Automatique 1. Zhongliang LI Année :

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1 Automatique 1 Zhongliang LI zhongliang.li@univ-amu.fr Année :

2 Un livre qui est très utile pour apprendre l automatique Automatique - Systèmes linéaires, non linéaires - 2e édition: Cours et exercices corrigés de Yves Granjon Télécharger les slides sur le site :

3 Points du cours 1 Définitions automatique, système, régulation Modélisation d un système Modèle : dv (t) S v E(t) v S(t) RC dt

4 Outils mathématiques pour l Automatique

5 Outils mathématiques pour l Automatique Equation différentielle et quelques éléments de résolution Transformée de Laplace Transformée de Laplace inverse Fonction de transfert Résolution d un problème à l aide de la fonction de transfert

6 Equations différentielles Représentation des systèmes linéaires par : n n1 m m1 d y(t) d y(t) dy(t) d u(t) d u(t) du(t) n n n1 n m m m1 m1 1 0 a a... a a y(t) b b... b b u(t) dt dt dt dt dt dt L application des lois de la physique à l étude des systèmes linéaires nous conduit à une équation différentielle linéaire à coefficients constants liant les grandeurs d entrée u(t) aux grandeurs de sortie y(t). Les cas pratiques rencontrés impose d avoir m n est appelé l ordre du système. n

7 Equations différentielles a 2y a1y a 0y b2u b1u b0u Solutions: On obtient toutes les solutions de cette équation en ajoutant à une solution particulière de l équation avec second membre, toutes les solutions de l équation sans second membre. a 2y a1y a 0y b2u b1u b0u a2y a1y a0y 0 Une solution particulière Toutes les solutions Les solutions finales

8 Equations différentielles a 2y a1y a 0y b2u b1u b0u 1. Recherche des solutions de l équation sans second membre a 2y a1y a 0y 0 r.t On cherche les solutions de la forme y(t) e où r y r.e r.t y r.e 2 r.t On a donc et, d où l équation: e. a.r a.r a 0 r.t

9 Equations différentielles e. a.r a.r a 0 r.t on obtient l'équation caractéristique a 2. r 2 + a 1. r + a 0 = 0 La résolution de l équation du second degré en r donne les solutions de l équation sans second membre selon le signe de a 4.a.a

10 Equations différentielles a 2. r 2 + a 1. r + a 0 = 0 Les solutions de l équation caractéristique : r 1, r 2 si Δ > 0 r 1 si Δ = 0 r 1, r 1 si Δ < 0 a 2y a1y a 0y 0 Les solutions de l équation sans second membre sont : r 1.t r 2.t y t A.e B.e si 0 r 1.t y t (A.t B).e si 0 r 1.t r 1.t y t A.e A.e si 0

11 Equations différentielles a 2y a1y a 0y b2u b1u b0u 2. Recherche d une solution particulière de l équation avec second membre

12 . Equations différentielles Exemple: Résoudre l équation différentielle suivante : y y 6y 12.t Recherche des solutions de l équation sans second membre y y 6y 0 L équation caractéristique est 2 r r 6 0 Le discriminant vaut 25 donc les deux racines et r 1 r 2 sont réelles et distinctes : r1 2 r2 3 2t 3t y A.e B.e

13 . Equations différentielles Exemple: Résoudre l équation différentielle suivante : y y 6y 12.t Recherche d une solution particulière de l équation avec second membre On cherche la solution particulière sous la forme d un polynôme yt y t a.t b a y t 0 a 2 11 b 3 1 Q t a.t b a 6at 6b 12t 20 La solution particulière de l équation avec second membre est 11 yt 2.t 3

14 . Equations différentielles Exemple: Résoudre l équation différentielle suivante : y y 6y 12.t 20 Les solutions de l équation sans second membre 2t 3t y A.e B.e La solution particulière de l équation avec second membre 11 yt 2.t 3 La solution complète de l équation différentielle est finalement: 11 y t 2.t A.e B.e 3 2t 3t

15 Transformée de Laplace Définition: la transformée de Laplace f t Fp pt F p f t e dt 0 d une fonction du temps est définie, sous réserve que l intégrale soit convergente, par : p p j est la variable de Laplace définie dans le plan complexe ( ). Reparque 1: La transformée de Laplace d une fonction f(t) n existe pas dans tous les cas : il est nécessaire que l intégrale ci-dessus converge. On démontre que cette convergence est vérifiée si la partie réelle σ de la variable p est supérieure à une valeur donnée α appelée seuil de convergence. Reparque 2: Dans la littérature anglo-américaine, on trouve la variable s au lieu de p.

16 Transformée de Laplace Les notions de transformée de Laplace: f t F p L f t = F p

17 Propriétés de la transformation de Laplace a) Linéarité f 1 t F 1 p f 2 t F 2 p af 1 t + bf 2 t af 1 p +bf 2 p b) Dérivation f t F p df dt pf( p) f (0)

18 Propriétés de la transformation de Laplace c) Dérivation n-ième f t F p n d f dt n p F p p f p f f n n1 n2 (1) ( n1) ( ) (0) (0)... (0) Par exemple : 2 d f 2 (1) p F( p) pf (0) f (0) 2 dt Remarque : Dans le cas où ces conditions initiales sont nulles, ce qui est a priori très souvent le cas, on peut retenir simplement les relations suivantes : df dt pf( p) 2 d f 2 p F( p) 2 dt n d f dt n n p F( p)

19 Propriétés de la transformation de Laplace d) Intégration : f ( t) F( p) t P( t) f ( ) d 0 t 0 f F( p) P(0) ( ) d p p Remarque : Dans le cas où ces conditions initiale P(0) est nulle, ce qui est a priori très souvent le cas, on peut retenir simplement la relation suivante : t 0 f ( ) d F( p) p

20 Propriétés de la transformation de Laplace e) Propriétés de changement d échelle : f ( t) F( p) 1 p f ( kt) F( ) k k f) Théorème du retard : f ( t) F( p) ( ) p f t e F( p)

21 Propriétés de la transformation de Laplace g) Théorème de la valeur initiale: f ( t) F( p) f (0) lim[ p. F( p)] p h) Théorème de la valeur finale : f ( t) F( p) lim f ( t) lim[ p. F( p)] t p0

22 Propriétés de la transformation de Laplace i) Théorème de la convolution: f 1 t F 1 p f ( t)* f ( t) F ( p). F ( p) f 2 t F 2 p j) Propriétés diverses: f ( t) F( p) t f ( t)* f ( t) f ( t ). f ( ) d at e f ( t) F( p a) df tf () t dp f() t t 0 F( p) dp

23 TRANSFORMÉES DE LAPLACE DE QUELQUES SIGNAUX USUELS 1. L échelon unité Ce signal est défini par : u t 1 pour t 0 0 pour t 0 u(t) Au(t) U(p) 1 p AU(p) A p

24 TRANSFORMÉES DE LAPLACE DE QUELQUES SIGNAUX USUELS 2. La rampe unité Ce signal est défini par : vt t.u(t) u t 1 pour t 0 0 pour t 0 v(t) k.t U(p) 1 p p k p 2 2

25 TRANSFORMÉES DE LAPLACE DE QUELQUES SIGNAUX USUELS 3. Impulsion unitaire En dérivant la fonction u(t) on obtient une fonction habituellement notée () t Et appelée impulsion unitaire ou impulsion Dirac. (t) 1

26 TRANSFORMÉES DE LAPLACE DE QUELQUES SIGNAUX USUELS 4. Signal sinusoïdal Ce signal est défini par : s t 0 pour t<0 sin( t ) pour t 0 On a alors : s t psin cos 2 2 p sin t 2 2 p cos t p p 2 2

27 TRANSFORMÉES DE LAPLACE DE QUELQUES SIGNAUX USUELS 4. Signal sinusoïdal Ce signal est défini par : s t 0 pour t<0 sin( t ) pour t 0 On a alors : s t psin cos 2 2 p sin t 2 2 p cos t p p 2 2

28 Table des transformées de Laplace

29 Transformée de Laplace inverse Si : On a alors : f ( t) F( p) 1 c j pt f ( t) F( p) e dp 2 j cj 1 Notions : f ( t) F( p) ou 1 F( p) f ( t) Remarque : Les cas où il faudra effectivement calculer une transformée de Laplace inverse à l aide de cette expression sont extrêmement rares. En général, il suffit de connaître une dizaine de transformées de Laplace usuelles et quelques propriétés fondamentales pour retrouver l original d une fonction F( p).

30 Fonction de transfert d un système linéaire Considérons un système linéaire possédant une entrée u(t) et une sortie y(t). n n1 m m1 d y(t) d y(t) dy(t) d u(t) d u(t) du(t) n n n1 n m m m1 m1 1 0 a a... a a y(t) b b... b b u(t) dt dt dt dt dt dt a p Y(p)... a py(p) a Y(p) b p U(p)... b pu(p) b U(p) n m n 1 0 m 1 0 Y(p)(a p... a p a ) U(p)(b p... b p b ) n m n 1 0 m 1 0 Fonction de transfert T(p) Y(p) b p... b p b U(p) a p... a p a m m 1 0 n n 1 0

31 Fonction de transfert d un système linéaire Fonction de transfert T(p) Y(p) b p... b p b U(p) a p... a p a m m 1 0 n n 1 0 Propriétés : 1. Une fonction de transfert est définie uniquement pour un système linéaire et invariant. Un système non linéaire ne pourra pas être décrit par une fonction de transfert. 2. La fonction de transfert est la transformée de Laplace de la réponse impulsionnelle. 3. Une fonction de transfert est obtenue en considérant les conditions initiales nulles. 4. Une fonction de transfert ne dépend pas de l entrée appliquée au système. Elle est l expression du rapport entrée/sortie dans le plan de Laplace. Elle dépend uniquement de la variable p. 5. Les quantités annulant le numérateur sont les zéros du système, celles qui annulent le dénominateur sont les pôles du système. T(p) Y(p) b p... b p b b (p z )(p z )...(p z ) U(p) a p... a p a a (p p )(p p )...(p p ) m m 1 0 m m m1 1 n n 1 0 n n n1 1

32 Fonction de transfert d un système linéaire Schéma fonctionnel Pour exprimer l équation de la fonction de transfert, on utilise généralement le schéma suivant : Up Tp Yp Mise en cascade La mise en cascade de deux systèmes de fonction de transfert T 1 (p) et T 2 (p) est équivalent à un seul système dont la fonction de transfert serait T 1 (p).t 2 (p). U 1 (p) T 1 (p) Y 1 (p)=u 2 (p) T 2 (p) Y 2 (p) U 1 (p) T 1 (p).t 2 (p) Y 2 (p)

33 Résolution d un problème à l aide de la fonction de transfert ut donnée SYSTEME ETUDIE yt inconnue Calcul de U(p) à partir de u(t) Up Calcul de Y(p) Yp Calcul de y(t) à partir de Y(p)

34 Résolution d un problème à l aide de la fonction de transfert Exemple: RC circuit v E(t) 3.t Modèle en équation différentielle : dv (t) S v E(t) v S(t) RC dt V (p) V (p) RCpV (p) Dans le domaine de Laplace : E S S Fonction de transfert : V S(p) 3 V (p) 1 RCp E

35 Résolution d un problème à l aide de la fonction de transfert Exemple: RC circuit v E(t) 3.t V S(p) 1 3 V V (p) 1 E(p) 2 RCp p E V (p) V (p) 3 1RCp p (1 RCp) E S 2

36 Table des transformées de Laplace

37 Résolution d un problème à l aide de la fonction de transfert Exemple: RC circuit v E(t) 3.t V (p) V (p) 1 1RCp p (1 RCp) E S 2 t v S(s) 1 e RC 1 t RC

38 Résolution d un problème à l aide de la fonction de transfert Exemple: Masse/ressort/ amortisseur m F in x L équation différentielle : 2 d x m f 2 in kx D dt dx dt k D 1 pour t 0 fin( t) u( t) 0 pour t<0 m=1; k=3; D=4 Fonction de transfert: F ( ) in p X( p) 1 F p p p ( ) in 1 p

39 Résolution d un problème à l aide de la fonction de transfert Exemple: Masse/ressort/ amortisseur m F in x X( p) 1 F p p p ( ) in F ( ) in p 1 p k D X( p) p p p p p p 2 ( 4 3) 3 6( 3) 2( 1) La table de transformées de Laplace t t x() t e e

40 Table des transformées de Laplace

41 Points d aujourd hui Solutions d une équation différentielle La définition de transformée de Laplace Propriétés fondamentales de transformée de Laplace Transformées de Laplace de quelques signaux usuelles (la table). Fonction transfert Résolution d un problème à l aide de la fonction de transfert