CORRECTION BREVET BLANC Mardi 13 avril 2010

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1 CORRECTION BREVET BLNC Mardi avril 00 Exercice (4 points) ère partie : ctivités numériques ( points). Calculer = 5 5 : on donnera la réponse de sous la forme simplifiée = = = = =. Ecrire B sous la forme a b où a et b sont des entiers, b étant le plus petit possible : B = B = B = B = B = 8 5. Calculer C et donner son écriture scientifique et son écriture décimale : C = C = C = C = C = 0 0 C = 0, = 0 ( ) 5 Exercice (5 points) On considère l expression D = (x+)² Développer et réduire l expression D. D = x + x D = x + x 4 4. Factoriser l expression D sous forme d un produit de facteurs du premier degré. ( x ) ( ) ( ) ( )( ) D = + D = x + x + + D = x x +. Résoudre l équation (x+)(x-) = 0 Un produit de facteurs est nul si l un des facteurs est nul x = 0 ou x + = 0 x = ou x = x = ou x = et sont les solutions de l'équation

2 4. Calculer D lorsque x vaut 0, puis lorsque x vaut. Si x = 0 alors si x = alors D = 4x + 4x D = 4 ( ) + 4 ( ) D = D = 4 8 D = 4 ( ) D = D = 9 Exercice ( points) L unité de longueur est le centimètre. Sur la figure ci-dessous BCD est un rectangle. E est le point du segment [B] tel que E = 8, F est le point du segment [D] tel que DF = 6, x est un nombre positif. On pose EB = x et on donne F = x. La parallèle au côté [D] passant par E coupe le côté [CD] en G. La parallèle au côté [B] passant par F coupe le côté [BC] en H. Les droites (EG) et (FH) se coupent en I. Pour répondre aux questions qui suivent, on donnera les valeurs exactes exprimées sous la forme d un décimal ou sous la forme a avec b le plus petit possible. Pour quelle(s) valeur(s) de x le rectangle BCD est-il un carré? Pour que BCD soit un carré il faut que D = DC x + 6 = 8 + x x x = 8 6 x = Pour x = cm, le rectangle BCD est un carré.. Pour quelle(s) valeur(s) de x les rectangles DFIG et IEBH ont-ils la même aire? ire du rectangle DFIG : ire du rectangle IEBH : DFIG = DF DG IEBH = BE BH DFIG DFIG DFIG = 8 6 = IEBH IEBH = BE BH = 48 cm² IEBH = x x = x² 48 = x² x² = 4 comme x est une longueur donc positif x = 4 x = 4 6 x = 6 Pour x = 6 cm, les rectangles DFIG et IEBH ont la même aire. IEBH

3 CTIVITES GEOMETRIQUES ( points) Exercice : (sur 6 points) L unité de longueur est le mètre. On donne un triangle BC tel que : B = 7,8 ; C = 7, et BC =. C La figure n est pas en vraie grandeur N M B ) Démontrer que le triangle BC est rectangle en C. On calcule : B² = (7,8)² = 60,84 C² + CB² = 7,² + ² = 5, = 60,84 On constate que B² = C² + CB². D après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle BC est rectangle en C. ) a) Calculer la tangente de l angle. On donnera le résultat sous forme de fraction simplifiée. Dans le triangle BC rectangle en C, on a tan tan = = =, b) En déduire une valeur approchée de l angle au degré près.,6 donc au degré près. ) On place sur le segment [BC] un point N tel que CN =,5 et sur le segment [C] un point M tel que CM = 5,4. Les droites (B) et (MN) sont-elles parallèles? Justifier votre réponse. On calcule : =, =, = = =, = =, On constate que, de plus, les droites (M) et (BN) se coupent en C et les points C, N, B et C, M, sont alignés dans le même ordre. D après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (B) et (MN) sont parallèles.

4 4) Calculer MN. Dans le triangle BC, on a : les droites (M) et (BN) qui se coupent en C et les droites (MN) et (B) sont parallèles, d après le théorème de Thalès : donc =,,,, =,,, =5,85 donc NM = 5,85 m. Exercice : (sur 6 points) Sur la figure ci-dessous, SBCD est une pyramide à base rectangulaire de hauteur [SO], où le point O est le centre du rectangle BCD. On donne : B = 8 cm ; BC = 6 cm et SO = cm.,5 ) Calculer la longueur C ; en déduire la longueur O. BCD est un rectangle donc le triangle BC est rectangle en B. D après le théorème de Pythagore, on a : C² = B² + BC² C² = 8² + 6² C² = C² = 00 C > 0 donc C = 0 cm. Dans un rectangle, les diagonales se coupent en leur milieu. O est donc le milieu de la diagonale [C]. D où O = 5 cm. ) Calculer le volume de la pyramide SBCD. VSBCD = h VSBCD = VSBCD = 8 6 VSBCD = 8 VSBCD = 8 VSBCD = 9

5 ) Démontrer que S = cm. [SO] est la hauteur de la pyramide SBCD donc le triangle SO est un triangle rectangle en O. D après le théorème de Pythagore, on a : S² = SO² + O² S² = ² + 5² S² = S² = 69 S > 0 donc S = cm. 4) On note un point du segment [S]. On coupe la pyramide par le plan qui passe par le point et qui est parallèle à la base. On obtient une petite pyramide S B C D, réduction de la pyramide SBCD. Où faut-il placer le point pour que le volume de la pyramide S B C D soit huit fois plus petit que celui de la pyramide SBCD? Le coefficient de réduction qui permet de passer de la pyramide SBCD à la pyramide S B C D est k, tel que = puisque le volume de SBCD est multiplié par. Or donc =. Il faut que = avec [S] donc il faut placer au milieu de [S]

6 ème partie : Problème ( points) Première partie Un club de squash propose trois tarifs à ses adhérents : Tarif : 8 euros par séance. Tarif B : achat d une carte privilège de 40 euros valable une année puis 5 euros par séance. Tarif C : achat d une carte confort de 60 euros valable une année et donnant droit à un accès illimité à la salle. Mélissa, nouvelle adhérente au club, étudie les différents tarifs.. a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous : Nombre de séances Dépense totale avec le tarif Dépense totale avec le tarif B Dépense totale avec le tarif C b. Quel est le tarif le plus avantageux si Mélissa désire pratiquer 0 séances? Si Mélissa désire pratiquer seulement 0 séances, le plus intéressant est le tarif.. On appelle x le nombre de séances pratiquées durant une année. Exprimer en fonction de x la dépense annuelle : a) avec le tarif. Chaque séance coûte 8, donc f ( x) = 8 x = 8x b) avec le tarif B. Chaque séance coûte 5 euros mais il y a une carte d abonnement, donc g( x) = 5 x + 40 = 5x + 40 c) avec le tarif C. Quelque soit le nombre de séance effectué, cet abonnement coûte 60. Donc h( x ) = 60. a. Résoudre l inéquation 5x x. 5x x 5x 8x x 8x x x x 40 x x Les nombres solution de cette inéquation sont tous les nombres 40 sup érieurs ou égaux à b. partir de combien de séances le tarif B est-il plus avantageux que le tarif? Justifier la réponse. 0,5 On a f(x) g(x) pour x et, Donc le tarif B sera plus avantageux que le tarif à partir de 4 séances ou plus effectuées.

7 Deuxième partie On considère les trois fonctions suivantes : : 8 ; : ; h: 60. Sur une feuille de papier millimétré, placée verticalement, tracer un repère orthogonal en plaçant l origine O en bas à gauche. On prendra les unités suivantes : 0,5 Sur l axe des abscisses : 0,5 cm représente une unité Sur l axe des ordonnées : cm représente dix unités. Représenter, dans ce repère, les trois fonctions f, g et h pour x compris entre 0 et 0. Justifier chaque tracé. f ( x) = 8x f est donc du type x ax avec a = 8 une droite (d f ) qui passe par l origine du repère. Pour la tracer, il faut donc un second point, par exemple (0 ;80). c est donc une fonction linéaire, sa représentation graphique est donc g( x) = 5x + 40 g est de la forme x ax + b avec a = 5 et b = 40, c est donc une fonction affine. Sa représentation graphique (d g ) est une droite. Pour la tracer, on doit donc trouver les coordonnées de deux points : B (0 ; 90) et C (5 ;65). h( x ) = 60 h est donc du type x b avec b = 60, c est donc une fonction constante. Sa représentation graphique (d h ) est une droite parallèle à l axe des abscisses qui passe par le point D (0 ; 60). Répondre aux questions suivantes en utilisant le graphique obtenu à la question précédente, on fera apparaître tous les tracés nécessaires et on utilisera une couleur différente pour chaque question a. Vérifier le résultat de la question.b. de la première partie. On compare les ordonnées des points d abscisse 0. On peut bien vérifier que le tarif est le plus avantageux b. Déterminer le nombre de séances à partir duquel le tarif C devient avantageux. On cherche l abscisse du point à partir duquel (d h ) est en dessous des droites (d g ) et (d g ) : On trouve 4 séances. Le tarif C devient plus avantageux à partir de 4 séances c. Mélissa souhaite ne pas dépenser plus de 0 euros pour cette activité ; déterminer le tarif qu elle doit choisir si elle veut faire le plus de séances possibles. Si elle dépense 0 euros, avec le tarif : elle peut faire environ 6 séances vec le tarif B : elle peut faire environ 8 séances C est donc le tarif B le plus avantageux. Troisième partie L amie de Mélissa avait prévu de faire du squash une fois par semaine pendant un an et avait choisi le tarif C ; elle n a pu se libérer pour ce sport qu une semaine sur deux. -t-elle fait le bon choix? Justifier la réponse par un calcul. On rappelle qu une année comporte 5 semaines. Si elle est venue une semaine sur deux, elle a pu assisté à 6 séances (5 = 6) f(6) = 8 6 g(6) = h(6) = 60 f(6) = 08 g(6) = 70 vec le tarif, elle aurait payé 08, avec le tarif B elle aurait payé 70 et avec le tarif C 60. Elle a donc fait le bon choix en choisissant le tarif C

8 00 Coût annuel (en euros) (d f) TRIF (d g) TRIF B 50 + D + C (d h) TRIF C B Nombre de séances I I I