Fiche 17 Nombres complexes

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimension: px
Commencer à balayer dès la page:

Download "Fiche 17 Nombres complexes"

Transcription

1 Fiche 7 Nombres complexes Objectifs : Connaître les différentes définitions Savoir passer d une notation à l autre Savoir simplifier des nombres et effectuer les opérations élémentaires. Définitions On note C l'ensemble des nombres complexes. C contient l'ensemble R. Les règles de calculs dans C sont les mêmes que dans R. Il existe i un nombre complexe appelé nombre imaginaire tel que i²=. Tout nombre complexe s'écrit sous la forme z = x + iy avec (x, y) R². Cette écriture est unique. L'écriture z = x + iy avec (x, y) R² est appelée forme algébrique du nombre complexe z. - x est la partie dite réelle de z notée Re (z), - et y est la partie dite imaginaire de z notée Im (z) Propriété Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie imaginaire et même partie réelle. C'est-à-dire que si a, b, a', b' sont des réels, on a : a + bi = a' + b'i (a b) = (a' b') a = a' b = b' Nombres complexes particuliers Soit un nombre complexe z = a + bi avec a IR et b IR. si b = 0, on a z = a, z est un réel (IR est contenu dans CI). si a = 0, on a z = b i, on dit que z est un imaginaire pur (on dit parfois simplement imaginaire). Représentation graphique d un nombre complexe On se place dans le plan rapporté à un repère orthonormal direct (O u, v). Au point M de coordonnées (a b), on peut associer le nombre complexe z = a + bi. On dit que z = a + bi est l'affixe de M ou que M(a b) est l'image ponctuelle de z = a + bi. Au vecteur V de coordonnées (a b), on peut associer le nombre complexe z = a + bi. On dit : z = a + bi est l'affixe de V ou V (a b) est l'image vectorielle de z = a + bi. michelle Vieira - - -

2 Lorsqu'on repère un point ou un vecteur par son affixe dans un repère orthonormal direct, on dit qu'on se place dans le plan complexe. 2. Opérations sur les nombres complexes Addition de nombres complexes Soit z et z 2 deux nombres complexes de forme algébrique suivante : z = x + iy ((x, y ) R²) et z 2 = x 2 + iy 2 ((x 2, y 2 ) R²). Le nombre complexe z = z + z 2 s écrit x + iy avec : x = x + x 2 y = y + y 2. Lorsqu on additionne des nombres complexes, on additionne les parties réelles entre elles et les parties imaginaires entre elles. Les propriétés de l addition dans sont conservées. Multiplication de nombres complexes Soit z et z 2 deux nombres complexes de forme algébrique suivante : z = x + iy ((x, y ) R²) et z 2 = x 2 + iy 2 ((x 2, y 2 ) R²). Le nombre complexe z = z z 2 s écrit x + iy avec : x = x x 2 - y y 2 y = x 2 y + x y 2. Nombre conjugué Soit z un nombre complexe de forme algébrique z = x + iy ((x, y) R²). Le nombre complexe x iy est le nombre conjugué de z noté z. Remarque : z z=x² + y² > 0 (réel strictement positif) Interprétation géométrique : Soit M' l'image du nombre conjugué de l'affixe de M ( zm '=zm ). Alors M' est symétrique à M par rapport à l'axe des abscisses. Propriétés : michelle Vieira

3 Module d'un nombre complexe Soit z un nombre complexe non nul. On appelle module du nombre complexe z= a + ib ( a et b réels) le nombre réel positif défini par z = a 2 + b 2. Soit le point M d'affixe z dans le plan complexe. z est la distance OM. Propriétés : 3. Exercices Exercice 0 Soit z = 2 + 3i z' = i - 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z' z - z' 2z - 3z' z.z' z 2 (Si votre calculatrice permet de travailler sur les nombres complexes, vérifier le résultat) Exercice 02 Placer dans le plan complexe, les points d'affixes : z = 2 + 3i z 2 = 3 + i z 3 = - + 2i z 4 = 2 - i z 5 = i z 6 = -i z 7 = z 8 = -i - 3 z 9 = 2z - 3z 2 z 0 = z 3 (z 4 - z 2 ) Exercice 03 Étant donné un point M d'affixe z = a + bi, avec a et b réels. Placer le point M' d'affixe z' = a - bi, le point M" d'affixe z" = -a + bi, le point M"' d'affixe z"' = -a - bi = - z. Exercice 04 ) Calculer (3 + 2i)(3-2i). En déduire la forme algébrique de 3 + 2i 2 ) Déterminer la forme algébrique des nombres comp lexes : + i 3 - i i Exercice 05 Soit z = 3 + 5i et z' = i. Calculer z z' z + z' z + z' z + z' z. z' zz' zz'. michelle Vieira

4 Exercice 06 ) Écrire sous la forme algébrique les nombres com plexes suivants : i i 2 + i 2 + 7i 3 - i 5 + 3i - 3i i 2 ) Résoudre l'équation ( + i)z = 3-2i, donner la solution sous la forme algébrique. 3 ) Le nombre complexe 2 - i est-il solution de l'équation ( - i)z + + 3i = 0? 4 ) Le nombre complexe + 3i est-il solution de l'équation 5z 5 2-2z + 2 = 0? 7 + 5i 5 ) Écrire plus simplement le nombre complexe 2 7-2i i 7 + 5i Exercice 07 Mettre sous forme algébrique puis représenter dans le plan complexe les expressions suivantes : 2 + j 3 ( 2 j)( + j) 3 j(2 3 j) j 0 (+ j)2 (3j 4)(2j + ) (on pourra multiplier par le nombre complexe conjugué du dénominateur). Exercice 08 Montrer que le nombre suivant est réel. z = ( + 2j)(2 3j)(2 + j)(3 2j) Exercice 09 Soit a un nombre réel. Mettre sous forme algébrique l'expression complexe : z = + ja 2a + j(a 2 ) Exercice 0 Soient a, b, c trois nombres réels et soit z un nombre complexe. On pose Z = az + jb a+ jcz. On suppose que a 2 + bc 0. Calculer l'expression az + jb a + jcz en fonction de z. Exercice Trouver les nombres réels a et b tels que : ( + 2j) a + ( 3 5j) b = 3j ( j) a + ( 4 j) b = 3 j ( 3 + j) a + ( + j) b = 2j ( + 2j) a ( + 3j) b = 3 + 7j ( 2 j) a + ( 3 j) b = 7 3j michelle Vieira

5 4. Forme trigonométrique et forme polaire La forme trigonométrique d un nombre complexe est entièrement connue grâce à son module et son argument. Le module d un nombre complexe a été défini précédemment. Soit z C* et M son image dans le plan complexe. L'argument de z est noté arg (z) et est l'angle polaire entre l axe des abscisses et le vecteur OM d affixe z. On le note ϕ = ( u, OM ). b r M(z ) Soit ϕ l'argument du nombre complexe z = a + ib. On a : cos ϕ = a / z = a / a 2 + b 2 Et sin ϕ = b / z = b / a 2 + b 2 v u θ a Définition Tout nombre complexe non nul z peut être écrit sous la forme : z = r(cos θ + i sin θ), avec θ IR et r IR + *. On dit que z = r(cos θ + i sin θ) avec θ IR et r IR + * est une forme trigonométrique de z. Propriété Si deux nombres complexes z et z' sont écrits sous forme trigonométrique : z = r(cos θ + i sin θ) et z' = r' (cos θ' + i sin θ'), on a : r = r' z = z' r(cos θ + i sin θ) = r' (cos θ' + i sin θ') θ = θ' Remarque θ n'est pas unique, il est défini à 2kπ près (k ZZ) c'est-à-dire modulo 2π. Remarque La notation z ne risque pas prêter à confusion avec la notation de la valeur absolue puisque lorsque x est un nombre réel, on a r = OM = x. Pour un réel x, x pourra être lu indifféremment "valeur absolue de x" ou "module de x". Pour un nombre complexe non réel z, z sera lu impérativement "module de z". Rappel : cos (a+b) = cos a cos b sin a sin b sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a cos (a b) = cos a cos b +sin a sin b sin (a b) = sin a cos b sin b cos a michelle Vieira

6 Propriétés Soient θ et θ' deux réels et soient z et z' deux nombres complexes non nuls d'arguments respectifs θ et θ' on a : (cos θ + i sin θ)(cos θ' + i sin θ') = cos(θ + θ') + i sin(θ + θ') arg(zz') = arg z + arg z' cos θ + i sin θ = cos(- θ) + i sin(- θ) arg z = - arg z cos θ + i sin θ = cos(θ - θ' ) + i sin(θ - θ' ) cos θ' + i sin θ' arg z z' = arg z - arg z' (cos θ + i sin θ) n = cos(nθ) + i sin(nθ) pour tout n ZZ arg (z n ) = n arg z cos θ - i sin θ = cos(- θ) + i sin(- θ) arg ( z ) = - arg z - (cos θ + i sin θ) = cos(θ + π) + i sin(θ + π) arg (- z) = arg z + π Notation exponentielle Pour θ IR, on note cos θ + i sin θ = e i θ et par conséquent pour r IR * + : r(cos θ + i sin θ) = r e i θ Cette notation est appelée notation exponentielle. Propriétés Les résultats déjà vus s'écrivent, avec la notation exponentielle : e i θ x e i θ' = e i (θ + θ') e i θ = e i (-θ) = e -i θ e i θ = e i (θ - θ') e i θ' (e i θ ) n = e i n θ = e n i θ n ZZ e i θ = e -i θ - e i θ = e i (θ + π) Remarques La propriété e i θ x e i θ' = e i (θ + θ'), facile à retenir, permet de retrouver les formules d'addition : cos(θ + θ' ) = cos θ cos θ' - sin θ sin θ' et sin(θ + θ' ) = sin θ cos θ' + cos θ sin θ' La propriété (e i θ ) 2 = e 2i θ permet de retrouver les formules de duplication : cos 2θ = cos 2 θ - sin 2 θ et sin 2θ = 2 sin θ cos θ michelle Vieira

7 On peut vérifier que : formules d'euler. La relation (e i θ ) n = e i n θ, cos θ = e i θ + e - i θ 2 et sin θ = e i θ - e - i θ 2i n ZZ est appelée formule de MOIVRE.. Ce sont les Exercice 2 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O u, v ). Les questions sont totalement indépendantes. ) Calculer le module des nombres complexes suivan ts : (7 + 35i)(3 + 2i) 7-35i 3-2i 2 ) Déterminer tous les points M d'affixe z tels que z z = 4. 3 ) On considère le point A d'affixe (2 + 3i). Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z tels que z - (2 + 3i) = 5. 4 ) Soit j = i. Calculer j. Démontrer que j2 = j. En déduire que j 3 =. (On dit que j est une racine cubique de ) (5 + 3i)( + i) 4 + i Exercice 3 Soit z = 2 + 2i et z 2 = + i 3. Écrire z et z 2 sous la forme trigonométrique. En déduire les formes trigonométriques de z x z 2 z z 2 (z ) 3 z - z 2 (z ) 2 z 2 Exercice 4 On considère les nombres complexes : z = e i π 3 z 2 = e i π 4 et Z = z z 2. ) Donner la forme exponentielle de Z. 2 ) Donner les formes algébriques de z et z 2. En déduire la forme algébrique de Z. 3 ) En déduire les valeurs exactes de cos π 2 et sin π 2. Exercice 5 Écrire sous la forme exponentielle ou sous la forme trigonométrique les nombres complexes : a = i b = Exercice i c = 5 + i 3 7-4i 3 d = -2 cos π 6 + i sin π 6 Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct (O u, v ), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a =, b = + 2i et c = i c - a Calculer et l'écrire sous la forme exponentielle. En déduire la nature du triangle ABC. b - a Exercice 7 Étant donnés A( + i) et B(2-3i), déterminer les affixes des points M tels que ABM soit un triangle équilatéral. michelle Vieira

8 Exercice 8 Linéariser les expressions suivantes en utilisant les formules d'euler : sinθ cosθ sin²θ cos²θ sinθ cos²θ sin²θ cosθ sin 3 θ cos 3 θ sin²θ cos²θ Exercice 9 En utilisant les formules d Euler et le triangle de Pascal, développer les expressions suivantes : sin 4 θ sin 3 θ cosθ cos 4 θ sin θ cos 3 θ sin 5 θ sin 4 θ cosθ sin 3 θ cos²θ cos 5 θ sinθ cos 4 θ sin 2 θ cos 3 θ sin 6 θ sin 5 θ cosθ sin 4 θ cos²θ sin 3 θ cos 3 θ cos 6 θ sinθ cos 5 θ sin 2 θ cos 4 θ sin 7 θ sin 6 θ cosθ sin 5 θ cos²θ sin 4 θ cos 3 θ cos 7 θ sinθ cos 6 θ sin 2 θ cos 5 θ sin 3 θ cos 4 θ Exercice 20 En utilisant les formules d Euler et le triangle de Pascal, exprimer en fonction de cosθ et sinθ les fonctions suivantes : cos3θ sin3θ cos4θ sin4θ cos5θ sin5θ cos6θ sin6θ cos7θ sin7θ Exercice 2 Calculer les sommes: S = cos θ + cos 2θ + cos 3θ +...+cos nθ S 2 = sin θ + sin 2θ + sin 3θ+...+sin nθ Exercice 22 Soit le nombre complexe z = cos θ + j sin θ = e jθ (ρ = ). z Calculer l'expression : + z Exercice 23 Soit n un nombre entier. Calculer z n pour : z = + cos θ + j sin θ z = cos θ + j sin θ michelle Vieira

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71

NOMBRES COMPLEXES. avec une calculatrice TI on écrit par exemple 5^(1/3) et on obtient environ 1,71. On a donc 3 5 1,71 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique Rappel Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k n a par

Plus en détail

Représentation géométrique d un nombre complexe

Représentation géométrique d un nombre complexe CHAPITRE 1 NOMBRES COMPLEXES 1 Représentation géométrique d un nombre complexe 1. Ensemble des nombres complexes Soit i le nombre tel que i = 1 L ensemble des nombres complexes est l ensemble des nombres

Plus en détail

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009

CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 2009 CH 1 Géométrie : Complexes 4 ème Sciences Septembre 009 A. LAATAOUI I. INTRODUCTION ET DEFINITION Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et 3 et a pour racine et

Plus en détail

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes

Cours de mathématiques. Chapitre 9 : Nombres complexes Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 9 : Nombres complexes Année scolaire 2008-2009 mise à jour 15 février 2009 Fig. 1 Gerolamo Cardano Médecin et mathématicien italien qui ne redoutait pas les

Plus en détail

Annexe D: Les nombres complexes

Annexe D: Les nombres complexes Annexe D: Les nombres complexes L'équation t + 1 = 0 n'a pas de solution dans les nombres réels. Pourtant, vous verrez lors de vos études qu'il est très pratique de pouvoir résoudre des équations de ce

Plus en détail

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications

Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Module et argument d un nombre complexe. Interprétation géométrique, lignes de niveau associées. Applications Introduction : Cette leçon s inscrit dans la continuité de la précédente. On supposera connu

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. 2 + q 2

NOMBRES COMPLEXES. 2 + q 2 NMBRES CMPLEXES I - Représentation géométrique f(x) = x 3 Pour tout réel k, il existe un unique nombre réel dont le cube est k. Ce nombre est appelé racine cubique de k. Il est noté 3 k ou aussi k 3. k

Plus en détail

Les nombres complexes : exercices page 1

Les nombres complexes : exercices page 1 Les nombres complexes : exercices page 1 Ex 1 : Vrai ou faux Forme algébrique 1 ) =(4 5i ) 2 6 ) z 6 =i 4 i 3 2 ) z 2 =(4 5i ) ( 4+5i ) 7 ) z 7 =(1 2i ) 2 1 ) Si z=4i 3, alors a ) Im( z )= 3 d ) z=4 i+3

Plus en détail

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours

TS Applications géométriques des nombres complexes Cours TS Applications géométriques des nombres complexes Cours I. Forme trigonométrique d un nombre complexe non nul (O ; u ; v ) est un repère orthonormal direct du plan complexe 1. Module et argument d un

Plus en détail

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0)

Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) (a, 0) (b, 0) = (ab, 0) NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C Construction de C On munit R de deux lois internes + et de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) R 4, on pose (a, b) + (c, d) =

Plus en détail

Terminale STI-GE

Terminale STI-GE Le programme : Les premiers éléments de l'étude des nombres complexes ont été mis en place en première. L'objectif est de compléter cet acquis pour fournir des outils utilisés en algèbre, en trigonométrie

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Définition - Représentation géométrique. II Forme trigonométrique - Module - Argument. Exercice 01 Apprendre le cours!...

NOMBRES COMPLEXES. I Définition - Représentation géométrique. II Forme trigonométrique - Module - Argument. Exercice 01 Apprendre le cours!... NOMBRES COMPLEXES I Définition - Représentation géométrique Exercice 0 Apprendre le cours!... Exercice 0 Soit z + i ; z' i - 5. Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z' ; z - z' ; z - z' ; z.z'

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Définitions

NOMBRES COMPLEXES. I Définitions NOMBRES COMPLEXES Objectifs Définitions C, nombre complexe, forme algébrique, parties réelles imaginaires, imaginaire pur. Plan complexe, affixe, image, axe imaginaire, axe réel Introduction. Inclusions

Plus en détail

Nombres complexes. Introduction - Résolution d équations algébriques ) 1 + ( 1) (car 1 2 = 1!)

Nombres complexes. Introduction - Résolution d équations algébriques ) 1 + ( 1) (car 1 2 = 1!) Nombres complexes 1ère STID I - Introduction - Résolution d équations algébriques Soit le trinôme du second degré P(x) = 1 x + 3x + 5. Le discriminant de P est : = 9 10 = 1 < 0, donc P n a pas de racine

Plus en détail

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument

Exercices - Nombres complexes : corrigé. Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Formes algébriques et trigonométriques, module et argument Exercice - - L/Math Sup - On multiplie le dénominateur par sa quantité conjuguée, et on obtient : Z = 4 i 3 + i 3 i 3 = 4 i 3 + 3 = + i 3. Pour

Plus en détail

Chapitre VII Les nombres complexes

Chapitre VII Les nombres complexes Chapitre VII Les nombres complexes Extrait du programme : I. Ensemble des nombres complexes 1. Existence Théorème (admis) : Il existe un ensemble noté, appelé ensemble des nombres complexes, qui possède

Plus en détail

Chapitre 1 Les nombres complexes

Chapitre 1 Les nombres complexes Chapitre 1 Les nombres complexes A) Définition et propriétés de base (rappels) 1) Définition a) On appelle C l'ensemble des nombres complexes. Un nombre complexe s'écrit z a bi, où a et b sont des réels

Plus en détail

Module et Argument d un nombre complexe

Module et Argument d un nombre complexe I Module et Argument d un nombre complexe Tout point M du plan peut être repéré par un couple de coordonnées polaires (r, θ) (r > 0, θ réel) M r est la distance OM ; θ est une mesure de l angle ( u, OM).

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2

NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2 NOMBRES COMPLEXES Ph DEPRESLE janvier 06 Table des matières Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe Opérations dans l ensemble C. Addition dans C...........................................

Plus en détail

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3

( ) = 1, Im( z 1 ) = 2. ( ) = 0, Im( z 2 ) = 1. ( ) = 7, Im( z 3 ) = 0. = 1+ 2i. Re z 1 = i. Re z 2 z 3. z 1. = 7. Re z 3 I Forme algébrique d un nombre complexe 1 Il existe un ensemble noté et appelé ensemble des nombres complexes qui vérifie les propriétés suivantes : " ; L'ensemble est muni d'une addition et d'une multiplication

Plus en détail

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse

Séquence 6. Ensemble des nombres complexes. Sommaire. Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Séquence 6 Ensemble des nombres complexes Sommaire Prérequis Définition Forme algébrique Forme trigonométrique Synthèse Cette séquence est une brève introduction à un nouvel ensemble de nombres, ensemble

Plus en détail

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés

Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Nombres complexes Forme trigonométrique d un complexe Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : Exercice 1 : affixe d un point, représentation d un point-image dans le plan complexe, argument

Plus en détail

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes

Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Fiche d exercices 8 : Nombres complexes Ecriture algébrique Exercice 1 1. Donner l écriture algébrique des nombres complexes ci-dessous : i a. z = 1+ 1 + i 1 b. z = c. z3 = i 1 i + i. On considère les

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 1 I.1 Le nombre i... 1 I.2 L ensemble des nombres complexes... 1

NOMBRES COMPLEXES. I Introduction 1 I.1 Le nombre i... 1 I.2 L ensemble des nombres complexes... 1 re STI Ch03 : Nombres complexes 006/007 NOMBRES COMPLEXES Table des matières I Introduction I. Le nombre i............................................ I. L ensemble des nombres complexes...............................

Plus en détail

Chapitre 9 Les nombres complexes

Chapitre 9 Les nombres complexes Chapitre 9 Les nombres complexes Vocabulaire-représentation Définition des nombres complexes Définition Nombres complexes, partie réelle, partie imaginaire) On introduit i, un nombre qui vérifie i = On

Plus en détail

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe

Chapitre 7. Les nombres complexes. Objectifs du chapitre : item références auto évaluation. forme algébrique d un nombre complexe Chapitre 7 Les nombres complexes Objectifs du chapitre : item références auto évaluation forme algébrique d un nombre complexe résolution d équation du second degré dans C forme exponentielle d un nombre

Plus en détail

Ecritures des nombres complexes

Ecritures des nombres complexes Ecritures des nombres complexes I. Rappel sur les nombres complexes Le nombre i est un nombre dont le carré vaut 1. Donc : i² = 1 De plus, son opposé i a aussi pour carré 1. ( i)² = i² = 1 Les deux racines

Plus en détail

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes

I. Nombres complexes. 1 Corps C des nombres complexes 1 Corps C des nombres complexes Théorème 1. Il existe un ensemble C des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : C contient R. C est muni d une addition et d une multiplication qui suivent

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes 8 novembre 009 Table des matières Définitions Forme algébrique Représentation graphique Opérations sur les nombres complexes Addition et multiplication Inverse d un nombre complexe

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Rappels de trigonométrie tanα sinα π 2 M(α) π α cosα 0 3π 2 Figure 2.1 Sinus, cosinus, tangente Définition 2.1 La tangente d un nombre réel x, notée tan

Plus en détail

COMPLEXES. Sujets. septembre Antilles-Guyane. novembre Amérique du Sud. avril Pondichéry. mai Liban.

COMPLEXES. Sujets. septembre Antilles-Guyane. novembre Amérique du Sud. avril Pondichéry. mai Liban. COMPLEXES Sujets septembre 01 novembre 01 avril 01 mai 01 Antilles-Guyane Amérique du Sud Pondichéry Liban Formulaire COMPLEXES 1 Antilles-Guyane septembre 01. EXERCICE Le plan complexe est rapporté à

Plus en détail

Nombres complexes. Représentation géométrique. Notation exponentielle.

Nombres complexes. Représentation géométrique. Notation exponentielle. Nombres complexes. Représentation géométrique. Notation exponentielle. 1. Représentation géométrique d'un nombre complexe... P2 4. Propriétés... P15 2. Module d'un nombre complexe... p7 5. Compléments...

Plus en détail

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S )

LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) LE PRODUIT SCALAIRE ( En première S ) Dernière mise à jour : Jeudi 4 Janvier 007 Vincent OBATON, Enseignant au lycée Stendhal de Grenoble ( Année 006-007 ) 1 Table des matières 1 Grille d autoévaluation

Plus en détail

1 Forme algébrique d un nombre complexe

1 Forme algébrique d un nombre complexe Chapitre 2 Nombres complexes 1 BCPST 851 27 septembre 2011 Chapitre 2 Nombres complexes On suppose donné un nombre i n appartenant pas à R. 1 Forme algébrique d un nombre complexe Définition 1 Propriété

Plus en détail

Cours de mathématiques (Terminale S)

Cours de mathématiques (Terminale S) Cours de mathématiques (Terminale S) II. Chapitre 00 : La trigonométrie. Les angles orientés A. Les radians DÉFINITION Le radian est une unité de mesure angulaire, notée rad définie par : REMARQUE A partir

Plus en détail

Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique

Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique FORMULES ET THÉORÈMES Carré du nombre i On définit le nombre i de la façon suivante. i = 1 Forme algébrique d'un nombre complexe Tout nombre complexe z peut s'écrire sous une forme algébrique. z = a +

Plus en détail

Nombres complexes. 0 + i 1 + i i n. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants:

Nombres complexes. 0 + i 1 + i i n. Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivants: Nombres complexes Exercice 1 1 Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique les nombres suivants : i 0, i 1, i, i et i a Pour tout n IN, on note S n i 0 + i 1 + i +... + i n. Calculer S n - i S n, puis

Plus en détail

Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes

Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes Chap9 Forme trigonométrique et forme exponentielle de nombres complexes I Module, argument et forme trigonométrique d un nombre complexe Rappel : le plan complexe est le plan muni d un repère orthonormé

Plus en détail

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R.

1 radian. De même, la longueur d un arc de cercle de rayon R et dont l angle au centre a pour mesure α radians est α R. R AB =R. Angles orientés Trigonométrie I. Préliminaires. Le radian Définition B R AB =R C O radian R A Soit C un cercle de centre O. Dire que l angle géométrique AOB a pour mesure radian signifie que la longueur

Plus en détail

Nombres complexes. Trigonométrie. Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1

Nombres complexes. Trigonométrie. Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 Lycée Jean Perrin Classe de TSI 1 Exercices série 1 Nombres complexes I Trigonométrie Exercice 1. 1. Déterminer les valeurs exactes de cos π, sin π et tan π (on pourra utiliser les 12 12 12 valeurs connues

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes Hervé Hocquard Université de Bordeaux, France 6 septembre 017 Rappels ou pas Introduction Soit (O; i, j ) un repère orthonormal direct et soit C le cercle trigonométrique de centre

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombrescomplexes

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombrescomplexes BTS Mécanique Automatismes Industriels Nombrescomplexes, Année scolaire 008/009 Table des matières Nombres complexes.lesdifférentesécritures....... Forme algébriqued unnombre complexe.... Représentationgéométrique

Plus en détail

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit

( ) ( ) Terminale S Chapitre 10 «Nombres complexes 2 ème partie» Page 1 sur 9. I) Forme exponentielle. 1) Argument du produit Terminale S Chapitre 0 «Nombres complexes ème partie» Page sur 9 I) Forme exponentielle ) Argument du produit Propriété : Soient deux nombres complexes et d'arguments respectifs θ et θ. A B A B Alors un

Plus en détail

MATHÉMATIQUES T erminale S

MATHÉMATIQUES T erminale S L Oasis Des M@Thém@tiques MATHÉMATIQUES T erminale S Boubacar MANÉ Mansour SANÉ Préface Table des matières 1 Les Nombres Complexes 5 I Historique......................................... 5 II Fabrication

Plus en détail

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES

FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Définition ( voir animation ) On dit qu'un repère orthonormé (O; i, j) est direct lorsque ( i ; j ) = + []. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct, si M est le point

Plus en détail

Chapitre 14 : Nombres complexes et géométrie

Chapitre 14 : Nombres complexes et géométrie Chapitre 14 : Nombres complexes et géométrie I Affixe, module et argument I.1 Représentation géométrique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormal direct (O; u; v. Il est ainsi appelé

Plus en détail

1 Argument d un nombre complexe. 2 Ecriture trigonométrique. M(z = a + ib) r = z = OM. θ = arg(z) Chapitre 5 Les nombres complexes (2)

1 Argument d un nombre complexe. 2 Ecriture trigonométrique. M(z = a + ib) r = z = OM. θ = arg(z) Chapitre 5 Les nombres complexes (2) Chapitre 5 Les nombres complexes ) 1 rgument d un nombre complexe Un point M peut être repéré dans le plan muni d un repère orthonormé direct O; u, v ) de deux façons : par ses coordonnées cartésiennes

Plus en détail

Nombres complexes. Chapitre 1

Nombres complexes. Chapitre 1 Chapitre 1 Nombres complexes Les nombres complexes sont apparus en Italie au XVI e siècle. Niccolo Tartaglia le premier résout des équations du troisième degré. Il révèle sa formule à Jérôme Cardan qui

Plus en détail

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec

Dans l ensemble du chapitre, on considère le plan muni d un repère orthonormal. est un nombre «complexe» (au sens de «composé» défini avec 1/Les Nombres Complexes Chapitre 4 Les Nombres Complexes. I. Définitions Objectif : On veut «construire» un ensemble de nombres contenant l ensemble des nombres réels, muni de deux opérations qui généralisent

Plus en détail

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Nombres complexes

Recueil d annales en Mathématiques. Terminale S Enseignement obligatoire. Nombres complexes Recueil d annales en Mathématiques Terminale S Enseignement obligatoire Frédéric Demoulin 1, Olivier Hervé 2 Dernière révision : 22 mai 2008 Document diffusé via le site www.bacamaths.net de Gilles Costantini

Plus en détail

Nombres complexes. I.2 Représentation géométrique des nombres complexes

Nombres complexes. I.2 Représentation géométrique des nombres complexes MTA - ch3 Page 1/11 Nombres complexes I L'ensemble C des nombres complexes I.1 Écriture des nombres complexes Il existe un ensemble noté C de nombres dits complexes vériant : R C C contient le nombre i

Plus en détail

AL1 Complexes FC - Exercices -

AL1 Complexes FC - Exercices - AL Complexes FC - Exercices - CALCULS TRANSFORMATIONS D ÉCRITURES TRIGONOMÉTRIE 4 4 POLYNÔMES 4 5 EXERCICES DE TESTS 5 Page sur 9 Calculs. Additions.. ( i) ( 4i) Mathématiques AL - Complexes + + +.. i

Plus en détail

Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie

Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie Chapitre 4 Les nombres complexes : 1ère Partie A) Définition et propriétés de base 1) Historique Les nombre complexes ont été inventés au départ en 1545 par le mathématicien italien Jérôme Cardan (Girolamo

Plus en détail

II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS

II ÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ À COEFFICIENTS RÉELS Terminale S (3-4) I GÉNÉRALITÉS I. Présentation des nombres complexes Définition - Théorème : (admis) Il existe un ensemble noté C, contenant R, vérifiant les conditions suivantes : C est muni d une addition

Plus en détail

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations

Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations Nombres Complexes Exercice 1. [5 pts] Équations On se propose d étudier les solutions de l équation (E) z + 1 = 0 1. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z + 1 = (z + 1)(z z + 1). En déduire

Plus en détail

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE

2 Nombres complexes. et trigonométrie CHAPITRE CHAPITRE Nombres complexes et trigonométrie A Les nombres complexes 66 B Représentation géométrique Affixe Module Argument 67 1 Image d un complexe Affixe d un point, d un vecteur 67 Module 68 3 Nombres

Plus en détail

GEOMETRIE PLANE : NOMBRES COMPLEXES

GEOMETRIE PLANE : NOMBRES COMPLEXES GEOMETRIE PLANE : NOMBRES COMPLEXES I Les points du plan et les nombres complexes - Notion de nombre complexe Dans ce chapitre, on définit un ensemble noté C, qui prolonge l ensemble R, muni d une addition

Plus en détail

LES COMPLEXES. Il existe plusieurs formes pour écrire un nombre complexe z. Selon le contexte, une est plus appropriée qu'une autre.

LES COMPLEXES. Il existe plusieurs formes pour écrire un nombre complexe z. Selon le contexte, une est plus appropriée qu'une autre. 1A 010-011 LES COMPLEXES Objectifs Connaître les diérentes formes d'un nombre complexe. Savoir résoudre une équation complexe. Savoir linéariser un sinus ou un cosinus. Dénition 1. On note C l'ensemble

Plus en détail

Angles orientés et trigonométrie

Angles orientés et trigonométrie Chapitre Angles orientés et trigonométrie Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES Trigonométrie Cercle trigonométrique. Radian. Mesure d un angle orienté, mesure principale.

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 :

NOMBRES COMPLEXES. Exercice 1 : Exercice 1 : NOMBRES COMPLEXES On donne θ 0 un réel tel que : cos(θ 0 ) 5 et sin(θ 0 ) 1 5. Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de θ 0 ) : a i( )( )(1

Plus en détail

Nombres complexes et géométrie euclidienne

Nombres complexes et géométrie euclidienne 19 Nombres complexes et géométrie euclidienne Le corps C des nombres complexes est supposé construit voir le chapitre 7. On rappelle que C est un corps commutatif et un R-espace vectoriel de dimension,

Plus en détail

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J.

Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. Rédigé par un élève de Terminale S à l'aide de ses livres de maths (Indice, Bordas), ses cours, toute sa peine, et son stress pour le bac! J. FAIVRE s de cours exigibles au bac S en mathématiques Enseignement

Plus en détail

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie

Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie Rappels et compléments, première partie : Nombres complexes et applications à la géométrie 1 Définition des nombres complexes On définit sur les couples de réels une loi d addition comme suit : (x; y)

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes DERNIÈRE IMPRESSION LE 17 février 016 à 15:35 Les nombres complexes Table des matières 1 Introduction 1.1 Un problème historique......................... 1. Création d un nouvel ensemble.....................

Plus en détail

Rappels : nombres complexes

Rappels : nombres complexes INSA Toulouse Cycle Préparatoire IFCI Module Outils Mathématiques Regroupement n Rappels : nombres complexes Nombres complexes Définition Définition Il existe un ensemble C appelé ensemble des complexes

Plus en détail

Les nombres complexes - 2

Les nombres complexes - 2 Chapitre 9 Les nombres complexes - Terminale S Ce que dit le programme : CONTENUS CAPACITÉS ATTENDUES COMMENTAIRES 1ère partie Forme algébrique, conjugué. Somme, produit, quotient. Équation du second degré

Plus en détail

Pierre-Louis CAYREL Licence 1 Introduction aux Mathématiques Générales Université de Paris 8. Nombres complexes

Pierre-Louis CAYREL Licence 1 Introduction aux Mathématiques Générales Université de Paris 8. Nombres complexes Pierre-Louis CAYREL 008-009 Licence 1 Introduction aux Mathématiques Générales Université de Paris 8 Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire Exercice 1 Calculer le module des nombres complexes

Plus en détail

CHAPITRE 1 : LES NOMBRES COMPEXES :

CHAPITRE 1 : LES NOMBRES COMPEXES : CHAPITRE 1 : LES NOMBRES COMPEXES : I-Forme algébrique d un nombre complexe : I.1) Définitions : On appelle nombre complexe tout nombre de la forme z=a+ib où a et b sont des nombres réels et où la quantité

Plus en détail

Les nombres complexes

Les nombres complexes Les nombres complexes 1 Un peu d histoire En 157, l italien NICCLÓ FNTANA dit TARTAGLIA le bègue) découvre une méthode de résolution d équations du troisième degré. Il la dévoile à CARDAN. Celui que les

Plus en détail

Feuille de TD - Les nombres complexes

Feuille de TD - Les nombres complexes Université Paris-Diderot Année 016-017 MM1 - Algèbre et analyse élémentaires I Feuille de TD - Les nombres complexes Questions du cours. (a) Donner la définition de nombre complexe sous forme cartésienne

Plus en détail

Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître

Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître Nombres et plan complexes Les exercices fondamentaux à connaître Y. Morel Version en ligne et interactive : http://xymaths.free.fr/lycee/ts/exercices-corriges-complexes.php Table des matières 1 Formes

Plus en détail

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME

MATHEMATIQUES. Premier Cycle TROISIEME MATHEMATIQUES Premier Cycle TROISIEME 79 INTRODUCTION Le programme de la classe de troisième, dernier niveau de l enseignement moyen, vise à doter l élève de savoirs faire pratiques par une intégration

Plus en détail

Nombres complexes, cours, terminale S

Nombres complexes, cours, terminale S Nombres complexes, cours, terminale S 1 Notion de nombre complexe Il existe un ensemble noté C et appelé ensemble des nombres complexes tel que : C contient l'ensemble des...... ; l'addition et la multiplication

Plus en détail

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes

BTS Mécanique et Automatismes Industriels. Nombres complexes BTS Mécanique et Automatismes Industriels, Année scolaire 006 007 Table des matières. Les différentes écritures. - Forme algébrique d un nombre complexe. - Représentation géométrique d un nombre complexe.3

Plus en détail

Nombres complexes, fonctions et formules trigonométriques

Nombres complexes, fonctions et formules trigonométriques Chapitre 4 Nombres complexes, fonctions et formules trigonométriques 41 Nombres complexes L ensemble C des nombres complexes est où i = 1 R C C = {z = a + ib : a, b R} Définition 411 On dit que l écriture

Plus en détail

Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal

Cours de Terminale S /Nombres complexes. E. Dostal Cours de Terminale S /Nombres complexes E. Dostal aout 01 Table des matières 8 Nombres complexes 8.1 Introduction............................................ 8. Le plan complexe.........................................

Plus en détail

LES NOMBRES COMPLEXES

LES NOMBRES COMPLEXES LES NMBRES CMPLEXES Table des matières Écriture algébrique d un nombre complee Définitions Propriétés 3 Somme, produit et inverse 4 Équation dans C Représentation géométrique d un nombre complee 4 Définitions

Plus en détail

Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet

Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER. D. Poquillon, C. Mijoule et P. Floquet Math module 3 NOMBRES COMPLEXES SERIES DE FOURIER TRANSFORMATIONS DE FOURIER D Poquillon, C Mijoule et P Floquet SEPTEMBRE 005 Cours semaine 1 :Introduction, définitions, résolution d équations 1-1 Introduction

Plus en détail

Corps des complexes. 1 Calculs dans C Le corps C Module, conjugaison Interprétation géométrique... 2

Corps des complexes. 1 Calculs dans C Le corps C Module, conjugaison Interprétation géométrique... 2 Maths PCSI Cours Table des matières Corps des complexes 1 Calculs dans C 1.1 Le corps C............................................... 1. Module, conjugaison......................................... 1.3

Plus en détail

NOMBRES COMPLEXES (exercices)

NOMBRES COMPLEXES (exercices) Exercice : NOMBRES COMPLEXES (exercices). Placer les points A,B,C,D et E d affixes a = 3 + 3 i, b = - i, c = 4, d = -i, e = - + i dans le plan complexe.. Calculer l affixe du milieu I de [BD] Exercice

Plus en détail

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes

CHAPITRE 4 : Les nombres complexes CHAPITRE 4 : Les nombres complexes 1 Définition... 1.1 Théorème... 1. Définitions... 1.3 Théorème... Nombre complexe conjugué... 3.1 Définition... 3. Théorème 1... 3.3 Théorème... 3.4 Théorème 3... 5 3

Plus en détail

I. Ensemble de définition d'une fonction

I. Ensemble de définition d'une fonction Chapitre 2 Généralités sur les fonctions Fonctions de références et fonctions associées Ce que dit le programme : Étude de fonctions Fonctions de référence x x et x x Connaître les variations de ces deux

Plus en détail

Nombres complexes, cours, première STI2D

Nombres complexes, cours, première STI2D Nombres complexes, cours, première STID F.Gaudon 9 juin 015 Table des matières 1 Notion de nombre complexe Opérations sur les nombres complexes 3 3 Représentation géométrique des nombres complexes 3 4

Plus en détail

Feuille de TD 2 - Les nombres complexes

Feuille de TD 2 - Les nombres complexes Université Paris-Diderot Année 016-017 MM1 - Algèbre et analyse élémentaires I 51AE01MT Filière Chimie - Step Feuille de TD - Les nombres complexes Exercice 1. Écrire sous forme algébrique les nombres

Plus en détail

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS

Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS Baccalauréat S Nombres complexes Index des exercices sur les complexes de septembre 1999 à juin 2012 Tapuscrit : DENIS VERGÈS N o Lieu et date Q.C.M. Algébrique Géométrie 1 Asie juin 2012 2 Métropole juin

Plus en détail

4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque...

4 Racines n-ièmes d un nombre complexe Racines n-ièmes de l unité Racines n-ièmes d un nombre complexe quelconque... Le corps C des nombres complexes Table des matières 1 Définitions algébrique et géométrique de C 1 1.1 Définition de C............................................. 1 1. Structure algébrique de C.......................................

Plus en détail

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique

Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Lycée Paul Doumer 0-04 TS Cours Nombres complexes - Équations et forme trigonométrique Contents Équation du second degré. Racines carrées..................................... Équation du second degré à

Plus en détail

Nombres complexes et application à la géométrie

Nombres complexes et application à la géométrie Nombres complexes et application à la géométrie I) Représentation graphique d un nombre complexe Le plan est muni d un repère orthonormé (O,u,v). 1) Affixe d un point a) Définition Si M est le point de

Plus en détail

Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr

Bac Mathématiques. Série S Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 20/20. alainpiller. fr Bac Mathématiques Série S - 017 Nombres complexes UNIQUEMENT LE COURS POUR AVOIR 0/0 alainpiller fr SAVOIR I A Définition de l ensemble des nombres complexes : L ensemble des nombres complexes est un

Plus en détail

Cahier de vacances - Préparation à la Première S

Cahier de vacances - Préparation à la Première S Cahier de vacances - Préparation à la Première S Ce cahier est destiné à vous permettre d aborder le plus sereinement possible la classe de Première S. Je vous conseille de le travailler pendant les 0

Plus en détail

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2

Université de Tours Année Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 Université de Tours Année 2015-2016 Licence L1 de Mathématiques, Informatique et Sciences de la Matière - S1 CHAPITRE 2 NOMBRES COMPLEXES ET ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES (12 h) 1 Nombres complexes 1.1 Introduction

Plus en détail

Exercices de mathématiques

Exercices de mathématiques Exercices de mathématiques Exercice 1 Mettre sous la forme a + ib (a, b R) les nombres : + 6i 4i ; ( ) 1 + i + + 6i i 4i ; + 5i 1 i + 5i 1 + i Exercice Mettre chacun des nombres complexes suivants sous

Plus en détail

Terminale S - Nombres Complexes

Terminale S - Nombres Complexes Exercice - 1 Terminale S - Nombres Complexes Ecrire le nombre complexe z = 1 + i 3 sous sa forme exponentielle En déduire la forme algébrique de z 5 Exercice - 2 2iπ On pose ω = e 5 1 Calculer ω 5 et prouver

Plus en détail

TS Nombres complexes Cours

TS Nombres complexes Cours TS Nombres complexes Cours I. Le plan complexe 1. Définitions générales Théorème( admis ) Il existe un ensemble noté, appelé ensemble des nombres complexes qui possède les propriétés suivantes : contient

Plus en détail

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE

4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 4. NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE 1 Introduction. 1. 1 Justication historique. La résolution de l'équation du degré (par la méthode de Cardan) amena les mathématiciens italiens du seizième 3ème siècle

Plus en détail

9 Nombres. complexes. Sommaire CHAPITRE. Partie A (s14) 2

9 Nombres. complexes. Sommaire CHAPITRE. Partie A (s14) 2 CHAPITRE 9 Nombres complexes Sommaire Partie A (s14) 2 1 Rappels de première.................................................. 2 1.1 Forme algébrique 2 1.2 Forme trigonométrique 3 2 Forme exponentielle..................................................

Plus en détail

TS - Maths - Révisions Nombres complexes

TS - Maths - Révisions Nombres complexes TS - Maths - Révisions Nombres complexes Exercice 1 LIBAN 01 On considère la suite de nombres complexes z n définie par z 0 = i et pour tout entier naturel n : z n+1 = 1 + iz n. Les parties A et B peuvent

Plus en détail

1 Forme cartésienne, forme polaire

1 Forme cartésienne, forme polaire AMU 015-016 Licence MI 1ère année-s1 GÉOMÉTRIE ET ARITHMÉTIQUE Planche : Nombres complexes 1 Forme cartésienne, forme polaire EXERCICE 1 ( 3+6i Mettre sous la forme a+ib (a,b R) les nombres : 3 4i, 1+i

Plus en détail

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque

FONCTIONS. I Généralités sur les fonctions. Définitions. Remarque. Exercice 01. Remarque FNCTINS I Généralités sur les fonctions Définitions Soit D une partie de l'ensemble IR. n définit une fonction f de D dans IR, en associant à chaque réel de D, un réel et un seul noté f() et que l'on appelle

Plus en détail

9 page 333 du LIVRE : EXERCICE N 5 : Extrait de l épreuve du concours EFREI (mai 2010) ÉLÉMENTS DE RÉPONSE DES EXERCICES DU CHAPITRE 5.

9 page 333 du LIVRE : EXERCICE N 5 : Extrait de l épreuve du concours EFREI (mai 2010) ÉLÉMENTS DE RÉPONSE DES EXERCICES DU CHAPITRE 5. 1 FICHE : EXERCICE N 1 : 1. j = 1.. j = j. 1 + j + j = 0 et j = 1. EXERCICE N : 15 page du LIVRE : correction page 474 du livre. EXERCICE N : 6 page du LIVRE : z 1 = 1 + 1 i ; z = 7 + 7 i ; z = 4 5 + 5

Plus en détail