6.1 Définition. Un anneau est un ensemble A avec deux lois, l addition notée et la multiplication notée, telles que :

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1 CHAPITRE 6 Anneaux et corps Nous avons défini les structures algébriques de monoïdes et de groupes. Dans chacune d elles, il y a une seule loi. Pourtant, dans Z par exemple, il y a deux lois : l addition et la multiplication; Z est ce qu on appelle un anneau. 6.1 Définition Un anneau est un ensemble A avec deux lois, l addition notée et la multiplication notée, telles que : (i) A avec l addition est un groupe commutatif, dont l élément neutre est noté 0. (ii) A avec la multiplication est un monoïde, dont l élément neutre est notée 1. (iii) La multiplication est distributive par rapport à l addition, i.e. a, b, c A, on a :(a b) c a c b c et a (b c) a b a c. 6.2 Exemples 1. L exemple de base est Z : avec l addition, c est un groupe, et avec la multiplication, c est un monoïde. La distributivité est une propriété bien connue de Z. 2. De même, Q et R sont des anneaux. 3. Soit B = {0, 1}, et définissons sur B l addition et la multiplication par leurs tables qui suivent. Le lecteur peut vérifier que B a toutes les propriétés d un anneau, sauf que 1 n a pas d opposé pour l addition : B n est pas un anneau

2 4. Soit A = {0, 1} avec les tables Le lecteur peut vérifier que c est un anneau. Dans un anneau, nous notons l opposé de a (pour l addition) par a, conformément aux conventions du chapitre 3 pour les groupes notés additivement. Donnons quelques règles de calcul dans un anneau. 6.3 Théorème Soient A un anneau et a, b dans A. (i) 0 a a 0 0. (ii) a b ( a) ( b) et (a b) ( a) b a ( b). La règle (ii) est la fameuse règle des signes. Démonstration (i) Pour l addition, 0 est élément neutre, donc On a donc par distributivité 0 a (0 0) a 0 a 0 a. Additionnons aux deux extrêmes l opposé x de 0 a. Nous obtenons 0 a x (0 a 0 a) x. Par suite 0 0 a, puisque 0 a x 0, et par associativité de l addition. L égalité a 0 0 se montre de manière analogue. (ii) Démontrons d abord la deuxième série d égalités. On a 0 0 b (a ( a)) b a b ( a) b, où l on utilise successivement (i), le fait que a est l opposé de a, et la distributivité. 56

3 L égalité des deux extrêmes montre que : ( a) b est opposé de a b; donc par unicité de l opposé (th. 3.11), on a ( a) b (a b). L égalité a ( b) (a b) se montre de manière analogue. Maintenant ( a) ( b) a ( ( b)) (par ce que nous venons de démontrer, en y remplaçant b par b). Mais encore une fois, l unicité de l opposé nous assure que ( b) b, et on en tire ( a) ( b) a b. u 6.4 Définition Un anneau est dit commutatif si la multiplication est commutative. Presque tous les anneaux considérés ici sont commutatifs. Un exemple d anneau non commutatif se trouve en exercice. Attention : l addition dans un anneau est toujours commutative. 6.5 Définition Un sous-anneau d un anneau est un sous-ensemble qui est un sous-groupe pour l addition et aussi un sous-monoïde pour la multiplication. 6.6 Exemples 1. Z est un sous-anneau de Q, qui est un sous-anneau de R. 2. Le seul sous-anneau A de Z est Z. En effet, on doit avoir 1 A, car A est un sous-monoïde multiplicatif. Donc A contient tout entier naturel n 1 1 (n fois), puisque c est un sous-groupe additif. Enfin, pour la même raison n A. Donc A contient Z et A Z. 3. Q n est pas un sous-anneau de R, car ce n est pas un sous-groupe pour l addition (pourquoi?). 6.7 Définition Un idéal I dans un anneau A est un sous-groupe additif de A tel que a A, b I, ab et ba I. 57

4 Cette notion nous servira plus tard. Remarquons tout de suite que, dans Z, sous-groupes (additifs) et idéaux coïncident. En effet, tout idéal de Z en est un sous-groupe, par définition. De plus, si H est un sous-groupe de Z, si de plus a Z et b H, on a : ab ba b b (a fois) si a 0, et par suite ab H, puisque H est un sous-groupe; si par contre a < 0, on a ab H par ce que nous venons de voir, et ab H, puisque c est un sous-groupe. Donc H est un idéal. Le th. 4.2 nous dit donc que tout idéal de Z est de la forme nz avec n N. La structure la plus forte est la suivante. 6.8 Définition Un corps K est un anneau tel que K * = K \ {0} soit un groupe pour la multiplication. En d autres termes, tout x dans K, non nul, admet un inverse pour la multiplication; celui-ci sera noté x Exemples 1. Q et R sont des corps; Z n est pas un corps, car 2 1 Z. 2. L anneau considéré en est un corps Définition Un sous-corps d un corps est un sous-anneau qui contient l inverse de chacun de ses éléments non nuls. Par exemple, Q est un sous-corps de R. Exercices résolus 1. Soit A l ensemble des nombres décimaux, i.e. A { n/ 10 p n Z, p N }. Montrer que A est un sous-anneau de Q. 58

5 *2. Soit K { a b 2 a,b Q}. Montrer que si a, b Q et si a b 2 0, alors a b 0 (utiliser l exercice 8 du chapitre 5). En déduire que si K \ {0} alors 1 K. Montrer que K est un sous-corps de R. 3. Montrer que si a et b sont éléments d un corps, alors ab 0 implique a 0 ou b 0. C est dire qu un corps n admet pas de diviseur de zéro, i.e. un a 0 tel qu il existe b 0 avec ab Montrer que l ensemble m des matrices carrées d ordre 2 sur R est un anneau non commutatif (cf. exercices 15 et 16, chapitre 3). 5. Sur l ensemble P (X ), on définit une addition par A B A B (cf. exercice 9, chapitre 3) et une multiplication par A B A B. Montrer que P (X ) devient ainsi un anneau d élément neutre X, pour la multiplication. 6. Montrer que si I est un idéal dans un corps K et si I {0}, alors I K. 7. Un élément a d un anneau A est dit inversible s il existe b dans A tel que ab ba 1. Montrer que l ensemble des éléments inversibles de A forme un groupe sous la multiplication de A. On note U( A), ou parfois A *, ce groupe. 8. Soient A, B deux anneaux. Montrer que A B, avec addition (a, b) ( a, b ) (a a, b b ) et multiplication (a, b)( a, b ) (aa, bb ), est un anneau d éléments neutres respectifs (0, 0) et (1, 1). 9. Soit A, B, des corps ayant chacun au moins 2 éléments. Montrer que A B n est pas un corps (cf. exercice 8). 10. Dans Z, définissons 7 et ; par a7 b a b et a; b ab a b 2 (a 1)(b 1) 1. Bien sûr, Z avec 7 est un groupe commutatif et Z avec ; est un monoïde dont le neutre est 2. Vérifier que Z avec 7 et ; n est pas un anneau, en montrant que ; n est pas distributive par rapport à ;. 59

6 Exercices non résolus *11. Soit V un espace vectoriel sur un corps K. Soit End(V) l ensemble des transformations (ou applications) linéaires de V dans lui-même (une telle transformation est un endomorphisme de V). Vérifier que End(V) est un anneau avec les opérations et définies par : pour f, g End V, f g x f x g x et f g x f g x. 12. Soit Z avec les opérations # et définies par : a# b a b 1, a b ab a b 2. Vérifier que (Z, #, ) est un anneau commutatif et trouver ses éléments inversibles. *13. Soit F (R ) l ensemble de toutes les fonctions de R dans R. Posons, pour f, g F (R), ( f g)(x) f (x) g(x) et ( f g)(x) f (x) g(x). Montrer que F (R ) avec cette somme et ce produit est un anneau commutatif. Décrire ses diviseurs de zéros et ses éléments inversibles. *14. La caractéristique d un anneau ( A,, ) est le plus petit entier n 1 tel que (n fois) soit égal à zéro. Si un tel n n existe pas alors l anneau est dit de caractéristique zéro (c est une convention). Prouver que si A est intègre (i.e. sans diviseur de zéro), alors il est de caractéristique zéro ou un nombre premier. 15. Dans un anneau quelconque A prouver que si a A est tel que a 2 0 alors a 1 et a 1 sont inversibles. *16. Un anneau A est dit booléen si a A, a 2 a. Soit A un anneau booléen. Prouver que a) a A, on a : a a; b) A est commutatif; c) tout élément de A (autre que 0 et 1) est diviseur de zéro (cf. ex. 3); d) 1 est le seul élément inversible de A. *17. Un élément a d un anneau A est dit nilpotent s il existe n 1 tel que a n 0. Prouver que : a) si a est nilpotent alors a 1 et a 1 sont inversibles; b) si a et b sont nilpotents et commutent (i.e. ab ba), alors a b est également nilpotent. c) Montrer que si A est commutatif, l ensemble des éléments nilpotents est un idéal de A. 60

7 18. Prouver que l ensemble des matrices de la forme 1 a avec a R est un sous-groupe du 0 1 groupe multiplicatif M 2 (R) * des matrices inversibles de taille deux par deux. 19. Le centre C d un anneau A est C a A x A, ax xa. Prouver que C est un sousanneau de A. *20. Soit I A un idéal d un anneau commutatif. Prouver que est un idéal de A (appelé le radical de A). I a A n N tel que a n I 21. Dans l'anneau (de préférence non commutatif) A, on définit pour tous a,b A: a, b ab ba. Montrer que pour tous a,b,c A, on a : a, b,c b, c, a c, a, b 0. Appendice : construction du corps des nombres rationnels On suppose connu Z et on va donner une construction de Q. Introduisons l ensemble F Z Z, où Z Z \ {0}. On peut appeler fraction un élément de F. Sur F, nous définissons une relation par (a, b) ~ (c, d) si ad bc; pour visualiser cette relation, on pourra penser : le produit des extrêmes (a et d) est égal au produit des moyens (b et c). Vérifions que c est une relation d équivalence. On a : (a, b) ~ (a, b) car ab ba. (a, b) ~ (c, d) implique ad bc, qui implique cb da, qui implique enfin (c, d) ~ (a, b). Supposons que (a, b) ~ (c, d) et (c, d) ~ (e, f ). On a donc ad bc et cf de. Donc adf bcf bde. Comme d est non nul, on peut simplifier par d dans l égalité adf bde, d où af be et (a, b) ~ (e, f ). Nous avons montré que est une relation réflexive, symétrique et transitive, i.e. que c est une relation d équivalence. 61

8 Nous définissons Q comme l ensemble des classes d équivalence de la relation. Autrement dit, un élément de Q (i.e. un nombre rationnel) est de la forme [ ], où F, et Q {[ ] F}. Il faut montrer que Q est un corps, qui contient Z comme sous-anneau (plus exactement, un sousanneau qu on peut identifier à Z). Définissons une somme et un produit sur Q par [(a, b)] [( c, d)] [( ad bc, bd)], (6.1) [(a, b)] [( c, d)] [(ac, bd)]. (6.2) Il y a un problème avec une telle définition : en effet, si on a [(a, b)] [( a, b )], et qu on remplace dans ces formules (a, b) par ( a, b ), il faudrait que les classes de droite restent inchangées. Il faut donc vérifier que [(a, b)] [( a, b )] implique [(ad bc, bd)] [( a d b c, b d)] et [(ac, bd)] [( a c, b d)] ; et que [(c, d)] [( c, d )] implique [(ad bc, bd)] [( ad bc, bd )] et [(ac, bd)] [(ac, bd )]. Nous ne faisons que la première vérification : [(a, b)] [( a, b )] signifie que (a, b) ~ ( a, b ), donc ab ba, ce qui implique d une part : adb d bcb d bda d bdb c, i.e. (ad bc) b d bd( a d b c ), et enfin (ad bc, bd) ~ ( a d b c, b d), d où [(ad bc, bd)] [( a d b c, b d)] ; et d autre part : acb d bda c, donc (ac, bd) ~ ( a c, b d), d où [(ac, bd)] [( a c, b d)]. Ainsi, l addition et la multiplication sur Q sont, comme on dit, bien définies par les formules (6.1) et (6.2). Nous laissons au lecteur assidu la vérification du fait que cette addition et cette multiplication sont commutatives et associatives (c est l associativité de l addition qui nécessite le plus long calcul). Montrons que [(0,1)] est l élément neutre pour l addition. On a en effet [(0,1)] [(c, d)] [(0 d 1 c,1 d)] [( c, d)]. Vérifions que [(1,1)] est l élément neutre pour la multiplication. On a en effet [(1,1)][( c, d)] [(1 c, 1 d)] [(c, d)]. L opposé de [(a, b)] est [( a, b)]. En effet [(a, b)] [( a, b)] [( ab b( a), b 2 )] [(0, b 2 )] [(0,1)], la dernière égalité découlant de 0 1 b

9 Maintenant, si [(a, b)] est non nul dans Q, il faut lui trouver un inverse pour la multiplication. Mais [(a, b)] non nul signifie que (a, b) n est pas équivalent à (0,1), i.e. a 1 b 0, i.e. a 0. Alors (b, a) est une fraction, et nous vérifions que [(a, b)] [( b, a)] [(1, 1)]. Autrement dit, que [(ab, ba)] [(1,1)], i.e. ab ba, ce qui est clair. Donc Q est maintenant un corps commutatif. Définissons Z {[( a,1)] a Z }. Le lecteur encore assidu vérifiera que Z est un sous-anneau de Q, ce qui se déduit entre autres des formules [(a, 1)] [(c, 1)] [(a c,1)], [(a, 1)] [( c, 1)] [(ac,1)]. Ces formules montrent aussi que si on identifie un a dans Z à [(a, 1)] dans Z, l addition et la multiplication sont préservées; avec une terminologie qui viendra ultérieurement (chap. 15), la fonction Z Z, a [(a,1)], est un isomorphisme d anneaux : Z peut donc être identifié à Z. Nous avons donc construit un corps Q qui contient un sous-anneau Z identique à Z : c'est le but cherché. Qu avons-nous fait, en fait? Nous avons écrit, pour une fraction (a, b), au lieu de l écriture usuelle a b, et considéré comme égales deux fractions a b et c d satisfaisant à ad bc; ensuite nous avons défini l addition et la multiplication par a b c d ad bc bd nous donnait un corps contenant Z, si l on fait l identification a a 1. et a b c d ac, et vérifié que cela bd Le lecteur qui pense que nous n avons en fait que compliquer les choses devra se convaincre du contraire en lisant le calcul des proportions d Euclide. 63