CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2012 CONCOURS EXTERNE. 5ème épreuve d admissibilité MATHEMATIQUES. (durée : cinq heures coefficient 2)

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1 CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2012 CONCOURS EXTERNE 5ème épreuve d admissibilité MATHEMATIQUES (durée : cinq heures coefficient 2) Une composition portant sur les mathématiques. L'usage de la calculatrice est interdit Le sujet se compose de deux exercices et d'un problème. 1

2 NOTATIONS On note Z l'anneau des entiers relatif, R le corps des nombres réels, C le corps des nombres complexes, R[X] l'algèbre des polynômes à une indéterminée sur le corps des nombres réels. EXERCICE 1 On considère l'espace vectoriel E = R[X] muni du produit scalaire (P Q)= 0 1 P(t)Q(t)d t et on pose pour tout entier naturel n : L n (x)=[x n (1 x) n ] (n ) (dérivée n-ième). 1) Montrer que (L n ) n N est une base orthogonale de E. 2) En déduire le déterminant de la matrice A=(a ij ) d'ordre n>0 définie par a ij = 1 i+ j 1 Indication : dans le sous-espace vectoriel des polynômes de degré strictement inférieur à n, on écrira la matrice de passage de la base canonique {1, X, X²,, X n-1 } à la base {L 0,L 1,,L n 1 } EXERCICE 2 On désigne par M n (C) l'algèbre des matrices carrées d'ordre n où n est un entier strictement positif. 1) Soit A une matrice de M n (K) qui admet n valeurs distinctes et B une matrice de M n (C) telle que B² = A. Montrer que B est diagonalisable. =( ) 2) Déterminer toutes les matrices C de M 3 (C) telles que C PROBLEME Partie 1 On désigne par I le segment [-1,1] et par I * =]-1,1[ l'intervalle ouvert de R Étudier l'application ϕ de I * dans R définie par ϕ(y)= 0 y d t 1 t 4 (continuité, parité, monotonie et dérivabilité). Préciser ϕ '(0) où ϕ '(y)= d ϕ d y. y d t 1.2. Démontrer que : ϕ(y) 0 avec 0 < y < 1, puis l'existence de la limite de ϕ (y) quand y 1 t tend vers 1 par valeurs inférieures, on ne cherchera pas à calculer cette valeur. Dans toute la suite, cette limite sera notée ω On considère l'application Φ de I dans R définie par Φ ( 1)= ω, Φ (1)=ω et Φ (y )=ϕ (y ) lorsque y appartient à I *. Démontrer que l'application Φ réalise une bijection de I sur [ ω,ω ] Soit maintenant 0 < y <1 et un réel t tel que y t<1. Démontrer que : (1 t) (1+y+y 2 +y 3 ) 1 t 4 <4 (1 t ). 2

3 En déduire un encadrement pour 0 1 dt 1 t Calculer lim y d t y. 1 y 1 t Étudier la limite quand y tend vers 1 par valeurs inférieures de Φ(1) Φ(y). L'application Φ 1 y est-elle dérivable sur I? Partie 2 On considère les intégrales A n et B n définies par : où n est un entier naturel. A n = 0 1 t 2n 1 t d t et 2 B n = 2 0 (sin t ) 2n d t π 2.1. Démontrer que A n est convergente pour tout entier naturel n. Comparer ensuite A n et B n (on effectuera le changement de variable t =sin u ) Calculer B Démontrer que : B n =(2n 1)(B n 1 B n ) pour tout entier n Calculer B n en fonction de n On pose ψ(u)= 1 pour tout u de [0 ;1]. Déterminer le signe des dérivées successives de 1+u ψ et calculer ψ (p) (0 ) où p est un entier naturel strictement positif. 2.4.On pose : P (u)= 2 π 2q +1 i=0 ( 1) i A i u i et Q(u)= 2 π i=0 nombre réel tel que 0 u 1. Démontrer que : P (u) 1 1+u Q(u) 2q ( 1) i A i u i où q est un entier naturel et u un 2.5. En déduire de ces inégalités un encadrement pour 1 1+t 2 puis un encadrement pour ω Démontrer que la série de terme général v r =( 1) r ( 2 π A r) 2, où r est un entier naturel, est une série alternée et convergente dont la somme est 2ω π. 3

4 Partie Démontrer que l'égalité x=φ(y) permet de définir une application notée s de Ω = [ ω ; ω] dans R avec s(x)=y. Indiquer la continuité, parité et monotonie. Préciser s(0), s(ω) et s( ω) Démontrer que s est dérivable sur Ω et préciser s'(0), s'(ω) et s'( ω) où s' désigne la dérivée de s 3.3. Démontrer la relation : s' 2 (x)+s 4 =1 (E) 3.4. En déduire que sur ] ω ; ω[, l'application s vérifie : s' '(x)+2s 3 =0 (F) où s' ' désigne la dérivée seconde s 3.5. A chaque réel x, on associe l'entier p de Z définie par : (2p 1)ω x<(2p+1)ω. On pose Ω p = [(2p 1)ω ;(2p+1)ω ] et S(x)=( 1) p s(x 2pω) Démontrer que l'application S de R dans R est continue et périodique Démontrer que S est dérivable et que S vérifie les relations (E) et (F). En déduire que S est indéfiniment dérivable On pose C(x)=S '(x) et f (x)= S(x)C(a)+C(x)S(a) où a est un nombre réel. 1+S 2 ( x)s 2 (a) Démontrer que f vérifie la relation (E) En déduire S(a+b) Etablir les formules donnant C (a+b), S(2a) et C (2a) Calculer S( ω 2 ) et C( ω 2 ) 3.7. On pose S(x)=sn (x) Démontrer que l'on peut définir deux nouvelles fonctions, notées cn et dn par : (sn x)'=cn x dn x, (cn x)'= sn x dn x et cn 0= démonter alors : (cn x) 2 =1 (sn x) 2 (dn x) 2 =1+(sn x) 2 (i) (ii) (dn x) 2 =sn xcn x (iii) sn x cn y dn y+sn y cn xdn x sn (x+y)= 1+(cn x) 2 (sn y) 2 (iv) cn x cn y+sn x dn xsn y dn y cn (x+y)= 1+(sn x) 2 (sn y) 2 (v) dn xdn y+sn xcn xsn y cn y dn( x+y)= 1+(snx) 2 (sn y) 2 (vi) 4

5 CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2011 CONCOURS EXTERNE 5ème épreuve d admissibilité MATHEMATIQUES (durée : cinq heures coefficient 2) Le sujet est composé de deux problèmes, le premier traite des endomorphismes diagonalisables et le second des fonctions de Bessel. Le sujet comporte quatre pages.

6 Problème 1 Soit N N un entier. Dans tout le problème E est le C-espace vectoriel C N et L(E) désigne la C-algèbre des endomorphismes de E. Si f L(E) est un endomorphisme de E, on note Sp(f) son spectre, c est-à-dire l ensemble de ses valeurs propres. On note id E l endomorphisme identité de E et si n N, I n désigne la matrice identité de taille n. Si P C[X] est le polynôme P (X) = n k=0 a kx k, et si f L(E), alors P (f) désigne l endomorphisme de E défini par P (f) = n k=0 a kf k, où f k est la k-ième puissance de composition de f. On rappelle le théorème suivant : Théorème 1. Soit f L(E). S il existe un polynôme P C[X] à racines simples tel que P (f) = 0 L(E) alors f est diagonalisable. Partie I Soient p, q L(E) deux endomorphismes non nuls de E, vérifiant p + q = id E. Soit f L(E). On suppose qu il existe α, β C deux nombres complexes distincts tels que : f = αp + βq et f 2 = α 2 p + β 2 q. 1. Soit λ Sp(f) et x un vecteur propre de f associé à λ. Montrer que pour tout P C[X], on a P (f)(x) = P (λ)x. 2. Soit P C[X], le polynôme P (X) = (X α)(x β). (a) Montrer que P (f) = 0 L(E). En déduire que f est diagonalisable et que Sp(f) {α, β}. (b) Montrer que p q = q p = 0 L(E). Puis que p et q sont des projecteurs associés, dont on exprimera les images et les noyaux à l aide de f, α et β. (c) Conclure à l égalité Sp(f) = {α, β}. 3. Montrer que f est un automorphisme si et seulement si αβ Si αβ 0 montrer que pour tout m Z : f m = α m p + β m q. 5. Soit F = Vect(p, q) le sous-espace vectoriel de L(E) engendré par p et q. (a) Soient u, v F, montrer que u v = v u et que u v F. (b) Donner une base et la dimension de F. (c) Déterminer les projecteurs appartenants à F. (d) Résoudre l équation g 2 = f d inconnue g F. 6. Soit a C, on pose a A = 1 a 1 et J = a (a) Pour tout m N exprimer A m en fonction de I 3 et J. (b) Déterminer alors α, β C et B, C M 3 (C) tels que pour tout m N on ait : A m = α m B + β m C. 1

7 (c) Exprimer alors les solutions de l équation M 2 = A d inconnue M M 3 (C) en fonction de α, β, B et C. Partie II Soient p 1,..., p n L(E), et α 1,..., α n C tous distincts. On considère un endomorphisme f L(E) qui vérifie : m N, f m = n αk m p k. 1. Soit P C[X], montrer que P (f) = n k=1 P (α k)p k. 2. Soit ω C[X], le polynôme : m ω(x) = (X α k ). Pour l 1, n on définit les polynômes ω l C[X] et L l C[X] par : (a) ω l (X) = k=1 k=1 ω(x) et L l (X) = 1 X α l ω l (α l ) ω l(x). À l aide de la question précédente montrer que f est diagonalisable et à l aide de la question (I.1) que Sp(f) {α 1,..., α n }. (b) Montrer alors que pour tout l 1, n, L l (f) = p l, puis les relations : l, k 1, n, p l p k = δ l,k p k. (c) Soit k 1, n, pour x / Ker(p k ) montrer que p k (x) Ker(f α k id E ). En déduire que Sp(f) = {α 1,..., α n }. 3. Déduire des questions précédentes que pour tout k 1, n, p k est un projecteur tel que : Im(p k ) = Ker(f α k id E ) et Ker(p k ) = Ker(f α l id E ). 4. On note F = Vect(p 1,..., p n ). (a) Donner une base et la dimension de F. l 1,n {k} (b) Résoudre l équation g 2 = f d inconnue g F. Combien y a-t-il de solutions? (c) Déterminer le nombre de projecteurs éléments de F, pour chacun d eux donner le noyau et l image. 5. Dans cette question on suppose que n = N et on note (a) Établir l inclusion F C(f). C(f) = {g L(E) g f = f g}. (b) Soit g C(f). À l aide des polynômes L l, pour l 1, n, montrer qu il existe un polynôme P C n 1 [X] tel que g = n l=1 L l(x l )p l. En déduire que C(f) = F. (c) Donner dans ce cas le nombre de solutions à l équation g 2 = f d inconnue g F. 6. Si g L(E) est diagonalisable, de spectre {x 1,..., x n }, montrer qu il existe n endomorphismes nonnuls de E, q 1,..., q n tels que : n m N, g m = x m k q k. k=1 2

8 Problème 2 Pour x R et n Z on pose : J n (x) = 1 π π 0 cos (nθ x sin (θ)) dθ. Soit x R, on définit sur R les deux fonctions : Partie I : Série de Fourier f(θ) = cos (x sin (θ)) et g(θ) = sin (x sin (θ)). 1. Calculer les coefficients de Fourier trigonométriques a n (f), b n (f), a n (g) et b n (g) des fonctions f et g. 2. Étudier la convergence des séries de Fourier de f et g. 3. Démontrer que pour tout θ R : Soit n Z. f(θ) = J 0 (x) + g(θ) = 1. Établir une relation entre J n et J n. 2. Étudier la parité de J n. + n=1 + n=1 (J n (x) + J n (x)) cos (nθ) (J n (x) J n (x)) sin (nθ) Partie II : Propriétés des fonctions J n 3. Montrer que l application J n est de classe C sur R. 4. Donner les expressions de J n(x) et J n(x) sous forme intégrale. 5. À l aide d une intégration par partie montrer que J n est solution sur R de l équation différentielle : (B n ) : x 2 y + xy + (x 2 n 2 )y = 0. Partie III : L équation de Bessel Soient n Z, y 1 et y 2 deux solutions de l équation (B n ) sur un intervalle I de R. On note W leur wronskien et on définit la fonction Y sur I, par Y (x) = xw (x). 1. Montrer que W est solution sur I d une équation différentielle linéaire d ordre 1, en déduire que Y est constante sur I. 2. Établir que l ensemble des solutions sur R de l équation (B n ) est un R-espace vectoriel de dimension 1, engendré par J n. 3

9 Partie IV : Développement en série entière Pour n N, on considère l équation différentielle : (B n) : 4ty + 4(n + 1)y + y = Soit a k t k une série entière de rayon de convergence R > 0, on note S(t) sa somme. k 0 (a) Établir les relations que doivent vérifier les coefficients (a k) k N de la série entière pour que S soit solution de (B n) sur ] R, R[. (b) Exprimer les coefficients (a k ) k N en fonction de k, du paramètre n et de a 0. (c) Démontrer que le rayon de convergence de la série entière de coefficients (a k ) k N est R = On considère la série entière k 0 ( 1) k 4 k k!(k + n)! xk. (a) Montrer que son rayon de convergence est infini. On note S n sa somme. (b) Vérifier que S n est solution de (B n) sur R. 3. On définit alors sur R, la fonction K n par K n (x) = x n S n (x 2 ). (a) Justifier que K n est de classe C sur R. (b) Montrer que K n est solution sur R de l équation (B n ). (c) Justifier alors qu il existe α R tel que (d) Évaluer K(n) n (0) et J n (n) (0), et en déduire α. 4. Justifier l égalité x R, K n (x) = αj n (x). ( x ) n + ( 1) k ( x ) 2k x R, J n (x) =. 2 k!(n + k)! 2 k=0 Partie V : Relation de récurrence Pour tout n N, on définit sur R la fonction L n par : Soit n N. L n (x) = n J n(x) x J n(x). 1. Montrer que L n se prolonge en une fonction de classe C sur R. 2. Montrer qu il existe β R tel que : x R, L n (x) = βj n+1 (x). 3. En déduire que : x R, xj n+1 (x) = nj n (x) xj n(x). 4

10 CONCOURS D ENTREE A L ECOLE DE 2010 CONCOURS EXTERNE 5ème épreuve d admissibilité MATHEMATIQUES (durée : cinq heures coefficient 2) Une composition portant sur les mathématiques. L'usage de la calculatrice est interdit SUJET Le sujet comporte quatre pages d énoncé et se compose d'un exercice et d'un problème indépendants.

11 Exercice 1 Soit a > 0. On considère une fonction f :] a, a[ R, de classe C et telle que : n N, x ] a, a[, f (n) (x) 0. Le but de l exercice est de démontrer que f est somme de sa série de Taylor, c est à dire que : x ] a, a[, f(x) = 1. On raisonne sur ]0, a[, et pour x ]0, a[ on note x + n=0 f (n) (0) x n. n! (x t) n R n (x) = f (n+1) (t)dt. 0 n! ( n ) f (k) (0) (a) Pour x ]0, a[, montrer que la suite x k converge. k! k=0 n N (b) Soit r ]x, a[, montrer que pour tout n N : ( x ) n R n (x) f(r). r (c) Conclure. 2. Traiter le cas de x ] a, 0[. 3. Application : Montrer que la fonction tan est développable en série entière sur ] π 2, π 2 [, et donner ce développement. 4. Que peut-on dire s il on ne suppose plus que : n N, x ] a, a[, f (2n) (x) 0. 1

12 Problème Soient a < b deux réels. On désigne par E = C([a, b], R), le R-espace vectoriel des applications continues de [a, b] dans R. Pour f, g E, on pose : f, g = b a f(t)g(t)dt. Pour f E, on note : f = sup f(x), la norme usuelle de la convergence uniforme sur E. x [a,b] On admettra le théorème suivant : Théorème 1. (Théorème d Ascoli) Soit (f n ) n N une suite d éléments de E qui vérifie les deux propriétés suivantes : (i). Pour tout x [a, b], la suite (f n (x)) n N est bornée par un réel M x. (ii). La suite (f n ) n N est équicontinue, c est-à-dire vérifie : ( ) ε > 0, δ > 0 x, y [a, b], x y < δ sup f n (x) f n (y) ε n N. Alors il existe une suite extraite de (f n ) n N qui converge uniformément dans E. Partie I : Préliminaires 1. Vérifier que, est un produit scalaire sur E. On notera 2 la norme subordonnée à ce produit scalaire. 2. Montrer que si une suite (f n ) n N d éléments de E converge vers f E pour 2, alors pour tout g E la suite ( f n, g ) n N converge vers f, g. 3. Pour f E, comparer f 2 et f. Montrer que si une suite (f n ) n N d éléments de E converge uniformément alors elle converge vers la même limite pour En déduire que si F est un sous-espace vectoriel fermé de E pour 2 alors F est fermé pour. Partie II : Définition d un opérateur T sur E On considère, dans toute la suite du problème, une application K : (x, y) K(x, y) continue sur [a, b] [a, b] à valeurs dans R et non indentiquement nulle. On suppose de plus que K est symétrique, c est-à-dire que K vérifie : (x, y) [a, b] [a, b], K(x, y) = K(y, x). Pour f E, on note T (f) la fonction définie sur [a, b] par T (f)(x) = b a K(x, y)f(y)dy. 1. Montrer que pour tout f E, l application T (f) est continue sur [a, b]. 2. Montrer que l application T : f T (f) est un endomorphisme symétrique de l espace préhilbertien (E,, ). 3. (a) Montrer qu il existe une constante C > 0 telle que pour tout f E T (f) C f 2. (b) En déduire que T est un endomorphisme de E continu pour 2 et. 2

13 4. Soit (f n ) n N une suite d éléments de E telle que pour tout n N, f n 2 1. On pose pour tout n N, g n = T (f n ). Montrer que l on peut extraire de la suite (g n ) n N une sous-suite qui converge uniformément dans E. Partie III : Étude spectrale de T Dans cette partie on suppose l existence d une valeur propre de T non nulle. On note Sp(T ) l ensemble des valeurs propres de T et Sp (T ) = Sp(T ) {0}. Pour λ Sp(T ) on note E λ le sous-espace propre de T associé à λ. 1. Justifier que pour λ µ deux valeurs propres de T, les sous-espaces E λ et E µ sont orthogonaux. 2. Soit n N, montrer que si λ 1,..., λ n sont des valeurs propres de T, alors n λ 2 i k=1 [a,b] [a,b] K(x, y) 2 dx dy. Indication : On pourra considérer un système orthonormé (e i ) 1 i n de vecteurs propres de T associé aux valeurs propres (λ i ) 1 i n. 3. En déduire que si λ Sp (T ), alors E λ est de dimension finie et que dim R (E λ ) 1 λ 2 K(x, y) 2 dx dy. [a,b] [a,b] 4. Pour δ > 0 on note Sp δ (T ), l ensemble des valeurs propres λ de T telles que λ δ. (a) Montrer que pour tout δ > 0, l ensemble Sp δ (T ) est fini. (b) En déduire que Sp(T ) est au plus dénombrable. Partie IV : Existence d un vecteur propre de T Dans cette partie on considère F un sous-espace de E, fermé pour 2 et stable par T. On note S F = {f F f 2 = 1} sa sphère unité et on définit : U = { f, T (f) f S F }. 1. Montrer que l ensemble U admet une borne supérieure M et une borne inférieure m dans R. 2. Supposons que M = m = 0. (a) Montrer que pour tout h F, h, T (h) = 0. (b) En déduire que la restriction de T à F est nulle, et justifier l existence d un vecteur propre de T dans F. 3. Supposons M 0. On considère l application b : F F R définie par : (f, g) F F, b(f, g) = M f, g f, T (g). (a) Montrer que b est une forme bilinéaire symétrique positive sur F F. (b) Construire une suite (f n ) n N d éléments de S F, telle que pour tout n N : 0 b(f n, f n ) < 1 n + 1. (c) Justifier que l on peut extraire de cette suite une sous-suite qui converge uniformément vers un élément g E. Montrer que g F. 3

14 Pour ne pas alourdir les notations, on supposera que c est la suite (f n ) n N elle-même qui converge uniformément vers g. (d) i. Montrer que lim n + f n, T (f n ) f n, g = 0. ii. En déduire que g 0 E. (e) i. Soit h F, montrer que lim n + b(h, f n) = 0. ii. En utilisant les résultats préliminaires, montrer que h F, iii. En déduire que pour tout h F, on a lim f n, h = 1 g, h. n + M g 1 T (g), h = 0. M iv. Justifier alors l existence d un vecteur propre de T dans F pour une valeur propre non nulle que l on précisera. 4. Conclure que T admet un vecteur propre dans F, et que si T n est pas identiquement nul sur F alors la valeur propre associée est non nulle. Partie V : Étude des sous-espaces propres Nous savons que l ensemble Sp(T ) est au plus dénombrable. On pose alors : F = λ Sp(T ) 1. Dans cette question on suppose que Sp(T ) est fini. (a) Montrer que F est de dimension finie. Soit n N sa dimension. (b) Montrer que E = F Ker(T ). (c) Soit B = (e 1,..., e n ) une base orthonormée de F adaptée à la décomposition F = λ Sp(T ) E λ. Pour k {1,..., n}, on note λ k la valeur propre de T associée à e k. Montrer que n T (f) = λ k f, e k e k. k=1 E λ. (d) En déduire que pour tout (x, y) [a, b] [a, b] on a n K(x, y) = λ k e k (x)e k (y). Exprimer alors b a k=1 K(x, x)dx en fonction des valeurs propres λ 1,..., λ n de T. 2. On suppose maintenant que Sp(T ) est infini dénombrable et on écrit (λ n ) n N la suite des valeurs propres de T (a) Montrer que les sous-espaces F et F sont stables par T. (b) Montrer que F est un fermé de E pour 2. (c) Montrer que Ker(T ) = F. (d) Montrer que la série n 0 λ2 n est convergente. (e) On admet l existence d une base orthonormée (e n ) n N de F, formée de vecteurs propres de T, e n étant associé à λ n pour n N. Soit f E, montrer que la série de fonctions n 0 λ n f, e n e n converge uniformément sur [a, b] vers T (f). 4

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