Gérard Debionne dimanche 20 mai Quasar 95. La Mesure de G. Présentation : 18 mai 2012

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1 Géad Debionne dimanche 0 mai 01 Quasa 95 La Mesue de G Pésentation : 18 mai 01 La mécanique céleste pemet de calcule les mouvements des planètes autou d une étoile en unités elatives. Pou avoi des valeus de distances ou de vitesses dans nos unités habituelles, il faut savoi mesue en laboatoie la constante G de la gavitation. Sommaie 1. Une constante qui s impose Pouquoi cette constante? Une pemièe appoximation pou G.... Les pemièes tentatives de mesue Exploitation des idées de Newton Heny Cavendish, un scientifique bien timide Le pincipe de la balance de tosion Un peu d histoie Le pendule et la balance de tosion : Quid du pendule simple? La pemièe mesue d Heny Cavendish Le dispositif expéimental de Cavendish Le ésultat de ses mesues Les successeus de Cavendish Les amélioations appotées pa Chales Venon Boys Les mesues modenes Amélioation du dispositif expéimental La constante G vaie-t-elle? ANNEXES Péiode du pendule de tosion Champs de gavitation et attaction de cops sphéiques poches L'intéêt de la éduction des dimensions du dispositif

2 1. Une constante qui s impose 1.1 Pouquoi cette constante? Dans les Pincipia Mathematica (1687), Newton postule que les cops s attient avec une foce F popotionnelle aux deux masses et invesement popotionnelle au caé de la distance. Newton donne donc la fomule bien connue et indépendante du temps, et qui allait à la fois explique les lois de Keple, mais aussi duant les 3 siècles suivants donne naissance à la mécanique céleste, une science aux ésultats d une pécision inégalée. Newton écivait peu de fomule et péféait expime les lois de la physique avec des mots Newton pale donc d une foce popotionnelle aux masses et invesement popotionnelle au caé de la distance. Pouquoi donc ne pas écie la fomule de Newton sous la fome M M F = d ² En penant comme unité la foce, celle qu exece une masse de 1 kg su une aute masse de 1 kg, située à 1 mète. 1. Cette fome de l équation est inacceptable pou les aisons suivantes : Une foce a une cetaine dimension, c'est-à-die qu elle s expime comme valant un cetain nombe de fois une «unité de foce», au même tite qu une vitesse, une masse ou une intensité électique. En écivant la loi de la dynamique en F=M Γ, on constate que cette dimension est Masse Longueu/Temps². Cette dimension n est pas celle du membe de doite de la fomule cidessus qui est Masse²/Longueu². La foce de Newton doit coesponde à la notion de poids, en appot avec la constante g=9.81 m/s² qui est l accéléation de la pesanteu. Ecie que g=m T /R T ², avec une valeu «acceptable» de la masse volumique de la Tee, même faible (700 kg/m 3 ) conduit à une valeu de g= Ce qui est inacceptable. Claiement, il faut donc compléte la fomule ci-dessus pa une constante ayant une dimension et une valeu numéique. On écia donc la loi de la gavitation ente masses sous la fome classique : M1. M F = G d². Reste bien sû à détemine cette constante G pa une mesue et à pécise le sens de la foce 1. Une pemièe appoximation pou G L expéience de masses de 1 kg sépaées de 0 cm met en évidence une foce quasiment impeceptible (de 5 G) et monte que G doit ête un petit nombe. Peut-on alle plus loin et quantifie le «petitesse» de G? On peut avoi une pemièe appoximation avec un pendule, une balance et une pelle. Imaginons donc une mesue effectuée au début du 18 ème siècle. La mesue de la péiode du pendule va nous founi apidement la valeu de l accéléation de la pesanteu, g=9.81 m/s². Un peu de calcul va nous donne simplement la elation ente g et G. Une masse de m=1 kg va ête attiée ves le cente de la Tee pa une foce (appelée le poids) qu on peut écie : m. MTee F = m. g = G. RTee On peut divise pa m (et donc evende la balance) et écie la elation simple :

3 M g = G. R Il este à estime la masse de la Tee. Pou cela, on va passe pa son volume et sa masse volumique moyenne, notée ρ. Appelons V le volume de note globe (V=4πR Tee 3 /3). Sa masse est : On en déduit la valeu de G : Tee Tee 4π. M Tee = ρ V = ρ 3 3. g G = 4πρ. R Tee 3 R Tee La mesue du ayon teeste est effectuée en 1670 pa Jean Picad (abbé, astonome, géodésien). Dès le début de 18 ème siècle, le ayon teeste est donc connu avec une bonne pécision. Eatosthène avait fait cette mesue 000 ans plus tôt avec envion % d eeu seulement. En evanche, la masse volumique moyenne est inconnue à la fin du 18 ème siècle. Tout au plus peut-on mesue ce paamète en suface et suppose qu il est plus impotant à gande pofondeu. Si l on aisonne en densité d = ρ/ρ eau, des mesues en suface, convenablement moyennées donnent envion d=3. Comme les métaux usuels atteignent une densité de l ode de 8 à 10, on peut en déduie que la densité moyenne de note globe doit se situe ente 3 et 7 envion. Avec ces deux chiffes extêmes, on en déduit un pemie encadement (avec R tee exact) < G < Un tel encadement est bon, mais la pécision déisoie. Heueusement, cette détemination n a pas couté gand-chose en expéimentation. Il faut l amélioe Ou plutôt egade comment ont pocédé les physiciens au cous des 3 denies siècles. Du petit calcul ci-dessus, on etienda aussi (R tee étant connu) que la connaissance de G est équivalente à celle de la Masse de la Tee ou à celle de sa densité moyenne. En epenant la fomule fondamentale, on touve facilement que G s expime dans le système MKSA en m 3 kg -1 s -. Si l on utilise le Newton (N) qui est une unité secondaie ou déivée, on expime G en N m² kg -. 3

4 . Les pemièes tentatives de mesue.1 Exploitation des idées de Newton Newton a imaginé deux méthodes pou mette en évidence la gavité et même mesue G. Pou mette en évidence la gavité et son attachement à l influence de la Tee, Newton imagine que la pésence de montagne doit petube localement la gavité. Il péconise donc des mesues pécises de g au voisinage des montagnes. Pou la mesue de G popement dit, il suggèe de mesue l attaction ente sphèes. C est l hydogaphe fançais Piee Bougue qui tentea los d une expédition avec Chales Maie de la Contamine, des mesues de veticales locales dans des égions montagneuses du Péou. Il en déduia des inhomogénéités de densité de la Tee, mais de façon puement qualitative. La mesue sea epise pa d autes en vue de détemine une valeu appoximative de la densité teeste moyenne. Pou la détemination de G à l aide de l attaction de sphèes, il fauda attende que les mesues de laboatoie et sutout que le matéiel pogesse. Une mesue avec sphèes, mais comment? La solution qui vient à l espit est la suivante : On dispose de deux sphèes métalliques de masses m, munie d un stylet. (voi dessin) On suspend une pemièe sphèe S 1 en un point P 1. Cette sphèe tace un point Q 1 au sol à la veticale de P 1. On etie S 1 et on installe S depuis P situé à la distance d de P 1. Les sphèes ont un ayon tel que <d. En pincipe, on a Q 1 Q =d. On installe ensuite les sphèes. Pa attaction, la distance Q 1 Q devait diminue légèement, d une quantité ε dont la mesue doit donne G Cela evient aussi à mesue le petit angle α=ε/l m Rtee Un calcul élémentaie donne : tgα = M ( d ε )² tee On note que dans cette fomule, la constante G a dispau, emplacée pa la masse de la Tee, ce qui est équivalent via la mesue de g et R tee. En appoximant la masse m (en plomb) pa πd 3 /6 et d-ε pa d, on obtient P 1 Q 1 d d-ε Q P L tgα Rtee d. = d M tee Penons d=0.5 m (c est aussi le diamète des sphèes) on touve en minutes : α min minutes. Avec un fil de L=100 m, on auait un décalage de 1 micon seulement pou chaque sphèe. Claiement, cette méthode manque de pécision. Pouquoi? Simplement pace qu on cheche à compae les attactions execées pa la Tee et la gosses sphèe su un même cops, la petite sphèe. 4

5 . Heny Cavendish, un scientifique bien timide. Heny Cavendish ( ) est issu de la haute aistocatie anglaise (Il est né à Nice ). Apès des études assez tenes à Cambidge, dont il sot sans diplômes, et se lance pa goût dans l étude des sciences. Duant vingt ans, il va vive en emite dans sa maison, ne communiquant avec ses domestiques que pa de bèves notes manuscites. La chance va ensuite lui souie ca en 1773, il héite d un oncle qui a fait fotune aux Indes. On a dit de lui qu il était : «le plus iche des savants et le plus savant des iches». Il va alos consace le este de sa vie à faie des études d abod su la chimie (composition de l ai, puis de l eau, découvete de l hydogène ). Ensuite, il va s intéesse à l électicité et au magnétisme en obtenant des ésultats honoables même s ils ne sont pas toujous publiés fomellement. Enfin, il s intéessea à la mécanique newtonienne, avec notamment un supebe tavail ( ) su la mesue de la constante G de la gavitation. De natuel tès timide, il publiea peu duant son existence, mais laissea à la postéité une masse impotante de notes pesonnelles qui esteont popiété de la famille duant 60 ans, mais que pesonne ne consultea. Il ejoinda néanmoins la «Royal Society» (académie des sciences) en Un de ses descendants fondea un laboatoie de Physique à Cambidge, dont le pemie diecteu, un cetain J. C. Maxwell, etouvea les manuscits et publiea ses tavaux à tite posthume, faisant de lui, l un des gands savants anglais du 18 ème siècle. 5

6 3. Le pincipe de la balance de tosion 3.1 Un peu d histoie Chales Augustin Coulomb ( ), spécialiste de l électostatique, fut l'un des pemies à utilise ce système de balance de tosion pou démonte que la foce électostatique ente deux sphèes chagées est en 1/R, il utilise une balance qui établit l'équilibe ente la foce électique et la foce de tosion. A la même époque, John Michell développe un instument capable de mesue l'attaction électostatique de petites quantités de matièes. John Michell envisage aussi d utilise cet instument pou mesue G. Son instument n'est pas pafaitement opéationnel et il meut avant de pouvoi acheve son pojet. A sa mot, l'appaeil est emis au évéend Fancis John Hyde Wollaston, pofesseu à Cambidge, qui n'appote pas de modification au montage ca il ne s»en set pas. C'est ainsi que Cavendish écupèe l'appaeil et le pefectionne afin de éalise ses mesues. La toute pemièe mesue de G commence donc gâce au tavail de John Michell dont Heny Cavendish écupéea le dispositif expéimental en l amélioant lagement ( ). Il va s écoule une longue péiode avant qu on tente d amélioe cette mesue. En 1895, c est Chales Venon Boys (1895), qui epis les mesues de Cavendish. Les astonomes savent se passe de la valeu pécise de G en utilisant des systèmes d unité tels que l unité astonomique, et aussi en utilisant comme constante fondamentale le poduit G.M tee ou G.M soleil. La mesue de G est tès délicate. Pa compaaison, souvenons-nous que Fizeau en 1849 mesua la vitesse de la lumièe avec pécision de 5% alos que Cavendish (sans le savoi!), ½ siècle aupaavant obtienda une pécision de 1.%. Pa la suite, pès d un siècle plus tad, Chales Venon Boys, epoduia les expéiences de Cavendish en montant que la miniatuisation du montage, pemet d'amélioe la pécision. Boys utilisait un petit mioi solidaie du fléau. De plus, du fait de l'utilisation de deux sphèes attactives, utilisées dans un sens et dans l'aute, un gain supplémentaie d'un facteu quate en ésultait. 3. Le pendule et la balance de tosion : Mais d abod, un pendule de tosion qu est-ce que c est? Le pendule de tosion est constitué d une bae (ou fléau) potant deux masselottes identiques, le tout suspendu à un fil métallique. Plus la bae est longue ou plus les masselottes sont pesantes, plus le système opposea de ésistance à la otation. Le coefficient qui mesue cette ésistance au mouvement de otation s appelle le moment d inetie (Noté J). Pou une bae homogène de longueu L et de masse m, ce moment d inetie est donné pa J=mL²/1. Petites sphèes pesantes Fil de tosion θ Suppot fixe du pendule Si on ajoute masselottes de masse M, aux extémités, le moment d inetie devient : J=mL²/1 +ML²/. Pou faie pivote le dispositif d un angle θ, il faut exece un couple Γ popotionnel à l angle : Γ = K.θ Rappelons qu un couple est le poduit d une foce pa une longueu, aussi appelée «bas de levie». 6

7 Cette elation est puement statique et linéaie. Avec un couple deux fois plus intense, on obtienda un angle deux fois plus impotant. Dans cet usage, on peut pale de «balance de tosion». C est l équivalent du pèse-lette à essot. Si on lâche le dispositif, il va oscille libement avec une péiode T donnée pa la fomule (voi Annexe) T J = π (en secondes) K Dans cet usage dynamique, on pale de «pendule de tosion». Il y a donc équations qui égissent le fonctionnement du pendule, l une statique, l aute dynamique. Claiement, la mesue de la péiode est aisée. Il en est de même du calcul du moment d inetie à l aide de la fomule donnée plus haut. En mesuant la péiode, on a donc K. Si maintenant, on cée un couple statique qui déplace légèement le bas d un angle θ, connaissant K, on sait en déduie le couple Γ =K.θ. Pa ailleus, si ce couple est poduit pa l attaction de masses connues, cette attaction va faie inteveni la constante de gavitation. Losque l angle est petit, il est possible de le double, en exeçant le couple d un coté puis de l aute. Pa ailleus, si l on accoche un petit mioi su la tige et qu on éclaie ce mioi, le faisceau incident est dévié d un angle θ, plus facile à mesue. Sphèe en o Céation du couple de appel : Sphèe en plomb Pouquoi des sphèes? Les masselottes utilisées sont des sphèes, les gosses masses attactives sont aussi des sphèes, généalement en plomb. Pouquoi? Tout simplement pace que pa aison de symétie, l attaction ente sphèes est donnée pa la fomule simple en GM.m/D² avec D, le distance ente les centes. Autement dit, la fomule est la même que pou deux cops ponctuels. Pou toute aute fome de cops, (des cubes ou des ellipsoïdes pa exemple), la fomule auait été juste à gande distance mais fausse à coute distance. (Voi en annexe la démonstation) Pouquoi de l o ou du plomb? L usage de ces métaux de fote densité (19.3 pou l o et pou le plomb), pemet, à masse constante, d avoi la distance minimum ente les sphèes, donc l attaction maximale. On note toutefois que le emplacement du plomb pa de l o 1 ne fait gagne qu un facteu 0.84 su la distance et 1.4 su l attaction. La pécision coûte donc tès che. Les physiciens d autefois aimaient die en pésentant leu tès fagile matéiel de mesue de G : Cette machine pemet de pese la Tee 1 Execice : Calcule la masse, puis le pix (hos fabication) d une sphèe en o de 50 cm de diamète. 7

8 3.3 Quid du pendule simple? La mesue de la péiode du pendule simple donne facilement la valeu de «petit g», l accéléation de la pesanteu. Hélas, cette valeu est fonction du poduit G M tee et non pas de G seulement. Rappelons que (en négligeant la foce centifuge), on a : M g = G. Tee R² Cette elation monte bien que le poduit G M tee est facilement accessible via la mesue de g mais que la connaissance de chacun des temes nécessite une aute mesue. Attention : Ne pas confonde g et G 8

9 4. La pemièe mesue d Heny Cavendish 4.1 Le dispositif expéimental de Cavendish Cavendish n'a pas pou but initial de détemine la valeu de la constante de gavitation univeselle. Il veut calcule la densité moyenne de la Tee, ce qui est à l'époque une des gandes péoccupations. Pou éalise ces mesues, il va utilise une balance de tosion. On l a dit, Cavendish écupèe l'appaeil de John Michell et le pefectionne afin de éalise ses mesues. La igueu et la pécision qu'il appote à ce montage sont emaquables pou l'époque et vont lui pemette d'obteni des ésultats qui ne seont sensiblement amélioés qu un siècle plus tad. Examinons en détails le dispositif expéimental dont le pincipe a été appelé plus haut. Cavendish emaque d abod que le système est sensible à de nombeux facteus extéieus tels que la tempéatue, les vibations, les couants d ai etc Il va donc enfeme l ensemble du dispositif dans une double enceinte. L une en maçonneie pou l ensemble du dispositif et l aute, plus petite en bois pou enfeme le pendule de tosion avec ses deux petites masses sphéiques, les gosses sphèes estant à l extéieu. Le fléau (ou bas) du pendule est une baguette en bois de m, tès légèe et haubanée pa un câble pou la ende igide. Sphèe mobile Pb 0.74 kg Fil de tosion Boite en acajou Sphèe fixe Pb 160 kg Enceinte isolée Lunette de visée Lunette de visée Dispositif expéimental de Heny Cavendish Le fléau hoizontal est suspendu, pa un fil de tosion d envion 1 mète, en cuive agenté, maintenu à l'extémité du fléau hoizontal et fixé au plafond. Les gosses sphèes en plomb de 30 centimètes de diamète pèsent 160 kg chacune et sont fixes. Elles sont positionnées à l'extéieu de du coffet en bois. L ensemble du système est manipulé pa des palans, que l'on peut actionne de l'extéieu, pemettant la modification de la position des gosses sphèes. Un système d éclaiage extene (à base de bougies!) complète le dispositif. Pou détemine l'angle de otation du fléau, Cavendish faisait une mesue du déplacement d'une des extémités du fléau à l aide d une lunette Afin de se ende compte de la difficulté de la mesue, il est utile de calcule la foce execée. La distance mini des sphèes est (30+5)/=17.5 cm, qu on peut aondi à 0 cm puisque les sphèes ne se touchent pas. En utilisant la valeu actuelle de G, on touve, pou chaque paie de sphèes, une foce F = /0.² = N Pou chaque couple de sphèes, cette foce est équivalente au poids d une masse de 0.0 milligammes (0µg)! 9

10 L angle de otation est mesué à l aide d un petit venie fixe, obsevé à la lunette. Pou amélioe la pécision, il fait une pemièe mesue, puis il déplace les gosses sphèes de façon symétique, ce qui double l angle à mesue. Cavendish éalise deux séies de mesues avec des fils de tosions de difféents diamètes. Pou le pemie, il obtient une péiode de 15 minutes et pou l aute de diamète plus fot une péiode de 7 minutes. Ces péiodes (expimées en secondes) donnent la constante K si l on connaît J. Ces mesues mettent en jeu des foces tès faible et nécessite beaucoup de soin pou obteni un ésultat acceptable. Cavendish doit faie face à des petubations extenes telles que les vibations du sol. Cavendish est aussi gêné pa difféents effets themiques induits pa la tempéatue des difféents éléments et en paticulie, les gosses sphèes de plomb. Ces effets themiques povoquent de petits couants d ai qui petubent les mesues. Cavendish doit enfeme le pendule dans une boite en bois de taille minimale. Cavendish effectuea de nombeuse mesues dont qu il taite statistiquement pou amélioe la pécision. Les aisons du succès de cette mesue : Contaiement aux mesues des sphèes suspendues, cette mesue ne fait jamais inteveni la masse se la Tee, ni son ayon. Elle ne epose que su la mesue d une foce d attaction tès faible ente deux cops, et cette foce n est pas un poids mais le appel d une sote de essot. Elle povient aussi du double usage du pendule, utilisé à la fois pou mesue un couple, puis comme un oscillateu dont la péiode est diectement liée à l intensité du couple. 4. Le ésultat de ses mesues Cavendish apès de nombeuses mesues obtient valeu de la constante de la gavitation univeselle. En unités actuelles, le ésultat est : G= N.m.kg -. Cette valeu est emaquable pou l époque puisqu elle se diffèe de la valeu admise aujoud hui, soit N.m.kg -, que de 1.% Au passage, il en déduit la masse de la Tee avec la même pécision, ainsi que sa densité (5.48) qui s avèe supéieue à ce qu on imaginait à l époque. Cuieusement, le ésultat mis en avant sea la densité moyenne de la Tee et non pas le ésultat bien plus fondamental qu est la valeu de G. 4.3 Les successeus de Cavendish Au début du 19 ème siècle, en Euope, plusieus physiciens ont epis les mesues de Cavendish, toujous pou détemine la densité moyenne de la Tee, avec une balance de tosion. Citons Fedinand Reich ou encoe Alfed Conu. Un aute physicien, Philipp Von Jolly méite qu on le mentionne. Il imagina et mis en œuve une méthode pou mesue g avec une balance de pécision, donc sans faie appel au pendule simple. Pou cela, il suspendit des masses à sa balance en faisant vaie la longueu des fils et en utilisant le fait que la pesanteu vaie en 1/R², donc que le poids d un cops vaie en fonction de la longueu du fil. Le véitable successeu de Cavendish est un physicien anglais, C. V. Boys qui pefectionna sensiblement le dispositif de Cavendish. 10

11 5. Les amélioations appotées pa Chales Venon Boys Pès d un siècle s est écoulé depuis les mesues de Cavendish. La mécanique céleste est alos à son apogée. Contaiement à Cavendish, C. V. Boys ne désie pas mesue la densité de la Tee mais il considèe comme capitale la détemination de la constante G de gavitation univeselle. Citons cette phase : "Etant donné le caactèe univesel qui s'attache à la constante G, il me semble que c'est descende du sublime au idicule que d'annonce les expéiences dont je vais pale comme étant destinées à mesue la masse de la Tee ou encoe, avec moins de pécision, le poids de la Tee." Il utilise le même pincipe que celui utilisé pa Cavendish. Au paavent, il étudie l influence de tous les paamètes su la pécision. En examinant les caactéistiques du fil de tosion, il emaque que plus la constante de tosion K est petite plus l'angle de tosion est gand. O K vaie avec le diamète à la puissance quate. Pa ailleus, il faut aussi que ce fil soit assez ésistant pou suppote les masses. Il en déduit l'avantage qu'il y a à éduie les dimensions du dispositif. Bien que cette modification entaîne une diminution de la foce et pa conséquent des couples que l'on cheche à mesue, elle va pemette d'obteni un angle de otation plus gand et donc une mesue plus pécise. C. V. Boys va se lance avec succès dans la éalisation de fils de quatz tès fin. Pa ailleus, Boys note un défaut dans le dispositif de Cavendish : les inteactions gavitationnelle ente les sphèes. On a epésenté en ouge les foces que Cavendish a pises en compte. A ces foces, il faut ajoute les foces paasites (en vet) Sphèe en o Sphèe en plomb Ces foces paasites sont faibles mais non négligeables. Pou éduie ces foces, Boys va place les paies de sphèes qui s attient à des hauteus difféentes. Fil de tosion en quatz Mioi. Dispositif mis au point pa C. V. Boys (On a pas epésenté le système de visé pa lunettes) Sphèe fixe de plomb o Enceinte vide d ai 11

12 Le dispositif, constitué des petites sphèes en o de.7 gammes et du fil de tosion, est placé dans une enceinte laiton dans laquelle on fait un vide patiel. Les deux gosses sphèes de 7.5 kg sont manipulées de l extéieu via un système de poulies et de codages. Un petit mioi fixé su le fléau pemet de mesue un angle de déviation d un faisceau lumineux, double de l angle de otation éel. Le fléau est suspendu pa un fil d envion 1 mète. Les mesues se font à distance à l aide de lunettes de visée. L ensemble du dispositif est installé dans un labo souteain du Claendon Laboatoy à Oxfod. Malgé ces pécautions, le dispositif est tès sensible aux vibations extenes. Les mesues sont éalisées la nuit ou le dimanche. On aconte que les meilleues mesues ont été effectuées duant une gève des mineus qui avait entainée l aêt des tains dans la égion. Un jou, Boys constate des ésultats abeants. Il appenda bien plus tad que la petubation povient d un temblement de tee en Roumanie. Boys constate aussi que le système est sensible à la tempéatue et il doit attende jusqu à tois jous pou avoi des conditions themiques appopiées. Apès bien des effots, Boys touve finalement une valeu de la constante de gavitation univeselle (en unités actuelles) : G= 6,663 ± 0, m 3 kg -1 s -. Il confime ainsi la valeu déduite des mesues de Cavendish et monte l'intéêt qu'il y a à diminue les dimensions du dispositif. On touvea en annexe une démonstation de l intéêt qu il y a à diminue le diamète du fil, donc la constante de tosion. En epenant la valeu de G touvée pa Boys, on peut détemine la valeu de la foce ente les sphèes attactives : F = N. Les conditions d'équilibe étant les mêmes que celles définies pou la mesue de Cavendish, Boys obtient un angle de tosion de 0.7, alos qu'avec le dispositif de Cavendish, on auait obtenu un angle de Il y a donc un gand intéêt à diminue les dimensions. Boys, valide donc les ésultats de Cavendish, et en paticulie la masse de la Tee et sa densité moyenne. Il détemine une valeu de la constante de la gavitation univeselle avec une gande pécision et conclut que la densité moyenne de la Tee est de

13 6. Les mesues modenes 6.1 Amélioation du dispositif expéimental Depuis la pemièe mesue éalisée pa Cavendish, puis celle de Boys, la technique n'a jamais cessé d'ête amélioée, tout en utilisant le même pincipe de base. En 194, P. R. Heyl éalise la pemièe mesue dite modene. Pou cela, il détemine la péiode du pendule de tosion pou deux positions difféentes des deux gosses masses attiantes. En 1969, une nouvelle mesue est faite pa R. D. Rose. Un dispositif pemet de faie toune le point d accochage du fil de tosion. Les deux gosses masses tendent à déplace le fléau du pendule de tosion. On obtient ainsi un dispositif qui compense le mouvement du fléau. Au cous des 40 denièes années, de nombeuses mesues ont été éalisées, sans pou autant amélioe la valeu de G dont le 4 eme chiffe significatif (autou de 3) est toujous sujet à discussion. Année, éféence G (en m 3 kg -1.s - ) 1976 : UAI : UAI 006 : UAI, IERS 010 : H. Paks, J. Falle Les mesues écentes ont monté que cette constante est bien indépendante de la distance des masses. Pa ailleus, il faut note que la faible pécision de G ne pose pas de poblèmes aux astonomes dans la mesue où en généal, ce n est pa G mais le poduit G.M qui est utilisé pa les astonomes, M étant soit la masse du Soleil, soit celle de la Tee. Les constantes G.M S et G.M T sont connues avec 10 décimales. Exemple : G.M T = m 3.s - (IERS 199) 6. La constante G vaie-t-elle? L'idée de dépat vient de l'hypothèse des gands nombes que Paul Diac a énoncée en 1937, epenant en cela les idées d Eddington. Ainsi, il emaque que pou des paticules élémentaies de masse m et de chage e, le appot ente une foce électique et une foce gavitationnelle est égal à un nombe sans dimension de l'ode de Il n'est pas facile de constuie un nombe sans dimensions aussi gand, en utilisant des gandeus physiques éelles. Diac éussit à obteni un tel nombe en faisant le appot de deux quantités physiques : o Le temps que la lumièe met pou pacoui le diamète d'un électon o Le temps le plus long que l'on sache imagine, l'âge de l'unives. Cette coïncidence numéique donne une expession eliant les constantes fondamentales ainsi que l'âge de l'unives, qui, pa pincipe, vaie au cous du temps. Il en ésulte qu au moins une des constantes fondamentales devait vaie. Selon Diac, La chage élémentaie e est bien définie, de même que la masse m d un électon. Il en déduit que c ou G sont susceptibles de vaie au cous du temps. La valeu de c imposant top de emises en cause, il pense donc que c'est G que l'on peut considée comme vaiable. G seait alos invesement popotionnel à l'âge de l'unives. Il est clai que cette idée n a jamais fait l unanimité chez les physiciens Cependant, compte tenu de l immense pestige de son auteu, cette idée a été mainte fois discutée. 13

14 7. ANNEXES 7.1 Péiode du pendule de tosion Considéons un cops solide constitué de masses m i situées aux points M i. On appelle moment cinétique d un cops solide pa appot à un point fixe O, le vecteu : σ = Σ OM i p(m i ) avec p(m i ), la quantité de mouvement de ma masse attachée au point M i p(m i ) = m i v(m i ) La déivée de σ pa appot au temps, donne : v dσ dt = v pi + i i i OM i d dt p i Le pemie teme est nul ca v i et p i sont colinéaies, le second (loi de la dynamique) est la somme des moments des foces. On a donc appliquées à chaque point M i : v dσ = OM Fi = Γ dt i Recalculons maintenant σ en tenant compte du fait que les points M i d un cops en otation ont une vitesse donnée pa : v(m i )= ω OM i Le vecteu otation ω étant commun à tous les points du solides. σ = Σ m i.om i (ω OM i ) dθ Supposons l axe de otation fixe et posons (u étant un vecteu unitaie) ω = u. ω = u. dt Le double poduit vectoiel devient : dθ dθ σ = Σ mi.om i (u OM i ) = {u. Σ mi.(om i )²- Σ m i. OM i (u.om i )} dt dt On choisit l oigine O au cente de gavité du cops. Losque, les points M i du cops sont tels que u.om i = 0, le moment pend la fome simple : dθ σ = u Σ mi.(om i )² dt La quantité J = Σ m i.(om i )² est le moment d inetie. Au final, on a donc : dσ v = Γ = u.j. dt i Appliqué au pendule de tosion, pou lequel le fil de tosion exece un couple de appel en -Kθ, on a donc l équation difféentielle : i d ² θ dt² d² θ J. + K. θ = 0 dt² Cette équation a une solution en (A et α étant constantes abitaies) : 14

15 K θ(t) = A. cos. t α J Soit un mouvement altenatif avec une péiode T donnée pa : T = π J K 15

16 7. Champs de gavitation et attaction de cops sphéiques poches Dans cette section, on appelle le calcul du champ d une sphèe, puis le calcul de l attaction ente sphèes poches. Ce calcul justifie l emploi de deux sphèes métallique homogènes pa la simplicité de la fomule utilisée pou calcule leu attaction. Soient deux cops sphéiques de ayons a 1, a. Chaque cops obite dans le champ de gavitation de l aute. On suppose que les cops sont igides et de densité ρ 1, ρ, fonction seulement de la distance au cente. Pa aison de symétie, le cops (1) cée un champ de gavitation E qui véifie patout l équation de Poisson : dive = -4πG.ρ 1. Ce champ E est à symétie centale autou de O 1. L application du théoème de Gauss (fomule intégale de la divegence) au pemie cops donne, compte tenu de sa symétie, le champ de gavitation E généé pa le cops (1) et dans lequel baigne le second cops () : On applique le théoème de la divegence à une sphèe de ayon >a 1. div( E). dv = 4π. G. m = E.ˆ n ds = E( ) 4π. ² D où : (1) M m E() = -u ² 1. Sphèe. 1, =O 1 P Ce champ E est à symétie centale autou de O 1 et pou >a 1, le champ en un point P est donné pa : Le vecteu unitaie u étant adial depuis O 1. Pa définition, un fagment du cops () de masse δm situé au point P subit une foce d attaction : δf = E.δm a 1 E P O 1 O a Pou obteni la foce d attaction totale, il faut somme toutes les foces élémentaies elatives à l ensemble des masses δm du cops (). Pa aison de symétie, on sait déjà que le vecteu epésentant la foce est poté pa la doite O 1 O. Pou calcule cette somme, on décompose le cops () en coquilles sphéiques de ayon t (0<t<a ) et d épaisseu δt. Ensuite, chaque coquille est à son tou décomposée en bandes ciculaies. P δt P α O 1 D O Bande ciculaie de ayon t.sinθ θ t O 1 δψ Bande ciculaie de ayon t.sinθ Nota : La masse volumique des cops est fonction de seulement. La contibution d un élément de volume δv=δt (t.δθ) (t.sinθ.δψ) est, en tenant compte de la pojection de la foce d attaction su l axe O 1 O : 16

17 δf(δv) = cosα m 1.G (δv.ρ (t))/² Il est facile de somme su l angle ψ, ce qui donne un volume : Et la foce coespondante δv=δt (t.δθ) (t.sinθ.π) δf(δv) = cosα m 1.G (δt (t².δθ) (sinθ.π).ρ (t))/² Pou exploite cette expession, il faut elie D, et θ Pou cela, on écit pou le tiangle O 1 O P : Soit en difféenciant pa appot à & θ : ²= D²+t²-tDcosθ.d = td.sinθ.dθ Pa ailleus, on a cosα = (D-t.cosθ)/ et t.cosθ = (D²+t²-²)/D, soit encoe, La foce δf(δv) devient : cosα = D² + ² t² 3 D. Soit encoe, en emplaçant sinθ.δθ pa δ/(td) D² + ² t² D. δf(δv) = G m π ( t². ρ ( t). δt) ( sinθ. δθ ). 1 D² + ² t² D². δf(δv) = G m π ( δ) ( t. ρ ( t). δt). 1 Il est maintenant possible d intége su le volume V c d une coquille pou un ayon t constant. L intégale est élémentaie, on touve : On a donc, G. m D² D+ t 1 D² + ² t² D t δf(δv) = ( π. t. ρ( t). δt) D I = + t D² t² 1 1 ( 1+ ) d = t - (D²-t²) D t = t -(D-t) + (D+t) = 4t D + t D t G. m 1 D² δf(δv c ) = ( 4π. t². ρ( t). δt) Le teme 4πt² est la suface de la coquille et 4πt².δt est le volume δv c de la coquille. Pou obteni la foce chechée, il este à intége la paenthèse su le ayon t, ente 0 et a, ce qui donne simplement la masse m. La foce d attaction ente les deux cops est donc bien, comme si les deux cops étaient ponctuels : F = G m1. m D². Cette fomule, exacte pou D>a 1 +a, simplifie considéablement les équations de la mécanique céleste. On note que la poximité des cops n intevient pas alos que pou D petit, le second cops baigne dans un champ fotement inhomogène. d 17

18 7.3 L'intéêt de la éduction des dimensions du dispositif Considéons l équilibe de la balance de tosion. D un coté l attaction des sphèes et de l aute le couple du fil de tosion popotionnel à l angle. L'égalité ente les deux moments s'écit, avec L la longueu du fléau et D la distance ente les sphèes qui s'attient et θ l'angle de tosion du fil de suspension : K.θ = G. mm D² M. L On peut calcule la péiode (ou son caé T²) d'oscillation à pati du moment d'inetie J et de la constante de tosion K : T²=4π J/K C'est-à-die, si on assimile le moment d'inetie J à celui des deux petites sphèes (on néglige alos la masse du fléau) : On déduit l'angle de otation théoique : K= π ml /T θ = G. M. T ² π ². LD² On constate que, plus la péiode est gande plus l'angle θ est gand. Le fait de diminue les dimensions entaîne une diminution de la constante de tosion K, ca elle est popotionnelle au diamète à la puissance quate. On note aussi que la masse m s élimine du calcul de θ. Pende de petites masses m pemet d utilise un fil plus fin, ce qui augmente la péiode, donc l angle. On note aussi que le fait de pende une petite sphèe diminue la distance D, ce qui conduit aussi à augmente l angle θ. 18