1 Electrostatique. PHYS2 : Elictricité & Magnétisme. Table des matières. 1.1 Eléctrisation. Semester 2

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1 Semester 2 PHYS2 : Elictricité & Magnétisme Table des matières 1 Electrostatique 1.1 Eléctrisation Eléctrisation : résulte d un transfert/déplacement d électrons. 1 Electrostatique Eléctrisation Force & champ electrostatique Potentiel électrique Topographie du champ électrique Travail & Energie Dipôle électrique Théorie de Gauss Élement de ligne, surface et volume A Annexe 8 A.1 Théorème de divergence Lés modes d électrisation : Frottement : Lorsque deux matières différentes sont frottées ensemble, il existe un transfert d électrons d un matériau à l autre matériau. Cela provoque un objet pour devenir chargé positivement (le perdant des électrons) et l autre objet pour devenir chargé négativement (le gagnant d électrons). Contact : Quand un objet chargé est utilisé pour charger un objet neutre par contact, l objet précédemment neutre acquiert le même type de charge que l objet chargé. L objet chargé maintient le même type de charge qu il avait à l origine. Influence : Dans influence charge, il n y a jamais un transfert d électrons entre l objet chargé et l objet étant chargé (A). Le mouvement d électrons passe entre l objet étant chargé (A) et un autre objet (B) en contact / ou le sol. Dans ce cas, les électrons quitteraient A et entrez B / ou le sol. L objet B acquiert une charge opposée A. Autres : e.g, utilisation d un générateur électrique. Remarque : Généralement, pour éléctrisation par contact et influence, la charge totale sera répartie uniformément sur les deux objets, comme si elles avaient former un seul objet étendu (Fig. 1.1). Noter que les objets A et B ont des charges similaires, Q/2, que si elles sont identiques (en termes de leur taille où 1 de 8

2 volumes V 1 et V 2 ). Sinon, leurs charges de satisfaire : V 1 = q 1, V 2 q 2 où K est le constant de Coulomb, r est la distance entre les deux charges et ˆr 12 est le vecteur unitaire pointant de q 1 au q 2. Le constant ɛ 0 est la permittivité électrique de vide and est la valeur 10 9 /36π F/m = C 2 /N 1 m 2. Note : Comparer la force électrostatique au-dessus avec la force gravitationnelle q 1 q 2 q 1 q 2 Q q 1 q 2 q 1 ' A B A B A B q, 1 q ' 2 Q 2 avant contact contact aprés contact q 2 ' de Newton, F G = G m 1m 2 r 2 ˆr 12. (2) Figure 1.1 Illustration schématique d électrisation par contact. Dans le systeme d unités M.K.S.A, l unité de la charge électrique est la Coulomb (C) : q = N e, e = C. Principe de conservation de la charge : Dans un systeme isolé la somme algébrique des charges électriques reste constante. Charge n est ni créée ni détruite, elle est tout simplement transférée d un objet à un autre objet sous la forme d électrons. 1.2 Force & champ electrostatique Loi de Coulomb : la force exercée par une charge stationnaire, q 1, sur un autre charge stationnaire, q 2, dans le vide est donnée par : F = K q 1q 2 r 2 ˆr 12 = 1 q 1 q 2 r 2 ˆr 12, (1) Champ électrique, E, est une région de l éspace où, en tout points, une charge q, maintenue immobile, est soumise à l action d une force électrique. F = q E. (3) Le champ électrostatique créé par une charge stationnaire ponctuelle Q (charge de la source) est : Principe de superposition : E = K Q r 2 ˆr = 1 Q r 2 ˆr. Le champ totale en un point particulier de l espace due à une distribution de charge est égale à la somme des champs générés par chaque point de charge constituant cette distribution. (A) Pour une distribution discrète de N charges ponctuelles : E = 1 N i=1 Q i r 2 i ˆr. 2 de 8

3 (B) Pour une distribution continue de charges avec une densité de charge : E = 1 ˆ ˆr r 2 dq 1D : densité de ligne λ [C/m] : dq = λdl. 2D : densité surfacique σ [C/m 2 ] : dq = σds. 3D : densité volumique ρ [C/m 3 ] : dq = ρdτ. Champ uniforme : Une région de l espace où le vecteur champ reste constant en tous les points de cette région. 1.3 Potentiel électrique Rappel : Le travail W d une force F entre deux points A et B est donnée par : W AB = ˆ B A F dl = K = E c = K B K A, La différence de potentiel entre deux points représente le travail qui serait nécessaire pour déplacer une charge unitaire entre ces deux points. Si en prendre point B pour être à l infini et point A à distance r de la charge de la source Q, ˆ r V (r) = E dl, (6) où le potentiel à longue distance (r ) est égale à zéro. Remarque que en coordonnées Cartésien : E dl = E x dx + E y dy + E z dz. Eq. (5) montre que si le point A coincide avec le point B, la circulation du champ électrique le long d une courbe fermée quelconque est nul : E dl = 0. (7) où K E c est l énegie cinétique. Pour les force conservative : W AB = ˆ B où U E p est l énergie potentiel. A F dl = U = E p = U A U B, (4) Utiliser Eq. (3) dans Eq. (4), le potentiel électrique, V = def U/q, est l intégrale curviligne du champ électrique ; V A V B = ˆ B A E dl, (5) Le potentiel électrostatique est donnée par V (r) = 1 Q r. (8) Le potentiel électrique obéit le principe de superposition : V = 1 N i=1 Q i r i. Il peut la faire remonter au champ électrique par E(r) = V (r), (9) 3 de 8

4 où (prononcée nabla) est un opérateur différentiel - nommé gradient ou grad - défini, en 3D coordonnées Cartésien, par et en coordonnées cylindriques : et en coordonnées sphériques : = xî + y ĵ + z ˆk. = r ˆr + 1 r = r ˆr + 1 r θ ˆθ + z ˆk. θ ˆθ + 1 r sin θ φ ˆφ. 1.4 Topographie du champ électrique ligne de champ est une courbe orientée à laquelle est tangent, en chacun de ses points, le champ. Le long d une surface équipotentielle on a dv = 0 E dl Potentiel décroit le long d une ligne de champ (i.e, d une surface équipotentielle (S 1 ) à une autre (S 2 )), dv 12 = V 2 V 1 = E dl, E est plus intense la où les équipotentielles sont plus resserée, dv = E 1 dl1 = E2 dl2, et si dl 1 > dl 2 alors E 1 < E Travail & Energie Le travail de la force électrique au cours d un trajet AB est : q q W = ˆ B A Donc l unité de potentiel est Joule/C. Energie potentiel : q E dl = q (V A V B ). U = E p = q V, du = F dl. Figure 1.2 Lignes des champ électrique (Gauche :+ve, Droite :-ve). Lénergie interne du système de N charges (i.e, énergie pour assembler distribution de charges ponctuelles) : Surface équipotentielle est une surface S dont tous les points sont au même potentiel. U = 1 2 N q i V (r i ) = 1 2 i=1 i q i N j i 1 q j r ij. 4 de 8

5 1.6 Dipôle électrique Un dipôle électrique est constitué de deux charges opposées assis à une distance d de l autre. Moment dipolaire électrique (ou moment électrique) est : qe ^ E r q +q r + O ^ E qe p = q d. (10) Le sens conventionnel du vecteur p est de charge négative à charge positive. La force totale exercée sur le dipôle dans le champ est égal à zéro, F + + F = +q E q E = 0. Le potentiel produit par un dipôle, est donné, à la limite d r 1, r 2 r 1 r 2 r, par V = 1 ( 1 1 ) 1 p cos θ r 1 r 2 r 2. Le (moment de) couple autour de point centrale O est (on a r + = r = d/2, d = r + r ) τ = r F + + r F = p E Le champ électrique par un dipôle : Dipôle dans un champ électrique non-uniforme : La force totale exercée sur le dipôle dans le champ n est pas égal à zéro, où E = E r ˆr + E θ ˆθ, E r = V r = 1 p cos θ 2πɛ 0 r 3, E r = 1 V r θ = 1 p sin θ r 3. F = F + + F = +q( E + de) qe = qde ( ) = p E. Le (moment de) couple autour de point centrale O est τ = p E ( ) + r + p E. Énergie potentielle d un dipôle dans un champ électrique (uniforme Dipôle dans un champ électrique uniforme : où non-uniforme) : est le travail effectué en portant le dipôle de l infini et 5 de 8

6 de le placer de telle sorte que la charge q est à r, U = E p = qv (r) + qv (r + d) [ = qv (r) + q V (r) + d V ] (r) + = p E. Note : 1 Joule = ev. 1.7 Théorie de Gauss Flux d un vecteur A à traverse la surface S est donnée par : Φ = S A ds Le vecteur de Déplacement électrique (ou excitation électrique) D est : D = ɛ E, (11) Cas spéciale du vide : ɛ = ɛ 0 = const, Φ E = S E ds = Q inc = 1 ˆ ρ dτ. (13) ɛ 0 ɛ 0 V Les étapes suivantes peuvent être utiles lors de l application de la loi de Gauss : (a) Identifier la symétrie associée à la distribution de charge. (b) Déterminer la direction du champ électrique, et une surface de Gauss à laquelle l amplitude du champ électrique est constant sur des portions de la surface. (c) Diviser l espace en différentes régions associées à la distribution de charge. Pour chaque région, calculer la charge délimitée, Q inc, par la surface de Gauss. (d) Calculer le flux électrique à travers la surface de Gauss pour chaque région. (e) Assimiler Φ E par Q inc /ɛ 0, et en déduire l amplitude du champ électrique. où ɛ est la permittivité électrique du milieu Élement de ligne, surface et volume 1. Coordonnées Cartésien Théorème de Gauss : Le flux du vecteur D à traverse une surface S fermée entourant des charges Q i est égale à la somme de ces charges dans le volume définit par la surface S. Φ E = où d S est un vecteur perpendiculaire au surface S. S D ds = Q i = Q inc, (12) i (a) (b) Élement de ligne d r = dxˆx + dyŷ + dzẑ. Élement de surface (pour z constante) ds z = dxdy. 6 de 8

7 (c) Élement de volume 2. Coordonnées Cylindrique (a) Élement de ligne ds z = dxdydz. d r = drˆr + rdθˆθ + dzẑ. (b) Élement de surface : pour r constante : pour θ constante : ds r = r 2 sin θdθdφ. ds θ = r sin θdθdφ. (b) Élement de surface : pour r constante : pour z constante : ds z = rdrdθ. ds r = rdθdz. (c) Élement de volume pour θ constante : ds z = r 2 sin θdrdθdφ. ds θ = drdz. pour z constante : ds z = rdrdθ. (c) Élement de volume ds z = rdrdθdz. 3. Coordonnées Sphérique (a) Élement de ligne d r = drˆr + rdθˆθ + r sin θdφ ˆφ. 7 de 8

8 A Annexe A.1 Théorème de divergence Soit V un volume dans un éspace 3D et S est sa surface de limite. Si F est un champ vectoriel continûment différentiable définie sur un voisinage de V, puis on a V ( F ) ( ) dv = F ˆn ds. S (A.1) 8 de 8