Electonique 8 Notes de cous 1 Géad Hincelin RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE... I. INTRODUCTION... II. DOULET ELECTROSTATIQUE... II.1 Equation de Poisson... II. Potentiel céé pa une distibution de chages... II. Potentiel et champ du doublet électostatique.... III. CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN COURANT... 5 III.1 Potentiel vecteu... 5 III. Champ magnétique céé pa un élément de couant (fomule de IOT et SAVART)... 6 IV. POTENTIEL ET CHAMP DU DOULET DE HERTZ... 8 IV.1 Potentiel etadé... 8 IV. Induction magnétique... 9 IV. Champ électique... 9 V. RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE... 11 V.1 Champ poche ou quasi-stationnaie... 11 V. Champ lointain : l onde TEM... 11 V. Puissance aonnée... 1 VI. CARACTERISTIQUES DES ANTENNES... 14
Electonique 8 Notes de cous Géad Hincelin RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE I. INTRODUCTION L antenne d émission constitue l inteface ente l onde guidée et l onde qui se popage en espace libe. La puissance émise pa le généateu est généalement tansmise à l antenne pa une ligne de tpe coaiale ou un guide d ondes. Récipoquement, l antenne de éception collecte l énegie d une onde se popageant dans l espace. Le doublet de HERTZ est constituée d un conducteu ectiligne pacouu pa un couant altenatif de féquence ν, dont la longueu L est tès inféieue à la longueu d onde dans le vide λ =c/ν. Cette antenne élémentaie, pafois pise comme souce de éféence, pemet de calcule le champ aonné pa des antennes filaies (de longueu plus gandes) considéées comme une succession d éléments dont chacun constitue un doublet. Le aonnement d un doublet (ou aonnement dipolaie) joue un ôle dans de nombeu phénomènes de la phsique. II. DOULET ELECTROSTATIQUE II.1 Equation de Poisson Les équations de base de l électostatique et de la magnétostatique se déduisent des équations de Mawell, à condition d annule les tenes dépendant du temps. Nous avons monté qu une chage électique fie Q suffit à cée un champ électique et un potentiel V, qui se déduisent des équations de base : ρ Loi de Gauss :. E = (.1) ε Le champ électique déive d un potentiel : E = V (.) ρ En combinant ces deu équations, il vient. ( V ) =. En notant. ( V) = V (ou ε laplacien), on obtient l équation de Poisson : ρ V = (.) ε V V V ρ qui s écit, pa eemple, en coodonnées catésiennes : + + = ε L intégation de l équation (.), etêmement difficile dans le cas généal, pemet de calcule le potentiel électostatique V(,,) connaissant la distibution de chages ρ(,,). Le champ électique se déduit ensuite du potentiel en appliquant la elation (.)
Electonique 8 Notes de cous Géad Hincelin II. Potentiel céé pa une distibution de chages Chechons une solution de l équation (.) dans le cas paticulie où la chage est localisée dans un volume fini v. Pou cela, considéons tout d abod une chage ponctuelle Q, située à l oigine des coodonnées. On sait que le champ électique ne possède en coodonnées sphéiques (, θ, ) qu une composante adiale E, qui vaut à la distance de la chage (voi leçon 1) : Q E = ε (.4) En supposant que le potentiel est nul à l infini, on a monté que le potentiel V() au point a pou valeu: Q V() = Ed = (.5) ε Dans le cas d une densité de chages statiques ρ(,,), localisées dans un volume v (cas d une chage non ponctuelle), on peut considée que chaque élément de volume dv = ddd, contenant la chage élémentaie dq = ρ(,,) dv, (donc considéée comme ponctuelle) céé au point M de coodonnées (X, Y, Z) le potentiel élémentaie dv donné pa : 1 ρ (,, ) ddd dv = (.6) ε ( X) + ( Y) + ( Z) Les équations étant linéaies, le potentiel total céé au point M est égal à la somme de toutes les contibutions, soit : 1 ρ (,, ) ddd V = ε (.7) volume v X + Y + Z ( ) ( ) ( ) C est une solution paticulièe de l équation de Poisson. II. Potentiel et champ du doublet électostatique. Le doublet électostatique est constitué de deu chages ponctuelles au epos, de signes opposés +Q et Q et distantes de a. En coodonnées sphéiques (, θ, ), on obtient le schéma suivant. Les chages étant alignées le long de l ae O, le poblème est indépendant de l angle (smétie de évolution autou de l ae O). M E V = 1 V Eθ = θ θ 1 + Q a - Q a cosθ
Electonique 8 Notes de cous 4 Géad Hincelin Le champ électique ésultant E au point M est la somme vectoielle des champs céés en ce point pa chacune des chages. Le calcul diect de E en chaque point de l espace est donc difficile. Il est plus simple de calcule le potentiel, qui est un scalaie, puis d en déduie les composantes du champ E pa déivation. Calcul du potentiel : Il est égal à la somme algébique des potentiels céés pa chacune des deu chages, ce qui s écit avec les notations de la figue : Q 1 1 Q 1 V = = (.8) ε 1 ε 1 Losque le point M est situé loin du doublet ( >> a), on peut faie les appoimations suivantes : 1 " acosθ et 1 " (.9) d où Qa cosθ V " (.1) ε Calcul du champ électique : En coodonnées sphéiques, les composantes du champ électique ( E = V ) s écivent : V Qacosθ E = = (.11) πε 1 V Qasinθ Eθ = = (.1) θ ε 1 V E = = (.1) sinθ Les coodonnées étant celles de la figue 1, les coubes équipotentielles dans un plan contenant le dipôle sont epésentées en pointillés (les sufaces sont obtenues pa une otation autou de l ae vetical, ou ae du dipôle) : Le potentiel passe pa un etemum dans l ae du dipôle (positif ves la chage >, négatif ves la chage < ). Les lignes de champ électique sont en tout point pependiculaies au sufaces équipotentielles, le champ étant comme toujous oienté du potentiel le plus élevé ves le potentiel le plus faible. ae du dipôle équipotentielles lignes de champ électique
Electonique 8 Notes de cous 5 Géad Hincelin III. CHAMP MAGNETIQUE CREE PAR UN COURANT III.1 Potentiel vecteu Les équations de la magnétostatique s écivent : Loi de Gauss :. = O Loi d Ampèe : H = J. = La divegence de étant nulle, on utilise l identité vectoielle : ( A) (.14) (.15) (la divegence du otationnel est nulle), pou défini le potentiel vecteu A : = A (.16) Tansposons dans la seconde équation : A= µ J (.17) Développons le double poduit vectoiel d apès la ègle : A C = ( AC. ) ( A. ) C, ce qui donne : A= (. A) ( ) A= µ J (.18) Ce que l on décompose en deu équations qui doivent ête satisfaites simultanément : A= µ J (.19). A = (.) La pemièe équation (.19) a une fome identique à l équation de Poisson, mais pote su des vecteus. Elle conduit en fait à écie tois équations, une pou chaque composante : on écia pa eemple en coodonnées catésiennes, pou la composante J du couant : A A A + + = µ J (.1) et deu équations pou les composantes J et J. La seconde équation (.) est une condition de Jauge qui s écit en coodonnées catésiennes : A A A + + = (.) Cette condition pemet de détemine les valeus des constantes d intégation. Etant donnée une distibution des lignes de couant, caactéisée pa le vecteu J (de composantes (J, J, J ), le potentiel vecteu A en un point M de coodonnées (X, Y, Z) se calcule en intégant l équation (.19). On emaque que cette elation est fomellement identique à l équation de Poisson de l électostatique, pou laquelle nous venons de donne une solution dans le cas où le second membe est une distibution de chages (ici de couant) localisée dans l espace : J emplaçant ρ et µ emplaçant 1 ε, la composante A du potentiel vecteu s écit d apès l équation (.7) A µ = J (,, ) ddd ( X) + ( Y) + ( Z) (.) volume v La composante A ne dépend que de J. Les composantes A (qui ne dépend que de J ) et A (qui ne dépend que de J ) sont données pa deu équations similaies. Le volume d intégation v s étend à toute la égion tavesée pa le couant.
Electonique 8 Notes de cous 6 Géad Hincelin III. Champ magnétique céé pa un élément de couant (fomule de IOT et SAVART) Considéons un fil conducteu ectiligne de longueu infinie, de section S, pacouu pa un couant constant et unifome de valeu I. Isolons un petit élément du conducteu de longueu finie centé su l oigine des coodonnées, comme indiqué su la figue suivante, et calculons le potentiel vecteu céé pa le seul élément en un point M situé à l etéieu du conducteu, ce qui evient à néglige pou le moment l action du couant qui tavese le este du conducteu. S X M Y Z 1 P I Le vecteu J I a pou composantes J = J = ; J =, J étant supposé constant en S tout point du conducteu. Le point M de coodonnées (X, Y, Z) est suffisamment loin du conducteu, pou que l on puisse admette pou tout point P (coodonnées,, ), du petit volume d intégation l appoimation : X " X; Y " Y; Z " Z L équation (.) pemet alos d écie pou l unique composante A : A µ I ddd µ I " = (.4) S 4 v X + Y + Z π X + Y + Z et A = A = ca J = J = Le champ magnétique donné pa la elation (.16) = A a pou composantes en coodonnées catésiennes : A A µ I Y = = Y Z X + Y + Z ( ) A A µ I = = Z ( ) X X + Y + Z X (.5) (.6) A A = = X Y (.7)
Electonique 8 Notes de cous 7 Géad Hincelin Les coodonnées sphéiques (, θ, ) sont mieu adaptées au poblème. Posons (voi la figue ci-dessous) : X = sinθ cos et Y = sinθ sin θ A M Sens de donné pa la ègle du «tie-bouchon» I On en déduit : µ I sinθ sin sin µ I = sinθ cos = cos = = Ce qui monte que le champ magnétique ne possède qu une composante ciculaie (pas de composante adiale ), qui a pou epession : µ I sin = θ (.8) Le sens du champ magnétique est donné pa la ègle du tie-bouchon : ce denie pogesse dans le sens du couant en tounant dans le sens de l induction (ou du champ) magnétique. Le vecteu est pependiculaie au plan qui contient l ae O et le vecteu = OM, la elation (.8) peut alos se mette sous la fome vectoielle : µ = I (.9) Le vecteu étant oienté dans le sens du couant. C est la fomule de IOT et SAVART (pemièe moitié du XIX é siècle). On peut l écie sous fome difféentielle, pou d : µ d = Id
Electonique 8 Notes de cous 8 Géad Hincelin IV. POTENTIEL ET CHAMP DU DOULET DE HERTZ IV.1 Potentiel etadé Considéons maintenant le cas où l élément conducteu = a, centé su l oigine des coodonnées, est pacouu pa un couant altenatif de pulsation ω de la fome : I = I ep( jωt) (.) a S P 1 da X M Y Z vitesse c I = I ep( jωt) Le vecteu densité de couant ne possède, comme pécédemment, qu une composante I I = ep( jωt) ( I = I = ). L élément de volume dv = ddd entouant le point P, cée S au point M un potentiel vecteu élémentaie da, mais du fait que le signal émis au point P se popage dans le vide à la céléité de la lumièe c, la valeu du potentiel au temps t est donnée pa la valeu du signal au temps t /c. Le potentiel etadé s écit donc : µ da () t = I (,,, t c) ddd ( X) + ( Y) + ( Z) (.1) Dans le cas où la distance est gande devant a et devant le diamète du conducteu, il appaaît plusieus simplifications : 1 = X + Y + Z " X + Y + Z = Le etad /c peut ête considéé comme constant (indépendant de la position du point P) On peut pose ( ) ( ) ( ) Les équations étant linéaies, la potentiel A est simplement la somme étendue à tout le volume v = as de tous les effets élémentaies, ce que nous écions : µ I ep jω ( t c) A () t = ddd S (.) v Le couant étant supposé unifome (indépendant de, et ), le teme I sot de l intégale, qui ne pote plus que su le volume ( ddd = as On obtient finalement : ). v µ Ia A () t = ep jω ( t c) (.)
Electonique 8 Notes de cous 9 Géad Hincelin IV. Induction magnétique Le champ magnétique se déduit du potentiel vecteu, pa application de la elation : = A Comme pécédemment, ses composantes s écivent en coodonnées catésiennes : A A A = = = sinθ sin (.4) Y Y A A A = = = sinθ cos (.5) X X A A = = (.6) X Y X Y Ces équations montent que l induction magnétique possède uniquement une composante ciculaie qui s écit (voi la figue) : A = sinθ (.7) Déivons A, elation (.), pa appot à et epotons l epession dans la elation (.7) pou obteni : A Ia µ ω sinθ 1 j sinθep = = jω t + c c (.8) IV. Champ électique Le couant qui cicule dans le petit conducteu de longueu a doit nécessaiement s annule a en =± (à l etémité du conducteu). L équation de continuité électique implique donc qu il ait en ces deu points accumulation de chages de valeus + Q et Q. Pa définition dq = Idt, on en déduit : I Qt ( ) = Idt= I ep( jωt) = ep( jωt) (.9) jω Ce qui monte que la chage qui oscille à la pulsation ω est déphasée de π/ pa appot au couant : au cous de l altenance positive du couant, il a accumulation de chages positives à l etémité supéieue du conducteu. Losque la chage est maimum, le couant s annule et change de sens pou tanspote les chages positives ves l aute etémité. L eistence de chages au etémités du conducteu constitue un dipôle électique qui cée un champ électique. On peut die également que le champ magnétique vaiable induit un champ électique dans l espace. Ces champs sont liés ente eu pa l équation de Faada Mawell. En tenant compte du fait qu il n a pas de couant de conduction dans le vide et en epimant le couant de déplacement pou un champ hamonique, on peut écie : D H = Ic + = jωεe (.4) t 1 soit : E = ( H ) (.41) jωε
Electonique 8 Notes de cous 1 Géad Hincelin Du fait que les composantes H et H θ sont nulles, il est tout indiqué d utilise les coodonnées sphéiques (, θ, ). On touve dans les fomulaies l epession du otationnel, u, uθ, u étant des vecteus unitaies : 1 ( H sin θ ) H 1 1 H ( H ) 1 ( H θ θ ) H H = u + uθ + u sinθ θ sinθ θ D où l on tie les epessions des tois composantes du champ électique : 1 1 ( H sinθ) H 1 1 ( H sinθ) θ E = = (.4) jωε sinθ θ jωε sinθ θ 1 1 1 H ( H ) 1 ( H ) Eθ = jωε sinθ = (.4) jωε 1 1 ( Hθ ) H E = = (.44) jωε θ Rappelons que les composantes de E et H sont les amplitudes complees, indépendantes du temps. Nous écions donc le champ magnétique sous la fome : Ia H = ( 1+ jβ) sinθ ep( jβ) (.45) ω en posant comme d habitude pou la constante de popagation : β =. c On touve apès quelques calculs et en éintoduisant le temps dans les epessions des champs : Ia H = ( 1+ jβ) sinθep j( ωt β) (.46) ηia 1 E = 1 cos ep j + θ ( ωt β) π jβ (.47) jηβ Ia 1 1 Eθ = 1+ + sinθep j ( ωt β) jβ (.48) ( jβ) µ avec η = (soit l impédance du vide égale à 77 Ω). ε
Electonique 8 Notes de cous 11 Géad Hincelin V. RAYONNEMENT ELECTROMAGNETIQUE Nous venons de monte qu un petit élément conducteu de longueu a, pacouu pa un couant altenatif de pulsation ω, cée dans l espace à la distance de l oigine, un champ magnétique et un champ électique, dont les composants sont données pa les tois elations ci-dessus. Les temes qui contiennent la vaiable indiquent le compotement des champs en fonction de la distance. V.1 Champ poche ou quasi-stationnaie Envisageons le cas β = π " λ 1, qui englobe de fait deu situations difféentes : En «champ poche», on calcule le champ pès de l oigine, à une distance " λ Le cas quasi-stationnaie, s applique à un couant de tès basse féquence (λ tès gande). Dans les deu cas, l appoimation β " 1 conduit apès simplifications au epessions suivantes, moennant quelques tansfomations simples : Ia Ia H " sin ep ( j t) sin 4 = π (.49) ηia 1 Qa E " cos ep θ [ jωt] = cosθ π jβ πε (.5) Eθ " j ηβ I a 1 sinθep ( jωt) = Qa sinθ ( jβ) ε (.51) Le couant I et la chage Q étant donnés espectivement pa les elations (.) et (.9), on etouve fomellement les epessions établies dans le cas statique : Pou le champ magnétique céé pa un élément de couant constant (avec = a). Pou les deu composantes du champ électique céé pa un dipôle. La pésence de ces champs entaîne l eistence de densités d énegie magnétique et électique, accumulées dans l espace autou du conducteu et taduisent en teme d éléments de cicuits électiques l eistence d effets inductifs et capacitifs. Eecices : 1. Monte que la puissance aonnée est nulle en champ poche (ou que la valeu moenne du vecteu de Ponting est nulle).. Calcule l énegie W e et W m accumulée dans une sphèe de diamète a/. V. Champ lointain : l onde TEM En s éloignant de la souce, les temes en 1/ et 1/ peuvent ête ignoés devant les temes en 1/ : c est l hpothèse du «champ lointain». Dans cette égion, les champs ont pou epessions appochées : j Ia H " β sinθep j( ωt β) (.5) Ia E " η cosθ ep j ( ωt β) π (.5) j Ia E " ηβ θ sinθep j( ωt β) (.54)
Electonique 8 Notes de cous 1 Géad Hincelin On obseve à gande distance de la souce un effet de popagation adiale (suivant la coodonnée ) que taduit la pésence du teme ep j( ωt β). L epession (.5) monte que l amplitude de la composante E tend ves éo beaucoup plus vite que les autes composantes du champ. Pa conséquent le champ lointain possède essentiellement une composante électique et une composante magnétique, toutes deu tansveses à la diection de popagation : Elles sont de plus othogonales et se popagent en phase, Le appot de leus amplitudes est constant et égal à η. S H le tiède ( E, H, S ) est diect θ E θ O Composantes du champ de l onde sphéique Ces équations décivent une onde sphéique de tpe TEM, émise pa une souce quasi ponctuelle qui est en fait une antenne élémentaie. on peut pose : A Eθ = sinθep j( ωt β) A H = sinθep j( ωt β) η Les amplitudes des champs étant popotionnelles à sinθ, le champ aonné est maimum dans le plan équatoial (θ = π/) et s annule le long de l ae du dipôle (θ = ). Ae du dipôle Plan équatoial Repésentation ti-dimensionnelle du champ
Electonique 8 Notes de cous 1 Géad Hincelin V. Puissance aonnée La densité de puissance aonnée est donnée pa la valeu moenne du vecteu de Ponting, soit pou une onde hamonique : 1 S = Re E H (.55) Ses tois composantes s écivent en coodonnées sphéiques : 1 * * 1 * S = Re E H E H Re θ θ EθH = (.56) 1 Re * * Sθ = E H EH = (.57) 1 Re * * S = EHθ Eθ H = (.58) Seule la composante S est pésente : l énegie s écoule adialement à pati de l antenne. On touve d apès (.56) : 1 Eθ η βa S = = I sin θ (.59) η S epésente la puissance moenne qui s écoule à taves l unité de suface pependiculaiement à la diection de popagation (unité W/m ). Calculons la puissance totale aonnée à taves une suface femée entouant l antenne. Le milieu n étant pas absobant, la divegence du vecteu de Ponting est nulle et le flu est constant à taves toute suface femée : pa commodité, on penda une sphèe centée su l oigine. La puissance aonnée est égale au flu du vecteu de Ponting : P = Sds ". s S = Su L élément de suface en coodonnées Sphéiques, epésenté su la figue ciconte a pou epession : ds sin = θdθd u π π P S u. u sinθdθd = ( ) = θ= π η βa ( ) sin θ = P = I π θ dθ Sachant que : π π 1 4 sin θ dθ = cosθsin θ cosθ = θ = Il vient finalement : a P = η η ω ( βa) I I 1π = 1π c (.6) La puissance aonnée est popotionnelle au caé de la féquence. Les liaisons électomagnétiques utilisent donc une poteuse haute féquence, modulée pa l infomation de basse féquence. θ O sinθ u ds = sinθdθd Elément de suface en coodonnées sphéiques sinθd
Electonique 8 Notes de cous 14 Géad Hincelin V.4 Résistance d antenne En négligeant les petes, la puissance électique moenne founie à l antenne doit égale la puissance moenne aonnée. Définissons la ésistance d antenne R, qui epésente la patie ésistive de la chage placée en bout de ligne du guide d onde qui alimente l antenne. Nous écions : 1 η ( ) P = RI = β a I (.61) 1π soit : η R = ( β a) (.6) 6π