DEVOIR COMMUN N 3 MATHEMATIQUES. Série S. Enseignement obligatoire

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1 NOM : Prénom : Classe : DEVOIR COMMUN N Le 0/04/08 MATHEMATIQUES Série S Enseignement obligatoire Durée de l épreuve : heures Les calculatrices électroniques de poche sont autorisées conformément à la loi en vigueur. Le sujet comporte pages. Le sujet est composé de 0 questions sur deux points ou trois points pour celles suivies du symbole *. Les questions sont totalement indépendantes. Le candidat doit traiter toutes les questions. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse qu il aura développée. Il est rappelé que la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l appréciation des copies.

2 Question. On considère le programme de calcul ci-dessous : Thème : Second degré Choisir un nombre ; Prendre le double du carré de ce nombre ; Ajouter 5 fois le nombre de départ au résultat précédent ; Retrancher ; Écrire le résultat final. On note x nombre choisi au départ.. Montrer que le résultat obtenu à l issue du programme est : (x, 5)(x + 4).. On souhaite obtenir un résultat strictement positif. Comment faut-il choisir le nombre de départ? Question. * La parabole P ci-contre a pour équation : y = x + x + 6 Le point A est le sommet de cette parabole et les points B et C sont les points d intersection entre P et l axe des abscisses. Calculer l aire du triangle ABC. A Rappel : Formule permettant de calculer l aire d un triangle : Base Hauteur B 0 P C

3 Thème : Vecteurs et droites du plan Question. Dans un repère du plan, A( ; ) et u( ; ).. Déterminer une équation de la droite d qui passe par A et de vecteur directeur u.. Tracer cette droite dans le repère ci-contre. Question 4. Les questions suivantes sont indépendantes Soient A, B et C trois points non alignés. Soit R le point défini par RB = AC AR. Montrer que les points B, C et R sont alignés.. Soient A et B deux points distincts du plan et I le milieu de [AB]. Montrer que MA + MB = MI. 4 Question 5. Dans un repère orthonormé du plan, M( ; ), N( ; 5) et P ( 9 ; 4). Les questions suivantes sont indépendantes.. Calculer MN et les coordonnées du milieu I de [MN].. Les points M, N et P sont-ils alignés? Justifier.

4 Thème : Fonctions de référence Question 6. * Soit f la fonction racine carrée et C f sa représentation graphique. Existe-t-il un point M de C f tel que OM = 6? Si oui, déterminer ses coordonnées. Question 7. Soient f et g les fonctions définies sur R par : f(x) = x et g(x) = x On note C f et C g les courbes représentatives de ces fonctions. a. Factoriser x x pour tout réel x. b. En déduire la position relative de C f et C g. Question 8. Donner les solutions des équations et inéquations suivantes (on ne demande aucune justification) : a. x = S =... 7 b. x = x S =... c. x > 5 S =... d. ( x )( x ) = 0 S 4 =... 4

5 Thème 4 : Probabilités - Variables aléatoires Question 9. * Dans une ville comportant 000 ménages, une enquête portant sur les habitudes des ménages en matière d écologie a donné les résultats suivants : ménages pratiquent le tri sélectif ; parmi les ménages pratiquant le tri sélectif, 40 % consomment des produits bio ; parmi les ménages ne pratiquant pas le tri sélectif, 60 consomment des produits bio. On choisit un ménage au hasard et on note : T l événement «le ménage pratique le tri sélectif». B l événement «le ménage consomme des produits bio».. Compléter le tableau des effectifs suivant (aucune justification n est demandée) : B B T T Total Total Cette ville décide de favoriser les ménages ayant un comportement éco-citoyen. Pour cela, elle donne chaque année un chèque de 50e aux ménages qui pratiquent le tri sélectif et un chèque de 0e aux ménages qui consomment des produits bio (les deux montants peuvent être cumulés). Soit S la somme d argent reçue par un ménage choisi au hasard. Compléter le tableau suivant donnant la loi de probabilité de S (aucune justification n est demandée) : s i p(s = s i ) Question 0. Voici la loi de probabilité d une variable aléatoire X donnant le gain algébrique pour un joueur à une loterie. La partie coûte ne.. Compléter le tableau.. Déterminer l espérance de X et l interpréter. x i n n n 0 n p(x = x i ) 0,5 0, 0,. Déterminer pour quelles valeurs de n le jeu est favorable au joueur. 5

6 Thème 5 : Dérivation Question. * Sur la figure ci-dessous les droites d, d, d et d 4 sont tangentes à la courbe C f représentative d une fonction f définie et dérivable sur [ 4 ; 0]. y d d d x C f - - d -. Donner l ensemble des solutions de l équation f(x) = 0 et celui de l équation f (x) = 0.. a. Soit a un réel de [ 4 ; 0]. Donner l interprétation graphique de f (a). b. Déterminer graphiquement les nombres dérivés f (0), f () et f (8). c. En déduire les équations réduites des tangentes d et d 4. 6

7 Question. On donne la représentation graphique d une fonction f définie et dérivable sur [ ; ]. On sait de plus que pour tout réel x, f (x) = x.. Déterminer une équation des tangentes à cette courbe aux points d abscisses 0 et. On les notera T 0 et T.. Tracer ces tangentes avec précision Question. On considère une fonction f définie sur [ ; 4] et dont on a tracé la courbe représentative. Parmi les courbes suivantes, quelle est celle de la fonction dérivée de f? Justifier Courbe C f 4 4 Courbe 4 Courbe Courbe

8 Question 4. On considère la fonction f définie sur ]0 ; + [ par :. Dresser le tableau de variations de f. f(x) = x + x. En déduire que pour tout réel x, strictement positif, on a : x + x Question 5. Soit f la fonction définie sur I =] ; + [ par : f(x) = x + x x Justifier que f est dérivable sur I et déterminer f (x) (on écrira le numérateur sous forme réduite). 8

9 Question 6. * Thème 6 : Angles et trigonométrie ( π ). Simplifier au maximum l expression : A = cos(π x) + sin( x) + cos( x) + cos x.. Résoudre dans [0 ; π[ l équation : cos x 4 = 0. Question 7.. Déterminer la mesure principale de 9π 7. D C. Soit ABCD un carré de centre I. Donner une mesure de chacun des angles orientés suivants (aucune justification n est demandée) : I ( IA ; ID) =... ; ( IB ; ID) =... ( CD ; BI) =... ; ( AD ; CI) =... A B 9

10 Question 8. Thème 7 : Produit scalaire ( ). Déterminer une équation cartésienne de la droite D de vecteur normal n et passant par le point A de coordonnées ( ; 4).. Soit D la droite dont une équation cartésienne est 8x + 4y = 0. D et D sont-elles perpendiculaires? Justifier. Question 9. Dans un repère orthonormé, on donne trois points A(4 ; ), B(0 ; 5) et C( ; ).. Calculer AB AC.. En déduire que cos BAC =. 5. Déterminer une mesure de BAC, à un degré près. 0

11 Question 0. On se place dans un repère orthonormé. Soit C l ensemble des points du plan tels que : x x + y + y = 0. Montrer que C est un cercle dont vous préciserez le centre et le rayon.. Déterminer les coordonnées des points d intersection (éventuels) de C avec l axe des ordonnées. Espace pour répondre aux questions si vous n avez pas eu assez de place (indiquez les numéros des questions concernées)

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