Chapitre : Produit scalaire

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1 I) Norme d'un vecteur Chapitre : Produit scalaire Exemple Lequel des vecteurs suivants est le "plus grand"? Pour comparer des vecteurs, on introduit un nouvel outil appelé norme : Définition (norme d'un vecteur) Soit u un vecteur du plan. La norme de u, notée u est la longueur de ce vecteur. Ainsi si u est le vecteur AB, alors u est la distance AB. Proposition Soit (O; i, j ) repère orthonormée et un vecteur u(x ; y). Alors u = x 2 + y 2 Exemple Déterminer la norme des quatre vecteurs précédents Exemple Déterminer la norme des vecteurs suivants : u(1; 3) u = = 10 v ( 1; 4) v = ( 1) = 17 w ( 3; 4) w = ( 3) 2 +( 4) 2 = 25 = 5 u= AB, avec A(1;3) et B(2;5) AB = (2 1) 2 +(5 3) 2 = 5 Remarque Si deux vecteurs sont égaux, ils ont la même norme. Réciproque fausse. Deux vecteurs qui ont la même norme ne sont pas forcément égaux : u(1; 2) et v ( 1; 2)

2 II) Produit scalaire de deux vecteurs On sait multiplier deux nombres entre eux. Mais comment faire la multiplication de deux vecteurs? II.1) Produit scalaire avec la projection orthogonale Projeté orthogonal d'un point sur une droite Soit A un point du plan et (d) une droite. Le projeté orthogonal de A sur (d) est l'unique point H appartenant à la droite (d) tel que (AH) et (d) soient perpendiculaire. Projeté orthogonal d'un vecteur sur une droite Soit u= AB un vecteur du plan et (d) une droite. Le projeté orthogonal du vecteur u est le vecteur u '= A' B ', où A' est le projeté orthogonal de A sur (d) et B' est le projeté orthogonal de B sur (d) Définition 1 du produit scalaire (produit scalaire avec le projeté orthogonal) Soit u et v deux vecteurs du plan, avec u 0 Soit v ' le projeté orthogonal du vecteur v sur le vecteur u (droite dirigée par u ). Alors le produit scalaire u v = u. v' si u et v ' sont de même sens et - u. v' sinon

3 Exemple Soit ABCD un carré de côté 4. O le centre du carré, E milieu de [BC] et F milieu de [AD] Remarque : AC, AE et DB ont le même projeté orthogonal AB AB AC = AB.AB = 16 AB AE = AB.AB = 16 AB DB = AB.AB = 16 Déterminer 1) AB AO 2) AB FO 3) AB OD 4) AB OC 5) AB BO 6) FD FC EA EB = -BE.EB = -4 FC EB = -EC.EB = -4 AO EB = -BE.EB = -4

4 II.2) Produit saclaire avec le cosinus Soient u et v deux vecteurs non nuls, et v ' le projeté orthogonal de v sur le vecteur u. - Supposons que v ' soit de même sens que u. L'angle ( u; v) est donc aigu (figure 1). On a vu que u v = u v '. Le triangle ABH est rectangle en H, donc cos( u; v) = AH AB = v ' (côté adjacent sur hypoténuse) v D'où v ' = v cos( u; v) On a obtenu une nouvelle formule du produit scalaire : u v = u v cos( u, v) - Supposons que v ' soit de sens contraire à u. L'angle ( u; v) est donc obtus (figure 2). On a vu que u v = u v ' Le triangle ABH est rectangle en H, donc cos( v ; v' ) = AH AB = v ' (côté adjacent sur hypoténuse) v Or cos( v ; v' ) = cos(π ( u ; v)) ) = cos( u; v) (car cos(π x) = cos( x) ) D'où v ' = v cos( v; v' ) = v cos( u; v) Finalement : u v = u v ' = u v cos( u, v) Définition 2 du produit scalaire (produit scalaire avec le cosinus) Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. Le produit scalaire u v = u v cos( u, v) Remarque (symétrie du produit scalaire) Comme cos(x) = cos(-x), on a : v u = v u cos( v, u) = v u cos( ( v, u)) = v u cos( u, v) = v u cos( u, v) = u v Ainsi, u v est la même chose que v u. Le produit scalaire ne dépend donc pas de l'orientation de l'angle des vecteurs. Exemple Soit ABC un triangle équilatéral de côté 3. Déterminer : AB AC = AB AC cos ( π 3 ) = 3 3 0,5 = 4,5

5 II.3) Produit scalaire avec les normes Formule 3 à partir de la formule 1 u v = u v ' (si u et v ' même sens) u v = u v ' (si u et v ' sens contraires) Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. Soit v ' le projeté orthogonal de v sur u. Supposons que u et v ' sont de même sens Montrons que u v = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] Soit le vecteur w= u v. On a alors u v = u v ' = AC.AH. Par ailleurs, calculons u 2 + v 2 - u v 2 u 2 + v 2 - u v 2 = AC² + AB² BC² = (AH+HC)² + AH² + HB² (HB² + HC²) (Rouge et Vert? Deux fois Pythagore. Bleu? Faut pas d'abuser!) = AH² + HC² + 2AH.HC + AH² + HB² HB² HC² = 2AH² + 2AH.HC = 2AH(AH+HC) = 2AH.AC On en déduit que u v = AH.AC = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] = u v

6 Montrons que u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] Soit le vecteur w= u+ v On a alors u v = u v ' = AC.HC. Par ailleurs, calculons u+ v 2 - u 2 - v 2 u+ v 2 - u 2 - v 2 = AB² AC² BC² = AH² + HB² (AH HC)² (HC² + HB²) (Rouge et Vert? Deux fois Pythagore. Bleu? Arrêter d'abuser!) = AH² + HB² AH² +2AH.HC HC² HC² HB² = 2AH.HC 2HC² = 2HC(AH HC) = 2HC.AC On en déduit que u v = AC.HC = u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] Remarque : On peut montrer que le résultat reste le même si on suppose que u et v ' sont de sens contraires comme sur la figure. On a alors u v = u v ' = - AC. AH. Par ailleurs, calculons u 2 + v 2 - u v 2 u 2 + v 2 - u v 2 = AC² + AB² BC² = (HC HA)² + AH² + HB² (HB² HC²) = AH² + HC² 2AH.HC + AH² + HB² HB² HC² = 2AH² 2AH.HC = 2AH(AH HC) = - 2AH.AC On en déduit que u v = - AH.AC = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] = u v

7 Définition 3 du produit scalaire (produit scalaire avec les normes) Soient u et v deux vecteurs du plan. Le produit scalaire vaut 1 u v = 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] Remarque : on utilise plus souvent la première car on peut l'utiliser dans un triangle. Exemple Soit ABC un triangle tel que AB=5, AC=7, BC=4. Déterminer AB AC AB AC = 1 2 (AB2 +AC 2 BC 2 ) = 1 2 (52 +7 ² 4 2 ) = 29

8 II.4) Produit scalaire avec les coordonnées Soient u (x;y) et v (x';y') deux vecteurs d'un repère orthonormée. u 2 = x²+y² v 2 = x'²+y'² u+ v 2 = (x+x')²+(y+y')² = x²+x'²+2xx'+y²+y'²+2yy' u+ v 2 - u 2 - v 2 = x²+x'²+2xx'+y²+y'²+2yy' (x²+y²) (x'²+y'²) = 2xx'+2yy' = 2(xx'+yy') 1 D'où u v = 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] = xx'+yy' Définition 4 du produit scalaire (produit scalaire avec les coordonnées) Dans un repère orthonormée, soient u (x;y) et v (x';y') deux vecteurs. Le produit scalaire u v = xx'+yy' Exemples Déterminer le produit scalaire u v u(1; 2) v (4;1) u(1; 3) v (6; 2) Exemple Soit u(1; 2) et v (4;1) deux vecteurs. Déterminer l'angle ( u; v) On utilise les formules 2 et 4 : u v = u v.cos( ( u; v) ). = cos( ( u; v) ). (formule 2) u v = = 6 (formule 4) Ainsi, 6 = cos( ( u; v) ) cos( ( u; v) ) = = 0,65 ( u; v) = 49,4 Remarque On a u 2 = u. u. En effet, soit u (x ; y) un vecteur dans un repère orthonormé. u = x 2 + y 2 u 2 = x²+y² donc u. u = x x+ y y = x²+y² = u 2

9 III) Applications aux calculs de longueurs et d'angles Proposition (linéarité du produit scalaire) Exemples 1) 3 u ( 2 v) = 6 u v 2) (3 u+2 v) ( u 2 v) = 3 u u 6 u v+2 u v 4 v v = 3 u 4 u v 4 v Identités remarquables avec les normes On connaît les identités remarquables pour des nombres réels : (a+b)² = a²+2ab+b² (a-b)²=a²-2ab+b² (a+b)(a-b)=a²-b² On a les mêmes identités remarquables pour les vecteurs : Proposition Soient u et v deux vecteurs du plan. 1) u+ v 2 = u u v + v 2 2) u v 2 = u 2-2 u v + v 2 3) ( u+ v) ( u v) = u 2 - v 2 Démonstration Soit u(x ; y) et v ( x ' ; y ') deux vecteurs dans un repère orthonormé. u = x 2 + y 2 u 2 = x²+y² donc u. u = x x+ y y = x²+y² = u 2 On retient donc que u 2 = u. u 1) u+ v 2 = ( u+ v) ( u+ v) = u u+ u v+ v u+ v v = u u v + v 2 2) u v 2 = ( u v) ( u v) = u u u v v u+ v v = u 2-2 u v + v 2 3) ( u+ v) ( u v) = u u u v+ v u v v = u u v v = u 2 - v 2 Remarque A partir des deux formules des identités remarquables, on retrouve la formule 3 du produit scalaire u+ v 2 = u u v + v 2 2 u v = u+ v 2 - u 2 - v 2 u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] u v 2 = u 2-2 u v + v 2 u v = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] Remarques La formule 2 (avec le cosinus) et la formule 4 (avec les coordonnées) sont les plus utilisées. La formule 3 est la moins utile, le théorème d'al-kashi permet de s'en passer.

10 III.1) Théorème d'al-kashi Soit ABC un triangle, avec a=bc, b=ac et c=ab AB AC = AB.AC.cos( Â) (formule 2) 1 AB AC = 2 (AB2 +AC 2 BC 2 ) (formule 3) On obtient donc : AB.AC.cos( Â) = 1 2 (AB2 +AC 2 BC 2 ) BC² = AB²+AC²-2 AB.AC.cos( Â) C'est-à-dire : a² = b²+c²-2bccos(a) On obtient ainsi une relation entre les trois côtés du triangle et un angle. On peut refaire la même chose avec les angles B et Ĉ. Cette relation très utile s'appelle le théorème d'al-kashi : Théorème Soit ABC un triangle quelconque. On note a=bc, b=ac et c=ab. Alors : a² = b²+c²-2bccos(  ) b² = a²+c²-2accos( B ) c² = a²+b²-2abcos( Ĉ ) Remarques - Ce théorème est aussi appelé théorème de Pythagore généralisé, car si l'angle  = 90, cos(90 )=0 et on retrouve a²=b²+c² - On a démontré ce théorème à l'aide des formules 2 et 3 du produit scalaire. On peut aussi le faire à l'aide de la formule 2 et de l'identité remarquable sur les normes : BC = BA+ AC = AC AB (relation de Chasles) BC² = BC ² = AC AB ² = AC ² 2 AC AB + AB ² (identité remarquable) = AC² 2 AC AB + AB² = AC² 2AC.AB.cos(  ) + AB² (formule 2 du P.S.) D'où a² = b²+c²-2bccos(  ) Exemple (calcul de longueur) Calculer la longueur de BC; arrondir à 0,1 D'après la formule d'al-kashi : BC 2 = cos(60 ) = ,5 = 48 Donc BC= 48 = 6,9

11 Exemple (calcul d'angle) Calculer les angles du triangle. On donnera le résultat à 0,1 près en degré - Calcul de l'angle Â= BAC 7 2 = cos(a) 49= cos(A) BC= 48 cos(a)= Â=78,5 - Calcul de l'angle B=ÂBC 6 2 = cos(b) 36= cos(B) cos(b)= B=57,1 - Calcul de l'angle Ĉ=ÂCB 5 2 = cos(c) 25= cos(c) cos(c)= Ĉ=44,4 On aurait pu trouver l'angle Ĉ en faisant : 180 Â B = ,5-57,1=44,4

12 III.2) Théorème de la médiane Théorème Soit A et B deux points, et I le milieu du segment [AB].Soit M un point quelconque du plan. On a : MA²+MB²=2MI²+2IA² Démonstration MA= MI+ IA MB= MI+ IB (relation de Chasles) MA² = MA 2 = MI+ IA 2 = MI ² + 2MI.IA + IA ² (identité remarquable) = MI² + 2 MI IA + IA² De même : MB² =... = MI² + 2 MI IB + IB² = MI² 2 MI IA + IB² ( IB= IA ) = MI² 2 MI IA + IA² (IB=IA) Finalement : MA² + MB² = MI² + 2 MI IA + IA² + MI² 2 MI IA + IA² = 2MI² + 2IA² Exemple : Déterminer la longueur de la médiane AO.

13 Annexe : Démonstration de la formule 3 à partir de la formule 2 A partir de la formule u v = u v cos( u, v) Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan. On a vu que u v = u v cos( u, v) u On se place dans le repère orthonormée (O,I,J) tel que OI = et on note θ = ( u; v) (2π) u Les coordonnées de u sont ( u ;0) Les coordonnées de v sont (OH;HA). Le triangle OAH est rectangle en H, donc OH = v cos( θ ) et HA = v sin( θ ) On obtient la même formule dans le cas où l'angle θ est obtus ( v; v' )=π θ et donc OH = v cos ( v ; v ' ) = v cos( θ ) Ainsi les coordonnées de v sont ( v cos( θ ) ; v sin( θ ) Les coordonnées du vecteurs u+ v sont donc ( u + v cos( θ ) ; v sin( θ )) Calculons maintenant u+ v 2 u+ v 2 = [ u + v cos( θ )]²+ [ v sin( θ )]² = u 2 + v 2 (cos( θ )²+sin( θ )²) + 2 u v cos( θ ) = u 2 + v u v On obtient donc une nouvelle relation du produit scalaire : u v = 1 2 [ u+ v 2 - u 2 - v 2 ] Les coordonnées du vecteurs u v sont ( u - v cos( θ ) ; v sin( θ )) Calculons u v 2 u v 2 = [ u - v cos( θ )]²+ [- v sin( θ )]² = u 2 + v 2 (cos( θ )²+sin( θ )²) - 2 u v cos( θ ) = u 2 + v 2-2 u v On obtient donc une autre relation du produit scalaire : u v = 1 2 [ u 2 + v 2 - u v 2 ] On remarque que ces deux formules sont valables si u ou v est nul. Par exemple si u= 0 0 v = 1 2 [ v 2 - v 2 ] = 0

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