EQUATIONS DIFFERENTIELLES

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1 EQUATIONS DIFFERENTIELLES 1 Equations différentielles du 1er ordre 1.1 Définition On appelle équation différentielle du 1er ordre une relation entre la variable t, une fonction de t et sa dérivée sur un intervalle Ide R. On note par exemple indifféremment : f f = 0 ou y y = 0 ou x x = 0. Résoudre une telle équation, c est trouver les fonctions qui vérifient la relation donnée. Par exemple, vérifier qu une solution de l équation précédente est : f(t) = e t ou y(t) = e t ou x(t) = e t. Toute fonction qui vérifie cette relation est appelée solution de l équation. 1. Equations différentielles du 1er ordre sans second membre : x + b(t)x = 0 Dans cette équation a et b sont des fonctions continues de la variable t et 0 sur un intervalle I de R. Comme 0, on peut écrire l équation sous la forme : x + b(t) x = 0 Si F (t) est une primitive de b(t), l équation peut alors s écrire : x + F (t)x = 0 On multiplie alors par la fonction e F (t) qui n est pas nulle et on a : e F (t) x + e F (t) F (t)x = 0 On reconnaît alors la dérivée du produit des deux fonctions x et e F (t) ; l équation peut s écrire : (xe F (t) ) = 0 Dire que la dérivée est nulle signifie que la fonction xe F (t) est constante sur I, donc : xe F (t) = C, avec C constante réelle arbitraire. On obtient enfin pour tout t de I : F (t) x(t) = Ce 1

2 Théorème : Si a et b sont des fonctions continues sur un intervalle I de R, avec a 0 sur I, la solution générale de l équation différentielle : x + b(t)x = 0 est la fonction x(t) = Ce F (t) où C est une constante réelle arbitraire et F une primitive de la fonction b(t) Remarque : Si a et b sont des constantes, l équation est dite à coefficients constants. Une primitive de la fonction constante égale à b bt est F (t) = a a La solution générale est alors x(t) = Ce b a t. 1.3 Equations différentielles du 1er ordre avec second membre : x + b(t)x = c(t) L équation possède un second membre non nul. Les fonctions a, b et c sont des fonctions réelles continues sur un intervalle I de R avec 0 pour tout t de I Résolution de l équation On procède comme précédemment pour écrire l équation sous la forme : d où on peut déduire : x e F (t) + xf (t)e F (t) = c(t) (t) ef (x(t)e F (t) ) = c(t) (t) ef En notant G(t) une primitive de la fonction c(t) ef (t), on a : x(t)e F (t) = G(t) + C où C est une constante réelle arbitraire. On a ainsi pour solution x(t) = G(t)e F (t) F (t) + Ce On énonce donc : La forme générale des solutions de l équation différentielle x + b(t)x = c(t) s obtient en ajoutant à la forme générale des solutions de l équation sans second membre une solution particulière de l équation avec second membre Règle pratique pour trouver une solution particulière On utilise la méthode dite de "variation de la constante" : on cherche la solution générale de l équation sans second membre, Cf(t) où C est une constante arbitraire ; on cherche ensuite une fonction dérivable z telle que la fonction z(t)f(t) soit solution de l équation avec second membre et on obtient alors une équation de la forme z = d ; on est ramené à trouver une primitive D de d.

3 On en déduit une solution particulière : D(t)f(t). On veut résoudre sur I =]0; + [, l équation différentielle : tx x = t 3 e t. On résout d abord l équation sans second membre : tx x = 0 sur I ; on a : x x = 0 dont la solution générale est : x(t) = Ct t On pose x(t) = z(t)t et x (t) = z (t)t + tz(t) On remplace dans l équation et on a : tz (t)t + t z(t) z(t)t = t 3 e t on obtient : z t 3 = t 3 e t donc z = e t, enfin z = e t Une solution particulière est donc x(t) = t e t. La solution générale est donc : x(t) = (C + e t )t Remarques : La constante C est fixée dès que l on connaît une condition initiale. La recherche d une solution particulière est parfois immédiate : pour x x = 4, une solution particulière est la fonction constante x(t) = 4. pour x + x = 4t +, on cherche un polynôme du premier degré x(t) = at + b et par identification on trouve les valeurs de a et b. 3

4 Equations différentielles du second ordre à coefficients constants.1 Définition L équation différentielle ax +bx +cx = f(t) où a, b et c sont des constantes réelles ou complexes et f une fonction continue sur un intervalle I de R est une équation différentielle du second ordre à coefficients constants. Résoudre cette équation, c est déterminer l ensemble des fonctions φ dérivables deux fois sur I qui vérifient l égalité : aφ (t) + bφ (t) + cφ(t) = f(t) pour tout t de l intervalle I. L équation différentielle ax + bx + cx = 0 est appelée "équation sans second membre" associée à l équation ax + bx + cx = f(t). Théorème Si les fonctions φ 1 et φ sont indépendantes, (leur rapport n est pas constant), et sont solutions de l équation différentielle ax + bx + cx = 0, alors toutes les solutions de cette équation sont de la forme : C 1 φ 1 + C φ avec C 1 et C constantes arbitraires.. Résolution de l équation différentielle (E) : ax + bx + cx = Equation caractéristique On cherche des solutions particulières sous la forme : φ(t) = e rt. Ceci nous conduit à résoudre l équation : e rt (ar + br + c) = 0. Sachant que e rt 0, pour tout t, les valeurs de r sont données par les solutions de l équation : ar + br + c = 0 On appelle cette équation "l équation caractéristique" de l équation différentielle (E)... Résolution de l équation ar + br + c = 0. Si > 0, il y a racines distinctes distinctes r 1 et r. La solution générale de (E) est de la forme : C1 et C étant des constantes arbitraires ; f(t) = C 1 e r 1t + C e r t Remarque : Si a, b et c sont réels, C 1 et C aussi et f(t) est une fonction réelle. On résout l équation différentielle : x 6x + 8x = 0. L équation caractéristique est : r 6r + 8 = 0. = 4 et est positif, donc les racines de l équation caractéristique sont réelles :. r 1 = et r = 4 On en déduit que la solution générale de l équation est : f(t) = C 1 e t + C e 4t. 4

5 Si = 0, il y a une racine double r 1 = r = b a l équation différentielle est : φ 1 (t) = e rt. = r, et une solution particulière de On peut vérifier que la fonction φ (t) = te rt est aussi une solution. Comme les fonctions φ 1 et φ sont indépendantes, on a pour solution générale de (E) les fonctions : f(t) = (C 1 t + C )e rt où C 1 et C sont des constantes réelles ou complexes arbitraires. On peut faire la même remarque que précédemment à propos des constantes a, b et c. On résout l équation différentielle x 6x + 9x = 0. L équation caractéristique est : r 6r + 9 = 0 Le discriminant de l équation caractéristique est nul. La racine double de l équation caractéristique est r = 3. La solution générale de l équation est donc : f(t) = (C 1 t + C )e 3t. Si < 0, on se place dans le cas où a, b, c sont réels. Il y a alors racines complexes conjuguées : r 1 = a + ib et r = a ib. Les solutions réelles de l équation (E) sont les fonctions : avec C 1 et C des constantes réelles. Remarque : En posant : C 1 cos bt + C sin bt = f(t) = (C 1 cos bt + C sin bt)e at ( C1 + C C 1 cos bt + c 1 + C C sin bt c 1 + C A = C1 + C, C 1 A = sin α et C = cos α, on écrit la solution générale sous la forme : A f(t) = A sin(bt + α)e at ) On résout l équation différentielle : x 4x + 0x = 0. L équation caractéristique s écrit : r 4r + 0 = 0. On a = 64. Les racines de l équation caractéristique sont complexes conjuguées : r 1 = 4i et r = + 4i. 5

6 Les solutions réelles de l équation différentielle sont alors : f(t) = e t (C 1 cos 4t + C sin 4t) que l on peut aussi écrire en utilisant la remarque : f(t) = Ae t sin(4t + α)..3 Résolution de l équation ax + bx + cx = f(t)..3.1 Théorème La solution générale de l équation ax + bx + cx = f(t) s obtient en ajoutant une solution particulière de l équation avec second membre à la solution générale de l équation sans second membre associée..3. Recherche d une solution particulière A savoir : Une équation du type ax + bx + cx = f(t) avec a, b et c réels admet dans la plupart des cas une solution particulière de la même forme que son second membre. Cette règle ne s applique pas si le second membre de l équation est un cas particulier de la solution générale. Remarque : Si le second membre de l équation est un polynôme de degré n, on cherchera une solution particulière sous la forme d une fonction polynôme P telle que : si a, b et c ne sont pas nuls alors P est de degré n. si a et b sont non nuls et c = 0 alors P est de degré n + 1. si a est non nul et b = c = 0 alors P est de degré n +. Exemple 1 : L équation (E 1 ) est : x 4x + 3x = 3t + t sur R. On résout d abord l équation sans second membre : x 4x + 3x = 0. L équation caractéristique est : r 4r + 3 = 0 qui admet les solutions r 1 = 1 et r = 3. Les solutions de l équation sans second membre sont donc de la forme : C 1 e t + C e 3t. Le second membre est un polynôme du second degré et on cherche une solution particulière sous la forme : x(t) = at + bt + c définie sur R. On calcule x (t) = at + b et x (t) = a. On remplace ensuite dans (E 1 ) et on obtient : a 8at 4b + 3at + 3bt + 3c = 3t + t. On identifie les deux membres pour déterminer les coefficients a, b et c : 3at = 3t donc a = 1, ensuite 8at + 3bt = t donc b = et enfin 4b + 3c = 0, soit c = 8 3. Une solution particulière est donc le polynôme x(t) = t t 8 3. Les solutions de l équation différentielle (E 1 ) sont donc de la forme : x(t) = C 1 e t + C e 3t t t 8 3 Exemple : L équation (E ) est : x 4x + 4x = 3te t sur R. On résout d abord l équation sans second membre : x 4x + 4x = 0. L équation caractéristique est : r 4r + 4 = 0 qui admet la solution r = 4 Les solutions de l équation sans second membre sont donc de la forme : (C 1 t + C )e 4t. Le second membre se présente sous la forme du produit d un polynôme par une exponentielle. 6

7 On effectue alors un changement de fonction inconnue en posant, pour tout t de R : x(t) = e t z(t) où z est la nouvelle fonction inconnue deux fois dérivable sur R. On calcule ensuite x (t) = e t z(t) + e t z (t). et x (t) = e t z(t) e t z (t) e t z (t) + e t z (t). On remplace alors dans l équation : e t z(t) e t z (t) + e t z (t) 4( e t z(t) + e t z (t)) + 4e t z(t) = 3te t On factorise par e t et on simplifie, il reste : z(t) z (t) + z (t) + 4z(t) 4z (t) + 4z(t) = 3t Soit : z (t) 6z (t) + 9z(t) = 3t On est ramené au cas de l exemple 1. On montre alors que z(t) = 1 3 t + 9. On obtient alors les solutions de l équation ( E ) sous la forme : ( 1 x(t) = C 1 t + C )e 4t + 3 t + ) 9 e t Exemple 3 : L équation (E 3 ) est : x x + 5x = 5 cos t sur I = [0; + [. On résout d abord l équation sans second membre : x x + 5x = 0. L équation caractéristique est : r r + 5 = 0 qui admet les solutions r 1 = 1 i et r = 1 + i. Les solutions de l équation sans second membre sont donc de la forme : x(t) = (C 1 cos t + C sin t)e t. Le second membre se présente sous la forme C cos t et nous allons chercher une solution particulière sous la forme : x(t) = A cos t + B sin t. On calcule ensuite x (t) = A sin t + B cos t et x (t) = A cos t B sin t On remplace dans l équation (E 3 ), soit : A cos t B sin t ( A sin t + B cos t) + 5(A cos t + B sin t) = 5 cos t En identifiant les deux membres on détermine les constantes A et B : (4A B) cos t + (A + 4B) sin t = 5 cos t donc 4A B = 5 et A + 4B = 0 On obtient A = 1 et B = 1 et on aboutit à la solution particulière cherchée : x(t) = cos t 1 sin t. Les solutions de l quation (E 3 ) sont donc de la forme : x(t) = (C 1 cos t + C sin t)e t + cos t 1 sin t 7