Géométrie harmonique des fibrés tangents

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1 République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l Enseignement Supérieur et de la Recherche Scientifique Faculté des Sciences Exactes et Appliquées Département de Mathématiques Thèse de doctorat Spécialité : Mathématiques Option :Géométrie Différentielle Intitulé de la thèse : Géométrie harmonique des fibrés tangents présentée par : EL HENDI Hichem devant le jury composé de : Président : MESSIRDI Bekkai Pr. U. Oran 1. Directeur de Thèse : TERBECHE Mekki Pr. U. Oran 1. Co-Directeur de Thèse : DJAA Mustapha Pr. C. U. Relizane. Examinateur : BEKKAR Mohammed Pr. U. Oran 1. Examinateur : OUAKKAS Seddik MCA. U. Saïda. Examinateur : ZOUBIR Hanifi MCA. ENP. Oran Soutenue le

2 Remerciements * Je tiens à remercier mon directeur de thèse le professeur Terbeche Mekki pour son soutien inconditionnel, sa patience et ses réflexions pertinentes. * Je remercie le professeur Djaa Mustapha pour les bons choix de sujets concernant ce travail, et je le remercie pour sa patience. * Je suis trés reconnaissant envers le professeur Messirdi Bekkai pour l intérêt qu il a porté à ce travail, le remerciant aussi pour l honneur qu il m a fait de présider le jury de cette thèse. * Je remercie le professeur Bekkar Mohammed qui m a honoré en acceptant d être examinateur dans ce jury. * Je tiens aussi à exprimer mes remerciements aux docteurs Ouakkas Seddik et Zoubir Hanifi pour d avoir accepté et apprécier mon travail et de m honorer de leurs présence au sein du jury. * Mes vifs remerciements sont également exprimés à l égard des responsables, personnel et enseignants de la faculté des sciences de l université de Oran. * Je remercie toutes les personnes qui m ont accompagné durant ce voyage appelé la vie, je pense très particulièrement à mes chers parents.

3 Table des matières Introduction 4 1 Géométrie des applications harmoniques et bi-harmoniques Rappels de géométrie riemannienne Définitions L opérateur gradient L opérateur divergence L opérateur laplacien Fibré tangent inverse Deuxième forme fondamentale Applications harmoniques Première variation d énergie Exemples d applications harmoniques Applications bi-harmoniques Première variation de la bi-énergie Exemples d applications bi-harmoniques Géométrie du fibré tangent et bi-harmonicité Le fibré tangent Structure différentielle sur le fibré tangent Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent Relèvement vertical Relèvement complet Relèvement horizontal Métrique naturelle Métrique naturelle Métrique de Sasaki Harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) Géométrie du fibré tangent d ordre 2 et bi-harmonicité Le fibré tangent d ordre L espace des 2 jet T 2 M

4 TABLE DES MATIÈRES Structure différentielle de T 2 M Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre Relèvement complet Relèvement horizontal Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne Métrique diagonale Tenseur de courbure Harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) Bibliographie 92 Notations 95

5 Introduction Soit U un ouvert de R n. Une application f : U R est dite harmonique sur U si ce qui s écrit aussi : 2 f x f x f x 2 n f = 0. Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l ouvert. En 1964 J.Eells,J.H.Sampson, L.Lemaire ont étudier les applications harmoniques dans un cas général sur une variété riemannienne. Nous allons commencer par de brefs rappels sur les applications harmoniques. Soient (M, g) et (N, h) deux variétés riemanniennes de dimension n et m respectivement, D un domaine compact de M et ϕ : (M, g) (N, h) une application de classe C. On définit l énergie de ϕ sur D par : E(ϕ, D) = 1 dϕ 2 v g, 2 où dϕ est la norme de Hilbert Schmidt de la différentielle dϕ. Une application ϕ de (M, g) dans (N, h) est dite harmonique si et seulement si, elle est point critique de l énergie. C est à dire est une solution de l équation d Euler -Lagrange Localement, Si M = R n, N = R alors on a D τ(ϕ) = trace g dϕ = 0. τ(ϕ) = g ij ( 2 ϕ γ x i x + ϕα ϕ β j x i x j = 0, N Γ γ ϕγ αβ ϕ x k M Γ k ij) y ϕ, γ τ(ϕ) = ϕ = n 2 ϕ. x 2 i

6 Introduction 5 De même, les applications bi-harmoniques sont définies comme point critique de la fonctionnelle bi-énergie E 2 (ϕ) = 1 τ(ϕ) 2 v g, 2 solution de l équation d Euler -Lagrange. D Localement, τ 2 (ϕ) = trace g 2 τ(ϕ) + trace g R N (τ(ϕ), dϕ)dϕ. où ( τ 2 (ϕ) = g ij 2 τ σ α x i x + 2τ τ β j x j x j + τ α τ β τ ρ x i x j N Γ v N αβ Γ σ vρ Si M = R n, N = R alors on a N 2 ϕ β Γ σ αβ +τ α x i x j M Γ k ij ( τ σ x + τ α β k x k τ α = ϕ α + g ij L objectif de ce travail est d étudier : τ 2 (ϕ) = ( ϕ). N Γ σ αβ N Γ σ αβ +τ α ϕβ x i x j N Γ σ αβ) τ v ϕα ϕ β x i x j N Γ α ϕ β ϕ δ βδ x i x. j N ) Rβαv σ y ϕ, σ la bi-harmonicité d un champ de vecteurs X : (M, g) (T M, g S ) où (T M, g S ) le fibré tangent muni de la métrique de Sasaki, sachant que la harmonicité a été traité par Jerzy J,Konderak J.J [17]. la bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) où (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 muni de la métrique diagonale sachant que la harmonicité à été traité par Djaa N.E.H, Ouakkas S, Djaa M [6]. Le plan de ce travail est divisé en trois chapitres. Le premier chapitre consiste à rappeler des résultats essentiels des applications harmoniques et bi-harmoniques sur une variété riemannienne. En commence par la définition du champ de tension d une application entre deux variétés riemanniennes, qui caractérise les applications harmonique et l équation d Euler-Lagrange associée, puis la définition du champ de bi-tension qui caractérise les applications bi-harmoniques. Le chapitre est illustré par des exemples d application bi-harmonique entre deux variétés riemanniennes. Le deuxième chapitre est consacré à l étude du relèvement vertical, complet et horizontal des fonctions, champ de vecteurs, forme différentielle et champ de tenseurs de type quelconque d une variété au fibré tangent. Cette étude est parue dans l article de Sasaki, et développée par Dmbrowski, Yano, Ishihara et d autres. On définit ensuite la métrique naturelle et la métrique de Sasaki tout en donnant les formules relative aux connections induites et les courbures. Le chapitre s achève par l étude de l harmonicité et la bi-harmonicité d une section, en

7 Introduction 6 établissant le théorème suivant Théorème ([5])Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g S ) le fibré tangent associé muni de la métrique de Sasaki. Si X : (M, g) (T M, g S ) est un champ de vecteurs alors le champ bi-tension de X est donné par τ 2 (X) (x,u) = tr g { 2 (τ v (X)) + 2R(τ h (X), ) X R(, τ h (X))u pour tout (x, u) T M R(R(u, ), τ h (X))u } V (x,u) + tr g {R(u, τ v (X)) +R(τ v (X), X) R(u, τ v (X))R(u, X) + τ h (X) + R(u, X) τ h (X) R(u, X)τ h (X) + R(u, R(τ h (X), )u) +R(τ h (X), ) +( τ h (X)R)(u, X) Le troisième chapitre traite la structure différentielle du fibré tangent d ordre 2, relèvement complet des fonctions, champ de vecteurs, forme différentielle et relèvement horizontal d un champ de vecteurs.on définit la métrique diagonale et en donne les formules relative aux connections induites et les courbures. Le chapitre s achève par l étude de l harmonicité et la bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ), en établissant le théorème suivant Théorème ([11])Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si σ Γ(T 2 M) est une section lisse, alors le champ de bi-tension de σ est donné par τ 2 (σ) p = trace g { 2 τ 1 (X σ ) + 2R(τ 0 (X σ, ) X σ R(, τ 0 (X σ ))u + 1 } 1 2 R(R(u, X σ ), τ 0 (X σ ))u + trace g { 2 τ 2 (Y σ ) + 2R(τ 0 (Y σ ), ) Y σ R(, τ 0 (Y σ ))w R(R(w, Y σ ), τ 0 (Y σ ))w + trace g {R(u, τ 1 (X σ )) +R(w, τ 2 (Y σ )) +R(τ 1 (X σ ), X σ ) R(τ 2 (Y σ ), Y σ ) R(u, τ 1 (X σ ))R(u, X σ ) R(w, τ 2 (Y σ ))R(w, Y σ ) + τ 0 (σ) + R(u, X σ ) τ 0 (X σ )R(w, Y σ ) τ 0 (Y σ ) + R(τ 0 (σ), ) R(u, X σ )τ 0 (X σ ) R(w, Y σ )τ 0 (Y σ ) + R(u, R(τ 0 (X σ ), )u) +R(w, R(τ 0 (Y σ ), )w) +( τ 0 (X σ)r)(u, X σ ) + ( τ 0 (Y σ)r)(w, Y σ ) pour tout p T 2 M. } 0 p, } H (x,u), } 2

8 Chapitre1 Géométrie des applications harmoniques et bi-harmoniques 1.1 Rappels de géométrie riemannienne Définitions Une variété riemannienne de classe C de dimension m est un couple (M, g) où M est une variété différentiable de classe C de dimension m et g : Γ(T M) Γ(T M) C (M) est une application C (M) bilinéaire, symétrique, non dégénéré et définie positive. Localement, si M est munie d un système de coordonnées locales x i alors g = g ij dx i dx j i,j=1 où g ij sont des fonctions de classe C sur M. Si (M, g) une variété riemannienne de dimension m, alors la métrique g induit Un isomorphisme : Γ(T M) Γ(T M) ω (ω) pour tout X Γ(T M) on a g( (ω), X) = ω(x) Une métrique riemannienne g sur le fibré cotangent T M, définie par g (ω, η) = g ( (ω), (η)) = g (ω i dx i, η j dx j ) = ω i η j g ij où g ij représente la matrice inverse de g ij Une unique connexion M sans torsion et à la métrique parallèle dite de Levi Civita, vérifiant M X Y M Y X = [X, Y ] X(g(Y, Z)) = g( M X Y, Z) + g(y, M X Z) X, Y, Z Γ(T M).

9 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 8 Un tenseur de courbure R M dite courbure de riemann, définie par R M (X, Y )Z = X Y Z Y X Z [X,Y ] Z. la courbure sectionnelle d un plan engendré par une famille orthonormée {X, Y } L opérateur gradient K(X, Y ) = g(r M (X, Y )Y, X) Définition Soit (M, g) une variété riemannienne, on définit l opérateur gradient par grad : C (M) Γ(T M) f grad f = df où df est la différentielle de la fonction f, tel que pour tout X Γ(T M) on a g(grad f, X) = df(x) = X(f). Proposition ( Expression du gradient en coordonneés locales ). Soit (M, g) une variété riemannienne de dimension m, (U, ϕ) une carte sur M avec les champs de base associées,...,, alors pour tout f C (M) on a x 1 x m (grad f) U = i,j=1 ij f g x i x. (1.1) j Preuve. On applique directement la définition de l application et la définition de la différentielle de la fonction f C (M) relativement à la carte (U, ϕ) sur M, on a df = f x i dxi df = = g ij (df) i x j ij f g x i x, j i,j=1 i,j=1 où dx 1,..., dx m est la base duale. Propriétés Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tout f, h C (M) on a 1. grad(f + h) = grad f + grad h 2. grad(fh) = h grad f + f grad h 3. (grad f)(h) = (grad h)(f)

10 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 9 Preuve. Soit f, h C (M), pour tout X Γ(T M) on a : 1). g(grad(f + h), X) = X(f + h) = X(f) + X(h) = g(gradf, X) + g(gradh, X) = g(gradf + gradh, X), 2). g(grad(f h), X) = X(f h) = hx(f) + fx(h) = hg(gradf, X) + fg(gradh, X) = g(h grad f + f grad h, X), 3). (grad f)(h) = g(grad h, grad f) = g(grad f, grad h) = (grad h)(f) L opérateur divergence Soit X Γ(T M) un champ de vecteurs sur une variété riemannienne (M, g), on a X : Γ(T M) Γ(T M) (1.2) Z Z X est une application C (M) linéaire ( X est un tenseur de type (1,1)). si x M, alors est une application linéaire d espace vectoriel. ( X) x : T x M T x M (1.3) v ( v X) x Définition Soit (M, g) une variété riemannienne. La divergence d un champ de vecteurs X Γ(T M), notée divx est une fonction sur M définie par divx = tr g ( X) (divx)(x) = tr g (( X) x ) x M.

11 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 10 En coordoonée locale on a div X = dx i ( x i X) = g ij g( x i X, x j ). Si (e i ) est une base orthonormée locale sur M on a div X = g( ei X, e i ). La divergence d une 1-forme ω sur M est définie par div ω = tr g (Z Z ω) = ( ei ω)(e i ) = i,j=1 g ij ( x i ω)( x j ). Dans la définition de div X nous pouvons également définir la divergence de (1, r)-tenseur T pour être (0, r)-tenseur (div T )(X 1,..., X r ) = tr g (Z ( Z T )(X 1,..., X r )). Proposition ( premiére expression de la divergence en coordonneés locales ). Soit (M, g) une variété riemannienne de dimension m, pour tout X = X i Γ(T M) on a x i div X = ( Xi + X j Γ i x ij). i alors, i,j=1 Preuve. Sur une carte locale sur M nous avons, X = X i et x i = Γ k x i x j ij, x k div X = = = = dx i ( x i X) dx i ( i,j=1 i,j=1 dx i ( Xj x i x i Xj X ) j ( Xi + X j Γ i x ij). i i,j=1 x + j Xj Γ k ij x ) k

12 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 11 Propriétés Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tous X, Y Γ(T M) et f C (M) on a 1. div(x + Y ) = div X + div Y 2. div(f X) = f div X + X(f) Preuve. On applique directement la définition de la divergence, soit (e i ) une base orthonormée locale sur M, on a 1) 2) div(x + Y ) = g( ei (X + Y ), e i ) = g( ei X, e i ) + g( ei Y, e i ) = div X + div Y, div(fx) = g( ei fx, e i ) = g(e i (f)x + f ei X, e i ) = e i (f)g(x, e i ) + fg( ei X, e i ) = X(f) + f div X. Lemme Sur une variété riemannienne (M, g) on a x ( det(g k ij )) = det(g ij ) Proposition ( deuxiéme expression de la divergence en coordonnées locales ). Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tout X Γ(T M) on a 1 div X = det(gij ) x ( det(g k ij )X k ). Preuve. D aprés la proposition de premiére expression de la divergence en coordonneés locales nous avons, X i div X = + X j Γ i x i ij = X i x i + j=1 j=1 X j l=1 Γ l lk. m Γ i ij, en utilisant le Lemme 1.1.1, avec G = (g ij ), alors un calcul direct donne, 1 div X = ( X i n det G + X j n det G det G x i = = 1 det G ( det G X i x i + j=1 j=1 1 m ( det G X i ), det G x i X j Γ i ij ( det G)) x j

13 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 12 en utilisant la convention d Einstein on a div(x) = 1 det G x i ( det GX i ) L opérateur laplacien Définition Soit (M, g) une variété riemannienne, on définit l opérateur laplacien noté, sur M par : C (M) C (M) f (f) = div(grad f) Propriétés Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tout f, h C (M) on a 1. (f + h) = (f) + (h) 2. (fh) = h (f) + f (h) + 2g(grad f, grad h) Preuve. Soit f, h C (M), en utilisant les propriétés des opérateurs grad et div et le fait que X(f) = g(grad(f), X), on obtient (f h) = div(grad(f h)) (f + h) = div(grad(f + h)) = div(grad f + grad h) = div(grad f) + div(grad h) = (f) + (h), = div(f grad h + h grad f) = div(f grad h) + div(h grad f) = f div(grad h) + (grad h)(f) + h div(grad f) + (grad f)(h) = f (h) + h (f) + 2g(grad f, grad h). Proposition ( Première expression du Laplacien en coordonnées locales ). Soit (M, g) une variété riemannienne, pour tout f C (M) on a (f) = g ij 2 f ( Γ k f ij ). (1.4) x i x j x k

14 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 13 Preuve. Soit f C (M), alors (f) = div(grad f) = g ij g( x i grad f, x j ) ( = g ij x g(grad f, ) g(grad f, i xj x i ( = g ij x ( f i x ) j Γk ijg(grad f, = g ij 2 f ( x i x f j Γk ij x ). k ) x ) k ) x ) j Exemple Soit R m muni du produit scalaire standard g 0, (g ij = δ ij ), alors pour toute fonction différentiable f sur R m et X = (X 1,..., X m ) un champ de vecteurs sur R m on a Fibré tangent inverse grad f = div X = f x i x i = ( f x 1,..., f x m ). = X1 x 1 (f) = X i x i Xm x. m 2 f. x 2 i Définition Soit ϕ : (M, g) (N, h) une application de classe C entre deux variétés riemanniennes, le fibré tangent inverse est définie par ϕ 1 T N = {(x, v) x M, v T ϕ(x) N}, une section sur ϕ 1 T N est une application de classe C,V : M T N tel que V (x) T ϕ(x) N, x M. Notons par Γ(ϕ 1 T N) l ensemble des sections sur ϕ 1 T N.

15 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 14 Connexion induite sur le fibré tangent inverse Définition Soient M et N deux variétés différentiables, ϕ : M N une application de classe C et N une connexion linéaire sur N. On définit la connexion de Pull-back sur le fibré tangent inverse ϕ 1 T N par ϕ : Γ(T M) Γ(ϕ 1 T N) Γ(ϕ 1 T N) ϕ X V = N XṼ, (1.5) pour tout X Γ(T M), V Γ(ϕ 1 T N), x M avec voisinage de x. Ṽ Γ(T N) tel que Ṽ ϕ = V au Remarque La relation 1.5 est indépendante du choix de Ṽ. En effet, soient (,..., x 1 une base locale de Γ(T M), (,..., ) une base locale de Γ(T N) et (σ y 1 y n 1,..., σ k ) base locale de Γ(T N), pour X = X i i Γ(T M), V = V β (σ β ϕ) ϕ 1 T N, Ṽ = Ṽ β σ β Γ(T N) et x M on a ( ϕ X V ) x = ( N d xϕ(x x) Ṽ ) ϕ(x) = Xx i ϕ α x x( N Ṽ β i σ β ) ϕ(x) y α = Xx i ϕ α x x{ Ṽ β i y σ α β + Ṽ β Γ γ αβ σ γ} ϕ(x), x m ) où, Γ γ αβ sont des fonctions différentiables sur N, définie par Remarquons que Ṽ β ϕ(x) = V x β d où y α σ β = Γ γ αβ σ γ et V β x i x = x i (Ṽ β ϕ) x = ϕα x i x Ṽ β y α ϕ(x), pour tout β = 1,..., k, ( ϕ X V ) = Xi ( V γ x i + ϕα x i V β (Γ γ αβ ϕ) ) (σ γ ϕ), Exemple Soient M, N deux variétés différentiables et ϕ : M N une application de classe C. Si N est une connexion linéaire sur le fibré tangent (T N, π N, N), alors et Localement pour tout X = X i x i ϕ 1 T N = { (x, v) x M, v T ϕ(x) N } = {x} T ϕ(x) N, x M Γ(ϕ 1 T N) = { V : M T N x M, V x T ϕ(x) N } Γ(T M) et ϕ β = y β ϕ, on a dϕ(x) = X i ϕβ x i y β ϕ Γ(ϕ 1 T N)

16 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 15 et En effet ϕ dϕ( x i x ) = { 2 ϕ γ j x i x + ϕα ϕ β j x i x j N Γ γ αβ ϕ} y ϕ γ ϕ dϕ( x i x ) = ϕ β j ϕ x i x j y ϕ β = 2 ϕ β x i x j y ϕ + ϕβ β x j ϕ x i y β ϕ = 2 ϕ β x i x j y ϕ + ϕβ ϕ α β x j x i ( N = 2 ϕ β x i x j y ϕ + ϕβ ϕ α β x j x i y α y β ) ϕ N Γ γ αβ ϕ y ϕ. γ Remarque Soient M, N deux variétés différentiables, X, Y Γ(T M), V, W Γ(T N) et ϕ : M N une application différentiable ; Si X et V ( resp. Y et W ) sont ϕ-conjugué (i.e. dϕ(x) = V ϕ et dϕ(y ) = W ϕ), alors ϕ X dϕ(y ) = ( N V W ) ϕ. Proposition Soit ϕ : M N une application différentiable. Si N une connexion linéaire compatible avec une métrique h sur N, alors la connexion linéaire ϕ est compatible avec la métrique h ϕ sur ϕ 1 T N. C est à dire, pour tous X Γ(T M) et V, W Γ(ϕ 1 T N) on a X(h ϕ (V, W )) = h ϕ ( ϕ X V, W ) + h ϕ(v, ϕ X W ). alors, Preuve. Soient X Γ(T M), V, W Γ(ϕ 1 T N) et X, Ṽ, W Γ(T N), tels que dϕ(x) = X ϕ, Ṽ ϕ = V et W ϕ = W X(h ϕ (V, W )) = X(h(Ṽ, W ) ϕ) = X(h(Ṽ, W )) ϕ = h( Ñ XṼ, W ) ϕ + h(ṽ, Ñ X W ) ϕ = h ϕ ( ϕ X V, W ) + h ϕ(v, ϕ X W ). Proposition Soit N une connexion sans torsion sur N, alors pour tout X, Y Γ(T M). ϕ X dϕ(y ) = ϕ Y dϕ(x) + dϕ([x, Y ]),

17 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 16 Preuve. Soit V, W Γ(T N) deux champs de vecteurs ϕ-conjugué avec X et Y respectivement. On a d où [V, W ] ϕ = dϕ [X, Y ] N V W = N W V + [V, W ] ϕ X dϕ(y ) = ( N V W ) ϕ = ( N W V + [V, W ]) ϕ = ϕ Y dϕ(x) + dϕ([x, Y ]) Deuxième forme fondamentale Définition Soient (M, g), (N, h) deux variétés riemannienne et ϕ : (M, g) (N, h) une application différentiable de classe C. La seconde forme fondamentale de l application ϕ est la dériveé covariante de la 1-forme vectoriel dϕ, définie par pour tous X, Y Γ(T M). dϕ(x, Y ) = ϕ X dϕ(y ) dϕ( M X Y ), Propriété Soit ϕ : (M, g) (N, h) une application différentiable, la seconde forme fondamentale de l application ϕ est symétrique. C est à dire dϕ(x, Y ) = dϕ(y, X), X, Y Γ(T M). Proposition Soient ϕ : M N et ψ : N P deux applications différentiables entre des variétés riemanniennes, alors Preuve. Soit X, Y Γ(T M), d(ψ ϕ) = dψ( dϕ) + dψ(dϕ, dϕ). d(ψ ϕ)(x, Y ) = ψ ϕ X d(ψ ϕ)(y ) d(ψ ϕ)( M X Y ) = ψ ϕ X dψ(dϕ(y )) dψ(dϕ( M X Y )) = P dψ(dϕ(x))dψ(dϕ(y )) dψ(dϕ( M X Y )) = ψ dϕ(x) dψ(dϕ(y )) dψ(dϕ( M X Y )) = dψ(dϕ(x), dϕ(y )) + dψ( N dϕ(x)dϕ(y )) dψ(dϕ( M X Y )) = dψ(dϕ(x), dϕ(y )) + dψ( dϕ(x, Y )). Définition Soient (M, g) et (N, h) des variétés riemanniennes. Une application ϕ : (M, g) (N, h) est dite totalement géodésique si dϕ = 0.

18 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 17 Définition Soit ϕ : (M, g) (N, h) une application de classe C. La trace de la seconde forme fondamentale de l application ϕ est appelé champ de tension de l application ϕ, noté par τ(ϕ) = tr g dϕ. Relativement à une base orthonormée (e i ) sur M on a τ(ϕ) = ϕ e i dϕ(e i ) dϕ( M e i e i ). Si ( x i ) (resp ( y α )) est une base locale de champs de vecteurs sur M (resp sur N), on a τ(ϕ) = g ( ij ϕ dϕ( x i x ) ) j dϕ( M x i x ) j = g ij ( 2 ϕ γ x i x + ϕα ϕ β j x i x j N Γ γ ϕγ αβ ϕ x k M Γ k ij) y ϕ. (1.6) γ Proposition Soient ϕ : M N et ψ : N P deux applications différentiables entre des variétés riemanniennes, alors τ(ψ ϕ) = dψ(τ(ϕ)) + tr g dψ(dϕ, dϕ). Cas des sous-variétés Soient (N, h) une variété riemannienne et M une sous-variété de N. Alors le champ de tenseur g : Γ(T M) Γ(T M) C (M) défini pour tous X, Y Γ(T M) et p M par g(x, Y ) p = h p (X p, Y p ), est une métrique riemannienne sur M, appelé la métrique induite sur M par h. Pour tout p M on a T p N = T p M T p M, où, T p M = { v T p N h p (v, w) = 0, w T p M} v T p N! v T p M! v T p M v = v + v. Remarque Soient X Γ(T M) et X Γ(T N) un prolongement de X (i.e. X M = X). Si N (resp M ) désigne la connexion de Levi-Civita associée à la métrique h sur N (resp sur M), alors M X Y = ( Ñ XỸ ), X, Y Γ(T M), est la connexion de Levi-Civita associée á la métrique g sur M, qui indépendent de choix de prolongement. La deuxième forme fondamentale de M sur N est donnée par et la courbure moyenne est donnée par B(X, Y ) = ( Ñ XỸ ), X, Y Γ(T M), H = trace B.

19 1.1 Rappels de géométrie riemannienne 18 Définition Une sous variété M d une variété N est dite minimale si sa courbure moyenne est nulle (H = 0). Remarques ) Soit i : M N l injection canonique, alors la deuxième forme fondamentale de i coincide avec la deuxième forme fondamentale de M sur N, c est à dire 2) Soit N Γ(T M ), on a di(x, Y ) = B(X, Y ) = ( Ñ XỸ ) X, Y Γ(T M). g( di(x, Y ), N ) = g(ỹ, Ñ N ) X, Y Γ(T M). (1.7) X 3) Dans le cas où M est une hyper-surface de N et N Γ(T M ), on a di(x, Y ) = g( di(x, Y ), N ) N. En effet, pour prouver (2), soit p M on a g( di(x, Y ), N ) = g(( Ñ XỸ ), N ) = g( Ñ XỸ, N ) g(( Ñ XỸ ), N ) = g( Ñ XỸ, N ) = X(g(Ỹ, N )) g(ỹ, Ñ X N ). Si (ϕ t (p)) t est une courbe sur M, définie au voisinage de 0 R, telle que X p = t ϕ t(p) t=0, on a X p (g(ỹ, N )) = d dt g(ỹ, N ) ϕ t(p) t=0 = d dt g ϕ t(p)(ỹϕ t(p), N ϕt(p)) t=0 (3) découle immédiatement de (1) et (2). = d dt h ϕ t(p)(y ϕt(p), N ϕt(p)) t=0 = 0. Exemple Si M = S n R n+1 désigne la sphère unité et N = n+1 xi x i vecteur normal à la sphère, alors le champ de di(x, Y ) p = g(x, Y ) p N p X, Y Γ(T M), p M. (1.8) g( di(x, Y ), N ) p = g(x, Y ) p X, Y Γ(T M), p M, en effet, ceci découle de la formule 1.7 et de la relation Rn+1 X N = X, X Γ(T R n+1 ).

20 1.2 Applications harmoniques Applications harmoniques Première variation d énergie Définition Soit ϕ : (M m, g) (N n, h) une application de classe C entre deux variétés riemanniennes de dimensions m et n respectivement. On appelle la densité de ϕ l application e(ϕ) : M R +, définie pour tout x M par e(ϕ)(x) = 1 2 d xϕ 2, où d x ϕ est la norme de Hilbert Schmidt de la differentielle d x ϕ de ϕ au point x. Si {e i } 1 i m est une base orthonormée de T x M, on a d x ϕ 2 = tr g ϕ h = h(d x ϕ(e i ), d x ϕ(e i )). Si {x i } 1 i m et {y α } 1 α n sont les coordonneés locale autour de x M et ϕ(x) N respectivement, alors d x ϕ 2 = gx ij ϕ α x ϕ β i x x xh j αβ (ϕ(x)). L énergie de l application ϕ sur un domain compact D dans M est définie par E(ϕ, D) = e(ϕ)v g = 1 dϕ 2 v g. 2 Une variation de l application ϕ est une application de classe C, D φ : M ( ɛ, ɛ) N, ɛ > 0 (x, t) ϕ t (x) telle que (ϕ t ) est une famille des applications de classe C sur M, et ϕ 0 = ϕ. Soit v Γ(ϕ 1 T N) définie par D v(x) = t ϕ t(x) t=0 = dφ(0, d dt ) (x,0) T ϕ(x) N Définition Application harmonique. Une application ϕ : (M, g) (N, h) de classe C est dite harmonique si d dt E(ϕ t, D) t=0 = 0, pour tout domaine compact D dans M et toute variation (ϕ t ) á support inclue dans D.

21 1.2 Applications harmoniques 20 Proposition (Première variation d énergie). Soient ϕ : (M, g) (N, h) une application différentiable et (ϕ t ) une variation de ϕ á support inclue dans D. Alors d dt E(ϕ t, D) t=0 = h(v, τ(ϕ))v g. où v(x) = t ϕ t(x) t=0 et τ(ϕ) = tr g dϕ est le champ de tension de l application ϕ. Preuve. Soit {e i } une base orthonormée sur M et { d } base sur ( ɛ, ɛ), alors {(e dt i, 0), (0, d )} dt est une base locale orthonormée pour la métrique diagonale sur la variété produit M ( ɛ, ɛ), et on a le crochet de Lie [(e i, 0), (0, d )] = 0, pour tout i = 1,..., m, on a dφ(e dt i, 0) = dϕ(e i ) et dφ(0, d ) = v. En effet, remarquons que dt dφ(e i, 0) : M ( ɛ, ɛ) T N, D et dφ(e i, 0) (x,0) = d x φ 0 (e i x ) + d 0 φ x (0) ( formule de Leibniz ) = d x φ 0 (e i x ) = d x ϕ(e i x ) dφ(0, d dt ) (x,0) = d x φ 0 (0 x ) + d 0 φ x ( d dt t=0) = dφ x ( d dt ) t=0 = v(x), avec φ 0 (x) = φ(x, 0) et φ x (t) = φ(x, t). Donc, d dt E(ϕ t, D) t=0 = 1 d h(dϕ t (e i ), dϕ t (e i ))v g t=0 2 dt D = 1 d h(dφ(e i, 0), dφ(e i, 0))v g t=0 2 dt D = 1 2 D t h(dφ(e i, 0), dφ(e i, 0)) t=0 v g = h( φ (0, d )dφ(e i, 0), dφ(e i, 0)) t=0 v g D dt = h( φ (e i,0) dφ(0, d D dt ), dφ(e i, 0)) t=0 v g = h( N dϕ(e i )v, dϕ(e i ))v g D = h( ϕ e i v, dϕ(e i ))v g Soit ω( ) = h(v, dϕ( )), 1-forme sur M, alors D div ω = ( ei ω)(e i ) = e i (ω(e i )) ω( ei e i ) = e i (h(v, dϕ(e i )) h(v, dϕ( ei e i )) = h( ϕ e i v, dϕ(e i )) + h(v, τ(ϕ)),

22 1.2 Applications harmoniques 21 et comme div ω v D g = 0, on obtient d dt E(ϕ t, D) t=0 = h(v, τ(ϕ))v g D Théorème Une application différentiable, ϕ : (M, g) (N, h) est harmonique si et seulement si τ(ϕ) = Exemples d applications harmoniques Exemple Toute application constante ϕ : (M, g) (N, h) est harmonique. Exemple Le seconde forme fondamentale de l application identité, Id M : (M, g) (M, g) est nulle, c est à dire Id M est totalement géodésique, donc Id M est harmonique. Exemple Soit (M, g) une variété riemannienne. Pour toute fonction f : M R et (e i ) une base orthonormée sur M on a τ(f) = tr g df = df(e i, e i ) = f e i df(e i ) df( M e i e i ) = e i (e i (f)) ( M e i e i )(f) = g( ei gradf, e i ) = div(grad f) = (f). Exemple Soit R n muni de la métrique canonique g 0 et soit ϕ : (M, g) (R n, g 0 ) une application différentiable, ϕ(x) = (ϕ 1 (x),..., ϕ n (x)). D aprés la formule 1.6 et comme R n Γ γ αβ = 0, on a τ(ϕ) = g ij ( 2 ϕ γ x i x ϕγ M Γ k j x ij) k y ϕ, γ c est à dire, τ(ϕ) = ( (ϕ 1 ),..., (ϕ n )), d où l application ϕ est harmonique si et seulement si (ϕ α ) = 0, α = 1,..., n, c est à dire ϕ α sont des fonctions harmoniques. Exemple Soit M =]a, b[ un intervalle sur R. Alors le courbe γ : (a, b) (N n, h) est harmonique si d 2 γ α + N Γ α dγ β dγ δ dt 2 βδ dt dt = 0, donc, γ est harmonique si et seulement si c est une géodésique.

23 1.2 Applications harmoniques 22 Exemple Soit l application de Hopf φ : S 3 S 2 (s, a, b) (α(s), ψ(a, b)) où ψ(a, b) = ka + lb et α : [0, π 2 ] [0, π] telle que α(0) = 0 et α( π 2 ) = π. Soient, g S 3 = ds 2 + cos 2 s da 2 + sin 2 s db 2, la métrique riemannienne sur S 3 et une métrique riemannienne sur S 2. On a { e 1 = s, e 2 = 1 { f 1 = α, f 2 = 1 dφ(e 1 ) = α dφ(e 2 ) = dφ(e 3 ) = e1 e 1 = 0 α k coss ψ l sins ψ e2 e 2 = tans s e3 e 3 = cots s = 0 α α ψ ψ = sinα cosα α., e cos s a 3 = 1 sins h S 2 = dα 2 + sin 2 α dψ 2, b } est une base orthonormée sur S3. } est une base orthonormée sur sinα ψ S2. φ e 1 dφ(e 1 ) = α α φ e 2 dφ(e 2 ) = k2 sinα cosα cos 2 s α φ e 3 dφ(e 3 ) = l2 sinα cosα cos 2 s α où α = dα. En remplaçant dans l expression ds 3 τ(φ) = { φ e i dφ(e i ) dφ( ei e i ) }, on obtient τ(φ) = ) (α (s) + α (s)(cots tans) sinα cosα( k2 cos 2 s + l2 sin 2 s ) α Exemple Soient N une variété riemannienne et M une sous-variété de N. Si i : M N est l injection canonique, alors la sous-variété M est minimale si et seulement si i est harmonique. En effet, di = B, d où, τ(i) = H.

24 1.2 Applications harmoniques 23 Exemple Soient (M, g) et (N, h) des variétés riemanniennes. Si ϕ : M N est un plongement régulier isométrique, c est à dire, ϕ est un plongement régulier tel que pour tout p M, X, Y Γ(T M) on a g p (X p, Y p ) = h ϕ(p) (dϕ(x p ), dϕ(y p )). Alors, ϕ(m) est une sous-variété de N, de plus ϕ(m) est minimale si et seulement si l application ϕ est harmonique. En effet, si ϕ(m) est la connexion de Levi-Civita associée à la métrique induite par h sur ϕ(m), et B désigne la deuxième forme fondamentale de ϕ(m) sur N, alors B(dϕ(X), dϕ(y )) = ( N dϕ(x)dϕ(y )) = N dϕ(x)dϕ(y ) ( N dϕ(x)dϕ(y )) = ϕ Xdϕ(Y ) ϕ(m) dϕ(x) dϕ(y ) = ϕ X dϕ(y ) dϕ( M X Y ) = dϕ(x, Y ), X, Y Γ(T M), Soit (e i ) une base orthonormée locale sur M, comme l application ϕ est isométrique, on a (dϕ(e i )) une base orthonormée sur ϕ(m), d où H = traceb ( courbure moyenne ) = B(dϕ(e i ), dϕ(e i )) = dϕ(e i, e i ) = τ(ϕ). Exemple Soit M une variété riemannienne et g la métrique riemannienne induite sur la sphère unité S n par l injection canonique i : S n R n+1. Soit ϕ : M S n une application de classe C, posons ψ = i ϕ : M R n+1, alors ϕ est harmonique si et seulement si τ(ψ) = dψ 2 ψ. En effet, d aprés la proposition on a donc, ϕ est harmonique si et seulement si τ(ψ) = τ(i ϕ) = di(τ(ϕ)) + tr di(dϕ, dϕ), τ(ψ) = tr di(dϕ, dϕ) = di(dϕ(e i ), dϕ(e i )), où (e i ) est une base orthonormée de T x M, x M, en utilisant la formule 1.8 on obtient τ(ψ) = n+1 g(dϕ(e i ), dϕ(e i ))N ψ(x), où N = x i x i = dϕ(e i ) 2 ψ(x), (N ψ(x) = ψ(x)) = dϕ 2 ψ(x) = dψ 2 ψ(x).

25 1.3 Applications bi-harmoniques 24 Remarque La composé de deux applications harmoniques n est pas en générale une application harmonique. En particulier si φ est harmonique et si ψ et totalement géodésique c est à dire ( dψ = 0), alors ψ φ est harmonique. Exemple Soit l application, on a, et soit l application, on a, ϕ : (R, dx 2 ) (R 2, dx 2 + dy 2 ) x (x, 0), τ(ϕ) = ( 2 x dx, dx ) 2 = 0, ψ : (R 2, dx 2 + dy 2 ) (R, dz 2 ) (x, y) x 2 y 2, τ(ψ) = (ψ) = 2 ψ dx + 2 ψ 2 dy 2 = 2 2 = 0, alors les deux applications ϕ et ψ sont harmoniques, mais remarquons que la composé, est non harmonique, τ(ψ ϕ) = 2. ψ ϕ : (R, dx 2 ) (R, dz 2 ) x x 2, 1.3 Applications bi-harmoniques Première variation de la bi-énergie Soit M = (M m, g) et N = (N n, h) deux variétés riemanniennes, et soit ϕ : M N une application différentiable. La bi-énergie de l application ϕ sur un domaine compact D dans M est définie par E 2 (ϕ ; D) = 1 τ(ϕ) 2 v g, 2 où τ(ϕ) est le champ de tension de l application ϕ et v g est la forme volume sur M associée à la métrique g. D

26 1.3 Applications bi-harmoniques 25 Définition L application ϕ : M N est dite bi-harmonique si d dt E 2(ϕ t ; D) t=0 = 0, pour tout domaine compact D dans M et pour toute variation (ϕ t ) á support inclue dans D. Proposition ( Première variation de la bi-énergie ). Soit ϕ : M N une application différentiable et {ϕ t } t I, I =] ɛ, ɛ[, une variation de ϕ á support inclue dans D. Alors d dt E 2(ϕ t ; D) t=0 = h(v, τ 2 (ϕ))v g, où v(x) = t ϕ t(x) t=0 et τ 2 (ϕ) = tr g ( ϕ ) 2 τ(ϕ) + tr g R N (τ(ϕ), dϕ)dϕ, est le champ de bi-tension de l application ϕ. Où, tr g ( ϕ ) 2 τ(ϕ) = ϕ e i ϕ e i τ(ϕ) ϕ M e i e i τ(ϕ), tr g R N (τ(ϕ), dϕ)dϕ = R N (τ(ϕ), dϕ(e i ))dϕ(e i ) et R N variété N. D désigne le tenseur de courbure de la Preuve. Soit {ϕ t } une variation de ϕ á support inclue dans un domaine compact D dans M, on a d dt E 2(ϕ t, D) t=0 = 1 d h(τ(ϕ t ), τ(ϕ t )) v g, 2 dt et pour tout (x, t) M ] ɛ, ɛ[, on a dφ((e i, 0), (e i, 0)) (x,t) = τ(ϕ t ) x, D 1 2 t h( dφ((e i, 0), (e i, 0)), dφ((e i, 0), (e i, 0))) t=0 = h( φ (0, d ) dφ((e i, 0), (e i, 0)), dφ((e i, 0), (e i, 0))) t=0, dt et, φ (0, d dt ) dφ((e i, 0), (e i, 0)) = φ (0, d dt ){ φ (e i,0) dφ(e i, 0) dφ( (ei,0)(e i, 0))} = φ (0, d dt ) φ (e i,0) dφ(e i, 0) φ (0, d dt )dφ( (e i,0)(e i, 0)) = R((0, d dt ), (e i, 0))dφ(e i, 0) + φ (e i,0) φ (0, d dt )dφ(e i, 0) + φ [(0, d dt ),(e i,0)] dφ(e i, 0) φ (ei,0)(e i,0) dφ(0, d dt ) comme [(0, d dt ), (e i, 0)] = 0 et on pose (ei,0)(e i, 0) = ( M e i e i, 0) = 0 en (x, 0), donc φ (0, d dt ) dφ((e i, 0), (e i, 0)) = R N (dφ(0, d dt ), dφ(e i, 0))dφ(e i, 0) + φ (e i,0) φ (e i,0) dφ(0, d dt ),

27 1.3 Applications bi-harmoniques 26 d où, h( φ (0, d ) dφ((e i, 0), (e i, 0)), dφ((e i, 0), (e i, 0))) t=0 dt = h(r N (v, dϕ(e i ))dϕ(e i ), τ(ϕ)) + h( ϕ e i ϕ e i v, τ(ϕ)) = h(r N (dϕ(e i ), τ(ϕ))v, dϕ(e i )) + e i (h( ϕ e i v, τ(ϕ))) h( ϕ e i v, ϕ e i τ(ϕ)) = h(r N (τ(ϕ), dϕ(e i ))dϕ(e i ), v) + e i (h( ϕ e i v, τ(ϕ))) e i (h(v, ϕ e i τ(ϕ))) + h(v, ϕ e i ϕ e i τ(ϕ)), si on pose ω( ) = h( ϕ v, τ(ϕ)) et η( ) = h(v, ϕ τ(ϕ)) deux 1-formes sur M, alors div ω = e i (ω(e i )) = e i (h( ϕ e i v, τ(ϕ))), div η = e i (η(e i )) = e i (h(v, ϕ e i τ(ϕ))), d où, d dt E 2(ϕ t, D) t=0 = 1 2 D t h(τ(ϕ t), τ(ϕ t )) t=0 v g = {h(tr g R N (τ(ϕ), dϕ)dϕ, v) + h(tr g ( ϕ ) 2 τ(ϕ), v}v g D = h(τ 2 (ϕ), v) v g. D Théorème Une application différentiable ϕ : (M, g) (N, h) est bi-harmonique si et seulement si τ 2 (ϕ) = 0. Remarque Soit l application ϕ : (M, g) (N, h) et (U, x i ), (V, y α ) deux carte locales en p dans M et en ϕ(p) dans N respectivement. Alors ( τ 2 (ϕ) = g ij 2 τ σ α x i x + 2τ τ β j x j x j + τ α τ β τ ρ x i x j N Γ v N αβ Γ σ vρ N 2 ϕ β Γ σ αβ +τ α x i x j M Γ k ij ( τ σ x + τ α β k x k N Γ σ αβ N Γ σ αβ +τ α ϕβ x i x j N Γ σ αβ) τ v ϕα ϕ β x i x j où τ α = ϕ α + g ij N Γ α ϕ β ϕ δ βδ x i x j 2) l application ϕ et bi-harmonique si et seulement si τ(ϕ) ker J ϕ, où J ϕ : Γ(ϕ 1 (T N) Γ(ϕ 1 (T N) V J ϕ (V ) = tr g ( ϕ ) 2 V + tr g R N (V, dϕ)dϕ N ) Rβαv σ y ϕ, σ

28 1.3 Applications bi-harmoniques Exemples d applications bi-harmoniques Exemple Toute application harmonique et bi-harmonique Exemple Considérons l application différentiable ϕ : (M, g) R n p ϕ(p) = (ϕ 1 (p),..., ϕ n (p)) Alors τ 2 (ϕ) = (τ 2 (ϕ 1 ),..., τ 2 (ϕ n )), donc ϕ et bi-harmonique si et seulement si les applications ϕ i, i = 1,..., n sont bi-harmoniques. Exemple Le simple exemple d une application bi-harmonique, les polynômes de degrés 3 et 2 sur R. Exemple Soit l application ϕ et bi-harmonique si et seulement si : ϕ : (M, g) (S n, h), tr g ( ϕ ) 2 τ(ϕ) + 2e(ϕ)τ(ϕ) tr h h(τ(ϕ), dϕ), dϕ = 0 En effet, remarquons que la sphère unité S n à courbure constante égale à 1 d où d après la la formule : R(X, Y )Z = g(y, Z)X g(x, Z)Y. On a ) tr g R Sn (τ(ϕ), dϕ)dϕ = tr g (h(dϕ, dϕ)τ(ϕ) h(τ(ϕ), dϕ)dϕ = dϕ 2 τ(ϕ) tr g h(τ(ϕ), dϕ)dϕ = 2e(ϕ)τ(ϕ) tr g h(τ(ϕ), dϕ)dϕ Exemple Soit M n 1 une hypersurface de la sphère unité (S n, h), alors l injection canonique i : M n 1 S n munie de la métrique induite g est bi-harmonique. En effet on a D après la formule 1.8 on a : τ(i) = tr g di = tr g B = H τ 2 (i) = tr g ( i ) 2 H + tr g R Sn (H, di)di H = (1 n)n Alors, pour une base orthonormée {e i } n 1 sur M avec ( M e i e j ) x = 0, x M, on a tr g ( i ) 2 H = (1 n) i e i i e i N = (1 n) Sn ẽ i Sn ẽ i N = (1 n) Sn ẽ i ẽ i = (1 n)(( Sn ẽ i ẽ i ) + ( Sn ẽ i ẽ i ) ) = (1 n)(h + M e i e i ) = (1 n)h, et, comme S n est de courbure constante on a D où : τ 2 (i) = 0. tr g R Sn (H, di)di = R Sn (H, di(e i ))di(e i ) = R Sn (H, ẽ i )ẽ i = h(ẽ i, ẽ i )H h(h, ẽ i )ẽ i = (n 1)H (1 n)g(n, e i )e i = (n 1)H.

29 Chapitre2 Géométrie du fibré tangent et bi-harmonicité 2.1 Le fibré tangent Structure différentielle sur le fibré tangent Dans tout ce qui suit on suppose que M est une variété différentielle de dimension m munie d un atlas maximal A = {(U i, x i ) i I}. Pour p M on note par T p M l espace tangent de M au point p. Pour les coordonnées locales (U, x i ) sur M et p M on définit ( x k ) p T p M par ( x ) k p : f f = x k ek (f x 1 )(x(p)) p Où e k /k = 1,..., m est la base canonique de R m. Alors est la base de T p M.L ensemble {( x k ) p k = 1,..., m} T M = {(p, u) p M, u T p M}, est dit le fibré tangent de M et l application fibré π : T M M est donnée par π : (p, u) p. Théorème Soit M une variété différentielle de dimension m. Alors le fibré tangent peut être donné par une structure de variété différentielle de dimension 2m. Remarque Une conséquence directe de la construction d un atlas maximal A est que l application π : T M M est différentiable. Pour tout point p M la fibre π 1 (p) est l espace tangent T p M de M au point p. Pour les coordonnées locales (U, x) A on définit x : (p, k=1 u k p ) (p, (u 1,..., u m )). x k

30 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 29 La restriction x p = x/t p M : T p M {p} R m à l espace tangent T p M est donnée par x : u k p (u 1,..., u m ) x k k=1 Donc c est un isomorphisme d espace vectoriel,alors x : π 1 (U) U R m est la carte fibré pour T M et {(π 1 (U), x)/(u, x) A} est l atlas fibré transformant (T M, π, M) en un fibré vectoriel topologique de dimension 2m. Puisque la variété (M, A) est différentiable,le fibré vectoriel (T M, π, M) muni de l atlas maximal contenant {(π 1 (U), x)/(u, x) A} est un fibré vectoriel. 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent Relèvement vertical Relèvement vertical d une fonction Soit (T M, π, M) le fibré vectoriel tangent, si f : M R est une fonction de classe C, on définit le relèvement vertical f V par f V = f π : T M R v T x M f V (v) = f π(v) = f(x). Relèvement vertical d un champ de vecteurs Un champ de vecteurs X Γ(T (T M)) est dit champ de vecteurs vertical si et seulement si pour ( toute ) fonction f C (M) on a Xf V = 0. Xh Si X h sont les composantes de X par rapport à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, alors pour toute fonction f C (M). On a d où Xf V = X h f x h, Proposition Soit X Γ(T T M). X est un champ de vecteurs vertical sur TM si et seulement si relativement à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, les composantes de X vérifient la condition ( Xh X h ) = ( 0 X h ), (2.1) Remarques on a π : T M M v T x M x = π(v)

31 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 30 d v π : T v (T M) T x M Z = Z i x i v + Z j y i v dπ(z) = Z i x i x N v = Ker(d v π) est un sous espace vectoriel de T v T M, appelé sous espace vertical. Localement N v est engendré par ( y 1 v,.., y m v ). N = v T M N v est un sous fibré vectoriel de T (T M) X Γ(T (T M)) est un champ de vecteurs vertical si et seulement si dπ( X) = 0. Définition Soit X Γ(T M). Le relèvement vertical de X noté X V est l unique champ de vecteurs vérifiant de M au fibré TM X V (ω) = (ω(x)) V, (2.2) pour tout ω Γ(T M). Soient (X h ) h=1,..,m et (ω i ),..,m les ( composantes ) de X Γ(T M) et ω Γ(T M) par Xh rapport à une carte (U, x i ) sur M ; Si X h sont les composantes de X V par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Alors de la relation 2.2 on déduit l équation X h ( x h ω i )y i + X hω h = ω h X h, d où X h = 0, X h = X h. pour tout h, h = 1..m. Proposition Soit X un champ de vecteurs de composantes (X h ) h=1,..,m relativement à une carte (U, x h ) h sur M. Le relèvement vertical X V de X a pour composantes ( ) 0 X V : X h (2.3) par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Remarque Le relèvement vertical X V de X au fibré TM est un champ de vecteurs vertical. et on a X V f V = 0 (2.4) pour tout X Γ(T M) et f C (M). Propriété (X + Y ) V = X V + Y V (2.5) (fx) V = f V X V (2.6)

32 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 31 pour tout X, Y Γ(T M) et f C (M). Remarques N v = {Xv V ; X Γ(T M)} Soient z T x M et X Γ(T M) tel que X x = z, on note z V = Xz V le relèvement vertical de z. D aprés (2.3) cette définition est indépendante du choix de X. L application (x, u) T M u V T (x,u) T M T T M est une section de classe C sur T M, donc un champ de vecteurs sur T M. Soient x M et v T x M, alors L application z T x M z V N v est un isomorphisme linéaire. Relèvement vertical d une 1-forme Soit ω Γ(T T M ) une 1- forme sur TM, elle est dite verticale si ω(x V ) = 0 pour tout X Γ(T M). Si ( ω i, ω ī ) sont les composantes de ω par rapport à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. on a ω(x V ) = ω ī X i = 0 pour tout X Γ(T M), d où i = 1..m on a ω ī = 0, i.e. ( ω i, ω ī ) = ( ω i, 0) i, ī = 1,.., m. (2.7) Proposition ω Γ(T T M ) est une 1-forme verticale sur TM si et seulement si ses composants par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM vérifient la relation (2.7). Proposition Si f C (M) est une fonction de classe C sur M, alors d(f V ) est une 1-forme verticale sur le fibré TM. Preuve. De la relation (2.4), on a pour tout X Γ(T M) d(f V )(X V ) = X V (f V ) = 0, Définition Soit f, g C (M). On définit le relèvement vertical (df) V (resp (gdf) V ) au fibré TM, de la 1-forme df (rep gdf) par (df) V = d(f V ), (2.8) resp (gdf) V = g V d(f V ). (2.9) Remarque La définition (2.2.2) reste compatible avec la propriété de dérivation d((fg) V ) = d(f V.g V ) = g V.d(f V ) + f V.d(g V ) = (d(fg)) V.

33 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 32 Définition Soit ω Γ(T M ). On définit Le relévement vertical de ω noté ω V au fibré TM par ω V = (ω i ) V (dx i ) V, (2.10) où ω = ω i dx i, relativement à une carte (U, x i ) sur M. Cette définition est indépendante de la carte choisie. Remarque Le relèvement vertical ω V de ω au fibré TM est une 1-forme verticale ω V (X V ) = 0, (2.11) pour tout ω Γ(T M ) et X Γ(T M) Propriété on a pour tout ω, θ Γ(T M ) et f C (M) (ω + θ) V = ω V + θ V. (2.12) (fω) V = f V ω V. (2.13) Si (U, x h ) est une carte sur la variété M, alors de la formule (2.7) on obtient par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Relèvement vertical des champs de tenseurs Soient P, Q, R, S T q p(m) des champs de tenseurs alors (dx h ) V = dx h, (2.14) (P Q) V = P V Q V, (2.15) (R + S) V = R V + S V. Si F T 1 1(M) est un tenseur de type (1, 1), tel que Fi h (U, x i ) sur M, alors, de la relation (2.15) on a d où F V à pour composante F V = (F h i dx i ) V x h = (F h i ) V )( x h ) V (dx i ) V = (F h i ) V ( y h ) dx i, ( 0 0 F V : Fi h 0 x h dx i relativement à une carte ). (2.16) De même si G T 0 2(M) tel que G = G ij dx i dx j et H T 2 0 tel que H = H ih x i G V : ( Gij x h, alors ). (2.17)

34 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 33 H V : ( H ih par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Proposition Pour tout ω T 0 1(M) on a ), (2.18) dω V = (dω) V (2.19) Preuve. Si ω = ω i dx i par rapport à la carte (U, x i ) sur M, alors ω V = (ω i dx i ) V = ω i dx i et dω V = ω i x j dx j dx i = 1 2 (ω i x j ω j x i )dx i dx j, (dω) V = (d(ω i ) dx i ) V = 1 2 (ω i x j ω j x i )dx i dx j. Relativement à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ), d(ω V ) a pour composantes : ( ) d(ω V 1 ) : ( ω i 2 x j ω j x i )dx i dx j Proposition Soit F T 1 1(M) un champ de tenseurs de type (1, 1) sur la variété M, alors F V : T M T T M (x, u) F V (x, u) = F V (x,u)(u V ) (2.20) est un champ de vecteurs sur T M. Localement, relativement à une carte induite (π 1 (U), x i, y j ), on a F V = y i F j i y = j yi (F ( x i ))V

35 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent Relèvement complet Relèvement complet d une fonction Définition Soit f une fonction de M. On définit le relèvement complet de f noté f C de M au fibré TM par f C = idf = df : T M R (2.21) v df(v). Relativement à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, on a f C (x, y) = y i f x i (x) = (f)(x). Cette famille de fonctions joue un rôle important dans la caractérisation des champs de vecteurs sur le fibré tangent TM. Proposition Soient X et Ỹ deux champs de vecteurs sur TM tels que pour tout fonction f C (M), alors X = Ỹ X(f C ) = Ỹ (f C ) Preuve. En vertu de linéarité il suffit de prouver que si X(f C ) = 0 ( f C (M)) alors X = 0. Soit X = X h x h + X k par rapport à une carte induite (π 1 (U), x h, y k ) sur TM on a y k X(f C ) = X h (y i f ) + x h x X k (y i f ) i y k x i = X h 2 f ( )y i + x h x i = 0 X k f x k pour tout f C (M), d où ( h = 1,.., m) on a X h = X h = 0 Propriétés Soit X Γ(T M) et g, f C (M) on a : X V (f C ) = (X(f)) V. (2.22) (gf) C = g C f V + g V f C. (2.23) Remarque Si (U, x i ) est une carte sur la variété M, alors (π 1 (U), (x i ) V, (x j ) C ) est la carte induite sur le fibré tangent T M Relèvement complet d un champ de vecteurs Définition Le relèvement complet d un champ de vecteurs X sur M est l unique champ de vecteurs X C sur le fibré TM tel que pour tout f C (M). X C f C = (Xf) C, (2.24)

36 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 35 Si X h désignent les composantes de X par rapport à une carte (U, x i ) sur M et les composantes de X C par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, on a X C (f C ) = X i 2 f ( )y j + x i x j (Xf) C = y i x i (X j f x j ). X j f x j. = (y i Xi ) f + X j y i 2 f ( ). x i x j x j x i pour toute f C (M), d où ( j = 1,.., m) on a X j = X j et X j = y i Xj x i = X j. ( Xh X k Proposition Si X est un champ de vecteurs de composantes X h par rapport à une carte (U, x h ) sur M, alors le relèvement complet X C de X a pour composantes ( ) X X C h : X h, (2.25) relativement à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur T M. Proposition On a pour tout f C (M), X Γ(T M) et ω Γ(T M ) Proposition Soient X, Y Γ(T M) on a X C + Y C = (X + Y ) C (2.26) (fx) C = f C X V + f V X C (2.27) X C f V = (Xf) V (2.28) ω V (X C ) = (ω(x)) V (2.29) ) [X V, Y V ] = 0. (2.30) [X V, Y C ] = [X, Y ] V. (2.31) [X C, Y C ] = [X, Y ] C. (2.32) Preuve. Soit f C (M), en utilisant (2.26) et (2.27) on a [X V, Y C ](f C ) = X V (Y C (f C )) Y C (X V (f C )) = X V (Y f) C Y C (Xf) V = (X(Y f)) V (Y (Xf)) V = ([X, Y ]f) V = [X, Y ] V f C,

37 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 36 et de la proposition (2.7), (2.31), (2.26) et (2.24) on a [X C, Y C ]f C = X C Y C f C Y C X C f C, = (XY f) C (Y Xf) C, = ([X, Y ]f) C = [X, Y ] C f C. Relativement à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur T M, on a pour tout i = 1,.., m ( x i ) C = x i. (2.33) Relèvement complet d une 1-forme Proposition Soient ω et θ deux 1-formes sur TM. Si pour tout X Γ(T M) on a ω(x C ) = θ(x C ), alors ω = θ. Preuve. Il suffit de démontrer que si ω(x C ) = 0 pour tout X Γ(T M), alors ω = 0. Soient (U, x i ) une carte sur M et ( ω i, ω j ) les composantes de ω par rapport la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, on a ω(x C ) = ω h X h + ω h y i Xh x i, pour tout X Γ(T M) tel que X = X i x i. En déduit que ω = 0. Définition Le relèvement complet d une 1-forme ω Γ(T M) est l unique 1-forme ω C Γ(T T M) telle que ω C (X C ) = (ω(x)) C, (2.34) pour tout X Γ(T M). Localement si X = X i x i, ω = ω i dx i et ω C = ω i dx i + ω j dy j, alors ω C (X C ) = ω i X i + ω j (y i Xj x i ) (ωx) C = y i (ω hx h ) x i = (y i ω h x i )X h + ω h (y i Xh x i ), Proposition Soit ω une 1-forme de composantes (ω i ) par rapport à une carte (U, x h ) sur M, le relèvement complet ω C a pour composantes relativement à la carte induite (π 1 (U), x h, y k ) sur TM. ω C : (ω i, ω j ) = (y i ω h x i, ω j ), (2.35)

38 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 37 Proposition Soient ω, θ Γ(T M ) et X Γ(T M), on a Relèvement complet d un champ de tenseurs (ω + θ) C = ω C + θ C, (2.36) (fω) C = f C ω V + f V ω C, (2.37) ω C (X V ) = (ω(x)) V. (2.38) Définition Le relèvement complet peut être prolonger à un tenseur quelconque de manière unique tel que pour tout P, Q T q p(m),on a Si F T 1 1(M) tel que localement F = F h i F C = (F h i dx i ) C x h (P Q) C = P C Q V + P V Q C (2.39) (P + Q) C = P C + Q C. (2.40) x h dx i, alors : = (F h i ) C ( x h ) V (dx i ) V + (F h i ) V ( x h ) C (dx i ) V + (F h i ) V ( x h ) V (dx i ) C, d où F C a pour composantes ( F F C h : F h i i 0 F h i ). (2.41) De même si G T 0 2(M) tel que G = G ij dx i dx j, alors G C a pour coordonnées : ( ) G C Gij G : ij G ij 0 Proposition Soient X, Y Γ(T M) et G T 0 2(M), on a Proposition Pour tout ω Γ (T M) on a Relèvement horizontal (2.42) G C (X V, Y V ) = 0, (2.43) G C (X C, Y V ) = (G(X, Y )) V, (2.44) G C (X C, Y C ) = (G(X, Y )) C. (2.45) d(ω C ) = (dω) C. (2.46) Dans cette section, on suppose que M est une variété de dimension m munie d une connexion linéaire.

39 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 38 Définition Soit une connexion linéaire sur la variété M, on définit, dite connexion opposée à par X Y = Y X + [X, Y ], X, Y Γ(T M). Remarques Soient T et T les tenseurs de torsion associés à et respectivement, alors pour tout X, Y Γ(T M), on a T (X, Y ) = T (Y, X). 2. Si est sans torsion, alors =. Relèvement horizontal d une fonction Définition Soient F T 1 p(m) et G T 0 p(m), on définit γ(f ) T 1 p 1(T M) et γ(g) T 0 p 1(T M) localement par où F = F j γ(f ) = Fh k 1..h p y h 1 y k dxh 2... dx hp (2.47) γ(g) = G h1..h p y h 1 dx h 2... dx hp (2.48) i 1..i p dx i 1... dx ip et G = G x j i1..i p dx i 1... dx ip. Remarques La définition est indépendante de la carte choisie. 2. Si F est un champ de tenseurs de type (1, 1) sur la variété M, alors γ(f ) est un champ de vecteurs vertical sur T M et on a γ(f ) = F v. 3. Si G est une 1-forme sur la variété M, alors γ(g) est une fonction sur T M. 4. Si est une connexion linéaire sur la variété M et f C (M), alors f = df. 5. Si f C (M), alors γ(df) = γ( f) = γ( f) = f C = (f). Définition Si f est une fonction sur M, on pose f H = f C γ( f) = 0. (2.49) application de classe C sur T M dite relèvement horizontal de la fonction f. Relèvement horizontal d un champ de vecteurs Définition Soit X un champ de vecteurs sur M. On définit le relèvement horizontal de X noté X H au fibré TM par X H = X C γ X, (2.50) où γ X = γ( X).

40 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 39 Localement si X = X i x i, alors d où X = ( Xi x j + Xk Γ i jk) x i dxj γ X = ( Xi x j + Xk Γ i jk)y j y i γ X = ( Xi x + j Xk Γ i kj)y j y i X C = X i Xi + yj xi x i y, i Proposition Si X un champ de vecteurs sur TM de composantes (X h ) par rapport à une carte (U, x h ) sur M, alors le relèvement horizontal X H a pour composantes ( ) X H X = h X j Γ k jiy i, (2.51) et ( x i ) H = relativement à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. Remarque pour tout X Γ(T M) on a dπ X H = X π. Définition soit v T M, y j Γ h ij x i y, (2.52) h H v = {X H v ; X Γ(T M)} (2.53) est un sous espace vectoriel de T v (T M) appelé espace horizontal associé à. H = H v (2.54) v T M est un sous fibré vecoriel de T (T M) appelé fibré horizontal associé à. Proposition où v T M. T (T M) = H N T v (T M) = H v N v, Définition Soit w T x M, le relèvement horizontal de w est définie par w H = X H w, (2.55) où X Γ(T M) tel que X x = w. De (2.51) cette définition est indépendante du champ de vecteurs X choisi.

41 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 40 Proposition L application est un isomorphisme linéaire. T x M H v w = w H Définition Un champ de vecteurs X Γ(T (T M)) est dit horizontal, si pour tout v T M on a X v H v. Proposition Un champ de vecteurs X Γ(T (T M)) est horizontal, si localement, il vérifie où X = X i + X j x i y j X h + ˆΓ h ji X j y i = 0, h = 1..m, (2.56) Proposition Pour tout X, Y Γ(T M) et f C (M), on a (X + Y ) H = (X) H + (Y ) H (fx) H = (f) V X H X H f V = (Xf) V X H f C = (Xf) C γ(df X) [X V, Y H ] = [X, Y ] V ( X Y ) V [X H, Y H ] = [X, Y ] H γ R(X, Y ). Où R est le champs de de vecteurs de courbure associé à ˆ. Preuve. on a.x H f V = (X C γ X)f V = X C f V γ X)f V = X C f V = (Xf) V.X H f C = (X C f V γ X)f C = X C f C ( γ X)f C = (Xf) C γ(df X).[X V, Y H ] = [X V, Y C γ( Y )] = [X V, Y C ] [X V, γ( Y )] = [X, Y ] V ( X Y ) V.[X H, Y H ] = [X C γ( X), Y C γ( Y )] = [X C, Y C ] [X C, γ( Y )] + γ[γ( X), γ( Y )] = [X, Y ] C γ [X, Y ] + γ(l( X Y = [X, Y ] H γ R(X, Y ).

42 2.2 Relèvement vertical, complet et horizontal au fibré tangent 41 Relèvement horizontal d une 1-forme Définition Soit ω une 1-forme dans M. on définit le relèvement horizontal de ω noté ω H de M au fibré TM par ω H = ω C γ ω (2.57) où γ ω = γ( ω). Expressions Locale. Si (ω i ) désignent les coordonnées de ω Γ(T M) et Γ h ji les coefficients de Christoffel associés à la connexion relativement à la carte (U, x h ) sur M on a ω C : (ω i, ω i ) γ ω : (y j j ω i y j Γ h jiω h, 0) γ ω : (y j j ω i y j Γ h ijω h, 0) par rapport à la carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM. ω H : (y j Γ h ijω h, ω i ) (2.58) Définition Une 1-forme ω Γ(T (T M)) est dite horizontale si pour tout X Γ(T M), on a ω(x H ) = 0 Expressions Locale. Si ( ω i, ω j ) désignent les composantes de ω Γ(T (T M)) par rapport à une carte induite (π 1 (U), x h, y h ) sur TM, on a pour tout X Γ(T M) ω(x H ) = ω i X i ω h y j Γ h ijx i = 0 d où ω i ω hy j Γ h ij = 0, i = 1..m. (2.59) Propriétés Soient ω Γ(T M ) et X Γ(T M), on a : ω H (X V ) = (ω(x)) V. (2.60) ω H (X C ) = ω C ( γ X). (2.61) ω H (X H ) = 0. (2.62) Remarque De la formuule 2.58, localement on obtient (dx h ) H = y j Γ h jidx i + dy h. (2.63) Relèvement horizontal d un champ de tenseurs Définition Soit S un champ de tenseurs sur M de type (0, s) (resp (1, s). On définit le relèvement horizontal de S au fibré TM noté S H par S H = S C γ S. (2.64)

43 2.3 Métrique naturelle 42 Définition D une manière générale le relèvement horizontal peut être prolonger à un tenseur quelconque de manière unique tel que pour tout P, Q T q p(m),on a Expressions Locale. (P Q) H = P H Q V + P V Q H. (2.65) (P + Q) H = P H + Q H. (2.66) Si F T 1 1(M) tel que F = Fi h ( F H : x i dx h alors Fi h 0 Fi h y j F t i Γ h tj + y j F h t Γ t ij ). (2.67) Si G T 0 2(M) tel que G = G ij dx i dx j alors : ( ) y G H : t Γ h jtg hi + y t Γ h itg jh 0 G ij 0 (2.68) Si H T 2 0(M) tel que H = H ih x i x h alors ( ) 0 H H H ih : H ih y t Γ i jtg jh y t Γ h. (2.69) jtg ij Proposition Soit F T 1 1(M) un champ de tenseurs de type (1, 1) sur la variété M, alors F H : T M T T M (x, u) F H (x, u) = F H (x,u)(u H ), (2.70) est un champ de vecteurs sur T M. Localement, relativement à une carte induite (π 1 (U), x i, y j ), on a F h = y i F j i x j yi y k Fi l Γ s lk y = s yi (F ( x i ))H 2.3 Métrique naturelle Métrique naturelle Définition Soit (M, g) une variété riemannienne. Une métrique riemannienne ḡ sur le fibré tangent TM de M est dite naturelle par rapport à g si ḡ(x H, Y H ) = g(x, Y ) π (2.71) X, Y Γ(T M). ḡ(x H, Y V ) = 0

44 2.3 Métrique naturelle 43 Proposition Soit (M, g) une variété riemannienne de connexion de Levi-Civita. Si ḡ est une métrique naturelle sur TM de connexion de Levi-Civita, alors 1)ḡ (x,u) ( X HY H, Z H ) = g (x,u) ( X Y, Z) 2)ḡ (x,u) ( X HY H, Z V ) = 1 2ḡ(x,u)({R(X, Y )u} V, Z V ) 3)ḡ (x,u) ( X HY V, Z V ) = 1 2 (XH (ḡ (x,u) (Y V, Z V ) + ḡ (x,u) (Z V, ( X Y ) V ) ḡ (x,u) (Y V, ( X Z) V ) 5)ḡ (x,u) ( X HY V, Z H ) = 1 2ḡ(x,u)({R(Z, X)u} V, Y V ) 6)ḡ (x,u) ( X V Y H, Z V ) = 1 2 (ZV (ḡ (x,u) (Y V, X V ) ḡ (x,u) (Z V, ( Y X) V ) ḡ (x,u) (X V, ( Y Z) V ) 7)ḡ (x,u) ( X V Y V, Z H ) = 1 2 ( ZH (ḡ (x,u) (X V, Y V )) + ḡ (x,u) (Y V, ( Z X) V ) + ḡ (x,u) (X V, ( Z Y ) V ) 8)ḡ (x,u) ( X V Y V, Z V ) = 1 2 (XV (ḡ (x,u) (Y V, Z V ) + Y V (ḡ (x,u) (Z V, X V ) Z V (ḡ (x,u) (X V, Y V )) où (x, u) désigne un élément de T M tel que π(u) = x. la preuve découle immédiatement de la formule de Kozul Métrique de Sasaki Définition Soit (M, g) une variété riemannienne. La métrique de Sasaki associée est l unique métrique naturelle ĝ sur le fibré tangent T M telle que X, Y Γ(T M). 1)ĝ(X H, Y H ) = g(x, Y ) π (2.72) 2)ĝ(X H, Y V ) = 0 3)ĝ(X V, Y V ) = g(x, Y ) π Par la suite la métrique de Sasaki sera notée par g S. Proposition Soit (M, g) une variété riemannienne. Si désigne la connexion de Levi-Civita associée à la métrique de Sasaki g S, alors pour tout X, Y Γ(T M) on a : ( X HY H ) (x,u) = ( X Y ) H (x,u) 1 2 (R x(x, Y )u) V (2.73) ( X HY V ) (x,u) = ( X Y ) V (x,u) (R x(u, Y )X) H ( X V Y H ) (x,u) = 1 2 (R x(u, X)Y ) H ( X V Y V ) (x,u) = 0. Définition Soient (M, g) une variété riemannienne et F T 1 1(M) un champ de tenseur de type (1, 1). Alors on définit le champ de vecteurs vertical V F et le champ de vecteur horizontal HF sur T M par V F : T M T T M (x, u) (F (u)) V

45 2.3 Métrique naturelle 44 Localement V F = y i F j i HF = y i F j i HF : T M T T M (x, u) (F (u)) H. y = j yi (F ( x i ))V (2.74) x j yi y k Fi l Γ s lk y = s yi (F ( x i ))H (2.75) Proposition Soit (M, g) une variété riemannienne. Si désigne la connexion de Levi-Civita associée à la métrique de Sasaki g S, alors pour tout X, Y Γ(T M) et F T 1 1(M) on a ( X V V F ) (x,u) = (F (X)) V (x,u) ( X V HF ) (x,u) = (F (X)) H (x,u) (R x(u, X x )F (u)) H ( X HV F ) (x,u) = V ( X F ) (x,u) (R x(u, F x (u))x x ) H ( X HHF ) (x,u) = H( X F ) (x,u) 1 2 (R x(x x, F x (u))u) V. Preuve. X V F V = X V y i (F ( x i ))V = X V (y i )(F ( x i ))V Et ( X V HF ) (x,u) = ( X V y i (F ( x i ))H ) (x,u) ( X HHF ) (x,u) = ( X Hy k (F ( x k ))H ) (x,u) Soit U = u i x i = (X V (y i )(F ( x i ))H + y i ( X V F ( x i )H ) (x,u) = X i (F ( x i )H + u i 1 2 (R x(u, X)F x ( x i ))H = (F (X)) H (R x(u, X)F x (u)) H. = (X H (y k )(F ( x k ))H + y k X HF ( x k )H ) (x,u) = X i u j Γ k ij(f ( x k ))H + u k ( X F ( x k ))H (x,u) u k 1 2 (R x(x x, F x ( x k ))u)v. un champ de vecteur constant alors ( X HHF ) (x,u) = F ( X U) H (x,u) + ( X F (U)) H (x,u) 1 2 (R x(x x, F x (u))u) V = (( X F )(U)) H (x,u) 1 2 (R x(x x, F x (u))u) V = (H( X F )) (x,u) 1 2 (R x(x x, F x (u))) V.

46 2.4 Harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 45 De même, nous avons ( X HV F ) (x,u) = (X H (y k )(F ( x k ))V + y k X HF ( x k )V ) (x,u) = V ( X F ) (x,u) (R x(u, F x (u))x x ) H Proposition Soit (M, g) une variété riemannienne. Si ˆR désigne le tenseur de courbure de la métrique de Sasaki g S sur T M, associé à g, alors pour tous X, Y, Z Γ(T M) on a 1. R (x,u) (X V, Y V )Z V = 0 (2.76) 2. R (x,u) (X V, Y V )Z H = [R(X, Y )Z R(u, X)(R(u, Y )Z) 1 4 R(u, Y )(R(u, X)Z)]H x 3. R (x,u) (X H, Y V )Z V = [ 1 2 R(Y, Z)X R(u, Y )(R(u, Z)X)]H x 4. R (x,u) (X H, Y V )Z H = [ 1 4 R(R(u, Y )Z, X)u R(X, Z)Y ]V x [( XR)(u, Y )Z] H x 5. R (x,u) (X H, Y H )Z V = [R(X, Y )Z R(R(u, Z)Y, X)u 1 4 R(R(u, Z)X, Y )u]v x [( XR)(u, Z)Y ( Y R)(u, Z)X] H x 6. R (x,u) (X H, Y H )Z H = 1 2 [( ZR)(X, Y )u] V x +[R(X, Y )Z + 1 R(u, R(Z, Y )u)x 4 où (x, u) T M tel que π(u) = x. (Voir [18]) R(u, R(X, Z)u)Y R(u, R(X, Y )u)z]h x Théorème Soit (M, g) une variété riemannienne, (T M, g S ) le fibré tangent associé muni de la métrique de Sasaki. Alors (M, g) est plate si et seulement si (T M, g S ) est plate. Preuve. de la proposition on a, (R = 0) ( R = 0), de plus R p (X, Y )Z = R (p,0) (X H, Y H )Z H = 0 pour tout X, Y, Z Γ(T M) et p M ; D où ( R = 0) (R = 0) 2.4 Harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) Densité d énergie d une section Définition Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et (T M, g S ) le fibré tangent muni de la métrique de Sasaki, la densité d éneregie d une section X Γ(T M)

47 2.4 Harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 46 est définie par : e(x) x = 1 2 tr gg s (x,u)(dx( ), dx( )). Si {e i } m est une base orthonormée associée à la métrique g en un point x M, on a e(x) x = 1 2 gs (x,u)(dx(e i ), dx(e i )) = 1 2 gs (e H i + ( ei X) V, e H i + ( ei X) V ) = 1 2 (gs (x,u)(e H i, e H i ) + g s (x,u)(( ei X) V, ( ei X) V )) = 1 2 (g x(e i, e i ) + g x ( ei X, ei X)) = m 2 + X 2 x. (2.77) Si D une partie compacte de M alors l énergie de X est E(X, D) = e(x)v M D = m 2 V ol(d) + X 2 v M. (2.78) Lemme Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g S ) le fibré tangent muni de la métrique de Sasaki et X, Y Γ(T M) deux champs de vecteurs sur M, si x un point de M tel que X x = u alors on a d x X(Y x ) = Y(x,u) h + ( Y X) v (x,u). Preuve.Soient (U, x i ) une carte locale sur M et (π 1 (U), x i, y j ) la carte induite sur T M, si X x = X i (x) x i x et Y x = Y i (x) x i x, alors d x X(Y x ) = Y i (x) x i (x,x x) + Y i (x) Xk x i (x) y k (x,x x), ainsi la partie horizontale est donnée par (d x X(Y x )) h = Y i (x) x i (x,x x) Y i (x)x j (x)γ k ij(x) y k (x,x x) = Y h (x,x x), et la partie verticale est donnée par (d x X(Y x )) v = {Y i (x) Xk x (x) + Y i (x)x j (x)γ k ij(x)} i y k (x,x x) = ( Y X) v (x,x x). D

48 2.4 Harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 47 Proposition Soient (M, g) une variété riemannienne de dimension m et (T M, g S ) le fibré tangent associé muni de la métrique de Sasaki. Si X : M T M est un champ de vecteurs, alors le champ de tension τ(x) est donné par où 2 X = X X. τ(x) = (tr g R(X, X) ) H + (tr g 2 X) V, (2.79) Preuve. On a par définition de champs de tension τ(x) = tr g dx. Si {e i } m est une base orthonormée sur M tel que ( M e i e i ) x = 0, x M alors τ(x) = τ(x) = ( = = = = { X e i dx(e i ) dx( M e i e i )} X e i dx(e i )) X e i (e H i + ( ei X) V ) T M dx(e i )(e H i + ( ei X) V ) T M e H i +( e i X) V [e H i + ( ei X) V ] { T M e H i on applique la propostion on obtient D où : τ(x)(x) = e H i + T M e ( H ei X) V + T M ( i ei (e X) V i ) H + T M ( ei ( X) V ei X) V }, { ( ei e i ) H (x,u) 1 2 (R x(e i, e i )u) V + ( e i e i X) V (x,u) (R x(u, ei X)e i ) H R x(u, ei X)e i ) H } = {( e i e i X) V(x,u) + R x (u, ei X)e i ) H }. τ(x) = (tr g R(X, X) ) H + (tr g 2 X) V Notation On note τ h (X) = tr g R(X, X) τ v (X) = tr g 2 X

49 2.4 Harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 48 Théorème Le champ de vecteurs X Γ(T M) est harmonique si et seulement si τ h (X) = tr g R(X, X) = 0 et τ v (X) = tr g 2 X = 0. Corollaire Si X Γ(T M) est un champ de vecteurs parallèle (i.e X = 0), alors X est une section harmonique. Exemple En considère sur R 2 le champ de vecteurs X : R 2 T R 2 (x, y) (X 1 (x,y), X 2 (x,y)) donc X est harmonique si et seulement si { 2 X X 1 x 2 y 2 = 0 2 X 2 x 2 + X2 y 2 = 0. Par exemple le champ de composantes X 1 = X 2 = x 2 y 2 est harmonique. Exemple On considérons l espace hyperbolique (H n, g) de courbure sectionnelle constante c 2 < 0 H n = {z = (x 1,..., x n 1, y) R n : y > 0}, Les champs de vecteurs } g = 1 ( n 1 (dx (cy) 2 i ) 2 + (dy) ). 2 constituent une base orthonormé de (H n, g) et V = cy y, e i = cy x i, 1 i n 1, [V, e i ] = ce i, [e i, e j ] = 0, 1 i, j n 1. Soit la connexion de Levi-Civita de (H n, g) Il s ensuit que on obtient ei V = ce i, V V = 0, V e i = 0, ei e j = cδ ij V, 1 i, j n 1, τ v (V ) = (n 1)c 2 V, τ h (V ) = c 2 ( V V div(v )V ) = c 3 (n 1)V, considérons le champ de vecteurs X = f(y)v, où f(y) est une fonction différentiable dépend uniquement de la variable y. En appliquant la proposition on obtient τ v (X) = τ v (fv ) + fτ v (V ) 2V (f) V V = [(n 1)cV (f) V V (f)]v + (n 1)c 2 fv ) = c ((n 2 2)yf y 2 f + (n 1)f V

50 2.4 Harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 49 τ h (X) = c 3 (n 1)f 2 V. Où f = df, f = d2 f. Concluons facilement que le champ de vecteurs X = f(y)v est un dy dy 2 champ de vecteurs harmonique si et seulement si y 2 f (n 2)yf (n 1)f = 0, est une ODE de second ordre de solution générale est f(y) = c 1 y n 1 (n 1)(n+3) 2 + c 2 y n 1+ (n 1)(n+3) 2, y > 0, où c 1 et c 2 sont des constantes réelles. Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne compacte, de dimension m et (T M, g S ) le fibré tangent à M muni de la métrique de Sasaki, si X : (M, g) (T M, g s ) est un champ de vecteurs. Alors X est harmonique si et seulement si X est une section parallèle. Preuve. D après le corollaire (2.4.1), on a ( X = 0) (τ(x) = 0). Inversement, on suppose que X est harmonique, comme M est une variété compacte, alors ϕ : R M T x M (t, x) ϕ t (x) = (t + 1)X x, est une variation de X à support compact, en appliquent la formule (2.78) à la section (1+t)X, on obtient 0 = t E(ϕ t) t=0 = t E((t + 1)X) t=0 = t [m 2 vol(m) + = t [(t + 1)2 M = t [(t + 1)2 ] t=0 = 2 M X 2 v M M (t + 1)X 2 v M ] t=0 X 2 v M ] t=0 M X 2 v M. On déduit X = 0 X Γ(T M). Remarque X 2 = i g( e i X, ei X). En général si M est une variété non compacte, alors le théorème (2.4.2) n est pas vérifié

51 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 50 Contre Exemple M = R n est une variété plate et non compacte, soit le champ de vecteurs on a X : R n T R n, x = (x 1,..., x n ) X x = (X 1 x,..., X n x ) τ(x) = n ( 2 X 1 x 2 i,..., 2 X n ), x 2 i si X k = a k x k est un polynôme de degré 1 non nul, alors X est harmonique (τ(x) = 0) et X = k a k dx k x k Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne compacte et X Γ(T M), alors X est bi-harmonique avec la métrique de Sasaki sur T M si et seulement si X est harmonique. Preuve. Soit X t une variation à support compact de X définie par X t = (1 + t)x. Alors d aprés la notation on obtient τ h (X t ) = (1 + t) 2 τ h (X) τ v (X t ) = (1 + t)τ v (X) E 2 (X t ) = 1 2 τ(x t ) 2 g sv g Alors D où = 1 τ h (X t ) 2 2 gv g + 1 τ v (X t ) 2 2 gv g (1 + t)4 = τ h (X t ) 2 (1 + t)2 2 gv g + 2 d dt E 2(X t ) t=0 = 1 2 = 1 2 τ h (X t ) 2 gv g τ(x) 2 g sv g. d dt E 2(X t ) t=0 = 0 τ(x) = 0. τ v (X t ) 2 gv g τ v (X t ) 2 gv g Corollaire Soient (M, g) une variété riemannienne compacte et X Γ(T M), alors X est bi-harmonique pour la métrique de Sasaki sur T M si et seulement si X est parallèle.

52 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 51 Remarque Si X Γ(T M) à support compact alors X est bi-harmonique pour la métrique de Sasaki sur T M si et seulement si X est harmonique. Lemme Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g S ) le fibré tangent associé muni de la métrique de Sasaki. Si X : (M, g) (T M, g S ) est un champ de vecteurs, qui vérifie (voir la remarque 1.3.1) J X (τ h (X) H ) = 0. Alors pour un point (x, u) T M le champs de bi-tension de X est donnée par : où τ v (X) = tr g 2 X. τ 2 (X) = J X (τ v (X)) { } V ( = tr g 2 (τ v (X)) + {tr g R(u, τ v (X)) (x,u) + R(τ v (X), X) + 1 )} H 2 R(u, τ v (X))R(u, X) Preuve. En appliquant la définition du champ bi-tension : τ 2 (X) = tr g (( X ) 2 τ(x)) + tr g (R T M (τ(x), dx)dx). (x,u), Soient x M, {e i } m une base orthonormèe sur M et E i Γ(T M) tels que ( ei e i ) x = 0 et E i (x) = e i. Si F i = 1 2 R(, τ v (X))E i ), alors pour un point u T x M on a tr g 2 (τ v (X)) V (x,u) = = = = { { Xei Xei (τ v (X)) V } (x, u) { T M e H i +( e i X)V ( ( ei τ v (X)) V R(u, τ v (X))e i ) H } { T M e H i +( e i X)V ( ei τ v (X)) V + F h )}(x,u) T M e H i } ( ei τ v (X)) V + T M e F h + T M H ( i ei X) F h, V (x,u) d après les propositions (2.3.2) et (2.3.3) on a ( T M X V F h ) (x,u) = F (X) H (x,u) (R x(u, X)F (u)) H

53 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 52 tr g 2 (τ v (X)) V (x) = + { ( ei ei τ v (X)) (x,u) 1 } V 4 R x(e i, R(u, τ v (X))e i )u { 1 2 (R x(u, τ v ei (X))e i ( R(u, τ v ei (X))e i ) R(τ v (X), u) R x(u, ei X)R(u, τ v (X))e i R x( ei X, τ v (X))e i } H tr g (R T M (τ(x), dx)dx = De la proposition on obtient D où comme tr g (R T M (τ(x), dx)dx = τ 2 (X) = { R T M ((τ v (X)) V, e H i )e H i + R T M ((τ v (X)) V, ( ei X) V )e H i + R T M ((τ v (X)) V, e H i )( ei X) V + R T M ((τ v (X)) V, ( ei X) V )( ei X) V }. + { 1 4 R(R(u, τ v (X))e i, e i )u + 1 } V 2 R(e i, e i )τ v (X) x { R(τ v (X), ei X)e i R(u, τ v (X))R(u, ei X)e i 1 4 R(u, e i X)R(u, τ v (X))e i R(τ v (X), ei X)e i R(u, τ v (X))R(u, ei X)e i 1 } H 2 ( e i R)(u, τ v (X))e i. x { tr g 2 (τ v (X))} V + { 1 2 R(u, e i τ v (X))e i e i R(u, τ v (X))e i + R(u, τ v (X))R(u, ei X)e i ( ei R)(u, τ v (X))e i } H, ei R(u, τ v (X))e i = ( ei R)(u, τ v (X))e i + R( ei u, τ v (X))e i + R(u, ei τ v (X))e i, alors τ 2 (X) = { } V { T r g 2 (τ v (X)) + R(u, ei τ v (X))e i + R(τ v (X), ei X)e i R(u, τ v (X))R(u, ei X)e i } H. Lemme Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g S ) le fibré tangent associé muni de la métrique de Sasaki. Si X : (M, g) (T M, g S )

54 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 53 est un champ de vecteurs, qui vérifie (voir la remarque 1.3.1) J X (τ v (X) V ) = 0. Alors pour un point (x, u) T M le champs de bi-tension de X est donnée par : τ 2 (X) = tr g {2R(τ h (X), ) X R(, τ h (X))u + 1 } V 2 R(R(u, ), τ h (X))u (x,u) + tr g { τ h (X) + R(u, X) τ h (X) R(u, X)τ h (X) + R(u, R(τ h (X), )u) +R(τ h (X), ) +( τ h (X)R)(u, X) où τ h (X) = tr g R(X, X). Preuve. En appliquant la définition du champ bi-tension : τ 2 (X) = tr g (( X ) 2 τ(x)) + tr g (R T M (τ(x), dx)dx). } H (x,u), Soient x M et {e i } m une base orthonormèe dans M tels que ( ei e i ) x = 0, Si F i = 1 2 R(e i, τ h (X)) ), (2.80) Et G i = 1 2 R(, e i X)τ h (X)). (2.81) Alors pour un point u T x M on a tr g 2 (τ h (X)) H (x,u) = = } { Xei Xei (τ h (X)) H D après les propositions (2.3.2) et (2.3.3) on a tr g 2 (τ h (X)) H (x,u) = (x,u) { ( )} e H ( i +( e i X)V ei (τ h (X)) H V F i + HG i. (x,u) { ( ei ei τ h (X)) H + ( 1 2 R(u, e i X) ei τ h (X)) H V ( ei F i ) ( 1 2 R(e i, ei τ h (X))u) V 1 2 (R(u, F i(u))e i ) H (F i ( ei X)) V + H( ei G) 1 2 (R(e i, G(u))u) V + (G i ( ei X)) V + 1 } 2 (R(u, e i X)G i (u)) H. (2.82) (x,u)

55 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 54 En remplaçant 2.80,2.81 dans 2.82,nous arrivons à tr g 2 (τ h (X)) H (x,u) = { ( ei ei τ h (X)) + R(u, ei X) ei τ h (X)) + R(u, ei ei X)τ h (X)) ( e i R)(u, ei X)τ h (X)) R(u, e i X)R(u, ei X)τ h (X)) 1 4 R(u, R(e i, τ h (X)u)e i } H (x,u) { 1 2 R(e i, τ h (X)) X + R(e ei i, τ h ei (X))u ( R)(e ei i, τ h (X))u R(e i, R(e i, ei X)τ h (X))u } V (x,u). (2.83) D autre part, nous avons { } tr g R(τ h (X) H, dx)dx (x,u) = { R(τ h (X), e i )e i R(u, R(τ h (X), e i )u)e i + ( τ h (X)R)(u, ei X)e i 1 2 ( e i R)(u, ei X)τ h (X) R(u, e i X)R(u, ei X)τ h (X) } H (x,u) { 1 2 ( R)(τ h ei (X), e i )u R(R(u, X)e ei i, τ h (X))u R(τ h (X), e i ) ei X 1 4 R(R(u, e i X)τ h (X), e i )u En prend la somme des formules 2.83,2.84 on obtient le lemme } V (2.84). Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g S ) le fibré tangent associé muni de la métrique de Sasaki, et X : (M, g) (T M, g S ) un champ de vecteurs alors le champ bi-tension de X est donné par τ 2 (X) (x,u) = tr g { 2 (τ v (X)) + 2R(τ h (X), ) X R(, τ h (X))u pour tout (x, u) T M R(R(u, ), τ h (X))u } V (x,u) + tr g {R(u, τ v (X)) +R(τ v (X), X) R(u, τ v (X))R(u, X) + τ h (X) + R(u, X) τ h (X) R(u, X)τ h (X) + R(u, R(τ h (X), )u) +R(τ h (X), ) +( τ h (X)R)(u, X) } H (x,u), (x,u)

56 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 55 Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g S ) le fibré tangent associé muni de la métrique de Sasaki. Un champ de vecteurs X : (M, g) (T M, g S ) est bi-harmonique si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées et 0 = tr g { 2 (τ v (X)) + 2R(τ h (X), ) X R(, τ h (X))u + 1 } 2 R(R(u, ), τ h (X))u x 0 = tr g {R(u, τ v (X)) +R(τ v (X), X) R(u, τ v (X))R(u, X) + τ h (X) + R(u, X) τ h (X) R(u, X)τ h (X) } + R(u, R(τ h (X), )u) +R(τ h (X), ) +( τ (X)R)(u, h X) pour tout (x, u) T M. Exemple Soit (M = R 2, g) une variété riemannienne avec les coordonnées cartésiennes (x, y) muni de la métrique euclidienne g. La forme générale d un champ de vecteurs X de R 2 est X = f(x, y) x + g(x, y) y, où f, g sont des fonctions différentiables de R 2 et, x y de R 2. On obtient τ v (X) = (f xx + f yy ) x + (g xx + g yy ) y, sont les champs de vecteurs de base où f x = f, f x xx = 2 f. En utilisant le théorème 2.5.2,on déduit que le champ vecteurs X est x 2 bi-harmonique si et seulement si tr g 2 (τ v (X)) = 0, ou de façon équivalente { fxxxx + 2f xxyy + f yyyy = 0 (2.85) g xxxx + 2g xxyy + g yyyy = 0. Les solutions particulières du système 2.85 sont { }{ } f(x, y) = (A + Cx) cosh βx + (B + Dx) sinh βx a cos βy + b sin βy g(x, y) = { (A + Cx) cos βx + (B + Dx) sin βx }{ a cosh βy + b sinh βy }, où A, B, C, D, a, b et β sont des constantes réelles arbitraires. Exemple On considère le groupe de Heisenberg. Ceci est défini comme étant le groupe constitué de tous les 3 3 matrices triangulaires supérieures réelles de la forme 1 x y A = 0 1 z x

57 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 56 muni de la métrique invariante à gauche donné par dx 2 + dy 2 + ( 1 2 (ydx xdy) + dz ) 2. On identifier le groupe de Heisenberg avec R 3 vecteurs invariants à gauche équipé de cette métrique les champs de e 1 = x y 2 z, e 2 = y + x 2 z, e 3 = z, constituer une base orthonormale de l algèbre de Lie g de groupe de Heisenberg. La connexion de Levi- Civita correspondant est déterminé par e2 e 1 = e1 e 2 = 1 2 e 3, e1 e 3 = e3 e 1 = 1 2 e 2, e2 e 3 = e3 e 2 = 1 2 e 1 (2.86) e1 e 1 = e2 e 2 = e3 e 3 = 0. (2.87) où les dérivées covariantes restantes des vecteurs de base est nulles. En utilisant les relations 2.86 on obtient R(e 2, e 1 )e 3 = R(e 2, e 3 )e 1 = R(e 3, e 1 )e 2 = 0, τ v (e 1 ) = 1 2 e 1, τ v (e 2 ) = 1 2 e 2, τ v (e 3 ) = 1 2 e 3. (2.88) On prend le champ de vecteurs X = f(x)e 1, où f(x) est une fonction différentiable sur R dépend que la variable x. En utilisant les relations 2.86 et 2.88 on obtient Où f = df dx, f = d2 f dx 2, g = 1 2 f f τ v (X) = τ v (fe 1 ) + fτ v (e 1 ) 2f e1 e 1 = ge 1. tr g 2 (τ v (X)) = τ v (ge 1 ) + gτ v (e 1 ) = (f f f)e 1, τ h (X) = f 2 ( 1 2 R(e 3, e 1 )e R(e 2, e 1 )e 3 ) = 0, { tr g R(X, τ v (X)) = tr g R(f(x)e 1, g(x) 2 (e 3 e 2 ) +R(f(x)e 1, e 1 (g(x))e 1 ) } + +R(f(x)e 1, e 2 (g(x))e 2 ) +R(f(x)e 1, e 3 (g(x))e 3 ) = 0 tr g R(τ v (X), X) = tr g {R(g(x)e 1, e 1 (f(x))e 1 ) +R(g(x)e 1, e 2 (f(x))e 1 ) + R(g(x)e 1, e 3 (f(x))e 1 ) +R(g(x)e 1, f(x) } 2 (e 2 e 3 )) = 0

58 2.5 Bi-harmonicité d une section X : (M, g) (T M, g S ) 57 1 { 1 } tr g 2 R(X, τ v (X))R(X, X) = tr g 2 R(f(x)e 1, g(x)e 1 )R(X, X) = 0. On en déduit que le champ de vecteurs X est bi-harmonique si et seulement si tr g 2 (τ v (X)) = 0, où équivalente f f + 1 f = 0. (2.89) 4 La solution générale de l équation du quatrième ordre homogène 2.88 est f(x) = c 1 e x 2 + c2 xe x 2 + c3 e x 2 + c4 xe x 2. Où c 1, c 2, c 3 et c 4 sont des constantes réelles. Nous concluons facilement que les champs de vecteurs X = [c 1 e x 2 + c3 e x 2 ]e1, c 1, c 3 R sont harmoniques et aussi des champs de vecteurs bi-harmoniques. Au contraire, les champs de vecteurs X = x[c 2 e x 2 +c4 e x 2 ]e1, c 2, c 4 R sont bi-harmoniques non harmoniques de le groupe de Heisenberg. Suivant le même procédé, les champs de vecteurs X = z(c 2 e z 2 + c4 e z 2 ), c2, c 4 R sont aussi des champs de vecteurs biharmoniques non harmoniques de le groupe de Heisenberg.

59 Chapitre3 Géométrie du fibré tangent d ordre 2 et bi-harmonicité 3.1 Le fibré tangent d ordre L espace des 2 jet T 2 M Soient M une variété différentiable de dimension n et F l ensemble des fonctions réelles définies sur un ouvert I R tel que 0 I. Si f, g F, on dit que f est 2-équivalente à g si d j f dt j t=0 = dj g dt t=0, j = 0, 1, 2. j On note f g, la relation est une relation d équivalence dans F. Notons par S(M) (resp S(M)) l ensemble des courbes de ( ɛ, ɛ) (resp R) dans M. Soient γ 1, γ 2 deux courbes de S(M) on dit que γ 1 est 2-équivalente à γ 2 si f γ 1 f γ 2 f C (M). La relation est aussi une relation d équivalence dans S(M). Notons j 2 (γ) la classe d équivalence de γ dans S(M)/. Définition On appelle j 2 (γ) un 2-tangent ou 2-jet à M en x M définie par γ si γ(0) = x. Lemme Soit γ S(M), alors il existe ɛ 1 > 0 et γ S(M) tels que γ est définie sur ( ɛ 1, ɛ 1 ) et γ(t) = γ (t) pour t < ɛ 1. Preuve.Si γ S(M) alors ɛ > 0 tel que γ est définie de ( ɛ, ɛ) M, soit la fonction g C (M) définie par { t t ɛ g(t) = 2 0 t > 2ɛ 3 posons ɛ = ɛ 2 1 et γ = γ g alors γ(t) = γ (t) pour t < ɛ 1.

60 3.1 Le fibré tangent d ordre 2 59 Remarque Pour tout 2-tangent j 2 (γ) il existe γ S(M) telle que j 2 (γ) = j 2 (γ ). Définition On appelle T 2 M l ensemble des 2-tangents dans M, et pour tout x M notons par T 2 x M l ensemble de tous les 2-tangents dans M au point x M, et définissons l application π 2 : T 2 M M j 2 γ π 2 (j 2 γ) = γ(0) = x. La notation de 1-tangent coïnside avec la notion de fibré tangent. Lemme Soit (U, x i ) une carte dans M pour x M,et soient γ 1, γ 2 S(M) tels que γ 1 (0) = γ 2 (0) = x. Alors γ 1 γ 2 si est seulement si x i γ 1 x i γ 2 pour i = 1, 2. Preuve. Supposons que γ 1 γ 2 alors il existe un ouvert V contenant x dans U et une fonction f i C (M)(i = 1,..., n) telle que f i V = x i V. donc f i γ 1 f i γ 2 et on a x i γ 1 (t) = f i γ 1 (t) et x i γ 2 (t) = f i γ 2 (t) pour t < ɛ d ou x i γ 1 x i γ 2 pour tout i. Réciproquement, prouvons que f γ 1 f γ 2 i.e dj (f γ 1 ) dt j t=0 = dj (f γ 2 ) dt j t=0, j = 0, 1, 2. pour j = 0 on a bien γ 1 (0) = γ 2 (0). Définissons la fonction g : U R n par g(x) = (x 1 (x),..., x n (x)) pour x U. Alors la fonction F = f g 1 C (g(u)) et on a f(x) = F (x 1 (x),..., x n (x)) pour x U, qui nous donne f(γ 1 (t)) = F (x 1 (γ 1 (t)),..., x n (γ 1 (t)), alors d(f γ 1 ) dt = n df g(γ1 (t)). d(x i γ 1 ) dx i dt (3.1) Donc [ d(f γ1 ) ] dt de la même manière on a [ d(f γ2 ) ] dt t=0 t=0 = = n df [ d(xi γ 1 ) ] g(γ1 (t)). dx i dt n df [ d(xi γ 2 ) ] g(γ2 (t)). dx i dt t=0 t=0 qui donne [ d(f γ1 ) ] dt et de même manière en dérivant 3.1 à t = 0 [ d 2 (f γ 1 ) D ou f γ 1 f γ 2. t=0 dt 2 ]t=0 [ d(f γ2 ) ] = dt [ d 2 (f γ 2 ) = t=0, dt 2 ]t=0.

61 3.1 Le fibré tangent d ordre Structure différentielle de T 2 M Définition On définit les coordonnées locales x (j) i (π 2 ) 1 (U) dans T 2 M par tels que i = 1,..., n, j = 0, 1, 2 de [ x (j) d i (j 2 j (x i γ) γ) = par rapport à la carte (U, x i ) dans M. x (j) dt j ]t=0 pour j 2 γ (π 2 ) 1 (U), (3.2) i est une application injective par définition. et pour tout y R 2n la courbe γ(t) = x 1 i (x h + t j y) nous assure la surjectivité, alors x j i est bien une application bijective, de plus π 2 est une application différentielle surjective. Définition L espace T 2 M muni de l atlas { } A = ((π 2 ) 1 (U), x i, y j i ),...,n j=1,2 avec x j i = yj i, telle que (U, x i ) est une carte dans M est une variété de dimension 3n. L espace T 2 M est appelé le Fibré Tangent d Ordre 2 avec la projection π 2 de T 2 M vers M. Remarque T 2 M n est pas un fibré vectoriel au dessous de M. Définition On définit l application π 2 1 : T 2 M T M j 2 γ π 2 1(j 2 γ) = j(γ). Alors la variété M peut s injecter dans T 2 M par l application x j 2 xγ, pour tout x M où γ x S(M) défini par γ x (t) = x; t R. Définition Soit F : M N une application entre deux variétés différentiable de dimension m, n respectivement. On définit l application T 2 F : T 2 M T 2 N par T 2 F (j 2 γ) = j 2 (F γ), pour tout γ S(M). T 2 F est bien une application différentielle de T 2 M vers T 2 N, on l appelle l application tangente de F d ordre 2 ou 2-tangente de F. Soit π 1 (resp π 2 )la projection de M N dans M (resp N) on peut identifier T 2 (M N) à T 2 M T 2 N à travers l application :j 2 γ (j 2 (π 1 γ), j 2 (π 2 γ)) pour tout γ S(M N). Proposition Soient M 1, M 2, M 3 et M 4 quatre variétés, et soient F 1 : M 1 M 2, F 2 : M 2 M 3, F 3 : M 3 M 4 et F 4 : M 1 M 3 quatres applications alors on a où 1 M est l identité dans M. T 2 (F 2 F 1 ) = T 2 (F 2 ) T 1 (F 1 ) T 2 (F 1, F 4 ) = (T 2 F 1, T 2 F 4 ) T 2 (F 1 F 3 ) = T 2 F 1 T 2 F 3 T 2 (1 M ) = 1 T 2 M,

62 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2 Dans cette partie on considère M une variété de dimension n et de classe C, et soit la carte (U, x i ) dans M quelle nous induit la carte ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ), où π 2 est la projection du fibré T 2 M Relèvement complet Relèvement complet d une fonction Définition Soit f une fonction dans M (f C (M)). On définit le λ-relèvement de f noté f (λ) de M au fibré T 2 M par pour tout j 2 γ T 2 M. d λ f (λ) (j 2 γ) = 1 λ d λ t (f γ) t=0 pour λ = 1, 2, (3.3) Proposition Pour toutes f, g C (M) on a (fg) (λ) = λ f (µ) g (λ µ). µ=0 Définition Soit f une fonction dans M (f C (M)). On définit le relèvement complet de f noté f C de M au fibré T 2 M par f C = f (2). (3.4) Où pour tout j 2 γ T 2 M. f (2) (j 2 γ) = 1 d 2 d 2 t (f γ) t=0, Remarque Si on note par f 2 f = i f, = i1,i x i x i1 x 2 f. i2 Alors l expression local de f C est donnée par f C = c i1 i1 fyi c i1 i 2 i1 i 2 fyi 1 1 yi 1 2 (3.5) 2 = c i1..i s i1..i s fy j 1 i 1..y js i s, s=1 1 j 1 j 2 2 j 1 +j 2 =2 par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M.

63 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2 62 La famille des fonction f C joue un rôle très important dans la caractérisation des champs de vecteurs sur T 2 M comme le montre la proposition suivante : Proposition soient X, Ỹ Γ(T 2 M). Si X(f C ) = Ỹ (f C ) pour toute f C (M), alors X = Ỹ. Preuve.De la linéarité des champs de vecteurs, il suffit de montrer que si X(f C ) = 0 alors X = 0. Soit X Γ(T 2 M) avec les coordonnées locales ( X h, X h 1, X h 2 ) par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, yi 1, yi 2 ) dans T 2 M. X(f C ) = X h (c i1 i1 fyi 2 x 1 + c i1 i 2 i1 i 2 fyi 1 1 yi 1 2 ) h + X h 1 (c i1 i1 fyi c i1 i 2 i1 i 2 fyi 1 1 yi 1 2 ) + X 2 h y 1 h y 2 h (c i1 i1 fy 2 i 1 + c i1 i 2 i1 i 2 fy 1 i 1 y 1 i 2 ) = X h (c i1 hi1 fy 2 i 1 + c i1 i 2 hi1 i 2 fy 1 i 1 y 1 i 2 ) + X 1 h(c i1 i 2 hi2 fy 1 i 2 + c i1 i 2 i1 hfy 1 i 1 ) + X 2 h(c i1 h f) = 0. Alors pour tout f C (M), h f, i1,hf et hi1 i 2 f on a d où X = 0. X h = X 1 h = X 2 h = 0, Propriété Pour toutes f, g C (M) on a (f + g) C = f C + g C 2 (fg) C = f (j) g (2 j). j=0 Relèvement complet d un champ de vecteurs Définition Soit X un champ de vecteurs de M. il existe un unique champ de vecteurs noté X C dans T 2 M tel que X C (f C ) = (Xf) C pour toute f C (M). X C est appelée le relèvement complet de X au fibré T 2 M. Remarque Si X h sont les composantes de X par rapport à la carte (U, x i ) dans M, et X h si sont les composantes de X C par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, yi 1, yi 2 ) X h 1 X h 2

64 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2 63 dans T 2 M. Alors de 3.4 et 3.5 on obtient Et f C = i1 fy 2 i i 1 i 2 fy 1 i 1 y 1 i 2. (Xf) C = X h ( hi1 fy 2 i hi 1 i 2 fy 1 i 1 y 1 i 2 ) + X 1 h( hi1 fy 1 i1) + X 2 h( h f) = X h (( h f) (2) ) + X h(( 1 h f) (1) ) + X h(( 2 h f)) 2 = X j h ( hf) (2 j). j=0 Proposition Soit X un champ de vecteurs de composantes X h par rapport à la carte (U, x h ) dans M. Le relèvement complet X C de X a pour composantes X C : X h X (1) h X (2) h pour h = 1...n, par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M. Définition Soit X un champ de vecteurs de M. Il existe un unique champ de vecteurs noté X λ dans T 2 M tel que X λ (f C ) = (Xf) (λ) pour toute f C (M). X λ est appelé le λ-relèvement de X de M au fibré T 2 M. Si X h sont les composantes de X par rapport à la carte (U, x h ) dans M, et si sont les composantes de X λ par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M alors de la remarque on obtient X h X h 1 X h 2 (Xf) λ = (X h h f) λ = λ j=0 X (j) h ( hf) (λ j). (3.6) Et 2 X λ f C = X j h ( hf) (2 j) (3.7) j=0 Les formules 3.6,3.7 assurent l existence, l unicité découle directement de la proposition

65 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2 64 Proposition Soit X un champ de vecteurs de composantes X h par rapport à la carte (U, x h ) dans M. le λ-relèvement X λ de X a pour composantes X λ : (0, 0, 0, X h, X (1) h, X(2) h ); pour h = 1...n, par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M. Pour 0 λ 2 on a ( x i ) λ = x (2 λ) i = y 1 λ i (3.8) ( x i ) λ f C = ( f x i ) (λ) (3.9) Proposition Soient f C (M) et X, Y Γ(T M) alors (fx) C = Relèvement complet d une 1-Forme 2 f (j) X (2 j) j=0 (X + Y ) C = X C + Y C Proposition Soient ω, θ deux 1-formes dans T 2 M telle que Alors ω = θ pour tout X Γ(T M). ω(x C ) = θ(x C ). Preuve.De la linéarité des 1-formes il suffit de montrer que si ω(x C ) = 0 on a ω = 0, X Γ(T M). ω : ( ω h, ω 1 h, ω 2 h); X C : (X i, y 1 i1 i1 X i, i1 X i y 2 i i 1 i 2 X i y 1 i1y 1 i2) D ou ω(x C ) = ω h X h + i1 X h ( ω 1 hy 1 i1 + ω 2 hy 2 i1) i 1 i 2 X i (y 1 i1y 2 i2 ω 2 h) = 0 qui nous donne ω = 0. { ωh = 0 ω h 1y1 i1 + ω h 2y2 i1 = 0 Définition Soit ω une 1-forme dans M. on définit le relèvement complet de ω C de M au fibré T 2 M par ω C (X C ) = (ω(x)) C pour tout X Γ(T M).

66 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2 65 Si ω i sont les composantes de ω dans M et ( ω, ω 1 i, ω 2 i ), i = 1..n les composantes de ω C par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M, alors de 3.8 on a ω C (X C ) = 2 j=0 ω j i X(2) i, (ωx) C = (ω i X i ) C = (ω i X i ) (2) = 2 (ω i ) (j) (X i ) (2 j), j=0 d où on a la proposition suivante : Proposition Soit ω une 1-forme de composantes ω i par rapport à la carte (U, x h ) dans M. Le relèvement complet ω C de ω a pour composantes ω C : (ω (2) i, ω (1) i, ω i ) par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M. De la proposition on a par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M. (dx i ) C = dy 2 i (3.10) Définition Soit ω une 1-forme dans M.on définit le λ-relèvement de ω noté ω λ de M au fibré T 2 M par ω λ (X C ) = (ω(x)) λ pour tout X Γ(T M). Si ω i sont les composantes de ω par rapport à la carte (U, x i ) dans M, (ω i, ω 1 i, ω 2 i ) sont les composantes de ω λ par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M. pour toute X Γ(T M) on a de 3.8 (ω(x)) (λ) = (ω i X i ) (λ) = λ j=0 X (j) i ω (λ j) i et de plus ω λ (X C ) = λ j=0 X (j) h ω λ j. Proposition Soit ω une 1-forme de composantes ω i par à la carte (U, x h ) dans M. Le λ-relèvement ω λ de ω a pour composantes ω λ : (ω (2) i, ω (1) i, ω, 0, 0, 0), pour i = 1..n par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M.

67 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2 66 Et on a (dx i ) λ = dx (λ) i, par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M. Proposition Soient f C (M) et ω, θ deux 1-formes on a (fω) C = 2 f (j) ω (2 j) j=0 (ω + θ) C = (ω) C + θ C Preuve.Soit X Γ(T M) et en utilisant 3.8 et 3.10, (fω) C (X C ) = (fωx) C ) = (fωx) (2) ) 2 = f (j) (ω i X i ) (2 j) = = ( j=0 2 j j=0 k=0 f (j) ω (k) i X (2 j k) i 2 f (j) ω (2 j) )(X C ). j=0 Et pour (ω + θ) C = ω C + θ C la preuve est évidente. Relèvement complet d un champ de tenseurs Proposition Soient S 1, S 2 (resp T 1, T 2 ) deux champs de tenseurs de type (0, p) (resp (1, p)) dans T 2 M.Si S 1 (X C 1,..., X C p ) = S 2 (X C 1,..., X C p ) alors S 1 = S 2 (resp T 1 (X1 C,..., Xp C Γ(T M). = T 2 (X C 1,..., X C p ) alors ( T 1 = T 2 ) pour tous X 1,..., X p Preuve.Donnons la preuve pour S 1, S 2 T 0 p(t 2 M) et preuve reste la même pour T 1, T 2 T 1 p(t 2 M).De la linéarité des champs des tenseurs il suffit de prouver que si S(X C, X C ) = 0 alors S = 0. On a S = S i1 i 2 j 1,j 2 dx j1 i 1 dx j2 i 2 ; avec X, X Γ(T M); j 1, j 2, j = 0, 1, 2. X C : (X (j) h ); X C : (X (j) h ) S(X C, X C ) = S i 1i 2 j 1 j 2 dx j 1 i1 dx j 2 i2 (X (j) h, X (j) h ) = S i 1i 2 j 1 j 2 X (j 1) i 1 X (j 2) i 2

68 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2 67 D où on a S(X C, X C ) = S i 1i 2 j 1 j 2 dx j 1 i1 dx j 2 i2 (X (j) h, X (j) h ) = S i 1i 2 j 1 j 2 X (j 1) i 1 X (j 2) i 2 = S i 1i 2 X i1 X i 2 + S i 1i 2 01 X i1 X (1) i 2 + S i 1i 2 10 X (1) i 1 X i 2 + S i 1i 2 02 X i1 X (2) i 2 + S i 1i 2 20 X (2) i 1 X i 2 + S i 1i 2 11 X (1) i 1 X (1) i 2 + S i 1i 2 12 X (1) i 1 X (2) i 2 + S i 1i 2 21 X (2) i 1 X (1) i 2 + S i 1i 2 22 X (2) i 1 X (2) i 2 = 0 pour touts X i1, X i 1, h X i1, h X i 2, hk X i1, kh X i 2. qui nous donnent D où S = 0. S i 1,i 2 = S i 1,i 2 01 = S i 1,i 2 10 = S i 1,i 2 11 = S i 1,i 2 12 = S i 1,i 2 21 = S i 1,i 2 22 = 0 Définition Le relèvement complet peut être prolonger à un tenseur quelconque de manière unique tel que pour tout P, Q T p q(m), on a (P Q) C = 2 P (j) Q (2 j) j=0 (P + Q) C = P C + Q C Si F T 1 1(M) tel que localement F = F h i F C = (F h i = dx i ) C = x h 2 j 2 j=0 k=0 x h dx i alors 2 j=0 F h(j) i ( ) k (dx i ) 2 j k. x h F h(j) i ( dx i ) (2 j) x h De même si G T 0 2(M) tel que localement G = G ij dx i dx j alors G C = (G ij dx i dx j ) C = = k=0 l=0 2 k=0 2 2 k G (k) ij (dxi ) l (dx j ) 2 k l. G (k) ij (dxi dx j ) (2 k) Définition Soit le champ de tenseurs F T 1 1(M). Pour toute carte (U, x i ) on définit le champ de vecteurs γf Γ(T M) par γf = F h i y 1 i y 1 h, où F = F h i dx i x h par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M.

69 3.2 Relèvement complet et horizontal au fibré tangent d ordre 2 68 Remarque Si F T 1 1(M) alors γf (f C ) T 0 0(T 2 M) et de plus pour toute carte (U, x i ) dans M on a : γf (f C ) = F h i y 1 i y 1 h (y 1 i 1 y 1 i 2 ) i1 i 2 f y2 i 1 i1 f) = i1 i 2 f(f i1 i y 1 i y 1 i 2 F i 2 i y 1 i 1 y 1 i ). Proposition Soient X Γ(T M) et F T 1 1(M). si X h sont les composantes de X par rapport à la carte (U, x i ) dans M alors on a : [X C, γf ] = γ(l X F ) γf (X (2) h ) yh 2 (3.11) Preuve. On a X C = X h + X (1) h x h y 1 h + X (2) h y 2 h [X C, γf ] = X C γf γf X C = X h y 1 i y 1 i F j i F j i x h X (2) h y 1 j y 1 j y 2 h + X (1) i F j i y 1 j yi 1 F j X h i x j y 1 h qui donne γ(l X F ) = X h y 1 i F j i x h y 1 j + X (1) i F j i y 1 j yi 1 F j X h i x j [X C, γf ] = γ(l X F ) γf (X (2) h ) yh 2 y 1 h Relèvement horizontal Relèvement horizontal d un champ de vecteurs Définition Soit X un champ de vecteurs de M. On définit le relèvement horizontal de X noté X H de M au fibré T 2 M par Où γ X = γ( X). X H = X C γ X. supposons que X h sont les composantes de X et Γ k ij les symboles de christoffel associés à par rapport à la carte (U, x h ) dans M on a X C : (X h, X (1) h, X(2) h )

70 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 69 et X = ( i X h ) Γ h jix i ) dx j } {{ } x h j X h γ X = y 1 i j X h y 1 h d où on a : X H : (X h, yj 1 Γ h jix i, X (2) h ) par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, yi 1, yi 2 ) dans T 2 M. Localement on a ( x i )H = x i y1 j Γ h ji y 1 h par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M. Proposition On a pour tout X, Y Γ(T M) [X C, Y H ] = [X, Y ] C γl X ( Y ) + γ Y (X (2) h ) yh 2 par rapport à la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) dans T 2 M. Preuve.En tenant compte de 3.11 et de 3.12 la proposition découle facilement. (3.12) 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne Soit la carte (U, x i ) sur M,on a la carte induite ((π 2 ) 1 (U), x i, y 1 i, y 2 i ) sur T 2 M et pour toute courbe γ : R M dans M on a : γ(0) = dγi dt x i ( γ(0) γ)(0) = ( dγi dt + dγj 2 dt et pour x M on définit l application S x : T 2 x M T x M T x M dγ k dt Γi jk) x i j 2 xγ ( γ(0), ( γ(0) γ)(0)). On a S x est une application bijective qu elle nous permet de définie sur T 2 x M une structure d espace vectoriel pour la carte (U, x i ) on définit le difféomorphisme T 2 U U R 2n j 2 γ (γ(0), dγi dt (0), ( γ(0) γ) i (0))

71 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 70 et en coordonnées locales S : (x i, y i, z i ) (x i, y i, z i + y j y k Γ i jk). (3.13) Soit T M T M la somme de Whitney de T M alors le difféomorphisme définit dans tout fibré T 2 x M l application S x. Ainsi, nous avons le théorème suivant S : T 2 x M T x M T x M Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et la connexion de Levi-Civita.Si T M T M la somme de Whitney, alors S : T 2 M T M T M est un difféomorphisme natural de fibré tangent. j 2 0γ ( γ(0), ( γ(0) γ)(0)) Proposition Soit (M, g) une variété riemannienne alors T M est un sous-fibré de T 2 M, l application est injective telle que f i = t 0 i : T M T 2 M j 1 0f = j 2 0 f (3.14) f i (s)ds tf i (0) + f i (0) i := 1..n Preuve.Soit la carte (U, x i ) sur M, on a la carte induite (U, x i, y i ) et (U, x i, y i, z i ) sur T M et T 2 M respectivement alors on a l application i : (x i, y i ) (x i, 0, y i ) est un homomorphisme injectif. Il suffit de montrer que l application i est bien définie. Soit (U, ϕ), (V, ψ) deux cartes locales sur M pour tout vecteur j0f 1 T M on note On obtient f(t) = ϕ 1 ( ˆf(t) = ψ 1 ( t 0 t 0 ϕ f(s)ds tϕ f(0) + ϕ f(0)) ψ f(s)ds tψ f(0) + ψ f(0)) ϕ f(0) = ϕ f(0) = ϕ ˆf(0) d dt (ϕ f)(0) = 0 = d (ϕ ˆf)(0) dt d 2 dt (ϕ f)(0) 2 = d (ϕ f)(0) dt = d2 (ϕ ˆf)(0) dt2

72 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 71 Ce qui prouve que j 2 0 f = j 2 0 ˆf. Remarque Le difféomorphisme S détermine une structure d un fibré vectoriel sur T 2 M pour lequel S est un isomorphisme de fibré vectoriel, et i : T M T 2 M est un homomorphisme injectif de fibré vectoriel. Définition Soient (M, g) une variété riemannienne et T 2 M le fibré tangent d ordre 2 doté de la structure vectoriel induite par le difféomorphisme S. Pour toute section σ Γ(T 2 M) nous définissons deux champs de vecteurs sur M par : X σ = P 1 S σ Y σ = P 2 S σ, (3.15) où P 1 et P 2 désigne la première et la seconde projection de T M T M sur T M. Remarque On peut facilement vérifier que toutes les sections σ, ϖ Γ(T 2 M) et α R nous avons X ασ+ϖ = αx σ + X ϖ Y ασ+ϖ = αy σ + Y ϖ d après la remarque et On peut définir une connexion sur Γ(T 2 M). Définition Soient (M, g) une variété riemannienne et T 2 M le fibré tangent d ordre 2 doté de la structure vectoriel induite par le difféomorphisme S. Nous définissons une connexion sur Γ(T 2 M) par : Γ(T M) Γ(T 2 M) Γ(T 2 M) où est la connexion de Levi-Civita sur M. De la formule 3.13 et définition 3.16, il s ensuit (Z, σ) Z σ = S 1 (( Z X σ, Z Y σ )), (3.16) Proposition Si (U, x i ) est une carte locale sur M et (σ i, σ i ) sont les composants de la section σ Γ(T 2 M) alors X σ = σ i x i Y σ = ( σ k + σ i σ j Γ k ij) x k. D après le théorème et la remarque 3.3.2, nous avons Proposition Soient (M, g) une variété riemannienne et T 2 M le fibré tangent d ordre 2 alors l application J : Γ(T M) Γ(T 2 M) est un homomorphisme injectif de fibrés vectoriels. Z = S 1 (Z, 0) (3.17)

73 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 72 Localement si (U, x i ) est une carte locale sur M et (U, x i, y i ) et (U, x i, y i, z i ) sont les cartes induites de T M et T 2 M respectivement, alors on obtient J : (x i, y i ) (x i, y i, y j y k Γ i jk) (3.18) Définition Soient (M, g) une variété riemannienne et X Γ(T M) un champ de vecteurs sur M. Pour λ = 0, 1, 2, le relèvement sur X à T 2 M est définie par Localement où X 0 = S 1 (X H, X H ) X 1 = S 1 (X V, 0) X 2 = S 1 (0, X V ) (3.19) ( ) 0 = Γ k i A k i x i x i y k ( ) 1 = x i y i 2Γk i ( ) 2 = x i z i y h Γ k ih = Γ k i ; A k i = z h Γ k ih + y t y r ( Γk tr x i Remarque De 3.19 on obtient z k ( ) 0 = S 1 (( ) H, ( ) H ) x i x i x i ( ) 1 = S 1 (( ) V, 0) x i x i ( ) 2 = S 1 (0, ( ) V ) x i x i z k (3.20) + Γ k ihγ h tr Γ k tlγ l ir Γ k ltγ l ir) Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et R le tenseur de courbure, alors pour tout X, Y Γ(T M) et p T 2 M on a 1. [X 0, Y 0 ] p = [X, Y ] 0 p (R(X, Y )u) 1 (R(X, Y )w) 2 2. [X 0, Y i ] p = ( X Y ) i 3. [X i, Y j ] p = 0 où (u, w) = S(p) et i, j = 1, 2. Preuve.En utilisant 3.20 et des identités de Bianchi suivantes : j R k ihr + i R k hjr + h R k jil = 0 R k jih + R k ihj + R k hji = 0

74 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 73 [ 1) ( ) 0, ( ] ) 0 x i x i [ 2) ( ) 0, ( ] ) 1 x i x i [ ( ] ) 2 x i ) 0, ( x i ) 1, ( ] ) 1 x i x i [ ( ) 1, ( ] ) 2 x i x i [ 3) ( = y 1 hr k jih y 1 k + { y 1 hy 1 r( j R k ihr + i R k hjr } + RijrΓ m k mh + RimhΓ k m jr + RmjhΓ k m ir + Rk jir + y 2 x hrjih k h = yhr 1 jih( k ) 1 + (y x hy 1 rγ 1 l hr + yl 2 )Rjil( k ) 2 i x i = Γ k ij y 1 k Γ k ljγ l ih + y 1 h } y 2 k = Γ k ij( x i ) 1 = Γ k ij y 2 k { Rjih k + Rihj k + Γk jh + Γk ih Γ k x i x lhγ l ij j = Γ k ij( x i ) 2 = 2(Γ k ij Γ k ji) = 0 yk [ 2 = ( ) 2, ( ] ) 2 = 0 x i x i y 2 k Définition Soit (M, g) une variété riemannienne. Pour toute section σ Γ(T 2 M) on définit le relèvement vertical de σ par σ V = S 1 (Xσ V, Yσ V ) Γ(T (T 2 M)) (3.21) Remarque De la définition et les formules 3.14,3.17,3.19 et 3.21, pour tout σ Γ(T 2 M) et Z Γ(T M) on obtient σ V = X 1 σ + Y 2 σ ( Z σ) V = ( Z X σ ) 1 + ( Z Y σ ) 2 Z 1 = J(Z) V Z 2 = i(z) V Métrique diagonale Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et T M le fibré tangent muni de la métrique de Sasaki, alors g D = S 1 ( g g) est la seule métrique qui satisfait aux formules suivantes g D (X i, Y j ) = δ ij.g(x, Y ) π 2 (3.22)

75 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 74 pour tout champs de vecteurs X, Y Γ(T M) et i, j = 0,..., 2 où g est la métrique définie par g(x H, Y H ) = 1 2 gs (X H, Y H ) g(x H, Y V ) = g s (X H, Y V ) g(x V, Y V ) = g s (X V, Y V ) g D est appelé la métrique diagonale de T 2 M. Théorème Soit (M, g) une variété riemannienne. Si désigne la connexion de Levi- Civita associée à la métrique diagonale g D, alors 1. ( X 0Y 0 ) p = ( X Y ) (R(X, Y )u)1 1 2 (R(X, Y )w)2, 2. ( X 0Y 1 ) p = ( X Y ) (R(u, Y )X)0, 3. ( X 0Y 2 ) p = ( X Y ) (R(w, Y )X)0, 4. ( X 1Y 0 ) p = 1 2 (R x(u, X)Y ) 0, 5. ( X 2Y 0 ) p = 1 2 (R x(w, X)Y ) 0, 6. ( X iy j ) p = 0 pour tout champs de vecteurs X, Y Γ(T M) et p Γ(T 2 M), où i, j = 1, 2 et (u, w) = S(p). Preuve.En appliquant le théorème 3.3.2, et la formule de Koszul on obtient 1 2g D ( X iy j, Z k ) = X i g D (Y j, Z k ) + Y j g D (Z k, X i ) Z k g D (X i, Y j ) g D (X i, [Y j, Z k ]) + g D (Y j, [Z k, X i ]) + g D (Z k, [X i, Y j ]) g D ( X 0Y 0, Z) = g D ( X 0Y 0, Z 0 ) + g D ( X 0Y 0, Z 1 ) + g D ( X 0Y 0, Z 2 ) = g( X Y, Z) 1 2 gd ((R(X, Y )u) 1, Z 1 ) 1 2 gd ((R(X, Y )w) 2, Z 2 ) = g D (( X Y ) 0, Z 0 ) 1 2 gd ((R(X, Y )u) 1, Z 1 ) 1 2 gd ((R(X, Y )w) 2, Z 2 ) = g D (( X Y ) (R(X, Y )u)1 1 2 (R(X, Y )w)2, Z). D ou ( X 0Y 0 ) p = ( X Y ) (R(X, Y )u)1 1 2 (R(X, Y )w)2.

76 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne g D ( X 0Y 1, Z 0 ) = g D ((R(Z, X)u) 1, Y 1 ) = g(r(z, X)u, Y ) = g(r(u, Y )Z, X) = g(r(u, Y )X, Z) = g D ((R(u, Y )X) 0, Z 0 ), 2g D ( X 0Y 1, Z 1 ) = X 0 (g D (Y 1, Z 1 )) g D (Y 1, ( X Z) 1 ) + g D (Z 1, ( X Y ) 1 ) = X(g(Y, Z)) g(y, ( X Z)) + g(z, ( X Y )) = 2g(Z, X Y ) = 2g D (Z 1, ( X Y ) 1 ), D ou 2g D ( X 0Y 1, Z 2 ) = 0. ( X 0Y 1 ) p = ( X Y ) (R(u, Y )X)0. 3 2g D ( X 0Y 2, Z 0 ) = g D ((R(Z, X)w) 2, Y 2 ) = g(r(z, X)w, Y ) = g(r(w, Y )Z, X) = g(r(w, Y )X, Z) = g D ((R(w, Y )X) 0, Z 0 ), 2g D ( X 0Y 2, Z 1 ) = 0, 2g D ( X 0Y 2, Z 2 ) = X 0 (g D (Y 2, Z 2 )) g D (Y 2, ( X Z) 2 ) + g D (Z 2, ( X Y ) 2 ) = X(g(Y, Z)) g(y, ( X Z)) + g(z, ( X Y )) = 2g(Z, X Y ) = 2g D (Z 2, ( X Y ) 2 ). D ou ( X 0Y 2 ) p = ( X Y ) (R(w, Y )X)0.

77 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne g D ( X 1Y 0, Z 0 ) = g D (X 1, (R(Y, Z)u) 1 ) = g(x, (R(Y, Z)u)) = g(r(u, X)Y, Z) 2g D ( X 1Y 0, Z 1 ) = Y 0 g D (Z 1, X 1 ) g D (Z 1, ( Y X) 1 ) g D (X 1, ( Y Z) 1 ) = Y g(z, X) g(z, ( Y X)) g(x, ( Y Z)) = 0, 2g D ( X 1Y 0, Z 2 ) = 0. D ou ( X 1Y 0 ) p = 1 2 (R x(u, X)Y ) g D ( X 2Y 0, Z 0 ) = g D (X 2, (R(Y, Z)w) 2 ) = g(x, (R(Y, Z)w)) = g(r(w, X)Y, Z) 2g D ( X 2Y 0, Z 1 ) = 0, 2g D ( X 2Y 0, Z 2 ) = 0. D ou ( X 2Y 0 ) p = 1 2 (R x(w, X)Y ) g D ( X iy j, Z 0 ) = Z 0 g D (X i, Y j ) + g D (Y j, ( Z X) i ) + g D (X i, ( Z Y ) j ) = Zg(X, Y ) + g(y, ( Z X)) + g(x, ( Z Y )) = 0, 2g D ( X iy j, Z 1 ) = X i g D (Y j, Z 1 ) + Y j g D (Z 1, X i ) Z 1 g D (X i, Y j ) = X i g(y, Z) + Y j g(z, X) Z 1 g(x, Y ) = 0, 2g D ( X iy j, Z 2 ) = 0. D ou ( X iy j ) p = 0.

78 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne Tenseur de courbure Définition Soient (M, g) une variété riemannienne et F T 1 1(M) un champ de tenseurs de type (1, 1). Pour λ = 0, 1, 2, le relèvement de F à T 2 M est définie par Localement F 0 = S 1 (HF, HF ) F 1 = S 1 (V F, 0) F 2 = S 1 (0, V F ) F 0 = y i F j i x j yi F l = y i (F ( x i ))0 F 1 = y i F j i y j 2yi F l = y i (F ( x i ))1 F 2 = y i F j i z j = y i (F ( x i ))2. i Γ s l i Γ s l y s yi Fi l A s l z s Lemme Soient (M, g) une variété riemannienne et F T 1 1(M) un champ de tenseurs de type (1, 1), alors on obtient 1. ( X if j ) p = F (X) j p i, j = 1, 2, 2. ( X 1F 0 ) p = F (X) 0 p (R(u, X)F (u))0 p, 3. ( X 2F 0 ) p = F (X) 0 p (R(w, X)F (w))0 p, z s 4. ( X 0F 0 ) p = ( X F ) 0 p 1 2 (R(X x, F x (u))u) (R(X x, F x (w))w) ( X 0F 1 ) p = ( X F ) 1 p (R(u, F x(u))x x ) 0, 6. ( X 0F 2 ) p = ( X F ) 2 p (R(w, F x(w))x x ) 0 pour tout p T 2 M, i, j = 1, 2 et X Γ(T M). Preuve. En utilisant le théorème et l expression local de F 0, F 1, F 2 on obtient 1. X 1F 1 = X 1y i F ( x i )1 = X 1 (y i )F ( x i )1 = X i (F ( x i ))1 = (F (X)) 1. Faire une même démonstration pour X 1F 2, X 2F 1, X 2F 2.

79 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne ( X 1F 0 ) (x,u,w) = ( X 1y i (F ( x i ))0 (x,u,w) = (X 1 (y i )(F ( x i ))0 + y i X 1F ( x i )0 ) (x,u,w) = X i (F ( x i ))0 + u i 1 2 (R x(u, X)F x ( x i ))0 = ((F (X)) (R x(u, X)F x (u)) 0, ( X 2F 0 ) (x,u,w) = ( X 2y i (F ( x i ))0 (x,u,w) = (X 2 (y i )(F ( x i ))0 + y i X 1F ( x i )0 ) (x,u,w) ( X 0F 0 ) (x,u,w) = ( X 0y k (F ( x k ))0 ) (x,u,w) = X i (F ( x i ))0 + w i 1 2 (R x(w, X)F x ( x i ))0 = ((F (X)) (R x(w, X)F x (w)) 0, = X 0 (y k )(F ( x k ))0 + y k X 0(F ( x k ))0 (x,u,w) = X i Γ k i (F ( x k ))0 + u k ( X F ( x k ))0 (x,u,w) u k 1 2 (R x(x x, F x ( x k ))u)1 u k 1 2 (R x(x x, F x ( x k ))w)2 = ( X F ) (x,u,w) 1 2 (R x(x x, F x (u))u) (R x(x x, F x (w))w) 2 5. De même, on obtient ( X 0F 1 ) (x,u,w) = X 0 (y k )(F ( x k ))1 + y k X 0F ( x k )1 ) (x,u,w) = ( X F ) 1 (x,u,w) (R x(u, F x (u))x x ) 0 6. ( X 0F 2 ) (x,u,w) = X 0 (y k )(F ( x k ))2 + y k X 0F ( x k )2 ) (x,u,w). = ( X F ) 2 (x,u,w) (R x(w, F x (w))x x ) 0

80 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 79 Proposition Soit (M, g) une variété riemannienne. Si R désigne le tenseur de courbure associée de la métrique diagonale g D sur T 2 M. Alors on a 1) R(X 1, Y 2 )Z i = R(X 1, Y 1 )Z i = R(X 2, Y 2 )Z i = 0 2) R(X ( 1, Y 1 )Z 0 = R(X, Y )Z R(u, X)R(u, Y )Z + 1 R(w, X)R(w, Y )Z R(u, Y )R(u, X)Z) 1 ) 0 4 R(w, Y )R(w, X)Z) 3) R(X ( i, Y 2 )Z 0 = R(X, Y )Z R(u, X)R(u, Y )Z + 1 R(w, X)R(w, Y )Z R(u, Y )R(u, X)Z 1 ) 0 4 R(w, Y )R(w, X)Z 4) R(X ( 1 i, Y 0 )Z j = 2 R(Y, Z)X R(u, Y )R(u, X)Z + 1 ) 0 4 R(w, Y )R(w, X)Z 5) R(X ( 1 i, Y 0 )Z 0 = 4 R(u, Y )Z, X)u R(w, Y )Z, X)w + 1 ) i 2 R(X, Z)Y ( ) 0 ( X R)(u, Y )Z + ( X R)(w, Y )Z 6) R(X 0, Y 0 )Z i = ( R(X, Y )Z R(R(u, Z)Y, X)u + 1 R(R(w, Z)Y, X)w R(R(u, Z)X, Y )u 1 ) i 4 R(R(w, Z)X, Y )w + 1 ( ) 0 ( X R)(u, Z)Y + ( X R)(w, Z)Y ( Y R)(u, Z)X ( Y R)(w, Z)X 2 7) R(X ( 0, Y 0 )Z 0 = R(X, Y )Z R(u, R(Z, Y )u)x + 1 R(w, R(Z, Y )w)x R(u, R(X, Z)u)Y R(w, R(X, Z)w)Y + 1 R(u, R(X, Y )u)z ) 0 2 R(w, R(X, Y )w)z 1 ( ) 1 1 ( 2. + Z R)(X, Y )u + Z R)(X, Y )w) 2 2 pour ξ = (p, u, w) T 2 M,i, j = 1, 2 et X, Y, Z Γ(T M). Preuve. 1 Le résultat découle immédiatement de théorème et le lemme Soit F un endomorphismes bundle donné par F (u) = 1 R(u, Z)X 2 F (w) = 1 R(w, Z)X. 2

81 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 80 appliquant le théorème et le lemme nous obtenons R(Y 0, X i )Z j = Y 0 X iz j X i Y 0Z j [Y 0,X i ]Z j = X i Y 0Z j = X i(( Y Z) i + F 0 (u) + F 0 (w)) = X i(f 0 (u) + F 0 (w)) = (F (X i ) 0 1 (R(u, X)F (u) R(w, X)F (w))0 2 1 = { 2 R(X, Z)Y R(u, X)R(u, Z)Y + 1 } 0. 4 R(w, X)R(w, Z)Y 2 En utilisant 4 et le 1 er identité de Bianchi nous obtenons ce qui donne R(X 1, Y 1 )Z 0 = R(Z 0, Y 1 )X 1 R(Z 0, X 1 )Y 1 R(X 1, Y 1 )Z 0 = + { 1 2 R(Y, X)Z 1 4 R(u, Y )R(u, X)Z 1 4 R(w, Y )R(w, X)Z } 0 { 1 2 R(X, Y )Z R(u, X)R(u, Y )Z R(w, X)R(w, Y )Z } 0 3 En utilisant 4 et le 1 er identité de Bianchi nous obtenons ce qui donne R(X i, Y 2 )Z 0 = R(Z 0, Y 2 )X i R(Z 0, X i )Y 2 R(X i, Y 2 )Z 0 = + { 1 2 R(Y, X)Z 1 4 R(u, Y )R(u, X)Z 1 4 R(w, Y )R(w, X)Z } 0 { 1 2 R(X, Y )Z R(u, X)R(u, Y )Z R(w, X)R(w, Y )Z } 0 5 Soit F 1, F 2 : T M T M les endomorphismes bundle donné par F 1 (u) = 1 R(u, Y )Z 2 F 1 (w) = 1 R(w, Y )Z 2 F 2 (u) = 1 R(X, Z)u 2 F 2 (w) = 1 R(X, Z)w 2

82 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 81 ensuite, le lemme implique que R(Y 0, X i )Z 0 = Y 0 X iz 0 X i Y 0Z 0 [Y 0,X i ]Z 0 = Y 0(F 1 (u)) 0 + Y 0(F 1 (w)) 0 X i(( Y Z) 0 + F2(u) i + F2(w)) i ( Y X) iz0 = ( Y F 1 (u) + Y F 1 (w)) (R(Y, F 1(u))u R(Y, F 1 (w))w) i 1 2 (R(u, X) Y Z) (R(w, X) Y Z) 0 (F 2 (Y )) i 1 2 (R(u, Y X)Z R(w, Y X)Z) 0 = { 1 4 R(R(u, X)Z, Y )u R(R(w, X)Z, Y )w R(Y, Z)X } i (( Y R)(u, X)Z + ( Y R)(w, X)Z) 0. En utilise ( Y R)(u, X)Z = Y (R(u, X)Z) R(u, Y X)Z R(u, X) Y Z, Et ( Y R)(w, X)Z = Y (R(w, X)Z) R(u, Y X)Z R(w, X) Y Z. 6 En appliquent la partie (4) et 1 er identité de Bianchi on obtient ce qui donne R(X 0, Y 0 )Z i = R(X 0, Z i )Y 0 R(Y 0, Z i )X 0 R(X 0, Y 0 )Z i = X 0 Y 0Z i Y 0 X 0Z i [X 0,Y 0 ]Z i ( 1 = 4 R(R(u, Z)Y, X)u R(R(w, Z)Y, X)w 1 4 R(R(u, Z)X, Y )u 1 R(R(w, Z)X, ) i 2 (R(X, Y )Z R(Y, X)Z ( XR)(u, Z)Y ) ( XR)(w, Z)Y ) 0 d où le résultat. 1 2 ( Y R)(u, Z)X) ( Y R)(w, Z)X) 0

83 3.3 Le fibré tangent d ordre 2 sur une variété riemannienne 82 7 R(X 0, Y 0 )Z 0 = X 0 Y 0Z 0 Y 0 X 0Z 0 [X 0,Y 0 ]Z 0 = X 0 {( Y Z) (R(Y, Z)u)1 1 } 2 (R(Y, Z)w)2 Y 0 {( X Z) (R(X, Z)u)1 1 } 2 (R(X, Z)w)2 [X,Y ] 0Z 0 + (R(X,Y )u) 1Z 0 + (R(X,Y )w) 2Z 0 = ( X Y Z) (R(X, Y Z)u) (R(X, Y Z)w) ( XR(Y, Z)u) ( XR(Y, Z)w) (R(u, R(Y, Z)u)X)0 1 4 (R(w, R(Y, Z)u)X)0 ( Y X Z) R(Y, XZ)u) R(Y, XZ)w) ( Y R(X, Z)u) ( Y R(X, Z)w) (R(u, R(X, Z)u)Y ) (R(w, R(X, Z)w)Y )0 ( [X,Y ] Z) (R([X, Y ], Z)u) (R([X, Y ], Z)w) (R(u, R(X, Y )u)z)0 + 1 (R(w, R(X, Y )w)z)0 2 = 1 2 (( ZR)(X, Y )u) (( ZR)(X, Y )w) 2 + (R(X, Y )Z) (R(u, R(Z, Y )u)x) (R(w, R(Z, Y )w)x) (R(u, R(X, Z)u)Y )0 + 1 (R(w, R(X, Z)w)Y ) (R(u, R(X, Y )u)z) (R(w, R(X, Y )w)z)0. Dans la dernière étape, en utilise la 2 me identité de Bianchi ( X R)(Y, Z)u + ( Y R)(Z, X)u + ( Z R)(X, Y )u = 0 Et ( X R)(Y, Z)w + ( Y R)(Z, X)w + ( Z R)(X, Y )w = 0 Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Alors (T 2 M, g D ) est plate si et seulement si (M, g) est plate. Preuve. Il s agit d une conséquence directe de la formule de tenseur courbure, si R = 0 alors R = 0, de plus : R p (X, Y )Z = R (p,0,0) (X 0, Y 0 )Z 0 pour tout X, Y, Z Γ(T M), d ou ( R = 0) R = 0.

84 3.4 Harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) Harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) Lemme Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si Z Γ(T M) et σ Γ(T 2 M) alors où p = σ(x). Preuve.En utilisant le lemme on obtient d x σ(z x ) = Z 0 p + ( Z σ) V p, (3.23) d x σ(z) = ds 1 (dx σ (Z), dy σ (Z)) S(p) = ds 1 (Z h, Z h ) S(p) + ds 1 (( Z X σ ) v, ( Z Y σ ) v ) S(p) = Z 0 p + ( Z σ) V p. Lemme Soient (M, g) une variété riemannienne et (T M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale, et σ Γ(T 2 M). Alors la densité d énergie associée à σ est e(σ) = n σ 2, où σ 2 = tr g g( X σ, X σ ) + tr g g( Y σ, Y σ ). Preuve.Soit (e 1,..., e n ) une base orthonormée sur M, alors e(σ) = 1 n g D (dσ(e i ), dσ(e i )) 2 En utilisant la formule 3.23 et la remarque on obtient e(σ) = 1 n g D (e 0 i, e 0 i ) + 1 n g D (( 2 2 ei σ) V, ( ei σ) V ) = n σ 2. Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Alors le champ de tension associé à σ Γ(T 2 M) est τ(σ) = (trace g 2 σ) V + (trace g {R(X σ, X σ ) +R(Y σ, Y σ ) }) 0 (3.24) Preuve.Soit x M et {e i } n une base orthonormé sur M tel que ( M e i e i ) x = 0, x M alors n τ(σ) x = ( dσ(ei )dσ(e i )) σ(x) = n [ e 0i +( ei σ) V e0i + ( ] ei σ) V σ(x)

85 3.4 Harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 84 D après le théorème 3.3.4, on obtient τ(σ) x = n + ( ei Y σ) 2e0 i = n { e 0 i e 0 i + e 0 i ( ei X σ ) 1 + ( ei Y σ ) 2 + ( ei X σ) 1e0 i } σ(x) { ( ei ei X σ ) 1 σ(x) + ( ei ei Y σ ) 2 σ(x) + (R x (X σ (x), ei X σ )e i ) 0 + (R x (Y σ (x), ei Y σ )e i ) 0 } Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Une section σ : M T 2 M est harmonique si et seulement ses les conditions suivantes sont vérifiées trace g ( 2 X σ ) = 0, trace g ( 2 Y σ ) = 0, trace g {R(X σ, X σ ) + R(Y σ, Y σ ) } = 0. Corollaire Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si σ : M T 2 M est une section telle que X σ et Y σ sont des champs de vecteurs harmoniques, alors σ est harmonique. Corollaire Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si σ : M T 2 M est une section de telle sorte que X σ et Y σ sont des champs de vecteurs parallèles, alors σ est harmonique. Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne compacte et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Alors σ : M T 2 M est une section harmonique si et seulement si σ est parallèle i.e( σ = 0 σ Γ(T 2 M)). Preuve. Si σ est parallèle, d après Corollaire 3.4.2, on en déduit que σ est harmonique. Inversement soit σ t une variation à support compact de σ définit par σ t = (1 + t)σ du lemme on obtient e(σ t ) = n (t + 1) σ 2. Si σ est une point critique de la fonctionnelle d énergie on obtient d où σ = 0. 0 = d dt E(σ t) t=0, = σ 2 dv g D, M

86 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 85 Exemple Soit S 1 = {(x, y) R 2 tq x 2 + y 2 = 1} le cercle d unité muni de la métrique naturelle dx 2 + dy 2 et σ : (x, y) S 1 (x, y, 0, 0, y, x) T 2 S 1, on obtient : X σ = 0, Y σ = ( y, x) et Y σ = 0, d après le théorème on en déduit que σ est une section harmonique. Exemple Si S 2 R est muni du produit de métriques canoniques,alors σ = (0, t ) est harmonique. 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) Où Pour une section σ Γ(T 2 M), on note τ 0 (σ) = τ 0 (X σ ) + τ 0 (Y σ ), (3.25) τ V (σ) = τ 1 (X σ ) + τ 2 (Y σ ), (3.26) ( 0, τ 0 (σ) = τ 0 (X σ ) + τ 0 (Y σ )) (3.27) ( ) 1 ( 2. τ V (σ) = τ 1 (X σ ) + τ 2 (Y σ )) (3.28) τ 0 (X σ ) = trace g (R(X σ, X σ ) ), τ 0 (Y σ ) = trace g (R(Y σ, Y σ ) ), τ 1 (X σ ) = trace g 2 X σ, τ 1 (Y σ ) = trace g 2 Y σ. De ces notations, nous avons τ(σ) = τ V + τ 0 (3.29) Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne compacte et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Alors σ : M T 2 M est une section bi-harmonique si et seulement si σ est harmonique. Preuve. Premièrement, si σ est harmonique, alors on en déduit que σ est bi-harmonique. Inversement, il est considéré que σ est bi-harmonique. Soit σ t une variation à support compact de σ défini par σ t = (1 + t)σ.en utilisant la remarque on obtient En substituant 3.30 dans 3.25 à 3.28, on obtient X σt = (1 + t)x σ et Y σt = (1 + t)y σ (3.30) τ 0 (σ t ) = (1 + t) 2 τ 0 (σ) et τ V (σ t ) = (1 + t)τ V (σ) (3.31) τ 0 (σ t ) = (1 + t) 2 τ 0 (σ) et τ V (σ t ) = (1 + t) τ V (σ) (3.32)

87 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 86 Alors E 2 (σ t ) = 1 τ(σ t ) 2 g v 2 D g = 1 τ 0 (σ t ) 2 g v 2 D g + 1 τ V (σ t ) 2 g v 2 D g (1 + t)4 = τ 0 (σ) 2 (1 + t)2 g v 2 D g + τ V (σ) 2 g v 2 D g étant donné que la section σ est bi-harmonique, alors pour la variation σ t, on obtient 0 = d dt E 2(σ t ) t=0 = 2 τ 0 (σ) 2 g v D g + τ V (σ) 2 g v D g. D où τ 0 (σ) = 0 et τ V (σ) = 0, alors τ(σ) = 0. Dans le cas où M n est pas compacte, la caractérisation des sections bi-harmoniques exige que les deux lemmes suivants. Lemme Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si σ Γ(T 2 M) est une section lisse, alors le tenseur de Jacobi J σ (τ V (σ)) est donné par { } V J σ ( τ V (σ)) = trace g 2 (τ V (σ)) + { trace g (R(u, τ 1 (X σ )) +R(w, τ 2 (Y σ )) +R(τ V (σ), σ) R(u, τ 1 (X σ ))R(u, X σ ) + 1 } 0. 2 R(w, τ 2 (Y σ ))R(w, Y σ ) Preuve.Soient p T 2 M et {e i } m une base orthonormé sur M tels que ( ei e i ) x = 0. Si l on note F i (x, u, w) = 1 2 R(u, τ 1 (X σ ))e i R(w, τ 2 (Y σ ))e i,alors on obtient σ e i τ V (σ) p = ( σ e 0 i +( e i Xσ)1 +( ei Y σ) 2 ((τ 1 (X σ )) 1 + (τ 2 (Y σ )) 2 ) p = ( ei (τ V (σ))) V p (R(u, τ 1 (X σ ))e i + R(w, τ 2 (Y σ ))e i ) 0 = ( ei (τ V (σ))) V p + (F i (x, u, w)) 0, d où trace g 2 τ V (σ) p = = { } σ e σ i ei ( τ V (σ)) p { σ e 0 i +( e i Xσ)1 +( ei Y σ) 2 ( ei (τ V (σ)) V + (F i ) 0 }p { = e 0 ( e i i τ 1 (X σ )) 1 + e 0 i ( ei τ 1 (Y σ )) 2 + e 0 i Fi 0 + ( ei X 1F 0 σ) i + } ( ei Y 1F 0 σ) i. p

88 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 87 En utilisant le théorème 3.3.4, on obtient trace g 2 τ V (σ) p = + { ( ei ei τ 1 (X σ )) 1 } 1 4 R(e i, R(u, τ 1 (X σ )e i )u p { ( ei ei τ 2 (Y σ )) 1 } 2 4 R(e i, R(w, τ 2 (Y σ )e i )w + p { 1 2 R(u, τ 1 ei (X σ ))e i R(w, e i τ 2 (Y σ ))e i ( e i R(u, τ 1 (X σ ))e i ) ( e i R(w, τ 2 (Y σ ))e i ) De la proposition 3.3.4, on obtient R(τ 1 (X σ ), ei u)e i R(τ 2 (Y σ ), ei w)e i R(u, e i X σ )R(u, τ 1 (X σ ))e i R(w, e i Y σ )R(w, τ 2 (Y σ ))e i R( e i X σ, τ 1 (X σ ))e i R( e i X σ, τ 2 (Y σ ))e i } 0 p. trace g R( τ V (σ), dσ)dσ = { R((τ 1 (X σ )) 1, e 0 i )e 0 i + R((τ 1 (X σ )) 1, ( ei X σ ) 1 )e 0 i + R((τ 1 (X σ )) 1, ( ei Y σ ) 2 )e 0 i + R((τ 1 (X σ )) 1, e 0 i )( ei X σ ) 1 + R((τ 1 (X σ )) 1, e 0 i )( ei Y σ ) 2 + R((τ 2 (Y σ )) 1, e 0 i )e 0 i + R((τ 2 (Y σ )) 2, ( ei X σ ) 1 )e 0 i + R((τ 2 (Y σ )) 2, ( ei Y σ ) 2 )e 0 i + R((τ 2 (Y σ )) 2, e 0 i )( ei X σ ) 1 + R((τ 2 (Y σ )) 2, e 0 i )( ei Y σ ) }. 2 En calculant au point p T 2 M, on obtient trace g ( R( τ V (σ), dσ)dσ) p = + { 1 1 { 1 } 2 4 R(R(u, τ 1 (X σ ))e i, e i )u} 4 R(R(w, τ 2 (Y σ ))e i, e i )w { R(τ 1 (X σ ), ei X σ )e i + R(τ 2 (Y σ ), ei Y σ )e i R(u, τ 1 (X σ ))R(u, ei X σ )e i 1 4 R(w, e i Y σ )R(w, τ 2 (Y σ ))e i R(u, τ 2 (Y σ ))R(w, ei Y σ )e i 1 4 R(u, e i X σ )R(u, τ 1 (X σ ))e i R(τ 1 (X σ, ei X σ )e i R(τ 2 (Y σ, ei Y σ )e i R(u, τ 1 (X σ ))R(u, ei X σ )e i R(w, τ 2 (Y σ ))R(w, ei Y σ )e i 1 2 ( e i R(u, τ 1 (X σ ))e i 1 2 ( e i R(w, τ 2 (Y σ ))e i } 0.

89 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 88 On appliquant la définition du champ bi-tension : J σ ( τ V (σ)) = { } V { trace g 2 (τ V (σ)) + trace g (R(u, τ 1 (X σ )) + R(w, τ 2 (Y σ )) +R(τ V (σ), σ) R(u, τ 1 (X σ ))R(u, X σ ) R(w, τ 2 (Y σ ))R(w, Y σ ) )} 0. Lemme Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si σ Γ(T 2 M) est une section lisse, alors le tenseur de Jacobi J σ (τ 0 (σ)) est donné par J σ ( τ 0 (σ)) p { = traceg 2R(τ 0 (X σ ), ) X σ R(, τ 0 (X σ ))u + 1 } 1 2 R(R(u, X σ ), τ 0 (X σ ))u + trace g trace g {2R(τ 0 (Y σ ), ) Y σ R(, τ 0 (Y σ ))w R(R(w, Y σ ), τ 0 (Y σ ))w + trace g { τ 0 (σ) + R(u, X σ ) τ 0 (X σ ) + R(w, Y σ ) τ 0 (Y σ ) R(u, X σ )τ 0 (X σ ) R(w, Y σ )τ 0 (Y σ ) + R(u, R(τ 0 (X σ ), )u) + R(w, R(τ 0 (Y σ ), )w) +R(τ 0 (σ), ) +( τ 0 (X σ)r)(u, X σ ) + ( τ 0 (Y σ)r)(w, Y σ ) } 0, pour tous p = (x, u, w) T 2 M. Preuve.Soient p = (x, u, w) T 2 M et {e i } m une base orthonormé sur M tels que ei e i = 0, notée } 2 F i = F ix + F iy = 1 2 R(e i, τ 0 (X σ )) R(e i, τ 0 (Y σ )) (3.33) G = G X + G Y = 1 2 R(, X σ )τ 0 (X σ ) R(, Y σ )τ 0 (Y σ ) (3.34)

90 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 89 En utilisant le théorème et le lemme 3.3.1, on obtient trace g 2 ( τ 0 (σ)) p = = = { σ e i σ ei (τ 0 (σ)) 0 } { ( } 0 σ e 0 i +( e i Xσ)1 +( ei Y σ) ( 2 ei τ(σ)) 0 FiX 1 FiY 2 + G 0 i ) p { ( ei ei τ 0 (σ)) 0 + ( 1 2 R(u, e i X σ ) ei τ 0 (X σ ) + ( 1 2 R(w, e i Y σ ) ei τ 0 (Y σ )) 0 ( ei F ix ) 1 ( ei F iy ) 2 ( 1 2 R(e i, ei τ 0 (X σ ))u) 1 ( 1 2 R(e i, ei τ 0 (Y σ ))w) (R(u, F ix(u))e i ) (R(w, F iy (u))e i ) 0 (3.35) (F ix ( ei X σ )) 1 (F iy ( ei Y σ )) 2 + ( ei G) (R(e i, G X (u))u) (R(e i, G Y (w))w) 2 + (G X ( ei X σ )) 0 + (G Y ( ei Y σ )) (R(u, e i X σ )G X (u)) (R(w, e i Y σ )G Y (w)) 0 } 0 p. En remplacent 3.33 et 3.34 dans 3.35, nous arrivons à trace g 2 ( τ 0 (σ)) p = { ( ei ei τ 0 (σ)) + R(u, ei X σ ) ei τ 0 (X σ ) + R(w, ei Y σ ) ei τ 0 (Y σ ) R(u, e i ei X σ )τ 0 (X σ ) R(w, e i ei Y σ )τ 0 (Y σ ) ( e i R)(u, ei X σ )τ 0 (X σ ) ( e i R)(w, ei Y σ )τ 0 (Y σ ) R(u, e i X σ )R(u, ei X σ )τ 0 (X σ ) R(w, e i Y σ )R(w, ei Y σ )τ 0 (Y σ ) 1 4 R(u, R(e i, τ 0 (X σ ))u)e i (3.36) 1 } 0 { 1 4 R(w, R(e i, τ 0 (Y σ ))w)e i p 2 R(e i, τ 0 (X σ )) X ei σ + R(e i, ei τ 0 (X σ ))u ( e i R)(e i, τ 0 (X σ ))u R(e i, R(u, ei X σ )τ 0 (X σ ))u } 1 { 1 2 R(e i, τ 0 (Y σ )) Y ei σ + R(e i, τ 0 ei (Y σ ))w ( e i R)(e i, τ 0 (Y σ ))w R(e i, R(w, ei Y σ )τ 0 (Y σ ))w p } 2 p.

91 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 90 D autre part, nous avons { } trace g R( τ 0 (σ), dσ)dσ p = { R(τ 0 (σ), e i )e i R(u, R(τ 0 (X σ ), e i )u)e i R(w, R(τ 0 (Y σ ), e i )w)e i + ( τ 0 (X σ)r)(u, ei X σ )τ 0 (X σ ) + ( τ 0 (Y σ)r)(w, ei Y σ )τ 0 (Y σ ) 1 2 ( e i R)(u, ei X σ )τ 0 (X σ ) 1 2 ( e i R)(w, ei Y σ )τ 0 (Y σ ) 1 4 R(u, e i X σ )R(u, ei X σ )τ 0 (X σ ) 1 4 R(w, e i Y σ )R(w, ei Y σ )τ 0 (Y σ ) + { 1 2 ( R)(τ 0 ei (X σ ), e i )u R(R(u, X ei σ)e i, τ 0 (X σ ))u R(τ 0 (X ϱ ), e i ) ei X σ 1 4 R(R(u, e i X σ )τ 0 (X σ ), e i )u { ( R)(τ 0 ei (Y σ ), e i )w R(R(w, Y ei σ)e i, τ 0 (Y σ ))w R(τ 0 (Y σ ), e i ) ei Y σ 1 4 R(R(w, e i Y σ )τ 0 (Y σ ), e i )w} 2. En prend la somme de 3.36 et 3.37, la preuve du lemme est terminée. } 0 p } 1 (3.37) Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si σ Γ(T 2 M) est une section lisse, alors le champ de bi-tension de σ est donné par τ 2 (σ) p = trace g { 2 τ 1 (X σ ) + 2R(τ 0 (X σ, ) X σ R(, τ 0 (X σ ))u R(R(u, X σ ), τ 0 (X σ ))u + trace g { 2 τ 2 (Y σ ) + 2R(τ 0 (Y σ ), ) Y σ R(, τ 0 (Y σ ))w R(R(w, Y σ ), τ 0 (Y σ ))w + trace g {R(u, τ 1 (X σ )) +R(w, τ 2 (Y σ )) +R(τ 1 (X σ ), X σ ) R(τ 2 (Y σ ), Y σ ) R(u, τ 1 (X σ ))R(u, X σ ) R(w, τ 2 (Y σ ))R(w, Y σ ) + τ 0 (σ) + R(u, X σ ) τ 0 (X σ )R(w, Y σ ) τ 0 (Y σ ) + R(τ 0 (σ), ) R(u, X σ )τ 0 (X σ ) R(w, Y σ )τ 0 (Y σ ) + R(u, R(τ 0 (X σ ), )u) +R(w, R(τ 0 (Y σ ), )w) +( τ 0 (X σ)r)(u, X σ ) + ( τ 0 (Y σ)r)(w, Y σ ) pour tout p T 2 M. } 0 Preuve.. La preuve découle immédiatement de le lemme et le lemme p. } 2 } 1

92 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 91 Théorème Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Une section σ : M T 2 M est biharmonique si et seulement si les conditions suivantes sont vérifiées : 0 = trace g { 2 τ 1 (X σ ) + 2R(τ 0 (X σ, ) X σ R(, τ 0 (X σ ))u + 1 } 2 R(R(u, X σ ), τ 0 (X σ ))u 0 = trace g { 2 τ 2 (Y σ ) + 2R(τ 0 (Y σ ), ) Y σ R(, τ 0 (Y σ ))w + 1 } 2 R(R(w, Y σ ), τ 0 (Y σ ))w 0 = trace g {R(u, τ 1 (X σ )) +R(w, τ 2 (Y σ )) +R(τ 1 (X σ ), X σ ) R(τ 2 (Y σ ), Y σ ) R(u, τ 1 (X σ ))R(u, X σ ) R(w, τ 2 (Y σ ))R(w, Y σ ) + τ 0 (σ) + R(u, X σ ) τ 0 (X σ )R(w, Y σ ) τ 0 (Y σ ) + R(τ 0 (σ), ) R(u, X σ )τ 0 (X σ ) R(w, Y σ )τ 0 (Y σ ) + R(u, R(τ 0 (X σ ), )u) +R(w, R(τ 0 (Y σ ), )w) +( τ 0 (X σ)r)(u, X σ ) } + ( τ 0 (Y σ)r)(w, Y σ ) pour tout p T 2 M. p Corollaire Soient (M, g) une variété riemannienne et (T 2 M, g D ) le fibré tangent d ordre 2 associé muni de la métrique diagonale. Si σ : M T 2 M est une section telle que X σ et Y σ sont des champs de vecteurs harmoniques alors σ est bi-harmonique. Exemple Soit (M = R 2, δ) une variété riemannienne avec les coordonnées cartésiennes (x, y) muni de la métrique euclidienne δ et σ : (x, y) R 2 (x, y, f(x, y), g(x), 0, 0) T 2 R 2 telles que f C (R 2 ), g C (R). On obtient X σ = (f(x, y), g(x)), Y σ = 0 τ 1 (X σ ) = (f xx + f yy ) x + g (x) y, τ 2 (Y σ ) = 0 Où f x = f, f x xx = 2 f. En utilisant le théorème 3.5.3, on en déduit que σ est bi-harmonique x 2 si et seulement si tr g 2 (τ 1 (X σ )) = 0, ou de façon équivalente { fxxxx + 2f xxyy + f yyyy = 0 g (3.38) (x) = 0 Les solutions particulières du système 3.38 sont { }{ } f(x, y) = (A + Cx) cosh βx + (B + Dx) sinh βx a cos βy + b sin βy g(x) = c 1 x 3 + c 2 x 2 + c 3 x + k Où A, B, C, D, a, b, c 1, c 2, c 3, k et β sont des constantes réelles arbitraires. p p

93 3.5 Bi-harmonicité d une section σ : (M, g) (T 2 M, g D ) 92 Remarque D après le corollaire on a σ est bi-harmonique si et seulement si τ 1 (X σ ) = τ 2 (Y σ ) = 0 = (f xx + f yy ) x + g (x) y Ou de façon équivalente { fxx + f yy = 0 g (x) = 0 (3.39) solutions particulières du système 3.39 sont f(x, y) = x 2 y 2 g(x) = ax 2 + bx + c, (a, b, c) R.

94 Bibliographie [1] Baird P., Harmonic maps between Riemannain manifolds(1983), pp [2] Bejan C.L. and Benyounes M., Harmonic ϕ Morphisms. Beitrge zur Algebra und Geometry, 44, no. 2(2003), pp [3] Baird P., Fardoun A. and Ouakkas S., Conformal and semi-conformal biharmonic maps, Annals of global analysis and geometry, 34 (2008),pp [4] Cengiz N. and Salimov A.A., Diagonal lift in the tensor bundle and its applications. Appl. Math. Comput. 142, no.2-3(2003), pp [5] Djaa M., EL Hendi H. and Ouakkas S., On the biharmonic vector field, Turkish J. Math. 36 (2012), pp [6] Djaa N.E.H., Ouakkas S. and Djaa M., Harmonic sections on the tangent bundle of order two, Ann.Math. Inform 38 (2011) pp [7] Djaa M., Djaa N.E.H. and Nasri R., Natural Metrics On T 2 M and Harmonicity, International Electronic Journal of Geometry,Volume 6 No.1 (2013), pp [8] Dombrowski P., On the geometry of tangent bundle, J.Rrine Angew.Math.210 (1962),pp [9] De Leon M. and Vazquez E., On the geometry of the tangent bundle of order 2. An. Univ. Bucarestii 34 (1985), pp [10] Djaa M. and Gancarzewicz J., The geometry of tangent bundles of order r. boletin Academia Galega de Ciencias, spain. Vol. IV (1985), pp [11] Elhendi H., Terbeche M. and Djaa M., Tangent bundle of order two and biharmonicity, Acta Math. Univ. Comenianae, Vol. LXXXIII, 2 (2014), pp [12] Eells J. and Sampson J.H., Harmonic mappings of Riemannian manifolds. Amer. J. Maths. 86 (1964), pp [13] Fuglede B., Harmonic morphisms between Riemannian manifolds, Ann. Inst.Fourier (Grenoble) 28 (1978),pp [14] Gudmunsson S. and Kappos E., On the Geometry of Tangent Bundles, Expo.Math.20(2002), pp [15] Ishihara T., Harmonic sections of tangent bundles, J. Math. Univ. Tokushima 13 (1979), pp

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96 Notations Γ(T M) le ensemble des champs de vecteurs sur M. Γ(T M) le ensemble des formes différentielles sur M. C (M) fonctions de classe C sur M. produit tensoriel (de vecteurs où de formes). somme de Whiteny. Γ k ij R l ijk composantes d une connexion (symboles de Christoffel). composantes du tenseur de courbure de riemann T(M) r s l ensemble des champs de tenseurs de type (r, s) sur M. v g la forme de volume v g = g ij dx 1... dx m [, ]crocher de deux champs de vecteurs.