1ES Automath Second degré exercer l œil Partie 1. Exercice 1 Déterminer :

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1 Exercice 1 Déterminer : 1ES Automath Second degré exercer l œil Partie 1 a) La forme canonique b) La forme développée c) Si possible, la forme factorisée d) Le tableau de variations e) Sans calculatrice, la représentation graphique en précisant sens des branches, l axe de symétrie, les coordonnées du sommet Dans les cas suivants où f est une fonction définie par: Cas 2 f(x) = 2(x 1) 2 8 Cas 3 f(x) = 4(x + 2) 2 3 Exercer l œil : Toutes les courbes sont des paraboles. Dans chaque cas, déterminer si possible : le signe de a le signe de f(x) la valeur de α la valeur de β l extremum la valeur de c le tableau de variation si l expression est factorisable et si elle l est o une partie de la forme factorisée o la valeur de a une partie de la forme canonique et si possible, la valeur de a Cas 1 Cas 4 2 Automath - second degre Partie 1 - exercer oeil 2014.docx, le 12/09/2012 F. de Verclos (Lyon) Page 1 sur 5

2 Pour se corriger Exercice 1 Savoir, à partir d une formule du second degré, en déduire des propriétés de la fonction et de sa représentation graphique. Cas 2 f(x) = 2(x 1) 2 8 a) La forme canonique est déjà donnée f(x) = 2(x 1) 2 8. On a : a = 2 α = 1 β = 8 b) Forme développée f(x) = 2(x 2 2x + 1) 8 = 2x 2 4x 6 c) Forme factorisée : Comme 2(x 1) 2 8 va changer de signe, f(x) se factorise. On commence par mettre a en facteur. f(x) = 2((x 1) 2 4) = 2 ((x 1) ) = 2 (x 1 + 2)(x 1 2) = 2 (x + 1)(x 3) d) Comme a est positif ( a = 2 ) e) Comme a est positif, les branches de la parabole sont tournées vers le haut. La parabole a pour axe de symétrie, la droite d équation x = 1 Le sommet a pour coordonnées (1 ; 8) Cas 3 f(x) = 4(x + 2) 2 3 a) La forme canonique est déjà donnée f(x) = 4(x + 2) 2 3 = 4(x ( 2)) 2 + ( 3) On a : a = 4 α = 2 β = 3 b) Forme développée f(x) = 4(x + 2) 2 3 = 4(x 2 + 4x + 4) 3 = 4x 2 16x 19 2 Automath - second degre Partie 1 - exercer oeil 2014.docx, le 12/09/2012 F. de Verclos (Lyon) Page 2 sur 5

3 L expression ne se factorise pas. Démontrons-le par réduction à l absurde : Supposons que 4(x + 2) 2 3 s écrive comme un produit de facteurs du premier degré D après le théorème du produit nul, l équation 4(x + 2) 2 3 = 0 aurait des solutions Mais c est impossible car 4(x + 2) 2 0 donc f(x) 3 < 0 donc f(x) 0 L hypothèse conduit à une contradiction : elle doit être rejetée! f(x) ne se factorise pas en facteurs du premiers degré. c) Comme a est négatif ( a = 4 ) Expliquons comment faire le tracé rapidement Pour tracer rapidement la parabole, on va calculer les coordonnées de quelques points x. -2-1, f(x) Par symétrie On s appuie aussi sur la «tangente horizontale» à la parabole au sommet S( 2 ; 3) Exercer l œil : Savoir conjecturer à partir d une parabole Le signe de a Quand les branches de la parabole sont tournées vers le haut, a > 0 Cela se produit dans le cas 4 2 Automath - second degre Partie 1 - exercer oeil 2014.docx, le 12/09/2012 F. de Verclos (Lyon) Page 3 sur 5

4 Quand les branches de la parabole sont tournées vers le bas, a < 0 Cela se produit dans les cas 1 Le signe de f(x) Un point d abscisse x de C f est au-dessus de l axe des abscisses si et seulement si f(x) > 0 Un point d abscisse x de C f est en-dessous de l axe des abscisses si et seulement si f(x) < 0 Un point d abscisse x de C f est sur l axe des abscisses si et seulement si f(x) = 0 Cas 1 C f est toujours en-dessous de l axe des abscisses, pour toutes valeurs de x, on a : f(x) < 0 Cas 4 Les valeurs de α et β et extremum de la fonction sur R Le sommet de la parabole a pour coordonnées : S( α ; β ) Cas 1 α = 1 β = 2 L extremum de la fonction sur R est 2. C est un maximum. Cas 4 α = 1 β = 4 L extremum de la fonction sur R est 4. C est un minimum. La valeur de c La forme développée ax 2 + bx + c permet de voir immédiatement que f(0) = a b 0 + c = c Ainsi, c est l image de 0. On cherche donc l ordonnée du point en lequel C f coupe l axe des ordonnées. Cas 1 c = 3 Cas 4 c = 3 Tableau de variation Cas 1 Cas 4 Forme factorisée A cause du théorème du produit nul, il y a un lien très fort entre l expression se factorise et l expression s annule. Pour savoir si l expression f(x) se factorise, on regarde si elle s annule. Graphiquement, on regarde si C f coupe l axe des abscisses. 2 Automath - second degre Partie 1 - exercer oeil 2014.docx, le 12/09/2012 F. de Verclos (Lyon) Page 4 sur 5

5 Cas 1 l expression f(x) ne se factorise pas. Justifions : Supposons que f(x) s écrive comme un produit de facteurs du premier degré D après le théorème du produit nul, l équation f(x) = 0 aurait des solutions Mais c est impossible car sinon C f couperait l axe des abscisses mais ce n est pas le cas. L hypothèse conduit à une contradiction : elle doit être rejetée! f(x) ne se factorise pas en facteurs du premiers degré. Cas 4 f(x) s annule pour x valant 3 et 1 Donc f(x) = a (x + 3)(x 1) Il reste à déterminer a. Il suffit de connaitre un troisième nombre et son image. Par exemple, on lit : f(0) = 3 Donc a (0 + 3)(0 1) = 3 Donc 3 a = 3 donc a = 1 La forme factorisée devrait être : f(x) = (x + 3)(x 1) Forme canonique (non exigible) Cas 1 α = 1 β = 2 donc f(x) = a (x 1) 2 2 Reste à déterminer a. Pour cela, Il suffit de connaitre un troisième nombre et son image. Par exemple, on lit : f(3) = 6 Donc a (3 1) 2 2 = 6 donc 4a 2 = 6 donc 4a = 4 donc a = 1 Ainsi, on devrait avoir f(x) = (x 1) 2 2 Cas 4 α = 1 β = 4 donc f(x) = a (x + 1) 2 4 Reste à déterminer a. Pour cela, Il suffit de connaitre un troisième nombre et son image. Par exemple, on lit : f( 2) = 3 Donc a ( 2 + 1) 2 4 = 3 donc a = 1 Ainsi, on devrait avoir f(x) = (x + 1) Automath - second degre Partie 1 - exercer oeil 2014.docx, le 12/09/2012 F. de Verclos (Lyon) Page 5 sur 5