes (ou de deux demi-droites) de même origine. - Mesures en degrés : Divisons un cercle en 360 parties égales définissant ainsi
Plus en détailAC AB. A B C x 1. x + 1. d où. Avec un calcul vu au lycée, on démontre que cette solution admet deux solutions dont une seule nous intéresse : x =
LE NOMBRE D OR Présentation et calcul du nombre d or Euclide avait trouvé un moyen de partager en deu un segment selon en «etrême et moyenne raison» Soit un segment [AB]. Le partage d Euclide consiste
Plus en détail6. Les différents types de démonstrations
LES DIFFÉRENTS TYPES DE DÉMONSTRATIONS 33 6. Les différents types de démonstrations 6.1. Un peu de logique En mathématiques, une démonstration est un raisonnement qui permet, à partir de certains axiomes,
Plus en détailChapitre 2 : Vecteurs
1 Chapitre 2 : Vecteurs Nous allons définir ce qu'est un vecteur grâce à une figure (le parallélogramme), mais au préalable nous allons aussi définir une nouvelle transformation (la translation). Nous
Plus en détailComment démontrer que deux droites sont perpendiculaires?
omment démontrer que deux droites sont perpendiculaires? Utilisons On sait que (hypothèses) or...(propriété, définition) donc...(conclusion) Réciproque de Pythagore,5 1,5 = + Si dans un triangle le carré
Plus en détailCours d Analyse. Fonctions de plusieurs variables
Cours d Analyse Fonctions de plusieurs variables Licence 1ère année 2007/2008 Nicolas Prioux Université de Marne-la-Vallée Table des matières 1 Notions de géométrie dans l espace et fonctions à deux variables........
Plus en détailExercices de géométrie
Exercices de géométrie Stage olympique de Bois-le-Roi, avril 2006 Igor Kortchemski Exercices vus en cours Exercice 1. (IMO 2000) Soient Ω 1 et Ω 2 deux cercles qui se coupent en M et en N. Soit la tangente
Plus en détailLes droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites
I Droites perpendiculaires Lorsque deux droites se coupent, on dit qu elles sont sécantes Les droites (d 1 ) et (d 2 ) sont sécantes en A Le point A est le point d intersection des 2 droites Lorsque deux
Plus en détailSéquence 2. Repérage dans le plan Équations de droites. Sommaire
Séquence Repérage dans le plan Équations de droites Sommaire 1 Prérequis Repérage dans le plan 3 Équations de droites 4 Synthèse de la séquence 5 Exercices d approfondissement Séquence MA0 1 1 Prérequis
Plus en détail5 ème Chapitre 4 Triangles
5 ème Chapitre 4 Triangles 1) Médiatrices Définition : la médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités du segment (cours de 6 ème ). Si M appartient à la médiatrice du
Plus en détailRappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie
Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)
Plus en détailDevoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigés d exercices sections 3 à 6. Liste des exos recommandés :
LM323 Envoi 2 2009-2010 Contenu de cet envoi Devoir 2 avec une figure en annexe, à renvoyer complétée. Corrigé du devoir 1. Un exercice de révision sur le chapître 1. Exercices sur l inversion. Corrigés
Plus en détailCalcul matriciel. Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes.
1 Définitions, notations Calcul matriciel Définition 1 Une matrice de format (m,n) est un tableau rectangulaire de mn éléments, rangés en m lignes et n colonnes. On utilise aussi la notation m n pour le
Plus en détailCorrection du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 2007
Correction du Baccalauréat S Amérique du Nord mai 7 EXERCICE points. Le plan (P) a une pour équation cartésienne : x+y z+ =. Les coordonnées de H vérifient cette équation donc H appartient à (P) et A n
Plus en détailDOCM 2013 http://docm.math.ca/ Solutions officielles. 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10.
A1 Trouvez l entier positif n qui satisfait l équation suivante: Solution 1 2 10 + 1 2 9 + 1 2 8 = n 2 10. En additionnant les termes du côté gauche de l équation en les mettant sur le même dénominateur
Plus en détailItems étudiés dans le CHAPITRE N5. 7 et 9 p 129 D14 Déterminer par le calcul l'antécédent d'un nombre par une fonction linéaire
CHAPITRE N5 FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION FONCTIONS LINEAIRES NOTION DE FONCTION Code item D0 D2 N30[S] Items étudiés dans le CHAPITRE N5 Déterminer l'image
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours.
Eo7 Fonctions de plusieurs variables Eercices de Jean-Louis Rouget Retrouver aussi cette fiche sur wwwmaths-francefr * très facile ** facile *** difficulté moenne **** difficile ***** très difficile I
Plus en détailStructures algébriques
Structures algébriques 1. Lois de composition s Soit E un ensemble. Une loi de composition interne sur E est une application de E E dans E. Soient E et F deux ensembles. Une loi de composition externe
Plus en détailLes Angles. I) Angles complémentaires, angles supplémentaires. 1) Angles complémentaires. 2 Angles supplémentaires. a) Définition.
Les Angles I) Angles complémentaires, angles supplémentaires 1) Angles complémentaires Deux angles complémentaires sont deux angles dont la somme des mesures est égale à 90 41 et 49 41 49 90 donc Les angles
Plus en détailI. Ensemble de définition d'une fonction
Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux
Plus en détailTrois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur
29=30 Trois personnes mangent dans un restaurant. Le serveur leur amène une addition de 30 francs. Les trois personnes décident de partager la facture en trois, soit 10 francs chacun. Le serveur rapporte
Plus en détailSeconde MESURER LA TERRE Page 1 MESURER LA TERRE
Seconde MESURER LA TERRE Page 1 TRAVAUX DIRIGES MESURER LA TERRE -580-570 -335-230 +400 IX - XI siècles 1670 1669/1716 1736/1743 THALES (-à Milet) considère la terre comme une grande galette, dans une
Plus en détail* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours
Exo7 Continuité (étude globale). Diverses fonctions Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur www.maths-france.fr * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile *****
Plus en détailExprimer ce coefficient de proportionnalité sous forme de pourcentage : 3,5 %
23 CALCUL DE L INTÉRÊT Tau d intérêt Paul et Rémi ont reçu pour Noël, respectivement, 20 et 80. Ils placent cet argent dans une banque, au même tau. Au bout d une année, ce placement leur rapportera une
Plus en détailFONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES (Outils Mathématiques 4) Bernard Le Stum Université de Rennes 1 Version du 13 mars 2009 Table des matières 1 Fonctions partielles, courbes de niveau 1 2 Limites et continuité
Plus en détailContinuité et dérivabilité d une fonction
DERNIÈRE IMPRESSIN LE 7 novembre 014 à 10:3 Continuité et dérivabilité d une fonction Table des matières 1 Continuité d une fonction 1.1 Limite finie en un point.......................... 1. Continuité
Plus en détailSTATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE
ÉCOLE D'INGÉNIEURS DE FRIBOURG (E.I.F.) SECTION DE MÉCANIQUE G.R. Nicolet, revu en 2006 STATIQUE GRAPHIQUE ET STATIQUE ANALYTIQUE Eléments de calcul vectoriel Opérations avec les forces Equilibre du point
Plus en détailGéométrie dans l espace
Géométrie dans l espace Mabrouk Brahim Université Virtuelle de Tunis 2007 Ce cours a pour objet la présentation des différents concepts de la géométrie de l espace comme une continuation de ceux vus en
Plus en détailAngles orientés et fonctions circulaires ( En première S )
Angles orientés et fonctions circulaires ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 01 Septembre 010 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble (Année 006-007) Lycée Stendhal, Grenoble
Plus en détailBaccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS
Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin
Plus en détailLe contexte. Le questionnement du P.E.R. :
Le contexte Ce travail a débuté en janvier. Le P.E.R. engagé depuis fin septembre a permis de faire émerger ou de réactiver : Des raisons d être de la géométrie : Calculer des grandeurs inaccessibles et
Plus en détailChapitre 2. Matrices
Département de mathématiques et informatique L1S1, module A ou B Chapitre 2 Matrices Emmanuel Royer emmanuelroyer@mathuniv-bpclermontfr Ce texte mis gratuitement à votre disposition a été rédigé grâce
Plus en détail8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles. f : R 2 R (x, y) 1 x 2 y 2
Chapitre 8 Fonctions de plusieurs variables 8.1 Généralités sur les fonctions de plusieurs variables réelles Définition. Une fonction réelle de n variables réelles est une application d une partie de R
Plus en détailLivret de liaison Seconde - Première S
Livret de liaison Seconde - Première S I.R.E.M. de Clermont-Ferrand Groupe Aurillac - Lycée Juin 2014 Ont collaboré à cet ouvrage : Emmanuelle BOYER, Lycée Émile Duclaux, Aurillac. Patrick DE GIOVANNI,
Plus en détailSoit la fonction affine qui, pour représentant le nombre de mois écoulés, renvoie la somme économisée.
ANALYSE 5 points Exercice 1 : Léonie souhaite acheter un lecteur MP3. Le prix affiché (49 ) dépasse largement la somme dont elle dispose. Elle décide donc d économiser régulièrement. Elle a relevé qu elle
Plus en détailL ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ
L ANALYSE EN COMPOSANTES PRINCIPALES (A.C.P.) Pierre-Louis GONZALEZ INTRODUCTION Données : n individus observés sur p variables quantitatives. L A.C.P. permet d eplorer les liaisons entre variables et
Plus en détailMathématiques Algèbre et géométrie
Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches Daniel FREDON Myriam MAUMY-BERTRAND Frédéric BERTRAND Mathématiques Algèbre et géométrie en 30 fiches
Plus en détailLe seul ami de Batman
Le seul ami de Batman Avant de devenir un héros de cinéma en 1989, Batman est depuis plus de 50 ans un fameux personnage de bandes dessinées aux États-Unis. Il fut créé en mai 1939 dans les pages de Détective
Plus en détailBaccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé.
Baccalauréat L spécialité, Métropole et Réunion, 19 juin 2009 Corrigé. L usage d une calculatrice est autorisé Durée : 3heures Deux annexes sont à rendre avec la copie. Exercice 1 5 points 1_ Soit f la
Plus en détailCalcul intégral élémentaire en plusieurs variables
Calcul intégral élémentaire en plusieurs variables PC*2 2 septembre 2009 Avant-propos À part le théorème de Fubini qui sera démontré dans le cours sur les intégrales à paramètres et qui ne semble pas explicitement
Plus en détail315 et 495 sont dans la table de 5. 5 est un diviseur commun. Leur PGCD n est pas 1. Il ne sont pas premiers entre eux
Exercice 1 : (3 points) Un sac contient 10 boules rouges, 6 boules noires et 4 boules jaunes. Chacune des boules a la même probabilité d'être tirée. On tire une boule au hasard. 1. Calculer la probabilité
Plus en détail3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements
3 ème 2 DÉVELOPPEMENT FACTORISATIONS ET IDENTITÉS REMARQUABLES 1/5 1 - Développements Développer une expression consiste à transformer un produit en une somme Qu est-ce qu une somme? Qu est-ce qu un produit?
Plus en détailChapitre 3. Quelques fonctions usuelles. 1 Fonctions logarithme et exponentielle. 1.1 La fonction logarithme
Chapitre 3 Quelques fonctions usuelles 1 Fonctions logarithme et eponentielle 1.1 La fonction logarithme Définition 1.1 La fonction 7! 1/ est continue sur ]0, +1[. Elle admet donc des primitives sur cet
Plus en détailEté 2015. LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES
Eté 2015 LIVRET de RÉVISIONS en MATHÉMATIQUES Destiné aux élèves entrant en Seconde au Lycée Honoré d Estienne d Orves Elaboré par les professeurs de mathématiques des collèges et lycées du secteur Une
Plus en détailChapitre 5 : Le travail d une force :
Classe de 1èreS Chapitre 5 Physique Chapitre 5 : Le travail d une force : Introduction : fiche élève Considérons des objets qui subissent des forces dont le point d application se déplace : Par exemple
Plus en détailDURÉE DU JOUR EN FONCTION DE LA DATE ET DE LA LATITUDE
DURÉE DU JUR E FCTI DE LA DATE ET DE LA LATITUDE ous allons nous intéresser à la durée du jour, prise ici dans le sens de période d éclairement par le Soleil dans une journée de 4 h, en un lieu donné de
Plus en détailDémontrer qu'un point est le milieu d'un segment
émntrer qu'un pint est le milieu d'un segment P 1 Si un pint est sur un segment et à égale distance de ses etrémités alrs ce pint est le milieu du segment. P 2 Si un quadrilatère est un alrs ses diagnales
Plus en détailPrésentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau
i Présentation du cours de mathématiques de D.A.E.U. B, remise à niveau Bonjour, bienvenue dans votre début d étude du cours de mathématiques de l année de remise à niveau en vue du D.A.E.U. B Au cours
Plus en détailNombres complexes. cours, exercices corrigés, programmation
1 Nombres complexes cours, exercices corrigés, programmation Nous allons partir des nombres réels pour définir les nombres complexes. Au cours de cette construction, les nombres complexes vont être munis
Plus en détailCOMPTE-RENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre?
Claire FORGACZ Marion GALLART Hasnia GOUDJILI COMPTERENDU «MATHS EN JEANS» LYCEE OZENNE Groupe 1 : Comment faire une carte juste de la Terre? Si l on se pose la question de savoir comment on peut faire
Plus en détailProblème 1 : applications du plan affine
Problème 1 : applications du plan affine Notations On désigne par GL 2 (R) l ensemble des matrices 2 2 inversibles à coefficients réels. Soit un plan affine P muni d un repère (O, I, J). Les coordonnées
Plus en détailL ALGORITHMIQUE. Algorithme
L ALGORITHMIQUE Inspirée par l informatique, cette démarche permet de résoudre beaucoup de problèmes. Quelques algorithmes ont été vus en 3 ième et cette année, au cours de leçons, nous verrons quelques
Plus en détailDu Premier au Second Degré
Du Premier au Second Degré Première Bac Pro 3 ans November 26, 2011 Première Bac Pro 3 ans Du Premier au Second Degré Sommaire 1 Fonction Polynôme du second degré 2 Fonction Polynôme du Second Degré: Synthèse
Plus en détailExercice numéro 1 - L'escalier
Exercice numéro 1 - L'escalier On peut monter un escalier une ou deux marches à la fois. La figure de droite montre un exemple. 1. De combien de façons différentes peut-on monter un escalier de une marche?
Plus en détailLimites finies en un point
8 Limites finies en un point Pour ce chapitre, sauf précision contraire, I désigne une partie non vide de R et f une fonction définie sur I et à valeurs réelles ou complees. Là encore, les fonctions usuelles,
Plus en détailDurée de L épreuve : 2 heures. Barème : Exercice n 4 : 1 ) 1 point 2 ) 2 points 3 ) 1 point
03 Mai 2013 Collège Oasis Durée de L épreuve : 2 heures. apple Le sujet comporte 4 pages et est présenté en livret ; apple La calculatrice est autorisée ; apple 4 points sont attribués à la qualité de
Plus en détailDérivation : cours. Dérivation dans R
TS Dérivation dans R Dans tout le capitre, f désigne une fonction définie sur un intervalle I de R (non vide et non réduit à un élément) et à valeurs dans R. Petits rappels de première Téorème-définition
Plus en détailParis et New-York sont-ils les sommets d'un carré?
page 95 Paris et New-York sont-ils les sommets d'un carré? par othi Mok (3 ), Michel Vongsavanh (3 ), Eric hin (3 ), iek-hor Lim ( ), Eric kbaraly ( ), élèves et anciens élèves du ollège Victor Hugo (2
Plus en détailChapitre 1 : Évolution COURS
Chapitre 1 : Évolution COURS OBJECTIFS DU CHAPITRE Savoir déterminer le taux d évolution, le coefficient multiplicateur et l indice en base d une évolution. Connaître les liens entre ces notions et savoir
Plus en détailFonctions de deux variables. Mai 2011
Fonctions de deux variables Dédou Mai 2011 D une à deux variables Les fonctions modèlisent de l information dépendant d un paramètre. On a aussi besoin de modéliser de l information dépendant de plusieurs
Plus en détailChapitre 14. La diagonale du carré
Chapitre 4 La diagonale du carré Préambule Examinons un puzzle tout simple : on se donne deux carrés de même aire et on demande, au moyen de quelques découpages, de construire un nouveau carré qui aurait
Plus en détailExercices - Fonctions de plusieurs variables : corrigé. Pour commencer
Pour commencer Exercice 1 - Ensembles de définition - Première année - 1. Le logarithme est défini si x + y > 0. On trouve donc le demi-plan supérieur délimité par la droite d équation x + y = 0.. 1 xy
Plus en détailProposition de programmes de calculs en mise en train
Proposition de programmes de calculs en mise en train Programme 1 : Je choisis un nombre, je lui ajoute 1, je calcule le carré du résultat, je retranche le carré du nombre de départ. Essai-conjecture-preuve.
Plus en détailProbabilités sur un univers fini
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 7 août 204 Enoncés Probabilités sur un univers fini Evènements et langage ensembliste A quelle condition sur (a, b, c, d) ]0, [ 4 existe-t-il une probabilité P sur
Plus en détailFonctions de plusieurs variables
Module : Analyse 03 Chapitre 00 : Fonctions de plusieurs variables Généralités et Rappels des notions topologiques dans : Qu est- ce que?: Mathématiquement, n étant un entier non nul, on définit comme
Plus en détailCalcul différentiel sur R n Première partie
Calcul différentiel sur R n Première partie Université De Metz 2006-2007 1 Définitions générales On note L(R n, R m ) l espace vectoriel des applications linéaires de R n dans R m. Définition 1.1 (différentiabilité
Plus en détailLes intermédiaires privés dans les finances royales espagnoles sous Philippe V et Ferdinand VI
Les intermédiaires privés dans les finances royales espagnoles sous Philippe V et Ferdinand VI Jean-Pierre Dedieu To cite this version: Jean-Pierre Dedieu. Les intermédiaires privés dans les finances royales
Plus en détailCorrection du baccalauréat S Liban juin 2007
Correction du baccalauréat S Liban juin 07 Exercice. a. Signe de lnx lnx) : on fait un tableau de signes : x 0 e + ln x 0 + + lnx + + 0 lnx lnx) 0 + 0 b. On afx) gx) lnx lnx) lnx lnx). On déduit du tableau
Plus en détailExercices - Polynômes : corrigé. Opérations sur les polynômes
Opérations sur les polynômes Exercice 1 - Carré - L1/Math Sup - Si P = Q est le carré d un polynôme, alors Q est nécessairement de degré, et son coefficient dominant est égal à 1. On peut donc écrire Q(X)
Plus en détailCh.G3 : Distances et tangentes
4 e - programme 2011 mathématiques ch.g3 cahier élève Page 1 sur 14 1 DISTC D U PIT À U DRIT Ch.G3 : Distances et tangentes 1.1 Définition ex 1 DÉFIITI 1 : Soit une droite et un point n'appartenant pas
Plus en détailDéveloppements limités, équivalents et calculs de limites
Développements ités, équivalents et calculs de ites Eercice. Déterminer le développement ité en 0 à l ordre n des fonctions suivantes :. f() e (+) 3 n. g() sin() +ln(+) n 3 3. h() e sh() n 4. i() sin(
Plus en détail1 Complément sur la projection du nuage des individus
TP 0 : Analyse en composantes principales (II) Le but de ce TP est d approfondir nos connaissances concernant l analyse en composantes principales (ACP). Pour cela, on reprend les notations du précédent
Plus en détailCorrigés Exercices Page 1
Corrigés Exercices Page 1 Premiers algorithmes Questions rapides 1 1) V ; ) F ; 3) V ; 4) F. 1) a ; ) b ; 3) a et b ; 4) b. 3 L'algorithme répond à la question : "le nombre entré estil positif?". 4 a (remarque
Plus en détailDeux disques dans un carré
Deux disques dans un carré Table des matières 1 Fiche résumé 2 2 Fiche élève Seconde - version 1 3 2.1 Le problème............................................... 3 2.2 Construction de la figure avec geogebra...............................
Plus en détailI. Polynômes de Tchebychev
Première épreuve CCP filière MP I. Polynômes de Tchebychev ( ) 1.a) Tout réel θ vérifie cos(nθ) = Re ((cos θ + i sin θ) n ) = Re Cn k (cos θ) n k i k (sin θ) k Or i k est réel quand k est pair et imaginaire
Plus en détailNombre de marches Nombre de facons de les monter 3 3 11 144 4 5 12 233 5 8 13 377 6 13 14 610 7 21 15 987 8 34 16 1597 9 55 17 2584 10 89
Soit un escalier à n marches. On note u_n le nombre de façons de monter ces n marches. Par exemple d'après l'énoncé, u_3=3. Pour monter n marches, il faut d'abord monter la première. Soit on la monte seule,
Plus en détailCCP PSI - 2010 Mathématiques 1 : un corrigé
CCP PSI - 00 Mathématiques : un corrigé Première partie. Définition d une structure euclidienne sur R n [X]... B est clairement symétrique et linéaire par rapport à sa seconde variable. De plus B(P, P
Plus en détail